Líneas y Puntos Notables 2 en el Triángulocolegiomariscalcaceressurco.com/wp-content/uploads/2020/03/Geo-Fis-5.pdfLíneas y Puntos Notables 2 en el Triángulo cev Iana Es aquel segmento

Geometría - 5to Sec.

Capítulo

2Líneas y Puntos Notablesen el Triángulo

cevIana

Es aquel segmento que une un vértice con un punto del lado opuesto o de su prolongación.

Es aquel segmento que une un vértice con el punto medio de su lado opuesto.

a

b

D c E

medIana

En el ∆ABC. BD: Ceviana interior del ∆ABC. BE: Ceviana exterior del ∆ABC.

a M

b

c

En el ∆ abc bM: mediana ⇒ aM = Mc

nota

Triángulo Mediano.- Es aquel triángulo que se determina al unir los puntos medios de los lados de un triángulo.

∆MNP:es ∆ Mediano

ca

P

b

M

N

barIcentro

Es el punto de intersección de las tres medianas del triángulo.

bG = 2GMG: baricentro aG = 2GN cG = 2GP

Es aquella ceviana interior o exterior que biseca a la medida de un ángulo.

b

P N

a M c

G

bIsectrIz

En el ∆ abc bF: bisectriz del ∆ABC.

(exterior)

αα

ca F

b

(interior)

αα

a F c

b

nota

El Triángulo Órtico o Pedal.- se determina al unir los pies de las alturas del triángulo.

∆ PQR: es el ∆ Órtico o Pedal

ca

r

b

P

q


Es el punto de intersección de las bisectrices internas del triángulo.

I : Incentro

α

a c

b

α

ββ θθ

I

Incentro

Es la ceviana perpendicular al lado opuesto.

En el ∆abc bH: altura del ∆abc.

En el ∆abcL: Mediatriz de ac

Es una recta perpendicular a un lado en su punto medio.

H: Ortocentro

a c

b

H

Es punto de intersección de las alturas.

b

ca P

L

(rectángulo)cH

b

(acutángulo)

a H

b

c

altura

ortocentro

medIatrIz

Es el punto de intersección de las mediatrices de un triángulo.

1) ángulo determinado por dos bisectrices interiores.

O: circuncentro

L1

a c

bL2

L3

O

x = 90º + θ2

2) ángulo determinado por las bisectrices de dos ángulos exteriores.

x = 90º - θ2

3) ángulo determinado por las bisectrices de un ángulo interior y un ángulo exterior.

a c

b E

β

αα

βθ

x

I: Incentro

caα

b

α

θ

ββ

xI

cIrcuncentro

ProPIedades

x = θ2

αα

θ

β β

x

Eb

a c

(obtusángulo)

cH a

b


4) ángulo determinado por una bisectriz y una altura que parten de un mismo vértice.

x = α-β2

x = 45º - θ4

ProPIedades adIcIonales

ProPIedad 1

βα

x

α

θ

bbaa

β

bF : bisectriz

βa H F c

b

x

α

θθ

a

x

α

a

β

bb

x = α+β2

ProPIedad 2

Gauss es el primero en construir una geometría (un modelo del espacio) en el que no se cumple el V postulado de Euclides, pero no publica su descubrimiento. Son bolyai y Lobachevsky quienes, de manera independiente y simultáneamente publican cada uno una geometría distinta en la que no se verifica tampoco el V postulado. ¿Qué quiere decir esto? Tanto bolyai como Lobachevski parten de un objeto geométrico y establecen sobre él unos postulados que son idénticos a los de Euclides en Los Elementos, excepto el quinto. Pretenden originalmente razonar por reducción al absurdo: si el V postulado depende de los otros cuatro, cuando lo sustituya por aquél que dice exactamente lo contrario, he de llegar a alguna contradicción lógica. Lo sorprendente es que no se llega a contradicción ninguna, lo cual quiere decir dos cosas:

1º El V postulado es independiente de los otros cuatro, es decir, no puede deducirse de los otros cuatro, no es un teorema, y Euclides hizo bien en considerarlo como un postulado.

2º Existen modelos del espacio en los que, en contra de toda intuición, por un punto que no esté en una cierta recta no pasa una única recta paralela a la dada. Esto es tremendamente antiintuitivo, pues no podemos concebir tal cosa, no podemos imaginar (ni mucho menos dibujar) una situación así, sin reinterpretar los conceptos de recta, plano, etc. Pero desde el punto de vista lógico es perfectamente válido.


1) calcula x.

Ejemplos:

Por la propiedad de las dos bisectrices de ángulos interiores.

115º = 90º + x/2 25º = x/2 ⇒ x = 50º

Resolución:

2) calcular θ.

como aE es bisectriz interior y cE es bisectriz exterior.

Se cumple:

2x - 5º = 3x/2 4x - 10º = 3x 4x - 3x = 10º x = 10º

Luego en ∆ abc:

70º + 3x + θ = 180º 70º + 30º + θ = 180ºθ = 80º

Resolución:

aα

b

α

x

D

115ºcβ

β

a c35º

35º

3x

β β

b

θ

2x-5º

3) calcula x.

como bE y cE son bisectrices exteriores, luego se cumple la propiedad:

4x = 90º - x/2 ⇒4x + x/2 = 90º9x/2 = 90º ⇒ x = 20º

Resolución:

4) calcula ac si bH = 3 y HN = 4.

a N c

M

b

H45º

P

como bN y cM son alturas, entonces H es el ortocentro. Luego se traza aP siendo también altura.

Resolución:

a cN

MP

b

a

45º 45º4

3

x

Por aPc: m acP = 45º

Por Notable: HN = aN; bN = Nc

x = aN + Nc = 4 + 7 = 11

a c

b E

β

αα

βx

4x


Resolviendo en claseResolviendo en clase

Para ReforzarPara Reforzar

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

1) En el triángulo abc se traza la bisectriz interior bP , tal que ab=bP=Pc. calcula m a.

2) calcula x si H es el ortocentro del ∆ abc.

H

45º 37ºa c

b

14

x

Rpta.: _______

3) calcula "x".

c

4xα

a

b

αββ

2x

4) calcula "x".

β

2x

β

20º3x

θθ

5) En un ∆ abc se traza las medianas aM y cN formando un ángulo de 90º . Si aM=15 y cN=36, calcula ac.

6) calcula "x" si I es el incentro.

x110º

a c

b

I

1) En el gráfico, AE es una bisectriz. Calcula "x".

x

40º

120º

a c

b

E

2) Si H es el ortocentro del ∆ abc y bH = HP, calcula x.

3) En la figura mostrada, calcular la medida del ángulo abc.

b

a P c

H

40ºx

40º

5) Si G es el baricentro del ∆ abc y bG = 2, calcula x.

G

a c

b

x

4

6) calcula "x" si I es el incentro.

4) En el gráfico mostrado calcular "x".

x40º

a c

b

I

a c

6x

8x

b

αα

ββ

2xº 2xº20º

β βθºθº


PROBLEMAS PARA CLASE N° 2

Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

En la figura, halla "x".

a) 40º b) 30º c) 45º d) 60º e) 75º

b

a c

x

α

θθ

α x

x

calcula "x".

a) 60º b) 40º c) 50º d) 80º e) 90º

β β

120ºαα

θθ

ww

x

En la figura halla x si m B= 40º

a) 120º b) 125º c) 130º d) 135º e) 140º

b

a c

α θθx

ββ w

w

40ºα

calcula x.

a) 40º b) 30º c) 50º d) 52º e) 56º

αα

xββ

θθ2θ

38º


Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

calcula "x".

a) 10º b) 15º c) 20º d) 12º e) 25º

calcula "x".

a) 55º b) 60º c) 45º d) 40º e) 10º

c

a

a N

M

b

a

bb

4x

3x

2x

calcula "x".

a) 135º b) 110º c) 145º d) 120º e) 160º

40º

ββ θ

θ

αα ww

x

ca

b calcula x+y.

a) 190º b) 180º c) 210º d) 200º e) 160º

20º

y

xααα

www

xº

80ºb

bº aºaºbº

a c


5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

En un triángulo rectángulo abc, recto en b, se trazan las bisectrices interiores de los ángulos a y c, las cuales se cortan en I. Si (Ic).3 2=aI, halla la m Ica.

a) 15º b) 20º c) 8º d) 30º e) 37º

En el gráfico mostrado, calcular: AC

Si: aE=2 y Ec= 6 2

a) 12º b) 18º c) 10º d) 8º e) 6º

calcula "x".

a) 28º b) 14º c) 34º d) 17º e) 15º

θ θ x

β β

αα

68ºφφ

calcula "x".

a) 10º b) 12º c) 18º d) 15º e) 20º

α

x

αθ θ φ

ββ

8x

φ

a c

E

b

θθ

αα


Clave:Clave:

Clave:Clave:

7

Sello y Firma del Profesor

7

8 8

NOTA

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

calcula "x".

a) 10º b) 20º c) 40º d) 50º e) 60º

α40º

xα

θθ

En un triángulo escaleno abc, I es el punto de intersección de las bisectrices interiores. Si aI=2u y cI = 9u, calcula ac si es entero.

a) 8 u b) 9 u c) 10 u d) 11 u e) a, b y c

Sea el "I" el incentro del triángulo abc, si aI=2, cI=8. calcular el valor entero de ac.

a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 7

calcula "x".

a) 10º b) 12º c) 14º d) 15º e) 18º

q4x

b

θαα θ

7x

a c

P

Raz. Matemático - 5to Sec.

Capítulo

2

En este capítulo nos encontraremos con diversos tipos de problemas en cuya resolución debemos tener en cuenta lo siguiente: La información que nos da el problema necesita ser

ordenada. Se comienza el ordenamiento utilizando la información

precisa o la más relacionada. Debemos verificar que la respuesta final que hallamos

cumpla con las condiciones del problema.

Para su mejor estudio han sido agrupados, según la manera de ordenar la información, en:

a) Ordenamiento lineal.b) Ordenamiento por posición de datos.

c) Relación de datos (cuadro de afirmaciones).d) Ordenamiento circular.

En este caso se procede a ordenar la información, ubi-cando los datos en forma vertical u horizontal, según corresponda.

a) creciente o decreciente

En una fiesta se encuentran 4 amigos Sandro, Luis, Pedro y Martín. Además: Sandro es más alto que Martín pero más bajo

que Luis. Pedro es más alto que Sandro.

Indica verdadero (V) o falso (F), según correspon-da. El más alto de los 4 es Luis. ( ) El más bajo es Martín. ( ) Es imposible que Pedro sea el más alto. ( )

Se sabe que: Carlos es 3 cm más alto que Diego. Juan es 2 cm más bajo que Diego. Juan es 5 cm más bajo que Carlos. Lucy es 3 cm más baja que Diego.

Indica verdadero (V) o falso (F) según correspon-da. Diego y Juan son de la misma talla. ( ) Lucy es la más baja. ( ) Diego es el más alto. ( )

Genio e Ingenio Durantesuetapacomoprofesoractivo,alfinaldeun examen un alumno se acercó a Albert Einstein y le comentó sorprendido: “¡Las preguntas del examen de este año son las mismas que l a s d e l año pasado!” “Sí” - le contestó Einstein-, “pero este año las respuestas s o n t o t a l m e n t e diferentes”.

Nociones Previas

orden de Información I

orden de Información II

a. ordeNamIeNto lINeal

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Orden de Información:Horizontal y Vertical

OBJETIVOS:

Afianzar el desarrollo de la creatividad y el ingenio.

Potenciar la habilidad analítica.

Ejercitar la capacidad recreativa con la matemática.


Nota

Un postulante a la Católica compra 6 libros y los ubica en un estante de su biblioteca de la siguiente manera: El libro de Aritmética está siempre junto y a la

izquierda del de Álgebra. El libro de Física está siempre junto y a la

izquierda del libro de Química. El libro de Geometría está a la izquierda del de

Álgebra. El libro de Trigonometría está a la derecha del de

Aritmética y a la izquierda del libro de Física.

Indica verdadero (V) o falso (F), según corres-ponda. El libro que está a la derecha de los demás es el

libro de Química. ( ) El libro que está a la izquierda de los demás es el

libro de Aritmética. ( ) El cuarto libro contando desde el extremo

derecho es el libro de Álgebra. ( ) El quinto libro contando desde el extremo

izquierdo es el libro de Física. ( )

Existen ejercicios en los que hay más de un ordenamiento; para que una afirmación sea

verdadera debe cumplirse en todos los posibles

ordenamientos.

¡Cuidado!

En este tipo de ejercicios algunos datos ya tienen una posición determinada y la ubicación de los otros está en función de ellos. Los problemas más comunes son los problemas de edificios y los de carreras.

Cuatro hermanos viven en un edificio de 4 pisos. Si Arturo vive en el primer piso, Mario vive abajo de Jorge y Willy vive en el piso inmediatamen-te superior al de Mario, ¿en qué piso vive Willy?

4

3

2

1

Se observa nueve automóviles estacionados en fila, y cada uno de ellos es de un color determinado. Se desea saber el color del auto que está en el segundo lugar, sabiendo que: El primero es blanco. El de color habano está entre el negro y el gris. El verde está entre el azul y el rojo. El de color arena está al último. El rojo está entre el verde y el lila. El negro está después del habano. El gris entre el lila y el habano.

Las proposiciones: A no es mayor que B, significa que A pued e

ser menor o igual que B.

A no es menor que B, significa que A puede ser mayor o igual que B.

b) lateralEl procedimiento es similar al seguido en el ordena-miento creciente o decreciente.

izquierda ↔ derechaoeste ↔ esteoccidente ↔ oriente

Cinco amigos van al estadio Monumental a ver el clásico “U” vs. Alianza Lima y ocupan 7 asientos seguidos en fila. Si se sientan juntos siempre que no sean del mismo sexo, y en ese caso se deja un asiento desocupado, entonces un jugador desde el campo observa que: Susy está en el extremo derecho. Braulio está entre Leandro y Lucía. Boris está a la izquierda de Leandro que está

sentado junto a Susy.

Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda. Lucía se sienta en el extremo izquierdo. ( ) Braulio se sienta junto a Lucía. ( ) La quinta posición a partir del extremo derecho

está vacía. ( ) La quinta posición a partir del extremo izquierdo

está vacía. ( )

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ejemplo 2:

Ejemplo 2:

b. ordeNamIeNto Por PosIcIóN de datos

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:


Un edificio de 6 pisos está ocupado por 6 familias, cada familia ocupa un piso , los Aburto viven 2 pisos más arriba que los Calderón y 2 pisos más abajo que los Barrera, los Durán viven en el segundo piso y los Gómez no viven adyacentes con los Aburto. ¿En qué piso viven los Muñoz?

Según el primer dato hay 2 posibilidades:

(1)

Barrera

Aburto

Calderón

6.°5.°4.°3°

2.°1.°

(2)

Barrera

Aburto

Calderón

Puesto que los Durán viven en el 2.º piso, sólo es posible (1). Los Gómez no viven en el 4.º piso, sino en el 6.º En consecuencia los Muñoz viven en el 4.º piso.

En conclusión

Aburto

Calderón

6°5°4°3°

2°1°

Gómez

Durán

BarreraMuñoz

Pedro es menor que Pepe, Pipo es menor que Pino y Pepe es menor que Pipo, ¿cuál es el mayor?

Resolución:

Empecemos representando en segmentos verticales la información inicial con precisión, no debemos suponer lo que el enunciado no indique; veamos:

“Pedro” es menor que “Pepe”Pepe

Pedro

“Pipo” es menor que “Pino”Pino

Pipo

Nótese que es necesario trazar 2 segmentos, debido a que no se presenta ningún vínculo entre las anteriores proposiciones.

* Ahora utilicemos el vínculo que los relaciona: “Pedro” es menor que “Pipo”

PinoPipoPepePedro

∴ Se aprecia que el mayor es Pino.

En la llegada a la meta de 100 metros planos en Madrid, un periodista hizo las siguientes anotaciones de los siete atletas participantes (Ñol, Pepe, Mario, Cano, Kilito y Makito).Ñol llegó antes que Pepe y después que Mario.Mario llegó después que Cano y éste después que

Kilito.Trilcito llegó antes que Cano.¿Quién llegó en cuarto lugar?

Resolución:Pepe Ñol MarioMario Cano KilitoCano Makito

Pepe

Ñol

Mar

ioCa

no

6.° 5.° 4.° 3.° 2.° 1.°

“Makito” y “Kilito”

∴ En cuarto lugar Mario.

Dada la siguiente información:I) Aristóteles es menor que José.II) José es un año menor que Walter.III) Walter es 21 años menor que Renán.Si resto las edades de Renán y José, obtengo:

Resolución:

∴ 22 años.

Renán

Walter

José

Aristóteles

21

1= 22-

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Ejemplo 5:

Ejemplo 6:Resolución:




1) Se tiene un edificio con cuatro pisos y en cada piso vive una familia. La familia “Mendez” vive un piso más arriba que la familia “García”. La familia “Dueñas” vive más arriba que la familia “Prado” y la familia “Mendez” más abajo que la familia “Prado”. ¿En qué piso viven los “Mendez”?

4) En un edificio Beatriz vive más arriba que Álex, Javier más arriba que Saúl y éste más arriba que Álex. Si Beatriz y Javier viven en el mismo piso, ¿cuáles de las afirmaciones son necesariamente verdaderas?I. Javier vive más arriba que Álex.II. Javier vive más abajo que Álex.III. Beatriz vive más arriba que Saúl.IV. Beatriz adora a Javier.

2) Cinco amigos están sentados en una banca en el parque, ubicados uno a continuación de otro. Zarahí y Pedro se ubican en forma adyacente, Pedro no está al lado de Silvia ni de Juan y Zarahí está en un extremo. Si Silvia y Manuel están peleados (no se sientan juntos), ¿quién se sienta al lado de Silvia?

2) En una carrera participan 4 amigas: Milena, Rosa, Katy y Úrsula. Si del orden en que llegaron se conoce:- Ni las trampas ayudaron a ganar a Rosa.- Úrsula y Katy llegaron una detrás de otra en

orden alfabético.- Milena aventajó a Rosa en 3 puestos.¿Quién ganó la carrera?¿Quién llegó tercera?

3) En cierto examen, Sara obtuvo menos puntaje que Nataly, Vanessa menor puntaje que Karina, Irene el mismo puntaje que Susana, Sara más que Silvia, Vanessa el mismo puntaje que Nataly e Irene más que Karina. ¿Quién obtuvo menos puntaje?

4) En un edificio de 5 pisos viven las familias: Flores, Zanabria, Miranda, Pérez e Islas cada una en pisos diferentes.- Los Islas viven encima de los Zanabria.- Los Flores viven lo más alejado de los Miranda.- Los Miranda no pueden subir las escaleras.- A los Pérez les hubiera gustado vivir en el último piso.Son ciertas:I. Los Flores viven en el piso dos.II. Los Pérez viven en el piso tres.III. Los Miranda viven en el piso uno.

3) Si María es mayor que Lucía, Irene es menor que María y Lucía es menor que Irene, ¿quién no es mayor ni menor?

6) Cinco personas rinden un examen. Si se sabe que:- B obtuvo un punto más que D.- D obtuvo un punto más que C.- E obtuvo dos puntos menos que D.- B obtuvo dos puntos menos que A.

Ordénalos de mayor a menor puntaje.

6) En un examen de Razonamiento Matemático Rosa obtuvo menos puntos que María, Laura menos puntos que Lucía, Noemí el mismo puntaje que Sara, Rosa más que Sofía, Laura el mismo puntaje que María; y Noemí más que Lucía. ¿Quién obtuvo menos puntaje?

1) Se tiene un edificio de departamentos con cuatro pisos y en cada piso vive una familia. Se sabe que:- La familia Calderón vive un piso más arriba que

la familia Mendoza.- La familia Fernández vive más arriba que la

familia Díaz.- La familia Calderón vive más abajo que la familia Díaz.

¿En qué piso vive la familia Calderón?

I. C llegó en segundo lugar. II. D llegó antes que E. III. E llegó en sexto lugar.

5) En una banca en el parque se sientan Juana a la derecha de María y Ana a la izquierda de Juana, por lo tanto indicar lo verdadero:

I. Juana está al medio. II. Juana está a la derecha. III. Juana está a la izquierda. IV. Ana está al medio. V. María está al medio

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

5) En una carrera participan 6 personas: A, , C, D, E y F. Se sabe que A llegó antes que D, pero 2 puestos después de F, y B llegó inmediatamente después que A, pero antes que e. Se puede afirmar que:

Pcs

Resaltar




Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2 Sobre una mesa hay un lapicero, un color y un plumón. Si sabemos que:- A la izquierda del color hay un lapicero.- A la derecha del plumón está el que pinta azul.- A la izquierda del que pinta azul está el que

pinta verde.- A la derecha del que pinta rojo hay un plumón. entonces al extremo derecho, ¿qué objeto está?

a) El plumón rojo b) Lapicero rojo c) Color azuld) Color rojoe) Lapicero azul

Se colocan en un estante seis libros de razonamiento matemático, aritmética, álgebra, física, historia y geometría. Si:- El libro de aritmética está junto y a la izquierda

del de álgebra.- El libro de física está a la derecha del de

aritmética y a la izquierda del de historia.- El libro de historia está junto y a la izquierda

del de geometría.- El libro de razonamiento matemático está a la

izquierda del de álgebra. De derecha a izquierda, el cuarto libro es de:

a) Raz. Mat. b) Aritmética c) Física d) Geometría e) Álgebra

Seis amigas están escalando una montaña, Carla está más abajo que Juana, quien se encuentra un lugar más abajo que María. Daniela está más arriba que Carla pero un lugar más abajo que Tania, quien está más abajo que Rosa, que se encuentra entre Juana y Tania. ¿Quién está en el cuarto lugar del ascenso?

a) María b) Tania c) Juana d) Daniela e) Carla

Cinco amigos A, B, C, D y E viven en un edificio de 6 pisos, cada uno en un piso diferente. Si se sabe que:- El departamento del cuarto piso está desocupado.- D vive adyacente a A y C.- E no vive en el último piso.

Se afirma: I. B vive en el sexto piso.II. A no vive en el tercer piso.III. C vive más arriba que A.Son verdaderas:

a) Sólo I b) II y III c) I y III d) I y II e) Todas

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:


Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4 Cinco profesores: Medina, Parodi, Fernández, Cartolín y López están sentados en fila. Parodi está en el extremo de una fila y Fernández en el otro extremo. Cartolín estaba al lado de Parodi y Medina al lado de Fernández. ¿Quién estaba en el medio?

a) Medrano b) Cartolín c) Fernández d) López e) Parodi

Se deben realizar cinco actividades A, B, C, D y E una por día desde el lunes hasta el viernes. B se realiza después de D. C se realiza el jueves o el viernes. D se realiza el jueves o el viernes. Halla la secuencia en que se realizan las actividades si A se realiza antes que E.

a) AECBD d) CEADBb) AECDB e) EACBDc) CAEDB

En una competencia de motocrós participan 6 personas cada una con sus motos numeradas del 1 al 6. Se sabe que:- Los tres últimos lugares lo ocupan motos con

nume-ración de los primeros números primos.- La moto 6 llegó inmediata-mente después del 1.- La diferencia entre el quinto y el segundo es 4.- La moto de cuarto lugar es la semisuma de los

números de las motos de lugares extremos. ¿Qué moto se encuentra a dos lugares de la

moto número 1?

a) 6 b) 1 c) 5 d) 3 e) 2

Cinco profesores: Miranda, Escalante, Mercado, Vera y Rabines están sentados en fila. Escalante estaba en el extremo de la fila y Mercado en el otro extremo. Vera estaba al lado de Escalante y Miranda al lado de Mercado. ¿Quién estaba en el medio?

a) Escalante b) Mercado c) Rabines d) Vera e) Miranda

Resolución:

Resolución:

Resolución: Resolución:


5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Cuatro amigos viven en un edificio de 4 pisos. Alberto vive en el primer piso, Martín vive más abajo que José y Walter vive en el piso inmediatamente superior a Martín. ¿En qué piso vive Walter?

a) Primero d) Cuartob) Segundo e) F.D.c) Tercero

Se tiene un edificio con cuatro pisos y en cada piso vive una familia. La familia “Mendez” vive un piso más arriba que la familia “García”. La familia “Dueñas” vive más arriba que la familia “Prado” y la familia “Mendez” más abajo que la familia “Prado”. ¿En qué piso viven los “Mendez”?

a) 1.er piso d) 2.º piso b) 3.er piso e) 2.º y 3.er pisoc) 4.º piso

Cinco amigos están sentados en una banca en el parque, ubicados uno a continuación de otro. Zarahí y Pedro se ubican en forma adyacente, Pedro no está al lado de Silvia ni de Juan y Zarahí está en un extremo. Si Silvia y Manuel están peleados (no se sientan juntos), ¿quién se sienta al lado de Silvia?

a) Zarahí d) José b) Pedro e) Juan c) Manuel

Resolución:

Resolución:


Carlos, Dante, Toño, Erick, Beto y Flavio se ubican en 6 asientos contiguos en una hilera de un teatro. Toño está junto y a la izquierda de Beto, Carlos a la derecha de Toño entre Flavio y Dante, y Dante está junto y a la izquierda de Erick. ¿Quién ocupa el tercer asiento si los contamos de izquierda a derecha?

a) Carlos d) Toñob) Flavio e) Damtec) Erick


Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Seis amigos viven en un edificio, cada uno en un piso diferente. Carlos vive más abajo que Bica, pero más arriba que David. Franco vive 3 pisos más abajo que Carlos. Andrés vive 2 pisos más arriba que Carlos y a 4 pisos de Enzo. El tercer piso lo ocupa:

a) Bica d) Carlosb) David e) Enzoc) Franco

Maria es mayor que Sara, Ana es menor que Sara, pero mayor que Nataly, y Nataly es menor que Vanessa. ¿Cuál de las cinco es la menor de todas?

a) Nataly d) Anab) Vanessa e) Maríac) Sara

En el hipódromo de Monterrico hay seis participantes en el Gran Derby Nacional; Rey de Oros, La Alemana, Don Bruno, Sigmund y el gran favorito Santorín. - Sigmund llegó después de Rey de Oros.- La Alemana llegó entre los tres primeros. - El favorito no defraudó.

Indica la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:( ) Si la Alemana llegó 2da, el Rey de Oros llegó 3ro.( ) Si Don Bruno llegó 3ro, el Rey de Oros legó 4to.( ) Si Don Bruno llegó 2do, la Alemana llegó 3ra.( ) Si la Alemana llegó 3ra, Don Bruno llegó 2do.

a) FVVF b) VVVV c) FVVV d) FFVV e) VVVF

El señor Paibar y el señor Castro tienen la misma cantidad de dinero; Paibar sin embargo, es más rico que el señor Ruiz quien es más rico que el señor Prado. El señor Cornejo, que es más pobre que Paibar, pero más rico que Prado, no es tan rico como Ruiz. El señor Castro es más pobre que el señor Pérez. Si el más pobre tiene S/. 500 y además entre lo que tiene cada uno de ellos hay una diferencia de S/. 1000. ¿Cuántos soles tiene el señor Pérez?

a) 4 500 b) 3 500 c) 2 500 d) 1 500 e) 500

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Física - 5to Sec.

Capítulo

1Estática I

OBJETIVOS:

a Conocer e interpretar las leyes de Newton.

a Saber las condiciones para el equilibrio.

a Dibujar correctamente las fuerzas que actúan sobre un cuerpo.

ESTÁTICA

Es aquella parte de la mecánica que estudia la condición de las fuerzas aplicadas a un cuerpo y el equilibrio que éste posee.

FUERZAEs aquella cantidad vectorial que mide el grado de interac-ción entre los cu-erpos del universo, también, la fuerza es el agente que produce movimiento o deformación de los cuerpos.

Por su naturaleza las fuerzas pueden ser: gravitacionales, electromagnéticas, nucleares y pueden ser a distancia o por contacto.

Su nombre griego original es dina, y aunque su definición actualmente se encuentra en revisión, podemos decir que se trata de una magnitud física de tipo vectorial, porque además de una intensidad (valor) posee una dirección y un punto de aplicación, y surge cada vez que dos cuerpos interactuán, ya sea por contacto o a distancia. Por lo general asociamos la idea de fuerza con los efectos de jalar, empu-jar, comprimir, tensar, atraer, repeler, etc. Así cada vez que jalamos un cuerpo, decimos que estamos aplicando una fuerza; del mismo modo cuando colocamos un libro sobre una mesa, decimos que el libro comprime a la mesa con una fuerza determinada.

Interacción porcontacto

Interacción adistancia

Uno de los bloques de piedra que conforman la for-taleza de Sacsayhuaman tiene el tamaño de una casa de cinco plantas y un peso aproximado de 20000 toneladas.

F

Física - 5to Sec.

1. mEdICIón dE lAS FUERZAS

La intensidad de las fuerzas se miden por el efecto de deformación que ellas producen sobre los cuerpos elásticos. Es por intermedio del inglés Robert Hooke (1635 - 1703) que se descubre una relación empírica entre la fuerza aplicada y la deformación producida, que hoy se anota así:

F = K . xDeformación (m)

Constante de elasticidad

Nm( )

Todo objeto persiste en su estado de reposo, o de movimiento en línea recta con rapidez constante, a menos que se aplique fuerzas que lo obligen a cambiar dicho estado.En palabras sencillas, las cosas tienden a seguir haciendo lo que ya estaban haciendo.Los platos sobre la mesa por ejemplo, se encuentran en reposo y tienden a permanecer en estas condiciones como podrás comprobarlo si tiras repentinamente del mantel sobre el cual descansan.

2. lEyES dE nEwTon

2.1. Primera ley (ley de la inercia)

a) la masa: una medida de la inercia

Si pateas una lata vacía, se mueve. Si la lata está llena de arena no se moverá con tanta facilidad, y si está llena de clavos de acero te lastimarás el pie, en conclusión la lata llena de clavos tiene más inercia que la que está vacía. La cantidad de inercia de un objeto depende de su masa, que es aproximadamente la cantidad de material presente en el objeto. Cuando mayor es su masa mayor es su inercia y más fuerza se necesita para cambiar su estado de movimiento. La masa es una medida de la inercia de un objeto.

Puedes saber cuánta materia contiene una lata si la pateas.

b) la masa no es lo mismo que el volumen

No debes confundir la masa con el volumen, pues son dos conceptos totalmente distintos, volumen es una medida del espacio y se mide en unidades como centí-metros cúbicos, metros cúbicos y litros. La masa se mide en kilogramos. Un objeto que tiene mucha masa puede tener o no un gran volumen. Por ejemplo, un saco lleno de algodón y otro del mismo tamaño lleno de clavos tienen el mismo volumen, pero diferente masa.

2.2. Tercera ley (ley de la acción y reacción)

Cuando dos cuerpos interactúan entre sí, aparece una fuerza de acción que va del primer cuerpo al segundo y por consecuencia aparece una fuerza de reacción que va del segundo cuerpo al primero.La fuerza de acción y de reacción tienen igual valor, sólo que direcciones contrarias y como actúan en cuerpos diferentes no se cancelan.

Física - 5to Sec.

3. FUERZAS InTERnAS

Designamos con este nombre a aquellas fuerzas que se manifiestan en el interior de cuerpos, cuando éstos se ven sometidos a efectos externos. Aunque su explicación radica en el mundo atómico y molecular, aquí presentaremos sólo sus características macroscópicas.

3.1. Peso (P)

Llamamos así a la fuerza con la que la Tierra atrae a todo cuerpo que se encuentra en su cercanía. Es directamente proporcional con la masa de los cuerpos y con la gravedad local. Se le representa por un vector vertical y dirigido al centro de la Tierra (P=mg).

3.2. normal (n)

3.3. Tensión (T)

Se le llama también fuerza de contacto, y viene a ser la resultante de las infinitas fuerzas que se generan entre las superficies de dos cuerpos cuando éstos se acercan a distancias relativamente pequeñas, predominando las fuerzas repulsivas. La línea de acción de la normal es siempre perpendicular a las superficies en contacto.

Es la fuerza resultante que se genera en el interior de una cuerda o un alambre, y que surge para oponerse a los efectos de estiramiento por parte de fuerzas extremas que actúan en los extremos de aquellos. En estas fuerzas predominan los efectos de atracción.

T

4. dIAgRAmA dE CUERPo lIbRE

Es aquel procedimiento que consiste en aislar parte de una estructura para analizar las fuerzas que actúan sobre él. Se recomienda seguir los siguientes pasos:

1) Peso

2) Tensión

3) Tercera ley y fuerzas externas.

w

w

w

N

N

N1

N2

Física - 5to Sec.

Los gráficos siguientes te muestran el D.C.L. de algunos cuerpos suspendidos y apoyados.

5. EqUIlIbRIoUn cuerpo se encuentra en equilibrio si dicho cuerpo no experimenta ningún tipo de aceleración, y se encuentra en equilibrio estático cuando el cuerpo no se mueve y, en equilibrio cinético cuando el cuerpo se mueve a velocidad constante.

V=0 (Reposo)

E. Estático

V=Cte. (MRU)

E. Cinético

Primera condición de equilibrio

Un cuerpo se encuentra en equilibrio de traslación si sobre él la sumatoria de fuerzas, osea la fuerza resultante, es igual a cero.

* ΣFx = 0

* ΣFy = 0R=ΣF=0

CuerpoSuspendido

D.C.L. delcuerpo suspendido

A

T

P

T=TensiónP=Peso

Cuerpo apoyado en una

superficie

D.C.L. del cuerpo apoyado en una superficie

B

P

N

P=PesoN=Normal o reacción del

piso

P

N

TCuerpo apoyado y suspendido

D.C.L. del cuerpo apoyado y

suspendido

1. Realiza el D.C.L. para el siguiente sistema:

Para la esfera «A»:

A

B

Para la esfera «B»:

B

T

A

WARBA

R2B

A

RAB

R1

WB

Recuerda |RBA| = |RAB|

Son iguales en módulo pero tienen sentidos opuestos.

Resolución:

2. Determina la reacción normal si el cuerpo está en equilibrio. (g = 10 m/s2)

a) 50 Nb) 100 Nc) 150 Nd) 200 Ne) 250 N

18kg

30N

Física - 5to Sec.

Hacemos el D.C.L. para el bloque:

Σ Fy = 0 N + 30 – 180 = 0 N = 150 N

30NN

180N

Rpta.: Clave «c»

3. Halla T si el sistema está en equilibrio (g = 10 m/s2).

a) 20 N

b) 40 N

c) 60 N

d) 80 N

e) 120 N

Colocamos la tensión que corresponde a cada cuerda.

64kg

T

De aquí:

16T = 640 NT = 40 N

Rpta.: Clave «b»

640N

T T

2T 2T

4T 4T

8T 8T

16T

Resolución:

Resolución:

4. Realiza el D.C.L. de la esfera y dibuja su triángulo de fuerza.

θ

Hacemos el D.C.L. de la esfera:

T

N

w

θθ

θ

N

T

w⇒

5. Una esfera homogénea de peso «w» se encuentra en equilibrio apoyada sobre dos planos inclinados lisos. Halla la magnitud de la reacción en el apoyo «B».

a) w(4cos2α–1)

b) w senα c) w sen2α

d) w cosα e) wcos2α

BA

α2α

Hacemos el D.C.L.

RB

RA

2α2α

2α

α

90–α90–α

AB

w

Resolución:

Resolución:

W = 2RBcos2α + RB W = RB(2cos2α + 1)

Por trigonometría: cos2α = 2cos2α – 1

W = RB (2(2cos2α – 1) + 1)

W = RB (4cos2α – 2 + 1)

RB = w

(4cos2α–1)

Rpta.: Clave «a»

w

RBcos2α

RBcos2α

RB

RB

RA

90–α

α

α

2α 2α

RB

2α

Física - 5to Sec.



2) Si los bloques tienen igual peso. Hallar la medida del ángulo “α” de equilibrio.

2) Si el peso de B es 15N. Hallar el Peso de A para que el sistema este en equilibrio.

3) Hallar la relación de las tensiones en las cuerdas A y B. (TA/TB)

4) Un bloque metálico liso es empujado contra una esquina según como se muestra. Si las reacciones del plano y el muro son 100µ y 50µ respectivamente. Determine la fuerza F si es horizontal.

4) Si no existe rozamiento y m=9kg, calcular la tensión en la cuerda. (g = 10m/2)

1) Indicar el número de fuerzas que actúan sobre la esfera.

5) Determinar la reacción en “A”, si la tensión en la cuerda es de 60N. No hay rozamiento.

6) Los bloques se encuentran en equilibrio en la posición mostrada. Si se quita lentamente “A” (20 Newtons) ¿Qué distancia ascenderá el bloque “B”?

1) Un bloque se encuentra en equilibrio sobre el plano incl inado. Determinar el D.C.L. más indicado respecto al bloque.

3) Si el sistema mostrado se mostrado se encuentra en equilibrio. Hallar la medida del ángulo “α”, sabiendo que WA=WB=52,7N

5) En la figura, hallar “T” la esfera pesa 300N la pared es lisa.

6) Los bloques se encuentran e n e q u i l i b r i o e n l a posición mostrada. Si se quita lentamente “A” (20 Newtons) ¿Qué distancia ascenderá el bloque “B”?

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

53º

A

B

W

37º

F

30º

A

AB

K = 100 N/m

A

B

45º

A

B

C

72º 48º

37º

m

30º T

AB

K = 100 N/m

Física - 5to Sec.


Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Resolución:

Resolución:

Resolución:Resolución:

Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda: I. La fuerza es la medida de una interacción entre

dos cuerpos.II. El peso se representa por un vector vertical y

su valor es proporcional a la aceleración de la gravedad del lugar.

III. La tensión es del mismo valor en toda la cuerda solo si despreciamos la masa que pueda poseer.

a) VVV b) VFF c) VFVd) FFF e) VVF

Señale verdadero (V) o falso (F) :

( ) En un D.C.L. se deben incluir las fuerzas internas del siste-ma analizado.

( ) Un cuerpo en reposo no tiene D.C.L ya que la fuerza resul-tante sobre el es cero.

( ) Sólo se hace D.C.L. de cuer-pos en equilibrio.

a) FFV b) VVF c) FVVd) FVF e) FFF

Indicar el DCL de la esfera. En el siguiente gráfico:

Indicar el diagrama de cuerpo libre D.C.L. co-rrecto de la barra.

a) b) c)

d) e)

liso

liso

F

a) b) c)

d) e)

Física - 5to Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4


En el gráfico se muestra un bloque que se encuentra en equilibrio sos-tenido por una fuerza de valor 60N. Determine el peso del bloque. (g = 10 m/s2).

a) 15 N b) 25 N c) 45 Nd) 35 N e) 60 N

Hallar la relación entre los pesos de los bloques A y B(Superficies lisas). El sistema esta en equilibrio.

a) 3/4 b) 4/3 c) 3/5 d) 4/5 e) 1

Resolución:Resolución:

En el siguiente sistema en equilibrio calcular el valor de la tensión en la cuerda 1. Si las poleas poseen pesos despreciables.

a) 10 N b) 20 N c) 30 Nd) 40 N e) 25 N

Hallar la reacción del piso, cada polea pesa 10N. Si : wA=150N ; wB=30N.

a) 10 N b) 20 c) 30d) 50 e) 40

AB

37º

AB

g

12 kg

1

53º

F

gliso

Física - 5to Sec.

5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:



Una fuerza horizontal “F” es nece-sario para equilibrar bloques de 2 kg cada uno. Halle “θ”, si : F = 30N.

a) 30º b) 37º c) 45ºd) 53º e) 60º

En el sistema mostrado en la figura, si: P = Q; hallar el ángulo “α” que determina la condición del equilibrio.

a) 10º b) 40º c) 90ºd) 100º e) 130º

Si la barra está en equilibrio. Determi-ne el ángulo α. Si la masa de la barra es 10kg y la reacción en el plano liso es 35N (g= 10 m/s2)

a) 10º b) 22,5º c) 16ºd) 18,5º e) 26,5º

Hallar la reacción que ejerce el plano sobre la esfera de peso 20N. Si las superficies son totalmente lisas.

a) 10 N b) 20 N c) 40 Nd) 60 N e) 80 N

θ

θ2

θ

F

MM

37º

α

g

α

α

A

B

Física - 5to Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA



Si la esfera es homogénea y uniforme, si se sabe que las superficies son lisas. Determine la relación RA/RB

(RA y RB son las reacciones en cada superficie).

a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4d) 3/2 e) 4/3

Si el siguiente sistema se encuentra en equilibrio. Determinar la tensión en el cable si se sabe que las esferas pesan 15N.

a) 15 N b) 25 N c) 45 Nd) 30 N e) 7,5 N

Si el dinamómetro (D) indica 75N. Determine el peso del bloque que permanece en reposo. (g = 10 m/s2).

a) 15 N b) 5 N c) 25 Nd) 35 N e) 75 N

En el sistema mecánico el peso del bloque es 20N. Hallar la tensión en la cuerda A.

a) 20N b) 20 3 c) 10 d) 10 3 e) 40 3

θ

53º

127º

dinamometro

g

37º

A B

60º

(A)60º

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Líneas y Puntos Notables 2 en el Triángulocolegiomariscalcaceressurco.com/wp-content/uploads/2020/03/Geo-Fis-5.pdfLíneas y Puntos Notables 2 en el Triángulo cev Iana Es aquel segmento