Capitulo 6...APLICA<;OES

DA INTEGRAL DEFINIDAMAK.il.ON

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Neste capitulo abordaremos algumas aplica-<;oes da integral definida. Come<;aremos re-considerando a aplica<;ao que m~tivou adcfini<;ao deste conceito matematico' - adetermina<;ao da area de uma regiao do planoxy. Em seguida, usaremos integrais definidaspara calcular volumes, comprimcntos de gra-ficos, ~.J!e s6lidos,.!!.abalhorealizado por uma forca variavel, momentose centro de massa (ponto de equilibrio) deuma chapa plana. A razao da aplicabilidadeda integral definida e que cada uma dessasquantidades e exprcssavel como urn limite desomas. AJem disso, diante do grande numerode outras quantidades que podem expressar-se desta maneira, nao ha urn fim para os tiposde aplica<;ao. Na ultima se<;ao ilustraremos avcrsatilidade da integral definida, consideran-do uma diversidade de aplica<;6es que in-cluem: deterrnina<;iio da for<;a exercida pelopetr6leo sobre a parede de urn tanque, avalia-<;aodo desempenho cardiaco e fluxo sangiii-neo nas arterias, estima<;ao do patrimoniofuturo de uma empresa, calculo da espessurada camada de ozonio, determina<;ao da quan-tidade de gas radon em uma casa e determi-na<;ao do consumo de calorias em urnexercicio em bicicleta.

A medida que avan<;a neste capitulo, e. sempre que a lei tor enrontrar integrais defi-',- nidas em cursos aplicados, deve ter em mente

as nove palavras: limite. de sl2!!!!!s,~Sf)l~, limite de somas.-----..

y = g(x), :~.' :'

"bY"\ ..•... '

G""IL

c:/

\,." ."',-'l '\

\ .~,'\

'y~,'...•.

Se um,a~u '<li I e co~tinua e I (x) " 0 em [a, b], entao, peloTeorem 5.19 a area da i'egiaosobo grafico de I de a a b e

, b

dada pela integral definida 1. I (x) dx. Nesta seC;ao,,considerare-

mos a regiiio que esta entre os graficos de duas func;6es,,Se I e g SaDcontinl!as e I(x)" g(x) " 0 para todox em [a, b],entao a area A da regiiio R, limitada pelos graficos deI, g, x = a ex = b (veja a Figura 6.1), pode ser calculada sublrain-do-se a area da regiao sob 0 grafico de g (fronteira inferior de R )da area da regiiio sob 0 grafico de I (fronteira superior de R), comosegue: ' ,

, b b, b

A =J I (x) dr --J g(x) dx =J [I(x) -- g(x)] dxtI _ a a

•Esta f6rmula para A_,tambem e valida. seJ ou g e negativa paraalgum x em [a,~]. Para verifiCar, w:olhamoS-1l!IL!!~!!egptivo djnferior a!Lv~o.!:__!!~Ll)iJl1Q,J!qu;,i;JL[q,!1.con formei1ustrado na Figura 6.2(i). Em seguida, considereinos as func;6es 'II e gl' definidas como segue:

II(x) = I (x) -d= I (x) + Idlgl (x) = g(x) - d = g(x) + Id I

Os graficos de I, e gl' podem ser obiidos deslocando-se ver-ticalmente os griificos de I e g de uma distfmcial d I, Se A e aarea da regiiio na Figura 6.2 (ii), entiio

A = {(J,(X) -:-gl(x)] drb

=J {(J(x) -- dJ - [g(x) -- dJ} dr.

, b" '.=J tI(~); g(x)]dx., ,

A f6rmula de A no Teorema (6.1) pode ser interpreladacomo um limite de somas. Fazendo h (x) = I (x) -- g (x) e se IV

esta em [a, b), entao h (w) ~ a distilncia vertical entre os 'graficosde leg para x = w (veja a Figura 6.3). Tal como em nossoestudo das somas de'Riemann no Capitulo 5, sejaP uma parti<;iiode [a, b) determinada pora = xO' XI' ••. , xn = b. Para cada k, seja&k =xk -Xk_l; e seja Wk urn numero arbilrario no f('0 subinter-valo [Xk _ " xk] de P. Pela defini<;ao de h,

que e a area A do relilngulo de comprimento I(wk) -- g(w

k) e

largura &k exibido na Figura 6.4.

/ IV.\X.I:_1 Xl

2: h(wk) tlxk = 2: [I(wk) - g(wk)] &kk k

e a soma das areas dos retangulos na Figura 6.4 e e, assim, umaaproxima<;ao da area da regiao entre os graficos de f e g de a ab. Pela defini<;ao de integral definida,

b

lim 2: (h wk) !:>xk =f h (x) dxIIPII-o k a

Como h(x) = f(x) - g(x), obtemos 0 seguinte corolario do. Teorema (6.1).

Podemos utilizar 0 seguinte metoda intuitivo para lembraresta f6rmula de limite de somas (veja a Figura 6.5).

2. Use f(x) - g(x) para 0 comprimento f(wt) - g(wt) do

retangulo.

b

3. Encare 0 simbolo i como urn operador que lorn a urn limitea

de somas das areas retangulares [f(x) - g(x)] dx.

Esle metodo nos permite interpretar a formula da area noTeorema (6.1) como-segue:

b

. . .A =fa [f(x) - g(x)] dx~

limite ~mprimento de Largura dede somas urn retangulo urn retangulo

Ao usar esta tecnica, visualizamos a soma<;ao de areas deretangulos verticais, percorrendo a regiao da esquerda para adireita. Mais adiante nesta se<;ao consideraremos tipos diferentesde regioes, ao determinarmos areas utilizando retangulos IIO~i-zontais e integrando em rela<;ao a y.

Designemos por regiao Rz uma regiao (para integra<;ao emrela<;ao a x) que esteja entre os graficos de duas equa<;oesy = f(x) e y = g(x), com f e g continuas e f(x):2: g(x) para todox em [a, b], onde a e b sao, respectivamente, a menor e a maiorcoordenada-x dos pontos (x, y) na regiao. As regioes exibidasnas Figuras 6.i a 6.5 sao regioes Rz• Varias outras regioes estaoesbo<;adas na Figura 6.6. Note que os graficos de y = f(x) ey = g(x) podem interceptar-se uma ou mais vezes; entre Ian to,f (x) :2:g(x) em lodo 0 intervalo.

Diretrizes para aehar a areade uma regifio Rx (6.3)

~: y = g(x) :

>«JY=.f(.:) ·.. 1

" '.:. '1' "'\ .:. '}., .. ,':,: "'.' <\

: Y = g(x) ;

y= f(x)

~\> .. 1,;:.,.'t', '.'·1j." -'.

: y = g(x) :

As seguintes diretrizes podem auxiliar a resolur;flo deproblemas.

Achar a area da regiao delimitada pelos graficos das cqllilr; ·r.y=K- ey =vx.

Seguindo as diretfizes 1-3, esbo<;amos 0 grMico, rollllando II

re'gia<i; e' exibirn<i~ urn retangulo vertical lipico (vcja a I'Il\nlll6.7). Os ponlos (0,0) e (1,1) em que os graficos se inlcr Cplllll'

podem ser achados resolvendo-se simultaneamente as equa~oes:(;y =r e y = y'\,_Referindo-se a figura, oblemos: : .,./

fronleira superior: y = Vifronleira inferior: y =r

largura do relangulo: dxcomprimenlo do retangulo: YX - r

area do relilngulo: (YX - r)dx

•Recorremos em seguida a direlriz 4 com1

I~mbrando que a aplica~ao de f.. 0

significa lomar 0 Ilmile de somas de areas de relangulos verticais,".Islo nos da

Achar a area da reglao delimilada pelosy +r = 6 e y + a- 3 = O.

A Figura 6.8 representa a regiao e urn relangulo lfpico. as pontosde interse~ao (-1,5) e (3, -3) dos dois graficos podem serobtidos resolvendo-se simultaneamente as duas equa~oes dad as. i;Para aplicar a direlriz 1, designamos por y = f(x) e y = g(x) as'fronteiras superior e inferior, respectivamente. Resolvemos entao :cada equa~ao em rela~ao a y em termos de x, conforme Figura'.6.8. Isto nos da: .

fronteira superior: y = 6 - rfronteira inferior: y = 3 - 2~

largura do retangulo: dxcomprim~nto do relangulo: (6 - r) - (3 - 2~)

area do retangulo: [(6 -r) - (3 - a)] d~

. Aplicamos em seguida a diretriz 4 com a = -1 e b = 3,admitindo f:. como urn operador que toma urn limite de somas

de areas de retangulos. Assim

3

A =f [(6 -r) - (3 - a)]dx-1

3 .

=f (3 -·r + a) dx-I

o exemplo a seguir mostra que as vezes e necessanosubdividir uma regiao em varias sub-regioes R e utilizar entaomais de uma integral definida para achar a are;.

Achar a area da reg\ao R delimitada pelos grRficos dey - x = 6, Y -.~ = 0 e 2y + x = O.

A Figura 6.9 exibe os graficos e a regiao. Cada equa~ao foiresolvida em rela~ao a y em termos de x, e as fronteiras foramrotuladas de acordo COJ)1 a dir~triz 1. Sao observados retangulosverticais tipicos estendendo-se da fronteira inferior a fronteirasuperior de R. Como a:fronteira inferior consiste em por~oes dedois graficos diferentes, nao se pode obter a area ulilizandoapenas uma integral definida. Todavia, dividindo R em duassub-regioes R" R1 e R2, conforme Figura 6.10, e possfvel deter-

minar a area de cada uma e soma-Ias. Disponhamos nossotrabalho como segue.

REGIAOR\

fronteira superior: y = x + 6

frooteira inferior: y = -~ x

largura doretangulo: dx

comprimento dorelangulo: (x + 6) - (-~x)

area do retangulo: [(x + 6) - (- ~x)] dx

REGIAO R1

y=x+6y =x3

(x + 6) _x3

[(x + 6) - x3] d,

oA =I [(x + 6) - ( -~x)] dx'-4 -

2A2 =f [(X + 6) -xl] dx

o

Agora que ja calculamos muitas integrais semelhantes asdo Exemplo 3, poderemos algumas vezes apenas es/abe/ecer aintegral, isto e, expressa-Ia na forma adequada sem determinarseu valor numerico.

Ao considerarmosuma equa~ao da forma x = f(y),continuapara c s y s d, estamos na realidade inver/endo as papeis de x ey, admitindo y como a varitive/ independen/e e x como a varitiveldependenle. A Figura 6,11 exibe urn grafico tipico de x = f(y).Note que, se se atribui urn valor way, entao few) e umacoordenada-x do ponto correspondente do grafico.

Vma regiao Ry e uma regiao que esta compreendida entre

os graficos de duas equa~oes da forma x = f(y) ex = g(y), comf e g continuas, e f(y) '" g(y) para todo y em [c, d], on de c ed sao, respectivamente, a menor e a maior coordenada-y dospontos da regiao. A Figura 6.12 ilustra uma tal regiao. 0 grMicode f e a fronteira direita da regiao, e 0 grafico de g e a fronteiraesquerda. Para qualquer yo numero J(y) - g(y) e a distanciahorizontal entre essas fronteiras, conforme Figura 6.12.

x = J(y) Podemos utilizar !imites de somas para achar a area A deuma regiao Ry' Come~amos por escolher pontos do eixo-y com

x coordenadas-y c = Yo' y I:'" Yn = d, obtendo uma parti~ao do

intervalo -[c, d] em subintervalos de amplitude fJ.Yk=Yk - Yk-,'Para cada k escolhemos urn numero wk em [Yk-" Yt] e conside-

Diretrizes para achar a area_de uma reg/aD Ry 6.4)

·'~_~;i·-"i~-s;::':;:..;L_:;":;_j.2:1.,.., .".~'~, :"(

-)I'·

ramos retangulos horizontais de areas [f(wt) - g(wt)] !:J.y•• con-

forme i1ustrado na Figura 6.13. Isto conduz a

d

A=lim 2: [J(wt)-g(wk)]fJ.Yk=I [f(y)-g(y)]dy11/'11-0 k C

y, .._....._... _.. _.....w,y,., ---------_ .._-/

(g(w.), IV,)

LlY._..1

\f(f(w.), WI)

y,c = Yo

Utilizando nota~ao ana)oga a das regioesRx' representamosa largura fJ.Yk de urn retangulo horizontal por dy e 0 comprimentoJ(wk) - g(wk) do relangulo por J(y) - g(y) nas diretrizes seguintes.

.:t,_'APB~r o,opera~orlimiie de sOlll3sI. -a expressao na

·;;'\'dir~t~)e:c·~).~u'lar'a:integral;.- --~.:- ,

Na diret'riz 4 visualizamos a soma~ao de areas de relangu loshorizontals movendo-se do ponto mais baixo da regiao para 0

ponto mais alto."

"jII I

( ~,O)

x= 2/-4

(4,2)

x= /

Achar a area di!'regiaodeiimitada pelos griificos das equac;oes'2y2 = x + 4 e y2 = x. .,

A regiao esta ilustrada nas Figuras 6.14 e 6.15. A Figura 6.14'i1ustra 0 uso de retangulos verticais (integrac;ao em relac;ao a x),e a Figura 6.15 ilustra 0 usa de retangulos horizontais (integrac;ao'em relac;ao a y). Com relac;ao it Figura 6.14, vemos que sao'.

. necessarias varias integrac;oes em relac;ao ax para calcular a area.'.Todavia, pel a Figura 6.15, necessitamos de apenas uma integra-'c;ao em relac;ao a y. Aplicamos assim as diretrizes (6.4) eresolvemos cada equac;ao em relac;ao a x em termos de y.Referindo-nos 11Figura 6.15, obtemos:

fronteira direita: x = y2fronteira esquerda: x = 21- 4

largura do retangulo: dy

comprimento do retangulo: l- (2y2 - 4)

area do retangulo: [l- (21- 4)] dy

Poderiamos agora usar a diretriz 4 com c = -2 e d = 2, obtendo2 .

A pela aplicac;ao do operador J.2

a [l- (2y2 - 4)] dy. O\ltr~-:

metodo consiste em utilizar a simetria da regiao em relac;ao aoeixo-x e achar A duplicando a area da parte situada acima do .eixo-x:

A=! [y2-(2r-4)]dy-2

2

=2f (4- r)dyo

Em toda esta sec;ao admitimos que os griificos das func;oes(ou equac;6es) nao se interceptam no intervalo considerado. Seos griificos de f e g se cortam em urn ponto P(c, d), com:a < c < b, e se desejamos achar a area-delimitada pelos graficosde x = a a x = b, entao os metodos estabelecidos nesta se<;aoainda podem ser utilizados, mas serao necessarias duas integra- ..<;oes - uma correspondente ao intervalo [a, c] e a outra aD .~i

t:~

500Esfor~o (percenlual)

Figura 6.17 Diagrama tensao-esfor~para material elastico.

intervalo [c, b]. A Figura 6.16 ilustra este. fato, comf(x) ;"g(x) em [a, c] eg(x) ;"f(x) .em [c,b]. A'area A e dadapor

c b·

A =A1 + A2 =I [f(x) - g(x)] dx +I [g(x) - f(x) dxa c

Se os graficos se cruzam mais de lima vez, podem ser necessariasvarias integra<;oes. Problemas em que os griificos se interceptamaparecem nos Exerdcios 31-36.

Em pesquisas cientificas, uma quantidade fisica costumaser interpretada como uma area. Urn exemplo disto ocorre nateoria da elasticidade. Para testar a resistencia de urn material,o pesquisador registra os valares da tensao que correspondem adiferentes cargas (esfor<;os). 0 esboc;o da Figura 6.17 e urndiagrama tipico tensao-carga para uma amostra de urn materialelastico como borracha vulcanizada. (Note que os val ores datensao estao na direc;ao vertical.) Atentando para a figura, vemosque, it medida que a carga aplicada ao material aumenta, a tensao(indicada pelas set as na parte pontilhada) aumenta ate que adistensao do material atinja seis vezes 0 seu tamanho. A medidaque a carga decresce, 0 material elastico volta ao seu compri-men to original, mas nao percorre novamente 0 griifico 'original,obtendo-se, em seu lugar, 0 grMico de Iinha continua. Estefenomeno e chamado histerese elastica. (Fenomeno ana logoocorre no estudo de materiais magneticos, onde e chamadohisterese maglU!tica.) As duas curvas da figura constituem urnla~o de histerese para 0 material. A area da regiao delimitadapor este la<;o e numericamente igual it energia dissipada dentrodo material el:istico (ou magnetico) durante 0 teste. No caso daborracha vulcanizada, quanta maior e a area, melhor e 0 materialpara absorver vibra<;oes.

Exercs. 1-4: Estabele~a uma integral que possaser usada para determinar a area da regiao sombreada,

, (1, 1)

/ x=/

Exercs. 5-22: Esboce a regiao delimitada pelos gnificos das equa~es e calcule sua area,

5 y _ x2; Y _ 4x 13 l = 4 + x; l + x = 2

Y +x2 _ 3 14?

x-y=26 x+ y - 3; x=y";

7 y=}+ I; y-5 IS x=4y-l; x=O

y _ 4 _x2; 16 2J3 28 Y= -4 x-y ; x=y

y = _x2;17 3 y=O9 Y= 1/i; x= 1; x = 2, y=x -x;

10 Y = x3; Y =x2 ',18 y=J-xz-6x; y=O

11 l =-x; x - y = 4; Y =,::-1; y=2 19 x=l + 2l-,3y; x-O

, 12' 2' Y -x = 2; y= -2; y=3 20 x=9Y-l; x=Ox=y;,;, ;

\

", ,Exercs. 23-24: Ache a area da regiao, entre osgraficos das duas equa~6es de x = 0 a x = n.

:(~vy - sen4x; y = I + cos ~x

", 24 y = 4,-I:_cos2x; y = 3 sc'! 1x.; ,. -

Exercs. 25-26: Estabele~a somas de integrais quesirvam para achar a area da regiao sombreada,integrando em rela~o a: (a) x e (b) y.

, Exercs. 27-30: Estabele~a somas de integrais paraachar a area da regiao delimitada pelos graficos dasequa~6es, integrando em rela~aoa: (a) x e (b) y.

y=x-l

x=~l +3, "2 ',', :,'

x=2y, -4!

-----------------------·---'------r-'·'

il

kExercs. 31-36: Ache a area da reglao entre osgraficos de f e g para x restrito ao intervale dado,

31 f(x) = 6 - 3i; ,g(x) = 3x; [0,2]

32 f(x)=x2-4; g(x) =x + 2; [1,4}

33 f(x) = x3 - 4x + 2; g(x) = 2; [-1,3]

34 f(x) =x2; g(x) =x3; [-1,2}

35 f(x) = sen x; g(x) = cosx; [0,2n}

36 f(x) = sen x; g(x) =~; [0, n/2]

Exercs. 37-38: Seja R a regiao delimitada pelografico de f e 0 eixo-x de x = a a x = b, Estabele~auma soma de integrais, que nao contenha 0 sfmbolode valor absoluto, para calcular a area de R,

37 f(x) = Ii-6x + 51; a = 0, b = 7

@f(x)=I-xz+2x+31; a=-3, b=4

39 A figura exibe urn diagrama especffico carga-)en-sao (veja 0 Ultimoparagrafo desta se~ao).

Carga(esfor~o)

Estime as coordenadas-y e aproxime a arca dllregiao delimitada pelo la~o de histerese, usa",1o,com n = 6,

(a) a regra do trapezio

(b) 'a regra de Simpson

41l Suponha que os valores funcion~i's de f c II th.. , tabela abaixo ten,hamsido obtidos empiric!11I1'II', te., Admitindo f e g contfnuas, obtcnhll 1111111

, , '" 'aproxima~ao da area entre seus grl1ricos d,,';x'= 1 a'i = 5, usando, coin /I - 8,

,: ,';;. t ~ .! ~ : . \.1

(II) II r ern do trapezio

(11) II ,. 'Wn 'de Simpson© 41 Fac;a0 grafico'de f(x) = 12 - 0,7; - 0,8x +1,3',

em [-1,5; 1,5). Estabele~a uma soma de integrais;:que nao contenba 0 sfmbolo de valor absoluto,-eque permita apr\lximar aarea da regiao deJjmjta~'da pelogrMicdde f, pelo eixo-x e pelasrehi~.x=-1,5 ex= 1,5. ::"

© 42 Grafe, nos mesmos eixos,f(x) =, sen x' e.3 . '"

g(x)=x -x+O,Z para -Zsxs2. Estabele",uma soma de integrais que permita obter uma'aproxima~ao da area da regiao delimitada pelosgrMicos: " ' .> "

1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

2,5 3 4 3,5 2,5 2 2 3_.2 2 1,5 1 0,5 1 1,5 1

(. S6UDOS DE REVOLUQAo

o volume de urn objeto desempenha papel importante ern muitosproblemas nas ciencias ffsicas,tais cpino determina<;ao decentros de. massa e de momentos de inercia.' (Estes conceitos ,~,serao estudados mais adiante.) Como e diffcil determinar 0

volume de urn s6lido de forma irregular, come<;aremos cornobjetos que apresentam formas simples. Incluidos nesta categoriaestao os s6lidos de revolu<;ao, estudados aqui e na pr6xima se<;ao.

Se uma regiao revolve ern tomo de uma reta no plano, 0

s61ido result ante e urn solido de revolu<;ao; dizemos que 0 s6lidoe gerado pela regiao. Areta e urn eixo de revolu<;iio. Ernparticular, se a regiao R exibida na Figura 6.18(i) revolve erntomo do eixo-x, obtemos 0 s6lido ilustrado ern (ii) da figura.Como caso especial, se f e uma fun<;ao constante, digamosf (x) = k, entao a regiao c retangular e 0 s6lido gerado e urncilindro circular reto. Se 0 grafico de f e urn semicirculo cornextremidades de urn diametro nos pontos (a, 0) e (b, 0), entao 0

. s61ido de revolu<;ao e uma esfera. Se a regiao e urn trianguloretangulo corn base no eixo-x e dois, vertices nos pontos(a, 0) e (b, 0), corn 0 angulo reto em urn desses pontos, 0 s6lidogerado e urn cone circular reto.

Se urn plano perpendicular ao eixo-x intercepta 0 s61ido daFigura 6.18(ii), obtem-se uma se<;ao transversa circular. Se,conforme indicado na figura, 0 plano passa pelo ponto do eixo-xcorn coordenada w, entao 0 raio de circulo e few), e dai a suaarea e n[f(w)f Chegaremos a uma defini<;ao do volume de urntal s6lido de revolu<;ao utilizando somas de Riemann.

Particionemos 0 intervalo [a, b], como fizemos para areasna se<;ao precedente, e consideremos os retangulos na Figura6.19(i). 0 s6lido de revolu<;ao gerado por esses retangulos tern

,500 xEsfo~~ (percentual)

a forma indicada em (ii) da figura. Come<;ando com a Figura6.23, removeremos partes dos s6lidos de revolu<;ao para auxiliarna visualiza<;ao de por<;6es geradas por retangulos tipicos. Comrespeito a essas figuras, e bom lembrar que 0 solido se obtempor uma n:volu<;ao comp/eta em tomo de urn eixo, fl nao poruma revolu<;ao parcial.

Note que 0 k'!'O retangulo gera urn disco circ\jlar (urncilindro circular) com raio da base f (w» e altura (e&pessura)

!uk = xk - xk_ r 0 volume desse disco e a area da base vezes a

altura - isto e, n[f(wk>y !uk. 0 volume do s6lido exibido na

Figura 6.l9(ii) e a soma dos volumes de todos esses'dlscos.

Esta soma pode ser vista como uma soma de Riemann para• it[f (x >y. Se a norma II P II da parti<;ao esta proxima de zero,

entao a soma deve estar proxima do volume do s6lido. Assirn,e natural defininnos 0 volume do s6lido de revolu<;ao como urnlimite de tais somas.

-..; ;-'-6x,ty = [(x):

".:,

'~ej{febritinuael]l [a, b), e seja R a regiao delirnitada pelografit"o d~"jpelo eiXo~x epelas ,retas verticais x =0 e x = b..0 y~iu;n~)'-d~s6Ii((qde revolu<;iiogerado pela revolu<;ao deReintomh'doeixo':ix~,.J:_I ,·;,;,;;.:.~~,;·.:;r,:~:··:~. : b

,,':Y~'Ii~\2:':~Jj(wk)j2&k=f n[f(x)? dx""'!", ,II pll...;. ° , k ':-'" . a .

o fato de que 0 limite de somas nesta defini~ao e igual ab

fa n[f(xlf dx decorre da defini<;ao de integral definida. De modo

gera!, nao especificaremos as unidades de medida de volume.

Se a medida linear e polegada, 0 volume sera dado em polegadascubicas. Se x e medido em centfmetros, entao V sera expressoem centfmetros cubicos (cm3) etc.

A exigencia f(x);o 0 foi omitida intencionahnente naDefinilSao (6.5). Se f e negativo para alguns valores de x, comona Figura 6.20(i), e se a regiao delimitada pelos grMicos def. x = a ex = b, e a eixo-x revolve em tomo desse eixo, obtemosa s6lido exibido em (ii) da figura. Este s6lido e a mesmo que as6lido gerado pel a revoJulSao. em tom a do eixo-x, da regiao soba grMico de y = f(x) de a a b. Como If(xW = [f(x)f. a limiteda DefinilSiio (6.5) nos da a volume.

Invertamos agora os papeis de x eye falSamos a regiaoRy da Figura 6.21(i) girar em tomo do eixo-y, gerando a s6Jido

ilustrado em (ii) da figura. Particionando a intervalo-y [c, d] e,usando relangulos horizontpis de largura t>.y-k e comprimento'

g(wk), a mesmo tipo de raciocfnio que ariginOli' (6.5) conduz-nos

a seguin Ie definilSao.

Como podemos fazer uma regiao girar em tomo do eixo-x.do eixo-y au de qualquer outra reta, nlio If acollsellllivel memo-rizar simplesmente as formulas de (6.5) e (6.6). E preferfvelmemarizar a seguinte regra geral para achar a volume de urndisco circular (veja a Figura 6.22).

Volume V de umdisco circular (6.7)

Dlretrlzes para achar 0volume de um solido derevolUt;ao utillzando discos(6.8).

Ao lidarmos com problemas. aplicaremos a metoda intui-tivo desenvolvido na SelSao 6.1, substituindo t>.xk au tiYk par dx

au dy etc. Sao uteis as seguintes diretrizes.

EsbOlSMa,regiao·R . a'ser .revolvi_d.~Le rotular asfronleir<\s:~-Exibir: urn. reia~gUlo ~tfpia;' vertical delargura',~;ou umretangulo hori2;ol)tal.4e larg~ra dy,~b~'o's6Iido'gerado par R ·~o.discJigerado pdo

• rei~,~~I~~:~~:d.ir~triz 1. . ,-, ·.L:?_;;;/<~::-~~'.;i.·'.3 ,;Expr~lIr 9..~~!9d.Pd..iscOem terI¥0sde x(),u,Y ~onforme

J~jl;~~t~fl~~~lf[~m/d:A regiao delimitada pelo eixo-x, pelo grafico da equalSiioy =X? + 1 e pelas retas x = -1 e x = 1 gira em tomo do eixo-x.Determine a volume do s6lido resultante.

Conforme a diretriz 1, esbolSamos a reglao e exibimos urnretangulo vertical de largura dx (veja a Figura 6.23(i». De acorclocom a c1iretriz 2, esbolSamos a s6lido gerado par Reo dis 0gerado pelo retangulo (veja a Figura 6.23(ii). De acordo com asdiretrizes 3 e 4, observamos a seguinte:

espessura do disco: dxraio do disco: x2 + 1

volume do disco: n(r + 1)2 dx

till Poderfamos em seguida aplicar a diretriz 5 com a = -1 e b = b = 1,.··.. I .

para obter 0 volume Yconsiderando II urn operador que loma uIii

limite de somas de volumes de discos. Outro metodo consiste emusar a simetria da regiao em rela<;1ioao eixo-y e achar VaplicandoI .

Io

a n(x2 + If dx e duplicando 0 resultado. Assim,

1V =I n(x2 + Ifdx

-I

I

= 2f n(x4 + 2x2 + 1) dxo

A regiiio delimitada pelo eixo-x e pelos graficos dey = x3, y = 1e y = 8 gira em tome do eixo-y. Determine 0 volumedo solido resultante.

A Figura 6.24 e urn esbo<;o da regiiio e do solido, apresentandotambem urn disco gerado par urn retangulo horizontal tipico.Como desejamos integrar em rela<;ao ay, resolvemos a equa<;iioy = x3 em rela<;iio a x em termos de y, obtendo x = ylfl. Note osseguintes fatos (veja as diretrizes 3 e 4):

espessura do disco: dy

raio do disco: illvolume do disco: n(ylJJf dy

FiniiImente, aplicamos a diretriz 5 com c = 1e d = 8, considerandof~urn operadar que toma urn limite de somas de discos:

8 8 [ 5~]8V =IIn(Y l/3f dy = nIl ;:1 dy = 1t T I

... Consideremos em seguida uma regiiio R do tipo ilustrado·na Figura 6.25(i}. Se esla regiiio gira em lomo do eixo-x, obtemoso s61ido i1ustrado em (ii) da figura. Nole que, se g(x) > 0 paralodo x em· [0; b), ha uma abertura alraves do solido.

o volume V do solido pode ser oblido sublraindo-se 0

volume do solido gerado pela menor regiao do volume do solidogerado pela maior regiiio. A Defini<;iio (6.5) nos da

- b . b b

V = I n [f(x)f dx - I n [g(x)J2 dx = I n {[f(X)J2 - (g(xm dx. a . • a '. Q

~I ,...;- tUk

II1

A ultima integral admile uma inlerprela<;1io interessante como urnlimite de somas. Conforme ilustrado na Figura 6:25(iii), um relangulovertical que se estende do grafico de g ao grafico de f, pelos pontoscom coordenada-x wk' gera urn anel sOlido cujo volume e

Somando os volumes de lodos esles aneis e tomando 0 limite,obtemos a integral definida desejada. Ao resolver problemasdeste tipo, e convenienle usar a seguinte regra geral:

Urn erro comum na aplica<;ao de (6.9) consiste em tomaro quactrado da diferen<;a dos raios em lugar da diferen<;a dosquadrados. Note que

volume de urn anel '" n[(raio ext) - (raio int)f. (espessura)

Podern-se estabelecer diretrizes semelhantes a (6,8) paraproblemas que envolvem aneis. As principais diferen<;as sao quena diretriz 3 deterrninamos expressiies para 0 raio exterior e 0

raio interior de urn anel tipico. e na direlriz 4 ulilizarnos (6.9)para achar uma formula para 0 volume do anel.

A regiao delimitada pelos gnuicos das equa<;iies, xl =y - 2 e2y - x - 2 = 0 e pelas retas verticais x = 0 e x = 1, gira em lornodo eixo-x. Detennine 0 volume do solido result ante.

A Figura 6.26(i) e urn esbo<;o da regiao e exibe um retilngulovertical tipico. Como desejamos integrar em rela<;ao a x, resol-vemos as duas prirneiras equa<;iies em rela<;ao a y em tennos dex. obtendo y =xl + 2 e y = ~x + 1. 0 solido e urn anel gerado pelo

retilngulo estao i1ustrados em (ii) da figura. Aplicando (6.9).obtemos 0 seguinte:

.espessura do anel: dx

raio exterior: x2 + 2

raio interior: ~x + 1

volume: n[(xl + 2)2 - (~x + 1)2] dx

Usamos urn limite de somas de volumes de aneis' apli-1

cando Io:

1V =J.n[(xl + 2)2 - (!x + 1)2] dx

o 2

1

= nJ (x4 + IIxl - x + 3) dxo 4

[

;IS is (i') ;\.2 .] 1 79n .=n -+- - --+3x =-=1245 4 3 2 0 20 '

Calcular 0 volume do solido gerado pela rota<;ao da regiaodescrita no Exemplo 3em torno da reta y = 3.

A regiao e urn retilngulo vertical tipico estao reesbo<;ados naFigura 6.27(i). juntamente com 0 eixo de revolu<;3O y = 3. 0solido e urn anel gerado pelo retilngulo estao ilustrados em (ii)da figura. Notamos 0 seguinte:

3-(!x+l)=2-!~2 2

3 - (xl + 2) = 1 - xln [(2 - ~X)2 - (1 - xl)2] dx

y

raio interior:

volume:

1

Aplicando 0 operador limite de somas Io

,obternos 0 volume:

I'

V =J n((2 - ! x)2 - (1 - xl)2] dxo 2

[9 (i') xS]' SIn

=It 3x-xl+"4 3" -5 0=2"0=8,01

A regiao do primeiro quadrante delimitada pelos gnlficos liey = ~i' e y = 2x gira em tomo do eixo-y. Determine 0 VOhlIlH':

do solido resultante.

SOLuC;AoA Figura 6.28(i) exibe a regiao e urn retangulo horizontal tipi~~;Desejamos integrar em, relal;ao aye assim resolvemos ~s'equal;oos em relalSiio a x em termos de y, obtendo '

x=~y e X= 2yll3

10 y = 1/x, y = 1,

11 x = 4y -l, ~..-o;12 y =X, Y =3,

(3,4)

x=.f25-y'

A Figura 6.28(ii) ilustra 0 volume gerado pela regiao e 0 anel,gerado pelo retangulo. Temos:

espessura do ane!: dy

raio exterior: 2yl/3

raio interior: iy

volume: n[(2yll3)2 - q y)2J dy = n(4y'1J3 - * i) dy

15 y=x; x+y=4,,;X=O

16 y = (x - 1)2 + 1, y = -(x' - 1)2 + 3;

8Aplicando 0 operador limite de somas 1

019 x=l,20 x + y = 1,

x-y =2;

x-y=-I, x.;, 2;8

V =J n(4y'1J3 _1 i) dyo 4

x=O,y=O;

22 y = 1 + cos 3x,x=2tc, I

23 y = senx,x=O,

y = cosx,x-n/4;

I'; "('('S. 1-4: Estabelec;a uma integral que 'possa serIIMllllnrnm caleular 0 volume do solido obtido relaIllilli; " cia area sombreada em tome do eixo indica-illl 24 Y = sec x,

x = Jt/4;

Exercs. 25-26: Esboce a regiao delimitada pelosgraficos das equac;6es e ache 0 volume do solidogerado pel a revoluC;aode R em tome da reta dada.Exercs. 5-24: Esboce a regiao delimitada pelos

graficos das equac;6ese caleule 0 volume do solidogerado pela revoluc;ao de R em torno do eixoindicado.

.. 1 2 2

.Y="iX +(2,4) (a) y =4 (b) y=5

(c) x = 2 (d) x~3

26 y=vx, y=O, x=4

(a)x=4 (b)x=6

(c)y= 2 (d) Y = 4

5 Y = lIx, X= 1, x=3, y=O; eixo-x

6 y=V; x-4, y=O; eixo-x

7 y =x2 - 4x, y=O eixo-x

8 y =x3, X= -2, y=O; eixo-x

Exercs. 27-28: Estabele~a uma integral que per-mita achar a volume do solido gerado pelarevolu~iio da area sombreada em tom a da reta(a) y = -2, (b) y - 5, (cl x = 7 e (d) x = - 4.

f, (2,4)

y= x '?t

Exercs. 29-34: Esboce a regiiio R delimitada pelosgraficos das equa~6es. e estabele~a integrais quepermitam calcular a volume do s61ido gerado pelarevolu~iio de R em tomo da reta dada.

29y=x3, Y = 4X; y=8

30y=2, y - 4X; x=4

31 x+y=3, y+~=3; x=2

32 y = l_x2, x - Y = 1; y=3

33 x2+l= 1; x=5

34 y -x?J3, y_x2; y=-1

Exercs. 35-40: Use uma integral definida para esta-belecer uma f6rmula do volume do s61ido indicado.

36 Urn anel ciHndrico de altura 11, raio exterior R eraio interior r

37 Urn cone circular relo de altura 11 e raio dabase r.

39 Urn lronco de cone circular de altura ", raio dabase inferior R e raio da base superior r.

40 Urn segmento esferico de altura 11 em uma esferade raio r.

41 Se a regiiio exibida na figura gira em tomo doeixo-x, use a regra do trapezio. com n - 6 paraobter uma aproxima~iio do volume do s6lidoresultante.

42 Se a regiiio exibida na figura gira em tomo doeixo-x, use a regra de Simpson com n = 8 paraobler uma aproxirna~o do· volume do s6lidoresultante.

para obter uma aproxima~iio do volum~ do sOlidoresultante.

@Exercs. 43-44: Grafe f e g nos mesmos euoscoordenados, para 0 s x S !t. (a) Estirne as coordena-das-x dos pontos de intersec~iio dos graficos. (b) Sea regiiio delimitada pelos graficos de f e g gira emtorno do eixo-x, use a regra de Simpson com II = 4

l--'J~I I~r----+:-'ii 1

I .~I_~rI---f

11

__J

Volume V de um anelcifindrlco (6.10)

Na se"30 precedente calculamos volumes de s61idos de revolu-"30 usando discos circulares, ou aneis. Para cerlos tipos des6lidos e convenienle utilizar cilindros circulares ocos, iSIO e,finos aneis cilindricos do tipo ilustrado na Figura 6.29, onde1"1 e 0 raia exterior, 1'2 e 0 ·raio illterior, /r e a altura e

/).1'= 1'1- - 1'2 e a espessura 'do ane!. 0 raio medio do ane! e

I' = ~ (1'1 + 1'2) Podemos achar 0 volume do anel sub train do 0

volume nr;/r do cilindro interior do volume n~h do cilindro

exterior. Fazendo islo e mudando a forma da express30 resul-tante, obtemos

n~/r - nr;/r = n(~ - I~)h

= n(rl + 1'2)(1'1- r2)/r

Se fizermos a regiiio R% da Figura 6.30 (i) girar em tomo

do eixo-y, oblemos a s6lido i1ustrado em (ii) desta figura.

Seja Puma parti"30 de [a, b] e consideremos 0 retiingulavertical tipico na Figura 6.30(iii), onde wk e 0 ponto media de

[X~_l' xk]· Se fizermos esse retiingulo girar em tomo do eixo-y,

obteremos urn anel ~illndrico de raio medio wk' altura f(wk) e

espessura /).xk' Logo, de acordo com (6.10), 0 volume do ane! e-'.' ~.'.'r .

2Tcwkf(wk)/llk,,--)' ;

Diretrizes para sehar 0volume de um solido derevolufBO ussndo sm§iseilindricos (6.12)

Fazendo girar 0 poHgono retangular formado par todos as;retangulos determinados por P, obtemos 0 s61ido ilustrado ~.~ :Figura 6.30(iv). 0 volume deste s6lido e uma soma de Riemann;

Quanto menor for a norma II P II da partic;ao, mais a somaaproximani 0 volume V do solido exibido na Figura 6.30 (ii).i,)sto e 0 que motiva a definic;ao seguinte. '

Pode-se provar que, se as mctodos da Sec;ao 6.2 tambemforem aplicaveis, enlao ambos as rnetodos conduzern a mesma'resposta. Podemos tarnbCrn considerar s6lidos obtidos pela ~revoluc;ao de uma regiao em tomo do eixo-y ou de outra reta.

IU III lIP'!') I,C:~nn ~)t;ii.f,1/;r; lem as seguintes diretrizes.J'.j I. -".~ •.' ',." ;.,': ,.ilJt!, UFrc. . •....

; l' ~.; ~ " }:: .::.~~..~::~. ~."~·:.f ~.;~{~) S[~';Ij'f f',: ;\~ tjL'( ,'.~,~1

I Nil l:GANDO-OS 'E~lDIA

A regiao delimitada pelo grafico de y = 2x - XZ e pelo eixo-x giraem tomo do eixo-y, Determine 0 volume do solido result ante.

A regiao esta esboc;ada Da Figura 6,31 (i), juntamente com urnretiingulo vertical tfpico de largura dx. A Figura 6.31 (ii) exibeo anel cilfndrico gerado pela revoluc;ao do retiingulo em tomo'do eixo-y, Note que x e a distancia do cixo-y ao ponto medio dorctiingulo (0 raio medio do anel), Referindo-nos a figura eaplicando (6.10), obtemos a seguinte:

espessura do anel: dx

raio media: xaltura: 2x - XZ

volume: 2=(2x - XZ)dr;

Para somar todos esses aneis cilfndricos, caminhamos da esquer-da para a direita alraves da regiao, de a = 0 a b = 2 (Illia somarde -2 a 2). Portanto, 0 limite de somas e

2 2V =f 2m: (2x - ).2) dx = 2Jtf (2x2 -,il) dx

o 0

= 2Jt [2(t) - ~]:=8;~8,4

o volume V pode ser obtido tambem utilizando-se aneis; mas osclilculos seriam muito mais complicados, pois a equalSaoy = 2x - x2 leria de ser resolvida em rela<s3oa x em termos de y.

Faz-se revolver em lomo da reta x = 3 a regiao delimitada pelosgrlificos de: y = x2 e y = x + 2. EstabelelSa uma integral para 0

volume do solido resultante.

A regiao esta esbo<sada na Figura 6.32(i), juntamente com urnretangulo vertical tipico, estendendo-se da fronteira inferior y = x211 fronteira superior y = x + 2. A figura eXlbe tambeID 0 eixo derevolu<s3ox = 3. Em (ii) da figura iluslramos nao s6 0 anel cilindricocomo 0 solido gerado pela revolu<s3o do retangulo e ,da regiao emtomo da reta x = 3. E importante notar que, como x e a distfuu;.iado eixo-y ao retangulo, 0 raio do anel cilindrico e 3 - x. Reportan-do-nos 11 Figura 6.32 e aplicando (6.10), obtemos:

espessura do anel cilfndrico: dxraio medio: 3"':'~'

altura: (x + 2) - x2

Para somar todos esses aneis cilfndricos, caminhamos da esquer-da para a direila atraves da regiao de a = -I, a b = 2. Logo, a .

2 ,

limite de somas e V =J 2n(3 - x) (x + 2 - x2) dx-I

A regiao do primeiro quadrante delimit ad a pelo grlifico daequalSao x = 2y-l e pelo eixo-y gira em tomo do eixo-x.EstabelelSa uma integral para. 0 volume do solido resultante.

A Figura 6.33(i) exibe a regiao, juntamenle com urn relangulohorizontal tipico. A parte (ii) da figura mostra 0 anel cilindrico co s6lido que sao gerados pel a revolu<s3o em tomo do eixo-x.Reportando-nos 11 figura e aplicando (6.10), obtemos:

espessura do anel:

raio medio:

altura:

volume:

dy

y2y-l2Jty(2y- y4) dy

Para somar todos esses aneis cilfndricos, caminhamos pant inlll

atraves da regiao, de c = 0 a d = 2. Logo, 0 limite de somas

2

v= f 2JCy(21-l)dyo

, E digno' de nota qu~, no exemplo precedente, tenhamos"sido fOfl;ados a usar aneis cilindricos e integrar em rela<;ao a y,pois 0 usa de antis (arruelas) e a inlegra<;ao em rela<;a. a xexig'iria a resolu<;ao da equa<;ao x - 21-l em rela<;ao a y emlermos de x, larefa assaz dificil.

II~' nn6is cilindricos para cada exercicio.

1')xcrcN.1-4: Estabele~a uma integral que permila"dlllr 0 volume do solido obtido pela revolu~ao dai )11I) sombreada em tome do eixo indicado.

Exercs. 5-18: Esboce a regiao R delimitada pelosgraficos das equa~oes, e calcule 0 volume do solidogerado pela rota~ao de R em lomo do eixo indicado.

5 y=-"&, x-=--4, y= 0; eixo-y

6 y - 11x, x = 1, x=2, y= 0; eixo-y

7 y =:1, i~&; eixo-y

8 16y =x2, i-2x; eixo-y

9 2x- y= 12, x-2y=3, X= 4; eixo-y

10 y =x3 + 1, x+ 2y - 2, x= 1; eixo-y

11 2x - Y= 4, x= 0, y=O; eixo-y

12 y =:1- 5x, y=O; eixo-y

13 x2 = 4y, y=4; eixo-x

14l =x, y=3,- x=O; eixo-x

15 y = 2x, y- 6, x=O; eixo-x

16 2y -x, y- 4, .x= 1; eixo-x

17 y=Yx+4, y=O, x=O; eixo-x

18 y = -x; x - y - -4, y=O; eixo-x

Exercs. 19-26: Scja R a regiao delimitada pelosgriificos das equa~oes. Estabele~a uma integral quepermita calcular 0 volume do solido gerado pelarota~ao de R em tome da reta dada.

Exercs. 27-30: Seja R a regiao delimitada pelos ':,graficos das equa~oes. Estabele~a integrais quepermitam calcular 0 volume do solido geradoquando R gira em lorno do eixo !Jado, usando(a) aneis cilindricos e (b) discos ou aneis (arruelas).

27 y"" 1/-..&, x-I, x- 4, y=O, eixo-x

28 y = 9 -:I, x= 0, x.-2, y=O; eixo-x

29 y =x2 + 2, ~=O, x = 1, y=O; eixo-y

30 y=x+1, x .• 0, x = 1, y=O; eixo-y

31 Se a regiao exibida na figura gira em lomo doeixo-y, use a regra do trapezio, com 11 = 6, paraobter uma' aproxima~ao do volume do solidoresultante.

32 Se a regiuo exigida na figura a seguir gira em lamado eixo-y, use a regra de Simpson, com 11 = 8, paraobter uma aproxima,ao do volume do sOlidoresul-tante.

~'x 23 x+y=3, Y+x2 _ 3; x=2..

24y=1-x2,xx - y = 1; y~3,

25 x2 + i-I;, x=5) /,y I 7 ri

26'y =x2l3, 2' y= -1y=x'

(a)x=3 (b) x--l

20y=4-x2,y=0

(a) x = 2 (b) x = -3

21 y=x2, y=4

(a) y = 4 (b) Y= 5 (c) x = 2 (d) x = -3

22 Y = -..&, y = 0, x = 4

(a) x = 4 (b) x = 6 (c) Y = 2 (d) Y- -4

(a) Use 0 metoda de Newton para obter umaaproxima!;ao, com duas casas decimais, dascoordenadas-x dos pontos de intersec!;ao dosgnlficos.

(b) Fazendo a regiao delimitada pelos gnlficosgirar em tomo do eixo-y, use a regra dotrapezio com n = 6 para obler uma aproxima-!;ao do solido resultante.

(a) Estime os interceptos-x do gnlfico.

(b) Se a regiao delimitada pelo gnifico de f epelo eixo-x gira em tomo do eixo-y, eSlabe-le!;a uma integral que permita aproximar 0

volume do solido resultante.

[g 34 Grafe, nos mesmos eixos coord en ados,f(x)=cscx e g(x) =x+ I·para a <x<rc.

Se urn plano intercepta urn solido, a regiao comum ao plano eao solido e uma set;iio transversa do solido. Na Se«;ao 6.2utilizamos sec«;oes transversas circulares e em forma de aneispara achar volumes de solidos de revolu«;ao. Consideremos agoraurn solido que tenha a seguinte propriedade (veja a Figura 6.34):Para todo x em [a, b], 0 plano perpendicular ao eixo-x em xintercepta 0 solido em uma se«;ao transversa, cuja area e A (x),onde A e uma fun«;ao continua em [a, b].

o solido e urn cilindro se, conforme ilustrado na Figura6.35, uma reta paralela ao eixo-x que tra«;a a fronteira da se«;aotransversa correspondente a Ii tambem tra«;a a fronteira da se«;ail'transversa correspondente a todo x em [a, b). As se«;oes trans-versas determinadas pelos pianos x = a e x = b sao as bases docilindro. A distancia entre as bases e a altura do cilindro. PorDefini«;iio, 0 volume do cilindro e a area de uma base multipli-cada pela altura. Assim, ovolurne do solido na Figura 6.35 eA(a). (b -a).

Volumes por sect;6estransversas (6.13)

Para achar 0 volume de urn solido nao-cilindrico do tipoilustrado na Figura 6.36, come«;amos com uma parti«;ao P de[a, b]. PIanos perpendiculares ao eixo-x em cada Xl na parti«;ao

cortam 0 s6lido ern pequenas fatias. Escolhendo urn numeroarbitrario wt em [xt_ \' xk], 0 volume de uma falia tipica po de

ser aproximado pelo volume A (Wk) !'uk do cilindro mais escuro

da Figura 6.36. Se Ve 0 volume do solido e se a norma II Pilepequena, entao

Como eSla aproxima«;ao melhora a medida que II P II diminui,definimos 0 volume do solido por

b

V= Jim 2: A (wk) !'uk = I A(x)dl:IPU-O k •

onde a Ultima igualdade decorre da defini«;ao de integral definitla.Podemos resumir nosso estudo como segue:

Resultado ao<llogo vale para urn intervalo-y [c, (IJ C purlluma area por sec«;6es transversas A (y).

Ache 0 volume de uma piramide reta de base quadrada dc lutll\a e com altura h.

De acordo com a Figura 6.37(i), tomemos 0 vcrlice tla pir. 11Iid

como origem, com 0 eixo-x passando pelo centro till hll'lquadrada, a uma distancia It de O. As secc<oes lransvcrslIs IHlIpIanos perpendiculares ao eixo-x sao quadrados. I\. FiB"I"6.37(ii) e uma vista .lateral· da piramide. Como 2y C 0 -c ,np,mento do lado da scc«;3o transversa quodrada corrcsplJlltI 'III I.

x, a area por sec«;6es transversas A (x) c

Urn solido tern, como base, a regiao circular do plano xydelirnitada pelo grafico de;(l +y 2 = a2 com a > O.Ache a volumedo solido, se tad a sw;ao transversa par urn plano perpeogicularao eixo-x e urn triangulo equilatero com urn lado na base.

A Figura 6.38(i) ilustra uma sec~ao transversa triangular por urnplano a x unidades da origem. Se 0 ponto P(x, y) esta no drculoe se y > 0, entao os comprimentos dos lados deste trianguloequilatero sao 2y. Reportando-nos a (ii) da figura, vernos, peloteorema de Pitagoras, que a altura do triangulo e

>, , ,;~ y ---.f..--- y ~

Exercs. 1-8: Seja R a regiao delimitada pelos gnifi-cos de x = lex = 9. Determine 0 volume do solidoque tern R como base, se toda sec~ao transversa porurn plano perpendicular ao eixo-x tern a forma dada.

V=! A(x)dx=! V3(a2-;(l)dx-Q -a

6, - Umt!iangulo com altura igual a: ~ do compri-mento'da base

, ~':y

.... ~ .. --~ '.

7 • Urn trapezio com base inferior no plano xy,base superior igual a III do comprimento da base 'inferior, e altura igual a V4da base inferior

8 • Urn paralelogramo com base no plano xy e altu-ra igual a duas vezes 0 comprimento da base

9 Urn solido tern como base a regiao circular dopl~o' iy deli~itada peio gr~fieOdexz +l- aZ

com a > O.Determine 0 volume do'solido se toda'se~otians~ersa por um'plano perpendicular ao

, ',,' eixo~.i e urn quadrado; ,;;; : :'")\'; r",: .>_ i. J ';

10 Fa<;li"oExercfcio 9 'se toda seCl;liotransversa eurn trilingulo isosceles com base no plano xy ealtura igual ao comprimento da base.

II" uin 's6lido tern como base a regiao do plano xy

-deli~i"tada pelos graficos de y = 4 e y = xZ. Acheo volume do s6lido' se toda sec<;3otransversa porurn plano perpendicular ao eixo-x e urn trilinguloretlingulo is6sceles com hipoteousa 00 plano xy .

. .', ,i. :-:.;;.~..: J' '. " • : -->-

12 Fa~"o Exercfcio 11 se (oda seCl;liotraosversa eurn quadrado.

.-" .".......}3 Ache 0 volUipe de ,uma pirlimide do tipo ilustrado, na Figura 6.37 se a altura e /I e a base e urn

reilingulo, de dimensoes a e 2a.

14 Urn solido tern como base a regiao do plano xy

delimitada pelos gnificos de y = x el- x. Acheo volume do s6lido se toda se~ao transversa porurn plano perpendicular ao eixo-x e urn semicir-culo com diametro no plano xy.

15 Urn solido lem como base a regiao do plano .l.ydelimitada pelos graficos de l = 4x e x = 4. Setoda sec~ao transversa por urn plano perpendicu-lar aoeixo-y e urn semicirculo, ache 0 volume dosolido.

16 Urn solido tern como base a regiao do plano xy

delimitada pel os graficos de x2 - 16y e y = 2Toda sec~ao transversa por urn plano perpendi-cular ao eixo-y e urn relangulo, cuja altura e duasvezes a do lado no plano .l)'. Ache 0 volume do

, solido.

17 Urn toro em forma de urn ciJindro circular reto'~l!: de raio a esta apoiado sobre urn lado. Remove-se

do toro uma cunha fazendo-se urn corte vertical,eoutro corte a urn angulo de 45°; ambos os cortesse interceptam no centro do toro (veja a figura).Ache 0 volume da cunha.

18 Os eixos de dois"cilindros circulares retos de raioa se interceptam em angulo reto. Ache 0 volumedo solido delimitado pelos cilindros.

19 A base de umsolido e a regiao circular do planoxy delirnitada pelo grafico de XZ +l- aZ coma;"0: Adiea voltime'dil solidosetoda se~otransversa por urn plano perpendicular ao eixo-x e urn tnangulo is6sceles de altura conslante h.

(SlIgestoo: Interpretar f VaZ - xZ <if" cOmouma. . -Q ':" ...

area.)

20 As sec~es transversas de urn s6lido em formade trompa por pIanos perpendiculares ao seu eixosao circulos. Se uma sec~ao transversa que est:\a s cm da menor eXlremidade do s6lido tern urndiametro de 6 + to i cm e se 0 comprimento dosolido e de 60 cm, determine seu volume.

21 Urn tetraedro tern tres faces mutuamente perpen-diculares e tres arestas mutuame'nte perpendi-culares de comprimenlos 2, 3 e 4 cm. Ache seuvolume. '

22 Teorema de Cavalieri Este teorema afirma que sedois sOlidos tiverem alturas iguais e se todas asse~es trnnsversas Por planos para1elos a suasbases e 11mesma distlincia dessas bases tiveremareas iguais, entao os sOlidoslem 0 mesmo volume(veja a figura), Prove 0 teorema de Cavalieri.

23 A base de urn s6lido e urn triangulo ret;lngl110isosceles, cujos Jados iguais tern comprimento II

Determine 0 volume, se as se~ocs transver~IINperpendiculares 11base e a urn dos !lIdos igl1llis,sao semicirculos.

24 Fa~a 0 Exercfcio 23, se as sec~oes transvcrsas sfiohexagonos regulares com urn lado sobre a bas'.

25 Mostre que os melodos do disco e do IIl1elestudados na Se~ao 6.2 s'~o casos especiais d(6.13).

~26 Uma piscina circular tern 10 m de difl\"clro. Aprofundidade da agua varia de 1 m no ponto ;\em urn lado da piscina ate 2,75 m cm I1IllPOIIIII

B diametralmente oposto a A (veja a figllrll).Tomam-se medidas "(x) da profundidlldc ( III

metros) ao longo do diilmetro An, clljos vaIni"constam da tabela 'seguinte, onde x C a (1i~IOn 10(em metros) de A.

0 ,4· , 8 12 16 20 2'12M I

1 1,25 1;5' 1'.75'2,0 2,25 2, . 2,7~

IIN "regra do trapezia. com n = 7, paraNil""" 0 volume de agua na piscina. Aproxime

"" ,,,era de gal6es de agua cantidos na piscina(I 1111\ - 3.7861itros).

Vma fun«ao f e suave em urn intervale se tern umaderivada f' continua em todo 0 intervalo. Intuitivamente, istosignifica que uma 'pequena varia«ao em x acarreta uma pequenavaria«ao flo coeficiente angular f'(x) da tangente ao graflco def. Assim. 0 grafico nao tern pontos angulosos nem pontos dereversao. Definiremos 0 eomprimento do area entre do is pont~sA e B no gn'ifico de uma fun«ao suave.

Se f e suave' em urn intervalo fechado [a, b], os pontosA(a, f(a» e B(b. f(b» sac chamados extremos do grafico de f.Seja P a parti«ao de [a, b] definida por a -xo' xl'x2 ••••

x. = b, e denotemos por Qk 0 polito com coo~denadas

(xk• f(xk» no gnifico de f, conforme Figura 6.40. Un indo cada

Qk-I a Qk por urn segmento de, comprimento d(Qk_I'Qk)' 0

comprimento Lp dalinha quebrada resultante e

, - ;q(. COMPRIMENTO DE ARCO E SUPERFICIES DE REVOLUyAO

AQ•·Q. Q.I"

(,I, Q,

Em algumas aplica«oes devemos determinar 0 comprimento ,do.gn'ifico de uma fun«ao. Para chegar a uma formula conveniente,'empregan;mos urn processo amilogo ao que poderia ser usado:para aproximar 0 comprimento de urn arame encurvado. Irnagi-nemos 0 arame dividido em muitas partes pequenas por meio 'de;'pontos em Qo' Qt' Qz ... Q •• conforme Figura 6.39. Podemos"

obter uma aproxima«ao do comprirnento do peda«o entre Q._I eQk (para cada k) medi~do a distancia d(Qk_I,Q.) com uma regu;:

A soma de todas essas distancias e uma aproxima«ao do'.comprimento total do arame. Evidentemente, quanto mais pr6~ximos uns dos oulros estiverern os pontos. melhor a aproxima-.«ao. 0 processo que utilizarernos para 0 grafico de uma fun«ao'e semelhante; apenas aqui determinaremos 0 comprimento exatotomando urn limite de somas de comprimentos de segmentosrelilineos. Este processo conduz a uma' integral definida. Paragarantir a existencia da integral, devernos impor restri"oes 11fun«ao. como se indica a seguir.

Lp";'2: d(Q._1' Q.).-1

para algum nurnero w. no intervalo aberto (xk• I' x.). Substituindo

f(x.) - f(xk_t) na f6rmula precedente e fazendo

tuk = x. -Xk_I' obtemos

d(Q •. t' Q.) = ';(tu/ + [1' (w.) tu.f= ';\ + [f'(w.)j2 tuk

Lp = )' ';1 + [f'(wk)? tu

kf:'t

Note que Lp e lima soma de Riemann para g(x) = ';1+ [f'(x)f.Alem disso, g e continua em [a, b], pois f' e continua, Se anorma IIPile pequena, entao 0 comprimento Lp da linha

quebrada tende para 0 comprimenlo do grafico de f de A a B.Esta aproxima"ao deve melhoTar -a medida que IIP II diminui;definimos assim 0 comprimento (tambem chamado eomprimentodo area) do gnlfico de f de A a B como 0 limite de somas Lp .

III

III

;c.; I

I,' I

I

Como g = VI+1f')T c uma func;ao continua, 0 limite existe e eb

igual a integral definida J vI + [f'(X)]2 dx.Denotaremos por.L: este comprimento de arco.

A Definic;ao (6.14) sera estendida a graficos mais comunsno Capitulo 13. Se uma func;ao f e definida implicitamente poruma equa~o em'x e y, entao tambcm estaremos referindo-nosao eomprimento de areo do grafteo da equa!:iio.

Se f(x) = Jx2I3 - 10, determine 0 eomprimeDto do arco do graficode f do ponto A(8, 2) a B(27, 17).

f' (x) = 2x-113 = ~, x1l3

21 1=J V.x213+4-dx8 xl13

, , 2 2 1u =.x213 + 4 ,du = -x-l13 dx = - - dx

, 3 3 xl13';' ;; .

.Estll integral pode ser postil em forma apropriada para integrac;ao,",!, introdu#ndo-se 0 fator ~ no integrando e multiplicando a integral

por ~:

321 (21)L21=-J ~ - - dx8 2 8 3 xl13

Calculamos em seguida os valores de u = x2I3 + 4, que corres-pondem aos limites de integrac;ao x = 8 ex = 27:

Substituindo no integrando e mudando os limites de integrac;aoobtemos 0 compriinento do areo:

A permuta dos papeis de x e y na Definic;ao (6.14) nos daa seguinle f6rmula para integrac;ao em relac;ao a y.

Os integrandos vI + [f'(X)]2 e vI + [g'(y)f nas f6rmulas(6.14) e (6.15) freqiientemente resultam em express6es que naoadmitem antiderivadas 6bvias. Em tais easos, pode-se utilizar aintegrac;ao numerica para aproximar 0 comprimento de areo,eonforme ilustrado no pr6ximo exemplo.

(a) Estabelec;a uma integral para achar 0 comprimento do arcoda equac;ao 1- y - x = 0 de A(O, -1) a B(6, 2).

(b) Aproxime a integral em (a) utilizando a regra de Simpson(5.38) com n = 6, e arredonde a res posta para uma cas adecimal.

(3) Como a equac;ao nao est a na forma y = f(x), a Def1l1ic;ao(6.14) nao pode ser' aplicada diretamente. Todavia, seescrevermos x =1- y, poderemos empregar (6.15) COlli

g(y) =1-y. A Figura 6.43 e 0 grMico da equac;iio. Utili-zando (6.15) com e = -1 e d = 2 obtemos

,= y -yB(6,2)

I -, 1-1 I I , •x

;') -tQII! :~=f(X) .

" ,'. ," ,:: :'l ' ~

I. b x

2

L:I =f vI + (31-1)2 dy-1

2

=f V9y 4 - 6y 2 + 2 dy-1 .

(b) Para aplicar a regra de Simpson, fazemo"f(y) = V9/- 6; + 2 e dispomos nosso trabalho como' .Sel;ao 5.6, obtendo a seguinte tabela.

i~{irt.~l~Y{?lj0

1 4

2 1,4142 2

3 1,0308 4

4 1,0 2,2361 2

5 1,5 5,8363 4

6 2,0 11,0454 1

Asoma dos mJm~ros na Ultima coluna e 52,1737. Aplicando:~a regra de Simpson com a = -1 e b = 2, e n = 6 obtemos

/1 V9y4 - 6y2 + 2 dy = 2 ;(~)1)(52,1737) = 8,7

Uma funl;ao f e parcialmellie suave em seu dominio se 0

grafico de f po de decompor-se em urn numero finilo de partes,'cada uma das quais e 0 grafico de uma funl;ao suave. 0comprimento do arco do gnifico e entao definido como a somados comprimentos dos arcos parciais.

Para evilar confusao no estudo que segue, denolaremos porI a variavel de inlegral;ao. Neste caso, a f6nnula do comlji'imento ."do arco na Definil;ao (6.14) se escreve

L: = f.VI + [f'(t)F dt

Se f e suave em la, b], entao f e suave ern [a, x] para lodo x em[a, b] eo comprirnenlo do grafico do ponlo A(a, f(a») ao ponlOQ(x, f(x)) e

Mudando a notal;ao e utilizando 0 simbolo sex) em lugar deL;, entao s pode ser considerado urna funl;ao com dominio

la, b], poi.s a'cada x em. la, b] corresponde urn tinico num'erosex). De acordo com'aFigura 6.44, sex) e 0 comprimento dQ arcodo grafico de f de A(a, f(a» a Q(X, f(x». Conforme a proximadefinil;ao, chamaremos s a fU/lI;iio comprimento de areo para 0

grafico de f.

Se sea funl;ao comprimenlo de arco, a diferencialds = s'(x) dx e chamada diferencial do comprimento de ai-co.o pr6ximo teorema especifica f6rmul~s p'ara determinar ds.

'.I~r?Jt~~~~~j'~W~i~i;ii~}~~JJf:,'_-{iJ~}~1:~

DEMONSTRA9AO

Pela Definil;ao (6,16) e pelo Teorema (5.35),

s'(x) = DJs(x)] =Dx~ vI + [f'(t)f dt 1= VI + [f'(xW

Aplicando a Definil;ao (3.28),

ds = s'(x) dx = VI + [f'(x)f dx

Isto prova (i).

Para provar (ii), elevamos ao quadrado ambos 05 membrosde (i), obtendo

(dS)2 = {I + [f'(xW}(dx)2

= (dx? + [f'(x) citf

= (dx? + (dy?

ds~--------T~ -----rdy

tu tJ

o Teorema (6.17) admite uma interpreta«;ao geometricainteressante e uti!. Consideremos y Q f(x) e seja /ix urn incre-mento x. Denotemos por !1y a varia«;ao de y, e por M a varia«;aodo comprimento de arco correspondente a /ix. A Figura 6.45ilustra incrementos tipicos; ali I e a tangente em (x, y) (comparecom a Figura 3.27). Como (dsj2 Q (dX)2 + (dy)2, podemos consi-derar ds como 0 comprimento da hipotenusa de urn trianguloretangulo de lados Idrl e Idyl, conforme se pode ver na figura.Note que se /ix e pequeno, enlao pod em os usar ds para aproximaro incremento M do comprimenlo de arco.

::::::::-rt 6y. tJ

Utilize diferenciais para aproximar 0 comprimento do arco dognHico de y Q.r + 2xdeA(I, 3) a B(I,2; 4,128):

Seja f uma fum,ao nao-negativa em todo urn intervalofechado [a, b). Fazendo-se 0 graftco de f girar em to~o do ..•.eixo-x, obtem-se uma superffcie de revolu~iio (veja a Figura6.46). Por exemplo, se f(x) Q.,r,:r::xr para uma constantepO,sitiva r, 0 graftco de f em [-r, r) e 0 semicirculo superior dex?-+y2 Q TJ., e uma revolu«;ao em tome do eixo-x gera uma esferade raio r e area 4nr.

Area d;superffcie de urntronco de cone (6.18)

Se 0 grilfico de f e 0 segmento de reta da Figura 6.47, enta~a superffcie gerada e urn tronco de cone de raios de bases '1 e '2e altura inclinada s. Pode-se mostrar que a area da superficie e

(rl + r,)n(r] + r2)s= 2,. 2 s

o Ieitor podera rememorar esta formula como segue.

Este fato sera utilizado na discussao a seguir.

Seja ! uma fum,ao suave nao-negativa em [a, b), e consi-deremos a superficie gerada pela revolu«;ao do grilfico de f emtorno do eixo-x (veja a Figura 6.46). Queremos achar umaf6rmula para a area S desta supeficie. Seja Puma parti«;ao de[a, b] deterrninada por a ~ xO,xI' ... ,xn = b, e para cada k denote-

mos por Qk 0 ponto (xJ(xk)) no graftco de f (veja a Figura

6.48). Se a norma \I P \I e pr6xima de zero, entao a linha quebr'adalp ,obtida ao Iigarrnos Qk-] a Qk para cada k, e uma aproximm;50

do grilfico de j, e dai, a area da superffcie gerada pel a revolur;50de lp em torno do eixo-x deve aproximar-se de S. 0 segmenlo

de reta Qk-lQk gera urn tronco de cone com raios de bases

!(Xk_l) e !(xk) e altura inclinada d(Qk_I'Qt)' Por (6.18), a area

de sua superffcie e

Somando os term os desta expressao de k = 1 a k = n obtemos a ,area Sp da superficie gerada pela linha quebrada lr Se aplicarmos:-

a expressao d(Qt_I' Qt) da pagina 442, entao

onde xt_1 < wt < xt. Definimos a area S da superficie de revolu.~_ ~'l.

I<aocomo

f.2rt L(x); fIx) vI + [f'(x)f dx =f.2rtf(x) vI + [f'(x>f dx

A demonstral<ao exige calculo avan<;ado e e omitida aqui. Adefinil<ao seguinte resume nossa discussao.

Se f e negativa para algumx em [a, b], entao podemos usara seguinte extensao da Defini<;ao (6.19) para achar a area da 'superficie S:

S =/ 2rtlf(x) 1',11 + [f(x)jZ dx.(6.18) e util para lembrar a 16rmula de S na DefiDi<;ao

(6.19).Tal como na Figura 6.49, denotemos por (x,y) urn-ponto _arbitrilrio no grafico de f e, como no Teorema (6.17) (i),consideremos a diferencial do comprimento de arco

Em seguida, consideremos ds como altura inclinada de urn troDCOde cone de raio medio y = fIx) (veja a Figura 6.49). Aplicando(6.18), a area deste tronco de cone e dada por

Tal como em nosso trabalho nas se<;6es 6.1 a. 6.3, a -aplica<;aob -, ~ - ~

de fa po de ser considerada como equivalente a tomar urn limite

dessas areas de troncos de cone. Assim,

b b

S =f 2rtf(x) ds =f 2JtY dsa a

o grafico de y = -Ii de (1,1) a (4, 2) gira em torno do eixo-x.Determine a area da superficie resultante.

A Figura 6.50 ilustra a superficie. Usando a Definil<ao (6.19) oua discussao anterior, temos

4

S= f 2rtydsI

4 _rT 4=f 2lu1f2 V ~4 dx = 1tf v4x + 1 dxI .......-- 4X I 1

= ~[(4x + 1)3f2]~ = ~ (17)f2 - 53(2) ~ 30,85 unidades quadradas.

Se, na discussao precedente, permutarmos os papeis de x e y,poderemos obter uma formula aniiloga a (6.19) para integra<;aoem relal<ao a y. Assim, se x = g(y) c se g e suave e nao-negativaem [c, d], entao a area S da superficie gerada pela revolul<ao dografico de g em tomo do eixo-y (veja a Figura 6.51) e -

S =f: 2rtg(y) VI + [g'(y)f dy

Exercs. 1-4: Estabele~a uma integral para ealcular 0

eomprimenlo de areo do gratieo de A a B integrandoem rela~ao a (3) x e (b)y.

. . . B(27,9)A(B, 4) .----;;:

~y=r

B(-l,1)

y=L/A( -4,1'6 )

Exercs. 5·12: Aehe 0 eomprimento de areo dogn\fico da equa~ao de A a B.

Gy=ix2/3; A(l,i), B(B,8,~)

6 (y + 1)2 = (x - 4)3; A(S, 0),

7 y=S-W;

, 4 112x=L+_.

16 2l'Exeres. 13·14: Estabele~a uma integral para achar 0

eomprimenlo do arco do grafieo da equa~aode A e B.

13 2l- 7y + 2x = 8;

141lx-4x3-7y=-7;

A(2,*), B(3,W)

A(f;,l), B(¥.!;,2)

A(i;-2), B(-&, -1)

A(3,2),

A(1,2),

B(4,O)

B(O,l)

15 Ache 0 comprimento do areo do grafico dex2f3 + y2f3 _ 1. (Sugestiio: Use a simetria emrela~ao 11 rela y - x.)

16 Ache 0 comprimento do areo do gnifico de

3}+5 • 113ye 30x3 de (1, ,) a (2, 240)'

Exercs. 17·18: (a) Determine sex), onde s e umafun~ao comprimento de arco para 0 grafico de f.(b) Se x aumenta de 1 a 1,1, determine 6S e ds.

17 f(xt:-:yl

Exercs. 19·20: Use diferenciais para aproximar 0

comprimento do areo do grafieo da equa~ao A deB.

19 y =x2;

20 y +x3 = D;

A(2,4),

A(l, -I),

B(2,1; 4,41)

B(l,l; -1,331)

Exercs. 21·22: Use diferenciais para aproximar 0

comprimento do areo do grafteo da equa~ao entre ospontos com coordenadas -x, a e b.

b = 31lt/18D

b = rrJ9D

:: @ Exercs. 23-26: Use a regra de Simpson com n = 4para aproximar 0 comprimento de arcOdo grafico da

. equa~ao de A a B. (Arredonde a resposta para duascasas deeimais.)

23 y=2+x+3; A(-2,5), B(2,9)

24 y=x3; A(D,O), B(2,8)

25 y=senx; A(D,O), B(rrJ2,l)

A(D, D), B(rrJ4,l)

Aproxime 0 eomprimento do areo do grafieode f(x) = sen x de (D,O) a (re,D), usando

4

2: dk(Qk~ I'Qk)'k-l

onde Qk

e 0 ponto (~rrk, f(~rek)).

2: dk(Qk ~ I'Qk) se compara com 0 eompri·k-l '.. ,. ,

m~nlo exato do' areo?

@ 28' (3) Estabele~~ uma integrai para o·co~prim~nto. '~. de areo do Exerdcio 27(a). '. '~.'... ,: .': ,', : '" '.. ' ~,~

(b) Use a regra do trapezio com n ••'4 para apro·ximar a integral em (a).' .

Exeres. 29-32: 0 graftco da equa~ao, de A a B giraem tomo do eixo-x. Determine a area da superficieresultanle.

294x=i; A(D,D), BO,2)

30 yex3; A(l,l), B(2,8)

31 BY=,2x4 +x-2; A{1,i), B(2,W)

32 y = 2v'x + 1; A(D,2), B(3,4)

Exercs. 33·34: 0 graftco da equa~ao de A a B giraem tomo do eixo.y. Detennine a area da superficieresultante,

33 y =-}.[x;

34 x=4VY;

Exercs. 35-36: Se 0 menor areo do drcu 10

2 +l = 25 entre os pontos (-3,4) e (3, 4) gira emtomo do eixo dado, determine a area da superficiegerada. '

Exercs. 37·39: Use uma integral definida para esta-belecer uma f6rmula para a area da superficie dos6lido indieado.

37 Urn cone circular reto de altura h e raio dabase r.

38 Urn segmento esferico de altura II em uma esfera, de raio r.

40 Mostre que a area da superficie de uma esfera deraio a entre dois pIanos paralelos depende apenasda distlincia entre os pianos. (Sl4gestiio: Use 0

Exerdcio 38.)

41 Se 0 grafteo da Figura 6.49 gira em tomo doeixo-y, mostre que a area da superficie resullanlee dada por

/2rcxYl + [f'{x)))2dx•

42 Use 0 Exerddo 41 para achar a area da superficic

. gerad~ peJa revolu~o do grafteo de y - 3~ deA(l, 3) a B(8, 6) em tomo do eixo-y.

I 1.1.\0 (lrHico de f(x) = 1_x3 de (0,1) a (1,0) giraIII lorno do eixo-x. Aproxime a area da superficie

r 'sultllnle usando

(Q) 44 (a) Estabele<;auma integral para a area da super-'ficie gerada no Exercicio 43..

(b) Use a regni de Simpson com n = 4aproximar a integral em (a).

o conceito de forc;a pode ser associ ado ao ato de puxar ouempurrar urn objeto. Por exemplo, e necessaria uma forc;a para '.puxar ou empurrar uma mesa no chao, para levan tar urn obj~io "do chao, para distender ou comprimir uma mola ou para mover 'uma particula atraves de urn campoeletromagnetico. "

Se urn objeto pesa 10 quilos, entao, por definic;ao, a forc;anecessaria para levanta-lo do chao, ou para mante-lo no chao, 'e .10 quilos. Uma forc;a deste tipo e uma forc;a coostaote, pois suamagnitude nao se aHera enquanto ela e aplicada ao objeto.

o conceito de trabalho surge quando uma forc;;aatua atravesde uma distancia. A definic;ao que segue abrange 0 easo maissimples, em que 0 objeto se move ao longo de uma reta na mesmadirec;;aoda forc;;aaplicada.

A tabela que segue apresenta as unidades de forc;ae trabalhono sistema ingles e no sistema internacional SI. Em unid'aoes SI,Newton e a forc;;a necessaria para imprimir uma acelerac;ao de1m/s2•

Sistema Uoidade de'fOl'c;a

Ingles libra (Ib)

Unidade de'- . "UDldadede":'-,.distaD'da' ": ( ":-:~trab'aIIJ.~_c::!if

pe (ft) p6-libra (ft-Ib)polegada (in) JX;ll-libra(in-lb)

metro (m) N-m Goule)

Urn N-m (Newton-metro) e lambem chamado joule (J).Pode-se mostrar que

Para simplificac;ao, nos exemplos e. na maior parte dosexercicios quase sempre serao utilizadas as unidades SI,' 0 quepod era tornar necessario considerar uma con stante gravitacionala (9,81 m/s~ e usar a segunda lei do movimento de Newton,F = ma, para transformar uma massa m (em kg)em uma forc;aF (em N).

Deterrninar 0 trabalho realizado ao empurrar urn automovel poruma distancia de 6m ao longo de uma estrada plana, exercendoa forc;a de 400 N..

A Figura 6.52 Hustra 0 problema. Como a forc;;a constante eF = 400N e a distancia que 0 carro percorre e d = 6 m, decorreda Defmic;ao (6.20) que 0 trabalho realizado e

Qualquer pessoa que tenha empurrado urn automovel (ouqualquer outro objeto) sabe que a forc;a aplicada raramente econ stante. Assim, se 0 motor de urn carro "morre" e ele para, Iinecessario uma forc;a maior para movimenta-Io do que paramante-Io em movimento. A forc;;apode variar lambem em func;aodo atrlto, pois parte da estrada pode ser bem pavimentada elisa,e parte nao. Uma forc;aque nao e constante e uma forc;a varia vel.Estabelecemos a seguir urn metodo para deterrninar 0 trabalhorealizado por uma for~a variavel ao deslocar urn objeto segundouma trajet6ria retiHnea na mesma direc;ao da forc;a.

Supo~hamos que uma forc;a fac;a urn objeto mover-se aolongo do eixo-x de x = a a x = b, e que a forc;a em x seja dadapor f(x), com f continua em [a, b). (A expressao fort;a em xsignifiea a forc;;aque atua no ponto de coordenada x.) ConforrneFigura 6.53, comec;amos por considerar uma partic;ao P de[a, b)

I fut I,'+--+,

111-+111 B

I + )/xn_1xn=b

Se l!. Wk e 0 incremento do trabalho - isto e, a quantidade detrabalho realizado de xk _, a xk - entao 0 trabalho W realizadode a a b e a soma

l¥= Mil, + l!.W2 + ... + l!.Wn = \' l!.Wkf.-',Para aproximar l!. Wk, escolhemos urn numero arbitn\rio Zk em

[xk-1' xk] e consideremos a for~a f(Zk) em Zk' Se a norma II Pilepequena, entao sabemos que os valores funcionais variam muitopouco em [xke l,xk]; isto e, f e quase constante neste intervalo.Aplicando a Defini~ao (6.20), obtemos

l!.Wk - f(Zk) l!.xk

Como esta aproxima~ao deve melhorar 11 medida queIIP 11- 0, definimos W como urn limite de tais somas, a quenos conduz a uma integral definida.

Defini~ao amlloga vale pani urn intervalo no eixo-y, subs-tituindo-se x par y em todo 0 contexto.

...•A Defmi~ao (6.21) pode ser usada para achar a trabalho

realizado ao distender ou comprimir uma mala. Para resolverproblemas deste tipo, e necessario aplicar a seguinte lei da ffsica:

Lei de Hooke: A for~a f(x) necessaria para distender umamala x unidades alem de seu comprimento natural e dada porf(x) = lex, onde k e uma constante charnada constante da mola.

~ Distensaoxcm~~x~

.~~J~~~~i\~\~ •~P\j \j 'J \1\fT t\~:r~"~I

Figura 6.54

E necessaria uma for~a de 40 N para distender uma mol a de seucomprimento natural de 15 crn para 20 em. Calcular 0 trabalhorealizado ao distender a mala.

SOLUl;A.O(a) Introduzamos urn eixo-x conforme Figura 6.54, com uma

extremidade da mala fixa em ponto 11 esquerda da origem,e a extremidade a ser puxada localizada na origem. Deacordo com a,lei de Hooke, a for~ f(x) necessaria paradistender a mala x unidades alem pe seu comprimentonatural e f(x) = lex, para certa constante k. Como e neces-saria urna for~a de 40 N para distender a mala 5 em alemde seu comprimento natural, temos f(5) = 40. Fazendo:c = 5 em f(x) = kx:

40 = k . 5 ou k = 8

Aplicando a Defini~ao (6.21) com a = 0 e b = 10, podemosdeterminar 0 trabalho realizado ao distender a mola 10 cm~

10 10

IV~f 8x dx = 4x2f = 400 joules.. 0". ,.', 0 ,

(b) Aqui tamhem utilizarnos a for~a f(x) = 8x achada em (n).Pela Defmi~ao (6.21), 0 trabalho realizado ao distender II

mala de 2,5 em para 7,5 em

1,5 1,5

w= f 8x dx = 4r f = 200 joules3,5 , 2,5

Em algumas aplica<;iies devemos determinar 0 trabalho rcnli:wdl\ao bombear urn f1uido de urn tanque ou levantar um objcto, 1111como uma corrente·ou urn cabo que se estende verticallll'lItentre dais pontos. A Figlira 6.55 ilustra urn situa~ao comull' IIIque urn s6lido se estende ao longo do eixo-y de y - C 1I Y •• 11•

Querernos elevar verticalrnente todas as particulas do s6lido III

o nivel do ponto Q. Consideremos uma parti~ao P (11: I ',dlimaginemos ,0 s6lido dividido em fatias por meio d' \1011\1perpendiculares ao eixo-y em cada numero Yk da pllrtic;fio. I)

acordo com a figura, l!.Yk=Yk-Yk_l e Sk represellta a k':" r,l \.Introduzamos a nota~ao '

Zk = distancia (apr~ximada) percorrida por Sk

Mk = forc;a (aproximada) necessaria para levanlar Sk ,.

Se 1\Wk e 0 trabalho realizado ao levanlar Sk '

Definic;ao (6.20),; ~

I\W-I\F·z =Z .I\F,Jlk k k. k k ',~ i1;;":"

Definimos 0 trabalho W realizado para elevar todo 0 s6lido ro I,i

urn limite de somas, ;, .

J,".'

o limite conduz a uma integral definida. Note a difereri~aentre este tipo de problema e 0 da nossa discussao anterior.P~ia.obter (6.21), consideramos incrementos de disttincia !'uk e a fo~~a;.

f(zk) que atua atraves de !'uk' Na situac;ao presenle, consideran'io'S;

inerementos' de fort;a Mk e a distancia Zk' atraves da qual iFk'

atua. Os dois pr6ximos exemplos ilustram esta tecnica. Tal como"na sec;ao precedente, representaremos por dy urn incrementotipico I\Yk e por y urn numero em [e, dJ.

Urn cabo uniforme de 10 m de comprimento e pesando 25 kgpende verticalmente de urn sistema de poliano cimo de urnedificio. Uma viga de ac;o de 225 kg est a presa 11 extremidadeinferior do cabo. Calcular 0 trabalho realizado ao levar a vigaate 0 cimo do edificio,

Denotemos por W. 0 trabalho para elevar !! viga e por We 0

trabalho para elevar 0 cabo, Como a viga pesa 225 kg e devepercorrer uma distancia de 10 m, temos, pel a definic;ao (6.20).

W. = (225) . (10) = 2,250 joules (N-m>-~

o trabalho necessario para elevar 0 cabo pode ser achado pelometodo usado para obler (6.22). Consideremos urn eixo-y com'a extremidade inferior do cabo na origem e a extremidadesuperior elJ1 y = 10, conforme a Figura 6.57. Denotemos pordy urn incremento no comprimento do cabo. Como cada metrodo cabo pesa 2,5 kg, 0 peso do incremento dy (e, portanto, aforc;a necessaria para levanta-lo) e 2,5 dy. Denotando por y a~istancia de 0 em urn ponto no incremenlo, temos:

distancia percorrida: 10 - y (m)

incremenlo do trabalho: (10 - y) (2,5) dy

10.

A aplicac;ao de fo

corresponde a obter urn limite de

somas de incrementos de trabalho. Logo,

10 10 10w =I (10 - y) (2,5) dy = I 25 dy - I (2,5) Y dy =coo 0

= 125 joules(N-m)

o trabalho total realizado e

Urn tanque em forma de cone circular reto de 6 m de altura' e 1,5m de raio de base tern eixo vertical e vertice no solo. Se 0 tanqueesrn cheio de agua, cuja densidade e 1.000 kg/m3, determine 0trabalho realizado ao bombear toda a agua pela bor(Ja do tanque.

Comec;amos por introduzir urn sistema de coordenadas conformea Figura 6.58. 0 cone intercepta 0 plano xy segundo a reta peJaorigem do coeficiente angular 4, cuja equac;ao e

1y = 4x ou x=:V

Imaginemos a agua dividida em fatias, ou discos, por pIanosperpendiculares ao eixo-y, de y = 0 a y = 6, represenlando pordy a largura de urn disco tipico, seu volume pode ser aproxinJadopelo disco circular exibido na Figura 6.58. Tal como na sec;ao6.2 para volumes de revoluc;ao, tern os:

volume do disco = 7t.rdy = 7t(~ f)dy

Como a agua pes a 1.000 kg/m3, a forc;a necessaria para elevar.0 disco e 1.000 n(T. f)dy. Temos, pois,

incremento da forc;a: 1.000n(T. f)dy

distancia percorrida: 6 - Y

incremento do trabalho: (6 - y). 1.000 n(T. f)dy

6

Aplicando 0 operador In ,obtemos

6 6

w =J (6 - y) 1.000 n(1.. l)dy = 1000 nJ (6/ -/)dy =o 16 16 0

= 1.~~0n [2/- ~]: = 1.~~0 n (108) ~ 21,206N - m

o pr6ximo exemplo e outra iIustra<;ao de como 0 trabalhopode ser ca1culdo por meio de urn limite de somas - isto e, poruma integral definida.

Urn gas confinado tern pressao p (em Nlm2) e volume (em m3).

Se 0 gas se expande de v = a para v = b, mostre que 0 trabalho(em joules) e dado por

b

w= f pdv.Como o. trabalho independe da forma do recipiente, podemosadmitir .9 gas confinado a urn cilindro circular reto de raio r, eque a: expansao se processe contra a cabe<;a de urn _pistao,conforme ilustrado na Figura 6.59. Seja dv a varia<;ao de volumecorrespondente a uma varia<;ao de h metros na posi<;iioda cabe~ado pistao. Assim,

dv = Varia~ilodo volume----+r_!.

:h = Varia~ao da posi~iioI+- da cabe~a do pistiio

Denotando· por p a pressao em urn ponto no incremento devolume exibido na Figura 6.59, entao a for<;a contra cabe<;a dopistao e 0produto de P pela area n ? da cabe<;a do pistiio. Ternos,po is, para 0 incremento indicado:

for<;a contra acabe<;a do pistiio: p(n?)

distiincia percorrida pelacabe<;a do pistao: h

incremento de trabalho: (pltl.2) h = (pltl.2) -l., dv = P dvJtr

b

Aplicando f. ao incremento de trabalho, obternos 0 trabalho

para quando 0 gas se expande de v = a a v = b:

b

w= f pdv.Urn gorila de 180 kg de peso sobe em uma arvorede 5 m de altura. Determine 0 trabalbo realizadose ele cbega ao topo da arvore em

2 Ache 0 trabalho realizado ao levanlar urn saco deareia de 36 kg a uma altura de 1,20 m.

Uma mola de 25 em de comprimento naturalsofre uma distensiio de 3,8 em sob urn peso de35 N. Ache 0 Ilabalbo realizado ao distender amola.

(b) de 28 em para 33 em

4 Exige-se uma for<;ade 11,5 kg para eomprimir. uma mola, eujo eomprimento natural e 24,5 em,

para 23 em. Aebe 0 Irabalbo realizado ao com-primir a mola para 21 em.

S Se uma mola tern 30 em de comprimento, com-pare 0 trabalho WI, realizado ao distende-Ia de30 para 32,5 em, com 0 trabalbo W2, realizadoao distende-Ia para 35 em.

6 E necessario um trabalbo de 0,113 joules paradistender uma mola de 15 em para 17,5 em, e urntrabalho de 0,226 joules para distende-Ia de 17,5para 20 em. Ache a constanle da mola e seucomprimento.

7 Urn eJevado~ que pesa 1.368 kg pende de urncabo de 3,65 m que pesa 21 kg por metro linear.Aproxime 0 tlabalho necessario para fazer 0

elevador subir 2,75 m. .

8 Urn operario de constru<;iiolevanta um motor de23 kg do chiio ate 0 cimo de urn edificio de 18m de altura, usando uma corda que pesa 0,338N - m. Ache 0 trabalho realizado.

9 Urn balde de agua e i<;adoverticalmente a raziioconstante de 45 em/s por meio de uma corda depeso desprezivel. A medida que 0 balde sobe, aagua vaza a raziio de 100 grls. Se 0 balde cheiode agua pesa 11 kg no momento em que come~aa ser ic;ado, determine 0 trabalho necessario parai<;a-Ioa uma altura de 3,6 m.

10 No Exercicio 9, determine 0 trabalho realizado aoic;ar0 balde ate que tenba vazado metade da agull.

11 Urn aquario tern base retangular de 0,6 m de largurae 1,2 m de cornprimento, e lados retangulares de0,9 m de altura. Se 0 aquario esta cheio de aguupesando 1.000 kg/n?,determine 0 trabalho realizadoao bombear tada a agua pela parte de dma do balde.

12 Generalize 0 Exemplo 4 desla se~iio para 0 ea 0

de urn tanque cDnico de altura h e raio da base (I

metros, cbeio de agua pesando 1.000 kg/m).

13 Urn lanque ciHndrieo vertical de 1 m de dififllelroe 2 m de altura esla eheio de agua. Aehc 0

Irabalho necessario para bombear loda a agua

(b) atraves de. urn tubo que se cleva II 1,20 fIlacirna ·daparte superior do lanque.

14 Fa<;a 0 exercicio 13 no caso de 0 Innqllc 'sIIl'

cheio apenas pela metade.

IS As extremidades de urn cocho de agua de 2,5 mde cornprimento sac triangulos equilateros de0,6 rn de lado. Se 0 coeho esta cheio de agua,ache 0 trabalho realizado ao bombear loda a aguapela parte superior do cocho.

16 Urna cisterna tern a forma de urn hernisferio de5 rn de raio. Se a cisterna est a cheia de agua, acheo trabalho necessario para bombear loda a aguaale urn ponto 4 m acima do topo da cisterna.

17 Conforme Exerdcio 5 desta Se~ao. 0 volume eu pressao de cerlo gas variam de acordo com alei pvl,2 = 115; onde as unidades sac polegadasc libras. Ache 0 trabalbo realizado quando 0 gasse expande de 32 poll para 40 poll.

III Conforme Exemplo 5. 0 volume e a pressao deurnu quanlidade de vapor confinado estao reIa-cion ados pel a f6rmula pv1.14 = C, onde C e urnaconstante. Se ~ pressao e 0 volume iniciais sacpo e vo, respectivamente, eSlabele~a uma f6rmulapara 0 trabalbo realizado quando 0 gas se expandepara 0 dobro do seu volume.

19 !I. lei de gravita~ao de Newton afirma que a for~aF de atra~o enlre duas particulas de massas 1111 e

1112 e dada pol' F = G1II11IIvi, onde G e urnaconstante gravilacional e sea distancia entre aspa!'ticulas. Se consideramos a massa 111I da terraconcentrada em seu centro e se urn foguete de massa1112 esla na superficie (11 distancia de 4.000 milhasdo centro), eslabel~a urna formula gem) para 0

trabalho realizado ao disparar 0 foguele vertical-llIente ate uma altitude h. (veja a ~gura.)

20 No estudo da eletricidade, usa-se a f6nnulaF = kq/r2 (onde k e uma constante) para aehar afor~a (em Newtons) corn que uma earga positivaQ com for~a de q unidades repele uma cargapositiva unitaria localizada a r metros de Q.Determine 0 Irabalho realizado ao mover urnacarga uoitaria de urn ponto situado a d centime-tros de Q para urn ponto a ~d em de Q.

[QIExercs. 21-22: Suponha que a labela abaixo tenha ':sido obtida experimenlalmeote para uma for~a f(x) ,atuando em urn ponto de coordeoada-x em uma reta "coordeoada. Use a regra do trapezio para aproximar.'o trabalho realizado no intervalo [a, b], onde a e b "sao 0 menor e 0 maior valor de x, respectivamente.

23 A for~a (em Newton) com que dois eletrons se>repelem e inversamenle propo!'cional ao quadra-do da distancia (em metros) entre eles.

(a) Se urn eletron e mantido fixo no ponto (5,0);ache 0 Irabalho realizado ao mover urn se-gundo eletron ao lunge do eixo-x da origemao ponlo (3, 0).

-;:'",(b) Se dois eJetrons san mantidos fixos nos' :

pontos (5, 0) e (-5, 0), respcclivamente, ache'o trabalho realizado ao moverurn lerceiroelelron da origem ale (3, 0).

,~

24 Se a fun~ao for~a e constante, rnostre que a .Defini~ao (6.21) se reduz 11 Defini<;ao (6.20):

0 0,5 1,0 1,5 2,0

7,4 8,1 8,4 7,8 6,3

3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

5,9 6,8 7,0 8,0 9,2

1 2 3 4 5

125 120 130 146 165

Nesta se<sao abordaremos alguns topicos que envolvem a massade urn objelo. Os termos massa e peso pOl' vezes se confundemurn com 0 outro. 0 peso e determindo pel a for,a da gravidade.

POl' cxemplo, 0 peso de urn objeto na Lua e aproximada-mente urn sexto de seu peso na Terra, porque a for,a da gravidadela e me~or. Mas a massa e a mesma. Newlon usou 0 termo massacomo sinonimo de quantidade de materia e relacionou-p com afor,a atraves de sua segunda lei do movimento, F = ma, ondeF denota a for<sa que atua sobre urn objeto de massa m que ternacelera,ao a. No sistema ingles, costumamos aproximar a pOI'32ft/S2 e usaI' 0 slug como unidade de massa. Em unidades SI,a - 9,81m/s2, e 0 quilograma e a unidade de massa. Pode-semostrar que

Nas aplica,6es, costuma-se admitir que a massa de urnobjeto esla concentrada em urn ponto; referimo-nos entao aoobjeto como massa-ponto, ou massa pontual, independentemen-te de seu tamanho. POI' exemplo, tomando a Terra comoreferencia, podemos considerar urn ser hurnano, urn automovelou urn edificio uma massa pontual.

678 9

157 150 143 140Em experimentos de fisica elemental' consideramos duas

massas ponluais m1 e m2 presas as extremidades de urna vara,

conforme Figura 6.60, e procuramos determinar 0 ponto P emque deve ser colocado urn fulcro de modo que a vara fique emequilibrio. (Esla silua,ao c analoga ao equilibrio de uma gangorracom uma pessoa sentada em cada extremidade.) Se as distanciasde m, e 1n2 aP sao dl e d2, respectivamente, pode-se mostrar

experimentalmente que P e 0 ponto de equilibrio se

Para generalizar este conceilo, introduzamos urn eixo-xconforme ilustrado na Figura 6.61, com Inl e m2 localizados em

pontos com coordenadas XI e x2. Se a coordenada do ponto de

equilibrio ex, entao, pela formula In, d, = In, d"

_ In, XI + m2x,X=

nil +m2

mtJn2"'3... .Xl Xl X3

"',=40"'2=60 "',=100

+ II I + " I I + '-2 0 3 7 x

Figura 6.63

Se uma massa III esta localizada em urn ponto do eixo comcoordenada x, entao 0 produlO mx e chamado momento Mo da

lIlassa em relafYiio a origem. Pela nossa formula de X, vemosque; para determinar a coordenada do ponto de equilibrio,devemos dividir a soma dos momentos em relac;ao 11origempel a massa total. 0 ponto com coordenada x e chamado cell/rode massa (ou centro de gravidade) das duas massas pontuais.A proxima definic;ao estende a presente discussao a variasmassas pontuais Iocalizadas em urn eixo, conforme se ve naFigura 6.62.

o ponto de coordenada x eo ponto de equilibrio do sistemaS, no mesmo sentido de nos sa iIustrac;ao da gangotra.

Tres massas pontuais de 40, 60 e 100 quilogramas estaoIocalizadas em -2, 3 e 7, respectivamente, sobre urn eixo-x.Deterrninar 0 centro de massa.

Denotando as tres massas por ml, 1Il2 em), temos a situac;ao

iIustrada na Figura 6.63, com XI = -2, Xl = 3 ex) = 7. Aplicando

a Definic;ao (6.23) obtemos a coordenada x do centro de massa:

40(-2)+ 60(3) + 100(7) = 800 = 440 + 60 + 100 200

x '"---------; P(x, y),:yII,

Consideremos em seguida uma massa pontuaI III Iocalizadaem P(x, y) em urn plano coordenado (ver Figura 6.64). Defmimosos momentos M. e My de m em relac;ao aos eixos coordenados

como segue:

momento em relafYiio ao eixo-x:

lIlomento em rela~iio ao eixo-y:

M.=myM =mx

y

Em paIavras, para deterrninar M. multiplicamos m pela coorde-

nada-y de P e para determinar My multiplicamos m pel a coorde-

nada-x. Para deterrninar M. e My para urn sistema de massas

pontuais, somamos os momentos individuais, conforme (i) e (ii)da proxima definic;ao.

Por (iii) desta definic;ao,

mX =My e my =M.

Como mx e my sao os momentos em rela<;flo "0 cixo- 10eixo-x, respectivamente, de uma massa pontual m 10 ·"11,,, III\ III(x, y), podemos interpretar 0 cenlro dc maSsa 011100 pOllio \'111

que a massa total deve conccntrar-sc para ol>l-r os 111\\111\'1110M eM de S.

y •

'Podemos imaginar as n masslls ponlullis t1' ( ,,' ~ I" IIao centro de massa P por varas impond 'r~v 'is, 1111\'OIlHIill III iI~

de um.i roda sc prcndcl1l ao centro till 11I 'Sill I, () rl 1,11111111"entraria em cquilibrio se ,apoiatlo POI' 1111111'01\111Pi \ I I',conformc FigllTa 6.65.' A apar Ilia S'rlil H'1I1\'lhIUlit II Iii,"m6bilc" com todos os seus 01 j 'IIIS Ill) In'SII1O pll'"1111111 lillllill

"',: 4(-2,3) m. = 2

• (5,1)

(x,ji) mJ= 3.

m2 = 8•. (2,-6)

Massas pontuais de 4, 8,.3 e 2 quilogramas estao situadas em(-2,3), (2, -6), (7, -3) e ,(5, I), respectivamente. DeterminarMx' My e 0 centro de massa do sistema.

As massas estao ilustradas na Figura 6.66, onde tambem anted-.pamos a posic;ao de (i, y). Aplicando a Definic;ao (6.24)obtemos

Mx = (4) (3) + (8) (-6) + (3) (-3) + (2) (1) = -43

My = (4) (-2) + (8) (2) + (3) (7) + (2) (5) = 39

_ M 39x=-x=-_23

m 17 '- Mx 43

e y = -;; = - 17 - -2,5

Mais adiante consideraremos objetos s6lidos homogeneos,no sentido de que a massa esta distribufda uniformemente portodo 0 s6lido. Em fisica, a densidade p (rho) de urn s6lidohomogeneo de massa m e volume Ve definida como p = mlV.Assim, densidade e igllal a massa par lInidade de voilime. Aunidade SI para densidade e kg/mJ; todavia, usa-se tambemg/emJ• A unidade inglesa de densidade e Ib/ftJ ou Ib/inJ•

Nesta sec;ao restringiremos nossa discussao a Himinas ;,homogeneas (placas finas, planas) que tern densidade de area(massa por unidade de area) p. A densidade de area e medidaem kg/m2, Ib/ft2 etc. Se a area de uma face da lamina e A e adensidade de area e p, entao a massa m e dada por 11/ = P A.Queremos definir 0 centro de massa p de tal modo .que, se aponta afiada de urn lapis fosse colocada em P, con forme 'Figura6.67, a lamina se equilibraria em posic;ao horizontal. Tal comoem (ii) da figura, admitiremos que a centro de massa de limalam ilia relongular e a ponlo C em que as diogonais se inlercep'lam, Chamamos C 0 cenlro do retangulo. Assim, para problemasque envolvem massa, admitimos que uma lamina retangular sejauma massa pontual localizada no centro do retangulo. Esta ,hip6tese e a chave de nossa definic;ao de centro de massa de urna 'lamina. ;,

Consideremos urna lamina de densidade de area p e formada regiao. Rx da Figura 6.68. Como ja temos ampla experie~ciana utilizac;ao de limites de somas de Riemann para definic;6esnas Sec;6es 6.1 a 6,9, passemos diretamente ao metodo derepresentar a largura do retangulo na figura por dx (em lugar detJ. x), obtendo

r-----Mx) + g(x)]

, 1

b

Se, como em sec;6es anteriores, considerarmos fa como urn

operador que 10ma limites de somas, chegaremos 11 seguintedefinic;ao de massa m, da lamina:

b

In =f p (f(x) - g(x)] dx.Admitiremos em seguida que a Himina retangular da Figura

6.68 seja uma massa pontuallocalizada no centro C do retangulo.Como, pela formula do ponto medio (1.5), a distancia doeixo-x aCe ~ [f(x) + g(x)] , obtemos 0 seguinte resultado para alamina retangular:

bConsiderando Iirnites de somas mediante a aplicac<ao de fa ' so-

mos conduzidos 11 seguinte definic<ao.

Definic<ao amlloga po de ser dada se L tern a forma de umaregiao R, e as integra<;6es sac feitas em rela<;ao a y. Podemos

tambem obter formulas para momentos em rela<;ao a outras retasque nao os eixos x ou y;todavia, e aconselMvel memorizar atecllica para determina<;ao de momentos - multiplica<;ao de umamassa por uma disHlncia a urn eixo - em vez de memorizarformulas que abranjam todos os casos posslveis.

" ,; ,lIm,a lamina de densidade de area p tern a forma da regiaodelimitada pelos graficos de y =;Cl+ 1, x = 0, x = 1 e x = O. De-termine 0 centro de massa.

A Figura 6.69 esbo<;a a regiao e urn retangulo tlpico de largura\',dx e altura y. Como se vI: na figura, a distancia do ebw-x ao

centro C do retangulo e ~y, e a distancia do eixo-y aCe x.Logo, para a lamilia retallgular, temos:

massa: py dx = p(x2 + 1) dx

momento em relac<ao ao eixo-x: ~y py dx = ~p{;Cl+ 1fdx

Us ando agora limite de somas dessas express6es pela aplica<;iioI

do operador f 'obtemos:o

I IM =f ! P (xl + 1)2 dt =!pI (x" + 2x" + 1) dx

~ 02 2 0

I I

M =f px{x2+1)dx=pf (x3+x)dl", 0 0

Para achar 0 centro de massa (x, y), utilizamos (iii) da Dcfini<;50(6.25).

Quando determinamos (x, y) no Exemplo 3, a constanlcp foi cancelada no numerador e no denominador. Isto oeoll .sempre que se trata de uma lamina homogenea. Logo, 0 c:,nl r~de massa e independente da densidade de area p; isto c, x . ydependem apenas da forma da lamina. Por est a razao, refcrinll\'nos as vezes ao ponto (x, y) como 0 centro de massll de 111111\

regiiio do plano, ou como'a centr6ide da regiao. Podcmos obI -rformulas para momentos de centroides fazendo p = 1 C /1/ ~ 1\(area da re,giao) em nosso estudo previo,

Ache 0 centr6ide da regiao delimitada pelos gnHicos dey = 6 - xl e y = 3 - 2x.

A regiao e a mesma considerada no Exemplo 2 da Se ••iio 6.1 eesta reesbo ••ada na Figura 6.70. Para achar os momenlos e 0cenlr6ide consideramos p = 1 e m =A. Referindo-nos ao retan-gulo tfpico com centro C exibido na Figura 6.70, obtemos:

area doretangulo: [(6-x2) -(3 - 2x)) dx

distancia doeixo-x a C: 1[(6 - xl) + (3 - 2x)]

momenta emrela ••ao ao eixo-x: 1[(6 - xl) + (3 - 2x») . [(6 - xl) - (3 - a)) dx

distancia doeixo-ya C: x

momenta emrela ••ao ao eixo-y: x[{6 - xl) - (3 - 21:)) dx

Em seguida, tomamos 0 limite de somas aplicando 03

operadorf :-1

3

M, =r11[(6 - xl) + (3 - 2x)) . [(6 - xl) - (3 - 2x») dx

.=!/ [{6 - xl)2 - (3 - 2x)2) dr2 -I

3

= 1rl

(.0 - 16x2 + 12x + 27) dx = W-

3

M =f x[(6-~) - (3- 2x))dry -1

3

=f (3x + U-Xl) dx = ¥-I

Com A = ¥ e (iii) da Defini ••iio (6.25), determinamos 0 cen-.tr6ide

Poderiamos ter achado 0 cenlr6ide utilizando a Defini ••ao(6.25) com f{x) = 6 -xl, g(x) = 3 - 21:, a = -1, e b = 3, masisto eslaria apenas ensinando a substiluir, e nao a pensar.

Se uma lamina homogenea tern a forma de uma regiao queadmi'te um eixo de simetria, entao 0 cenlro de massa dev~ eslarsobre esse eixo. VaJemo-nos disto no proximo exemplo.

Ache 0 centr6ide da regiao semicircular delimitada pelo eixo-x

e 0 grafico de y = Ya2 - ~ com a > O.

A Figura 6.71 iJustra a regiao. Por simetria, 0 centr6ide estasobre 0 eixo-y; isto e, x = O. Logo, basta determinar y. Conside-ran do 0 retanguJo na figura e p = 1, lemos:

_ M, ~a3 4ay=-=--=-~042a

111 ~ no2 31t '

Assim, 0 centr6ide e 0 ponto (0, 3: a)

Concluiremos esta se ••ao enunciando um teorema util sobres61idos de revolu ••ao. Para ilustrar um caso especial do teorema,consideremos uma regiao R do tipo R, exibido na Figura 6.68.

Com p = 1 em =A (a area de R), obtemos 0 momento de Remrela ••iio ao eixo-y:

b

M =f x [f{x) - g{x)] dr:Y a

Se fizermos R revolver em lomo do eixo-y, utilizando cascascilindricas, obtemos 0 volume V do s6lido resultanle:

b

V =J. 2rrx If(x) - g(x)J dx

M=~y 2Jt

- ~ (V/2Jt) Vx= =---=--III A 2rrA

Como X" e a disHlncia do cenlr6ide de R ao eixo-y, a Ultimaf6rmula afirma que 0 volume V do s6lido de revoluc;ao pode serdeterminado multiplicando-se a area A de R pel a distancia2JtX" que 0 cenlr6ide percorre quando R faz uma revoluc;ao emlomo do eixo-y. Afirmac;ao analoga vale se R faz uma revoluc;aoem lomo do eixo-x. No Capitulo 17 demonstraremos 0 seguinteteorema mais conhecido, devido ao matematico Pappus deAlexandria (C. 300 A.D.).

/:'::;r~<~::;f:~;~1~r,~:::;~:~\~:··:;:.;~;~~}>.:·.:;-,'.-.._,..;-. ;< -',~(~.(>;. > ':,":- "~'·'::;,,~..::'cL.:.: ,_'~;'(·, ....1 ~\':'~'~."~'; ,~,~:~,~:>:~eJif~, ~~~i¢giao. :dy,uD1plan,~ inlei.ra~e!1le ~ituada~Qbre un]

:,l~,~g~~;V§~XeJMiWB!~l!S':,$t:.B f~,~_iil,a·r~yo!~~~.¥~plel~':em t<irnod~ 1;'0 vo!umedo 'solidii resu!lanle6 0-pibduloda

·~f;t.~[~)~la·1isfali~ia per<;Brrida peio~e#tr6idedet;'::'"

A regiao delimitada por urn cfrculo de raio a revolve em tomode uma reta I situada no plano do cfrculo, a qual esta a distanciab do cfrculo, com b > a (veja Figura 6.72). Ache 0 volume dos6lido resultante. (A superffcie deste s6lido em forma de urnpneu e chamada toro.)

A regiao delimitada pelo cfrculo tern area :rca2 e a distanciapercorrida pelo centr6ide e 2Jtb. Logo, pelo teorema de Pappus,

Exercs. 1-2: A tabela relaciona massas pontuais (emquilogramas) e suas coordenadas (em metros) sobreum eixo-x. Determine Ill, Mo e 0 centro de massa.

1 :. '~L'·,: 100 80 70coorderiada -3 2 4

2 50 100 50coordenada. -10 2 3

Exercs. 3-4: A tabela relaciona massas pontuais (emquilogramas) e suas localizac;6es (em metros) em umplano xy: Determine Ill, Mx, My, e 0 centro de massado sistema.

,'~·~·f··-·--:;ih-;:mas~a: ';;_;..,~.

localiZac;ao

Exercs. 5-14: Esboce a regiao delimitada pelosgraficos das equac;6es e determine Ill, Mx, My, e 0

centr6ide.

5 y=x3, Y =0, x=1

6 y=vx y=O, x=9

7 y= 4 _x2, y=o

8 2x+ 3y = 6, y=O, x=O

9 ? 2y=xy-=x,

10 y =.i, y=x3

11 y = 1-,.J· x-y=1

12 y=x2, x+y=2

·13 x=i. x-y=2".

x+y=3

15 Ache 0 centr6ide da regiao no primeiro quadrante

delimitada pelo circulo i + y 2' = 02 e os eixoscoordenados.

16 Seja R a regiao do primeiro quadrante delirnitada

pela parabola i = ex, com c > 0, 0 ~ixo-x e a retaverticalpelo ponto (a, b) da parabola, cOf'J'ormefigura a seguir. Ache 0 centr6ide de R.

17 Uma regiao tern a forma de urn quadr2.do de lado2a encimado por urn semicirculo. Ache 0 centroi-de. (Sugestiio: Use 0 Exemplc 5 e 0 fato de 'queo momento da regiao e a soma dos momentos doquadrado e do semicirculo.)

18 Sejam os pont os P, Q, ReS das coordenad"s(-b,O), (-a,O), (a,O) e (b, 0), respectivamentecom 0 < a < b. Ache 0 centr6ide da regiao deJi-

mitada pelos grHicos de y=Vb2_x",y = U-::;Z, e os segmentos PQ e RS. (Suges/{jo:Use 0 Exemplo 5.)

19 Prove que 0 centr6ide de urn trianguJo coincidecom a intersecc;ao das medianas. (Sugestiio:Tome os vertices nos pontos (0,0), (a, b) e(0, c), com a, bee positivos.)

20 Uma regiao tern a forma de urn quadrado de ladoa encimado por urn triangulo equilatero de ladoa, 'Ache 0 centr6ide da regiao. (Sugestiio: Vejao Exercicio 19 e a sugestao dada para 0

Exercicio 17.)

21 SeW R a regiao retangular com vertices (1. 2),(2,1), (5,4), e (4, 5). Ache 0 volume do solidogerado pela rotac;ao de R em tomo do eixo-y.

22 Seja R a regiao triangular de vertices (1, I),, ..y .' (2; 2); e (3, 1). Ache 0 volume do solido gerado

pela revoluc;ao de R em tomo do eixo-y.

~ \ A 'he 0 ccntr6ide da regHiono primeiro quadrante" Ihnllndo pclo gnifico de y = v;;z-=;z e os eixos\'oordcllados.

(a~ Estabele ••a uma integral para apro~imar .~-:massa da lamina. .

),il A 'he () ccnlr6ide da regHiotriangular de verticesO(D, 0), A(O, a) e B(b, 0), para numeros positivos/I • b.

(b) Use a regra de Simpson com n - 4 para'. aproximar a integral em (a). . . '::,:

192i; Use a regra de Simpson com n - 4 para aproximaro centr6ide da regiao delimitada pelos gnificosde y = 0, y = (senx) Ix, x = 1 ex = 2.I Il \ JI1II1 lfimina de densidade de area p tern a forma

0111 .egiao delimitada pelos graficos deJ(') - vi cosx I e g(x) =x2. Grafe f e g nos"' SIIIOS eixos coordenados.

,.8 OUTRAS APLlCA<;OES

ILUSTRA<;Ao

E evidente, do q~e vimos neste capitulo, que se uma quantidadepode ser aproximada par uma soma ~e muitos ter,?os, enta.o ~Ia.e candidata 11 representa<;ao por uma Integral defimda. A eXlgen-:cia principal e que, quando 0 numero de termos a~~enta,.a so~atenda para urn limite. Nesta se<;ao abordaremos vanas. apllca<;oesda integral definida. Comecemos com a for<;a exerclda por u~ ,liquid,? sobre urn objeto submerso. .

Na fisica, a pressiio pauma profundidade h em urn fluidose define como 0 peso do fluido contido em uma coluna de altura'h e area de se<;ao transversa igual a uma unidade quadrada. Apressao tambem pode ser considerada como a for<;apor unidadede area exercida pelo fluido. Se urn fluido tern densidade p, entaoa pressao p para a profundidade h e dada por

Segue-se uma ilustra<;ao para a agua com

p = 1.000 kg/m3 ou (p = 62,51b/fe).

Densidade p (kg/m~ Profundidade Ir (m)

1.000 2

1.000 4

1.000 6

Pressao p = p Ir (kg/m)

2.ooii'4.000

6.000

o principio de Pascal na ffsica afirma que a pressao. pa~a a'profundidade h em urn f1uido e a mesma em toda.s as dlre<;o:s.,Assirn, se urna placa plana e submersa em urn flUldo, a pres~~o ..em urn lado da placa que esta a h unidades abaixo da supe~I~I~e ph, quer a placa esteja sub mer sa verticalrnente, quer honzo~-talmente au obliquarnente (veja a Figura 6.73, onde a pressaonos pontos A, Bee e ph). :.[.

Se urn tanque retangular, como urn aquario, esta cheio deagua (veja a Figura 6.74), a for<;a total exercida pela ag]Ja sobrea base po de ser caleulada como segue:

p = 1.000 kg/rn3 e 11 = 2 m

obtendo for<;a na base = (2.000 kg/m3) • (12m2) = 24,OOOkg.

ISla corresponde a 12 colunas de agua, cad a uma com area dase<;ao transversa de 1 m2 e cad a uma pesando 2.000 kg.

E mais complicaclo achar a for<;a exercida sabre urn doslados do aquario, porque a pressao nao e constante ai, masaumenta com a profundidade. Em vez de abordar este problemaparticular, consideremos a seguinte situa<;ao rnais gera!'

Suponhamos uma placa submersa em urn fluido de densi:. dade p tal que a face da placa seja perpendicular 11 superficie dofluido. Introduzamos urn sistema de coord en ados conforme aFigura 6.75, onde a largura da placa se estende pelo intervalo[c, d] no eixo-y. Suponhamos que, para cada yem [c, d], aprofundidade correspondente do fluido seja h(y) e 0 comprimen-to da placa seja L(Y), tendo 11 e L como fun<;6es continuas.

Empregaremos a tecnica padrao que consiste em considerarurn retangulo horizontal tipico de largura dy e comprimentoL(y), conforme ilustrado na Figura 6.75. Se dy e pequeno, entaoa pressao em urn ponto qualquer do retangulo e aproximada-mentepll(y). Assim, a for<;a sobre urn lado do retangulo podeser aproximada por

for<;a sobre a retangulo ~ (prcssao) . (area do retangulo)au

Tomando a limite das somas dessas for<;as mediante aplica<;aod

do operador Ie somas lev ados 11 seguinte defini<;ao.

A: fOl:~a~_C~~~~~da:porum Ouida de densidade constante.~olJr~ u~ 1~l:\.o._4l::um!ueiiaostibDlersa do tipo ilustrada naFigura 6.75 e . ',' .:;-'\':'.:,, '

:,.~;:::~:tl:·:i~;~;h~;:;·r~jl:f~jl.~:11~)"~Y'~:~~.".f·

Se uma regiao mais complexa e dividida em sub-regioesdo tipo ilustrado na Figura 6.75, aplicamos a Defini<;ao (6.27) acada sub-regiao e somados as for<;as resultantes. 0 sistema decoordenadas pode ser introduzido de varias maneiras: No Exem-plo 2 escolhemos 0 eixo-x ao longo da superffcie do Iiquido e adire<;ao positiva de eixo-y para baixo.

As extremidades de uma cacho de agua de 2,40 m de comprimentotern a forma de trapezios isosceles cam 1,20 m de base menor, 1,80m de base maior e 1,20 m de altura. Ache a for<;atotal sobre umadas extremidades quando 0 cacho esta cheio de agua.

A Figura 6.76 ilustra uma extremidade do cocho superposta aurn sistema de coordenadas retangulares. A equa<;ao da reta por(0,60; 0) e (0,90; 1,20) e y = 4x - 2,4, ou equivalente,

1x ="4 (y + 2,4).

Referindo-nos 11 Figura 6.76, para urn retangul0 de alturady, tern os:

comprimento: 2x = ~(y + 2,4)

area: ~ (y + 2,4) dy

profundidade: 1,20 - Y

pressao: 1.000 (1,20 - y)

for<;a: 1.000 (1,20) - y) i(y + 23,4) dy

Usando Iimites de somas com a aplica<;ao do operador1,2f ,obtemos:o

2 I)

F =I 500(1,2 - y) (y + 2,4) dy 500 I (2,88 - 1,2 Y - i) dyc c

No exemplo precedente, 0 comprimelllo do cocho foiirrelevante ao considerarmos a for<;a sobre uma extremidade. 0mesmo se diga para 0 tan que de oleo do proximo exemplo.

Urn tanque para armazenagem de oleo de 2 m de diametro e ~e3,5 m de com prim en to jaz horizontalmente em urn plano. Se 0

ianque estii com oleo ate a metade, e se 0 oleo pesa 800 kg/m3,

estabele<;a uma integral para a for<;a exercida pelo oleo sobreuma extremidade do tanque.

Introduzamos urn sistema 'coordenado tal que a extremidade dotanque seja urn drculo de 1m de raio com centro na origem. Aequa<;ao do cfrculo e x2 + y2 = 1. Es:olhendo a. dire~ao po~itiva:10eixo-y para baixo, entao, pelo retangulo honzontal daFlgura6.77, temos 0 seguinte:

comprimento: 2x = 2 ~

area: 2~dy

proflmdidade: y

pressao: BOOy

for<;a: BOOy . 2 ~ dy

T ]TI Q' (I) dl = Q(I) = Q(T) - Q(O)o 0

"6rmllla da concentrar;iiotltl fllIxo (6.28)

(0 sinal negativo indica que Q esta decrescendo).

Se T e 0 instante em que todo 0 isotopo saiu do tanque,entao Q(T) = 0 e, pelo teorema fundamental do calculo,

T T T

I Q' (I) dl =I [ - F . e (I)) dl = - F I e(l) dlo 0 0

Em geral nao se conhece uma forma explicita de e(I); tem-seapenas uma tabela de valores funcionais. Utilizando a integra<;aonumerica, podemos obter uma aproxima<;ao da taxa F de fluxo(veja os Exerdcios 11 e 12).

Consideremos em seguida outro aspecto do fluxo dos Iiquidos.Se urn Hquido fiui atraves de urn tuba cilindrico e se a velocidadee uma constante vo' entaD 0 volume de liquido que passa por urn,'

ponto fixo por unidade de tempo e dado por vif\, onde A e a area

de se<;ao transversa do tuba (veja a Figura 6.79).

Ja para estudar 0 fluxo sanguineo em uma arteria enecessario uma formula mais complicada. Em tal caso, 0 fluxose processa em camadas conforme ilustrado na Figura6.80, a,seguir. Na camada mais proxima da pare de da arteria, 0 sanguetende a se fIxar na paredc, e sua velocidade entao pode serconsiderada zero. A velocidade aumenta a medida que as .camadas se aproximam do centro da arteria.

Para fins de calculo, podemos considerar 0 fluxo sanguineoconsistindo ern finas cascas cilindricas que deslisam umas sob!~as outras, com a can;Jada exterior fixa e a velocidade de cada,'camada aumentando a medida que diminui 0 raio respectlvo (veja.a Figura 6.80). Se a velocidade em cada camada e considerada

constante, entao, pela tcoria dos liquidos em movimento, avelocidade vCr) elJl uma camada de raio medio r e

onde Reo raio da arteria (em centimetros), 1 e 0 comprimentoda arteria (ern centimetros), Pea diferen<;a de prcssao e[1tre as

. duas extrcmidades da arteria (em din/ern') eve a viscosidadedo sangue (ern din-s/cm'). Note que a formula da velo~idadezero se r=R, e velocidade maxima PR'/(4vl) a medida que rtende a zero. Se 0 raio da J(';" camada e r k e a espess\lra da

camada e !irk' entao, por (6.10), 0 volume do sangue nessacamada e

Se ha n camadas, entao 0 fluxo total na arteria par unidade detempo pode ser aproximado por

Para estimar 0 fluxo total F (volume de sangue por unidade detempo), consideramos 0 limite dessas somas quando n cresceindefinidamente. Isto conduz a seguinte integral definida:

F =IR

2rtrP (R' -?) dro 4vl

R

= n; P [2 RZr _ 2 4]2vl 2 / 0

n; P R4,=---cm3

8vl

Esta formula dc F nao e exata, porque a espessura das camadasnab pode ser tomada arbitrariamente pequena. 0 limite inferiore a largura de uma celula vermelha do sangue, ou seja, aproxi-madamente 2 x 1O-4cm. Podemos admitir, nao obstante, que estaformula de uma estimativa razoiivel. E interessante notar queuma pequena varia<;ao no raio de uma arteria produz uma grandevaria<;ao no fluxo, pois F e diretamente proporcional a quartapotencia de R. Uma pequena varia<;ao na diferen<;a de pressaotern efeito menor, pois Pesta na primeira potencia.

Ern muitos tipos de emprego, urn funcionario deve desem-penhar a mesma tarefa repetidas vezes. Por exemplo, urn operariode uma fabrica de bicicletas deve montar, novas bicicJetas.Conforrne ele monla urn numero cada vez ~aior de bicicJetas,e de se esperar que 0 tempo de cada montagem va diminuindoale atingir urn tempo minimo. Outro exemplo desse processo deaprendizagem mediante repetil1ao e 0 de urn processador dedados que deve inserir, em urn computador, informal16es contidas

-------"-~----"'--'--, erii-{ormul1i'ios api'oiinados. 0 teniponecess~rroparaPr0cessar'-"-cada dado deve diminuir 11 medida que 0 numero de dados

:processados aumenta. Como ilustral1ao final, 0 tempo exigidopor uma pessoa para percorrer urn labirinto deve melhorar coma pratica.

Consideremos uma situa\ao comum, em que certa tarefadeve ser repetida muitas vezes. Suponhamos que a experiencia

, indique que 0 tempo necessario para realizar a tarefa pel a k"!"vez possa ser aproximado por f(k), sendo f uma funl12.:Jcontinuadecrescente em urn intervale adequado. 0 tempo total pararealizar a tarefa n vezes e dado pela soma.

2: f(k) = f(l) + f(2) + ... + f(n)k- 1

Atentando para 0 grafico da Figura 6.81, ve-se que a somaprecedente e igual 11 area do poligono retangular inscrito,podendo; p.orta'nto, ser aproximada pela integral definid_a

,.f f(x) dx. Evidehtemente, a aproximal1ao diferira muito pouco. O. .'\ •

x da soma efetiva se f decresce lentamente em [0, II]. Se f variarapidamente com a varial1aO unitaria de x, entao nao se deve usaruma iptegral como aproximal1ao.

,Uma empresa que faz pesquisas por via telefOnica constata que'0 tempo gasto por urn empregado para completar uma entrevistadepende, do numero de entrevistas que ele ja tenlla realizado

, previamente. Suponhamos que, para certa pesquisa, 0 numerode minutos necessarios para completar a k"!" entrevista seja dadopor f(k) = 6(1 + k)-lIS para Os k s 500. Use uma integral defi-nida paraaproxunar 0 tempo necessario para que urn empregado

..,' 'compleie"100 entrevistas e 200 entrevistas. Se urn entrevistador, ~.recebe $ 4,80 por hora, estime a diferenl1a entre as despesas com..• , dois empregadOidazendo .cada urn 100 entrevistas, e corn urn

. o' , •..• ,'_ : unico,empregado fazendo200 entrevistas.,.) • ;', ;.:, .•.• _' • .' t I,. , ,,;: • ".". _... ' ~.,;

'I."i';.":+ ,"; i:,r>'_!1 ::'::>;':~.f :J;: .r", ~.-:..l";;~) ".' " •. :::.J;"' ",':'I :~;1 (rl'4'; ",~ ~;,,[.;,," -;.'~f:;l::,!r;IJ <\ ·;t) .1'

.J. ~;;'·:!;>1·:.•.-\; )'i~i":i~~i\;:!~"'.."~·:·~··~~i~.; ;;, :,'

Pela discussao precedente, 0 tempo necessario para 100 entre-vistas e aproximadamente

200

f 6(1 + X)""I/S dx = 514,4 min.o

Como um entrevistador recebe $ 0,08 por minuto, 0 cuslO deurn empregado fazendo 200 entrevislas e aproximadamente(0,08) (514,4) = $ 41,15. Se dois empregados fazem cada um100 entrevistas, 0 custo e 2(0,08) (293,5) = $ 46,96, que e $ 5,81a mais do que 0 custo de urn empregado. Lembre-se, enlrelanto,de que, com a utilizal1ao de do is empregados, M uma economiade tempo de cerca de, 221 minutos.

Utilizando um computador, temos

1002: 6(1 -+ k)""lIs = 291,75k-l

2002:' 6(1 + k)-IIS = 512,57k- I

Logo, os resultados obtidos por integral1ao (area sob 0 gr5ficode f) sac superiores em 'aproximadameote dois minutos ao valorda soma correspondente (area do poligono retangular inscrilo).

Em economia, 0 processo utilizado por uma empresa pamaumentar seu ativo e chamado formac;1io de capital. Se 0

montante K do capital no instante t pode ser aproximado porK = f(t) para uma funl11io f diferenciavel, a taxa de varial1ao deKern relal1ao ate chamada nuxo lfquido de investimenl,o.Logo, se I denota 0 fluxo' de investimento, entao

1= dK = f'(t)dt

Reciprocamente, se I e dada por g(t) para uma funl1ao g contflluf'em urn intervalo [a, b], enlaO 0 aumento de capital Ilcsseintervalode tempo e .

bf g(t) dt = f(b) - f(a)"

b r(tempo)

;'\

Suponhamos que uma empresa deseje ter seu fluxo liquido deinvestimento aproxim~q() por g(l) = 11/3, para 1em anos e g(l) elll

milh6es de unidades monel arias por ano. Se 1= 0 correspondenteao tempo presente, estime 0 montante da forma«ao de capitaldurante os pr6ximos oilo anos.

Em decorrencia~oaumento de capital flds pr6ximosoito anosr;dado por .'

8 8 )8fo g(l) dl =fo 11/3 dl = ~14/3 0 = 12

Conseqiientemente, 0 montante da forma«ao de12.000.000 de unidades monetarias. '

Qualquer quantidade suscelivel de ser interpretada como a ..'"area de uma regiao pode ser estudada por meio de uma integral 'definida. (Veja, por exemplo, 0 estudo da histerese no fim daSe«ao 6.1.) Reciprocamente, a integral definida permite-nosrepresentar quantidades fisicas como areas. Nas ilustra«oes que _seguem, uma quantidade e lI11mericamellle igllal 11 area de uma .regiao; isto e, desconsideramos llnidades de medida comocentlrnelros, metro-kg etc.

Seja v(1) a velocidade, no instante I, de urn objelo que semove em urna reta coordenada. Se sea fun«ao posi«ao, entao5'(1) = v(1) e

b bf v(l) dl =f S'(I) dl = S(I)]: = s(b) - 5(a)a a

Se V(I) > 0 em lodo 0 intervalo de tcmpo [a, b] isto diz que aarca sob 0 grafico da fun«ao v de a a b representa a distanciaque 0 objeto percorre, conforme ilustrado na Figura 6.82. Estaobserva«ao e uti! para urn engenheiro ou fisico, que pode naodispor de uma forma explicila para v(I), mas alienas de urngrafico (ou tabela) indicando a velocidade em diferentes instan-tes, A distancia percorrida pode ser entao estimada medianteaproxima«ao da area sob 0 grafico.

Se v(1) < 0 em certos instantes em [a, b], 0 grafico de vpode assemelhar-se ao da Figura 6.83. A figura indica que 0objelo se moveu no sentido negativo de 1 = C a 1= d. A distancia

, percorrida durante esse tempo e dada por IIV(I) Idl. Segue-se

que f:1 v(l) Idl e a distancia lotal percorrida em [a, b], qucr

V(I) seja positiva quer negativa.

bx (dislancia)

.5 10 15 20 25 x (distancia)

Figura 6.86

Urn objeto se move segundo uma trajet6ria retilinea e suavelocidade V(I) (em m/s) no instante 1 e registrada para cadasegundo, durante 6 segundos., Os resultados constam da tabelaabaixo. .

:~::~~~t.:~~;:0 1 2 3 4 5 6

".~~jY: 1 3"4 6 5' 5 3

Os pontos (I, V(I» estao grafados na Figura 6.84. Admitindo quev seja uma fun«ao continua, entao, conforme discussao prece-dente, a distilncia percorrida duranle 0 intervalo de tempo

'.[0, 6] e f v(1) dl. Aproxirnernos esta integral definida por meioo

da regra de Simpson com II = 6:

t . 6-0v(t)dr~6- [v(O) + 4v(l) +'2v(2) + 4v(3) + 2v(4) + 4v(5) + v(6)]

o 3·

= 1. [1 + 4 . 3 + 2,4 + 4.6 + 2·5 + 4 . 5 + 3] = 26 m3

Em (6.21) definimos 0 trabalho realizado por uma for«avariavel f(x) que alua ao longo de uma reta coordenada de

, .x = a a x = b, como W = fa f(x) dx, Suponhamos f(x) '" 0 em todo

[a, b]. Esbo«ando 0 gratico de f con forme ilustrado na Figura6.85 observa-se que 0 trabalho e numericamente igual 11 area sobo grafico de a a b.

Urn engenheiro obteve 0 grafico da Figura 6.86, que mostra afor«a (em kg) que atua sobre uma pequena carreta a medida queela percorre 25 metros em urn terreno plano horizontal. Estimeo trabalho realizado.

Supondo que, a for«a seja uma fun«ao continua f para0,. x ,. 25, 0 trabalho realizado e

25

w= J f(x)dxo

Nao dispomos de uma forma explicita de f(x); todavia, podemosestimar val ores funcionais a partir do grafico e aproximar W parmeio de uma integraesao numerica.

Apliquemos a regra do trapezio com a = 0, b = 25 e II = 5.~aseando-nos no grafico para estimar val ores funcionais, obte-mos a seguinte tabela:

",-,.k);';,! .::.~k,' !(Xk) m: mf(xk)0 0 45 1 451 5 35 2 702 10 30 2 603 15 40 2 804 20 25 2 505 25 10 1 10

25

W =J f(x) dx ~ 2,5(315) - 790 m-No

Para maior precisao, poderiamos utilizar urn valor maiorde II na regra de Simpson.

Suponbamos que a quantidade de urn ente fisic~ como oleoagua, foresa eletrica, montante de dinheiro, (;ontagem de bacteria~ou fluxo sangufneo seja crescente ou decrescente de algumaforma, e que R(I) seja a taxa na qual a variaesao se processa noinstante I. Se Q(I) e a quantidade presente 110 instante t e sl': Qe diferenciavel, entao Q'(I) = R(I). Se R(I) > 0 (ou R(I) < 0) emurn intervalo de tempo [a, b), entao a quanlidade de crescimento(ou decrescimo) entre 1= a e 1 = b e

b b .

Q(b) - Q(a) =f Q' (I) dl =f R(I) dl,. ,. ;' _ a Q

Esle numero pode ser apresentado como a area da regiao de urnplano ty delimitada pelos graficos de R, t = a, t = bey = O.

A partir de 9h, comeesa-se a bombear oleo para urn taoque dearmazenagem 11razao de (150/1/2 + 25) gallh, para 0 tempo t (emhoras) apos 9h. Quantos galoes terao sido bombeados para 0tanque 111h?

SOLuC;AoConsiderando R(t) = 15011/2 + 25 oa discussao precedente, obte-mos:

4 4fo

(15011/2 + 25)dl = (100?/2 + 25/] 0 = 900 gal

Demos apenas algumas ilustraesoes da utilizaesao das inte-grais definidas. 0 lei tor interessado encontrara muitas outras emlivros sobre ciencias fisicas e biologicas, economia e adminis-traesao, e tambem em areas como ciencia politica e sociologia.

Urn aquario tern 1 rn de cornprimento e extremi-dades quadradas de 0,3 m de Jado. Se 0 tanqueesta cheio de agua, ache a foresa exercida peJaagua

(a) sobre urna extrernidade

2 Se uma das extremidades quadradas do tanque doExercicio 1 e dividida em duas partes por umadiagonal, 'ache a for<;a exercida sobre cada parte.

3 As extremidades de urn cocho de 2 m de com-primento tern a forma de triangulos is6sceles delados iguais com 0,6 m cad a e 0 terceiro ladocom 1 m, no topo do cocho. Ache a for<;a exercidapela agua sobre uma extremidade, quando 0

cocho esta:

(a) cheio de agua, (b) cheio ate ametade.

4 As extre~idades de urn cochode ~gua lem aforma da regiao delimilada pelos graficos dey = xZ e y'= 4, com x e y medidos em metros. Seo cocho esta cheio de agua, ache a foresa exercidasobre uma extremidade. ";".' .

5 Urn tan que ciJindrico para armazenagem de 61eotern 2 rn de diametro e 2,50 m de comprimcnto,e esta deitado sobre seu lado. Se 0 tanque estr.cheio de 61eo ate a meta de e 0 6leo peslI960 kg/m3, ache a for<;aexercida pelo 61co soh,uma extremidade do tanque.

6 A comporta retangular de uma represa tcm J.5 III

de comprimento elm de altura. Se a compo, tne vertical e sua parte superior e pamlelllsuperficie da agua e esta 1,80 m abaixo delll. IIl'ha for<;a da agua contra a comporta.

7 Urna chapa plana tern a forma de urn Irnp 'l I)

is6sceles com base superior de 4 m e base illhlu,de 8 rn, e est a submerso verticalmente em allll I,

com as bases paralelas 11superficie da a&"I1.. 'as distancias da superffcie da agun ~s h III

inferior e superior sao 10 rn e 6 m, respe ,Iv,mente, ache a for<;a exercida pel a agun sob, "III

lado da placa.

8 Urna chapa circular de 2 rn dc raio e. tr. 11101 II

verticalmente na iigua. Se a distflllcill dll NUll If

cie da agua ao centro da chapa e 6 Ill. a ./, II rlll~1I

exercida pela agua sobre um lado dll ·hllJ1l1.

I) IIII.u dlllpa re.angular de 1 m de largura e 6 mIii C'OllIprllllenloesta imersa verticalmente emM 0 ("IIJa densidade e de 800 kg/m~ com seuludo "' nor paralelo a superficie e 2 m abaixo,lilli,

(II) A,'h a for~a lolal exercida sobre urn lado da1'1, 'pll.

(It) ,', a chapa c dividida em duas partes por uma"11Ip,nnlll,ache a for~a exercida sobre cada111I"e.

I. I III I lilli' 'hara de forma irregular esla imersa verli-ildll'elll . em agua (veja a figural. A tabela abaixoII II~ IIledidas de sua largura, tomadas as profun-,I d.d N com inlervalos de 0,5 m. .. .. _.

3 3,5 4

4,5 3,5.0

fl.1I1 III a for~a sobre urn lado da chapa, utilizan-110, ('om" - 6,

(II) II legra do trapezio

(It) a ,cgm de Simpson

I I I I ('OIlS"Ilc (6.28). Para eslimar 0 desempenho car-d II '0 f' (n(llnero de Iitros de sangue que 0 cora<,;lioItllllllteiu por minulo atravts da aorta), injeta-se.1I1111duse de 5 miligramas de is610po numa1I,Irlill pulmonar e mede-se, a cada minuto, aI I"Icenlrn~lio do' is610po, e(I), em uma arteriapc, if 'ral pr6xima da aorta. Os resultados constam,iiI Illueb abaixo. Use a regra de Simpson, com/I - 12, para eslimar 0 desempenho cardfaco.

; J:(rirl~):;f~t:(i)(mWLr0 01 02 0,153 0,484 0,865 0,726 0,487 0,268 0,159 0,09

10 0,0511 0,Dl

12 0

@) 12 Consulte (6.28). Jogam-se 1.200 kg de dicrornalode s6dio em urn rio no pontoA e extraem-se, a cada30 segundos, amostras da agua em urn ponto B rioabaixo. A concentra<,;1ioC(I) no instante I estaregistrada na tabela abaixo. Use a regra do trapezio,com n = 12, para estimar a taxa de f1uxoF do rio.

.t(s~g( "eM (;;iliJr;i:!m') ;0 0

30 2,1460 3,8990 5,81

120 8,95150 7,31180 6,15210 4,89240 2,98270 1,42300 0,89330 0,29360 0

13 Urn industrial eslima que 0 !empo necessario paraurn operario montar delenninado ilem dependedo numero de itens montados previamenle. Se 0tempo (em minutos) necessario para montar 0

k ~o item e dado por I(k) = 20(k + 1)-<),4 + 3,aproxime, a menos de 1 minuto, por meio de umaintegral definida, 0 tempo necessario para amontagem de

(a) 1 item (b) 4 itens (c) 8 ilens (d) 16 itens

14 0 Dfunero de minutos necessarios para umapessoa atravessar urn labirinto e estimado em1(k) = 5k-112

, onde k e 0 Dumero de tentalivasprevias realizadas. Por meio de uma integraldefmida, aproxime 0 tempo necessario para com-pletar 10 tentativas.

15 Urn processador registra dados relativos a estu-dantes coin base em forrnularios preenchidos. 0Dumero de minutos necessarios para 0 kn!O_re.gistro e dado' aproximadamente po,I(k) = 6(1 + krl/3. Use uma integral definidapara estimar 0 tempo necessario para uma pessoa

(b) duas pessoas digitarem 300 registros cada

16 Se no Exemplo 4, a taxa' de investimento eaproximada pOTg(l) = 2t{31+ 1), com g(l) emmilhares de unidades monetarias, use uma inte-gral defmida para aproximar 0 montanle defonna<,;lio de capital DOS inlervalos (0,5] e[5,10].

Exercs. 17-18: Use uma inlegral definida pura apro-ximar a soma, e arredonde 0 resultado para 0 inteiromais pr6ximo.

100

2 k (k2 + 1)-1/4 18k~l

2002 5k(k2 + lOrl13

ka 1

@) 19 A velocidadc (em kmlh) de urn autom6vel aopercorrer uma auto-estrada durante urn perfodode 12 minutos esta indicada na Figura. Aproxime,por meio da regra do trapezio, a distaneia percor-rida a menos de 1 km.

2 4 6 8 10 12 Tempo(minutos)

@ 20 A acelera~lio (em m/s2) de urn autom6vel duranteurn periodo de 8 segundos esla indicada na Figura.Use a regra do trapezio para avuliar a varia~lioIfquida de velocidade duranle esse periodo detempo.

Cap. 6 Aplicq,oes da integral definida 469

1 2 3 4 5 6 7 8 tempo(segundos)

21 Obleve-se a tabela que segue registranclo a for<,;afIx) (em Newtons) que atua sobre uma purtieulaao mover-se 6 metros ao longo de \lma retacoordenada, de x = 1 a x = 7. Estime 0 trabalhorealizado utilizando

(a) a regra do trapezio com n ~ 6

(b) a regra de Simpson com n = 6

2 3

20 23 25

4 5.

22 26

6 7

30 28

22 Urn motociclista sobe uma colina, regislrando avelocidade vIr) (em m/s) ao fim de cada doissegundos. Com base nos resultados registradosna tabela a seguir, utilize a regra do trapezio paraaproximar a distlincia percorrida.

23 Urn barco a molor consome gasolina a razlio de

( ~ gallh. Se 0 motor come~a a funcionarem t - 0, quanta gasolina tera sido consumida em2 horas?

24 A popula<,;liode uma cidade vem aumen lando,desde 1985, a taxa de 1,5 + 0,3Vt + 0;006 (2 mi-Ibares de pessoas, por ano, onde 1e 0 numero deanos ap6s 1985, Supondo que esta taxa pennane-~a, e que a popula~lio era de 50.000 em 1985,estime a popula<,;lioem 1994.

25 A Figura exibe urn dispositivo lerrnoeletrico, emque 0 calor e Iransformado em energia eJetriea.Para delerminar a carga total Q (em coulombs)transferida para 0 fio de cobre, registram-se osvalores (em amperes) a cada i segundo; osresultados constam da tabela a seguir.

o 0,5 I,D 1,5 2,0 2,5 3,0

o 0,2 0,6 0,7 0,8 D,S 0,2

Com base no fato que [ = dQ/dt, use a regra dotrapezio, com II q 6, para estimar a carga totaltransferida para 0 fio de cobre durante os tresprimeiros segundos.

@] 26 Seja p (x) a densidade (em cmJkm) de ozonio naatmosfera a uma altitude de x quilometros acimado solo. Por exemplo, se p(6) = 0,0052, entao, auma altilude de 6 km, ba efetivamente umaespessura de 0,0052 em de ozonio para cadaquilometro de atmosfera. Se p e uma fun<;aocontinua, a espessura da camada de ozonio entreas alturas a e b pode ser obtida calculando-se

!p (x) dx. A tabela a seguir da valores de p (x)a

obtidos experimentalmente.

(a) Estime, pela regra do trapezio, a espessura dacamada de ozonio entre as altitudes de 6 e 42km, na primavera e no outono.

x(km} ,.p(i)(primiivern),el: ',5{i)"(ou·t'riiio) .

0 0,0034 I 0.00386 0,0052 I 0,004312 0,0124 I 0,007618 0,0132 I 0,010424 0,0136 I 0,010930 0,0084 ! 0,007236 0,0034 I 0,003442 0,0017 I 0,0016

@] 27 a gas radon pode constituir serio risco quando" inalado. Se Vet) e 0 volume de ar (em cm3) nos

pulmoes de urn adulto no instante I (em minu-tos), entao a taxa de varia<;ao de V pode ser

aproximada por V'(t) = 12.45011:sen (30ltt), Ainala<;ao e a expira<;ao correspondem aV' (t) > 0 e V· (t) < 0, respectivamente. Supondoque urn adullo viva em uma casa que tern umaconcentra<;ao de energia radioativa devido aoradon, de 4,1 x 10-12 jaules/cm3.

(a) Aproxime 0 volume de ar inalado pelo adultoem cada inspira<;ao.

(b) Se a inala<;ao de mais de 0;02 joules deenergia radialiva por ano e considerada peri-gosa, deve a pessoa permanecer na casa?

28 Uma bicicleta fixa para exercfcios e programadade fomla que possa ser ajustada para diferentesniveis de L de intensidade e tempos de realiza<;aoT. Ela registra 0 tempo decorrido I (em minutos),para 0 ,,;I,,; T e 0 numero de calorias C(/) consu-midas por minuto no tempo I, onde

Suponha que um individuo se exercite por 16minutos, com L = 3 para 0,,; 1s 8 e com L = 2para 8.,,;1 ,,; 16. Ache 0 numero total de caloriasqueimadas durante 0 exercfcio. -

29 A tabela a seguir da a taxa de crescimento R (emcm/ano) de um menino media no de t anos, para10,,; I,,; 15 '

10 11 12 13 14 155,3 5,2 4,9 6,5 9,3 7,0

Use a regra do trapezia, com II = 5, para obteruma aproxima<;ao do crescimento (em centime-tros) do menino entre seu 10' e 15· aniversarios.

30 Para determinar 0 numero de plancton numa partedo oceano com 80 metros de profund'dade, umbi610go marinho extrai amostras sucessivas de 10metros, obtendo a tabela a seguir, onde p(x) e adensidade (em numero/m3) de plancton a umaprofundidade de x metros.

o 10 20 30 40 50 60 70 80

o 10 25 30 20 15 10 5 0

Use a regra de Simpson, com n = 8, para estimaro numero total de plancton em uma co/una deagua de 1 m2 de sec<;iiotransversa, estendendo-seda superficie ate 0 fundo do oceano.

6.9 EXERCICIOS DE REVlSAo

E~ercs.1-2: Trace 0 grMico da regiao delimitadapelos graficos das equa<;oes,e ache a area integrandoem rela<;aoa (a) x e (b) y.

y = _x2, Y = i-8

'2 l = 4 -x, x + 2y = 1

fExercs.3:4: Ache a area da regiao delimitada pelosgraficos das equa<;oes.

x = l, x + Y = 1

Y = _x3, Y = .fX, 7x + 3y = 10

Ache a area da regiao entre os graficos dasequa<;oesy = cos ix e y = sen x, de x = n/3 a

A regiao delimitada pelo grafico dey = vI + cos 2x e 0 eixo-x, de x = 0 a x = nl2,gira em tome do eixo-x. Ache 0 volume do s6lidogerado.

Exercs.7-10: Esboce a regiao R delimitada pelosgraficos das equa<;oes, e ache 0 volume do s61idogerado pela revolu<;ao de R em tome do eLxoindicado.iiI"

,7 y=v4x+ 1 Y = 0, X= 0, x = 2; eixo-x..8 y=x4, Y = 0, x = 1; eixo-)'

9 y=x3 + I, x= 0, Y = 2; eixo-)'

10 y=\rx, y =.fX; eixo-x

Exercs.n-12: A regiao delimitada pelo eixo-x e 0grafico da equa<;aodada, de x = 0 a x = b, gira emtome do eixo-y. Ache 0 volume do s6lido result ante.

, 211 y = cosx ;

12 y = xsen x3;

13 Ache 0 volume do s61ido gerado pela revolu«,ii0da regiao delimitada pelos graficos de y = 4x' e4x + y = 8 em tome (a) do eixo-x (b) x = 1 (c)Y = 16

14 Ache 0 volume do s6lido gerado pela revoluroda regiao delimitada pelos graficos de y = x , x= 2 e y = 0 em tome (a) do eixo-x (b) do eLxD-)'(c) x = 2 (d) x = 3 (e) y = 8 (0 y = -1.

15 Ache 0 comprimento do arco do' grafico de2 3 3(x + 3) = 8(y . 1) de A( -2'2) a B(5, 3).

16 Um s6lido tem por base a regiao do plano .rydelimitada pelos graficos del = 4:<ex = 4. Acheo volume do s6lido, se toda sec<;ao'transversa porum plano perpendicular ao eixo-x e urn trianguloretangulo is6sceles com urn dos lados iguais nabase do s6lido.

17 Uma piscina construida acima do solo tem aforma de um cilindro circular reto de 12 pes (4 m)de diametro e 5 pes (1,50 01) de altura. Se aprofundidade da agua na piscina e de 4 pes(1,20 m), determine 0 trabalho necessario parabombear a agua pelo topo da piscina.

18 Ao se i<;arum balde por UDladistancia de 30 pes(9 m) do fundo de urn pOlio,'a agua vaza a umarazao constante. Ache 0 trabalho reafizado se 0balde contem originalmente 24 libras (11 'kg) deagua e urn ter<;oda agua vaza. Admita que 0 baldevazio pese 4 libras (1,8 kg) e despreze '0 peso dacorda.

19 Uma chapaquadrada de 4 pes (1,22 m) d,e ladoesta submersa verticalmente em .agua de talmodo que UDladas diagonais e paralela a super-ffcie da agua. Se a distancia da superficie aocentro da chapa e de 6 pes (1,83 m), ache a for<;aexercida pela agua sobre urn Jado da chapa.

20 Use diferenciais para aproximar 0 comprimentol .

do arco do grafico de y = 2 sen 3x entre os pont os

de coordenada-x n e 91n/90.

Exercs. 21·22: Esbocc a regiao delimitada pelos grn-ficos das equa<;6ese ache m, Mx, My e 0 centr6idc.

23 0 gnlfico da equa<;ao 12y = 4x3 + (3/x) deA(l l-) a B(2, fil ) revolve em tome do eixo-x., 12 24Ache a area da superficie resultante.

24 Obtem-se a forma do refletor de urn holofoterevolvendo-se urna parabola em tOIDOdo seueixo. Se , conforme a figura, 0 refletor tern 4 pes(1,22 rn) de abertura e 1 pe (30 em) de profun-didade, ache a Mea de sua superfide.

(1,LNJ, ,~30cm

25 A velocidade v(t) de UIIj foguete que caminhadiretarnente para drna consta da tabela a seguir.Use a regra do trapezio para aproximar a distanciapcrcorrida pelo foguete de t = 0 a t = 5.

I 26 Urn eletridsta suspeita que urn medidor de luzque acusa urn consurno total de Q kw/b nao estejafuncionando correntamente. Para testar a exati·dao, 0 eletricista mede a taxa de consumo R acada 10 minutos, obtendo os resultados da tabelaabaixo.

(a) Use a regra de -Simpson para estimar .0

consurno total durante este perfodo de uma _hora. ' ':'.\

(b) Se 0 medidor aensa 48.792 kwlh no corne~~da experiencia e 48.953 DOffm, qual deve sera conclusao do e1etridsta?

1 427 Interprete f. 2m- dx:

o

(a) como area de uma regiao do plano-xy

(b) como volume de urn s6lido obtido pela rev~-lu~ao de urna regiao em torno .

(c) como urn trabalbo realizado por uma for~a:.'I;

28 Seja R a regiao semicircular do plano-xy con' ,extremidades do diametro em (4, 0) e (10, 0). Useo teorema de Pappus para achar 0 volume dos6lido obtido pela revolu~ao de R em tOIDOdoeixo-y.