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DIVISIBILIDAD

Lic. Walter Otoniel Campos Granados

1. DIVISIBILIDAD

1.1. Lema de la Division

Los siguientes resultados nos ayudaran a establecer el teorema principalde esta seccion, sus pruebas son sencillas y las omitiremos.

Teorema 1.1 Si x es cualquier numero real distinto de uno, entoncesn−1∑i=0

xi = 1 + x + x2 + . . . + xn−1 =xn − 1

x− 1

Corolorario 1.1 Si m y n son enteros positivos y m > 1, entonces mn ≥ n

Teorema 1.2 (Teorema de Representacion de Bases) Sea k cualquierentero mayor que uno. Entonces, para cada entero positivo n, existe unarepresentacion

n = a0ks + a1k

s−1 + . . . + as

donde a0 6= 0, y cada ai es no negativo y menor que k. Ademas, estarepresentacion es unica; llamada la representacion de n en la base k.

Demostracion:Sea Pk(n) el numero de representaciones de n en la base k. Se debe probarque Pk(n) siempre es igual a 1.Notese que algunos de los ai en una representacion particular pueden sercero. Sin afectar dicha representacion, se pueden excluir dichos terminos.Ası supogase que

n = a0ks + a1k

s−1 + . . . + as−tkt,

1

Lic. Walter Otoniel 2

donde ahora ni a0 ni as−t son iguales a cero. Entonces

n− 1 = a0ks + a1k

s−1 + . . . + as−tkt − 1

= a0ks + a1k

s−1 + . . . + (as−t − 1)kt + kt − 1

= a0ks + a1k

s−1 + . . . + (as−t − 1)kt +t−1∑i=0

(k − 1)ki − 1

en el ultimo renglon se ha utilizado el Teorema 1.1 con x = k. De aquı sededuce que para cada representacion de n en la base k, se puede encontraruna representacion para n− 1. Ası

Pk(n) ≤ Pk(n− 1)

donde la ultima desigualdad es cierta aun si n no tiene representacion ya quePk(n) = 0 ≤ Pk(n − 1) en dicho caso. Si n tiene otra representacion en labase k, por el mismo proceso se establecerıa otra representacion para n− 1.De manera que

Pk(n + 2) ≤ Pk(n + 1) ≤ Pk(n),

Pk(n + 3) ≤ Pk(n + 2) ≤ Pk(n + 1) ≤ Pk(n),

y, de manera general, si m ≤ n + 4,

Pk(m) ≤ Pk(m− 1) ≤ Pk(m− 2) ≤ . . . ≤ Pk(n + 1) ≤ Pk(n)

por ser kn > n y por tener kn al menos una representacion (¿cual?), se tieneque

1 ≤ Pk(kn) ≤ Pk(n) ≤ Pk(1) = 1

Una vez una base k > 0 ha sido escogida, se puede representar cualquierentero positivo n unicamente como sumas de potencias de k:

n = a0ks + a1k

s−1 + . . . + as

donde los a0, a1, . . . , as son enteros no negativos menores que k. Esta repre-sentacion es usualmente denotada por el sımbolo “a0a1 . . . as”.Es comun que para bases menores o iguales que diez, los ai son escogidos delos sımbolos 0, 1, 2,..., 9 con su significado usual, sin embargo, si k es mayorque diez, se deben inventar sımbolos de manera que se tengan k sımbolosdiferentes.


Ejemplo 1.1 En base dos (23)10 ≡ (10111)2; la base 16 es bastante comun,aqui se acostumbra tomar A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14,F = 15, en esta base (543)10 ≡ (21F )16, ya que 543 = 1•162+2•161+15•160.

Las bases 2, 8, 16 son muy importantes en Ciencia Computacional.Nota: Para obtener los coeficientes en la expansion, basta con hacer divi-siones sucesivas del numero en base diez, entre la base k, luego se toma elultimo cociente y todos los residuos partiendo del ultimo hasta el primero,en ese orden.

Definicion: Dados dos numeros enteros a, b, con a 6= 0, se dice que a dividea b (lo cual se denota por a|b) si existe un entero x tal que b = ax.Si a no divide a b se escribe a 6 | b.Si a divide a b, tambien se dice que b es multiplode a, que a es divisor b, quea es un factor de b o que b es divisible por a.Notese que segun la anterior definicion 2|4, 5|30, 3|24, 11|242, 7 6 |18, 4 6 |27.

Algunas Propiedades Basicas:

1. Si a|b entonces a|bc para todo entero c.

2. Si a|b y b|c entonces a|c.

3. Si a|b y a|c entonces a|bx + cy, para todo par de enteros x, y.

4. Si a|b y b|a entonces a = ±b

5. Si a|b, a > 0, b > 0, entonces a ≤ b

No es difıcil probar las propiedades anteriores, basta tener en cuenta la defini-cion de divisibilidad.1. Si a|b existe un entero x tal que

b = axbc = (ax)cbc = a(xc)

de donde se deduce que a|bc.2. Si a|b y b|c entonces existen enteros x, y tales que: b = ax, c = by, de


dondec = by

= (ax)y= a(xy)

ası a|c.3. Si a|b y a|c entonces por 1. a|bx, a|cy, de manera que existen enteros u, vtales que:

bx = aucy = av

sumando miembro a miembro ambas igualdades se tiene:

bx + cy = au + avbx + cy = a(u + v)

de donde es claro que a|bx + cy.Observacion: De la propiedad anterior es claro que a|b ± c, es decir si unentero divide a otros dos, divide tambien a su suma y diferencia.4. Si a|b y b|a, entonces existen enteros x, y tales que: b = ax, a = by, dedonde

b = (by)x = b(yx)

asi yx = 1, de manera que necesariamente x = y = 1 o x = y = −1, por lotanto a = ±b.5. Si a|b, entonces b = ax para algun entero x. ya que a > 0 y b > 0, x debeser positivo; es decir, x ≥ 1, de donde a ≤ b.Notese que si se divide 18 entre 5 se obtiene un cociente 3 y un residuo 3,ası: 18 = 5 • 3 + 3, este resultado se formaliza en el siguiente teorema.

Teorema 1.3 [Lema de la Division de Euclides] : Dados dos enteros a y b,con b > 0, existen enteros q, r tales que a = bq + r, con 0 ≤ r < b.

Demostracion: Considere el conjunto S = {a + bx : x ∈ Z }.

si a ≥ 0, entonces a + b ≥ 0 y a + b ∈ S; si a < 0, entonces a + b(−a) ≥ 0y es un elemento de S, ası en ambos casos S contiene enteros no negativos,por lo tanto por el principio de buena oredenacion, contiene un menor enterono negativo, digamos r. Supongase que r sucede en S cuando x = −q, asi setiene que

0 ≤ r = a− bq


si r ≥ b, entonces a− bq ≥ b, de donde se tiene que

0 ≤ a + b(−q − 1) < a− bq.

pero lo anterior es imposible ya que a− bq es el menor entero no negativo deS. De aquı b > r y existen enteros q y r que establece el teorema.Para probar la unicidad, se asume que existen enteros q, q1, r, r1, tales que

a = bq + r, 0 ≤ r < b

a = bq1 + r1, 0 ≤ r1 < b

Sin perdida de generalidad se puede asumir que q < q1. Entonces

0 ≤ r1 = a− bq1 ≤ a− b(q + 1) = r − b < 0,

lo cual constituye una contradiccion. Similarmente si se hubiese supuestoq1 < q. De aquı q = q1, y

r1 = a− bq1 = a− bq = r.

Notese que el Lema de la division de Euclides no es mas que el establec-imiento riguroso del hecho elemental de que la division de un entero porotro, produce un cociente entero y un entero no negativo llamado residuo, elcual es menor que el divisor.

Ejercicios 1.1

1. Pruebe que cada entero distinto de cero puede ser representado demanera unica en la forma

n =s∑

i=0

ci3i,

donde cs 6= 0, y cada ci es igual a -1, 0, o 1.

2. Pruebe que sin = a0k

s + a1ks−1 + . . . + as

es una representacion de n en la base k, entonces 0 < n ≤ ks+1 − 1.


3. Pruebe usando induccion matematica que si a|b1, a|b2, . . . a|bn, entoncesa|b1x1+b2x2+. . .+bnxn para todo conjunto {x1, x2, . . . , xn} de numerosenteros.

4. Si a 6= 0, muestre que el conjunto {d : d|a} es finito.

5. Supongase a, b, n ∈ Z y |a − b| < |n|. Pruebe que es imposible que ndivida a ambos a y b, a 6= b.

6. Sean a, b, c ∈ Z y supongase c 6= 0. Muestre que ac|bc implica a|b.

7. Pruebe que la relacion “|” es una relacion de orden parcial sobre Z.

8. Sean n un natural, y a, b enteros cualesquiera, entonces:

a) a− b|an − bn

b) si n es impar, se tiene que a + b|an + bn

c) si d es un divisor de n, entonces ad − bd|an − bn

1.2. El Maximo Comun Divisor

Definicion: Si a y b son enteros, ambos distintos de cero, entonces elmaximo comun divisor (mcd) de a y b es un entero d que cumple:

(i) d > 0,

(ii) d es un comun divisor de a y b, y

(iii) cada entero m que es un divisor de a y b, tambien es un divisor de d.

El maximo comun divisor de a y b es representado por muchos autores comomcm(a, b) o simplemente (a, b), que es la notacion que aquı se usara.El siguiente teorema prueba la existencia y unicidad de (a, b), ademas, pro-porciona un algoritmo para encontrarlo, antes de enunciarlo y probarlo se dael siguiente ejemplo que describe el algoritmo.

Ejemplo 1.2 Encontrar el (108, 46).


No es difıcil establecer que (a, b) = 2. Lo que se hara aquı es que se aplicara ellema de la division repetidamente, de tal manera que el ultimo residuo nonulo coıcidira con (a, b).

108 = 42 ∗ 2 + 1646 = 16 ∗ 2 + 1416 = 14 ∗ 1 + 214 = 2 ∗ 7 + 0

Efectivamente el ultimo residuo distinto de cero es 2. Esto no es una meracoıcidencia y se formaliza en el siguiente

Teorema 1.4 Si a y b Son enteros, ambos distintos de cero, entonces (a, b)existe y es unico.

Demostracion:Notese que (a, b) no es afectado por los signos de a y b. Ası sin perdida degeneralidad se puede suponer que a ≥ b > 0.Por el Teorema 1.3, existen enteros q1, r1 (0 ≤ r1 < b) tales que

a = bq1 + r1.

Si r1 > 0, existen enteros q2, r2 (0 < r2 ≤ r1) tales que

b = r1q2 + r2

Si r2 > 0, existen enteros q3, r3 (0 < r3 ≤ r2) tales que

r1 = r2q3 + r3

Este proceso se puede continuar mientras ri 6= 0. Ya que

b > r1 > r2 > r3 > . . . > 0,

Usando induccion matematica se ve que 0 ≤ ri ≤ b− i. Por lo tanto, en a losumo b pasos se obtendra un rn igual a cero.De manera que en algun momento se tendra

rn−2 = rn−1qn + 0

es decir rn = 0. Se probara que rn−1 = (a, b), para esto basta recorrer lasecuencia de ecuaciones de abajo hacia arriba e inversamente, de arriba hacia


abajo.En efecto, de la ultima ecuacion se tiene que rn−1|rn−2, rn−1|rn−3,. . . , rn−1|r1,rn−1|b, de donde rn−1|a. Finalmente si m es un divisor comun de a y b lo estambien de r1, de r2, y ası sucesivamente de rn−1. (aquı es claro que se hausado induccion matematica). De aquı rn−1 satisface todas las condicionesde la definicion. Este metodo para calcular el mcd, es llamado el “Algoritmode Euclides”.

Corolorario 1.2 (Propiedad Lineal del mcd) : Si d = (a, b), entoncesexisten enteros u, v tales que

au + bv = d

Demostracion: Tomando las n ecuaciones usadas en la prueba del Teorema1.4 y usando el principio de induccion matematica, se probara en primerlugar que existen enteros ui, vi tales que

avi + bvi = ri (1)

para i = 1, 2, . . . , n− 1.Cuando i = 1, basta tomar u1 = 1, v1 = −q1. Asumiendo que las solucionesenteras de (1) han sido encontradas para todo i menor o igual que k, (k <n− 1). se sabe que

rk−1 = rkqk+1 + rk+1; (2)

luego por hipotesis inductiva,

(auk−1 + bvk−1)− (auk + bvk)qk+1 = rk+1. (3)

Se puede escribir la ecuacion (3) en la forma

(uk−1 − ukqk+1)a + (vk−1 − vkqk+1)b = rk+1. (4)

De aquı, uk+1 = uk−1 − ukqk+1 y vk+1 = vk−1 − vkqk+1 son soluciones de laecuacion (1) cuando i = k + 1.Queda pues la formula (1) establecida para i = 1, 2, . . . , n− 1. En particularsi i = n− 1 en la ecuacion (1), se obtiene la relacion

aun−1 + bvn−1 = rn−1 = (a, b)


Demostracion alternativa:Considerese el conjunto A = {ax + by : x, y ∈ Z }Notese que A contiene numeros positivos y negativos (tambien al cero, toman-do x = y = 0). Por el principio de buena ordenacion se sabe que existe unmenor elemento positivo d en A.Sea d = au + bv, se probara que d es un divisor comun de a y b. Si d 6 |a, deacuerdo con el Teorema 1.3 existen enteros q y r tales que

a = dq + r, 0 < r < d

pero entonces se tiene que

r = a− dq= a− (au + bv)q= a− auq − bvq= a(1− uq) + b(−vq)

de donde r esta en A, y 0 < r < d, lo cual es una contradiccion. de manerasimilar si se supone que d 6 |b, por lo tanto d es un comun divisor de a y b.Ahora bien, si m > 0 y m|a y m|b, por las propiedades de divisibilidadm|au + bv = d, ası que m ≤ d. De manera que d = (a, b).De lo anterior es claro que para que d sea el mcd de a y b, es necesario ysuficiente que d se pueda escribir como combinacion lineal de a y b.

Ejemplo 1.3 Dado que 2 = (108, 46), encontrar los u, v tales que 2 = 108u+46v

Lo que se hace es tomar las ecuaciones obtenidas en el Algoritmo de Euclidese ir despejando en retroceso, ası:

2 = 16− 14 ∗ 1= 16− (46− 16 ∗ 2)= 16− 46 ∗ 2 + 16 ∗ 2= 3 ∗ 16− 46= 3(108− 46 ∗ 2)− 46= 3 ∗ 108− 6 ∗ 46− 46= 3 ∗ 108− 7 ∗ 46

Teorema 1.5 Sean a, b, m numeros enteros, entonces (ma, mb) = |m|(a, b).


Demostracion:

(ma,mb) =

Definicion: Si (a, b) = 1, se dice que los enteros a y b son primos relativos.De los resultados anteriores es facil darse cuenta que si (a, b) = 1, entoncesexisten entros u, v tales que 1 = au + bv. Este resultado se conoce comoRelacion de Bezout.Si en conjunto de n enteros, se tiene que cada par de ellos son primos rela-tivos entre sı, se dice que los numeros son primos relativos dos a dos.

Teorema 1.6 Sean a, b, c numeros enteros, si c|ab y (b, c) = 1 entonces c|a.

Demostracion: Dado que (b, c) = 1, existen enteros u, v tales que

bu + cv = 1abu + acv = a

de donde por hipotesis y propiedades de divisibilidad se tiene que c|abu+acvo lo que es lo mismo c|a.

1.3. El Mınimo Comun Muliplo

Definicion: Sean a, b ∈ Z , ab 6= 0. El mınimo comun multiplo (mcm)de a y b, denotado por 〈a, b〉, es un entero m definido por

(i) m > 0,

(ii) a|m y b|m,

(iii) si a|n y b|n, entonces m|n.

No es difıcil probar que el 〈a, b〉 siempre existe, para cualquier par deenteros distintos de cero a y b, y que es efectivamente el menor entero positivodel conjunto

M = {n : n ∈ Z +, a|n, b|n}

Primero notese que M no es vacıo ya que |ab| ∈ M , ası se m el menorentero positivo de M . Es claro que m satisface las primeras dos propiedades.


Supongase ahora que a|n y b|n, para n ∈ Z . se pueden encontrar enterosq y r tales que n = mq + r, 0 ≤ r < m. Ya que a|n, a|m, se tiene que a|r;similarmente, b|r, de manera que r ∈ M , pero entonces r = 0. Por lo tantom|n, y tiene la tercera propiedad, aı que m = 〈a, b〉.El siguiente Teorema establece una relacion entre el maximo comun divisory el mınimo comun multiplo de dos enteros distintos de cero.

Teorema 1.7 Sean a, b enteros tales que ab 6= 0. Entonces (a, b) 〈a, b〉 = |ab|

Demostracion: Sean d = (a, b), m = 〈a, b〉. La prueba consiste en establecerque dm|ab y ab|dm.Ya que d|a, d|ab, ademas, es claro que m|ab (por la definicion del mcm), asique (ab/d), (ab/m) ∈ ZComo d|a, db|ab, similarmente, d|b, luego ad|ab, de esto se tiene que b|(ab/d)y a|(ab/d), ası por la propiedad tres del mcm se tiene que m|(ab/d) o md|ab.Por otro lado b|m, de donde ab|am, o (ab/m|a), de manera similar, a|m, dedonde ab|bm, o (ab/m)|b, luego por la propiedad tres del mcd (ab/m)|d oab|dm, por lo tanto dm = ±ab = |ab|.

Ejercicios 1.2

1. Pruebe que si a|c, b|c, y (a, b) = 1, entonces ab|c

2. Pruebe que si (a, b) = 1 y (a, c) = 1, entonces (a, bc) = 1

3. Probar que 〈ac, 〉 = |c| 〈a, b〉

4. Muestre que si (a, b) = (a, c) y 〈a, b〉 = 〈a, c〉, entonces b = ±c

5. Sean a, b ∈ Z , con ab 6= 0. Sea D1 = {d : d|a} y D2 = {d : d|b},muestre que D1 ∩D2 6= ∅, y que (a, b) = max{D1 ∩D2}

6. Demuestre que (a, bc) es divisible entre (a, b).

7. Si (a, c) = 1, entonces (a, bc) = (a, b)

8. A los terminos de la siguiente sucesion recursiva dad por un = un−1 +un−2, con u1 = 1, u2 = 1 se les llama numeros de Fibinacci. Pruebe quesi n es divisible por m, entonces un es divisible por um. ¿Que puededecirse del recıproco?

9. Pruebe que (um, un) = u(m,n)


1.4. Numeros Primos

Definicion: Se dice que un entero positivo p > 1 es un numero primo siunicamente admite dos divisores positivos: 1 y p. Un entero n > 1 que no esprimo es llamado compuesto.

Lema 1.1 Sea n > 1 un numero entero, entonces n es un producto denumeros primos.

Demostracion: Se hara la prueba por contradiccion. Supongase pues queexisten enteros mayores que 1 que no son producto de primos, por el principiode buena ordenacion, existe un menor entero positivo r que satisface talcondicion. Notese que r no es primo, ası pues r es compuesto, de manera queexisten enteros x, y tales que r = xy, donde por propiedades de divisibilidadse tiene que x < r, y < r. Pero entonces x y y pueden ser expresados comoproducto de primos,

x = q1q2 . . . qi

y = p1p2 . . . pj

donde q1, q2 ldots, qi, p1, p2, . . . , pj son numeros primos (no necesariamentedistintos), ası pues r = q1q2 . . . qip1p2 . . . pj lo cual contradice la eleccion der.No es difıcil darse cuenta que si a ∈ Z y p es primo, entonces

(a, p) =

{p si p|a1 si p 6 |a

notese ademas que si p y q son primos mayores que 1 tales que p|q, entoncesp = q.

Lema 1.2 Si p es primo y p|ab, entonces p|a o p|b.

Demostracion: Supongase que p 6 |a, entonces (a, p) = 1 por el Teorema 1.6se tiene que p|b.Observacion: El resultado anterior se puede generalizar al caso en que elprimo p divida al producto de m factores, es decir si p|a1a2 . . . am, entoncesp|aj, para algun j = 1, 2, . . . n (hacer la prueba por induccion)

Teorema 1.8 (Teorema Fundamental de la Aritmetica) : Todo enteron > 1 se puede expresar como producto de factores primos de manera unica,salvo el orden de dichos factores.


Demostracion: Se hara la prueba por contradiccion. Ası, supongase queexisten enteros mayores que 1 que admiten dos representaciones como pro-ducto de factores primos, por el principio de buena ordenacion, existe unmenor entero f que cumple esta condicion. De donde

f = p1p2 . . . pk = q1q2 . . . qr

donde los p1p2 . . . pk, q1q2 . . . qr son primos distintos de f . Ahora bien, es claroque p1|m o lo que es lo mismo p1|q1q2 . . . qr, de donde por el Lema 1.2 se tieneque p1|qi, para algun i = 1, 2, . . . r. Sin perdida de generalidad, se puedesuponer que p1|q1 (obteniendo que p1 = q1), pero entonces se tendrıa que

m

p1

= p2 . . . pk = q2 . . . qr

es decir el enterom

p1

< m admite dos representaciones como producto de

factores primos, contradiciendo la eleccion de m.Cuando se aplica el teorema fundamental de la aritmetica a un entero n > 1este se escribe como

n = pm11 pm2

2 . . . pmj

j ,

donde los pi, i = 1, 2, . . . , j son primos distintos, y mi indica el numero deveces que el primo pi aparece en la factorizacion. La anterior representacionse conoce como forma canonica del entero n.Puede surgir la inquietud sobre si el conjunto de numeros primos es fini-to o infinito, Euclıdes hace mucho tiempo tambıen se hizo esta pregunta ylogro demostrar el siguiente resultado

Teorema 1.9 (Euclıdes) : Existen infinitos numeros primos.

Demostracion: Se hara la prueba por contradiccion. Ası, supongase que elconjunto E = {p1, p2, . . . , pk} constituye el conjunto de todos los primos. Seconstruye el siguiente numero m = p1p2 . . . pk + 1, notese que no es primo,entonces es compuesto, ası existe un primo p tal que p|m, p /∈ E, ya que delo contrario se tendrıa que p|p1p2 . . . pk y como p|n, se tendrıa tambien quep|1. En ambos casos se llega a una contradiccion.

Ejemplo 1.4

74 = 2 ∗ 37, 108 = 22 ∗ 33, 900 = 22 ∗ 32 ∗ 52.


Ejemplo 1.5

Aunque el conjunto de numeros primos es infinito, surge una cuestion bas-tante interesante, esta consiste en que dado cualquier entero k > 0 se puedenencontrar k enteros compuestos consecutivos, para probar esto, basta obser-var que el conjunto C = {(k + 1)! + 2, (k + 1)! + 3, (k + 1)! + 4, . . . , (k + 1)! +(k + 1)} cumple tal condicion. El lector podrıa preguntarse si existe algunaley de formacion de los numeros primos, desgraciadamente la respuesta esno. Fermat conjeturo que Fn = 22n

+ 1 para n entero positivo es un numeroprimo, sin embargo, Euler Probo que para n = 5 se obtiene un numero com-puesto, F5 = 225

+1 = 232+1 = 4294967297 = 641∗6700417. Solo se conocen5 primos de fermat que suceden para n = 1, 2, 3, 4, 5. Encuentralos!.

Ejercicios 1.3

1. Supongase que a =k∏

i=1

pmii , b =

s∏i=1

ptii estan representados en su forma

canonica. Pruebe que (a, b) = pn11 pn2

2 . . . pnrr , donde ni = min{mi, ti}

2. Sean a, b como en el ejercicio anterior. Pruebe que 〈a, b〉 = pc11 pc2

2 . . . pcj

j ,donde ci = max{mi, ti}, j = max{k, s}

3. Encontrar todas las parejas [a, b] de numeros enteros positivos tales queab− 3a− 2b = 6.

4. ¿Cuantos numeros de tres dıgitos xyz son tales que x+3y+z es multilpode 3 (x 6= 0)?.

5. Pruebe que si an − 1 es primo, entonces a = 2 y n es primo.

6. Muestre que para nigun entero positivo n, 2n + 1 es un cubo.

7. Probar que existen infinitos primos de la forma 4k + 1; de la forma4k + 3.

8. Sea an = 11 . . . 1︸︷︷︸n veces

. Probar que si an es primo entonces n es primo.

9. Un entero T se dice tico si la suma de sus dıgitos es multiplo de 2007.Pruebe que existe un entero T , tal que T, 2T, 3T, . . . 2007T son ticos.


2. LAS CONGRUENCIAS EN Z

Al lector le parecera que en esta seccion se sigue hablando de divisibili-dad, y efectivamente ası es. El concepto de congruencia no es mas que unaforma muy elegante de tratar el concepto de divisibilidad, aunque con muchasventajas, en este sentido, muchos resultados sobre divisibilidad se obtienende manera muy simple ocupando la notacion de congruencia.Definicion: Sean a, b, m ∈ Z , con m 6= 0. se dice que a es congruente con bmodulo m, lo cual se denota a ≡ b(m), si m|a− b.

Ejemplo 2.1

8 ≡ 2(3), 15 ≡ 1(2), 17 ≡ 2(3)Como es de esperar si m 6 |a− b, se dice que a 6≡ b(m).Observacion: Notese que m|a−b ⇔ −m|a−b, por lo tanto basta considerara m > 0, ası que de aquı en adelante solo se considerara m positivo.

Teorema 2.1 Supongase que a = q1m + r1, b = q2m + r2. a ≡ b(m) ⇔ r1 =r2.

Demostracion: Notese que si

a = q1m + r1, donde 0 ≤ r1 < m,

b = q2m + r2, donde 0 ≤ r2 < m,

entonces a − b = m(q1 − q2) + (r1 − r2), pero como m|a − b, se debe tenerque m|r1 − r2, donde |r1 − r2| < m, ası que por propiedades de divisibilidad,debe ser r1 − r2 = 0, es decir r1 = r2.Por el otro lado (recıprocamente), si a = q1m + r, b = q2m + r se tieneque a − b = m(q2 − q1), de donde m|a − b, de manera que a ≡ b(m). Es yasabido que al dividir cualquier numero entero por m los posibles restos son0, 1, 2, 3, . . . ,m−1, ası de lo anterior se deduce facilmente que cualquier enteroes congruente modulo m con uno y solo uno de los enteros 0, 1, 2, 3, . . . ,m−1Lo anterior nos indica algo muy importante, esto es, que al dividir por m losenteros quedan divididos en m clases:


. . . ,−3m,−2m,−m, 0, m, 2m, 3m, . . . ≡ 0(m),

. . . ,−3m + 1,−2m + 1,−m + 1, m + 1, 2m + 1, 3m + 1, . . . ≡ 1(m),

. . . ,−3m + 2,−2m + 2,−m + 2, m + 2, 2m + 2, 3m + 2, . . . ≡ 2(m),

...

. . . ,−3m− 1,−2m− 1,−m− 1,−1, m− 1, 2m− 1, 3m− 1, . . . ≡ m− 1(m).

Observacion: La definicion de congruencia en algunos libros se enunciadiciendo que a ≡ b(m) si y solo sı existe un k ∈ Z tal que a − b = mk.Notese que esta es equivalente a la que se ha dado aqui.El lector puede darse cuenta que de alguna manera las propiedades que seenuncian a continuacion son analogas a las que se dieron para el caso dedivisibilidad.Propiedades

1. a ≡ a(m),

2. a ≡ b(m), entonces b ≡ a(m),

3. a ≡ b(m) y c ≡ d(m), entonces a± c ≡ b± d(m),

4. a ≡ b(m) y c ≡ d(m), entonces ac ≡ bd(m)

5. Si a ≡ b(m) y d|m, con d > 0, entonces a ≡ b(d)

Las demostraciones de cada una de estas propiedades se deducen facilmentede la definicion de congruencia. 1. Notese que m|a− a = 02. Si m|a− b, entonces m|(a− b)(−1), ası que m|b− a, de donde b ≡ a(m)3. Si m|a − b y m|c − d entonces m|[(a − b) ± (c − d)] de lo cual se deduceque m|[(a± c)− (b± d)]4. Se tiene que m|a− b y m|c− d, de aquı m|(a− b)c y m|(c− d)b, entoncesm|[(a − b)c + (c − d)b] de lo cual se deduce que m|ac − bd, por lo tantoac ≡ bd(m).5. Es claro que si m|a− b y d|m entonces d|a− b

Teorema 2.2 Si f es un polinomio con coeficientes enteros, y si a ≡ b(m),entonces f(a) ≡ f(b)(m)


Demostracion: Sea f(x) = cnxn + cn−1x

n−1 + . . . + c1x + c0 un polinomioarbitrario con coeficientes enteros.f(a) = cna

n +cn−1an−1 + . . .+c1a+c0, f(b) = cnb

n +cn−1bn−1 + . . .+c1b+c0.

por las propiedades anteriores, se tiene que: ciai ≡ cib

i, para i = 1, 2, . . . , n,ası que

cnan + cn−1a

n−1 + . . . + c1a + c0 ≡ cnbn + cn−1b

n−1 + . . . + c1b + c0

de dondef(a) ≡ f(b)(m)

Ejemplo 2.2

Encontrar la cifra en que termina 2300

Pareciera ser que las congruencias se comportan como igualdades, sin em-bargo debe tenerse mas cuidado al dividir una congruencia entre un numeroentero a, vease el teorema siguiente.

Teorema 2.3

(a) ax ≡ ay(m) ⇔ x ≡ y

(m

(a, m)

).

(b) Si ax ≡ ay(m) y (a, m) = 1, entonces x ≡ y(m).

(c) ax ≡ ay(mi), para i = 1, 2, . . . , r si y solo sı x ≡ y (〈m1, m2, . . . ,mr〉).

Demostracion:(a) Si ax ≡ ay(m) entonces ax − ay = mk, para algun entero k. De esto setiene

a

(a, m)(x− y) =

m

(a, m)k

ahora bien, recuerdese que

(a

(a, m),

m

(a, m)

)= 1, asi que por el Teorema 1.6

m

(a, m)|x− y , de donde x ≡ y

(m

(a, m)

)(b) Notese que este no es mas que un caso particular de (a), se ha escritoaparte por su relevancia.(c) Como x ≡ y(mi), se tiene que mi|(x−y), para i = 1, 2, . . . , r, es decir x−yes un multiplo comun de m1, m2; . . . , mr por tanto 〈m1, m2, . . . ,mr〉 |(x− y),


lo cual implica que x ≡ y (〈m1, m2, . . . ,mr〉).Por otro lado, si x ≡ y (〈m1, m2, . . . ,mr〉), como mi| (〈m1, m2, . . . ,mr〉), en-tonces x ≡ y(mi) por la propiedad 5.

Al conjunto {0, 1, 2, 3, . . . ,m − 1} de restos posibles cuando se trabajacon congruencias modulo m se le llama sistema completo de restos modulom, esta cuetion se generaliza en la siguiente definicion.

Teorema 2.4 Si x ≡ y(m) entonces (x, m) = (y, m)

Demostracion: Se tiene que m|x−y, es decir x−y = mk, para algun enterok. Ahora bien (x, m)|x y (x, m)|m, asi se debe tener que (x, m)|y, de donde(x, m)|(y, m). Por otro lado (y, m)|y, (y, m)|m, de donde (y, m)|x, asi que(y, m)|(x, m). Por lo tanto (x, m) = (y, m).

Definicion: Si x ≡ y(m) entonces y recibe el nombre de residuo (resto)de x modulo m. Un conjunto {x1, x2, x3, . . . , xm} es un sistema completo deresiduos modulo m si para todo entero y existe un unico xj, tal que y ≡ xj(m)Es claro que existen infinitos sistemas completos de residuos modulo m, sien-do el ejemplo mas familiar {0, 1, 2, 3, . . . ,m − 1}. Notese ademas que unconjunto forma un sistema completo de residuos modulo m si y solamente sino se tienen en el conjunto dos enteros que sean congruentes entre sı modulom.

Definicion: Un sistema reducido de residuos modulo m es un conjuntode enteros ri, tales que (ri, m) = 1, ri 6≡ rj(m), si i 6= j y tales que todo xcoprimo con m es congruente modulo m con algun ri del conjunto.

De todo lo anterior se puede ver que al trabajar con congruencias modulom, se pueden reemplazar los enteros en las congruencias por elementos delconjunto {0, 1, 2, . . . ,m − 1}. Tal sustitucion frecuentemente guıa a la sim-plificacion de problemas un tanto complicados.

Ejemplo 2.3

Encontrar un entero z que satisfaga la congruencia 325z ≡ 11(3).Ya que

325 ≡ 1(3)


y11 ≡ 2(3)

se debe encontrar un entero z tal que

z ≡ 2(3)

aqui es claro que dicho entero puede ser 2.

A partir del teorema anterior es claro que un sistema reducido de restosmodulo m se puede obtener a partir de un sistema completo de restos modu-lo m, eliminando de este aquellos miembros que no son coprimos con m.Tambien notese que todos los sistemas reducidos de restos modulo m ten-dran el mismo numero de miembros, esta funcion se denota por φ(m) y recibeel nombre de Funcion φ de Euler. Al aplicar la definicion de φ(m) al sistemacompleto de residuos {0, 1, 2, . . . ,m− 1}, se obtiene el siguiente teorema:

Teorema 2.5 El numero φ(m) es el numero de enteros positivos menores oiguales que m y primos relativos con m.

Teorema 2.6 Si (c, m) = 1, y r1, r2, . . . , rn es un sistema completo (o bienreducido) de residuos modulo m, entonces cr1, cr2, . . . , crn tambien lo es.

Demostracion: Es claro que (cri, m) = 1, ademas se sigue teniendo el mismonumero de miembros en el conjunto. Ası pues basta probar que cri 6≡ crj(m),si i 6= j. Pero si cri ≡ crj(m) el Teorema 2.3 (b) implicarıa que ri ≡ rj(m)algo que no puede pasar.Los siguientes teoremas son historicos en la teorıa de numeros.

Teorema 2.7 (Euler) Si (a, m) = 1, entonces aφ(m) ≡ 1(m)

Demostracion: Sea r1, r2, . . . , rφ(m) un sistema reducido de restos modulom, entonces ar1, ar2, . . . , arφ(m) tambien lo es. De donde a cada ari le corre-sponde un unico rj tal que ari ≡ rj(m). por lo tanto

φ(m)∏i=1

(ari) ≡φ(m)∏i=1

(ri)(m)

aφ(m)

φ(m)∏i=1

(ri) ≡φ(m)∏i=1

(ri)(m)


ahora bien, notese que

φ(m)∏i=1

(ri), m

= 1, ası por el Teorema 2.3b

aφ(m) ≡ 1(m).

Es evidente que si m es primo, entonces φ(m) = m− 1, ası pues el siguientecorolario es un resultado inmediato del teorema de Euler.

Corolorario 2.1 Si p es un primo tal que (a, p) = 1, entonces

ap−1 ≡ 1(p)

El anterior corolario es conocido en el medio matematico como el pequenoteorema de Fermat.Al multiplicar la congruencia ap−1 ≡ 1(p) por a, se tiene que ap ≡ a(p), lacual es cierta para todos los valores de a, aun si p|a.A partir del teorema de Euler se deduce el siguiente corolario.

Corolorario 2.2 Si (a, m) = 1, entonces ax ≡ b(m) tiene una solucion x1.Ademas todas las soluciones estaran dadas por x = x1 + km, k entero.

Demostracion: Basta tomar x1 = aφ(m)−1b. Por otro lado si x1 satisfacela congruencia, entonces todos los enteros de la forma x1 + km son tambiensoluciones, ya que

a(x1 + km) = ax1 + akm ≡ ax1 ≡ b(m)

Teorema 2.8 (Wilson) Si p es un primo, entonces (p− 1)! ≡ −1(p).

Demostracion: Si p = 2 o p = 3 el resultado es evidente.supongase pues que p ≥ 5. La clave de la desmostracion es la siguiente: seconsideran todos los enteros cuyo producto es (p− 1)! y se trata de parearlosde tal manera que el producto de cada par sea congruente con 1 modulo p.Dado un entero j que satisfaga 1 ≤ j ≤ p − 1, entonces (j, p) = 1, y por elCorolario 2.2 existe un unico entero i tal que ji ≡ 1(p) con 1 ≤ i ≤ p − 1.Asociese a cada j el correspondiente entero i. Ahora bien, dado que ij ≡ji ≡ 1(p), se veque j es el entero asociado con i. 1 se asocia con si mismo, aligual que p − 1.Ahora considerese 2 ≤ j ≤ p − 2. Para estos j se tiene que(j − 1, p) = (j + 1, p) = 1, por lo que j2 − 1 = (j − 1)(j + 1) 6≡ 0(p). Por lo


tanto cada uno de estos j se asocia con un i 6= j, 2 ≤ i ≤ p− 2 y el asociadode i es el propio j. Ası que los enteros 2, 3, . . . , p− 2 pueden parearse, j y suasociado i con ji ≡ 1(p). Multiplicando todos estos pares se obtiene

2 ∗ 3 ∗ 4 ∗ . . . ∗ (p− 2) ≡ 1(p)

y ya que1 ∗ (p− 1) ≡ −1(p)

se tiene la conclusion del teorema de Wilson

1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ . . . ∗ (p− 1) ≡ −1(p)

. A partir de los teoremas de Wilson y Fermat se obtiene el siguiente resul-tado:

Teorema 2.9 Si p es primo x2 ≡ −1(p) tiene soluciones si y solo sı p = 2o bien p ≡ 1(4).

Demostracion: Si p = 2 basta tomar x = 1.Ahora bien si p es un primo distinto de 2, el teorema de Wilson puede es-

cribirse en la forma

(1 ∗ 2 ∗ . . . ∗ j ∗ . . . ∗ p− 1

2

) (p + 1

2∗ . . . ∗ (p− j) ∗ . . . ∗ (p− 2)(p− 1)

)≡

−1(p).El producto del primer miembro se ha dividido en dos partes, cada una conel mismo numero de actores. Pareando los j de la primera mitad con los p−jde la segunda mitad, puede escribirse la congruencia en la forma

(p−1)/2∏j=1

j(p− j) ≡ −1(p).

Pero j(p− j) ≡ −j2(p) ası pues, si p ≡ 1(4),

(p−1)/2∏j=1

j(p− j) ≡(p−1)/2∏

j=1

(−j2) ≡ (−1)(p−1)/2

(p−1)/2∏j=1

j

2

≡

(p−1)/2∏j=1

j

2

(p)

de donde se obtiene la solucion∏(p−1)/2

j=1 j, de x2 ≡ −1(p).Ahora si p 6= 2 y p 6≡ 1(4), entonces p ≡ 3(4). En este caso, si para algun en-tero x, x2 ≡ −1(p), entonces se tiene que xp−1 ≡ (x2)(p−1)/2 ≡ (−1)(p−1)/2 ≡


−1(p), ya que (p − 1)/2 ≡ 1(p). Evidentemente p 6 |x y ası por el Teorema2.1, se tiene que xp−1 ≡ 1(p). esta contradiccion demuestra que x2 ≡ −1(p)no tiene solucion en este caso.

Ejercicios 2.1

1. Hacer una lista de todos los entero x en el intervalo [1, 100] que satisfa-gan x ≡ 7(17).

2. Mostrar un sistema completo de restos modulo 17 compuesto entera-mente por multiplos de tres.

3. Encuentre enteros x tales que.

a) 5x ≡ 4(3).

b) 7x ≡ 6(5).

c) 9x ≡ 8(7).

4. Existe algun cuadrado perfecto n2 tal que

n2 ≡ −1(p)

para p = 3, p = 5, p = 7, p = 11, p = 13, p = 17, p = 19?. puedecaracterizar los primos p para los cuales la congruencia anterior tengasolucion?.

5. Encuentre una congruencia que sea equivalente al par de congruenciasx ≡ 1(4), x ≡ 2(4).

6. Probar que si p es un primo y a2 ≡ b2(p), entonces p|(a + b) o bienp|(a− b).

7. Probar que cualquier numero que sea un cuadrado debe terminar enalgun dıgito de los siguientes: 0, 1, 4, 56, 9.

8. Encuentre un sistema reducido de restos modulo 24 y modulo 30.


3. RESOLUCION DE CONGRUENCIAS

3.1. Congruencias Lineales

Un problema muy simple sobre congruencias puede ser planteado comosigue: si a, b, m ∈ Z , se puede encontrar un entero x tal que

ax ≡ b(m) (5)

Notese que si x satisface esta congruencia, entonces todos los enteros dela forma x + km tambien son soluciones, ya que

a(x + km) = ax + akm ≡ ax ≡ b(m)

Ejemplo 3.1

Si a = 5, b = 3 y m = 8, se tiene que 7 es solucion de la congruencia

5x ≡ 3(8)

Realmente, cada uno de los numeros . . . ,−17,−9,−1, 7, 15, 23, 31, . . . esuna solucion.Observese pues que si se encuentra una solucion de la congruencia (5) sepueden entonces construir infinitas soluciones a partir de esta. Sin enbargo,todas las soluciones ası construidas son congruentes a x modulo m, esto dalugar a la siguiente interrrogante: ¿Cuantas soluciones no conguentes entresı existen de la congruencia (5)?.Para responder esta pregunta se hara uso de los conocimientos sobre ecua-ciones Diofantinas Lineales.

En concreto, intentar resolver la congruencia (5) es equivalente a encontrarenteros x y k tales que ax− b = km o

ax + (−m)k = b (6)

Aquı ya se sabe que la ecuacion (6) tiene solucion si y solo sı d|b, donded = (a, m). (ver Teorema 4.1).de manera que la congruencia (5) tiene una solucion x si y solo sı d|b, cond = (a, m).Ahora bien por el Teorema 4.1 cada solucion de (6) es de la forma

x = u0 +−m

dt, k = v0 −

a

dt, t ∈ Z (7)


donde u0, v0 constituyen una solucion particular de (6).Entre los diferentes valores de x descritos en (7) observese que los d valoresu0, u0 + m/d, u0 + 2m/d, . . . , u0 + (d− 1)m/d no son congruentes modulo mdos a dos, ya que la diferencia absoluta entre cualesquiera dos de ellos esmenor que m. si x = uo +mt/d es cualquier otro valor , se escribe t = qd+ r,donde 0 ≤ r < d, y se ve que

x = u0 + m(qd + r)/d= u0 + mq + mr/d≡ u0 + mr/d(m)

De aquı, toda solucion x de (6) y por lo tanto de (5) es congruente a unode los d valores dados arriba. Ası pues, existen d = (a, m) soluciones nocongruentes entre sı modulo m, si existe alguna.Con todo lo anterior se ha probado el siguiente Teorema.

Teorema 3.1 Si d = (a, m), entonces la congruencia

ax ≡ b(m)

no tiene solucion si d 6 |b, y tiene exactamente d soluciones no congruentesentre sı modulo m si d|b.

Ejemplo 3.2

Ya que (15, 12) = 3 y 3|9, la congruencia

15x ≡ 9(12)

tiene exactamente 3 soluciones no congruentes entre sı modulo 12. Por simpleinspeccion, se ve que x = 3 es una solucion. Por lo tanto todas las solucionesestan dadas por

x = 3 + (12/3)t = 3 + 4t t = . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .

Para t = 0, 1, 2 se obtienen tres soluciones no congruentes entre sı modulo12: 3, 7, y 11.Definicion: Se dice que una solucion x de una congruencia de la formaax ≡ b(m) es unica modulo m si cualquier solucion x0 de esta es congruentea x modulo m.Definicion: si nx ≡ 1(m), se dice que x es el inverso de n modulo m.


Corolorario 3.1 Si (a, m) = 1, entonces a tiene un inverso, y este es unicomodulo m.

Demostracion: Si (a, m) = 1, el Teorema 3.1 implica que

ax ≡ 1(m)

tiene una solucion q, y esta es unica modulo m.

Ejemplo 3.3

Ya que 52 = 25 ≡ 1(8), se ve que 5 es su propio inverso modulo 8. Oserveseque -3 y 13 tambien son inversos de 5 modulo 8; esto no constituye unainconsistencia ya que −3 ≡ 5 ≡ 13(8).Hasta aquı se ha trabajado una unica congruencia lineal, sin embargo, comoel caso de ecuaciones tambien se puede trabajar un sistema de congruenciaslineales, que es lo que se hara enseguida.Una solucion del sistema de congruencias

a1x ≡ b1(m1)a2x ≡ b2(m2)

...asx ≡ bs(ms)

es un entero que satisface cada congruencia en el sistema.Un ejemplo simple de tal sistema sucede en la solucion de la unica congruencialineal con modulo grande. Sea m con factorizacion

m = pe11 pe2

2 . . . pess ;

ya que peii |m se tiene que

A ≡ B(m)

si y solo sı cada una de las congruencias

A ≡ B(pe11 )

A ≡ B(pe22 )

...A ≡ B(pes

s )

se cumplen. De lo anterior se sigue que la congruencia

ax ≡ b(m)


tiene las mismas soluciones que el sistema de congruencias simultaneas

ax ≡ b(pe11 )

ax ≡ b(pe22 )

...ax ≡ b(pes

s )

Aunque existen varias congruencias a resolver en el anterior sistema, los mod-ulos son generalmente mucho mas pequenos que m, y, como se vera, el calculose ha simplificado.

Ejemplo 3.4

La congruencia3x ≡ 11(2275)

Ya que 2275 = 52 ∗ 7 ∗ 13 la congruencia anterior puede ser reemplazada porel siguiente sistema de congruencias lineales, con modulo pequeno

3x ≡ 11(25)3x ≡ 11(7)3x ≡ 11(13)

El teorema basico de existencia para sistemas de congruencias lineales es elTeorema Chino del Resto, el cual es nombrado ası en honor de Sun-Tsu,quien se cree fue el primer matematico que estudio casos especiales de esteteorema. El metodo de prueba proporciona ademas un algoritmo para con-struir las soluciones de un sistema de congruencias, a partir de las solucionesindividuales de cada congruencia en el sistema.

Teorema 3.2 (Teorema Chino del Resto) Supongase que m1, m2, . . . ,ms

son s enteros, primos relativos dos a dos. Sea M = m1m2 . . . ms, y supongaseque a1, a2, . . . , as son enteros tales que (ai, mi) = 1 para cada i. Entonces lass congruencias

a1x ≡ b1(m1)a2x ≡ b2(m2)

...asx ≡ bs(ms)

tienen una solucion simultanea que es unica modulo M .


Demostracion: De las soluciones de cada congruencia particular, se con-struira una comun al sistema. primero se escogen los enteros c1, c2, . . . , cs,tales que

aici ≡ bi(mi)

(El Teorema 3.1, garantiza la existencia de tales enteros). Ahora bien, Sea

ni =M

mi

, ya que los mi son primos relativos dos a dos, se tiene que (ni, mi) =

1. De aquı por el Corolario 5.1, existe un qi tal que niqi ≡ 1(mi). Sea

x0 = c1n1q1 + c2n2q2 + . . . + csnsqs

se mostrara que es una solucion de el sistema original de s congruencias.Primero, (por construccion de nj) notese que mi|nj exepto para j = i. Deaquı

aixo = aic1niq1 + aic2n2q2 + . . . + aiciniqi + . . . + aicsnsqs

≡ aiciniqi(mi)≡ aici(mi), (ya que niqi ≡ 1(mi))≡ bi(mi)

Por lo tanto x0 es una solucion de cada congruencia.Por otro lado si y es una solucion del sistema de s congruencias, entoncespor el Teorema 3.1, x0 ≡ ci ≡ y(mi). De aquı mi|(x0 − y) para cada mi;ya que los mi son primos relativos dos a dos, m1m2 . . . ms|(x0 − y), es decirM |(x0 − y). Por lo tanto x0 ≡ y(M).

Ejercicios 3.1

1. Dado que (a, m) = 1 y (a−1, m) = 1, Pruebe que 1+a+a2+. . .+aφ(m) ≡0(m).

2. Demuestre que si r1 + r2 + . . . + rφ(m) ≡ 0(m).

3. Encuentre el menor entero positivo x que satisfaga cada una de lassiguientes congruencias:

a) 356 ≡ x(7)

b) 738 ≡ x(11)

c) 7128 ≡ x(13)


4. Demuestre que si p ≡ 3(4), entonces el producto de todos los enterospares menores que p es congruente con 1 o −1 modulo p.

5. Encuentre todas las soluciones de los siguientes sistemas de congruen-cias:

a) x ≡ 1(3), x ≡ 1(2)

b) x ≡ 3(5), x ≡ 5(7), x ≡ 7(11)

c) 2x ≡ 1(5), 3x ≡ 2(7), 4x ≡ 3(11)

3.2. Breve Introduccion a la Teorıa de Grupos Anillosy Campos

En esta seccion se discutira algunas de las formas en las cuales los concep-tos elementales de la teorıa de numeros surgen en el algebra. La teorıa de losnumeros proporciona una variedad de ejemplos de las estructuras del agebraabstracta: Grupos Anillos y Campos. Antes de dar la definicion formal degrupo se revisa un poco el lenguaje usado. Las operaciones de “adicion” y“multiplicacion” se llaman “operaciones binarias” debido a que dos (o mas)elementos se suman o se multiplican para producir un tercer elemento.Lasustraccion de pares de elementos, a− b, la potenciacion ab tambien son op-eraciones binarias.Una operacion binaria ⊗ se dice que es unıvoca si para cada par de elementosa, b, a⊗ b tiene un valor unico o bien no esta definido.Por otro lado se dice que un conjunto A de elementos es “cerrado” respectoa una operacion ⊗, si a⊗ b esta definido y es un elemento del conjunto paratodo par de elementos a, b ∈ A.Un elemento e ∈ A es un elemento “identidad” respecto a la operacion ⊗ sise cumple que e⊗ a = a⊗ e,∀a ∈ A.Asumiendo la existencia del elemento identidad e, se dice que un elemento atiene un “inverso” a−1, si se cumple la propiedad a⊗ a−1 = a−1 ⊗ a = e.Se esta listo para la siguiente definicion: Definicion: Un grupo G es un con-junto de elemtos a, b, c, . . . en G junto con una operacion binaria unıvoca ⊗tal que

1. G es cerrado bajo la operacion ⊗,

2. Se cumple la ley asociativa a⊗+(b⊗ c) = (a⊗+b)⊗ c, ∀a, b, c ∈ G,


3. Existe un unico elemento identidad e en G,

4. Cada elemento a ∈ G tiene un inverso a−1 ∈ G.

Se dice que el grupo G es “abeliano” o “conmutativo” si a⊗b = b⊗a, ∀a, b ∈G. Un grupo G se dice finito si card(G) es finito; en caso contrario se dira queG es infinito. si G es finito, el card(G) recibe el nombre de “orden” del grupo.


4. ECUACIONES DIOFANTINAS

4.1. La ecuacion ax + by = c

En esta parte se hara uso especial del mcd, para probar una condicionnecesaria y suficiente para que la ecuacion ax + by = c tenga solucionesenteras.

Teorema 4.1 La ecuacion ax + by = c tiene soluciones en enteros si y solosı d|c, donde d = (a, b). Ademas, si u0, v0 es una solucion particular, lasolucion general tiene la forma:

x = u0 +b

dk, y = v0 −

a

dk, k ∈ Z

Demostracion: Por propiedades de divisibilidad d|ax+by, para toda pereja[x, y], ası que si d 6 |c, entonces la ecuacion no tiene soluciones en Z .Por otro lado, si d|, se sabe que existen enteros (propiedad lineal del mcd)u, v tales que au + bv = d, multiplicando ambos lados de esta ecuacion porcd

se tiene:

a(u

c

d

)+ b

(vc

d

)= c

de donde u0 =(u c

d

), v0 =

(v c

d

)es una solucion particular de la ecuacion.

Para poder encontrar todas las soluciones, supongase que (x, y) es una solu-cion arbitraria. entonces

ax + by = au0 + bv0

a(x− uo) = b(v0 − y)

de donde b|a(x − u0) por lo que bd|ad(x − u0), pero recordar que

(ad, b

d

)= 1 ,

por lo tanto bd|(x− u0).

Es decir x− u0 = bdk, para algun entero k, ası que x = u0 + b

dk.

Sutituyendo este valor en la ecuacion ax + by = c se tiene que

a(u0 +b

dk) + by = c,

by = c− au0 − ab

dk

by = bv0 − ba

dk


ası que y = v0 − adk ası pues se concluye que toda solucion entera se puede

expresar como

x = u0 +b

dk, y = v0 −

a

dk

Ejemplo 4.1

Encontrar todas las soluciones enteras de x+y = 2, 3x−4y = 5, 8x−12y = 48.No esta mal encontrar la solucion particular por simple inspeccion (si esto esfacil, claro), ası pues, notese que x = 1, y = 1, para la primera ecuacion, x =3, y = 1, para la segunda, finalmente para encontrar una solucion particularpara la tercera ecuacion, notese que por la propiedad lineal del mcd aplicadaa (12, 8) = 4, se tiene que 4 = 1 ∗ 12 + (−1) ∗ 8, multiplicando esta ecuacionpor 48/4, se obtiene 48 = 12 ∗ 12 + (−12) ∗ 8, o 48 = 8 ∗ (−12)− 12 ∗ (−12).Ası pues la solucion particular es x = −12, y = −12. Entonces las solucionesgenerales de estas ecuaciones estan dadas por

{x = 1 + ky = 1− k

,

{x = 3− 4ky = 1− 3k

,

{x = −12− 3ky = −12− 2k

Ejercicios 4.1

1. Si N = abc + 1, demostrar que (N, a) = (N, b) = (N, c) = 1.

2. Demostrar que (k, n + k) = 1 si y solo sı (k, n) = 1.

3. Demostrar que (k, n + k) = d si y solo sı (k, n) = d.

4. Demostrar que si x2 + ax + b = 0 tiene una raız entera, es un divisorde b.

5. Demostrar que n(n + 1) nunca es un cuadrado, para n > 1.

6. En un cine cobran 6 pesos a mayores, y 2.50 pesos a los menores. Enun cierto dıa se recaudaron 300 pesos y asistieron mas adultos quemenores. ¿cuales fueron los posibles numeros de asistentes?

7. Un hombre cobra un cheque por d dolares y c centavos en un banco.El cajero, por error, le da c dolares y d centavos. El hombre no se dacuenta hasta que gasta 23 centavos y ademas se da cuenta que en esemomento tiene 2d dolares y 2c centavos. ¿Cual era el valor del cheque?


8. Un hombre compro doce piezas de fruta (manzanas y naranjas) por 99centavos. Si una manzana cuesta 3 centimos mas que una naranja, ycompro mas manzanas que naranjas, ¿cuantas compro de cada una?

9. En una clase de teorıa de numeros hay estudiantes de segundo, tercery cuarto curso. Si cada estudiante de segundo curso contribuye con $1.25, cada uno de tercero con $ 0.90 y cada uno de cuarto con $ 0.50,el instructor recibira una paga de $ 25. Hay 26 estudiantes; ¿cuantoshay de cada grado?

4.2. La ecuacion x2 + y2 = z2

En esta seccion se trata con uno de los problemas mas antiguos de la teorıade numeros, esto es, hallar todos los triagulos rectangulos cuyos lados sonenteros, es decir hallar todas las soluciones enteras positivas de la ecuacion

x2 + y2 = z2

Se hara uso del siguiente resultado: “Todo cuadrado perfecto es de la forma4k o de la forma 4k + 1”Se dice que una terna x, y, z es un triple pitagorico si cumple que x2 +y2 = z2

Ya que se decea resolver la ecuacion x2 + y2 = z2 en esteros positivos, con-siderese una solucion x, y, z de este tipo. Sea d = (x, y), entonces es claro qued|z2, de donde d|z, y ya que (x, y, z) = ((x, y), z) se tiene que d = (x, y, z).Ası pues d = (x, y, z) = (x, y) = (x, z) = (y, z) y(x

d

)2

+(y

d

)2

=(z

d

)2

con(x

d,y

d

)=

(x

d,z

d

)=

(y

d,z

d

)= 1

Una solucion x1, y1, z1 de la ecuacion, que cumpla que estos tres son relativa-mente primos dos a dos recibe el nombre de solucion primitiva. Notese quetoda solucion x, y, z puede escribirse en la forma dx1, dy1, dz1, donde x1, y1, z1

es una solucion primitiva. Recıprocamente, si x1, y1, z1 es una solucion prim-itiva, entonces dx1, dy1, dz1 es una solucion si d es cualquier entero positivo.Por tanto solo es necesario obtener las soluciones primitivas, que es lo que sehace a continuacion. Notese que x y y no pueden ser de la misma paridad,ya que ambos no pueden ser pares, y si ambos fuesen impares se tendrıa quez2 serıa de la forma 4k + 2, algo imposible.Supongase pues (sin perdida de generalidad) que y es par, x y z impares.Entonces

y2 = z2 − x2


dividiendo esta ecuacion por 4 se tiene(z + x

2

) (z − x

2

)=

(y

2

)2

(8)

es facil darse cuenta que z + x y z − x son ambos pares. Ademas, porpropiedades de divisibilidad es claro que(

z + x

2,z − x

2

) ∣∣∣∣(z + x

2+

z − x

2

)= z(

z + x

2,z − x

2

) ∣∣∣∣(z + x

2− z − x

2

)= x

por tanto, ya que (x, y) = 1(z + x

2,z − x

2

)= 1

y como el producto

(z + x

2

) (z − x

2

)es un cuadrado perfecto, cada uno

de estos dos factores debe ser un cuadrado perfecto, es decir:z + x

2= s2,

z − x

2= t2. Notese que s > t > 0; ademas, (s, t) = 1, y resolviendo el sistema

z + x

2= s2,

z − x

2= t2,

se tiene {x = s2 − t2,z = s2 + t2,

reemplazando en y2 = z2 − x2 se obtieney2 = (s2 + t2)2 − (s2 − t2)2,

= 4s2t2,y = 2st

para terminar, notese que si s y t fuesen de la misma paridad, se tendrıa quex y z serıan ambos pares, contradiciendo el hecho que (x, z) = 1. Recıproca-mente, por sustitucion directa se verifica que los tres numeros x = s2 − t2,y = 2st, z = s2 + t2 satisfacen la ecuacion pitagorica x2 + y2 = z2. Ası se hademostrado el siguiente teorema.


Teorema 4.2 Todas las soluciones primitas positivas de la ecuacion x2 +y2 = z2, donde x es impar e y es par, estan dadas por

x = s2 − t2,y = 2st,z = s2 + t2

para cualesquiera s, t enteros que satisfagan las condiciones siguientes:

(a) s > t > 0,

(b) (s, t) = 1,

(c) s y t tienen distinta paridad

4.3. La ecuacion x4 + y4 = z2

En esta seccion interesa encontrar soluciones para la ecuacion x4+y4 = z2

en enteros positivos. Se puede restringir la busqueda a soluciones x, y, zpara las cuales (x, y) = 1, como se hizo en la seccion anterior. Ahora bien(x2)2 + (y2)2 = z2 donde x2, y2, z es una solucion primitiva de la ecuacion ende la seccion anterior.Sin perdida de generalidad puede suponerse que y2 es par, demanera que yes par. Ası que existen dos enteros m,n tales que x2 = m2 − n2, y2 = 2mn,z = m2 + n2, m > n > 0, (m, n) = 1 y m y n son de distinta paridad. Sim fuera par, entonces n serıa impar y se tendrıa x2 ≡ 0 − 1(4). Lo cual esimposible, por lo cual m es impar y n es par. Observese que(y

2

)2

= m ∗ n

2,

(m,

n

2

)= 1,

ası que existen enteros r, s tales que

m = r2,n

2= s2, y = 2rs, (r, s) = 1, r > 0, s > 0, r impar.

Ademas, x2 + n2 = m2 obteniendo que x2 + 4s4 = r4. Notando ue r, 2s=1,se puede aplicar la teorıa de la seccion anterior a esta ecuacion. Ası pues,existen enteros t y w tales que

x = t2 − w2, 2s2 = 2tw, r2t2 + w2, (t, w) = 1, t > w > 0.


Ya que tw = s2, puede escribirse t = f 2, w = g2 para algunos f > 0, g > 0,(f, g) = 1. Entonces se tendrıa que r2 = f 4 + g4, ¡pero esta ecuacion tinela misma forma que la ecuacion original!. Ası que en el afan de tratar dereducir la ecuacion original a algo mas sencillo se ha llegado a una ecuacionque tiene la misma forma. Cualquiera dirıa que no se ha ganado algo, pero esposible que sı. Observese que se inicio con la solucion x, y, z y se finalizo conla solucion f, g, r, puede verse que se ha encontrado una solucion diferente,en efecto, z = m2 + n2 = r4 + 4s4 > r4, de modo que z > r y f, g, r es unasolucion diferente. Mas que esto, se obtenido una solucion con z > r > 0.Ahora bien, si se aplica la misma reduccion completa a la nueva solucion seobtendra otra solucion f1, g1, r1, con r > r1 > 0. Si se continua este procesose obtiene una sucesion completa de soluciones con correspondientes ri talesque r > r1 > r2 > . . . > 0, en donde todos los ri son enteros, ası se debetener que rr ≤ 0. Por lo tanto la suposicion de que hubiera una solucion haconducido a una contradiccion.Se ha demostrado pues que la ecuacion no tiene solucion x, y, z en enterospositivos con (x, y) = 1.Por otro lado si x, y, z fuera cualquier solucion entera de la ecuacion con

xy 6= 0, entonces|x|d

,|y|d

,|z|d2

donde d = (x, y) serıa una solucion en enteros

positivos con

(|x|d

,|y|d

)= 1.

Por lo tanto, cualquier solucion x, y, z sera tal que xy = 0. Con todo loanterior se ha probado el siguiente teorema

Teorema 4.3 Las unicas soluciones enteras de x4 + y4 = z2 son las solu-ciones triviales x = 0, y, z = ±y2, y x, y = 0, z = ±x2.

La tecnica usada en la demostracion anterior se conoce como “demostracionpor descenso” o bien “metodo del descenso infinito de fermat”, claramentese basa en el principio de buena ordenacion.A partir del hecho de que la ecuacion x4 +y4 = z2 no tiene soluciones enteraspositivas es facil darse cuenta que la ecuacion x4 + y4 = z4 tampoco tendra.Este no es mas que un caso particular de la famosa conjetura de Fermat queestablece que para n > 2, las ecuaciones xn + yn = zn no tienen solucionesenteras diferentes de las triviales en las cuales una de las variables es cero.


4.4. Suma de Cuatro Cuadrados

En esta seccion se probara que si n ∈ Z +, entonces existen enteros xj

(j = 1, 2, 3, 4), tales que n = x21 + x2

2 + x23 + x2

4; es decir todo entero positivopuede ser escrito como una suma de cuatro cuadrados. Para probar esto esimportante la siguiente identidad:

Lema 4.14∑

j=1

x2j

4∑j=1

y2j = (x1y1 + x2y2 + x3y3 + x4y4)

2

+ (x1y2 − x2y1 + x3y4 − x4y3)2

+ (x1y3 − x3y1 + x4y2 − x2y4)2

+ (x1y4 − x4y1 + x2y3 − x3y2)2

A partir del lema 4.1 sera suficiente probar que todo primo puede ser ecritocomo una suma de cuatro cuadrados. Ya que 2 = 12 + 12 + 02 + 02, serestringira el analisis a primos impares.

Lema 4.2 Si p es un primo impar, entonces existen a, b ∈ Z tales que

0 ≤ a ≤ p− 1

2, 0 ≤ b ≤ p− 1

2, y a2 + b2 + 1 ≡ 0(p).

Demostracion: Considerense los conjuntos

A =

{a2 : a = 0, 1, . . . ,

p− 1

2

}B =

{−b2 − 1 : b = 0, 1, . . . ,

p− 1

2

}Es claro que ningun par de elementos de A son congruentes entre sı modulo p,ya que si a2

i ≡ a2j(p), entonces ai − aj ≡ 0(p) o ai + aj ≡ 0(p). Si ai ≡ aj(p),

entonces ai = aj, ya que 0 ≤ ai, aj ≤ p− 1

2; si ai + aj ≡ 0(p), entonces

ai = aj = 0. De manera Analoga se establece que ningun par de elementosde B son congruentes entre sı modulo p. Pero el conjunto A ∪B tiene p + 1elementos, ası que algun a2 ∈ A es congruente modulo p a algun −b2−1 ∈ B.Es decir a2 + b2 + 1 ≡ 0(p).De el lema anterior se tiene que a2 + b2 + 1 = kp, para algun entero k > 0;Tanbien ya que

0 < kp = a2 + b2 ≤ 2

(p− 1

2

)2

+ 1 < p2,


k < p. Se ha estalecido el siguiente resultado: Existen xj ∈ Z (j = 1, 2, 3, 4)tales que

kp =4∑

j=1

x2j , (9)

0 < k < p, y xj 6≡ 0(p) para al menos un xj.Si logra mostrar que el menor k para el cual (9) es fija es k = 1, entoncesse habra demostrado que todo primo impar p es expresable como lasuma decuatro cuadrados.Sea m el menor entero positivo k para el cual (9) es fija.Supongase que m > 1. Si m es par, entonces se puede asumir que

x1 ≡ x2(2) y x3 ≡ x4(2).

Es decir, si m es par, entonces ninguno, dos, o cuatro de los xj son pares,ası (9) se puede reescribir de la siguiente forma, (tomando m = k)(

x1 + x2

2

)2

+

(x1 − x2

2

)2

+

(x3 + x4

2

)2

+

(x3 − x4

2

)2

=m

2p

Pero entonces se tiene quem

2p se puede representar como una suma de cuatro

cuadrados; a partir de la manera como se escogio m y de (9) se puede concluirque

x1 + x2

2≡ x1 − x2

2≡ x3 + x4

2≡ x3 − x4

2≡ 0(p).

Pero entoncesx1 + x2

2± x1 − x2

2≡ 0(p)

De donde x1 ≡ x2 ≡ 0(p); similarmente, x3 ≡ x4 ≡ 0(p), pero esto contradice(9). Por lo tanto m es impar.Se tiene pues que m ≥ 3 e impar, se puede encontrar yj en un absolutamentemenor SCR modulo m, es decir |yj| < m/2, tal que yj ≡ xj(p) para j =1, 2, 3, 4, esto quiere decir que existe mj tal que

yj = xj + mjm, j = 1, 2, 3, 4. (10)


Ahora4∑

j=1

y2j =

4∑j=1

x2j + 2m

4∑j=1

xjm+j m2

4∑j=1

m2j

≡4∑

j=1

x2j(m)

Por lo tanto, Para algun M se tiene que Mm =∑

y2j . Ya que |yj| < m/2,

0 ≤ Mm < 4(m/2)2 = m2.

Si M = 0, entonces yj = 0 para todo j. Pero entonces de (10), xj = −mjm,y de (9) se tiene que mp = m2

∑(−mj)

2, o m|p, lo cual es imposible. Por lotanto, 0 < Mm < m2, ası 0 < M < m.Ahora se tiene

∑x2

j = mp,∑

y2j = Mm, y 0 < M < m < p. Sea

w1 = x1y1 + x2y2 + x3y3 + x4y4

w2 = x1y2 − x2y1 + x3y4 − x4y3

w3 = x1y3 − x3y1 + x4y2 − x2y4

w4 = x1y4 − x4y1 + x2y3 − x3y2

y usando el lema 4.1 se encuentra que

4∑j=1

w2j = Mm2p. (11)

Notese que w1 =∑

xjyj =∑

xj(xj + mjm) =∑

x2j + m

∑xjyj ≡ 0(m).

Analogamente, se establece que w2 ≡ w3 ≡ w4 ≡ 0(m). Escribiendo wj =Wjm y de (11) se tiene

∑W 2

j = Mp. De (9) se concluye que Wj ≡ 0(p), j =1, 2, 3, 4. Ası escribiendo Wj = Djp; entonces Mp =

∑W 2

j = p2∑

D2j , de lo

cual se tiene que p|M , pero esto es imposible. De aquı m = 1 y todo primoes la suma de cuatro cuadrados.El lema 4.1 junto con el lema 4.2 demuestran el siguiente Teorema

Teorema 4.4 Todo entero positivo puede ser escrito como la suma de cuatrocuadrados


5. FUNCIONES ARITMETICAS

5.1. La Funcion Parte Entera

La funcion Parte Entera no forma parte del conjunto de “Funciones Ar-itmeticas”, sin embargo, se abordara su estudio ya que es de mucha impor-tancia en la teorıa de numeros, su ubicacion aquı es con el unico propositode que quede junto con las otras funciones de Teorıa de Numero que se re-visaran.Sea x un numero real cualquiera, el sımbolo dxe denotara el mayor enteroque es menor o igual a x. Ası por ejemplo d3,0006e = 3, dπe = 3, d−πe = −4,d−5,83e = −6. La funcion f tal que f(x) = dxe, se llama funcion parte enteray es muy importante en teorıa de numeros. Notese que el dominio de f es elconjunto de numeros reales, y su rango es el conjunto de numeros enteros. Elteorema siguiente enuncia las propiedades mas relevantes de dicha funcion.

Teorema 5.1 Sea x cualquier numero real:

1. x− 1 < dxe ≤ x, dxe ≤ x < dxe+ 1, 0 ≤ x− dxe < 1.

2. Si n ∈ Z , dx + ne = dxe+ n.

3. dxe+ dye ≤ dx + ye ≤ dxe+ dye+ 1.

4. dxe+ d−xe =

{0 si x es un entero−1 si x no es un entero

5.

⌈dxem

⌉=

⌊ x

m

⌉6. −d−xe es el menor entero mayor o igual que x.

5.2. La Funcion φ(n)

Cualquier funcion cuyo dominio es algun subconjunto de los numeros en-teros es llamada una Funcion Aritmetica.Para algunas demostraciones de esta seccion se utilizaran argumentos com-binatorios.

Ejemplo 5.1 Sea p primo, determine φ(pm).


Claramente hay pm−1 enteros positivos menores o iguales que p que no sonprimos relativos con pm, estos son: p, 2p, 3p, . . . , pm−1p. Por lo tanto, existenpm−pm−1 enteros positivos menores que y primos relativos con pm. De maneraque

φ(pm) = pm − pm−1 = pm

(1− 1

p

).

Teorema 5.2 Supongase que a toma valores en un sistema completo deresiduos modulo m, y que a′ toma valores en un sistema completo de residuosmodulo m′, con (m,m′) = 1, entonces am′ +a′m toma valores en un sistemacompleto de residuos modulo mm′

Demostracion: Primero, notese que existen mm′ numeros de la forma am′+a′m. Si aim

′+a′im ≡ ajm

′+a′j(mm′), entonces mm′|[(a′

1−a′2)m+(a1−a2)m

′],de aquı se tendrıa que m′|(a′

1 − a′2)m y m|(a1 − a2)m

′, es decir a′1m

′ ≡a′

2m′(m) y a1m

′ ≡ a2m′(m), es decir a′

1 ≡ a′2(m) y a1 ≡ a2(m

′), obteniendoseuna contradiccion. Ası pues los mm′ numeros son incongruentes entre sı,formando un sistema completo de residuos modulo mm′.Una funcion f(m) se dice multiplicativa, si (m,m′) = 1 implica f(mm′) =f(m)f(m′). Del anterior Teorema es trivial probar el siguiente Corolario.

Corolorario 5.1 φ(n) es multiplicativa.

Demostracion: Por el teorema anterior, am′ +a′m recorre un sistema com-pleto de residuos modulo mm′ cuando a y a′ recorren sistemas completos deresiduos modulo m y m′, respectivamente. Por otro lado

(am′ + a′m, mm′) = 1 ≡ [(am′ + a′m, m) = 1] ∗ [(am′ + a′m,m) = 1]≡ [(am′, m) = 1] ∗ [(a′m, m′) = 1]≡ [(a, m) = 1] ∗ [(a′, m′) = 1]

De aquı los φ(mm′) numeros menores que y primos con mm′ son los menoresresiduos positivos de los φ(m)φ(m′) valores de am′ + a′m para los cuales aes primo a m y a′ a m′; y por lo tanto

φ(mm′) = φ(m)φ(m′)

Es importante que m y n sean primos relativos. Efectivamente, φ(2) = 1 yφ(22) = 2 6= φ(2)φ(2).


Teorema 5.3 Si n > 1 entonces φ(n) = n∏p|n

(1− 1

p).

Observacion: El sımbolo∏p|n

denota el producto del conjunto de todos los

primos que dividen a n. De manera analoga, mas adelante∑d|n

φ(d) deno-

tara la suma de los valores de la funcion φ tomada para todos los divisoresde n.Demostracion: Si n > 1 puede escribirse n = pm1

1 pm22 . . . p

mj

j .

Ahora bien, (pmii , p

mi+1

i+1 pmi+2

i+2 . . . pmj

j ) = 1 para i = 1, 2, . . . , j − 1. Aplicandoel Corolario 5.1 r − 1 veces, se tiene

φ(n) =r∏

i=1

φ(pmii )

Recuerdese que φ(pm) = pm − pm−1, por lo tanto

φ(n) =r∏

i=1

pimi

(1− 1

pi

)= n

r∏i=1

(1− 1

pi

)= n

∏p|n

(1− 1

p

)Ejemplo 5.2

Del Ejemplo 5.1, es facil ver que

1+φ(p)+φ(p2)+ . . .+φ(pm) = 1+(p−1)+(p2−p)+ . . .+(pn−pn−1) = pm

El siguiente Teorema es una generalizacion del ejemplo anterior.

Teorema 5.4∑d|n

φ(d) = n

Demostracion: Sea Sn = {1, 2, . . . , n}, evidentemente card(Sn) = n.Para cada d que divida a n, sea Dd(n) = {m ∈ Z +, m ≤ n : (m, n) = d}.Por ejemplo, tomando n = 6, D1(6) = {1, 5}, D2(6) = {2, 4}, D3(6) = {3},D4(6) = ∅, D5(6) = ∅, D6(6) = {6}. No es difıcil darse cuenta que para cadan los Dd(n) son conjuntos disjuntos. Ademas para cada m ∈ Sn, m ∈ Dd(n),donde (m,n) = d. En consecuencia

n = card(Sn) =∑d|n

card(Dd(n))


Ahora se mostrara que card(Dd(n)) = φ(n/d). Notesse que todo los elementosde Dd(n) son multiplos de d, y son menores o iguales que n. De aquı loselementos de Dd(n) se encuentran entre los numeros d, 2d, . . . , (n/d)d. Perosi (a, n/d) = x, entonces claramente (ad, n) = xd, y xd = d si y solo sı x = 1.Por lo tanto, los unicos ad ∈ Dd(n) son aquellos para los cuales (a, n/d) = 1,por definicion de la funcion φ existen φ(n/d) de tales numeros. De donde

n = card(Sn) =∑d|n

card(Dd(n)) =∑d|n

φ(n/d)

pero notese que ∑d|n

φ(n

d

)=

∑d|n

φ(d)

Queda pues demostrado el teorema.

5.3. Formulas para d(n) y σ(n)

En esta seccion se encontraran formulas para el numero d(n) de divisoresde n, y la suma σ(n) de estos divisores. Como en el caso de la funcion φ(n)estas funciones son facilmente evaluadas cuando n es una potencia de unprimo.

Ejemplo 5.3

Si p denota un primo, entonces los unicos divisores de p son 1 y p. Dequı d(p) = 1 y σ(p) = p + 1. De manera as general, lo divisores positivos depn son 1, p, p2, . . . , pn, De manera que d(pn) = n + 1 y

σ(pn) = 1 + p + p2 + . . . + pn

=pn+1 − 1

p− 1, por Teorema 1.1

El siguiente Teorema establece las formulas generales para d(n) y σ(n)

Teorema 5.5 Si n = pm11 pm2

2 . . . pmj

j , entonces

d(n) = (m1 + 1)(m2 + 1) . . . (mj + 1)

y

σ(n) =pm1+1

1 − 1

p1 − 1

pm2+12 − 1

p2 − 1. . .

pmj+1j − 1

pj − 1


Demostracion: Para d(n) se dara un argumento combinatorio: Si n > 1,n = pm1

1 pm22 . . . p

mj

j , es decir cada primo pi aparece mi veces, luego cadadivisor de n esta formado por productos de potencias de los primos queaparecen en la descomposicion canonica de n. De manera que para el primopi se tienen (mi + 1) opciones: no escogerlo, escogerlo una vez, escogerlo dosveces, y ası sucesivamente hasta escogerlo mi veces. Por la regla del productose podran construir (m1 + 1)(m2 + 1) . . . (mj + 1) divisores. Es decir

d(n) = (m1 + 1)(m2 + 1) . . . (mj + 1)

(si no se escoge ningun primo se obtiene el devisor 1).

Por otro lado, por el ejemplo 5.3, σ(pmii ) =

pmi+1i − 1

pi − 1, ası ocupando de nuevo

la regla del producto ya que n = pm11 pm2

2 . . . pmj

j se tendra que

σ(n) =pm1+1

1 − 1

p1 − 1

pm2+12 − 1

p2 − 1. . .

pmj+1j − 1

pj − 1

Ahora se define la funcion de mobius µ(n) muy importante para ciertos re-sultados en teorıa de numeros.Definicion:

µ(n) =

1 si x = 10 si p2|n para algun primo p

(−1)r si n = p1p2 . . . , pr donde los pi son primos distintos

Ejemplo 5.4

µ(2) = −1, µ(3) = −1, µ(4) = 0, µ(6) = 1.

Teorema 5.6 φ(n) =∑d|n

µ(d)n

d.

Demostracion: Se deja como ejercicio.El siguiente corolario es evidente a partir del Teorema 5.6

Corolorario 5.2 Si n = pm11 pm2

2 . . . pmj

j , entonces

d(d) = d(pm11 )d(pm2

2 ) . . . d(pmj

j )


Ejercicios 5.1

1. Pruebe que las funciones φ(n), σ(n), µ(n), d(n) son funciones aritmeticasmultiplicativas.

2. Pruebe que d(n) es impar si y solo sı n es un cuadrado perfecto.

3. Muestre que∏d|n

d = dd(n)/2

4. Pruebe que el numero de maneras de escribir n como suma de enterosconsecutivos es igual a d(m) donde m es el mayor impar dividiendo m.

5. Muestre que σ(n) ≡ d(m)(2), donde m es el mayor factor impar de n.

6. Suponga que f(n) y g(n) son multiplicativas y que f(pr) = g(pr) paracada r y cada primo p. Pruebe que f(n) = g(n) para todo n.

7. Muestre que si φ(n)|n − 1, entonces no existe ningun primo p tal quep2|m.

8. C. Goldbach conjeturo que todo numero par mayor que 2 es la sumade dos primos. P. Erdos conjeturo que, para cualquier numero par 2n,existen enteros q y r tales que φ(q) + φ(r) = 2n. ¿La conjetura deGoldbach implica la de Erdos?


6. CONGRUENCIAS CUADRATICAS

Hasta aquı se ha resuelto completamente la congruencia lineal

ax ≡ b(m)

Esta seccion sera dedicada al estudio un tanto avanzado de congruencias queenvuelvan polinomios cuadraticos. Se iniciara con la mas simple de estas:

x2 ≡ a(p)

donde p es un primo. Se probara un importante teorema debido a Gauss, asaber la Ley de Reciprocidad Cuadratica.El estudio de congruencias cuadraticasse puede ver como la relacion entre los aspectos multiplicativos y los aditivosde la teorıa de numeros.Ya se probo que los elementos de un sistema reducido de restos modulo mforman un grupo bajo la operacion multiplicacion.Ya que estudios posteriores, requieren familiaridad con la estructura de estegrupo, se revisaran un par de resultados los sitemas reducidos de restos modu-lo p, donde p es un primo.

Ejemplo 6.1

Notese que φ(10) = 4, ademas {1, 3, 7, 9} es un sistema reducido de restosmodulo 10. Ya que

31 = 3 ≡ 3(10)32 = 9 ≡ 9(10)33 = 27 ≡ 7(10)34 = 81 ≡ 1(10)

71 = 7 ≡ 7(10)72 = 49 ≡ 9(10)73 = 343 ≡ 3(10)74 = 2401 ≡ 1(10)

Se tiene que {3, 32, 33, 34} y {7, 72, 73, 74} son tambien sistemas reducidos derestos modulo 10En el ejemplo anterior 4 = φ(10) es el menor entero h para el cual gh ≡ 1(10),donde g = 3, 7.Definicion: Si h es el menor entero positivo tal que ah ≡ 1(m) se dice quea pertenece al exponente h modulo m.

Teorema 6.1 La congruencia ab ≡ 1(m) se satisface para algun entero b siy solo sı (a, m) = 1.


Demostracion: Supongase que ab ≡ 1(m), sea d = (a, m), evidentemente sid|a y d|m entonces d|(ab − 1), de donde se tiene que d|1, por lo tanto d = 1.Por otro lado, si (a, m) = 1, por el teorema de Euler aφ(m) ≡ 1(m) ası bastatomar b = φ(m).

Teorema 6.2 Si a petenece al exponente h modulo m, y ar ≡ 1(m), entoncesh|r.Demostracion: Por el lema de la division de Euclides r = hq + s, con0 ≤ s < h, de aquı

1 ≡ ar

≡ ahq+s

≡ (ah)qas

≡ as(m)

de donde s = 0, ya que por definicion h es el menor entero positivo tal queah ≡ 1(m). Por lo tanto h|r.Definicion: Si g es un entero pertenciendo al exponente φ(m) modulo m,entonces g es llamada una raız primitiva modulo m.

Teorema 6.3 Si g es una raız primitiva modulo m, entonces {g, g2, . . . , gφ(m)}.son mutuamente incongruentes y forman un sistema reducido de rstos modu-lo m.

Demostracion: Evidentemente hay φ(m) elementos, (gi, m) = 1, i = 1, 2, . . . , φ(m).Ahora supongase que

gt ≡ gs

con 1 ≤ s < t ≤ φ(m) entonces m|(gt−gs), es decir m|gs(gt−s−1) de aquı porel teorema 1.6 m|(gt−s − 1), de donde gt−s ≡ 1(m). Pero t− s < φ(m), con-tradiciendo el hecho de que g pertenece al exponente φ(m).

Teorema 6.4 Si a pertenece al exponente h modulo m y (k, h) = d, entoncesak petenence al exponente h/d modulo m.

Corolorario 6.1 Si g es raız primitiva modulo m, entonces gr es una raızprimitiva modulo m si y solo sı (r, φ(m)) = 1.

Teorema 6.5 Si Existe alguna raız primitiva modulo m, existen exacta-mente φ(φ(m)) raıces primitivas no congruentes entre sı.

Teorema 6.6 Para cada primo p, existen raıces primitivas modulo p.


6.1. Residuos Cuadraticos-Criterio de Euler

Despues de la congruencia ax ≡ b(m) la congruencia mas simple es:

x2 ≡ b(m) (12)

En donde la habilidad que se tenga para resolver (12) posibilitara determinarcuando una congruencia cuadraticca de la forma

ax2 + bx + c ≡ 0(n)

tiene solucion.Primero se obtendra un metodo para determinar cuando la congruencia

x2 ≡ a(p) (13)

con p primo y (a, p) = 1, tiene solucion. Si (13) con las condiciones dadastiene una solucion, se dice que a es un residuo cuadratico modulo p.

Ejemplo 6.2

Los residuos cuadraticos modulo 7 son: 1, 4, y 9. Evidentemente cualquierotro entero congruente a alguno de estos modulo 7 es tambien un residuocuadratico modulo 7.

Teorema 6.7 El numero a es un residuo cuadratico modulo p si y solo sı

ap−12 ≡ 1(p)

Demostracion: Si a es un residuo cuadratico modulo p, existe un entero ytal que

y2 ≡ a(p)

ya que p 6 |a, se tiene que p 6 |y, de donde

ap−12 ≡ (y2)

p−12 ≡ yp−1 ≡ (p)

por el teorema de Euler.Por el otro lado, supongase que

ap−12 ≡ 1(p)


sea g una raız primitiva modulo p. Entonces existe un entero r tal que

gr ≡ a(p),

y ası

gr p−12 ≡ a

p−12 ≡ 1(p).

Aquı se debe tener p − 1|rp− 1

2, de manera que

r

2debe ser entero, es decir

r = 2s, donde s es un entero. ası, si x = gs, entonces

x2 ≡ g2s ≡ gr ≡ a(p)

Lo cual establece el ası llamado criterio de Euler.La prueba del anterior teorema provee un importante corolario:

Corolorario 6.2 Sea g una raız primitiva modulo p, y (a, p) = 1. Sea rcualquier entero tal que gr ≡ a(p). Entonces r es par si y solo sı a es unresiduo cuadratico modulo p.

6.2. El Sımbolo de Legendre

Ahora se introduce el sımbolo de Legendre

(a

p

), el cual simplifica grande-

mente los calculos en problemas sobre residuos cuadraticos.Definicion: Si p es un primo distinto de dos, entonces

(a

p

)=

1 si a es un residuo cuadratico modulo p0 si p|a−1 en otro caso

Teorema 6.8 Si p es un primo distinto de 2 y a y b son relativamente primosa p, entonces

(a

p

)=

(b

p

), si a ≡ b(p) (14)

(ab

p

)=

(a

p

) (b

p

)(15)


ap−12 ≡

(a

p

)(p) (16)

Demostracion: (14) se sigue directamente a partir de la definicion de

(a

p

),

mientras que (15) se sigue a partir del corolario anterior.Ahora para (16), notese que si a es un residuo cuadratico modulo p, entoncesel Teorema 14 implica que

ap−12 ≡ 1 =

(a

p

)(p).

Si p|a, entonces

ap−12 ≡ 0 =

(a

p

)(p).

Finalmente, si p 6 |a, entonces ap−12 ≡ ±1(p), ya que

ap−1 ≡ 1(p).

De donde, si (a, b) = 1 y a no es un residuo cuadratico modulo p, se tieneque

ap−12 ≡ −1 =

(a

p

)(p).

La definicion del sımbolo de Legendre( a

m

)se generaliza al caso donde m es

cualquier numero impar, ası:Si m = p1P2 . . . pr, donde los pi son primos impares (no necesariamente dis-tintos), entonces ( n

m

)=

(n

p1

) (n

p2

). . .

(n

pr

).

Este sımbolo ası extendido es llamado el sımbolo de Jacobi

6.3. La Ley de Reciprocidad Cuadratica

Un famoso Teorema llamado La Ley de Reciprocidad Cuadratica debido aGauss, permite resolver a lo sumo todas las congruencias cuadraticas. Se diceque este Teorema desconcerto a grandes matematicos tales como L. Euler yA. Legendre. Este es de los grandes Teoremas de Gauss y lo demostro cuando


solo tenıa 19 anos, dando al menos 6 diferentes pruebas. Se probara primeroun Teorema llamado el Lema de Gauss.Definicion: El menor residuo de n modulo m es el entero x que perteneceal sistema completo de residuos modulo m absolutamente menor dado por{⌈

−m + 2

2

⌉,

⌈−m + 2

2

⌉+ 1, . . . ,−1, 0, 1, . . . ,

⌈m

2

⌉}, y se denotara por LRm(n).

Ejemplo 6.3

El Conjunto {−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} es un sistema completo deresiduos modulo 11 absolutamente menor. Ası LR11(21) = −1, LR11(99) =0, LR11(60) = 5.Definicion: Se define el sgn(x) (leıdo el signo de x) por

sgn(x) =

1 si x > 0,0 si x = 0,

−1 si x < 0.

Teorema 6.9 [Lema de Gauss]: Sea (m, p) = 1, donde p es un primo dis-tinto de dos, y sea µ el numero de enteros en el conjunto{

m, 2m, . . . ,p− 1

2m

}cuyos menores residuos modulo p son negativos. Entonces(

m

p

)= (−1)µ.

Demostracion: Es claro que (jm, p) = 1 para j = 1, 2, . . . ,p− 1

2m. Ahora

para cualquier n,

nm ≡ LRp(nm) = sgn(LRp(nm))|LRp(nm)|(p).

ya que 0 < |LRp(nm)| < p/2, se tiene que si n toma todos los valores enteros

1, 2, . . . ,p− 1

2, tambien |LRp(nm)| los toma. De aquı

m(2m)(3m) . . . ((p−1)/2)m ≡ {sgn(LRp(m))|LRp(m)|}{sgn(LRp(2m))|LRp(2m)|} . . .

{sgn(LRp((p− 1)m/2))|LRp((p− 1)m/2)|}(p),


o

m(2m)(3m) . . . ((p−1)/2)m ≡ {sgn(LRp(m))sgn(LRp(2m)) . . . sgn(LRp((p−1)m/2))}

{|LRp(m)||LRp(2m)| . . . |LRp((p− 1)m/2)|}(p)

es decir (p− 1

2

)!m

p−12 ≡

≡ {sgn(LRp(m))sgn(LRp(2m)) . . . sgn(LRp((p− 1)m/2))}(

p− 1

2

)!(p).

Aplicando el Teorema 2.3, se tiene

mp−12 ≡ {sgn(LRp(m))sgn(LRp(2m)) . . . sgn(LRp((p− 1)m/2))}(p).

Pero

mp−12 ≡

(m

p

)(p),

por el Teorema 6.5 y

(−1)µ = {sgn(LRp(m))sgn(LRp(2m)) . . . sgn(LRp((p− 1)m/2))}.

De donde (m

p

)≡ (−1)µ(p)

ya que cada lado de esta congruencia es igual a 1 0 −1, y siendo p > 2,(m

p

)= (−1)µ(p).

Ahora se prueba el Teorema que tanto se estaba esperando!

Teorema 6.10 [Ley de Reciprocidad Cuadratica]: Si p y q son primos im-

pares distintos, entonces

(p

q

)=

(q

p

)excepto que p ≡ q ≡ 3(4), en dicho

caso

(p

q

)6=

(q

p

)


Demostracion: Sea µ1 el numero de enteros en el conjunto{q, 2q, . . . ,

p− 1

2q

}con menor residuo modulo p negativo. Analogamente se µ2 el numero deenteros en el conjunto {

p, 2p, . . . ,q − 1

2p

}con menor residuo modulo q negativo. Por el Lema de Gauss, se tiene que(

q

p

)= (−1)µ1 y

(p

q

)= (−1)µ2 . Pero notese que

(p

q

)=

(q

p

)si y solo

sı

(p

q

) (q

p

)= 1, ası pues

(p

q

)=

(q

p

)si y solo sı

(−1)µ1+µ2 = 1.

De lo anterior, para probar el Teorema, se debe mostrar que µ1 +µ2 es imparsi y solo sı p ≡ q ≡ 3(4).Se procedera geometricamente, ası: Primero se contaran los puntos latices(esto es, puntos cuyas coordenadas son enteros) dentro de cierto hexagono,mostrando que existe un numero impar de puntos latices en dicho hexagono siy solo sı p ≡ q ≡ 3(4). Segundo, se mostrara que existen µ1+µ2 puntos laticesdentro del hexagono. Ası pues juntando estas dos cuentas, se mostrara queµ1 + µ2 es impar si y solo sı p ≡ q ≡ 3(4).Considerese el hexagono R en el primer cuadrante del plano XY con verticesABCDEF que esta en el rectangulo AGDJ acotado por los ejes coordenadosy las rectas x = p/2 y y = q/2, ver Figura 1.EF se define por

y =q

px +

1

2,

BC se define por

x =p

qy +

1

2.

Es claro que la recta BC intercepta al eje X en

(1

2, 0

), y EF intercepta al

eje Y en

(0,

1

2

); es evidente que ambas rectas son paralelas a la diagonal


Figura 1: Puntos Latices en la prueba del Teorema 6.7

AD.Las coordenadas de los puntos 1 (x, y) que estan en el interior de R debensatisfacer las siguientes desigualdes

0 < x < p/2, 0 < y < q/2, (17)

y <q

px +

1

2, y >

q

px− q

2p. (18)

Ahora, notese que si (m,n) es cualquier punto latice en el interio de R,

entonces tambienp + 1

2−m,

q + 1

2− n lo es. (esto se verifica sustituyendo

cada coordenada en (17) y (18) ). Por otro lado, observese que

(m, n) =p + 1

2−m,

q + 1

2− n

si y solo sı m =p + 1

4y n =

q + 1

4; de donde P :

(p + 1

4,q + 1

4

)es un punto

latice si y solo sı p ≡ q ≡ 3(4). De aquı ya que a cada (m, n) en el interior de

R le correspondep + 1

2−m,

q + 1

2− n tambien en el interior de R, se tiene

1Aquı (x, y) es un punto en el plano y no el mcd(x, y)


que la unica manera para que el numero de puntos latices se impar es quep ≡ q ≡ 3(4)

Ahora se contaran los puntos latices de R de una manera diferente.

Es evidente que no hay puntos latices en la diagonal y =q

px. Ahora si (m, n)

es un punto latice abajo de la diagonal entonces, no es difıcil verificar que

qm

p− q

2p< n <

qm

p;

es decir

−q

2< np− qm < 0. (19)

De donde se puede ver que np tiene un menor residuo modulo q negativo, asaber np − qm. Recıprocamente, si np tiene un residuo menor negativo, sepuede encontrar un m, tal que (18) se cumple; de aquı (m,n) esta en R yesta abajo de la diagonal. Por lo tanto, ya que µ2 es el numero de enteros

en el conjunto

{p, 2p, . . . ,

q − 1

2p

}con residuo menor modulo q negativo,

existen µ2 puntos latices en R abajo de la diagonal AD.De la misma manera, se prueba que existen µ1 puntos latices arriba de ladiagonal principal.Ası pues µ1 +µ2 (el total de puntos latices) es impar si y solo sı p ≡ q ≡ 3(4).

Teorema 6.11 Si p es un primo impar, entonces

(−1

p

)= (−1)

p−12 (20)

(2

p

)= (−1)

p2−18 (21)

Demostracion: Por el Lema de Gauss, con m = −1, se tiene que µ =p− 1

2;

estableciendose (20).Ahora con m = 2, µ es el numero de enteros en el conjunto 2, 4, . . . , p − 1


cuyos menores residuos modulo p son negativos, el cual es el mismo que el

numero de enteros en el intervalo

[p + 1

2, p− 1

]. De aquı,

µ =

2s cuando p = 8s + 1,

2s + 1 cuando p = 8s + 3,2s + 1 cuando p = 8s + 5,2s + 2 cuando p = 8s + 7.

De donde, µ es par si y solo sı p ≡ ±1(8). En consecuencia(2

p

)=

{1 cuando p ≡ ±1(8),

−1 cuando p ≡ ±3(8).

ya que

(−1)p2−1

8 =

{1 cuando p ≡ ±1(8),

−1 cuando p ≡ ±3(8).

estableciendose (21)

Teorema 6.12 Si p es primo impar y (a, p) = 1, entonces la congruencia

x2 ≡ a(pn) (22)

tiene solucion si y solo sı

(2

p

)= 1.

Ejercicios 6.1

1. Pruebe que si c es impar, entonces

(ab

c

)=

(a

c

) (b

c

).

2. Pruebe que si b y c son impares, entonces( a

bc

)=

(a

b

) (a

c

).

3. Muestre que si a ≡ b(c), donde c es impar, entonces(a

c

)=

(b

c

).

4. Muestre que 17 es un rsiduo cuadratico modulo 19.

5. ¿Tiene solucion la congruencia x2 ≡ 631(1093)? (sug. Use el sımbolode Jacobi)


6. ¿Tiene solucion la congruencia x2 ≡ 17(29)?

7. ¿Tiene solucion la congruencia 3x2 ≡ 12(23)?

8. ¿Tiene solucion la congruencia 2x2 ≡ 27(41)?

9. ¿Tiene solucion la congruencia x2 + 5x ≡ 12(31)? (sug. Completecuadrados)

10. ¿Tiene solucion la congruencia x2 ≡ 19(30)? (sug. Use el teorema chinodel resto)

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