Grandezas Vetoriais & Operações com Vetores

Escalares e VetoresAs Grandezas Físicas podem ser ESCALARES ou VETORIAIS.• GRANDEZA ESCALAR

N° + PADRÃO DE MEDIDA

• GRANDEZA VETORIAL N° + PADRÃO + ORIENTAÇÃO

Ex.: comprimento; massa; tempo; temperatura; volume; pressão; energia; etc.

Ex.: deslocamento; velocidade; aceleração; força; torque; impulso; campos; etc.

VETOR é um ente matemático constituído de um módulo, direção e sentido, utilizado em Física para representar as grandezas vetoriais.

B

A(origem)

(extremidade: sentido)

“para onde”

V(vetor V)

RETA SUPORTE(DIREÇÃO)

OBS: módulo de | | ou V = medida do segmento de reta

Comparação entre vetoresI – Vetores Equipolentes (ou Iguais)

• São vetores que apresentam as mesmas características: mesmos módulos; mesmas direções e mesmos sentidos.

= = ��

��

��São vetores iguais ou

equipolentes.

II – Vetores Simétricos (ou Opostos)

• São vetores que apresentam mesmos módulos; mesmas direções; porém, apresentam sentidos contrários.

𝒙𝒚

𝒘 𝒛

= - São vetores simétricos ou opostos.

= - São vetores simétricos ou opostos.

Componentes ortogonais de um vetorSão dados um vetor e um sistema cartesiano com dois eixos ortogonais x e y. Pode-se projetar a origem e a extremidade do vetor em cada eixo x e y, obtendo-se; assim, suas componentes ortogonais (perpendiculares) e .

0x

y

��

��𝐱

��𝐲

: componente horizontal (ou

tangencial) de

: componente vertical (ou

normal) de

Método Geométrico da Decomposição Vetorial

OBS: Todo vetor apresenta duas componentes ortogonais.

Método Analítico da Decomposição Vetorial

V

Vx

Vy

: ângulo de elevação do vetor V medido a partir da horizontal (referencial).= Vcos = Vsen

Adição vetorial (Vetor-soma ou vetor-resultante “r”)A adição vetorial é a operação que permite calcular um único vetor cujo efeito é equivalente ao efeito produzido pelos vetores-parcelas.Para representar o vetor-soma, pode-se utilizar dois processos geométricos, que podem ser aplicados indistintamente, obtendo-se o mesmo resultado.

MÉTODO DO POLÍGONO

MÉTODO DO PARALELOGRAMO

Na extremidade do 1º vetor junta-se a origem do 2º vetor e assim por diante. O vetor-soma liga a origem do 1º vetor com a extremidade do último vetor.

Liga-se os vetores dados pela origem. Da extremidade de cada vetor, constrói-se um paralelogramo. A diagonal do paralelogramo, traçada a partir da origem dos vetores-parcelas, é o vetor-soma.

��𝟏 ��𝟐

��𝟏

��𝟐��=��𝟏+��𝟐

��𝟏

��𝟐

��=��𝟏+��𝟐

��𝟏 ��𝟐

Importante!I) O módulo do vetor-soma de dois vetores só

será igual a zero se; e somente se, forem simétricos.

II) O módulo do vetor-soma de três ou mais vetores só será igual a zero se; e somente se, a linha poligonal formada for fechada (coincidência entre a extremidade do último vetor com a origem do primeiro vetor).

S = 0

��+ ��+𝒄+��+ ��=��

A.sen

A.cos

Método Analítico da Soma Vetorial

��

��

��

R² = A² + B² + 2 A B cos

R² = (B + Acos)² + (Asen)²

R²= B² + 2ABcos + A²cos² + A²sen²

R² = A²(sen² + cos²) + B² + 2ABcos

R

Sendo assim, qualquer que seja a direção entre os dois vetores-parcelas, o módulo do vetor-resultante pertencerá ao intervalo:

| A – B | ≤ R ≤ A + B

Importante!I)

O vetor 0

e é o elemento neutro da soma de vetores. Ele é um vetor com módulo zero.

Existe

tal queII)

a e a e V

b V

0a b

tal que

ExisteO vetor b a

é o vetor simétrico da soma de vetores.

a

-a

a b b a

III) A adição vetorial é comutativa, isto é, para quaisquer vetores e , temos:

IV) A adição vetorial é associativa, isto é, para quaisquer vetores , e , temos:

subtração vetorial (Vetor-diferença “D”)Subtrair dois vetores consiste em somar o primeiro vetor com o vetor-simétrico do segundo.

A soma de de um vetor a com um vetor

simétricodefine a subtração de vetores. Para realizá-la é suficiente aplicar qualquer método geométrico a esses vetores:

a ��

��

a

��=��+(− ��)

Método Analítico da Subtração Vetorial

a

��

��

180° -

Identidade importante: cos(180° - ) = - cos

D² = a² + b² + 2a b cos(180° - ) D² = a² + b² + 2a b(- cos)

D² = a² + b² - 2 a b cos

��+(− ��) −��

−��

−��

−��

RESUMO!

cos2²²²||:cos2²²²||:vuvuvuMenorDiagonalvuvuvuMaiorDiagonal

APLICADACOSSENOSDOSLEI

Produto de um vetor por um escalarSeja K um número real não nulo e um vetor não nulo. A esse número e a esse vetor associamos um vetor, que simbolizamos por K : I. com a mesma direção de ; II. com módulo igual ao módulo de K vezes o módulo de ;III. com o mesmo sentido de , se K é positivo, mas com sentido oposto ao de , se K é negativo. Entretanto, se K = 0 ou se a = 0, definimos K como sendo o vetor-nulo.

a

a

a

aa

a

a

Versor de um VetorUm vetor que possui módulo igual a 1, independente de sua direção e sentido, é nomeado de “vetor unitário”.

Vetor no plano, em função dos versores dos eixos coordenadosVamos associar um versor a cada eixo do plano cartesiano.

Assim, o versor = (1, 0) no eixo dos x e o versor = (0, 1) no eixo dos y, conforme a figura ao lado:

* Decomposição vetorial em vetores unitários ortogonais (forma linear de um vetor):

j3i3c

i2b

j3a

:respostas