Embed Size (px)
Citation preview
Noter til Statistik
Lisbeth Tavs Gregersen1. udgave
1
Indhold
1 Intro 3
1.1 HF Bekendtgørelsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Deskriptiv statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Ikke-grupperet Talmateriale 4
2.1 Hyppighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 Prikdiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 Typetallet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Frekvens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1 Kumulerede frekvens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Kvartilsæt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3.1 Median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3.2 Nedre (første) kvartil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3.3 Øvre (tredje) kvartil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Boksplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5 Fortolkning og kommentering af boksplot . . . . . . . . . . . . . 7
2.6 Middeltal (ikke-grupperet talmateriale) . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Grupperet Talmateriale 9
3.1 Intervalhyppighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1.1 Typeinterval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Intervalfrekvens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2.1 Kumuleret frekvens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 Sumkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.4 Kvartilsæt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.5 Histogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.6 Middeltal (grupperet talmateriale) . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.7 Specielt for aldersfordelinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Opgaver 14
4.1 Ikke-grupperet talmateriale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2 Grupperet talmateriale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5 Eksamenslignende opgaver: 20
2
1 Intro
Statistik bestar af bearbejdning af datamateriale (talmateriale). Malet med
bearbejdningen er at skabe sig et overblik over datamaterialet, sa man bedre
kan beskrive og overskue det.
1.1 HF Bekendtgørelsen
Kursisterne skal kunne:
- give en statistisk behandling af et talmateriale og kunne formidle konklusioner
i et klart sprog
Kernestoffet er:
- deskriptiv statistik med grafisk præsentation og bestemmelse af simple empi-
riske statistiske deskriptorer
1.2 Deskriptiv statistik
En deskriptor er et tal, som fortæller noget karakteristisk om et talmateriale.
Eksempel: Ved en række eksamener har Josephine opnaet følgende karakte-
rer: 7, 4, 4, 7, 10, 7, 7, 10, 7, 2, 4, 7, 10, 4, 7, 10, 7 , 4, 12, 10.
Hvis der er tale om 20 enkeltkarakterer, kan det virke uoverskueligt. Derimod
synes beskeden:
”Josephine bestod sine eksamener med gennemsnittet 7”
at være en klar besked og ofte lige sa god som alle enkeltkaraktererne. Her
vil vi i stedet for ordet gennemsnit bruge ordet middelværdi.
Ofte vil man ogsa være interesseret i, hvilke karakterer Josephine har faet
flest af: dvs. hendes typiske karakter.
”Josephine har typisk faet 7”
Nar vi har en række observationer, kaldes den observation (her karakter),
der er flest af, typetallet.
Vi kunne ogsa sortere alle Josephines karakterer i størrelsesorden begynden-
de med 2, sa 4, 4 ... og til sidst 12. Den karakter, der star midt i rækken er
3
medianen. Er der et lige antal observationer, benytter vi middelværdien af de
to midterste observationer.
Bade middelværdi, typetal og median beskriver Josephines eksa-
men; de er deskriptorer.
Det er slet ikke hver gang at tallene er ens, men at de har omtrent samme
værdier er heller ikke unormalt. Hvad der er vigtigt (for os) er, at deskriptoren
fortæller det vigtigste uden at vildlede.
Her var det karakterer vi observerede, men det kunne have været alt muligt
andet: mord pa ægtefæller, længden af torsk, antal rugende ørne i Danmark,
prisen pa en tønde olie. . . Nar vi har en række af sadanne (samhørende) data,
kan vi give dem en statistisk behandling.
2 Ikke-grupperet Talmateriale
Eksemplet vi vil anvende:
Pa et hold med 25 elever har eleverne sendt følgende antal SMS’er det
seneste døgn:
4, 3, 8, 2, 0, 3, 0, 10, 5, 5, 3, 9, 7, 0, 8, 2, 4, 8, 3, 5, 0, 8, 4, 12, 3
Hvert af tallene kaldes en observation, hvormed der er 25 observationer i
alt. Tilsammen udgør tallene et observationssæt.
Det er normalt at sortere observationerne efter størrelse (voksende):
0, 0, 0, 0, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 10, 12
2.1 Hyppighed
Hyppighed betyder det antal gange en observation optræder i observationssæt-
tet. For at gøre observationerne overskuelige kan vi lave en hyppighedstabel:
Observation 0 2 3 4 5 7 8 9 10 12
Hyppighed 4 2 5 3 3 1 4 1 1 1
I tabellen ses det at observationen 0 har en hyppighed pa 4, mens observa-
tionen 2 har en hyppighed pa 2, o.s.v.
4
2.1.1 Prikdiagram
Hyppigheden kan desuden illustreres ved et prikdiagram, som vist nedenfor. I
prikdiagrammet viser antallet af prikker hyppigheden for en given observation.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
antal SMS’er
2.1.2 Typetallet
Typetallet er den observation der er flest af.
I eksemplet med SMS’er er typetallet 3, da der er flest af denne observation.
2.2 Frekvens
Observationers frekvens beskriver observationens andel af samtlige observatio-
ner. Frekvensen er saledes hyppigheden omregnet til procent.
I eksemplet med SMS’er er frekvensen 16% for observationen 0, da hyppig-
heden er 4 og det totale antal observationer er 25;4
25= 0,16 = 16%.
Man kan saledes opstille en frekvenstabel:
Observation 0 2 3 4 5 7 8 9 10 12
Frekvens 0,16 0,08 0,20 0,12 0,12 0,04 0,16 0,04 0,04 0,04
Frekvens i procent 16% 8% 20% 12% 12% 4% 16% 4% 4% 4%
2.2.1 Kumulerede frekvens
Den kumulerede frekvens for en observation er den samlede frekvens for de
observationer der er mindre end eller lig med observationen.
En tabel over den kumulerede frekvens ser saledes ud:
Observation 0 2 3 4 5 7 8 9 10 12
Frekvens i procent 16% 8% 20% 12% 12% 4% 16% 4% 4% 4%
Kumulerede frekvens 16% 24% 44% 56% 68% 72% 88% 92% 96% 100%
5
2.3 Kvartilsæt
Et kvartilsæt bestar af nedre (første) kvartil, medianen og øvre (tredje)
kvartil.
2.3.1 Median
Medianen er den midterste observation, nar observationerne er ordnet efter
størrelse. Er der to i midten (nar antal observationer er lige), benyttes gennem-
snittet af disse to.
I eksemplet med SMS’er er medianen altsa 4.
2.3.2 Nedre (første) kvartil
Nedre kvartil findes som medianen men kun i den første halvdel af observatio-
nerne (sorteret i voksende rækkefølge.) Ved ulige antal ses der bort fra midterste
observation - den som udgør medianen.
I eksemplet med SMS’er er nedre kvartil altsa2 + 3
2= 2,5
2.3.3 Øvre (tredje) kvartil
Øvre kvartil findes pa tilsvarende made blandt de største observationer.
I eksemplet med SMS’er er øvre kvartil altsa8 + 8
2= 8
Observationssættets kvartilsæt er saledes (2,5; 4; 8) [(nedre kvartil;
median; øvre kvartil).
2.4 Boksplot
Et boksplot er en grafisk made kort at beskrive et bearbejdet statistisk mate-
riale. Et boksplot indeholder følgende oplysninger:
• Den mindste værdi i materialet (minimum)
• Den største værdi i materialet (maksimum)
6
• Nedre kvartil
• Median
• Øvre kvartil
Selve boksplottets udformning kan ses pa nedenstaende figur:
2.5 Fortolkning og kommentering af boksplot
Man starter med at kommentere de 5 oplysninger man kan aflæse af boksplottet.
Bemærk at man skal kommentere med et ordvalg, som beskriver den realistiske
situation bedst muligt.
I eksemplet med SMS’er er man nødt til at runde den fundne nedre kvartil
op til 3, da man ikke kan sende 2,5 SMS’er. Fortolkningen bliver saledes:
1. Minimum: Det laveste antal sendte SMS’er var 0.
2. Nedre kvartil: 25% af eleverne sendte 3 SMS’er eller mindre.
3. Median: 50% af eleverne sendte 4 SMS’er eller mindre.
4. Øvre kvartil: 75% af eleverne sendte 8 SMS’er eller mindre.
5. Maksimum: Den største antal sendte SMS’er var 12.
Derudover kan vi ogsa udtale os om boksen og ”pindene” i boksplottet:
6. Boksens placering og/eller udstrækning: De midterste 50% af antal sendte
SMS’er la mellem 3 og 8. Eller alternativt: Det typiske antal sendte SMS’er
la i intervallet fra 3 til 8.
7. Udstrækningen af venstre pind: 25% af antal sendte SMS’er la mellem 0
og 3.
7
8. Udstrækningen af højre pind: 25% af antal sendte SMS’er la mellem 8 og
12.
Dette kan bruges som en opskrift pa at beskrive enkelte boksplot. Nar man
sammenligner 2 boksplot, kan man ogsa med fordel sammenligne de samme 8
punkter.
2.6 Middeltal (ikke-grupperet talmateriale)
Middeltallet er gennemsnittet af observationerne. Dvs. middeltallet findes ved
at lægge alle observationerne sammen og dividere med antallet af observationer.
Man kan med fordel benytte hyppighedstabellen nar middeltallet skal findes:
Middeltal =0 · 4 + 2 · 2 + 3 · 5 + 4 · 3 + 5 · 3 + 7 + 8 · 4 + 9 + 10 + 12
25= 4,64
Eleverne har altsa i gennemsnit sendt 4,64 SMS’er.
Løs opgave 1-7 s. 14-17
8
3 Grupperet Talmateriale
Grupperet talmateriale er observationer i et datasæt, der er inddelt i intervaller.
Eksemplet vi vil anvende: Vi vælger 10 tilfældige VUC-kursister som vores
population og betragter deres højde i centimeter som vores observationssæt.
Det ikke-grupperede observationssæt er sa listen over observationer, fx
162, 178, 192, 157, 163, 167, 181, 171, 160, 187
Vi grupperer observationssættet ved at inddele det i passende intervaller.
Fx kunne vi vælge intervallerne 150-160, 160-170, 170-180, 180-190, 190-200.
3.1 Intervalhyppighed
For hvert interval angiver intervalhyppigheden det antal observationer, som
intervallet indeholder.
Som et eksempel er intervalhyppigheden hørende til 160-170 lig med 4, da
vi har 4 observationer indehold i dette interval.
BEMÆRK: Vi vedtager at 150-160 betyder intervallet [150-160[ (fra og med
150 til 160) osv. Sa en højde pa 160 skal placeres i intervallet 160-170.
En hyppighedstabel ser saledes ud:
Interval 150-160 160-170 170-180 180-190 190-200
Intervalhyppighed 1 4 2 2 1
3.1.1 Typeinterval
Et typeinterval er det interval, hvor intervalhyppigheden er størst.
I det valgte eksempel er typeintervallet 160-170, da dette er intervallet med
det største antal observationer.
3.2 Intervalfrekvens
For hvert interval angiver intervalfrekvensen den procentdel af observationerne,
som intervallet indeholder.
Intervalfrekvensen hørende til et interval findes ved at omregne interval-
hyppigheden til procentdelen af det totale antal observationer: Frekvensen for
160-170 er4
10= 0,4 = 40%
En tabel for intervalfrekvensen ser saledes ud:
9
Interval 150-160 160-170 170-180 180-190 190-200
Intervalfrekvens 0,10 0,40 0,20 0,20 0,10
Intervalfrekvens i procent 10% 40% 20% 20% 10%
3.2.1 Kumuleret frekvens
Den kumulerede frekvens hørende til et interval findes ved at lægge intervallets
frekvens sammen med de foregaende.
Interval 150-160 160-170 170-180 180-190 190-200
Intervalfrekvens 10% 40% 20% 20% 10%
Kumuleret frekvens 10% 50% 70% 90% 100%
3.3 Sumkurve
Sumkurven er defineret som grafen for funktionen, der for enhver mulig obser-
vationsstørrelse (x-værdi) angiver brøken (eller procenten) af observationer, der
er mindre end denne x-værdi.
I et koordinatsystem afsættes de punkter, hvis x-værdi bestemmes af højre
intervalendepunkt, og hvis y-værdi bestemmes af den tilsvarende kumulerede
intervalfrekvens. Punkterne forbindes af rette linier.
Dette har den konsekvens, at man derved antager at observationerne fordeler
sig jævnt i hvert interval.
150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 2000
20
40
60
80
100
højde [cm]
kum
ule
ret
frek
vens
3.4 Kvartilsæt
Et kvartilsæt bestar af nedre (første) kvartil, medianen og øvre (tredje)
kvartil:
10
• Nedre kvartil er det tal, som er bestemt ved, at 25% af observationerne
er mindre end eller lig med tallet.
• Medianen er det tal, som er bestemt ved, at 50% af observationerne er
mindre end eller lig med tallet.
• Øvre kvartil er det tal, som er bestemt ved, at 75% af observationerne er
mindre end eller lig med tallet.
Kvartilsættet kan aflæses pa sumkurven:
150 155 160 163.8 170 175 180182.5 190 2000
25
50
75
100
højde [cm]
kum
ule
ret
frek
vens
Kvartilsættet aflæses pa sumkurven til:
Nedre kvartil: Værdien pa første-aksen hørende til 25% pa anden-aksen = 163,8.
Dvs. 25% af eleverne har en højde, som er mindre end eller lig med 163,8 cm.
Medianen: Værdien pa første-aksen hørende til 50% pa anden-aksen = 170.
Dvs. 50% af eleverne har en højde, som er mindre end eller lig med 170 cm.
Øvre kvartil: Værdien pa første-aksen hørende til 75% pa anden-aksen = 182,5.
Dvs. 75% af eleverne har en højde, som er mindre end eller lig med 182,5 cm.
3.5 Histogram
Et histogram er et søjlediagram, hvor søjlernes bredde er hele intervallet og alle
intervaller har samme bredde. Højden af søjlerne svarer til intervalfrekvensen
eller intervalhyppigheden.
11
150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 2000
10
20
30
40
50
højde [cm]
inte
rval
frek
vens
3.6 Middeltal (grupperet talmateriale)
Middeltallet er gennemsnittet af observationerne.
Middeltallet udregnes som (sum af intervalmidtpunkter gange hyppighed)/(antal
observationer).
Intervalmidtpunktet for intervallet 150-160 er 155 o.s.v.
Middelværdien for elevernes højde er saledes:
Middeltal =155 · 1 + 165 · 4 + 175 · 2 + 185 · 2 + 195 · 1
10= 173,0
3.7 Specielt for aldersfordelinger
Eksempel:
I tabellen nedenfor ses aldersfordelingen for de børn, der blev adopteret i
Danmark i 2002 (kilde: Danmarks Statistik):
Alder 0-4 5-9 10-14 15-19 Sum
Hyppighed 681 94 93 88 956
Frekvens 71% 10% 10% 9% 100%
Bemærk, at intervalinddelingen er anderledes end vi hidtil har set, idet ek-
sempelvis første intervals sidste endepunkt tilsyneladende ikke grænser helt op
12
til andet intervals første endepunkt. Dette er specielt for observationssæt, der
vedrører en aldersfordeling.
I det første interval er medtaget de observationer, hvor det adopterede barn
er fra og med 0 til og med 4 ar. Da man er 4 ar indtil den dag, man fylder 5 ar,
vælger man at angive 4 som højre intervalendepunkt. Saledes vil et barn, der er
4,9 ar pa adoptionstidspunktet, tælle med i intervallet fra 0 til 4. Delepunktet
mellem de to første intervaller er 5, mellem de to næste intervaller er delepunktet
10 o.s.v.
Nar man skal tegne histogrammet, afsætter man derfor tallene 0, 5, 10 og
20 pa x-aksen:
0 5 10 15 200
20
40
60
80
alder
inte
rval
frek
vens
13
4 Opgaver
4.1 Ikke-grupperet talmateriale:
1. Klassens skostørrelser:
a. Udfyld nedenstaende skema.
Skostørrelse 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46
Hyppighed
Frekvens
Kum. frekvens
b. Tegn et prikdiagram af observationssættet.
c. Bestem typetallet.
d. Bestem kvartilsættet.
e. Tegn et boksplot for observationssættet.
f. Bestem observationssættets middeltal.
2. Pigernes skostørrelse VS drengenes skostørrelse.
a. Udfyld nedenstaende skema for pigernes skostørrelser.
Pige skostr. 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46
Hyppighed
b. Bestem kvartilsættet.
c. Tegn et boksplot af observationssættet for pigernes skostørrelser.
d. Udfyld nedenstaende skema for drengenes skostørrelser.
Drenge skostr. 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46
Hyppighed
e. Bestem kvartilsættet.
f. Tegn et boksplot af observationssættet for drengenes skostørrelser.
g. Sammenlign de to boksplot.
3. Slutstillingerne i kvindehandbold 2003-04 er angivet nedenfor:
14
Nr. Hold Point
1 Slagelse FH 43
2 Viborg HK 36
3 Ikast/Bording 33
4 Randers HK 27
5 GOG 23
6 Horsens HK 22
7 FCK Handbold 22
8 Aalborg DH 19
9 SK Arhus 12
10 KIF Kolding 12
11 Fox Team Nord 9
a. Bestem kvartilsættet.
b. Tegn et boksplot for observationssættet.
c. Bestem observationssættets middeltal.
4. Sammenligning af fordelingen af antal scorede mal i SAS Ligaen i fodbold.
Nedenstaende tabeller viser hvor mange mal hvert hold scorede i SAS
Ligaen i fodbold i sæsonerne 2001-02 og 2004-05 (kilde: www.onsidedk.com).
Sæson 2001-02
Hold Antal mal
Brøndby IF 74
FC København 62
FC Midtjylland 47
AaB 52
AB 48
OB 56
Esbjerg FB 42
Viborg FF 46
Silkeborg IF 41
AGF 42
Vejle Boldklub 38
Lyngby BK 25
Sæson 2004-05
Hold Antal mal
Brøndby IF 61
FC København 53
FC Midtjylland 49
AaB 59
Esbjerg fB 61
OB 61
Viborg FF 43
Silkeborg IF 50
AGF 47
FC Nordsjælland 36
Herfølge BK 29
Randers FC 30
15
a. Bestem kvartilsættet for antal scorede mal i de to sæsoner.
b. Tegn boksplot for de to fordelinger i samme diagram.
c. Beskriv hvad boksplottene fortæller om fordelingen af scorede mal i de
to sæsoner.
5. Sammenligning af fordelingen af pointscoring i basketball.
Materialet i denne opgave er fordelingen af pointscoring i en basketbal-
lkamp 15.11.2005 i den nordamerikanske basketballliga NBA. Kampen
var mellem Nuggets (fra Denver) og Hornets (fra New Orleans) (kilde:
www.nba.com).
Datamateriale fra kampen:
Nuggets
Spiller Antal point
A. Miller 15
D. Johnson 2
C. Anthony 31
M. Camby 15
F. Elson 2
E. Najera 6
E. Boykins 10
E. Watson 10
G. Buckner 0
Hornets
Spiller Antal point
C. Paul 18
K. Snyder 11
D. West 16
B. Nachbar 7
P. Brown 8
S. Claxton 4
D. Mason 7
C. Andersen 10
A. Macijauskas 0
a. Bestem kvartilsættet for antal scorede point for henholdsvis Nuggets
og Hornets.
b. Tegn boksplot for de to fordelinger i samme diagram.
c. Beskriv hvad boksplottene fortæller om fordelingen af scorede point i
de to kampe.
6. En gymnasieklasse pa B-niveau skal til skriftlig eksamen en time uden
hjælpemidler og tre timer med alle hjælpemidler. Læreren ønsker at un-
dersøge hvor stor effekt en maned intensiv træning i løsning af opgaver
uden hjælpemidler har. Derfor bliver eleverne testet bade før og efter den
intensive træning. I begge test kan man maksimalt opna 50 point.
16
Resultaterne af de to test kan ses af følgende tabel:
Test FØR 12 16 22 41 7 18 3 11 16 19
Test FØR fortsat 9 26 17 31 22 18 10 8 19
Test EFTER 26 31 42 49 20 38 22 31 23 31
Test EFTER fortsat 26 40 42 50 46 46 25 21 40
a. Bestem kvartilsættet for de to test, og indtegn boksplot for de to re-
sultater i samme diagram.
b. Beskriv i ord forskelle pa de to test.
7. Hastighedsmaling:
Man har observeret 16 bilers hastighed gennem en by, hvor den højest
tilladte hastighed er 50 km/t. De observerede hastigheder var
70, 61, 55, 60, 52, 49, 72, 54, 48, 53, 47, 62, 49, 51, 52, 50
a. Bestem kvartilsættet.
b. Tegn et boksplot for observationssættet.
c. Hvad fortæller boksplottet om bilernes hastighed?
d. Bestem observationssættets middeltal.
4.2 Grupperet talmateriale:
8. Feminas kvindeløb 1.
Tabellen nedenfor viser resultatet af Feminas kvindeløb 2005 for de del-
tagere, som gennemførte pa 45 minutter og derunder:
Tid [min.] 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45
Frekvens 0,2% 5,3% 30,6% 40,7% 17,0% 6,1%
a. Lav et histogram, der illustrerer dette datasæt.
b. Beregn de kumulerede frekvenser.
c. Tegn en sumkurve.
d. Bestem kvartilsættet.
e. Opskriv intervalmidtpunkterne.
17
f. Bestem observationssættets middeltal.
9. Feminas kvindeløb 2.
Tabellen nedenfor viser aldersfordelingen blandt deltagerne i Feminas
kvindeløb 2005:
Alder under 16 16-20 21-30 31-40 41-50 51-60 over 61
Frekvens 6,9% 4,4% 21,4% 29,7% 26,0% 10,1% 1,4%
a. Lav et histogram, der illustrerer dette datasæt.
b. Beregn de kumulerede frekvenser.
c. Tegn en sumkurve.
d. Bestem kvartilsættet.
e. Opskriv intervalmidtpunkterne.
f. Bestem observationssættets middeltal.
10. Agurker.
Et parti pa 1000 agurker er blevet vejet, fordi man ønsker at sortere agur-
ker fra, som er for sma eller for store. I nedenstaende tal ses agurkernes
vægt malt i gram:
Vægt 200-300 300-400 400-500 500-600 600-700
Antal 95 240 325 230 110
a. Lav et histogram, der illustrerer datasættet.
b. Beregn de kumulerede frekvenser.
c. Tegn en sumkurve.
d. Beregn middeltallet.
e. Hvor stor en procentdel af agurkerne vejede 250 gram eller derunder?
f. Hvor stor en procentdel af agurkerne vejede mellem 350 og 450 gram?
g. Hvor stor en procentdel af agurkerne vejede over 550 gram?
11. Førtidspension.
I alt 260.455 danskere modtog i 2003 førtidspension. Aldersfordelingen
fremgar af nedenstaende tabel:
18
Alder 18-29 30-39 40-49 50-54 55-59 60-66
Hyppighed 9.013 23.919 51.558 40.286 55.692 79.987
a. Beregn frekvenserne og de kumulerede frekvenser.
b. Beregn middeltallet.
c. Lav en sumkurve.
d. Aflæs kvartilsættet.
e. Hvad fortæller middeltallet og kvartilsættet om aldersfordelingen?
12. Løs opgave 1 i Matema10k s. 252.
13. Løs opgave 2 i Matema10k s. 252.
14. Løs opgave 3 i Matema10k s. 252.
15. Løs opgave 4 i Matema10k s. 252.
16. Løs opgave 5 i Matema10k s. 253.
17. Løs opgave 6 i Matema10k s. 253.
18. Løs opgave 10 i Matema10k s. 255.
19. Løs opgave 12 i Matema10k s. 255.
20. Løs opgave 13 i Matema10k s. 256.
19
5 Eksamenslignende opgaver:
20
21
