7/21/2019 Lista-1 (Operaes Com Vetores).PDF
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FAT 2014GEOMETRIAANALTICA LISTA1
3-1 Sejama eb vetores ortogonais, formando ngulos iguais a /3com
o ve-torc. Sabendo quea = 3, b = 5ec= 8, calcule
(3a 2b) (b + 3c)
e(a + b + c) (a + b + c).
3-2
Sejama eb tais que
a b
= 30,a = 11e
b
= 23. Ache o nguloentrea + b ea b.
3-3 EncontremRde modo que os vetores (m,3, 2)e(1, 2,m)sejam
ortogo-nais.
3-4 Ache o ngulo BdoABC, sabendo que A = (1,2, 4),B = (4,2,
0)eC= (3,2, 1).
3-5 Calcule a projeo do vetorv = (4,
3, 2)sobre o eixo que forma ngulos
agudos iguais com os eixos coordenados.3-6 Dado oABC, comA =
(1,1, 2), B = (5,6, 2)e C = (1, 3,1), calcule a
projeo deABsobre
AC. Conclua da o valor da altura traada porB . Qual
a rea doABC?3-7 Sejama eb vetores no paralelos. Mostre que, sea
=
b, ento o
vetor a +b forma ngulos iguais com a e b. Prove, tambm, a
recproca do
enunciado, i.e., sea + b forma ngulos iguais com os vetoresa eb,
entoa = b . Interprete geometricamente estes resultados.
3-8 Dados um retngulo ABCDe um pontoXarbitrrio.
X
A
B
D
C
(a) Mostre que
XC
2
+XA
2
2XC
XA=
XD
2
+XB
2
2XD
XB.
(b) Mostre que
XA
2
+XC
2
+ 2XA XC=
XB
2
+XD
2
+ 2XBXD.
(c) Mostre que XA
2
+
XC
2
=
XB
2
+
XD
2
.
3-9 SejaGo baricentro (veja lista 2, exreccio 2-6) doABC. Mostre
queAB
2
+BC
2
+AC
2
= 3(GA
2
+GB
2
+GC
2
).
3-10 Dados os pontosA,B ,Ce D, verifique a seguinte relao devida
aEuler:AB DC+ BC DA + CA DB = 0.
3-11 Se = 2/3 o ngulo entre os vetoresa eb, coma = 1eb = 2,
calcule (a + b) (a b)
e
(3a
b)
(a
2b)
.
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R, VETORIAL EM ISTO (GEOMETRIAANALTICA) - 2
c =0, entoa b =b c =c a.
ces do cubo ABCDMNPQ,
4,1, 9), A = (1, 2, 0) e B =.
, 4), B = (3 +
5, 3 5, 2)e, 0).
A B
CD
NM
PQ
forasF1 eF2tal como indicado na figura, onde a intensidadee= 20.
Seja
F =
F1+
F2sua resultante.
eF1para que
Fseja vertical de 900 N;
F vertical, calcule para que o mdulo de
F1 seja mnimo e
alor correspondente deF1.
a doABC,A = (1,1, 2),B = (1, 3,1)eC= (5,6, 2).
ostre que a altura hc =
CX
que passa por C(veja a lista 2,0) valehc =
AB
AC
AB
e queAB(ABAC) paralelo a CX.
2,3, 1),b = (1,2, 3)ec = (1, 2,7), encontre o vetord talgonal aa
e ab, comd c = 10.
um vetor localizado em A. OF em relao a um pontoC
CAF. Considere a fora+ 6
k como na figura ao lado.
mento de
F com relao ao x
y
F C
z
e
a
(a
(a
(a
b))) =
a4
b .
3-21 Verifique quea (b (c d)) = (b d)(a c) (b c)(a d)..3-22
Calcule o produto misto [a , b ,c] e decida se os vetoresa, b ec so
copla-
nares. Nos casos no coplanares, indique a orientao da base{a ,b
,c}.(a) a = (1,1, 3),b = (2, 2, 1)ec = (3,2, 5).
(b) a = (3,2, 1),b = (3,1,2)ec = (2, 1, 2).(c) a = (2,1, 2),b =
(1, 2,3)ec = (3,4, 7).
3-23 Calcule o volume do tetraedro cujos vrtices A = (2,1, 1), B
= (5, 5, 4),C= (3, 2,1)eD = (4, 1, 3).
3-24 Mostre que a altura de um tetraedro ABCDrelativa
baseABCvale
h=| [AB, AC, AD] |
ABAC.
3-25 Mostre que os pontos A= (1, 2,1),B = (0, 1, 5),C= (1, 2, 1)
e D= (2, 1, 3)so coplanares.
3-26 Verifique que[a + b ,b + c ,c + a] = 2[a ,b ,c].3-27 Se(a
b) + (b c) + (c a) =0, mostre que os vetoresa,b ec
so coplanares.
3-28 Sejama =XA,b =XB ec =XCveto-res no coplanares, eo plano
determinadopelos pontosA,B e C. Mostre que
n =a b + b c + c a cA
B
C
n
