Starrylink Editrice

Collana Tesi e Ricerca

Ingegneria

Autori: Francesco Calvetti e Claudio di Prisco Titolo: Linee guida per la progettazione di gallerie paramassi Proprietà letteraria riservata © 2007 Francesco Calvetti e Claudio di Prisco © 2007 Starrylink Editrice Brescia Contrada S. Urbano, 14 - 25121 Brescia Collana Tesi e Ricerca www.starrylink.it editrice@starrylink.it I diritti di riproduzione e traduzione sono riservati. Nessuna parte di questo libro può essere utilizzata, riprodotta o diffusa con un mezzo qualsiasi senza autorizzazione scritta dell’autore. Copertina: © Starrylink Editrice Stampa: Color Art (Rodengo Saiano, Brescia), dicembre 2007 ISBN: 978-88-89720-79-0

Linee guida per la progettazione

di gallerie paramassi

Francesco Calvetti

Claudio di Prisco

Prefazione

Veneto Strade, società a prevalente capitale pubblico, nasce, in forza di una specifica Legge Regionale, nel 2001 in conseguenza degli effetti del D. Lgs.

112/1998 con oggetto sociale la progettazione, la manutenzione, la gestione e la vigilanza di reti stradali.

A seguito del trasferimento da ANAS ad EE.LL. di parte della rete stradale statale, Veneto Strade gestisce attualmente nell’intero Veneto circa 1400 km, di cui

all’incirca la metà possono essere classificate come strade di montagna. La gestione della rete comporta, oltre alle attività di manutenzione, anche

l’attuazione del Piano Triennale Regionale per la viabilità attraverso una serie di interventi infrastrutturali legati al miglioramento delle condizioni di sicurezza e

funzionalità della rete stessa. La presenza di una notevole percentuale di strade di montagna pone spesso

problematiche di difesa della sede stradale dalla caduta massi che in taluni casi vengono risolti attraverso la realizzazione di gallerie paramassi.

Si è constatato che, sia da un punto normativo che di letteratura tecnica, il panorama nazionale non individuava procedimenti di calcolo per il

dimensionamento e la verifica di tali tipologie di opere in correlazione ai fenomeni di caduta massi.

L’incontro con il gruppo di lavoro del Polo Regionale di Lecco del Politecnico di Milano ha permesso di iniziare un percorso di sviluppo del problema che ha portato

all’edizione di questo testo. Il lavoro svolto cerca di definire il fenomeno dell’interazione dinamico-impulsiva fra

un corpo assunto rigido (il blocco impattante) ed un mezzo deformabile (il terreno) e di studiare quindi la risposta dinamica della struttura (la galleria).

Fin dal principio si è voluto impostare come obiettivo finale la realizzazione di uno strumento applicativo che potesse essere di aiuto per i tecnici impegnati ad

affrontare problemi di dimensionamento di gallerie di protezione soggette all’urto di blocchi lapidei in caduta.

In ogni fase della collaborazione pluriennale fra gruppi di lavoro del Polo Regionale di Lecco del Politecnico di Milano e di Veneto Strade S.p.A. si è sempre cercato di non perdere di vista tale obiettivo, confrontando i risultati dello studio in definizione

con i casi reali e pratici che venivano affrontati nell’attuazione degli interventi specifici legati al Piano Triennale Regionale.

L’auspicio è che il testo possa risultare utile sia a coloro che si avvicinano alla materia, trovandovi i necessari elementi di base, che a quanti hanno già

conoscenza ed esperienza; il testo non vuole ovviamente presentarsi come un’opera finita sull’argomento, ma come una traccia sulla quale chiunque può

fornire valutazioni, osservazioni e chiarimenti che Veneto Strade sarà ben lieta di recepire e sviluppare.Nella speranza che tutto questo possa portare, per

l’argomento specifico, alla definizione di un procedimento di calcolo normalizzato che colmi l’assenza di letteratura tecnica in materia registrata all’inizio del lavoro

conclusosi con l’editazione del presente testo.

dott. ing. Silvano Vernizzi Amministratore Delegato Veneto Strade

Ringraziamenti

Questo testo è il risultato di una lunga collaborazione tra il Politecnico di Milano e Veneto Strade S.p.A. In particolare, il lavoro è stato svolto sotto la responsabilità

degli Autori e dell’ing. Sandro D’Agostini, promotore di questa ricerca ed interlocutore per tutti gli aspetti sperimentali e tecnico-scientifici.

Ringraziamo tutti coloro che hanno contribuito allo svolgimento della ricerca, ed in particolare:

ing. Helenio Dalla Torre, ing. Mauro Vecchiotti, ing. Marco Secondi Ringraziamo inoltre:

ing. Clara Zambelli, ing. Marco Stupazzini, ing. Marcello Scola, ing. Andrea Galli, ing. Simone Lapolla, ing. Andrea Milanese

Molti aspetti di carattere tecnico-scientifico sono stati affrontati grazie all’aiuto di alcuni docenti del Politecnico di Milano, che vogliamo ricordare:

prof. ing. Roberto Nova, prof. ing. Marco di Prisco, prof. Ing. Carlo Caprile prof. ing. Carmelo Gentile, ing. Liberato Ferrara

Ringraziamo infine la dott.ssa Manuela Ghielmetti che ha curato la veste grafica del libro.

Milano, dicembre 2007

Francesco Calvetti, Claudio di Prisco Sandro D’Agostini Dipartimento di Ingegneria Strutturale Veneto Strade S.p.A

Politecnico di Milano

SOMMARIO

INTRODUZIONE 9

1 PROVE SPERIMENTALI 17

1.1 CONSIDERAZIONI INTRODUTTIVE 18 1.1.1 Descrizione di un impatto tipo 19

1.2 VALUTAZIONE DELLA FORZA DI IMPATTO 21 1.2.1 Massima forza d’impatto 21 1.2.2 Durata dell’impatto 22

1.3 PENETRAZIONE DEL BLOCCO 23 1.4 PROPAGAZIONE DELLA SOLLECITAZIONE NELLO STRATO AMMORTIZZANTE 25

1.4.1 Carico sulla piastra in funzione della forza d’impatto 25 1.4.2 Disaccoppiamento del calcolo delle sollecitazioni sulla piastra dall’analisi strutturale 26

1.5 RISPOSTA STRUTTURALE 28 1.5.1 Azioni interne 28 1.5.2 L’importanza dello studio dinamico della struttura 29

APPENDICE A PROVE SPERIMENTALI IN SCALA RIDOTTA 31 APPENDICE B PROVE SPERIMENTALI DI IMPATTO SU TERRENI SCIOLTI 34 APPENDICE C PROVE SPERIMENTALI IN SCALA REALE SU GALLERIA PARAMASSI 40

2 ANALISI NUMERICHE AGLI ELEMENTI DISTINTI 49

2.1 MODELLO AD ELEMENTI DISTINTI 49 2.2 VALIDAZIONE DEL MODELLO (IMPATTI 1-4) 53 2.3 GENERALIZZAZIONE DEI RISULTATI 56

2.3.1 Influenza dell’altezza di caduta, impatti 5-10 (massa del blocco: 850 kg) 57 2.3.2 Influenza dell’altezza di caduta, impatti 11-13 (massa del blocco: 5000 kg) 59 2.3.3 Influenza della massa del blocco, impatti 14-18 (altezza di caduta 20 m) 60 2.3.4 Influenza della massa del blocco e dell’altezza di caduta 62 2.3.5 Influenza dello spessore dello strato ammortizzante, impatti 21-29 63

2.4 INTERPRETAZIONE RIASSUNTIVA DEI RISULTATI 65 2.4.1 Forza d’impatto 66 2.4.2 Forza d’impatto-incremento di sforzo sulla piastra 66 2.4.3 Penetrazione del blocco 67

2.5 CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE 68 APPENDICE D BREVE INTRODUZIONE AL METODO DEGLI ELEMENTI DISTINTI 70

3 SIMULAZIONI NUMERICHE-MODELLO BIMPAM 75

3.1 DESCRIZIONE SOMMARIA DEL MODELLO 75 3.1.1 Blocchetto visco-plastico 77 3.1.2 Molla elastica 79 3.1.3 Smorzatore viscoso 80

3.1.4 Equazioni risolventi 80 3.2 ANALISI PARAMETRICA 82 3.3 CALIBRAZIONE DEI PARAMETRI COSTITUTIVI E VALIDAZIONE DEL MODELLO 86 3.4 CREAZIONE DI ABACHI A SCOPO PROGETTUALE 91 APPENDICE E IMPATTI SU STRATI INCLINATI 99 APPENDICE F CONFRONTO TRA SIMULAZIONI NUMERICHE OTTENUTE MEDIANTE IL

CODICE BIMPAM E LE CURVE SINTETICHE 102

4 ANALISI NUMERICA DELLA PROPAGAZIONE DELLO SFORZO 107

4.1 SIMULAZIONE NUMERICA DELLE PROVE SPERIMENTALI MEDIANTE IL SOFTWARE FLAC2D 108 4.1.1 Analisi numeriche elastiche 110 4.1.2 Analisi elasto-plastiche 112 4.1.3 Analisi elasto-visco-plastiche 114 4.1.4 Distribuzione degli sforzi nello strato ammortizzante 115 4.1.5 Analisi elasto-visco-plastica eseguita con l'input del modello BIMPAM 118

4.2 ANALISI PARAMETRICHE IN CAMPO ELASTICO 118 4.3 ELABORAZIONE DELL’OUTPUT IN FORMA SINTETICA 122 APPENDICE G DEFINIZIONE DELLA STRATIGRAFIA 127 APPENDICE H GEOELSE 130

5 RISPOSTA DINAMICA DELLA STRUTTURA 135

5.1 INTERPRETAZIONE DELLA RISPOSTA STRUTTURALE: MODELLO MONODIMENSIONALE 135 5.1.1 Equazione del moto dell’oscillatore 136 5.1.2 Risultati 139

5.2 SPERIMENTAZIONE IN SCALA REALE (LISTOLADE, 2006) 140 5.2.1 Caratteri generali della risposta strutturale 142 5.2.2 Risposta strutturale lungo l’asse della galleria 143 5.2.3 Risposta strutturale in direzione trasversale all’asse della galleria 145 5.2.4 Comportamento del sistema terreno-copertura 146

5.3 ANALISI NUMERICA DI GALLERIA A PORTALE 148 5.3.1 Generazione dell’input sintetico 149 5.3.2 Generazione dell’output sintetico 152 5.3.3 Modello di calcolo 159 5.3.4 Risultati 160

5.4 ANALISI NUMERICA DI GALLERIA A MENSOLA 164 5.4.1 Descrizione della struttura 164 5.4.2 Modellazione agli elementi finiti della galleria 165 5.4.3 Risultati dell'analisi dinamica della struttura sottoposta ad impatto 167

APPENDICE I ANALISI CON INPUT GENERATO MEDIANTE BIMPAM 177

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI 178

Introduzione

9

Introduzione

Questo breve manuale ha come scopo quello di fornire dati sperimentali, informazioni teorico-interpretative e strumenti ingegneristico/applicativi finalizzati alla progettazione di opere di difesa caduta massi quali le gallerie artificiali. Queste strutture di difesa sono catalogabili come sistemi passivi in quanto tese non a modificare la probabilità di innesco del fenomeno gravitativo, quanto piuttosto a ridurre il danno ad esso associato e cioè la vulnerabilità dell’infrastruttura, sia essa una linea ferroviaria od un asse stradale. Queste strutture sono molto diffuse nel mondo, particolarmente in territori montani, pedemontani e rivieraschi. Generalmente, obiettivo primario è quello di deviare la traiettoria del masso, anche se spesso l’intercettazione della stesso porta inevitabilmente al suo arresto. Le opere in oggetto sono poste comunemente in prossimità di pareti subverticali in roccia e di conseguenza l’impatto che le interessa interrompe quella che è definita fase di caduta libera. Questi sistemi di difesa sono caratterizzati dalla presenza di una struttura in cemento armato e da uno strato di copertura avente funzione ammortizzante. Per chiarezza, all’interno della classe delle gallerie paramassi è possibile distinguere tre categorie:

• gallerie tradizionali a portale (Figura 1) caratterizzate dalla presenza lungo l’asse longitudinale di un muro in cemento armato continuo contro terra, e, sul lato di valle, da una successione di archi e pilastri.

Figura 1: vista frontale del portale di ingresso/uscita (a), vista interna (b), arcate laterali (c) e terreno di copertura (d) per una galleria a portale

(a) (b)

(c) (d)

Introduzione

10

Completa la struttura una copertura continua (soletta in cemento armato), in grado di distribuire longitudinalmente i carichi agenti in superficie. Questa è in genere protetta mediante uno strato ammortizzante costituito per lo più da tout venant o materiale di risulta delle fasi di realizzazione della struttura, opportunamente macinato e disgregato. Spesso lo strato ammortizzante è coperto da terreno di coltivo che permette il successivo rinverdimento dell’opera. In pratica, la rigidezza della struttura è assicurata dalla presenza degli appoggi pressoché continui laterali e dalla rigidezza della soletta in cemento armato che assolve la funzione di piastra. Attesi sono in questo caso periodi propri della struttura abbastanza ridotti;

• gallerie a mensola (Figura 2). Negli ultimi anni questa tipologia è venuta affermandosi per motivazioni estetiche, al fine di ridurre l’impatto ambientale associato alla realizzazione dell’opera. In effetti, una volta terminata la struttura, ripristinato il profilo topografico nel modo più naturale possibile, evitando la realizzazione dei pilastri lato valle, il risultato estetico è quello di un lungo “taglio” nella montagna. Per fornire alla struttura una rigidezza sufficiente, ciascuna mensola, opportunamente tirantata nell’incastro, è a sezione rastremata e sostenuta lato monte da un pilastro. Questo permette di irrigidire l’incastro della mensola orizzontale. Anche in questo caso una funzione essenziale è assolta dalla soletta orizzontale che solidarizza i vari elementi generalmente prefabbricati. Come sarà discusso in dettaglio all’interno del Capitolo 5, la presenza della soletta orizzontale continua ha una funzione essenziale per distribuire i carichi e ridurre gli sforzi agenti. In effetti la tridimensionalità del problema è essenziale per comprendere la risposta strutturale del sistema. Come nel caso delle gallerie tradizionali, la struttura è poi ricoperta da uno strato di terreno naturale a sezione variabile;

Figura 2 : esempio di galleria prefabbricata a sbalzo

• gallerie policentriche. In questo caso l’opera finita è praticamente un tunnel completamente interrato (Figura 3). La galleria è accostata alla parete in roccia ma, una volta rinverdito il pendio artificiale, il suo impatto ambientale è praticamente nullo. La particolarità di questa struttura, rispetto alle due precedenti, consiste nella geometria anulare e nell’impossibilità di separare l’opera dal terreno circostante all’interno del quale essa è immersa.

Introduzione

11

Figura 3 : esempio di galleria policentrica, sezione con esempio di reinterro (fonte: Veneto Strade)

Il testo, a scopo prevalentemente applicativo, si prefigge il fine di chiarire, per quanto possibile, il fenomeno, alquanto complesso, dell’interazione dinamico-impulsiva fra un corpo assunto rigido (il blocco impattante) ed un mezzo deformabile (il terreno), e di studiare quindi la risposta dinamica della struttura. Esso è il risultato di una collaborazione pluriennale fra Società Veneto Strade S.p.A. e il Polo Regionale di Lecco del Politecnico di Milano che ha di volta in volta avuto come oggetto lo studio sperimentale, teorico e numerico del fenomeno di impatto blocco-terreno e della risposta dinamica della struttura. I dati concernenti le ricerche in oggetto sono raccolti all’interno di tre reports che sono disponibili, a richiesta, presso la sezione tecnica della Società Veneto Strade S.p.A. A scopo introduttivo è bene innanzitutto mettere in evidenza le tre peculiarità più evidenti a livello meccanico del problema considerato:

• l’enorme differenza di rigidezza e resistenza dei materiali che costituiscono il blocco in roccia ed il terreno sul quale esso va ad impattare. Per questo motivo, a favore di sicurezza, il blocco è considerato nel seguito infinitamente resistente ed indeformabile. Questo significa che non sarà preso in considerazione il danneggiamento del blocco o la sua esplosione. Ogni processo deformativo è pensato concentrato all’interno dello strato deformabile, esattamente al contrario di quanto accade nel caso degli shelters costruiti per arrestare o rallentare frane in terra. Nel nostro caso, infatti, la penetrazione è attiva, cioè del blocco in movimento all’interno dello strato ammortizzante, mentre nel caso degli schelters la penetrazione è passiva, della struttura all’interno della massa di terreno in movimento (Figura 4). Qualora si schematizzi il blocco sferico, durante la sua penetrazione (che, a seconda della sua energia, può raggiungere, ad esaurimento del fenomeno, anche più di metà del suo raggio), all’interno del terreno si accumulano deformazioni irreversibili di grande entità. Il materiale è soggetto a considerevoli carichi impulsivi ed a elevati spostamenti di ingenti masse di terreno. Non si assiste al contrario, in genere, a rottura dei grani o alla nascita di meccanismi di rottura generalizzati. Per ciò che concerne la rottura dei grani, si fa osservare sin d’ora che quanto affermato è vero anche nel caso si utilizzino materiali di riempimento fragili quali le argille espanse;

Introduzione

12

Figura 4 : penetrazione attiva del blocco all’interno dello strato ammortizzante

• l’impulsività del fenomeno. Infatti, al momento dell’impatto, il blocco possiede una grande energia cinetica che verrà in gran parte o integralmente dissipata durante l’evento. Per blocchi di dimensioni ragguardevoli, come quelli d’interesse per la progettazione di opere di questo genere, la velocità del blocco al momento dell’impatto, è funzione unicamente dell’altezza di caduta e, naturalmente, dell’accelerazione di gravità, avendo ipotizzato che, sino all’impatto con lo strato ammortizzante, il blocco non abbia interagito con altri corpi. Questo significa che, al momento del distacco dalla parete, il blocco è ipotizzato caratterizzato da una velocità nulla e l’energia cinetica rotazionale del corpo al momento dell’impatto è trascurabile. La velocità del blocco, così come le sue dimensioni geometriche, sono le uniche due variabili di input. La risposta meccanica del sistema, così come le forze che si scambiano blocco e terreno e gli spostamenti della struttura, sono invece dati di output. La particolarità consiste allora nel fatto che le sollecitazioni agenti al momento dell’impatto sono figlie del tipo di struttura progettata e non solo dei dati di input. L’energia cinetica del blocco sarà in parte dissipata localmente, in parte sotto forma di onde elastiche all’interno dell’ambiente e in parte sarà dissipata dalla struttura. La struttura ideale sarà allora quella che massimizzerà il primo dei tre contributi elencati e minimizzerà invece il terzo. Questo permetterà di aumentare la durabilità dell’opera, in quanto il terzo contributo è ineluttabilmente associato ad un suo parziale danneggiamento;

• l’eterogeneità della struttura sulla quale il blocco va ad impattare. Infatti, le caratteristiche meccaniche del terreno che costituisce lo strato ammortizzante sono estremamente più scadenti di quelle del cemento armato che costituisce la struttura. Nella progettazione delle gallerie paramassi è previsto che la maggior parte dell’energia si dissipi nel “near field” (terreno superficiale) mentre si suppone che il resto della struttura rimanga in campo elastico. Lo strato di terreno dovrà allora essere di spessore sufficiente affinché questa ipotesi progettuale sia soddisfatta e cioè che non solo il blocco non entri in contatto diretto con la soletta in cemento armato, ma che addirittura il valore della forza che nel tempo si scambiano, durante l’impatto, blocco e terreno non sia influenzato dalla presenza dell’interfaccia terreno-soletta. Naturalmente questa ipotesi permette di massimizzare l’energia dissipata e di ridurre al minimo il valore della forza che si scambieranno blocco e struttura. Perché questa ipotesi sia verificata è necessario aumentare lo spessore dello strato ammortizzante, ma questo porta ad un indesiderato incremento dei carichi statici agenti sulla struttura sottostante, oppure incrementare la resistenza del materiale che costituisce lo strato stesso, ma ciò porta ad un incremento della forza di impatto.

Introduzione

13

Partendo dalle considerazioni succitate, il problema sarà affrontato mediante tre approcci paralleli e fra loro complementari:

1. Approccio sperimentale. Saranno riportati, all’interno del Capitolo 1, i risultati di prove sperimentali effettuate presso l’Ecole Polytechnique di Losanna (Labiouse et al., 1994), presso il Laboratorio di Sicurezza dei Trasporti (La.S.T.) del Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale del Politecnico di Milano sede Bovisa (Figura 5a) (Calvetti et al., 2005), ed in vera grandezza su una galleria dismessa in località Listolade (BL) (Figura 5b). In tutti e tre i casi saranno discussi impatti verticali su strati orizzontali e non casi in cui la normale allo strato non coincida con la direzione del vettore velocità del blocco al momento dell’impatto. Questa ipotesi permette di ridurre il numero di variabili in gioco, con la consapevolezza di lavorare a favore di sicurezza in quanto il valore massimo della forza di impatto si ottiene proprio quando questa ipotesi è soddisfatta. In realtà si è anche osservato che la riduzione di tale valore, per inclinazioni dello strato inferiori a quelle dell’angolo d’attrito interno del materiale, non supera mai il 20%. Nel caso delle prove effettuate a Listolade, oltre alla risposta dello strato ammortizzante, è stata considerata la risposta dinamica della struttura sottostante.

2. Approccio teorico che consiste principalmente nel disaccoppiare il problema della valutazione dell’andamento nel tempo della forza di impatto da quello relativo alla propagazione dell’onda all’interno dello strato ammortizzante e della struttura in cemento armato. Questa ipotesi, che ci permetterà di trattare in modo disaccoppiato queste tre fasi, sarà ampliamente discussa nel corso dei Capitoli 1 e 5 di questo testo.

Figura 5 : campi prove del La.S.T. del Politecnico di Milano-Bovisa (a) e di Listolade (b)

3. Approccio numerico. Al fine di estendere i risultati sperimentali e meglio comprendere il fenomeno, all’interno del Capitolo 2 di questo testo saranno considerate delle analisi numeriche effettuate mediante un codice di calcolo agli Elementi Distinti (Figura 6), all’interno del quale il mezzo granulare è interpretato come l’insieme di sfere rigide fra loro interagenti mediante leggi di contatto elastoplastiche.

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Intro

14

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Capitolo primo

Prove sperimentali

Prove sperimentali

17

1 PROVE SPERIMENTALI

Per comprendere e chiarire il fenomeno dell’impatto fra corpi rigidi e mezzi deformabili e per studiare la risposta dinamico-strutturale di gallerie artificiali così sollecitate, è innanzitutto necessario eseguire prove sperimentali ad hoc in grado di descrivere qualitativamente e quantitativamente la risposta dinamica del blocco rigido impattante, ma anche la propagazione dell’onda dinamica all’interno del mezzo deformabile. Purtroppo, però, in bibliografia è abbastanza raro trovare dei risultati utili a tale finalità. Ad esempio, pur presentando alcune analogie, le prove di natura balistica che riguardano la penetrazione di proiettili all’interno di continui granulari si distinguono rispetto agli impatti di nostro interesse in quanto caratterizzati da velocità di penetrazione estremamente elevate e da aree di impatto molto modeste. Pertanto, il rapporto tra affondamento massimo del proiettile e diametro della sua sezione risulta estremamente elevato rispetto ai valori caratterizzanti gli impatti di blocchi in roccia su terreni naturali. Con riferimento a questi ultimi, qui nel seguito si mostreranno prove su modello condotte presso il Laboratorio di Meccanica delle Rocce dell’Ecole Polytéchnique Fédérale di Losanna (Labiouse et al., 1994), e prove realizzate recentemente, per conto di Veneto Strade S.p.A., presso il Campus Bovisa del Politecnico di Milano (Calvetti et al., 2005) ed in località Listolade di Taibon Agordino (BL). In particolare, queste ultime hanno interessato una galleria paramassi sita a protezione di un tratto dismesso della S.R. 203 Agordina. Le caratteristiche principali delle tre campagne di prove sono riportate in Tabella 1.1; per maggiori dettagli rimandiamo alle Appendici.

Tabella 1.1 : caratteristiche delle campagne sperimentali considerate

Un’ipotesi comune a tutte queste esperienze, e a tutte le relative analisi numeriche finalizzate a riprodurne i risultati, riguarda il blocco impattante: quest’ultimo è considerato infinitamente resistente ed indeformabile e così sarà trattato nel seguito. Le esperienze condotte presso il laboratorio di Losanna (Labiouse et al., 1994) e quelle presso il Politecnico di Milano (Calvetti et al., 2005), hanno previsto anche l’impatto di gravi aventi traiettoria verticale su strati variamente inclinati, ma, nel seguito della trattazione, fondamentalmente per semplicità di esposizione, tali risultati non saranno commentati: in effetti, per pendenze compatibili con quelle di natural declivio del materiale, la variazione delle forze di impatto non sono elevatissime e comunque la loro riduzione può essere trascurata restando a favore di sicurezza.

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Prove sperimentali

19

1.1.1 Descrizione di un impatto tipo

Faremo nel seguito riferimento ai dati di Figura 1.2, relativi ad una prova d’impatto svolta presso il campo prove di Listolade (massa del blocco 850 kg, altezza di caduta 36.4 m, spessore dello strato ammortizzante 2 m, Prova n°5).

Figura 1.2 : impatto tipo. (a) Accelerazione del blocco (F1), (b) sforzo sulla piastra di copertura (F2), spostamento della struttura (F3): oscillazione iniziale (c) e successive (d)

• Quando un blocco impatta sul terreno di copertura della struttura, subisce una decelerazione causata dalla reazione offerta dal terreno (Figura 1.2a). Questa reazione, comunemente indicata come “forza d’impatto” (F1), equilibra la forza d’inerzia associata alla decelerazione del blocco (come vedremo il peso del blocco è trascurabile rispetto all’inerzia indotta dall’impatto). L’arresto del blocco si compie in un lasso di tempo che dipende dalle

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PROVA 5 - Listolade

Risultante accelerometri

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10.01 0.03 0.05 0.07 0.09

t (s)

-200

0

200

400

600

800

-100

100

300

500

700

F2 (

kP

a)

PROVA 5 - Listolade

celle di carico-media

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10.01 0.03 0.05 0.07 0.09

t (s)

6

4

2

0

5

3

1

-1

F3

(mm

)

PROVA 5 - Listolade

Sensore PE5

Oscillazione iniziale

0 0.4 0.8 1.2 1.60.2 0.6 1 1.4

t (s)

6

4

2

0

5

3

1

-1

F3 (

mm

)

PROVA 5 - Listolade

Sensore PE1

Sensore PE5

Sensore PEX

20

1proprietà meccaniche del terreno, dalla massa del blocco e dall’energia che esso possiede al momento dell’impatto. Sono sufficienti tempi dell’ordine del centesimo di secondo per raggiungere la massima decelerazione (0.005 s nel caso in esame), mentre l’impatto può considerarsi esaurito in tempi inferiori al decimo di secondo (0.04 s per l’impatto di riferimento). Il blocco subisce quindi una decelerazione estremamente elevata (dell’ordine del centinaio di g), il che rende trascurabile il peso proprio del blocco. Un’ultima considerazione circa la cinematica dell’impatto riguarda il fatto che, se la velocità d’impatto è verticale e lo strato ammortizzante è orizzontale, non si osserva un rimbalzo significativo.

• La natura impulsiva della forza d’impatto genera onde di compressione che si propagano nel terreno (Figura 1.2b). Il tempo di propagazione del segnale attraverso lo strato dipende dalla velocità delle onde (a sua volta determinata da densità e rigidezza del materiale) e dallo spessore dello strato stesso. A titolo d’esempio, nel caso in esame l’onda impiega circa 0.01 s per raggiungere la soletta, il che significa anche che il masso viene investito dall’onda riflessa dalla piastra stessa dopo circa 0.02 s. Quindi, confrontando i dati di Figura 1.2a e Figura 1.2b notiamo che gran parte dell’interazione dinamica blocco-terreno si esaurisce prima che il masso possa risentire della presenza della soletta. Questo permette di disaccoppiare lo studio della forza d’impatto da quello della propagazione dell’onda. In altri termini, la forza d’impatto può essere studiata ipotizzando che lo strato ammortizzante occupi un intero semispazio. Si noti che questa ipotesi rappresenta uno dei punti caratterizzanti l’approccio proposto in queste linee guida. Le condizioni particolari che possono mettere in crisi questa ipotesi si verificano per spessori di copertura ridotti, strati ammortizzanti eterogenei o per energie d’impatto particolarmente elevate; queste condizioni saranno discusse alla luce dei risultati delle prove sperimentali (Appendice B) e delle simulazioni numeriche (Capitolo 2). Anticipiamo comunque che per spessori di copertura ordinari, l’effetto della soletta si limita ad influenzare l’andamento temporale della forza d’impatto nella fase successiva al raggiungimento del picco.

• L’andamento temporale dell’azione F2 è figlio della natura impulsiva del carico F1, ed induce pertanto una risposta dinamica nella struttura sottostante. In Figura 1.2c ed in Figura 1.2d, ove si mostra come rappresentativa della risposta strutturale la freccia della soletta, sono chiaramente individuabili la risposta all’impulso e le successive oscillazioni che mettono in evidenza il modo di vibrare eccitato dall’impatto. Per quanto riguarda la possibilità di disaccoppiare la valutazione di F2 dall’analisi strutturale, bisogna confrontare la durata dell’impulso che giunge sulla struttura con il tempo di risposta della struttura stessa (si fa con questo termine genericamente riferimento ai periodi propri dei modi di oscillazione eccitati dall’impatto). Infatti, se quest’ultimo fosse di molto maggiore rispetto al primo, il disaccoppiamento sarebbe possibile. Nel caso in esame, la durata dell’impulso è di circa 0.03 s, la massima freccia viene raggiunta dopo circa 0.04 s, ed il periodo proprio di oscillazione è circa 0.15 s. Notiamo che: (i) la durata dell’impulso è circa 1/5 del periodo proprio della struttura, (ii) la struttura inizia a deformarsi non appena il fronte d’onda la raggiunge. Questo rende in linea di principio impossibile disaccoppiare la valutazione dell’azione agente sulla struttura F2 dalla risposta della struttura stessa. Questo punto sarà discusso con maggior dettaglio nel §1.4, mentre nel Capitolo 5 presenteremo alcuni esempi di analisi della struttura in campo dinamico.

Prove sperimentali

21

1.2 Valutazione della forza di impatto

Uno schematico inquadramento concettuale concernente la penetrazione di proiettili all’interno di mezzi granulari introdotto da Jaeger et al. (1992), ci assicura che la forza di impatto massima può essere interpretata come la somma di tre contributi: uno statico, uno dinamico ed uno dipendente dall’affondamento dell’oggetto. In pratica, il contributo statico è valutabile secondo un classico approccio geotecnico, legato alla capacità portante della fondazione di area circolare equivalente alla sezione massima del proiettile. Questo contributo può essere valutato direttamente in situ, ad esempio effettuando prove di carico su piastra. Il contributo dinamico dipende essenzialmente dalla velocità di penetrazione dell’oggetto: maggiore sarà quest’ultima, maggiore sarà questo contributo aggiuntivo. Infine, il terzo contributo è essenzialmente associato ad effetti del second’ordine di natura geometrica: maggiore sarà l’affondamento dell’oggetto, maggiore sarà la forza necessaria a permetterne la penetrazione e, di conseguenza, la forza che si scambieranno proiettile e continuo circostante. Nei casi da noi studiati, e cioè per altezze di caduta inferiori a 50 m, l’ultimo contributo è fondamentalmente trascurabile. Un approccio differente sarebbe necessario se, ad esempio, fosse preso in considerazione il problema relativo alla penetrazione di bombe all’interno del terreno.

1.2.1 Massima forza d’impatto

Mostriamo innanzitutto i risultati ottenuti da Labiouse et al (1994) al variare dell’altezza di caduta per due diversi blocchi (Figura 1.3), dai quali emerge un andamento non lineare della forza d’impatto massima (F1MAX) in funzione dell’altezza di caduta a parità di terreno ammortizzante.

Figura 1.3 : relazione tra altezza di caduta e massima forza d’impatto (“effort par accélération”), da Labiouse et al. (1994). (a) 500 kg, (b) 1000 kg

Per interpretare i risultati sperimentali, Labiouse et al. (1994) propongono una relazione ove la massima forza d’impatto è espressa come funzione dell’energia d’impatto (essendo W ed H il peso del blocco e l’altezza di caduta, rispettivamente), della dimensione dell’orma d’impatto (R è il raggio del fusto cilindrico del blocco) e della rigidezza del terreno (ME è la rigidezza valutata con una prova di carico su piastra):

(a) (b)

22

12 / 5 1/ 5 3 / 5 3 / 5

1 1.765MAX EF M R W H= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ [1]

L’influenza della rigidezza del terreno è altresì dimostrata confrontando, a parità di altre condizioni, i risultati delle prove condotte presso il Campus Bovisa (terreno ammortizzante sciolto) e la galleria paramassi di Listolade (terreno compattato). I relativi risultati sono mostrati in Figura 1.4a, mentre in Figura 1.4b sono riportati tutti gli impatti realizzati presso Listolade, ove sono state raggiunte altezza di caduta fino a 50 m circa. Con riferimento a questi ultimi, sottolineiamo come i valori di forza d’impatto ottenuti per le altezze di caduta maggiori corrispondano a decelerazioni del blocco prossime ai 250 g. La dispersione registrata per altezze di caduta superiori a 40 m è da imputare all’eterogeneità del terreno di prova ed alle modalità esecutive (si veda l’Appendice C).

Figura 1.4 : forza d’impatto in funzione dell’altezza di caduta; (a) influenza dello stato di addensamento dello strato ammortizzante (Campus Bovisa e Listolade); (b) campagna completa di Listolade

1.2.2 Durata dell’impatto

Come mostreremo nei paragrafi successivi, lo studio della massima forza d’impatto non può esser disgiunto da quello della durata del fenomeno. Infatti, non solo l’intensità, ma anche la forma dell’impulso vanno considerati in vista dello studio della propagazione delle onde nel terreno e della risposta strutturale dinamica. Dal confronto tra i dati che riguardano gli impatti realizzati nel corso delle tre campagne sperimentali, emerge chiaramente la dipendenza della durata del fenomeno dalla rigidezza dello stato ammortizzante. Gli impatti realizzati su terreno denso, si esauriscono in un tempo di circa 0.02-0.03 s, mentre nel caso di materiale sciolto (e quindi meno rigido), la durata è circa quadrupla. Per confermare tutto ciò, illustriamo i risultati di una serie d’impatti realizzati presso il Campus Bovisa, nel corso della quale il terreno non è stato rimaneggiato tra un impatto e l’altro (Figura 1.5). Tralasciando gli evidenti effetti quantitativi, il progressivo addensamento del materiale indotto dagli impatti si accompagna ad una riduzione del tempo d’impatto e ad un’accentuazione

(a) (b)

0 10 20 30 40 505 15 25 35 45

H [m]

0

400

800

1200

1600

2000

200

600

1000

1400

1800

F1M

AX

[k

N]

terreno sciolto(Campus Bovisa)

terreno denso(Listolade)

0 10 20 30 40 505 15 25 35 45

H [m]

0

400

800

1200

1600

2000

200

600

1000

1400

1800

F1M

AX

[k

N]

terreno denso (Listolade)

Prove sperimentali

23

del carattere impulsivo del fenomeno. Notiamo inoltre la contestuale scomparsa della caratteristica forma con due picchi che si accompagna alle prove eseguite su terreno rimaneggiato superficialmente (si rimanda all’Appendice B ed al Capitolo 2 per uno studio più approfondito di questo fenomeno).

Figura 1.5 : effetto del progressivo addensamento del terreno a seguito di impatti ripetuti (serie S3, prove di Milano Bovisa)

1.3 Penetrazione del blocco

La valutazione della penetrazione del blocco all’interno dello strato costituisce un aspetto particolarmente rilevante ai fini progettuali, in quanto una delle funzioni dello strato ammortizzante è proprio quello di proteggere la struttura dal contatto diretto con il blocco. In questo paragrafo mostriamo i dati di penetrazione registrati nel corso della campagna prove di Listolade, mentre i dati che riguardano la campagna sperimentale di Milano Bovisa sono riportati nell’Appendice B di questo Capitolo. Per uno studio di dettaglio circa il ruolo giocato dallo spessore dello strato rimandiamo al Capitolo 2. In Figura 1.6 vengono mostrati gli spostamenti ottenuti dalla doppia integrazione dell’accelerazione del blocco misurata a partire dal momento dell’impatto, per alcune delle prove effettuate presso la galleria di Listolade. Nella medesima Figura, sono riportate anche le misure dirette del massimo affondamento, che sono state ottenute valutando la profondità del cratere provocato dall’impatto. Le discrepanze tra la misura diretta e quella indiretta sono certamente in gran parte attribuibili agli errori dovuti all’integrazione dell’accelerazione che, nel corso dell’impatto, raggiunge molto rapidamente valori elevati. Tra gli aspetti caratteristici, osserviamo che gli impatti possono praticamente considerarsi esauriti, con l’arresto del blocco senza che questi subisca alcun rimbalzo significativo, in un periodo di tempo dell’ordine di pochi centesimi di secondo.

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20.02 0.06 0.1 0.14 0.18

0

40

80

120

20

60

100ac

cele

razio

ne

(g

)

Serie S3 - Accelerazione

in direzione verticale

Prova n.7

Prova n.10

Prova n.11

tempo (s)

24

1

Figura 1.6 : penetrazione del blocco in funzione del tempo: doppia integrazione delle misure accelerometriche e misura diretta post-impatto del massimo affondamento

In Figura 1.7 mostriamo il massimo affondamento del blocco in funzione dell’altezza di caduta. In primo luogo osserviamo che l’affondamento supera di poco i 30 cm nel caso delle maggiori altezze di caduta.

Figura 1.7 : penetrazione del blocco in funzione dell’altezza di caduta (misura diretta post-impatto)

Da questo punto di vista, lo spessore dello strato ammortizzante (2 m) è certamente adeguato al fine di proteggere la struttura. Inoltre, nonostante la dispersione dei dati che si ha per le più elevate altezze di caduta, è possibile individuare una curva interpolante che mette chiaramente

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1

tempo (s)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.05

0.15

0.25

0.35

pe

netr

azio

ne d

el

blo

cco

(m

)

H = 44.8 m

H = 39.6 m

H = 36 m

Misura diretta

post-impatto

0 10 20 30 40 505 15 25 35 45

altezza di caduta (m)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.05

0.15

0.25

0.35

pe

netr

azio

ne d

el

blo

cco

(m

)

Prove sperimentali

25

in luce la dipendenza della penetrazione dall’altezza di caduta stessa (si veda il §2.4 per una interpretazione quantitativa).

1.4 Propagazione della sollecitazione nello strato ammortizzante

Contestualmente allo sviluppo della forza d’impatto, ha luogo la trasmissione dell’impulso che si propaga tramite onde di compressione all’interno dello strato ammortizzante. In questa fase, le azioni F1 si trasformano in carichi sulla struttura sottostante (F2). I risultati ottenuti nelle tre campagne sperimentali sono sostanzialmente concordi ad indicare:

• l’esistenza di una relazione lineare tra la forza d’impatto e la sollecitazione sulla soletta;

• l’influenza dello spessore dello strato ammortizzante nella diffusione spazio-temporale del carico (distribuzione spaziale degli incrementi di sforzo alla base del terreno, tempo di propagazione del segnale generato in superficie);

• un effetto di amplificazione dinamica tra la forza d’impatto e la risultante delle pressioni sulla piastra di base.

1.4.1 Carico sulla piastra in funzione della forza d’impatto

In Figura 1.8 sono mostrati, a titolo d’esempio, i risultati di alcune prove d’impatto realizzate presso il laboratorio LMR di Losanna.

Figura 1.8 : relazione tra il massimo valore della forza d’impatto (“Effort par accélération”, F1) ed il massimo valore della sollecitazione sulla piastra (“Effort intégré”, F2), da Labiouse et al. (1994). (a)

spessore 100 cm, (b) spessore 50 cm

Gli aspetti più significativi sono qui riassunti:

• la relazione tra i valori massimi della forza d’impatto (F1) e della risultante delle sollecitazioni sulla piastra (F2) è in prima approssimazione lineare;

(a) (b)

26

1• il coefficiente di proporzionalità tra i valori massimi di F2 ed F1, dipende dallo spessore h del

terreno ammortizzante, ed è maggiore di uno.

Mentre la prima evidenza è spiegabile adottando un modello elastico per il terreno, il secondo risultato mette chiaramente in luce l’importanza della natura dinamica dell’impatto, per la quale l’interfaccia terreno deformabile-soletta in cemento armato, gioca un ruolo nient’affatto trascurabile. Infatti, l’incremento che si ha passando da F1 a F2 non può essere spiegato in condizioni statiche, per le quali le due azioni sarebbero uguali. Risultati analoghi sono stati ottenuti nel corso delle prove di Milano Bovisa e di Listolade: in Figura 1.9 riportiamo l’andamento del massimo sforzo registrato sulla piastra in corrispondenza del punto d’impatto in funzione della massima forza d’impatto. Oltre a mostrare di nuovo come la relazione tra azione in superficie ed in profondità sia lineare, questi dati mettono in luce anche l’influenza della densità, e quindi della rigidezza, dello strato.

Figura 1.9 : relazione tra la massima forza d’impatto ed il massimo incremento di sforzo sulla piastra: Milano Bovisa, Listolade

1.4.2 Disaccoppiamento del calcolo delle sollecitazioni sulla piastra dall’analisi strutturale

La piastra di copertura di una struttura paramassi rappresenta la condizione al contorno che delimita inferiormente il dominio di propagazione delle onde; è proprio il contrasto tra la rigidezza del terreno e quella molto più elevata del materiale che compone la piastra a provocarne la riflessione cui si è accennato nei paragrafi precedenti e nell’Appendice B dedicata alle prove di Milano Bovisa. Un’analisi più approfondita del ruolo esercitato dalla piastra di base deve essere basata sul fatto che un ruolo fondamentale è giocato non solo dalla rigidezza del materiale, ma anche dalla rigidezza della struttura della quale la piastra fa parte. Diversa è infatti la situazione del Campus Bovisa, ove la piastra in CA è molto rigida flessionalmente ed è completamente immorsata nel terreno, da quella delle campagne sperimentali di Losanna e di Listolade. In queste ultime, la piastra in CA è strutturalmente meno rigida ed appoggia solo agli estremi sulla

0 400 800 1200 1600 2000200 600 1000 1400 1800

F MAX [kN]

0

200

400

600

800

1000

100

300

500

700

900

X [

kP

a]

Prove Bovisa

Prove Listolade

1

FM

A

2

Prove sperimentali

27

struttura portante, risultando così soggetta a non trascurabile inflessione. Inoltre, i risultati sperimentali presentati nel §1.1 e nell’Appendice A dedicata alla prove di Losanna mostrano chiaramente che vi è contemporaneità tra sviluppo della pressione sulla piastra di copertura e risposta strutturale, il che non permette, in linea di principio, di disaccoppiare la valutazione della prima dallo studio della seconda. Per il dominio di propagazione delle onde, la condizione al contorno costituita dalla piastra di copertura della galleria è rappresentabile come un vincolo cedevole elasticamente (almeno fino a quando la sollecitazione non è tale da provocare deformazioni permanenti nella struttura), ed è in un certo senso intermedia tra le condizioni limite rappresentate dal contorno libero e dal contorno fisso (condizione questa cui si avvicina il caso di Milano Bovisa). In quest’ultimo caso, infatti, lo spessore della piastra, la presenza del terreno sottostante ed il rapporto fra le dimensioni della piastra stessa e dell’area di carico, sono tali da far ritenere, ai fini pratici, il vincolo come indeformabile. La cedevolezza del vincolo che costituisce il contorno implica una riduzione della sollecitazione rispetto a quella che si scaricherebbe su di un contorno fisso. Per quantificare questa riduzione, è utile fare riferimento alla velocità che acquisirebbe il contorno se fosse completamente libero di spostarsi, cioè se la rigidezza della struttura tendesse a zero. Questa velocità, facilmente valutabile sulla base della teoria della propagazione delle onde in un mezzo elastico, è molto superiore (di circa dieci volte) alla velocità effettivamente assunta dalla piastra durante gli impatti più gravosi: l’effetto di riduzione della sollecitazione procurato dalla flessibilità della piastra è pertanto, a favore di sicurezza, trascurabile ai fini pratici.

PROPAGAZIONE DELLE ONDE IN UN MEZZO ELASTICO Un punto materiale immerso in un continuo elastico al sopraggiungere di un fronte d’onda subisce uno spostamento variabile nel tempo. La massima velocità (v) acquisita dal punto materiale al passaggio dell’onda dipende dall’ampiezza dell’onda di sforzo (σ), dalla velocità di propagazione della stessa (C) e dalla densità del materiale (ρ), secondo la relazione:

C vσ ρ= ⋅ ⋅

Se l’onda incide perpendicolarmente su di un contorno libero, in prossimità del contorno stesso ha luogo una riflessione completa dell’onda: l'impulso incidente si sovrappone a quello riflesso e la composizione dei due comporta una amplificazione del moto che dipende dalla durata dell'impulso e dalle proprietà elastiche del continuo. In particolare, sul contorno la velocità raddoppia rispetto a quella calcolata con la relazione precedente. Questo fenomeno è particolarmente rilevante ai fini pratici nel campo dell’Ingegneria Sismica la quale si occupa, tra l’altro, proprio dell’amplificazione superficiale delle onde generate in profondità nel corso di un terremoto. Nel caso in esame, considerando una velocità di propagazione delle onde pari circa 300 m/s, un’onda di sforzo di ampiezza dell’ordine di 600 kPa, ed una densità del terreno di 2000 kg/m3, si otterrebbe una velocità del contorno libero v=2·600.000/(2000·300)=2 m/s, da paragonare alla velocità sperimentalmente misurata che è dell’ordine di 0.2 m/s. Di conseguenza, nella valutazione degli sforzi sulla soletta, il moto di quest’ultima può essere trascurato. Questo significa che la valutazione di tali sforzi può essere effettuata assumendo vincoli rigidi sul contorno inferiore del continuo deformabile.

28

11.5 Risposta strutturale

Il comportamento della struttura sotto i carichi dinamici trasmessi attraverso il terreno di copertura costituisce l’ultimo anello del complesso meccanismo d’impatto: la sua modellazione riguarda essenzialmente la trasformazione del “segnale” F2 nelle azioni F3 descritte nel §1.1. In questo paragrafo analizziamo alcuni degli aspetti della risposta strutturale, sfruttando i dati di Losanna e Listolade. In particolare, mostreremo come non sia possibile prescindere dalla natura dinamica del fenomeno e come un approccio pseudo-statico, in cui si faccia riferimento unicamente ai massimi valori della distribuzione dei carichi, non sia in grado di cogliere il comportamento della struttura e non sia conservativo.

1.5.1 Azioni interne

Faremo qui riferimento alla campagna sperimentale di Losanna, ove le misure dei dinamometri posti in corrispondenza degli appoggi sono assunti come rappresentativi delle azioni interne alla struttura, e forniscono una semplice ed utile opportunità per cogliere alcuni aspetti della risposta strutturale. I dati riportati in Figura 1.10 mostrano chiaramente che in prima approssimazione è possibile stabilire una correlazione lineare tra il massimo della risultante delle azioni che agiscono sulla soletta (F2) ed il massimo della reazione vincolare fornita dai supporti (F3). Riprendendo le considerazioni esposte circa la relazione tra la forza d’impatto ed il carico trasmesso alla piastra, notiamo un ulteriore effetto di amplificazione dinamica che fa sì che F3 sia maggiore di F2. Questo risultato indica chiaramente che l’analisi della struttura deve essere svolta in campo dinamico (vedi Capitolo 5).

Figura 1.10 : relazione tra il massimo valore della reazione dei supporti (“Réaction d’appui”, F3) ed il massimo valore della sollecitazione sulla piastra (“Effort intégré”, F2), da Labiouse et al. (1994). (a)

spessore 100 cm, (b) spessore 50 cm

(a) (b)

Prove sperimentali

29

1.5.2 L’importanza dello studio dinamico della struttura

A conferma della necessità di operare uno studio in campo dinamico della struttura, in cui si prendano in considerazione sia l’intensità che la forma e la durata dell’impulso trasmesso alla soletta, saranno illustrati alcuni risultati ottenuti nel corso della campagna sperimentale di Listolade. Prenderemo in considerazione gli impatti 4 e 15 (vedi Tabella C1): entrambi sono caratterizzati da un’altezza di caduta di circa 20 m, ma il secondo impatto è avvenuto senza rimaneggiare il terreno. In Figura 1.11a e Figura 1.11b si confrontano gli andamenti della decelerazione del blocco e della freccia della struttura: la ripetizione di un impatto senza rimaneggiare il terreno comporta un netto incremento della forza d’impatto ed una riduzione della durata del fenomeno; rimane sostanzialmente invariato il tempo di propagazione della sollecitazione nello strato ammortizzante. Il dato più interessante riguarda comunque la deformazione della struttura che vede praticamente inalterato il massimo valore della freccia. Questo risultato non è spiegabile adottando un approccio pseudo-statico in cui si faccia solo riferimento al valore massimo della forza d’impatto. Infatti l’impatto 4, pur associato ad un valore inferiore di F1MAX ha una durata maggiore e quindi più prossima al periodo proprio di oscillazione della struttura.

Figura 1.11 : (a) decelerazione del blocco e (b) freccia della struttura

(a) (b)

0 0.02 0.04 0.06 0.080.01 0.03 0.05 0.07

t [s]

0

40

80

120

160

200

20

60

100

140

180

a [

g]

LISTOLADE

Prova 4

Prova 15

0 0.02 0.04 0.06 0.080.01 0.03 0.05 0.07

t [s]

4

3

2

1

0

3.5

2.5

1.5

0.5

s [

mm

]

LISTOLADE

Prova 4

Prova 15

30

1Elenco dei Simboli

a accelerazione del grave C velocità di propagazione di un’onda F1 forza d’impatto

F1MAX forza d’impatto massima F2 carico trasmesso all’estradosso della struttura F3 sollecitazione agente nella struttura H altezza di caduta del grave h spessore del terreno ammortizzante

ME rigidezza del terreno R raggio del grave (caso sferico) o raggio del fusto cilindrico s spostamento della struttura t tempo v velocità di un punto materiale W peso del grave ρ densità del materiale σ ampiezza dell’onda di sforzo σv sforzo verticale all’estradosso della struttura

σvMAX sforzo verticale massimo all’estradosso della struttura

Prove sperimentali

31

Appendice A PROVE SPERIMENTALI IN SCALA RIDOTTA (Losanna 1994)

Presso il Laboratorio di Meccanica delle Rocce dell’Ecole Polytéchnique Fédérale di Losanna (LMR-EPFL), oramai più di dieci anni fa, è stata eseguita una serie di prove sperimentali riguardanti impatti verticali, su strati perfettamente orizzontali (Labiouse et al., 1994). Le prove sono state eseguite utilizzando un modello in scala ridotta di una copertura di galleria paramassi (Figura A1) . I dispositivi impiegati sono descritti nel seguito:

• la copertura della galleria è rappresentata da una piastra quadrata in CA (3.4 x 3.4 x 0.2 m) la quale è sostenuta da quattro pilastrini. La piastra è posta sul fondo di una fossa profonda 8 m, il che permette di studiare agevolmente altezze di caduta fino a 10 m, anche senza disporre di un impianto di sollevamento in elevazione (si noti che il dispositivo è posto all’interno del laboratorio);

• per costituire lo strato ammortizzante sono stati utilizzati tre diversi materiali (ghiaia, materiale alluvionale e detriti rocciosi), caratterizzati da densità relative da elevate a molto elevate. Gli spessori studiati vanno da 0.35 a 1.0 m, comprendendo in questa misura anche lo straterello di sabbia (10 cm di spessore) posto a protezione della superficie superiore della piastra e degli strumenti di misura ivi disposti;

• sono stati utilizzati tre blocchi di calcestruzzo aventi massa pari a 100, 500 e 1000 kg. I blocchi sono rivestiti da un involucro di protezione in acciaio, hanno fusto cilindrico, e per base una calotta sferica (Figura A1b);

• la strumentazione impiegata, schematicamente mostrata in Figura A1c, comprende un accelerometro posto nei blocchi impattanti, cinque misuratori di pressione sulla faccia superiore della piastra, quattro misuratori di spostamento posti sotto la piastra, quattro dinamometri nei punti di appoggio. Con riferimento alle azioni indicate in Figura 1.1, l’accelerometro permette di valutare direttamente la forza d’impatto (“effort par accélération”, F1) e, tramite integrazione, la velocità del blocco e la sua penetrazione; quest’ultima misura è confrontata con l’osservazione diretta del cratere provocato dall’impatto. L’integrale delle pressioni agenti sulla faccia superiore della piastra viene definito dagli autori “effort intégré” e rappresenta l’azione indicata con F2. La somma delle reazioni misurate dai dinamometri posti nei pilastri fornisce direttamente la F3 (“réaction d’appui”);

32

1

Figura A1 : l’apparato sperimentale del LMR di Losanna (Labiouse et al., 1994). (a) sezione dell’impianto; (b) blocchi utilizzati per l’impatto;

(c) piastra di copertura, schema strumentazione

• la campagna di prove ha riguardato impatti con altezze di caduta comprese tra 0.25 e 10 m circa, che corrispondono ad una energia massima di circa 100 kJ; gli impatti sono stati raggruppati in diverse serie, che differiscono per il tipo di rimaneggiamento del terreno adottato dopo ogni impatto.

A titolo d’esempio, in Figura A2 si riportano i risultati di un impatto caratterizzato da un’altezza di caduta pari a 10 m, massa del blocco 100 kg e spessore dello

(a) (b)

(c)

Prove sperimentali

33

strato ammortizzante pari a 50 cm. Questi risultati sono qualitativamente simili a quelli ottenuti presso il campo prove di Listolade. Ci limitiamo a sottolineare alcuni dei punti che discuteremo nel testo, ed in particolare la natura impulsiva della decelerazione del blocco, la progressiva riduzione della sua velocità sino a completa dissipazione dell’energia inizialmente posseduta, la trasmissione di sollecitazioni di carattere impulsivo attraverso il terreno che si manifestano come onde di pressione sulla piastra, e la risposta strutturale, caratterizzata da un periodo proprio paragonabile alla durata dell’impulso.

Figura A2 : risultati di un impatto tipo; (a) accelerazione, velocità e spostamento (penetrazione) del blocco; (b) pressioni sulla piastra,

reazione d’appoggio, spostamenti della piastra (da Labiouse et al., 1994)

(a)

(b)

34

1Appendice B PROVE SPERIMENTALI DI IMPATTO SU TERRENI SCIOLTI (Politecnico di Milano, 2004)

Il Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale del Politecnico di Milano (Milano, Campus Bovisa) dispone di una torre dotata di un impianto di sollevamento, solitamente destinata allo studio di impatti di strutture aeronautiche ed automobilistiche. L’attrezzatura è composta da una torre (Figura B1) e da una vasca in CA interrata (Figura B2).

Figura B1 : la torre di caduta del Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale (Politecnico di Milano)

Figura B2 : (a) dettaglio della finestra della sala controllo della torre di caduta (b) schema della vasca (misure in cm)

La torre, in acciaio, garantisce un’altezza utile di caduta di circa 20 m rispetto al fondo della vasca. Quest’ultima, di forma circolare ha diametro pari a 10.7 m ed una profondità di 2.6 m. La piastra che costituisce il fondo della vasca, poggiante

(a) (b)

103

190

260

Prove sperimentali

35

direttamente sul terreno di fondazione, ha uno spessore di 50 cm. La sua rigidezza, il suo peso ed il suo affondamento rispetto al profilo del terreno sono tali da poterla considerare rigida e fissa a fronte delle sollecitazioni indotte dagli impatti.

Blocco d’impatto

Il blocco utilizzato per gli impatti è una sfera in CA, del peso di 850 kg e del diametro di 90 cm (Figura B3). La sfera presenta una cavità del diametro di 20 cm al fondo della quale, in corrispondenza del baricentro, è fissata una piastra che funge da base di fissaggio per la strumentazione montata a bordo della sfera (descritta nel seguito).

Figura B3 : immagine ravvicinata (a) e durante il sollevamento della sfera in CA (b)

Strumentazione per il rilevamento dei dati

Nel corso delle prove sono stati utilizzati i seguenti strumenti di misura:

• due accelerometri piezoresistivi smorzati ENTRAN EGCS-200, con fondoscala 200 g, posizionati nel centro di gravità della sfera ed orientati lungo le direzioni z (verticale) e x (vedi Figura B3a); un accelerometro piezoresistivo smorzato ENTRAN EGCS-50, con fondoscala 50 g, posizionato nel centro di gravità della sfera ed orientato lungo la direzione y (vedi Figura B3a);

• otto celle di carico estensimetriche, poste sul fondo della vasca, con fondoscala 2000 kg e sensibilità 0.05%.

Gli accelerometri sono stati montati su un blocchetto in acciaio, che viene a sua volta fissato, attraverso quattro tasselli filettati, sul fondo del foro di ispezione presente nel blocco in calcestruzzo (Figura B4). Permettono di misurare l’accelerazione lungo tre assi ortogonali, uno dei quali coincide con la verticale.

(a) (b)

36

1

Figura B4 : (a) il blocchetto su cui sono applicati i tre accelerometri, (b) installazione degli accelerometri nella sfera

Le celle di carico sono state fissate, mediante tasselli filettati, al fondo della vasca (Figura B5). Sfruttando la configurazione assialsimmetrica del problema, gli strumenti sono stati allineati lungo una direzione diametrale della vasca. In previsione dell’esecuzione di un certo numero di prove su terreno inclinato, la direzione scelta è quella di massima pendenza.

Figura B5 : disposizione delle celle di carico sul fondo della vasca

Due delle otto celle di carico, inoltre, sono state posizionate a monte del punto di impatto, in modo da avere un’informazione completa riguardo la diffusione degli sforzi nel terreno, nel caso che quest’ultimo non sia piano.

(a) (b)

(a) (b)

R535

190

n° 837

n° 831

n° 833

n° 835n° 838n° 834

n° 836

n° 832

302 cm

202 cm

102 cm

52 cm29 cm+0 cm

-48 cm

-99 cm

Prove sperimentali

37

Tutti i dati trasmessi dagli strumenti sono stati registrati attraverso un sistema di acquisizione programmabile a sedici canali, del tipo Pacific Instrumentation Model 5400.

Materiale ammortizzante

Il materiale ammortizzante è costituito da inerte di cava, avente un diametro massimo di circa un centimetro. Al fine di costituire uno strato sciolto, il materiale granulare è stato semplicemente depositato nella vasca per mezzo di una pala meccanica, senza compattarlo. Lo strato ammortizzante così ottenuto ha uno spessore costante di 2 m (Figura B6). Tra un impatto e l’altro (con l’eccezione di quelli della serie S3), il terreno è stato rimaneggiato utilizzando un escavatore, con il quale è stata rimossa, e quindi ridepositata, la porzione superficiale dello strato ammortizzante attorno al punto d’impatto e per uno spessore di circa 1 m. Per motivi legati alla presenza ed al rischio di danneggiamento delle celle di carico, sul fondo della vasca si è preferito non rimuovere il terreno. Come conseguenza di questa procedura, si è venuta progressivamente a creare una discontinuità di densità tra la porzione superficiale e quella profonda. Una prima discussione in merito è fornita al termine di questa Appendice.

Figura B6 : blocco e strato ammortizzante prima e dopo un impatto

Elenco delle prove d’impatto

• L’intera campagna sperimentale si è articolata in quattro serie di impatti:

• Serie S1: prove eseguite su terreno inclinato di 20° rispetto all’orizzontale (queste prove non sono prese in considerazione in questo testo);

• Serie S2: prove eseguite su terreno orizzontale;

• Serie S3: prove eseguite su terreno orizzontale non rimaneggiato;

(a) (b)

38

1• Serie S4: prove eseguite su terreno orizzontale ricoperto di argilla espansa

LECA.

• Le caratteristiche degli impatti sono riassunte in Tabella B1.

Tabella B1 : elenco delle prove effettuate presso il Campus Bovisa del Politecnico di Milano

Descrizione qualitativa degli impatti

Nelle figure seguenti si mostrano gli andamenti dell’accelerazione, della velocità e dello spostamento del grave durante gli impatti della Serie S2 (impatti su terreno orizzontale, rimaneggiato). Rispetto ai risultati sperimentali di Losanna e a quelli di Listolade la differenza più marcata consiste nell’andamento della decelerazione del blocco che presenta un caratteristico doppio picco. Questo andamento è dovuto ad un duplice ordine di motivi. Da un lato, la presenza di una netta discontinuità tra la porzione superficiale del terreno (rimaneggiata dopo ogni impatto e pertanto mantenuta in condizioni sciolte), e quella più profonda che ha invece subito un progressivo addensamento; dall’altro, la maggior durata dell’impatto (circa tre-quattro volte quello misurato durante gli impatti di Listolade in cui è stata utilizzato il medesimo blocco). Entrambi questi fattori fanno si che le onde di compressione generate dall’impatto si riflettano anticipatamente e raggiungano il blocco prima che questi abbia rallentato significativamente: ne deriva una sorta di “portanza” aggiuntiva che è la responsabile della risposta osservata. Il profilo dell’accelerazione del grave mette in evidenza l’esistenza di uno strato profondo più rigido, rivelato dal doppio picco della curva. Anche in fase di ripianamento del substrato, infatti, non è stato possibile rimaneggiare lo strato più profondo, che ha quindi conservato le proprie caratteristiche meccaniche. Le sollecitazioni in direzione orizzontale sono invece trascurabili.

Prova Pendenza strato (°) Altezza caduta (m) Energia impatto (kJ)

1 20 5 41.7

1b 20 5 41.7

2 20 10 83.4

3 20 13.7 114.2

4 20 5 41.7

5 20 18.45 153.8

6 0 5 41.7

7 0 10 83.4

8 0 13.7 114.2

9 0 18.45 153.8

10 0 10 83.4

11 0 10 83.4

12 0 10 83.4

13 0 10 83.4

Serie S1

Serie S2

Serie S3

Serie S4

Prove sperimentali

39

Figura B7 : accelerazione (a), velocità (b), affondamento del grave (c) e pressione registrata alla base per la serie di prove S2-Bovisa

(a) (b)

(c) (d)

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20.02 0.06 0.1 0.14 0.18

tempo (s)

0

20

40

60

10

30

50

ac

ce

lera

zio

ne

(g

)

Serie S2 - Accelerazionein direzione verticale

Prova n.6

Prova n.7

Prova n.8

Prova n.9

tempo (s)

4

0

-4

-8

-12

-16

-20

2

-2

-6

-10

-14

-18

velo

cit

à (

m/s

)

Serie S2 - Velocitàin direzione verticale

Prova n.6

Prova n.7

Prova n.8

Prova n.9

0.04 0.08 0.12 0.16 0.20.02 0.06 0.1 0.14 0.18

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20.02 0.06 0.1 0.14 0.18

tempo (s)

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.1

-0.3

-0.5

sp

os

tam

en

to (

m)

Serie S2 - Spostamentoin direzione verticale

Prova n.6

Prova n.7

Prova n.8

Prova n.9

tempo (s)

-100

0

100

200

300

-50

50

150

250

pre

ss

ion

e v

ert

ica

le (

kP

a)

Serie S2 - Pressione verticalesotto il punto d'impatto

Prova n.6

Prova n.7

Prova n.8

Prova n.9

0.04 0.08 0.12 0.16 0.20.02 0.06 0.1 0.14 0.18

40

1Appendice C PROVE SPERIMENTALI IN SCALA REALE SU GALLERIA PARAMASSI (Listolade, 2006)

Queste prove rappresentano un completamento rispetto a quelle effettuate precedentemente per una serie di motivi, di seguito sintetizzati:

• gli impatti sono effettuati in scala reale, su una galleria artificiale dismessa. In questo modo è possibile studiare unitariamente lo sviluppo della forza d’impatto, la propagazione della sollecitazione nello strato ammortizzante, sino ad arrivare alla risposta strutturale;

• sono state raggiunte energie d’impatto molto maggiori rispetto a quelle precedentemente studiate, imponendo altezze di caduta sino a 45 m circa;

• la struttura ed il terreno di copertura sono stati preventivamente caratterizzati effettuando una serie di prove in sito (carotaggi, ultrasoniche, prove di carico su piastra), in vista di una successiva serie di simulazioni numeriche.

Descrizione della galleria artificiale

Gli impatti sono state eseguiti su una struttura paramassi posta lungo un tratto dismesso della S.R. 203 Agordina, tra Listolade di Taibon Agordino e Cencenighe (Figura C1). La struttura portante della galleria è costituita sul lato di valle da una serie di pilastri in cemento armato di sezione 90x120 cm, che formano quattordici arcate, mentre sul lato di monte si ha un muro in CA. La copertura è costituita da una serie di travi prefabbricate in CAP disposte trasversalmente con interasse di circa 100 cm (Figura C2), e da una soletta di continuità in CA con spessore di 30 cm. La soletta è direttamente gettata su tavelloni in CA che poggiano sulle travi in CAP. La galleria, inizialmente progettata con la funzione di paravalanghe, è stata in seguito ricoperta da uno strato di spessore variabile di terreno allo scopo di adattarla all’uso come paramassi. Un parapetto di 100 cm di altezza è stato disposto lungo tutto il perimetro esterno della soletta in modo da contenere il materiale ammortizzante gli impatti.

Figura C1 : galleria paramassi di Listolade; vista laterale (a), frontale (b), interna (c)

(a) (b) (c)

Prove sperimentali

41

Figura C2 : schemi del portale di ingresso (a), sezione di una trave in CAP (b) e vista laterale della galleria (c)

Il materiale ammortizzante

Il terreno di protezione della galleria è costituito da materiale estremamente eterogeneo derivante dallo scarto di lavorazioni di cantiere. Alla data del primo sopralluogo effettuato in sito (Maggio 2006), la superficie era in parte coperta da vegetazione, ed affioravano massi di dimensioni non trascurabili (Figura C3). Il profilo del terreno presentava sia spessore che inclinazione molto variabili.

Figura C3 : condizioni dello strato ammortizzante (maggio 2006)

(a)

(b)

(c)

(a) (b)

42

1Preliminarmente allo svolgimento della campagna di impatti, è stato effettuato un rilievo topografico di dettaglio, a seguito del quale si è scelto di effettuare gli impatti su di un’area prossima all’imbocco sud della galleria (Figura C4). Nella zona d’imbocco sono stati eseguiti due scavi del terreno di copertura sino alla soletta: in corrispondenza della sezione individuata dal pilastro 2 (che si trova fuori dalla zona ove poi sarebbero stati effettuati gli impatti), sono state realizzate prove per la caratterizzazione strutturale (carotaggi della soletta, prove ultrasoniche), mentre in corrispondenza di quella relativa al pilastro 4 sono state posizionate due celle di carico (Figura C5a).

Figura C4 : rilievo topografico di dettaglio, con indicazione dell’area impatti e posizione degli scavi

Successivamente, gli scavi sono stati rinterrati ed il terreno di riempimento è stato compattato; infine il profilo è stato ripianato in modo da ottenere una superficie d’impatto orizzontale, con spessore dello strato ammortizzante pari a 2 m (Figura C5b).

Figura C5 : la zona d’impatto: (a) scavi per il posizionamento delle celle di carico, (b) rinterro e ripianamento

Imbocco vecchia

galleria paramassi

Scavo per

esecuzione

carotaggiScavo per

posizionamento

celle di carico

AREA IMPATTI

34

12

5

(a) (b)

Prove sperimentali

43

Impianto di sollevamento, blocco d’impatto, campagna sperimentale

Gli impatti sono stati effettuati utilizzando la sfera in CA già impiegata per le prove condotte presso il Campus Bovisa del Politecnico di Milano. Quanto al sollevamento, è stata utilizzata una gru a braccio telescopico che ha permesso di raggiungere altezze di caduta fino a 45 m circa, alle quali corrispondono energie d’impatto di circa 4375 kJ (Figura C6).

Figura C6 : (a) impianto di sollevamento e (b) posizionamento del blocco, cratere d’impatto

L’elenco degli impatti è riportato in Tabella C1, mentre la rispettiva posizione planimetrica è mostrata in Figura C7. La maggior parte degli impatti ha avuto luogo lungo l’asse di simmetria della piastra di copertura della galleria, ed in particolare nei punti (A e B) ove sono posizionati celle di carico e misuratori di spostamento. Dato che il terreno si trova in uno stato di elevato addensamento, tra un impatto e l’altro è stato sufficiente riempire il cratere lasciato dal blocco e compattare il terreno localmente. Questa procedura non è stata invece adottata per l’ultima serie di impatti (15-18) che hanno avuto luogo all’interno del cratere lasciato dagli impatti precedenti.

(a) (b)

44

1

Tabella C1 : elenco degli impatti

Figura C7 : disposizione planimetrica dei punti d’impatto. 3-4-5: posizione pilastri del portale; A: celle di carico; A e B: misure di spostamento sulla struttura

Impatto Altezza di caduta H [m]

Distanza dal punto A lungo l’asse della

galleria [m]

Distanza dal punto B lungo l’asse della

galleria [m]

Distanza dall’asse della galleria

1 6.3 0 7 0

2 4.9 0 7 0

3 8.6 0 7 0

4 19.4 0 7 0

5 36.4 0 7 0

6 38.6 0 7 2.75

7 40 3.5 3.5 0

8 39.9 7 0 0

9 44.8 7 0 0

10 44.8 7 0 2.75

11 46.3 10.5 3.5 0

12 42.2 5.25 1.75 0

13 42.3 1.75 5.25 0

14 39.6 3.5 10.5 0

15 19.3 7 0 0

16 45.4 7 0 0

17 15 0 7 0

18 42.3 0 7 0

Scavo per

posizionamento

celle di carico

AREA IMPATTI

34

5

AB

Prove sperimentali

45

Strumenti di misura

Allo scopo di studiare la forza d’impatto, la propagazione della sollecitazione nello strato ammortizzante e la risposta strutturale, sono stati utilizzati una serie di strumenti, in parte già impiegati presso il Campus Bovisa:

• tre accelerometri posti nella sfera in CA;

• due celle di carico estensimetriche in corrispondenza dell’estradosso della soletta (punto A di Figura C7). Le due celle sono state disposte una accanto all’altra, virtualmente nello stesso punto, allo scopo di cautelarsi nei confronti della difficoltà di “centrare “ perfettamente il punto d’impatto a fronte delle elevate altezze di caduta e della ventosità del sito;

• quattro sensori potenziometrici Penny & Giles SLS190 con corsa di 25 mm; cinque sensori potenziometrici Gefran PY2 con corsa di 10 mm (Figura C8); questi strumenti hanno permesso di misurare, rispettivamente, gli spostamenti verticali delle travi e le deformazioni longitudinali delle stesse. Questi sono stati installati sotto la copertura in corrispondenza dei punti A e B di Figura C7;

• due accelerometri piezoresistivi ENTRAN EGCS-50 con fondoscala 50 g. Uno di essi è stato montato in corrispondenza di un sensore “Penny & Giles” per confrontare lo spostamento misurato direttamente con quello ottenuto dalla doppia integrazione delle misure di accelerazione (Figura C8a); l’altro accelerometro è stato posizionato in vari punti sulla struttura portante (pilastri in CA e travi del portale), allo scopo di verificarne gli spostamenti (che sono risultati trascurabili rispetto all’inflessione della trave) e di dedurne le condizioni di vincolo da adottare in una successiva analisi strutturale in campo dinamico (Capitolo 5).

Figura C8 : sensori Penny & Giles e GEFRAN, ed accelerometro installati sotto la copertura; dettaglio (a) e vista allargata (b)

(a) (b)

Capitolo Secondo

Analisi numeriche agli elementi distinti

Analisi numeriche agli elementi distinti

49

2 ANALISI NUMERICHE AGLI ELEMENTI DISTINTI 

La campagna sperimentale svolta presso il Campus Bovisa del Politecnico, è stata affiancata ed integrata da un’analoga campagna di simulazioni numeriche tridimensionali agli Elementi Distinti (Distinct Element Method, DEM). Una descrizione dettagliata di tale metodo e del programma di calcolo utilizzato (PFC3D, prodotto e distribuito dalla Itasca) è disponibile in Appendice D. Per la comprensione dei risultati che saranno presentati nel seguito si ritiene comunque utile riportare almeno i principi fondamentali del DEM. Contrariamente ad altri metodi numerici comunemente utilizzati per risolvere problemi di Ingegneria Geotecnica (Elementi Finiti, Differenze Finite), il Metodo degli Elementi Distinti tiene conto esplicitamente della natura discreta dei mezzi granulari, i quali sono considerati come un insieme di particelle indipendenti. Il DEM parte dalla determinazione del moto delle singole particelle tramite la scrittura delle rispettive equazioni di equilibrio in campo dinamico, nelle quali intervengono le forze d’interazione tra particelle in contatto. La “struttura” del materiale, definita dalla rete dei contatti, è libera di evolvere durante il moto delle particelle stesse. Queste caratteristiche fanno del DEM uno strumento particolarmente adatto allo studio degli impatti, durante i quali ha luogo un’interazione dinamica fra corpi aventi caratteristiche meccaniche completamente differenti (blocco rigido e strato ammortizzante molto deformabile). Questa distinzione e le conseguenti difficoltà computazionali nascono dalla modellazione del materiale granulare come continuo. Al contrario, utilizzando un approccio agli elementi distinti, l’unica differenza fra blocco impattante e strato ammortizzante è data dalle dimensioni degli elementi (Figura 2.1). Per sua natura, inoltre, il DEM è in grado di modellare, senza alcuna difficoltà, meccanismi deformativi caratterizzati da grandi spostamenti e da un completo riarrangiamento della struttura del materiale granulare ammortizzante. Le prove sperimentali eseguite presso il campus Bovisa, descritte all’interno del Capitolo precedente, sono state utilizzate per calibrare il modello numerico. Ciò ha permesso di verificarne l’accuratezza e l’affidabilità (§2.2). In seguito, l’utilizzo del modello è stato esteso alla simulazione di condizioni più generali rispetto a quelle investigabili con il dispositivo sperimentale (§2.3). In particolare, sono state prese in considerazione energie d’impatto maggiori, ottenute sia con massi di dimensioni maggiori che imponendo altezze di caduta più elevate. Si è studiata infine l’influenza dello spessore del materiale ammortizzante. Si noti che uno dei vantaggi del modello numerico rispetto alle prove sperimentali consiste nella possibilità di disporre sempre del medesimo strato ammortizzante, evitando in questo modo gli effetti della successione degli impatti (vedi Capitolo 1).

2.1 Modello ad Elementi Distinti 

La Figura 2.1 riporta un’immagine del modello DEM realizzato mediante PFC-3D. Le dimensioni del modello ricalcano quelle del dispositivo sperimentale del Campus Bovisa (spessore dello strato ammortizzante, larghezza della fossa), pur avendo per semplicità sostituito la pianta circolare con una quadrata. Si osservi come il materiale granulare sia stato riprodotto tramite circa diecimila elementi sferici, la cui granulometria è considerevolmente più grossolana rispetto a quella del materiale impiegato in laboratorio: l’utilizzo di elementi di grandi dimensioni ha permesso infatti di contenere il numero degli elementi stessi e, di conseguenza, di ridurre i tempi di calcolo. Come è stato verificato in una campagna preliminare di simulazioni, l’effetto di questa

2

50

semsia simpaQuerealmd’imsimu

Durad’ineblocche,forzeoppodi csemmagulter

mplificazione può esufficiente, e sia attante.

est’ultimo è rappresmente utilizzata patto, e ad esso

ulare (v=(2gH)0.5).

ante l’impatto sonerzia del blocco imcco stesso, e gli sf in un modello ad e di contatto: perortuno di maglie (Fontatto con le pa

mplicemente divideglie poste alla stesriormente mediati

Figura 2.2

(a) 

ssere consideratoin particolare suff

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Figura 2.1 : mode

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(b)

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r

r

r

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forza e) del otare delle mero forze tiene ati in uindi

Analisi numeriche agli elementi distinti

51

In Tabella 2.1 è riportata la descrizione degli impatti simulati numericamente.

Tabella 2.1 : quadro riassuntivo degli impatti simulati tramite DEM

Impatto Altezza di caduta Massa del blocco Energia d’impatto Spessore terreno

# H (m) m (kg) E (kJ) h (m)

1 5 850 41.7 2

2 10 850 83.3 2

3 13.7 850 114.1 2

4 18.5 850 153.7 2

5 20 850 166.77 2

6 30 850 250.16 2

7 40 850 333.54 2

8 50 850 416.93 2

9 75 850 625.39 2

10 100 850 833.85 2

11 50 5000 2452.5 2

12 75 5000 3678.75 2

13 100 5000 4905 2

14 20 1000 196.2 2

15 20 2000 392.4 2

16 20 3000 588.6 2

17 20 4000 784.8 2

18 20 5000 981 2

19 10 10000 981 2

20 50 2000 981 2

21 5 850 41.7 1

22 10 850 83.3 1

23 13.7 850 114.1 1

24 18.5 850 153.7 1

25 20 850 166.77 1

26 30 850 250.16 1

27 50 850 416.93 1

28 75 850 625.39 1

29 100 850 833.85 1

2

52

In Figura 2.3, sono mostrati, a titolo d’esempio, i risultati ottenuti simulando l’impatto di un grave di massa 850 kg, in caduta da una altezza di 20 m. Ci si limita qui a sottolineare come l’andamento delle grandezze registrate nel corso della simulazione sia qualitativamente simile a quello misurato sperimentalmente. Si osserva, in particolare, la capacità del modello di riprodurre la natura impulsiva dell’impatto, il progressivo rallentamento del blocco (sino al completo arresto) al procedere della penetrazione, la trasmissione dell’onda d’impatto alla base della piastra.

Figura 2.3 : esempio di simulazione di un impatto. Andamento della forza di impatto (a), della velocità e della penetrazione del blocco (b) e (c), incremento di sforzo sotto il punto d’impatto (d)

   

 (a)  (b)

   

 (c)  (d)

0 0.04 0.08 0.12 0.160.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

0

100

200

300

400

500

50

150

250

350

450

forz

a d

'im

pa

tto

(k

N)

m=850 kg - H=20 m

forza d'impatto

0 0.04 0.08 0.12 0.160.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

0

-5

-10

-15

-20

2.5

-2.5

-7.5

-12.5

-17.5

ve

loc

ità

de

l g

rav

e (

m/s

)

m=850 kg - H=20 mvelocità

0 0.04 0.08 0.12 0.160.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-0.1

-0.3

-0.5

-0.7

de

l g

rav

e (

m)

m=850 kg - H=20 maffondamento

aff

on

dam

en

to

0 0.04 0.08 0.12 0.160.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

-100

0

100

200

300

-50

50

150

250

sfo

rzo

ve

rtic

ale

(k

Pa

), r

= 0

.00

m

m=850 kg - H=20 msforzo

Analisi numeriche agli elementi distinti

53

2.2 Validazione del modello (impatti 1‐4) 

Come descritto in Appendice D e più diffusamente in Calvetti et al. (2005), per descrivere la risposta meccanica del mezzo granulare, il modello numerico utilizzato richiede la stima dei parametri che descrivono l’interazione tra i grani (rigidezza normale, tangenziale ed attrito) e la configurazione spaziale degli stessi (granulometria e porosità). Per calibrare tali parametri e validare il modello è allora necessario simulare una prova d’impatto e verificare che, con gli stessi parametri e con la stessa configurazione spaziale dei grani, il modello sia in grado di riprodurre in modo soddisfacente anche i risultati sperimentali ottenuti variando ad esempio l’altezza di caduta. Nel caso specifico, l’impatto con altezza di caduta H=10 m è stato utilizzato come prova di calibrazione, mentre gli altri sono stati utilizzati per validare il modello.

Figura 2.4 : (a) riproduzione numerica delle prove sperimentali. Andamento in funzione del tempo della forza di impatto

 

   

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20.02 0.06 0.1 0.14 0.18

0

100

200

300

400

500

50

150

250

350

450

H = 5.00 m

forz

a d

i im

pa

tto

(k

N)

tempo (s)

Sperimentale

Numerico (calibrazione)

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20.02 0.06 0.1 0.14 0.18

0

100

200

300

400

500

50

150

250

350

450

H = 10.00 m

forz

a d

i im

pa

tto

(k

N)

tempo (s)

Sperimentale

Numerico (calibrazione)

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20.02 0.06 0.1 0.14 0.18

0

100

200

300

400

500

50

150

250

350

450

H = 13.70 m

forz

a d

i im

pa

tto

(k

N)

tempo (s)

Sperimentale

Numerico (validazione)

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20.02 0.06 0.1 0.14 0.18

0

100

200

300

400

500

50

150

250

350

450

H = 18.45 m

forz

a d

i im

patt

o (

kN

)

tempo (s)

Sperimentale

Numerico (validazione)

2

54

Complessivamente le discrepanze tra il modello e le prove sperimentali sono accettabili, soprattutto alla luce della complessità del fenomeno analizzato e delle difficoltà legate alla non omogeneità indotta dalla successione degli impatti sperimentali. Si noti comunque come, a fronte di una buona riproduzione delle massime forze d’impatto, il tempo di propagazione dell’onda di compressione sia sovrastimato dal modello numerico, ad indicare una minore rigidezza globale dello strato ammortizzante.

Figura 2.4: (b) Andamento in funzione del tempo degli sforzi verticali registrati a fondo vasca, sulla verticale del punto di impatto (r=0 m)

Tale discrepanza è riconducibile alla difficoltà nel riprodurre nel modello gli effetti della successione degli impatti sperimentali, che inducono una non omogenea rigidezza nello strato. Per lo stesso motivo, il modello non riesce a cogliere appieno l’andamento caratterizzato da due

   

   

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20.02 0.06 0.1 0.14 0.18

-100

0

100

200

300

-50

50

150

250

H = 5.00 m

sfo

rzo

ve

rtic

ale

(k

Pa

), r

= 0

.00

m

tempo (s)

Sperimentale

Numerico (calibrazione)

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20.02 0.06 0.1 0.14 0.18

-100

0

100

200

300

-50

50

150

250

H = 10.00 m

sfo

rzo

ve

rtic

ale

(k

Pa

), r

= 0

.00

m

tempo (s)

Sperimentale

Numerico (calibrazione)

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20.02 0.06 0.1 0.14 0.18

-100

0

100

200

300

-50

50

150

250

H = 13.70 m

sfo

rzo

vert

icale

(kP

a),

r =

0.0

0 m

tempo (s)

Sperimentale

Numerico (validazione)

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20.02 0.06 0.1 0.14 0.18

-100

0

100

200

300

-50

50

150

250

H = 18.45 m

sfo

rzo

vert

icale

(kP

a),

r =

0.0

0 m

tempo (s)

Sperimentale

Numerico (validazione)

Analisi numeriche agli elementi distinti

55

picchi (più o meno marcati), della forza d’impatto (almeno per i valori di energia qui considerati; si veda a questo proposito il §2.3.2). Tra gli aspetti più rilevanti in vista della definizione di criteri progettuali, vi è il fatto che il picco della forza d’impatto venga raggiunto, come avveniva nelle prove realizzate presso il Campus Bovisa, prima che l’onda di compressione abbia raggiunto la base dello strato. Pertanto, i risultati ottenuti in termini di massima forza d’impatto, sono da ritenersi indipendenti dalle condizioni imposte al contorno di base (in questo caso, una piastra rigida; nella realtà, la soletta deformabile della struttura).

Figura 2.4: (c) Andamento in funzione del tempo degli sforzi verticali registrati a fondo vasca, a distanza r=0.50 m dalla verticale dal punto di impatto

La trasmissione del carico generato in corrispondenza del punto d’impatto all’interno del terreno si traduce nelle curve di Figura 2.5, ove mostriamo la distribuzione dei massimi valori dell’incremento di sforzo verticale sulla piastra di base, in funzione della distanza dal punto

   

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20.02 0.06 0.1 0.14 0.18

-100

0

100

200

300

-50

50

150

250

H = 5.00 m

sfo

rzo

ve

rtic

ale

(k

Pa

), r

= 0

.50

m

tempo (s)

Sperimentale

Numerico (calibrazione)

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20.02 0.06 0.1 0.14 0.18

-100

0

100

200

300

-50

50

150

250

H = 10.00 m

sfo

rzo

ve

rtic

ale

(k

Pa

), r

= 0

.50

m

tempo (s)

Sperimentale

Numerico (calibrazione)

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20.02 0.06 0.1 0.14 0.18

-100

0

100

200

300

-50

50

150

250

H = 13.70 m

sfo

rzo

ve

rtic

ale

(k

Pa

), r

= 0

.50

m

tempo (s)

Sperimentale

Numerico (validazione)

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20.02 0.06 0.1 0.14 0.18

-100

0

100

200

300

-50

50

150

250

H = 18.45 m

sfo

rzo

ve

rtic

ale

(k

Pa

), r

= 0

.50

m

tempo (s)

Sperimentale

Numerico (calibrazione)

2

56

d’impatto. Si può notare come tale distribuzione spaziale ricordi la tipica forma a campana delle soluzioni elastiche e venga riprodotta in maniera piuttosto fedele, anche se in generale le sollecitazioni massime sono sottostimate dal modello.

Figura 2.5 : distribuzione delle sollecitazioni sul fondo della vasca

2.3 Generalizzazione dei risultati 

I risultati presentati nel paragrafo precedente mostrano le capacità del modello numerico di riprodurre il fenomeno dell’impatto di un blocco su di uno strato granulare. Gli stessi risultati ci suggeriscono che il modello può essere utilizzato per indagare condizioni diverse, e più generali, rispetto a quelle consentite dai dispositivi sperimentali del Campus Bovisa. In particolare, in vista della progettazione di opere di protezione stradale, simuleremo impatti con energia più rilevante, e cioè dell’ordine di qualche migliaio di kJ. A questo scopo, il modello numerico precedentemente calibrato è stato sottoposto ad impatti caratterizzati da altezze di caduta fino a 100 m, con blocchi aventi massa fino a 5000 kg. La massima energia d’impatto considerata è dunque circa 5000 kJ, che rappresenta un valore ben superiore rispetto ai circa 160 kJ raggiungibili presso il Campus Bovisa, ma anche rispetto ai 400 kJ degli impatti realizzati presso il campo prove di Listolade. Anticipiamo che i risultati delle simulazioni mostrano come, solo in prima approssimazione, sia possibile utilizzare unicamente l’energia d’impatto come parametro di progetto; tuttavia, gli effetti individuali della massa del blocco e della sua altezza di caduta saranno illustrati in dettaglio. Infine, sarà presa in considerazione l’ipotesi di utilizzare uno strato ammortizzante di spessore inferiore rispetto ai due metri imposti all’interno del §2.2. L’investigazione di questo aspetto è giustificata dall’intento di ridurre il costo dell’opera di difesa, a scapito di un minor potere ammortizzante, e soprattutto di una minore protezione della piastra nei confronti del blocco penetrante. Nel seguito di questo paragrafo presenteremo i risultati delle simulazioni mettendone soprattutto in evidenza gli aspetti qualitativi. Un’interpretazione quantitativa degli stessi risultati sarà invece fornita nel §2.4.

 

0 0.5 1 1.5 2 2.50.25 0.75 1.25 1.75 2.25

0

100

200

300

50

150

250

distanza radiale (m)

sfo

rzo

vert

icale

(kP

a)

distribuzione dello sforzo verticale

5 m - numerico

5 m - sperimentale

10 m - numerico

10 m - sperimentale

13.7 m - numerico

13.7 m - sperimentale

18.45 m - numerico

18.45 m - sperimentale

Analisi numeriche agli elementi distinti

57

2.3.1 Influenza dell’altezza di caduta, impatti 5‐10 (massa del blocco: 850 kg) 

Vengono qui illustrati i risultati ottenuti al variare dell’altezza di caduta, mantenendo invariati, rispetto alla serie precedente, i rimanenti parametri di progetto (massa del blocco 850 kg; spessore dello strato ammortizzante 2 m). In Figura 2.6 si mostrano la forza d’impatto, l’incremento di sforzo sulla piastra di base (sotto il punto d’impatto ed a 1 m di distanza), e la penetrazione del blocco.

Figura 2.6 : forza d’impatto (a), incremento sforzi verticali sulla piastra di fondo (r=0.00 m (b), 1.00 m (c)), penetrazione del blocco (d)

m=850kg

H=20 m H=30 m

H=40 m H=50 m

H=75 m H=100 m

   

 (a)  (b)

   

 (c)  (d)

0 0.04 0.08 0.12 0.160.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

0

400

800

1200

1600

200

600

1000

1400

forz

a d

'im

pa

tto

(k

N)

0 0.04 0.08 0.12 0.160.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

-400

0

400

800

1200

-200

200

600

1000

Δσ

V (

r=0

.00

) (k

Pa

)

0 0.04 0.08 0.12 0.160.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

-200

0

200

400

600

-100

100

300

500

Δσ

V (

r=1

.00

) (k

Pa

)

0 0.04 0.08 0.12 0.160.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

0

-0.4

-0.8

-1.2

-0.2

-0.6

-1

sp

os

tam

en

to d

el

gra

ve (

m)

2

58

Come appare del tutto logico e prevedibile, la forza d’impatto, la sollecitazione sulla piastra di fondo e la penetrazione del blocco aumentano con l’altezza di caduta. Inoltre, sempre all’aumentare dell’altezza di caduta, si assiste ad una riduzione dell’ampiezza dell’intervallo temporale durante il quale si sviluppano sia la forza d’impatto che l’incremento di sforzo sulla piastra. In altri termini, l’impatto assume un carattere più marcatamente impulsivo all’aumentare dell’altezza di caduta. Rimandiamo, a questo proposito, al confronto con gli effetti indotti da variazioni della massa del blocco impattante (§2.3.3 e §2.3.4). Quanto alla penetrazione del blocco, anticipando qui in parte le considerazioni che svolgeremo nel §2.3.5, notiamo come questa arrivi a superare un metro per valori relativamente piccoli dell’energia d’impatto. Venendo alle sollecitazioni sulla piastra di fondo, mostriamo innanzitutto la distribuzione, a campana, dei loro valori massimi in funzione della distanza del centro della piastra (Figura 2.7).

Figura 2.7 : distribuzione delle sollecitazioni sul fondo della vasca, per varie altezze di caduta

Una differente rappresentazione dei medesimi dati è mostrata in Figura 2.8 ove, per varie distanze dal centro della piastra, sono tracciati i massimi valori dell’incremento di sforzo in funzione della forza d’impatto. La forma a campana mostrata in Figura 2.7 si traduce nell’ordinata disposizione, al variare della distanza dal centro della piastra, delle curve di Figura 2.8. L’aspetto più interessante è rappresentato dal fatto che il valore massimo della sollecitazione a fondo vasca risulti funzione pressoché lineare della forza di impatto, per qualsiasi distanza dal punto di caduta. Ciò significa che la forma della campana definita dalla diffusione laterale del carico non dipende significativamente dall’altezza di caduta. Gli stessi risultati suggeriscono che il fenomeno della trasmissione del carico nello strato ammortizzante possa essere interpretato, perlomeno per quanto riguarda la valutazione dei

0 1 2 30.5 1.5 2.5

distanza dal centro (m)

0

400

800

1200

200

600

1000

Δσ

V (

kP

a)

m=850kg

H=20 m

H=30 m

H=40 m

H=50 m

H=75 m

H=100 m

Analisi numeriche agli elementi distinti

59

massimi valori della sollecitazione, con un modello in cui il comportamento del terreno sia considerato elastico. Questo aspetto sarà discusso approfonditamente nel Capitolo 4.

Figura 2.8 : massima sollecitazione rilevata alla profondità di 2 m, in funzione della forza di impatto, a diverse distanze dal punto di caduta

2.3.2 Influenza dell’altezza di caduta, impatti 11‐13 (massa del blocco: 5000 kg) 

Nel corso di questo paragrafo, saranno commentati i risultati di tre analisi numeriche, condotte considerando un grave di massa 5000 kg, in caduta da tre differenti altezze H. Anche in questo caso lo spessore dello strato ammortizzante è stato imposto pari a due metri. Con queste simulazioni si entra in un campo di energie d’impatto decisamente elevate, e particolarmente impegnative per le strutture di difesa. In Figura 2.9 sono riportati la forza d’impatto, l’incremento di sforzo sulla piastra di base (sotto il punto d’impatto ed a 1 m di distanza), e la penetrazione del blocco. Rispetto ai risultati precedentemente mostrati, la forza d’impatto mostra un andamento qualitativamente diverso, caratterizzato da un doppio picco. Questo risultato, che ricorda le curve sperimentali, è legato all’interazione tra blocco penetrante e onda di compressione riflessa dalla piastra di base. In sostanza, l’onda di compressione riflessa genera una sorta di “portanza” aggiuntiva che contribuisce a decelerare ulteriormente il blocco. Rispetto agli impatti precedenti questa interazione è qui chiaramente visibile a causa della maggiore durata dell’impatto (a fronte di una velocità di propagazione delle onde di compressione che rimane sostanzialmente invariata), ed anche della minor diffusione dell’onda di compressione. La penetrazione del blocco è infatti molto maggiore, e quindi la distanza tra blocco e piastra è molto minore nel momento in cui il fronte d’onda riflesso raggiunge il blocco stesso. Ritorneremo su questo punto nei paragrafi dedicati allo studio dell’influenza dello spessore dello strato ammortizzante (§2.3.5) ed in sede di interpretazione riassuntiva dei risultati (§2.4.3).

0 400 800 1200 1600200 600 1000 1400

forza d'impatto (kN)

0

400

800

1200

200

600

1000

Δσ

V (

kP

a)

m=850kg

r=0.00 m

r=0.50 m

r=1.00 m

r=1.60 m

r=2.20 m

r=2.70 m

2

60

Figura 2.9 : forza d’impatto (a), incremento sforzi verticali sulla piastra di fondo (r=0.00 m (b), 1.00 m (c)), penetrazione del blocco (d)

2.3.3 Influenza della massa del blocco, impatti 14‐18 (altezza di caduta 20 m) 

Sinora abbiamo preso in considerazione impatti caratterizzati da energie variabili agendo sull’altezza di caduta simulata, mentre la massa del blocco è stata mantenuta fissa. In questo paragrafo, al contrario, studieremo gli effetti della sola variazione della massa (diametro) del blocco, mantenendo costante, e pari a 20 m, l’altezza di caduta. Si noti che, utilizzando blocchi di massa variabile tra 1000 e 5000 kg, le energie d’impatto in gioco sono analoghe a quelle studiate nel §2.3.1. In Figura 2.10 sono riportati la forza d’impatto, l’incremento di sforzo sulla piastra di base (sotto il punto d’impatto ed a 1 m di distanza), e la penetrazione del blocco.

 

   

(a)  (b)

   

 (c)  (d)

m=5000 kg

H=50 m - E=2500 kJ

H=75 m - E=3750 kJ

H=100 m - E=5000 kJ

0 0.04 0.08 0.12 0.160.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

0

2000

4000

6000

1000

3000

5000

forz

a im

pa

tto

(k

N)

0 0.04 0.08 0.12 0.160.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

-500

500

1500

2500

3500

4500

Δσ

V (

r=0

.00

) (k

Pa

)

0 0.04 0.08 0.12 0.160.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

-400

0

400

800

1200

1600

-200

200

600

1000

1400

Δσ

V (

r=1

.00

) (k

Pa

)

0 0.04 0.08 0.12 0.160.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

0

-0.4

-0.8

-1.2

-1.6

-0.2

-0.6

-1

-1.4

sp

os

tam

en

to d

el g

rav

e (

m)

Analisi numeriche agli elementi distinti

61

All’aumentare della massa del blocco, si assiste ad un incremento dell’ampiezza dell’intervallo temporale in cui si sviluppano sia la forza d’impatto che l’incremento di sforzo sulla piastra: in altri termini, il carattere impulsivo degli impatti decresce all’aumentare della massa, il che è esattamente il contrario rispetto a quanto osservato incrementando l’altezza di caduta (vedi §2.3.1). Si nota comunque che i valori massimi delle forze d’impatto non differiscono significativamente da quelli ottenuti utilizzando un blocco di 850 kg di massa e facendo variare l’altezza di caduta (vedi anche §2.3.4 e §2.4.1).

Figura 2.10 : forza d’impatto (a), incremento sforzi verticali sulla piastra di fondo (r=0.00 m (b), 1.00 m (c)), penetrazione del blocco (d)

 

   

(a)  (b)

   

 (c)  (d)

H=20 m

m=1000 kg m=2000 kg

m=3000 kg m=4000 kg

m=5000 kg

0 0.04 0.08 0.12 0.160.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

0

400

800

1200

1600

200

600

1000

1400

forz

a d

'im

pa

tto

(k

N)

0 0.04 0.08 0.12 0.160.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

-400

0

400

800

1200

-200

200

600

1000

Δσ

V (

r=0

.00

) (k

Pa

)

0 0.04 0.08 0.12 0.160.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

-200

0

200

400

600

-100

100

300

500

Δσ

V (

r=1

.00

) (k

Pa

)

0 0.04 0.08 0.12 0.160.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

0

-0.4

-0.8

-1.2

-0.2

-0.6

-1

sp

os

tam

en

to d

el g

rav

e (

m)

2

62

2.3.4 Influenza della massa del blocco e dell’altezza di caduta, a parità di energia d’impatto, impatti 18‐20 

Sulla base delle informazioni ottenute dalle analisi numeriche svolte al variare della massa del grave e dell’altezza di caduta, appare molto interessante paragonare alcuni eventi caratterizzati dal medesimo valore dell’energia d’impatto, ma con differenti combinazioni di massa del blocco ed altezza di caduta. In particolare, studieremo impatti con energia pari a 980 kJ, corrispondenti all’impatto di tre blocchi con massa pari a 2000, 5000 e 10000 kg, in caduta libera da 50, 20 e 10 m, rispettivamente.

Figura 2.11 : forza d’impatto (a), incremento sforzi verticali sulla piastra di fondo (r=0.00 m (b), 1.00 m (c)), penetrazione del blocco (d)

 

   

(a)  (b)

   

 (c)  (d)

H=20 m

m=1000 kg m=2000 kg

m=3000 kg m=4000 kg

m=5000 kg

0 0.04 0.08 0.12 0.160.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

0

400

800

1200

1600

200

600

1000

1400

forz

a d

'im

pa

tto

(k

N)

0 0.04 0.08 0.12 0.160.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

-400

0

400

800

1200

-200

200

600

1000Δσ

V (

r=0

.00

) (k

Pa

)

0 0.04 0.08 0.12 0.160.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

-200

0

200

400

600

-100

100

300

500

Δσ

V (

r=1

.00

) (k

Pa

)

0 0.04 0.08 0.12 0.160.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

0

-0.4

-0.8

-1.2

-0.2

-0.6

-1

sp

os

tam

en

to d

el g

rav

e (

m)

Analisi numeriche agli elementi distinti

63

L’analisi dei dati relativi ai tre impatti (Figura 2.11) ci permette di evidenziare innanzitutto le differenze qualitative associate ad una variazione “compensata” di altezza di caduta e massa: in particolare, all’aumentare della massa si assiste alla dilatazione del periodo in cui si sviluppa l’impatto. Al contrario, altezze di caduta maggiori comportano una accentuazione del carattere impulsivo. I massimi valori della forza d’impatto, dell’incremento dello sforzo sulla piastra di base, e la penetrazione del blocco rimangono invece, in prima approssimazione, invariati e possono quindi ritenersi funzione della sola energia d’impatto, come mostrato nei paragrafi precedenti. Questo non significa, è bene sottolinearlo chiaramente, che la risposta di una struttura di protezione sarà la stessa per le tre prove qui considerate. Infatti, come del resto già in parte dimostrato dagli impatti realizzati presso il campo prove di Listolade (Capitolo 1), la risposta dinamica della struttura dipende anche dalla durata dell’impulso, non solo dal massimo valore della forzante. In questo senso, le caratteristiche dinamiche della struttura giocano un ruolo determinante: allo studio approfondito di questi aspetti è dedicato il Capitolo 5.

2.3.5 Influenza dello spessore dello strato ammortizzante, impatti 21‐29 

A completamento dell’indagine fino a qui svolta, nel corso di questo paragrafo verranno presentati i risultati di una serie di analisi numeriche svolte utilizzando uno strato ammortizzante dotato delle stesse caratteristiche meccaniche di quello finora impiegato, ma avente uno spessore ridotto ad 1 m. L’esigenza di uno studio di questo tipo nasce non solo dalla necessità di mettere in evidenza il ruolo svolto da una variabile progettuale di grande importanza, ma anche in vista di un dimensionamento dello strato stesso che tenga conto di criteri di tipo economico. A questo scopo, gli impatti descritti nel §2.3.1 (m=850 kg, H=20-100 m) sono stati ripetuti utilizzando uno strato di 1 m di spessore. In Figura 2.12 sono riportati gli andamenti delle forze di impatto in funzione del tempo, i valori dell’incremento dello sforzo sulla piastra di base e la penetrazione del blocco per tutte le altezze di caduta considerate. Per quanto concerne la forza d’impatto, i risultati sono qualitativamente diversi rispetto a quelli che corrispondono agli analoghi impatti condotti su di uno strato di spessore doppio. In particolare, la riduzione dello spessore comporta l’insorgere “anticipato” di un andamento con doppio picco. Il termine anticipato fa riferimento al fatto che, per uno strato di spessore minore, questo fenomeno appariva a partire da energie d’impatto molto più elevate (vedi §2.3.2), oppure utilizzando blocchi di dimensioni maggiori. Facendo invece solo riferimento al massimo valore della forza d’impatto, si hanno apprezzabili differenze rispetto agli urti che avvengono su di uno strato di spessore pari a due metri, solo per energie maggiori (Figura 2.13a), per le quali la penetrazione del blocco è di fatto pari allo spessore dello strato e si giunge (sia pure al termine dell’impatto, e quindi con una velocità molto ridotta), al contatto diretto tra il blocco stesso e la piastra di fondo (Figura 2.13b). In Figura 2.12d è evidente come, al crescere dell’altezza di caduta, la completa penetrazione si trasformi in un parziale rimbalzo. In questi casi l’energia non viene completamente dissipata in quanto la piastra di base è ipotizzata puramente rigida.

2

64

Figura 2.12 : forza d’impatto (a), incremento sforzi verticali sulla piastra di fondo (r=0.00 m (b), 1.00 m (c)), penetrazione del blocco (d)

Un ultimo aspetto che si vuole qui analizzare riguarda la distribuzione della sollecitazione trasmessa sulla piastra di fondo. L’effetto della riduzione dello spessore dello strato ammortizzante è chiaramente visibile confrontando i dati riportati in Figura 2.14 (spessore 1 m), con quelli di Figura 2.7 (spessore 2 m). La minore capacità di diffusione dello strato meno spesso è evidenziata dal più elevato valore dell’incremento di sforzo sotto il punto d’impatto, e da una

 

   

(a)  (b)

   

 (c)  (d)

m=850 kg - Spe sore strato=1 m

H=5 m

H=10 m

H=13.70 m

H=18.45 m

H=20 m

H=30 m

H=50 m

H=75 m

H=100 m

s

0 0.04 0.08 0.12 0.160.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

0

400

800

1200

1600

2000

200

600

1000

1400

1800

forz

a i

mp

att

o (

kN

)

0 0.04 0.08 0.12 0.160.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

-1000

0

1000

2000

3000

4000

-500

500

1500

2500

3500

Δσ

V(r

=0

.00

) (k

Pa

)

0 0.04 0.08 0.12 0.160.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

-50

0

50

100

150

200

250

-25

25

75

125

175

225

Δσ

V(r

=1

.00)

(kP

a)

0 0.04 0.08 0.12 0.160.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

-0.1

-0.3

-0.5

-0.7

-0.9

pe

ne

tra

zio

ne

de

l g

rav

e (

m)

Analisi numeriche agli elementi distinti

65

distribuzione spaziale più concentrata: ad esempio, utilizzando uno strato di spessore pari a 1 m, già a 0.5 m dal punto d’impatto, l’incremento di sforzo è sceso ad un valore compreso tra un terzo ed un mezzo rispetto a quello registrato al centro della piastra.

Figura 2.13 : massima forza d’impatto (a) e penetrazione del blocco in funzione dell’energia d’impatto (b)

Figura 2.14 : distribuzione delle sollecitazioni sul fondo della vasca, per varie altezze di caduta

2.4 Interpretazione riassuntiva dei risultati 

Vengono in questo paragrafo riassunti i risultati ritenuti più significativi dal punto di vista progettuale, prendendo in considerazione in particolare l’energia d’impatto.

(a)  (b)

0 200 400 600 800 1000100 300 500 700 900

enegia (kJ)

0

400

800

1200

1600

2000

200

600

1000

1400

1800

h = 2 m

h = 1 m

forz

a d

'im

pa

tto

(k

N)

massim

a

0 200 400 600 800 1000100 300 500 700 900

enegia (kJ)

0

0.4

0.8

1.2

0.2

0.6

1

pe

netr

azio

ne d

el

blo

cco

(m

)

h = 2 m

h = 1 m

0 1 2 30.5 1.5 2.5

distanza dal centro (m)

0

1000

2000

3000

4000

500

1500

2500

3500

Δσ

V (

kP

a)

H= 5m

H=10 m

H=13.70 m

H=18.45 m

H=20 m

H=30 m

H=50 m

H=75 m

H=100 m

2

66

2.4.1 Forza d’impatto 

I dati di Figura 2.15 riguardano i risultati delle simulazioni numeriche condotte con spessore dello strato ammortizzante pari a due metri, e riportano l’andamento della massima forza d’impatto in funzione dell’energia d’impatto. Si ricorda che, come mostrato nel §2.3.5, l’influenza dello spessore dello strato ammortizzante sulla massima forza d’impatto è trascurabile, almeno finché la penetrazione del blocco stesso non diventa paragonabile allo spessore dello strato ammortizzante (vedi §2.4.3). Se si trascura in prima approssimazione l’influenza separata di massa ed altezza di caduta, è possibile interpolare i risultati tramite un’espressione del tipo:

00

n

MAXEF FE

⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠, [2]

in cui E0=1000 kJ, F0=1660 kN e n = 0.7. Questo risultato, se pur non esattamente, ricalca i dati sperimentali illustrati all’interno del Capitolo precedente. Il valore dell’esponente n risulta però leggermente sovrastimato rispetto a quello ottenuto da Labiouse et al. (1994) e confermato dai dati sperimentali di Listolade. È però necessario osservare che, in questo caso, non è stata presa in considerazione la variazione in funzione della massa del blocco. Infatti, in Figura 2.15, sono stati riportati tutti i dati numerici indipendentemente dal valore del raggio del blocco.

Figura 2.15 : forza d’impatto massima in funzione dell’energia

2.4.2 Forza d’impatto‐incremento di sforzo sulla piastra 

Vengono ora messi in relazione il massimo valore della forza d’impatto e il massimo valore dell’incremento di sforzo sulla piastra di base. In Figura 2.16 sono mostrati gli sforzi misurati al centro della piastra, a 0.5 e ad 1 m di distanza dallo stesso. La capacità del materiale di distribuire il carico applicato in superficie dipende chiaramente dallo spessore dello strato: la riduzione dello spessore comporta un significativo aumento dello sforzo

m = 850 kg

(H = 5-100 m)

m = 5000 kg

(H = 50-100 m)

H = 20 m

(m = 1000-5000 kg)

E = 981 kJ

(m = 2000-10000 kg)

interpolazione

0 1000 2000 3000 4000 5000500 1500 2500 3500 4500

energia (kJ)

0

2000

4000

6000

1000

3000

5000

forz

a d

'im

pa

tto

(k

N)

massim

a

Analisi numeriche agli elementi distinti

67

agente al centro della piastra a parità di forza d’impatto, mentre a distanze maggiori si ha un’inversione di questa tendenza.

Figura 2.16 : massimo incremento dello sforzo sulla piastra, in funzione della forza d’impatto. (a) r=0 m; (b) r=0.5 m; (c) r=1 m

Inoltre, indipendentemente dallo spessore (con la solita precisazione che quest’ultimo non sia tanto ridotto da comportare una diretta interazione tra blocco penetrante e piastra), si osserva che il valore del massimo incremento di sforzo al centro della piastra è funzione lineare della forza di impatto registrata in superficie. Un andamento analogo, seppure con maggiori dispersioni, si riscontra per gli incrementi di sforzo a distanze maggiori dal punto d’impatto. Questi risultati, che raccolgono tutti gli impatti, sono in accordo con le conclusioni anticipate nel §2.3.1 (Figura 2.8). Lo studio della propagazione dell’onda di compressione generata dall’impatto all’interno dello strato ammortizzante sarà descritto nel Capitolo 4. .

2.4.3 Penetrazione del blocco 

Analogamente a quanto fatto con riferimento alla massima forza d’impatto, i dati di Figura 2.17 riguardano i risultati delle simulazioni numeriche condotte con spessore dello strato ammortizzante pari a due metri, e riportano l’andamento della penetrazione del blocco in funzione dell’energia d’impatto. Non vengono in questo caso mostrati i risultati concernenti gli impatti condotti su di uno strato di spessore pari ad 1 m. Per questi ultimi si rimanda al §2.3.5, salvo ricordare che l’influenza dello spessore dello strato ammortizzante sulla penetrazione del blocco è apprezzabile solo per le energie più elevate. Se si trascura in prima approssimazione l’influenza separata di massa ed altezza di caduta è possibile interpolare i risultati tramite un’espressione del tipo:

00

MAXEu uE

β⎛ ⎞

= ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

, [3]

in cui, E0=1000 kJ, u0=1.15 m e β=0.25.

(a)  (b) (c)  

0 2000 4000 6001000 3000 5000

F (kN)

0

1000

2000

3000

4000

5000

500

1500

2500

3500

4500

Δσ

' v (

r=0

.00

m)

(kP

a)

h=1 m

h=2 m

interpolazione

0 2000 4000 6001000 3000 5000

F (kN)

0

1000

2000

3000

500

1500

2500

Δσ

' v (

r=0

.50

m)

(kP

a)

h=1 m

h=2 m

interpolazione

0 2000 4000 6001000 3000 5000

F (kN)

0

400

800

1200

1600

200

600

1000

1400

Δσ

' v (

r=1

.00

m)

(kP

a)

h=1 m

h=2 m

interpolazione

2

68

Figura 2.17 : penetrazione del blocco in funzione dell’energia d’impatto

Notiamo che la dispersione dei risultati numerici rispetto all’interpolazione proposta sia estremamente limitata. Fanno eccezione gli spostamenti misurati nel corso degli impatti caratterizzati da energie molto elevate, che risultano sovrastimati. Questo risultato è dovuto all’insorgere di un’interazione significativa tra il blocco penetrante e l’onda di compressione riflessa dalla piastra (vedi §2.3.2 e §2.3.5).

2.5 Considerazioni conclusive 

Al termine di questo Capitolo dedicato alle simulazioni ad Elementi Distinti, è possibile trarre alcune conclusioni di carattere generale, che contribuiscono a fondare l’approccio alla progettazione che viene proposto in queste linee guida. Ricordiamo a questo proposito che il percorso intrapreso dovrà permettere di passare in successione dai dati di progetto (energia d’impatto, altezze di caduta), alla sollecitazione sulla struttura (distribuzione degli sforzi alla base dello strato ammortizzante), alla risposta dinamica della struttura stessa. I risultati ottenuti mostrano che il valore di picco della forza di impatto è correlabile alla sola energia d’impatto e non dipende, entro certi limiti, dallo spessore della copertura. In altri termini, sottolineiamo il fatto che il valore della forza d’impatto prescinde dalle condizioni al contorno imposte alla base dello strato (a meno che lo strato stesso abbia uno spessore eccessivamente limitato). Questo disaccoppiamento autorizza a definire un modello ad hoc per la valutazione della sola forza d’impatto. Alla descrizione di questo modello è dedicato il Capitolo 3. La capacità dello strato ammortizzante di diffondere il carico impulsivo che si esercita in superficie, dipende significativamente dello spessore dello strato ammortizzante. Inoltre, per ogni fissato spessore dello strato ammortizzante, il valore del massimo sforzo verticale in profondità, a qualsiasi distanza dal punto di caduta, sembra dipendere in maniera lineare dalla forza di impatto registrata in superficie. Allo studio del fenomeno della propagazione della sollecitazione all’interno dello strato di copertura è dedicato il Capitolo 4.

 

0 1000 2000 3000 4000 5000500 1500 2500 3500 4500

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2

0.2

0.6

1

1.4

1.8

u (

m)

m = 850 kg

(H = 5-100 m)

m = 5000 kg

(H = 50-100 m)

H = 20 m

(m = 1000-5000 kg)

interpolazione

Analisi numeriche agli elementi distinti

69

Elenco dei simboli E energia d’impatto del grave E0 energia di riferimento F0 forza d’impatto di riferimento

FMAX massima forza d’impatto g accelerazione di gravità H altezza di caduta del grave h spessore dello strato ammortizzante kn rigidezza della molla normale ks rigidezza della molla tangenziale m massa del blocco n parametro della curva E-FMAX

r distanza dal punto d’impatto u penetrazione del blocco u0 penetrazione di riferimento del blocco

uMAX penetrazione massima del blocco v velocità del grave β parametro della curva E-uMAX

Δσv sforzo verticale all’estradosso della struttura φμ angolo d’attrito intergranulare μ coefficiente d’attrito

2

70

Appendice D BREVE INTRODUZIONE AL METODO DEGLI ELEMENTI DISTINTI

Il metodo degli Elementi Distinti (definito nel seguito DEM) tratta i materiali granulari come un insieme di particelle “distinte”, per le quali viene individualmente imposta la condizione di equilibrio in campo dinamico, tramite la scrittura delle equazioni del moto (Cundall e Strack, 1979). Le azioni cui sono soggette le particelle sono il peso proprio e le forze di interazione (contatto) con le particelle vicine, oltre ovviamente alla forza ed al momento d’inerzia, data la natura dinamica del metodo (Figura D1). La procedura di calcolo suddivide il processo dinamico studiato (nel nostro caso l’impatto di un blocco, ma il metodo si applica ad una vasta gamma di problemi geotecnici, quali la simulazione di una prova di laboratorio o di una prova in sito, o la riproduzione di un movimento franoso), in una successione di passi di calcolo, secondo uno schema alle differenze finite. Ciascun passo di calcolo è a sua volta diviso in due fasi: nella prima, si applica la seconda legge della dinamica ad ogni particella; nella seconda, si applica il legame costitutivo forza-spostamento definito per i contatti tra le particelle stesse. In questo modo vengono determinati in successione: 1) il moto delle particelle causato dalle forze interne (peso ed inerzia) ed esterne (forze di interazione con le particelle in contatto) agenti sulle stesse; 2) le forze di contatto in funzione degli spostamenti relativi fra le particelle.

Figura D1 : schema delle interazioni tra gli elementi

La simulazione di un problema fisico mediante il DEM implica l’aggiornamento ad ogni passo di calcolo delle grandezze relative a ciascun elemento (posizione, velocità e accelerazione) e a ciascun contatto (posizione e forze trasmesse). L’utilizzo di particelle di forma sferica, che rende molto più semplice ed efficiente l’implementazione del metodo, è spesso adottato. È questo il caso del programma

1

2

3

4m,I

x

y

mg

F1

F4

F3

F2

Analisi numeriche agli elementi distinti

71

di calcolo utilizzato nelle simulazioni qui presentate, PFC 3D, prodotto dalla Itasca (Itasca 1996). Va comunque osservato che l’utilizzo di particelle sferiche rappresenta una semplificazione molto drastica della reale forma dei grani di un materiale ghiaioso o sabbioso. La conseguenza più evidente di questa semplificazione consiste nell’impossibilità di riprodurre quantitativamente i valori di resistenza (angolo d’attrito) osservati comunemente in un materiale granulare. Ciò è dovuto all’estrema facilità con cui elementi sferici possono ruotare gli uni rispetto agli altri, indipendentemente dal valore dell’attrito superficiale. Per contrastare gli effetti della forma semplificata delle particelle, tutte le simulazioni sono state eseguite, secondo una metodica ben documentata in letteratura (Calvetti et al. 2003), impedendo la rotazione delle particelle stesse. I parametri costitutivi propri del metodo sono quelli che descrivono l’interazione tra i grani. In particolare il DEM poggia sulla modellazione di elementi rigidi con contatti cedevoli: ne consegue che la trasmissione di forze di contatto presuppone una sovrapposizione tra le particelle nel punto di contatto. Questo approccio trova fondamento nell’osservazione che i materiali granulari, quali sabbia o ghiaia, sono formati da particelle individualmente molto rigide e resistenti (perlomeno a fronte di carichi ordinari), e che la deformazione del materiale è dovuta al riarrangiamento delle particelle piuttosto che ad una significativa deformazione delle stesse. Quest’ultima deformazione è di fatto limitata ai soli punti di contatto, ove si ha una elevata concentrazione di sforzo. La sovrapposizione tra gli elementi di un modello DEM rappresenta proprio la deformazione dei punti di contatto delle particelle reali, e deve rimanere contenuta per non inficiare la validità del metodo. Le forze di contatto sono valutate tramite lo schema riprodotto in Figura D2 che rappresenta il “cuore” del DEM.

Figura D2 : modellazione dei contatti tra le particelle

L’interazione viene scomposta nelle direzioni normale e tangenziale al contatto, e viene modellata tramite un sistema di molle (aventi rigidezza kn e ks) e da un blocchetto di scorrimento (slider) caratterizzato da un coefficiente di attrito μ. I contatti sono attivi solo in compressione, e le forze di contatto tangenziali sono limitate dalla legge d’attrito di Coulomb, e da luogo a scorrimenti irreversibili. Si noti che l’angolo d’attrito intergranulare corrispondente è:

( )arctanμ μΦ =. [4]

2

72

Un ulteriore parametro, che riveste una notevole importanza in una simulazione mediante DEM, è rappresentato dallo smorzamento numerico (damping). Nella simulazione di problemi quasi statici, l’energia dissipata per mezzo dell’attrito tra i grani non permette, in genere, di impedire l’insorgere di oscillazioni parassite attorno alla configurazione di equilibrio. Viene così introdotto nelle equazioni del moto un parametro adimensionale il cui scopo è proprio quello di smorzare le oscillazioni, consentendo un più rapido raggiungimento della nuova condizione di equilibrio agendo sulle forze di inerzia di ciascun elemento. È però importante notare che, mentre se si applicano sollecitazioni “quasi-statiche” questo parametro non riveste un ruolo fondamentale, limitandosi a regolarizzare la risposta del modello e accelerare il raggiungimento dell’equilibrio, in condizioni dinamiche la sua influenza non può essere trascurata. In tutte le simulazioni presentate in questo testo, lo smorzamento numerico è nullo. La calibrazione del modello consiste nella valutazione di parametri micromeccanici da assegnare alle particelle ed ai contatti, posto che il materiale numerico sarà costituito da un insieme di elementi avente la stessa porosità del materiale utilizzato in laboratorio. A questo scopo è stato preliminarmente realizzato uno studio parametrico circa l’influenza dei parametri micromeccanici. Una dettagliata descrizione della procedura adottata è reperibile in Calvetti et al. (2005).

 

Capitolo terzo

Simulazioni numeriche

modello BIMPAM

Simulazioni numeriche – modello BIMPAM

75

3 SIMULAZIONI NUMERICHE-MODELLO BIMPAM

Come chiarito nel Capitolo introduttivo, l’approccio numerico suggerito in questo testo per progettare gallerie artificiali soggette ad impatti di blocchi in roccia, è di tipo disaccoppiato. Questo significa che, per definire la risposta strutturale della galleria, saranno considerate distintamente tre fasi: (i) quella di compenetrazione locale del grave all’interno dello strato deformabile, (ii) quella di diffusione all’interno dello strato di terreno dell’onda di sforzo, (iii) quella di risposta dinamica della struttura. In particolare, questo approccio può essere considerato valido nel caso si considerino gallerie a portale o a mensola ma non gallerie policentriche. In quest’ultimo caso, infatti, la struttura è immersa all’interno del terreno e, di conseguenza, la seconda fase non può essere disaccoppiata dalla terza. In questo Capitolo sarà brevemente presentato un modello reologico concepito proprio per descrivere la prima fase, cioè quella che riguarda principalmente le forze che si scambiano il grave ed il mezzo deformabile. Tale modello, recentemente proposto dagli Autori di questo testo, è noto come BIMPAM (Boulder IMPAct Model) (Geotechnique, 2006) ed è uno strumento numerico realizzato allo scopo di analizzare il fenomeno dell’impatto di un blocco roccioso su di un substrato costituito da un terreno granulare. Questo modello, sviluppato a partire dal modello Nova-Montrasio (1991), definito per simulare la risposta meccanica di fondazioni superficiali sottoposte a carichi eccentrici ed inclinati, del quale mantiene la tipologia d’approccio, è basato su una serie di ipotesi semplificative, che lo rendono di semplice ed immediato utilizzo. Lo strumento numerico in oggetto è in grado di simulare con soddisfacente approssimazione impatti verticali ed inclinati su strati ammortizzanti con pendenza nulla o meno. Permette inoltre di determinare sia l’evoluzione delle variabili cinematiche relative al grave (spostamento, velocità ed accelerazione), sia l’entità delle forze scambiate tra il blocco roccioso ed il terreno durante l’impatto. Trattandosi di un modello d’interazione dinamico, non è al contrario in grado di descrivere in alcun modo la propagazione delle onde d’urto all’interno del mezzo deformabile. In questo Capitolo sarà allora descritto (i) il modello reologico, (ii) saranno discussi i parametri da introdurre all’interno del modello stesso, (iii) saranno mostrati alcuni confronti fra simulazioni numeriche e dati sperimentali ed infine, per rendere il tutto utile al progettista, (iv) saranno forniti degli abachi progettuali per stimare rapidamente le variabili senza utilizzare alcun programma di calcolo.

3.1 Descrizione sommaria del modello

Il modello BIMPAM interpreta il fenomeno dell’impatto di un grave come se le sollecitazioni che si scaricano sul terreno fossero trasmesse da una fondazione superficiale rigida di forma circolare. Obiettivo principale del modello è quello di stabilire un legame tra le variabili cinematiche che descrivono il moto del grave, i carichi sollecitanti il terreno e le deformazioni, parzialmente reversibili, subite da quest’ultimo. Per formulare questo legame, è necessario introdurre le seguenti ipotesi semplificative:

• la traiettoria del grave è piana, ossia i vettori che descrivono la velocità d’impatto e di rimbalzo del grave sono contenuti nello stesso piano;

• le rotazioni del grave vengono trascurate;

76

3 • il blocco in roccia ed il terreno costituiscono un unico macro-elemento caratterizzato da un

legame costitutivo elasto-visco-plastico accoppiato;

• l’espansione della superficie di snervamento è di tipo isotropo, governata da un coefficiente di incrudimento che evolve in funzione delle deformazioni plastiche subite dal terreno;

• il criterio di flusso è non associato, ossia gli incrementi di sollecitazione non sono normali alla funzione di plasticità f.

Come anticipato nell’introduzione del paragrafo, il modello citato è stato concepito per essere in grado di riprodurre sia impatti verticali su substrati inclinati che, viceversa, impatti obliqui su strati orizzontali. Per semplicità, però, qui di seguito sarà brevemente descritto unicamente il caso di impatti verticali su strati orizzontali che dà origine a problemi per loro natura monodimensionali. Nel seguito, per altro, questo sarà il solo caso preso in considerazione, da un punto di vista pratico, per la progettazione delle strutture: la condizione di monodimensionalità è stata infatti ipotizzata la più gravosa per la struttura. Il terreno, colpito da un grave di forma supposta sferica, è sollecitato, come precedentemente illustrato, da una fondazione superficiale “equivalente”, avente forma circolare ma dimensioni variabili nel tempo in funzione dell’affondamento (Figura 3.1), secondo la legge:

( )2 2B y R y= ⋅ ⋅ − [5]

dove con B si è indicato il diametro della fondazione rigida equivalente, con y l’affondamento verticale del grave all’interno del mezzo deformabile e con R il raggio della sfera.

Figura 3.1 : relazione tra il cedimento del grave e le dimensioni della fondazione circolare equivalente

Per semplificare la trattazione del problema, il sistema di riferimento adottato nello sviluppo del modello viene centrato nel punto di impatto all’istante di tempo 0+. Come schematizzato in Figura 3.2, il modello reologico, che per motivi unicamente didascalici viene qui descritto monodimensionale, è ipotizzato costituito da:

• una massa concentrata;

• un blocchetto ad attrito plastico;

RR-y

y

B

Simulazioni numeriche – modello BIMPAM

77

• un blocchetto ad attrito visco-plastico;

• uno smorzatore viscoso;

• una molla elastica.

Nel caso di impatti verticali su piani orizzontali, però, la presenza del blocco ad attrito plastico può essere trascurata in quanto esso tiene conto della possibilità, da parte del grave, di dare origine ad un meccanismo di rottura di puro scivolamento che, nel caso di impatto normale alla superficie, non può avere luogo. Dato lo schema rappresentato in Figura 3.2, di tipo prevalentemente in serie, l’inerzia ed il peso proprio del grave dovranno essere bilanciate dalla forza elastica agente nel terreno sommata a quella agente nel dissipatore viscoso. La molla elastica agisce in parallelo allo smorzatore viscoso, mentre il blocchetto d’attrito visco-plastico (in grado di tenere conto anche dell’inerzia del terreno coinvolto nel meccanismo di rottura che si sviluppa all’interno del mezzo deformabile), è posto in serie.

Figura 3.2 : struttura del modello reologico (versione 1D, da di Prisco et al., 2006)

L’incremento di spostamento sarà allora dato dalla somma degli spostamenti irreversibili visco-plastici (near field) e di quelli visco-elastici (far field), associati alla molla elastica e allo smorzatore viscoso.

3.1.1 Blocchetto visco-plastico

Ispirandosi alla teoria dell’elasto-visco-plasticità introdotta da Perzjna (1963), è possibile quantificare le deformazioni plastiche irreversibili, subite dal terreno, mediante la seguente legge di flusso:

( )2VP gy R fξ

∂= ⋅Φ ⋅∂

[6]

Mass

Elastic Spring (K)

Viscous Damper (C)

Visco - Plastic Slider

Plastic Slider

78

3 ove VPy è l’incremento di spostamento verticale visco-plastico, ξ è la forza verticale agente sul terreno durante l’impatto normalizzata rispetto a FMAX, che rappresenta la massima forza che staticamente può essere applicata alla pseudo-fondazione circolare, ipotizzando d’introdurre nelle tradizionali formule per la capacità portante un angolo d’attrito residuo φ’r. Questa ipotesi nasce dalla considerazione teorica che quando ha luogo l’impatto si generano, all’interno del terreno, grandi deformazioni e, a causa della rapidità dell’evento, non riesce a crearsi un meccanismo di rottura generalizzato con localizzazione del campo di deformazione. Il parametro Φ rappresenta il “nucleo viscoso”, f la funzione di plasticità, mentre g è la funzione che descrive il potenziale plastico. Il gradiente di quest’ultimo consente di definire la direzione degli incrementi di sollecitazione nel piano degli sforzi generalizzati, ed è quindi, in generale, una grandezza vettoriale. Per valutare pertanto l’incremento di spostamento verticale del grave associato al meccanismo di “punzonamento” visco-plastico, sarà necessario conoscere la funzione che definisce il nucleo viscoso e l’espressione di g. Nel caso monodimensionale (di Prisco e Vecchiotti, 2006) le espressioni di f e di ∂ ∂g/ ξ si semplificano drasticamente e diventano:

( )2

2C

Cf f , 1 0

βξξ ρ ξ ρ⎛ ⎞= = − ⋅ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

, [7]

( ) 2g βξξ ξ

∂ =∂

, [8]

essendo β un parametro costitutivo adimensionale e ρc una variabile di incrudimento. Il nucleo viscoso è definito nel modo seguente:

( ) ( ) ( )( )

( )

0.51 1

22

2

, 2 2 se d 0.0

, se - d 0.0

, 0.0 se d -

V V V

VV

d d c

cd d c

d

ξ ξ γ γ

ξ ξ

ξ

⎧ ⎡ ⎤Φ = ⋅ ⋅ +Δ + − Δ ≥⎣ ⎦⎪⎪ ⎡ ⎤⎪Φ = ⋅ ⋅ + Δ ≤ <⎨ ⎢ ⎥Δ⎣ ⎦⎪⎪Φ = < Δ⎪⎩

[9]

ove cV, Δ1, Δ2 e γv è sono quattro parametri costitutivi il significato dei quali è rappresentato graficamente in Figura 3.3, mentre la distanza d è definita come:

[ ]Cd ξ ρ= − . [10]

Per completare infine la descrizione della legge costitutiva del blocchetto ad attrito visco-plastico è necessario introdurre la legge di incrudimento per ρC :

( ) ( ) 01 VPC C

MAX

Ry y

Vρ ρ= − [11]

ove R0 è un parametro costitutivo del modello che influenza unicamente la rigidezza del sistema. È facile però mostrare che β, FMAX, R0 sono parametri costitutivi che dipendono dal comportamento statico del materiale che costituisce lo strato deformabile, opportunamente

Simulazioni numeriche – modello BIMPAM

79

valutabili mediante prove di carico su piastra. I parametri cV, Δ1, Δ2 possono invece essere assunti costanti e non dipendenti dalla tipologia di materiale che costituisce lo strato granulare ammortizzante. Conseguentemente, l’unico parametro caratterizzante la risposta meccanica del blocchetto ad attrito visco-plastico che necessita di un’adeguata calibrazione è γV [m/s], il quale dipende dalla densità relativa del materiale e dalla sua granulometria.

Figura 3.3 : definizione del nucleo viscoso (di Prisco et al., 2006)

3.1.2 Molla elastica

La legge costitutiva che traduce il comportamento della molla elastica in forma incrementale, può essere scritta nel modo seguente:

( )EL TOT VPF K y K y y= ⋅ = ⋅ − [12]

dove ELy e TOTy rappresentano rispettivamente l’incremento di spostamento verticale elastico e totale. La costante elastica K è stata valutata a partire dai parametri elastici del terreno nel modo seguente:

41G RK

υ⋅=

− [13]

ove G è il modulo elastico tangenziale del terreno, ν è il modulo di Poisson. Facendo riferimento alla teoria dell’elasticità, la rigidezza G è una funzione del modulo di Young E , infatti:

( )2 1EG

υ=

⋅ +. [14]

cv

Δ2

tangent to Φ(d)/ξ

for d = 0

Φ(d)/ξ curve

Φ(d)/ξ=d.γv/(Δ1)0.5+cv

Φ(d

)/ξ

Distance d

80

3 Per valutare il modulo elastico E rappresentativo del materiale che costituisce lo strato ammortizzante, si è scelto di utilizzare la formulazione proposta da Janbu (1963), secondo la quale la rigidezza locale del terreno dipende dalla pressione di confinamento 'σC , attraverso la relazione:

' n

Clocale ATM

ATM

E K ppσ⎛ ⎞

= ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

[15]

dove pATM è la pressione atmosferica di riferimento (il cui valore è stato assunto pari a 100 kPa), mentre K ed n sono due parametri che dipendono dalla natura del terreno. Il valore di E è valutato mediante l’integrazione lungo la profondità degli spostamenti verticali. In questo modo è possibile tener conto dell’incremento di rigidezza associato alle dimensioni dell’area di impatto.

3.1.3 Smorzatore viscoso

Per ciò che concerne l’elemento viscoso in parallelo alla molla elastica, si è ipotizzato un legame lineare, definito attraverso un coefficiente viscoso di proporzionalità, che nel seguito è definito CFF. Si può quindi scrivere:

( )N FF TOT VPF C y y= ⋅ − . [16]

Il calcolo dei coefficienti CFF in direzione normale al pendio viene eseguito sulla base delle relazioni proposte da Sieffert e Cevaer (1991):

FF NS

RC KV

η= ⋅ ⋅ . [17]

Nella [17], K rappresenta la rigidezza elastica definita nel paragrafo precedente e VS la velocità di propagazione delle onde elastiche di taglio nel terreno ( ρ= /SV G , con ρ densità del terreno); infine, ηN è il coefficiente viscoso in direzione normale (Sieffert e Cevaer, 1991):

0.85Nη = . [18]

3.1.4 Equazioni risolventi

Per scrivere le equazioni che governano il moto del grave in ogni istante dell’impatto, è necessario imporre l’equilibrio del macro-elemento in direzione normale allo strato. Facendo riferimento ai simboli definiti nei paragrafi precedenti ed essendo ag l’accelerazione di gravità, si ottiene così il sistema [19]. Il sistema di equazioni differenziali è accoppiato, in quanto il valore dell’incremento di spostamento visco-plastico è noto soltanto se è nota l’accelerazione nello stesso istante di tempo. La tecnica di risoluzione più speditiva è pertanto quella iterativa. Valutato il valore di VPy , introducendo nel legame costitutivo del blocchetto ad attrito visco-plastico il valore della forza calcolata all’istante precedente, si risolve così la prima delle [19], si

Simulazioni numeriche – modello BIMPAM

81

determina nuovamente il valore attuale dell’accelerazione del grave e si ricalcola VPy sino al raggiungimento della convergenza.

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

1 1

22

2

0

22

, 2 2 se d 0.0

, se - <d 0.0

, 0.0 se d -

VP FF VP g

VP

g gV C V V

MAX MAX

g gVC V

MAX MAX

my K y y C y y ma

y R d

my ma my mad c

F F

my ma my macd c

F F

d

βξ

ξ γ ρ γ

ξ ρ

ξ

⎧ + − + − − =⎪⎪

= Φ⎪⎪⎪ − ⎡ − ⎤⎛ ⎞⎪Φ = − + Δ + − Δ ≥⎢ ⎥⎜ ⎟⎨

⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎣ ⎦− ⎡ − ⎤⎛ ⎞

Φ = − + Δ <⎢ ⎥⎜ ⎟Δ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦Φ = < Δ⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

[19]

La struttura del codice di calcolo è allora schematizzata in Figura 3.4.

Figura 3.4 : diagramma di flusso del codice di calcolo (di Prisco et al., 2006)

INPUT PARAMETERS

Dependent

PARAMETER EVALUATION(Vmax, K, n, etc.)

VARIABLES (displacement and velocity vectors)AND SYSTEM COEFFICIENTS INITIALISATION

CHOICE OF THE MATHEMATICAL SYSTEMACCORDING TO THE PLASTIC SLIDER

ACTIVATION CONDITION

EVALUATION OF THE VISCOUS NUCLEUSby means of the acceleration value calculated at the previous time-step

MATHEMATICAL SYSTEM SOLUTIONand evaluation of the current acceleration

(calculation of u(t+Δt))

UPDATE of variables and system coefficients

MATHEMATICAL SYSTEM SOLUTIONand evaluation of the current acceleration

UPDATE of variables and system coefficients

Iterative solution

Tim

e ite

ratio

nsTim

e iterations

Viscoplastic penetrationmechanism

Slidingmechanism

GEOMETRICAL PARAMETERS

INITIAL CONDITIONSTIME-STEP Δt

82

3 3.2 Analisi parametrica

Come schematicamente riassunto in Tabella 3.1, relativamente ai dati da introdurre nel modello per effettuare le simulazioni numeriche, è innanzitutto necessario distinguere i dati geometrici relativi al blocco (raggio R), dai parametri costitutivi prefissati, dai dati da inserire nel codice di calcolo (input data), e dai veri e propri parametri costitutivi del modello (che dai primi dipendono). Per ciò che concerne i parametri prefissati, essi sono β per la definizione delle funzioni di plasticità f e del potenziale plastico g, cV, Δ1, Δ2 per la definizione del nucleo viscoso. Gli input data sono unicamente la densità relativa del terreno granulare, il suo peso per unità di volume, ed il più importante ovvero la costante visco-plastica γv. Ai parametri appena elencati deve essere naturalmente aggiunta la condizione iniziale relativa alla velocità del grave al momento dell’impatto. Qui di seguito sarà mostrato in che modo la risposta meccanica del modello dipenda dai parametri costitutivi. Nelle figure seguenti vengono mostrati i risultati relativi all’impatto di un blocco sferico in roccia di massa 100 kg e diametro pari 21 cm, in caduta verticale da un’altezza di 30 m su uno strato piano in sabbia densa; l’analisi è stata eseguita utilizzando i parametri in Tabella 3.1.

Tabella 3.1: calibrazione dei parametri del modello BIMPAM per una sabbia densa

Gli andamenti delle curve che si ottengono sono tipici di un fenomeno impulsivo: si riscontra infatti un picco negativo dell’accelerazione, legato alla forte diminuzione di velocità (nell’esempio considerato il grave si ferma, a partire da una velocità di circa 24 m/s, in pochi centesimi di secondo). È interessante notare, inoltre, la piccola variazione nella pendenza del ramo discendente delle curve (a) e (d). Si tratta di un aspetto legato alla formulazione scelta per il nucleo viscoso: l’espressione lineare adottata, mostrata in Figura 3.3, prevede infatti un cambiamento del coefficiente angolare della retta Φ=Φ(d) quando si verifica una variazione di segno del parametro d. Fra i parametri prima elencati un posto di rilievo è certamente rivestito dal parametro γV. Al variare del valore di quest’ultimo, la risposta può passare da completamente elastica a perfettamente plastica. Proprio per sottolineare questo aspetto in Figura 3.6 sono riportate le simulazioni numeriche ottenute introducendo i parametri costitutivi di Tabella 3.1, il medesimo volume della sfera (altezza di caduta pari a 10 m), ma variando il valore di γV.

Densità Relativa Dr (%) 90Parametri elastici K, n (-)

(Janbu, 1963)550, 0.40

Peso per unità di volume γ (kN/m3)

18 Parametro viscoso ηΝ (-) 0.85

Angolo di attrito residuo φ'r (°)

35 Modulo di Poisson ν (-) 0.3

Parametro del nucleo

viscoso γV (s-1)5.00

Parametri del nucleo viscoso cV, Δ1, Δ2 (-)

1, 1, 1

Parametri fissi o dipendenti

Parametri geotecnici standard per lo strato

Parametri costitutivi visco-plastici

Parametri in ingresso

Simulazioni numeriche – modello BIMPAM

83

Figura 3.5 : impatto in direzione verticale su terreno orizzontale: andamento temporale dell’accelerazione (a), della velocità (b) e del cedimento del grave (c), forza di impatto (d)

Figura 3.6 : confronto tra le risposte meccaniche ottenute riducendo (linea tratteggiata), ed incrementando (linea continua), il valore di γV: andamenti temporali dell’accelerazione verticale (a),

della velocità (b) e dello spostamento (c)

(a) (b)

(c) (d)

0 0.01 0.02 0.03 0.040.005 0.015 0.025 0.035

t (s)

0

-500

-1000

-1500

-2000

-2500

-250

-750

-1250

-1750

-2250a

cc

ele

razio

ne

(m

/s2)

m=100 kg - H=30 maccelerazione

0 0.01 0.02 0.03 0.040.005 0.015 0.025 0.035

t (s)

0

5

10

15

20

25

2.5

7.5

12.5

17.5

22.5

velo

cit

à (

m/s

)

m=100 kg - H=30 mvelocità

0 0.01 0.02 0.03 0.040.005 0.015 0.025 0.035

t (s)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.025

0.075

0.125

0.175

0.225

aff

on

da

me

nto

(m

)

m=100 kg - H=30 maffondamento

0 0.01 0.02 0.03 0.040.005 0.015 0.025 0.035

t (s)

0

50000

100000

150000

200000

250000

25000

75000

125000

175000

225000

forz

a d

'im

patt

o (

N)

m=100 kg - H=30 m

forza d'impatto

(a) (b) (c)

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1

tempo (s)

0

-1000

-2000

-3000

-4000

-500

-1500

-2500

-3500

ac

cele

razio

ne

vert

icale

(m

/s2)

γV=0.00 s-1

γV=4.32 s-1

γV=100.00 s-1

tempo (s)

-20

-10

0

10

20

-15

-5

5

15

velo

cit

à (

m/s

)

γV=0.00 s-1

γV=4.32 s-1

γV=100.00 s-1

0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1

tempo (s)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0.1

0.3

0.5

0.7

aff

on

da

me

nto

(m

)

γV=0.00 s-1

γV=4.32 s-1

γV=100.00 s-1

84

3 È possibile allora osservare che quando lo si riduce a sufficienza, la risposta del sistema diventa elastica, il valore della forza di impatto cresce enormemente, la forma della curva diventa pressoché simmetrica, la velocità di rimbalzo è praticamente uguale a quella di ingresso e lo spostamento irreversibile è nullo. Altrimenti, quando si fa crescere a sufficienza il valore di questo parametro, la risposta del sistema è governata da una relazione elastoplastica. Il valore della forza d’impatto massima (FMAX), è molto più piccola di quella dinamica, i tempi di durata dell’impatto crescono enormemente così come lo spostamento. È evidente allora dall’analisi della stessa figura, che la risposta elasto-visco-plastica è assolutamente intermedia fra le due. L’evoluzione dell’impatto dipende in primo luogo dalle caratteristiche del terreno che costituisce il substrato. In Figura 3.7 è rappresentato l’andamento, rispetto al tempo, delle variabili cinematiche relative all’impatto di un grave sferico di massa 100 kg, in caduta libera da un’altezza di 30 m, alternativamente su sabbia densa (Tabella 3.1) e sciolta (i valori dei parametri utilizzati per caratterizzare mediamente una sabbia sciolta sono riportati in Tabella 3.2. Si veda a questo proposito il §3.3). Quando il blocco roccioso impatta su un terreno granulare caratterizzato da un valore ridotto di densità relativa, si osserva un fenomeno di maggiore durata, ma caratterizzato da un valore di picco della decelerazione sensibilmente più piccolo (di conseguenza anche la forza scaricata sul terreno ha modulo più contenuto). La ragione di questo fatto è da ricercarsi nella natura del terreno: una sabbia sciolta ha una maggiore tendenza a riorganizzare la propria struttura, accumulando deformazioni irreversibili in misura rilevante. Il cedimento finale riscontrabile in Figura 3.7c è infatti molto più elevato.

Figura 3.7 : impatto di un grave di massa 100 kg da un’altezza di 30 m su sabbia sciolta e su sabbia densa. Andamento dell’accelerazione (a), della velocità (b) e dell’affondamento (c)

Un secondo fattore che può influenzare le caratteristiche dell’impatto è il valore dell’energia cinetica del grave al momento dell’impatto. In Figura 3.8 sono mostrate le curve relative a cinque diversi impatti che avvengono sulla medesima sabbia densa. È facile notare come tanto la durata del fenomeno, quanto il valore della decelerazione, siano influenzate dal suo contenuto energetico. Inoltre, quando la velocità d’impatto è piccola, come

(a) (b) (c)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10.01 0.03 0.05 0.07 0.09

t (s)

0

-500

-1000

-1500

-2000

-2500

-250

-750

-1250

-1750

-2250

a (

m/s

2)

m=100 kg - H=30 m

accelerazione

sabbia sciolta

sabbia densa

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10.01 0.03 0.05 0.07 0.09

t (s)

0

5

10

15

20

25

2.5

7.5

12.5

17.5

22.5

v (

m/s

)

m=100 kg - H=30 m

velocità

sabbia sciolta

sabbia densa

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10.01 0.03 0.05 0.07 0.09

t (s)

0

0.2

0.4

0.6

0.1

0.3

0.5

y (

m)

m=100 kg - H=30 m

affondamento

sabbia sciolta

sabbia densa

Simulazioni numeriche – modello BIMPAM

85

nel caso di altezza di caduta pari ad 1 m, può verificarsi un piccolo rimbalzo, causato dal recupero della componente elastica della deformazione subita dal terreno. La velocità di uscita, in questo caso, è comunque molto piccola ed insufficiente a far uscire il blocco dalla sua orma. La tendenza ad avere velocità di uscita non nulle per piccole altezze di caduta è coerente con quanto avviene nella realtà: l’andamento del valore del coefficiente di restituzione = /IN OUTe V V (Figura 3.8d) ottenuto numericamente è in linea con i dati sperimentali

che si possono reperire nella letteratura scientifica.

Figura 3.8 : variazione delle principali grandezze cinematiche in funzione dell’altezza di caduta. Accelerazione (a), velocità (b), affondamento (c) e coefficiente di restituzione (d)

(a) (b)

(c) (d)

0 0.01 0.02 0.03 0.040.005 0.015 0.025 0.035

t (s)

0

-500

-1000

-1500

-2000

-2500

-250

-750

-1250

-1750

-2250

a (

m/s

2)

SABBIA DENSA

accelerazione

H=30 m

H=1 m

H=5 m

H=10 m

H=20 m

0 0.01 0.02 0.03 0.040.005 0.015 0.025 0.035

t (s)

0

5

10

15

20

25

2.5

7.5

12.5

17.5

22.5

v (

m/s

)

SABBIA DENSA

velocità

H=30 m

H=1 m

H=5 m

H=10 m

H=20 m

0 0.01 0.02 0.03 0.040.005 0.015 0.025 0.035

t (s)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.025

0.075

0.125

0.175

0.225

y (

m)

SABBIA DENSA

affondamento

H=30 m

H=1 m

H=5 m

H=10 m

H=20 m

0 5 10 15 20 252.5 7.5 12.5 17.5 22.5

v0 (m/s)

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.005

0.015

0.025

0.035

e (

-)

SABBIA DENSA

coefficiente di restituzione

H=30 m

H=1 m

H=5 m

H=10 m

H=20 m

86

3 3.3 Calibrazione dei parametri costitutivi e validazione del modello

Questo paragrafo si articolerà in tre parti. Saranno infatti mostrate le simulazioni numeriche relative alle tre campagne sperimentali già descritte all’interno del Capitolo 1:

• prove in piccola scala di Losanna

• prove in grande scala di Milano

• prove in scala reale di Listolade

Prove in piccola scala di Losanna

La calibrazione del modello, relativamente al caso di sabbie dense, è stata effettuata in primis sui risultati sperimentali ottenuti da Labiouse presso il Laboratorio Geotecnico dell’EPFL già citati nel secondo Capitolo. In particolare l’unico parametro da calibrare era γV. Qui di seguito, sono riportate le simulazioni numeriche ottenute con i parametri riferiti ad una sabbia densa già riportati in Tabella 3.1. Sono mostrati gli andamenti di accelerazione, velocità e spostamento relativi alla caduta di una massa di 100 kg da un’altezza di caduta di 10 m (velocità di impatto: 14 m/s). Il terreno di sottofondo è granulare ed ottenuto dalla frantumazione di una roccia. Lo spessore dello strato ammortizzante è di 50 cm. In Figura 3.9 sono confrontati i dati sperimentali con le simulazioni numeriche: è evidente la capacità del modello di riprodurre in modo più che soddisfacente i dati sperimentali, sia per ciò che concerne l’andamento della decelerazione, della velocità che dello spostamento verticale.

Figura 3.9 : massa m=100 kg, caduta libera da H=10 m - Confronto tra dati sperimentali e simulazione numerica

Invece in Figura 3.10 sono confrontate in modo sintetico le curve proposte da Labiouse et al. (1994), interpolazioni dei risultati sperimentali, ed i risultati numerici ottenuti mediante BIMPAM. L’espressione suggerita dagli autori correla la forza di impatto alle variabili che descrivono il fenomeno, come mostrato nella seguente equazione:

(a) (b) (c)

0 0.02 0.04 0.060.01 0.03 0.05

tempo (s)

0

-400

-800

-1200

-200

-600

-1000

ac

cele

razio

ne

vert

icale

(m

/s2)

BIMPAM

Dati sperimentali

(Labiouse et al., 1994)

0 0.02 0.04 0.060.01 0.03 0.05

tempo (s)

-4

0

4

8

12

16

-2

2

6

10

14

ve

loc

ità v

ert

ica

le (

m/s

)

BIMPAM

Dati sperimentali

(Labiouse et al., 1994)

0 0.02 0.04 0.060.01 0.03 0.05

tempo (s)

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

0.02

0.06

0.1

0.14

0.18

aff

on

da

me

nto

(m

)

BIMPAM

Dati sperimentali

(Labiouse et al., 1994)

Simulazioni numeriche – modello BIMPAM

87

2 / 5 1/ 5 3 / 5 3 / 51.765MAX EF M R W H= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ [20]

dove FMAX [kN] è il valore massimo della forza di impatto, ME [kPa] la rigidezza del materiale ammortizzante stimata mediante una prova su piastra standard, R [m] e W [kN] sono rispettivamente il raggio ed il peso proprio del grave e H [m] è l’altezza di caduta. Il grafico mostra l’andamento delle forze di impatto in funzione dell’altezza di caduta del grave, ottenute per tre masse differenti (m=100, 500 e 1000 kg). È evidente che il modello è in grado di riprodurre in modo del tutto soddisfacente le sollecitazioni massime causate dall’impatto del grave al variare sia della massa m che dell’altezza di caduta H.

Figura 3.10 : forze d’impatto; confronto tra dati sperimentali e valori ottenuti numericamente

Prove in grande scala di Milano.

La particolarità delle prove sperimentali eseguite presso il Politecnico di Milano consiste sia nella presenza di sabbia sciolta nello strato più superficiale di spessore pari a circa 1 m, che nell’eterogeneità dello strato ammortizzante (poiché al di sotto dello strato di sabbia sciolta è presente uno strato di sabbia mediamente addensata di spessore all’incirca pari ad 1 m). Come già ampiamente osservato all’interno dei Capitoli 1 e 2, tale eterogeneità modifica sensibilmente la risposta meccanica in quanto appare in modo evidente un’onda riflessa all’interfaccia fra i due strati; inoltre, questa modifica sensibilmente l’andamento della curva che correla il valore della forza massima di impatto all’altezza di caduta. Infatti, quando l’altezza è incrementata, la presenza dello strato di sabbia densa posta in profondità influenza maggiormente il valore del picco della curva forza-tempo. Alla luce di queste osservazioni è interessante mostrare il confronto fra curve sperimentali e previsioni numeriche. Naturalmente il modello, che parte dall’ipotesi di omogeneità dello strato ammortizzante, non è assolutamente in grado di simulare nessuno dei due effetti appena riassunti; ciò nonostante, per valori di altezza di caduta inferiori ai 15 m, esso si mostra comunque in grado di simulare la risposta meccanica dello strato ammortizzante. In Tabella 3.2 sono riportati i parametri utilizzati per simulare i risultati sperimentali, mentre in Figura 3.11 e Figura 3.12 sono riportati alcuni confronti fra simulazioni numeriche e dati sperimentali.

0 4 8 122 6 10

altezza di caduta (m)

0

200

400

600

800

100

300

500

700

forz

a d

'im

patt

o m

as

sim

a (

kN

)

BIMPAM - m=100 kg

Labiouse et al. 1994 - m=100 kg

BIMPAM - m=500 kg

Labiouse et al. 1994 - m=500 kg

BIMPAM - m=1000 kg

Labiouse et al. 1994 - m=1000 kg

88

3 In particolare, in Figura 3.12 sono riportate: la curva rossa ottenuta numericamente mediante il modello BIMPAM, i punti blu rappresentanti i dati sperimentali e la linea tratteggiata nera ottenuta utilizzando la relazione empirica [20] suggerita da Labiouse. È evidente che i tre andamenti sono analoghi fino ad un’altezza di caduta intorno ai 15 m: risulta al contrario sottostimato l’ultimo punto sperimentale, relativo ad H=18 m, per le ragioni già descritte sia dal modello numerico che dalla relazione empirica.

Tabella 3.2 : calibrazione dei parametri del modello BIMPAM per una sabbia sciolta

Figura 3.11 : riproduzione della prova n.7 (H=10 m), mediante il modello BIMPAM; andamenti, in funzione del tempo, dell’accelerazione (a), della velocità (b) e dell’affondamento (c) del grave

Densità Relativa Dr (%) 30 Parametri elastici K, n (-) (Janbu, 1963) 300, 0.45

Peso per unità di volume γ (kN/m3)

15 Parametro viscoso ηN (-) 0.85

Angolo di attrito residuo φ'r (°)

30 Modulo di Poisson ν (-) 0.25

Parametri costitutivi visco-plastici

Parametro del nucleo viscoso γV (s-1)

4.5Parametri del nucleo viscoso

cV, Δ1, Δ2 (-)1, 1, 1

Parametri in ingresso Parametri fissi o dipendenti

Parametri geotecnici standard per lo strato

(a) (b)

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1

tempo (s)

0

-100

-200

-300

-50

-150

-250

ac

ce

lera

zio

ne

(m

/s2)

Numerico

Sperimentale

Prova 7 (Bovisa)

accelerazione

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1

tempo (s)

0

4

8

12

16

2

6

10

14

ve

loc

ità

(m

/s)

Numerico

Sperimentale

Prova 7 (Bovisa)

velocità

(c)

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1

tempo (s)

0

0.2

0.4

0.6

0.1

0.3

0.5

aff

on

da

me

nto

(s

)

Numerico

Sperimentale

Prova 7 (Bovisa)

affondamento

Simulazioni numeriche – modello BIMPAM

89

Figura 3.12 : andamento della massima forza di impatto in funzione dell’altezza di caduta

Prove in scala reale di Listolade.

Per ciò che concerne le prove sperimentali di Listolade, esse riguardano uno strato molto addensato: il valore del parametro ME, ottenuto mediante prove su piastra standard e pari a 186.56 MPa, è superiore a quello relativo allo strato ammortizzante utilizzato a Losanna. Conseguentemente, sono stati leggermente modificati i parametri costitutivi (Tabella 3.3). L’interesse di questi dati consiste principalmente nelle elevate altezze di caduta che ci hanno permesso di considerare casi pressoché reali. Qui nel seguito sono riportati a scopo esemplificativo alcuni confronti tra dati sperimentali e relative simulazioni numeriche.

Tabella 3.3 : parametri del modello BIMPAM per le simulazioni degli impatti di Listolade

0 4 8 12 16 202 6 10 14 18

H (m)

0

100

200

300

400

500

50

150

250

350

450

FM

AX (

kN

)

numerico

Labiouse et al. (1994)

sperimentale

γ (kN/m3) 20ν (-) 0.25

Dr (%) 100φ'r (°) 36.5

K, n (-) 1000, 0.4γV (s-1) 5

cV, Δ1, Δ2 (-) 1, 3, 1

Parametri BIMPAM Simulazioni delle prove di Listolade

90

3

Figura 3.13 : andamenti sperimentali (linea continua) e simulazioni numeriche (linea tratteggiata) dell’accelerazione (a), della velocità (b) e dell’affondamento del grave (c), per la Prova 2 (H=4.9 m)

Figura 3.14 : andamenti sperimentali (linea continua) e simulazioni numeriche (linea tratteggiata) dell’accelerazione (a), della velocità (b) e dell’affondamento del grave (c), per la Prova 6 (H=38.6 m)

Figura 3.15 : andamenti sperimentali (linea continua) e simulazioni numeriche (linea tratteggiata) dell’accelerazione (a), della velocità (b) e dell’affondamento del grave (c), per la Prova 13 (H=42.3 m)

(a) (b) (c)

0 0.02 0.04 0.060.01 0.03 0.05

t (s)

0

-20

-40

-60

-80

-10

-30

-50

-70

a (

g)

numerico

sperimentale

PROVA 2 (Listolade)

accelerazione

0 0.02 0.04 0.060.01 0.03 0.05

t (s)

0

4

8

-2

2

6

10

v (

m/s

)

numerico

sperimentale

PROVA 2 (Listolade)

velocità

0 0.02 0.04 0.060.01 0.03 0.05

t (s)

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.02

0.06

0.1

0.14

y (

m)

numerico

sperimentale

PROVA 2 (Listolade)

affondamento

(a) (b) (c)

0 0.02 0.04 0.060.01 0.03 0.05

t (s)

0

-40

-80

-120

-160

-200

-20

-60

-100

-140

-180

a (

g)

numerico

sperimentale

PROVA 6 (Listolade)

accelerazione

0 0.02 0.04 0.060.01 0.03 0.05

t (s)

0

10

20

30

-5

5

15

25

v (

m/s

)

numerico

sperimentale

PROVA 6 (Listolade)

velocità

0 0.02 0.04 0.060.01 0.03 0.05

t (s)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.05

0.15

0.25

0.35

y (

m)

numerico

sperimentale

PROVA 6 (Listolade)

affondamento

(a) (b) (c)

0 0.02 0.04 0.060.01 0.03 0.05

t (s)

0

-50

-100

-150

-200

-250

-25

-75

-125

-175

-225

a (

g)

numerico

sperimentale

PROVA 13 (Listolade)

accelerazione

0 0.02 0.04 0.060.01 0.03 0.05

t (s)

0

10

20

30

-5

5

15

25

v (

m/s

)

numerico

sperimentale

PROVA 13 (Listolade)

velocità

0 0.02 0.04 0.060.01 0.03 0.05

t (s)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.05

0.15

0.25

0.35

y (

m)

numerico

sperimentale

PROVA 13 (Listolade)

affondamento

Simulazioni numeriche – modello BIMPAM

91

3.4 Creazione di abachi a scopo progettuale

In questo paragrafo sarà introdotta una metodologia speditiva per generare artificialmente l’andamento nel tempo delle forze d’impatto agenti sullo strato ammortizzante una volta nota la sua densità, l’altezza di caduta e la massa del grave. Questo approccio è basato sull’elaborazione di abachi creati numericamente mediante l’utilizzo del modello BIMPAM. A tal fine è necessario, innanzitutto, stabilire se il problema dell'impatto di un blocco in roccia si presti ad essere standardizzato. In Figura 3.16 sono mostrati, facendo riferimento ad uno strato ammortizzante in condizioni dense, gli andamenti della forza di impatto in funzione del tempo, al variare dell'altezza di caduta e della massa del grave.

Figura 3.16 : andamento della forza di impatto in funzione del tempo, per uno strato ammortizzante in condizioni dense, al variare dell'altezza di caduta (a) e della massa del grave (b).

La curva si modifica in funzione dei parametri in gioco; in particolare, al crescere dell'altezza di caduta e della massa del grave, si registrano incrementi del massimo carico e della durata dell'impatto. Tuttavia appare evidente, almeno da un punto di vista qualitativo, che la forma di tale curva rimane inalterata. Sulla base di tale osservazione, in Figura 3.17 è proposta una possibile schematizzazione dell'andamento della forza d’impatto in funzione del tempo, mediante una formulazione molto simile a quella utilizzata per la descrizione dello spettro di risposta elastico (Decreto del Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti, 2005). La formulazione matematica [21] della sollecitazione “sintetica” mostrata, suddivide la curva carico-tempo in quattro rami:

• un primo ramo lineare, fino al raggiungimento del carico massimo;

• un tratto costante, pari al carico massimo;

• un tratto di forma iperbolica;

• un ultimo tratto lineare. Le equazioni che descrivono tale andamento sono:

(a) (b)

0 0.01 0.02 0.030.005 0.015 0.025

tempo (s)

0

100

200

300

400

500

50

150

250

350

450

forz

a d

'im

patt

o (

kN

)

massa del grave = 100 kg

H=50 m

H=25 m

H=10 m

H=5 m

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10.01 0.03 0.05 0.07 0.09

tempo (s)

0

2000

4000

6000

8000

10000

1000

3000

5000

7000

9000

forz

a d

'im

pa

tto

(k

N)

altezza di caduta=50 m

m=100 kg

m=1000 kg

m=10000 kg

92

3 1

1 2

22 3

2 43 4

3 4 3

se 0 t<T

se T T

se T T

se T T

MAX

MAX

MAX

MAX

FF t

TF F t

TF F t

t

T T tF F t

T T T

α

α

⎧ = ≤⎪⎪⎪ = ≤ <⎪⎪

⎛ ⎞⎨ = ⋅ ≤ <⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−

= ⋅ ⋅ ≤ <⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

[21]

e prevedono l'introduzione di sei parametri: quattro istanti temporali che delimitano i diversi segmenti della curva, T1, T2, T3, T4; il valore della massima forza di impatto FMAX; l'esponente dell'iperbole α, che determina la forma del ramo di scarico.

Figura 3.17 : schematizzazione della curva che descrive la forza di impatto in funzione del tempo

Allo scopo di determinare il campo di variazione di tali parametri sono stati simulati diversi tipi d’impatto, al variare del raggio del blocco in roccia (R=0.21-0.36-0.45-0.78-0.98 m) e dell'altezza di caduta (H=5-10-25-50-75-100 m). In tutte le analisi il vettore della velocità in ingresso è stato considerato normale allo strato ammortizzante; quest'ultimo è costituito da sabbia densa (parametri calibrati sulle prove di Listolade) ed è perfettamente orizzontale. Come noto, per un dato materiale il valore della massima forza d’impatto dipende principalmente dall'energia cinetica al momento dell'urto (Labiouse et al., 1994; Calvetti et al., 2005). In Figura 3.18 sono mostrati dei grafici che consentono, nota l'energia cinetica del grave all'impatto e il suo raggio, di determinare la massima forza d’impatto FMAX. I risultati ottenuti dalle simulazioni numeriche mediante BIMPAM sono rappresentati nell'immagine dai punti, interpolati dalla linea tratteggiata riportata nelle figure seguenti, la cui espressione risulta:

00

n

MAXEF FE

⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠ [22]

ove E0=98.1 kJ, mentre F0 ed n sono indicati in legenda all’interno di ciascuna figura.

T1 T2 T4T3

FMAX

forza d'impatto

tempo

Simulazioni numeriche – modello BIMPAM

93

Figura 3.18 : andamento di FMAX in funzione dell'energia di impatto normalizzata, del raggio del grave e con riferimento ad un impatto con energia E0=98.1 kJ ((a) R=0.21 m; (b) R=0.36 m; (c) R=0.45 m; (d)

R=0.78 m; (e) R=0.98 m)

(a)

(b) (c)

(d) (e)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.1 0.3 0.5 0.7 0.9

E/E0 (-)

0

200

400

600

800

100

300

500

700

FM

AX (

kN

)raggio del grave = 0.21 m

BIMPAM

n = 0.6165

F0 = 689.22 kN

0 1 2 3 4 50.5 1.5 2.5 3.5 4.5

E/E0 (-)

0

400

800

1200

1600

2000

200

600

1000

1400

1800

FM

AX (

kN

)

raggio del grave = 0.36 m

BIMPAM

n = 0.5851

F0 = 729.08 kN

0 2 4 6 8 101 3 5 7 9

E/E0 (-)

0

1000

2000

3000

500

1500

2500

FM

AX (

kN

)

raggio del grave = 0.45 m

BIMPAM

n = 0.5676

F0 = 773.01 kN

0 10 20 30 40 505 15 25 35 45

E/E0 (-)

0

2000

4000

6000

8000

10000

1000

3000

5000

7000

9000

FM

AX (

kN

)

raggio del grave = 0.78 m

BIMPAM

n = 0.5179

F0 = 1079.11 kN

0 20 40 60 80 10010 30 50 70 90

E/E0 (-)

0

4000

8000

12000

16000

2000

6000

10000

14000

FM

AX (

kN

)

raggio del grave = 0.98 m

BIMPAM

n = 0.4961

F0 = 1312.59 kN

94

3 Rielaborando quindi i risultati di Figura 3.18 a-b-c-d-e, è possibile riportare schematicamente (Figura 3.19) gli andamenti di F0 ed n in funzione del raggio del grave.

Figura 3.19 : andamento dell’esponente n (a) e del coefficiente F0 (b) in funzione del raggio del grave, con riferimento ai grafici di Figura 3.18

In Figura 3.20 sono raccolti gli abachi che forniscono i valori dei parametri T1, T2, T3, T4: esaminando la disposizione dei punti nei grafici è possibile comprendere l’influenza, sulla curva F=F(t), dei parametri che caratterizzano l’impatto. Si osserva infatti che:

• i valori dei parametri T1 e T2 crescono all'aumentare del raggio del grave, ma decrescono con l'altezza di caduta. Ciò significa che, a parità di terreno, la pendenza del ramo iniziale della curva F=F(t) aumenta con l'altezza di caduta, ma decresce con l'aumentare del raggio;

• i valori dei parametri T3 e T4 crescono all'aumentare sia del raggio del grave, che dell'altezza di caduta. Ciò significa che la durata del fenomeno aumenta al crescere dell'energia in gioco.

Figura3.20: abachi contenenti i valori dei parametri T1, T2, T3, e T4, in funzione del raggio del grave (a, c, e, f) e dell’altezza di caduta (b, d, g, h)

(a) (b)

0.2 0.4 0.6 0.8 10.3 0.5 0.7 0.9

R (m)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0.1

0.3

0.5

0.7

n (

-)

0.2 0.4 0.6 0.8 10.3 0.5 0.7 0.9

R (m)

0

400

800

1200

1600

200

600

1000

1400

F0 (

kN

)

(a) (b)

0 20 40 60 80 10010 30 50 70 90

H (m)

0

0.004

0.008

0.012

0.016

0.002

0.006

0.01

0.014

T1 (

s)

Tempo T1

0.21 m

0.36 m

0.45 m

0.78 m

0.98 m

0.2 0.4 0.6 0.8 10.3 0.5 0.7 0.9

R (m)

0

0.004

0.008

0.012

0.016

0.002

0.006

0.01

0.014

T1 (

s)

Tempo T1

5 m

10 m

25 m

50 m

75 m

100 m

Simulazioni numeriche – modello BIMPAM

95

Figura 3.20 : abachi contenenti i valori dei parametri T1, T2, T3, e T4, in funzione del raggio del grave (a, c, e, f) e dell’altezza di caduta (b, d, g, h)

Infine, il grafico di Figura 3.21 raccoglie i valori del parametro α, esponente del ramo iperbolico della funzione sintetica F=F(t). Esso varia unicamente in funzione del raggio del grave, con un andamento decrescente.

(c) (d)

0 20 40 60 80 10010 30 50 70 90

H (m)

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.0025

0.0075

0.0125

0.0175

0.0225

0.0275

T2 (

s)

Tempo T2

0.21 m

0.36 m

0.45 m

0.78 m

0.98 m

0.2 0.4 0.6 0.8 10.3 0.5 0.7 0.9

R (m)

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.0025

0.0075

0.0125

0.0175

0.0225

0.0275

T2 (

s)

Tempo T2

5 m

10 m

25 m

50 m

75 m

100 m

(e) (f)

(g) (h)

0 20 40 60 80 10010 30 50 70 90

H (m)

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.01

0.03

0.05

0.07

0.09

T3 (

s)

Tempo T3

0.21 m

0.36 m

0.45 m

0.78 m

0.98 m

0.2 0.4 0.6 0.8 10.3 0.5 0.7 0.9

R (m)

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.01

0.03

0.05

0.07

0.09

T3 (

s)

Tempo T3

5 m

10 m

25 m

50 m

75 m

100 m

0 20 40 60 80 10010 30 50 70 90

H (m)

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.01

0.03

0.05

0.07

0.09

T4 (

s)

Tempo T4

0.21 m

0.36 m

0.45 m

0.78 m

0.98 m

0.2 0.4 0.6 0.8 10.3 0.5 0.7 0.9

R (m)

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.01

0.03

0.05

0.07

0.09

T4 (

s)

Tempo T4

5 m

10 m

25 m

50 m

75 m

100 m

96

3

Figura 3.21 : andamento del parametro α in funzione del raggio del blocco in roccia

È utile per il progettista disporre anche di un grafico che fornisca una previsione della massima penetrazione del blocco nello strato ammortizzante, allo scopo di dimensionarne lo spessore. Il grafico riportato in Figura 3.22 risponde a questa esigenza.

Figura 3.22 : penetrazione massima del blocco nello strato ammortizzante (al variare del raggio del blocco)

L'efficienza della schematizzazione adottata è stata verificata sovrapponendo alle simulazioni eseguite con il codice BIMPAM le curve sintetiche ottenute per mezzo degli abachi proposti, prendendo in considerazione diverse masse ed altezze di caduta: in tutti i casi il livello di approssimazione è indubbiamente sufficiente. Si rimanda a tal proposito alla Figura F1 ed alla Figura F2, riportate nell’Appendice F, ove sono sovrapposte le simulazioni numeriche ottenute con BIMPAM e quelle sintetiche elaborate mediante l’utilizzo degli abachi appena introdotti per due casi ritenuti rappresentativi.

0.2 0.4 0.6 0.8 10.3 0.5 0.7 0.9

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0.25

0.75

1.25

1.75

2.25

α (

-)

0 0.4 0.8 1.2 1.60.2 0.6 1 1.4

affondamento massimo (m)

100

80

60

40

20

0

90

70

50

30

10

alt

ezza d

i cad

uta

(m

)

0 1 m

6 m

0 5 m

8 m

0 98 m

R=

R=

R= .

.2

R= .30

4.

0R= .7

Simulazioni numeriche – modello BIMPAM

97

Elenco dei simboli

a accelerazione del grave ag accelerazione di gravità B diametro della fondazione rigida equivalente

CFF coefficiente viscoso di proporzionalità cV parametro costitutivo d distanza

DR densità relativa E energia cinetica del grave E modulo di Young E0 energia cinetica di riferimento e coefficiente di restituzione

eEN rapporto tra energia cinetica in uscita ed ingresso eN coefficiente di restituzione in direzione normale al pendio eT coefficiente di restituzione in direzione tangenziale al pendio F forza d’impatto F0 parametro

FMAX massima forza applicabile staticamente ad una pseudo-fondazione circolare - massima forza d’impatto

f funzione di plasticità G modulo elastico tangenziale del terreno g potenziale plastico H altezza di caduta K costante elastica

ME rigidezza del materiale ammortizzante m massa del grave n parametro n parametro elastico

pATM pressione atmosferica di riferimento R raggio della sfera R0 parametro costitutivo T1 parametro dell’input sintetico T2 parametro dell’input sintetico T3 parametro dell’input sintetico T4 parametro dell’input sintetico t tempo

VIN velocità in ingresso VOUT velocità in ingresso VS velocità di propagazione delle onde elastiche di taglio nel terreno v velocità del grave v0 velocità del grave all’istante dell’impatto W peso proprio del grave y affondamento verticale del grave all’interno del mezzo deformabile

ELy incremento di spostamento verticale elastico

98

3 TOTy

incremento di spostamento verticale totale VPy incremento di spostamento verticale visco-plastico β parametro costitutivo Δ1 parametro costitutivo Δ2 parametro costitutivo Φ nucleo viscoso α parametro dell’input sintetico φ’r angolo d’attrito residuo

γ peso per unità di volume γv parametro costitutivo ηN coefficiente viscoso in direzione normale ν modulo di Poisson θ angolo di inclinazione della traiettoria rispetto al piano verticale ρ densità del terreno ρc variabile di incrudimento σ’C pressione di confinamento ω angolo d’inclinazione del substrato ammortizzante rispetto al piano orizzontale ξ forza verticale agente sul terreno durante l’impatto normalizzata rispetto a FMAX

Simulazioni numeriche – modello BIMPAM

99

Appendice E IMPATTI SU STRATI INCLINATI

Come evidenziato nel Capitolo introduttivo di questo testo, in generale gli impatti di nostro interesse, ovvero “di progetto”, non sono perfettamente verticali e non avvengono su di uno strato perfettamente orizzontale. Può essere allora interessante indagare quale sia l’effetto dell’obliquità dello strato e della velocità di impatto del blocco, sull’andamento della forza trasmessa dal grave allo strato deformabile. In quest’ottica sono stati descritti nel Capitolo 1 alcuni risultati sperimentali relativi alle prove di impatto in piccola scala effettuate recentemente presso l’Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne (Heidenreich, 2004) ed alle prove in scala reale realizzate presso il Politecnico di Milano (Calvetti et al., 2005). In entrambi i casi è facile evincere che, nel caso di traiettorie d’impatto verticali su substrati inclinati, il valore della forza massima non varia sensibilmente in funzione dell’inclinazione dello strato. Al massimo si osserva una riduzione della forza del 10-20%. Questo risultato è principalmente influenzato dalla modesta inclinazione massima dello strato che non può, in ogni caso, essere caratterizzato da pendenze superiori all’angolo d’attrito interno del terreno. Molto differente sarebbe la risposta meccanica di pendii artificiali molto acclivi realizzati utilizzando geosintetici, benché attualmente questa tipologia di intervento non sia utilizzata. Infine ancora differente è il caso di urti obliqui su strati orizzontali. In questo caso le forze d’impatto si possono ridurre sensibilmente, ma, nella maggior parte dei casi, le gallerie artificiali sono poste sotto una parete rocciosa sub-verticale e la velocità d’impatto difficilmente può essere ipotizzata inclinata. Per fornire al progettista una sensibilità quantitativa relativamente ai parametri geometrici appena citati (inclinazione dello strato ed inclinazione della velocità di impatto), nel seguito saranno mostrati i risultati numerici ottenuti utilizzando la versione completa del modello, che in questo testo si è giudicato non opportuno presentare ma che è comunque a disposizione dell’Ufficio Tecnico della Società Veneto Strade. In Figura E1 e in Figura E2 sono mostrati i dati relativi rispettivamente al caso di impatti obliqui su strato orizzontale e d’impatti verticali su strati inclinati, in termini di traiettoria seguita dal grave nel terreno (a), di coefficiente di restituzione (b), e di accelerazione in direzione verticale ed orizzontale (c), calcolato sia come rapporto tra velocità in uscita ed in ingresso nelle direzioni normale e tangenziale al pendio (eN, eT) che come rapporto tra energia cinetica in uscita ed ingresso (eEN). È stato considerato un grave di massa 100 kg, in caduta libera verticale da un’altezza di 10 m che urta un substrato composto da sabbia densa ed inclinato di un angolo ω (inferiore all’angolo di attrito interno, supposto pari a 40°). È interessante notare come, a prescindere dalla velocità di uscita, la componente verticale della decelerazione diminuisca del 25% circa in corrispondenza di un substrato inclinato di 30°. Inclinazioni più piccole non producono invece variazioni apprezzabili dal punto di vista ingegneristico.

100

3

Figura E1 : simulazione di impatti inclinati di un grave di 100 kg su terreno orizzontale; traiettoria del grave nel piano x-y (a), coefficiente di restituzione (b) e accelerazione del grave in direzione verticale

ed orizzontale (c)

(a) (b)

0 0.04 0.08 0.12 0.160.02 0.06 0.1 0.14

spostamento orizzontale (m)

0.16

0.12

0.08

0.04

0

0.14

0.1

0.06

0.02

sp

os

tam

en

to v

ert

ica

le (

m)

θ=0°

θ=2°

θ=5°

θ=10°

θ=15°

θ=20°

θ=25°

θ=30°Inclinazione θ

della traiettoria

0 10 20 305 15 25 35

inclinazione della traiettoria (°)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.05

0.15

0.25

0.35

0.45

eN

eT

eEN

co

eff

icie

nte

di

res

titu

zio

ne (

-)

(c)

tempo (s)

-250

-200

-150

-100

-50

0

-225

-175

-125

-75

-25

ac

ce

lera

zio

ne

ori

zzo

nta

le (

m/s

2)

-400

-800

-1200

-200

-600

-1000

ac

cele

razio

ne

ve

rtic

ale

(m

/s2)

θ=0°

θ=2°

θ=5°

θ=10°

θ=15°

θ=20

θ= 5°

θ=30°

0.06

°

2

Inclinazione θ

della traiettoria

Simulazioni numeriche – modello BIMPAM

101

Figura E2 : simulazione di impatti verticali di un grave di 100 kg su pendio: traiettoria del grave nel piano x-y (a), coefficiente di restituzione (b) e accelerazione del grave in direzione verticale ed

orizzontale (c-d)

Come atteso, al crescere dell’inclinazione della velocità di impatto, si accompagnano una diminuzione delle componenti dell’accelerazione del grave, oltre ad un percorso di carico con una forma sempre più inclinata e vicina al limite fisico dello scivolamento del blocco sul terreno.

(a) (b)

(c) (d)

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20.02 0.06 0.1 0.14 0.18

spostamento orizzontale (m)

0.2

0.16

0.12

0.08

0.04

0

0.18

0.14

0.1

0.06

0.02

sp

os

tam

en

to v

ert

ica

le (

m)

ω=0°

ω=2°

ω=5°

ω=10°

ω=15°

ω=20°

ω=25°

ω=30°Inclinazione ω

del pendio

0 10 20 305 15 25 35

inclinazione del pendio (°)

0

0.2

0.4

0.6

0.1

0.3

0.5

0.7

eN

eT

eEN

co

eff

icie

nte

di

res

titu

zio

ne (

-)

0 0.02 0.04 0.060.01 0.03 0.05

tempo (s)

0

100

200

300

400

500

50

150

250

350

450

ac

cele

razio

ne

ori

zzo

nta

le (

m/s

2)

ω=0°

ω=2°

ω=5°

ω=10°

ω=15°

ω=20°

ω=25°

ω=30°

Inclinazione ω

del pendio

0 0.02 0.04 0.00.01 0.03 0.05

tempo (s)

0

-400

-800

-1200

-200

-600

-1000

ac

cele

razio

ne

vert

icale

(m

/s2)

ω=0°

ω=2°

ω=5°

ω=10°

ω=15°

ω=20°

ω=25°

ω=30°

Inclinazione ω

del pendio

102

3 Appendice F CONFRONTO TRA SIMULAZIONI NUMERICHE OTTENUTE MEDIANTE IL CODICE BIMPAM E LE CURVE SINTETICHE

Figura F1 : confronto tra simulazioni numeriche eseguite mediante modello BIMPAM e curve sintetiche (raggio R=0.45 m)

00

.02

0.0

40

.06

0.0

10.0

30.0

5

tem

po

(s

)

0

20

0

40

0

60

0 100

300

500

forza d'impatto (kN)

00

.02

0.0

40

.06

0.0

10.0

30.0

5

tem

po

(s

)

0

20

0

40

0

60

0

80

0 100

300

500

700

forza d'impatto (kN)

00

.02

0.0

40

.06

0.0

10

.03

0.0

5

tem

po

(s

)

0

40

0

80

0

12

00 20

0

60

0

1000

1400

forza d'impatto (kN)

00

.02

0.0

40

.06

0.0

10.0

30.0

5

tem

po

(s

)

0

40

0

80

0

12

00

16

00

20

00 200

600

1000

1400

1800

forza d'impatto (kN)

00

.02

0.0

40

.06

0.0

10.0

30.0

5

tem

po

(s

)

0

50

0

10

00

15

00

20

00

25

00 250

750

1250

1750

2250

forza d'impatto (kN)

00

.02

0.0

40

.06

0.0

10.0

30.0

5

tem

po

(s

)

0

10

00

20

00

30

00 500

1500

2500

forza d'impatto (kN)

H=

50

m

H=

5 m

H=

10

mH

=2

5 m

H=

75

mH

=1

00

m

Simulazioni numeriche – modello BIMPAM

103

Figura F2 : confronto tra simulazioni numeriche eseguite mediante modello BIMPAM e curve sintetiche (raggio R=0.98 m)

00

.02

0.0

40

.06

0.0

80

.10.0

10.0

30.0

50.0

70.0

9

tem

po

(s

)

0

10

00

20

00

30

00 500

1500

2500

3500

forza d'impatto (kN)

00

.02

0.0

40

.06

0.0

80

.10.0

10.0

30.0

50.0

70.0

9

tem

po

(s

)

0

10

00

20

00

30

00

40

00 500

1500

2500

3500

4500

forza d'impatto (kN)

00

.02

0.0

40

.06

0.0

80

.10.0

10.0

30.0

50.0

70.0

9

tem

po

(s

)

0

20

00

40

00

60

00

1000

3000

5000

7000

forza d'impatto (kN)

00

.02

0.0

40

.06

0.0

80

.10.0

10.0

30.0

50.0

70.0

9

tem

po

(s

)

0

20

00

40

00

60

00

80

00

10

00

0

1000

3000

5000

7000

9000

forza d'impatto (kN)

00

.02

0.0

40

.06

0.0

80

.10.0

10.0

30.0

50.0

70.0

9

tem

po

(s

)

0

40

00

80

00

12

00

0

2000

6000

10000

forza d'impatto (kN)

00

.02

0.0

40

.06

0.0

80

.10.0

10.0

30.0

50.0

70.0

9

tem

po

(s

)

0

40

00

80

00

12

00

0

2000

6000

10000

14000

forza d'impatto (kN)

H=

5 m

H=

10

mH

=2

5 m

H=

75

mH

=1

00

mH

=5

0 m

Capitolo quarto

Analisi numerica della propagazione dello sforzo

nello strato ammortizzante

Analisi numerica della propagazione dello sforzo

107

4 ANALISI NUMERICA DELLA PROPAGAZIONE DELLO SFORZO NELLO STRATO AMMORTIZZANTE

Scopo principale di questo Capitolo è l’analisi della propagazione dell’onda di sforzo localmente generata dall’impatto del blocco sullo strato ammortizzante. Questo problema sarà affrontato da un punto di vista numerico ipotizzando, per semplicità, che l’urto avvenga su di uno strato di spessore limitato molto esteso lateralmente posto su una base infinitamente rigida. L’approccio numerico descritto nel seguito si basa sull’ipotesi che lo strato sia di spessore tale da poter considerare disaccoppiata la risposta locale, cioè l’andamento della forza di impatto, dalla presenza del contorno inferiore. Abbiamo per altro già mostrato sperimentalmente che, grazie allo spessore dello strato ammortizzante ed alla sua modesta rigidezza elastica, prima che l’onda di sforzo abbia raggiunto la superficie d’interfaccia terreno-struttura, la forza d’impatto registrata in superficie ha generalmente raggiunto il valore di picco. Grazie all’esecuzione di numerose analisi numeriche effettuate con due codici di calcolo, l’uno alle Differenze Finite commercialmente noto con il nome FLAC2D (Itasca, 2002) e l’altro agli elementi spettrali SEM noto con il nome di GeoELSE (Stupazzini et al., 2005), sarà tracciato un approccio ingegneristico semplificato in grado di permetterci di definire le azioni sollecitanti la galleria artificiale causate dall’impatto del grave sullo strato ammortizzante. Scopo essenziale del lavoro riassunto all’interno di questo Capitolo è quindi quello di definire una metodologia semplificata, ma attendibile, per trasformare il segnale d’ingresso (andamento temporale della forza di impatto), in segnale di uscita all’interfaccia terreno-struttura leggibile come campana di sforzo normale (per lo più verticale), funzione delle coordinate spazio-temporali. Nei paragrafi seguenti il problema verrà analizzato numericamente mediante il programma di calcolo FLAC2D, largamente diffuso in ambito professionale (per un’introduzione teorica riguardo il metodo delle differenze finite utilizzato dal software si rimanda al manuale utente). Le prove sperimentali eseguite a Milano e già ampliamente illustrate all’interno del Capitolo 1 di questo testo, saranno simulate in modo da calibrare i parametri dei modelli costitutivi che descrivono il comportamento del terreno, seguendo un percorso concettuale che prevede l'introduzione di modelli via via più sofisticati per il terreno. Sarà mostrato che, a patto di utilizzare modelli costitutivi adatti per il terreno, si è in grado di simulare in modo soddisfacente i risultati sperimentali e quindi di riprodurre il fenomeno di propagazione dell’onda all’interno del terreno. Si mostrerà altresì in modo evidente che:

• l’aspetto dinamico è essenziale nella comprensione del fenomeno e di conseguenza il contenuto in frequenza dell’input è determinante nella valutazione della sollecitazione da applicare alla struttura;

• per valutare il picco dell’onda di sforzo è sufficiente adottare per il terreno un modello costitutivo elastico;

• la durata dell’impulso da applicare sulla struttura può essere valutata soltanto con un modello visco-plastico; tuttavia, in pratica, può essere correlata empiricamente con la durata dell’impulso registrato in superficie.

4

108

I risultati numerici ottenuti, che saranno presentati nei §4.1 e §4.2, unitamente alle indicazioni proposte all’interno del Capitolo 3, rendono possibile la generazione, per un impatto generico, della sollecitazione progettuale da applicare alla struttura.

4.1 Simulazione numerica delle prove sperimentali mediante il software FLAC2D

In questo paragrafo ci si riferisce in particolare alle prove sperimentali eseguite presso il Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale del Politecnico di Milano, già descritte all’interno del Capitolo 1 di questo testo. Come anticipato nell’introduzione, non verrà qui di seguito simulato un vero problema di interazione dinamica (impatto) fra un blocco sferico rigido ed un substrato deformabile costituito da un materiale fortemente dissipativo, quanto piuttosto unicamente un problema di trasmissione/amplificazione dell’onda di sforzo all’interno del terreno. A questo scopo l’input sarà imposto come noto in superficie, sia che esso sia descritto attraverso l’imposizione di una condizione al contorno di Dirichlet (controllo dello spostamento di una parte della frontiera, definita proprio dall’interfaccia blocco-terreno) o di Neumann (controllo dello sforzo sulla medesima frontiera). Entrambe le strade sono percorribili perché, conoscendo lo spostamento del blocco impattante nell’intervallo di tempo durante il quale ha luogo l’impatto stesso, è possibile valutare sia l’area di impatto, sia la velocità di spostamento dei punti appartenenti a quest’ultima. Nel caso si ipotizzi che lo sforzo si distribuisca uniformemente sulla superficie di contatto, saranno definiti anche gli sforzi agenti. Naturalmente quest’ultima ipotesi è opinabile e quindi sarebbe più corretto imporre gli spostamenti poiché la distribuzione di sforzo è, altrimenti, a priori incognita. Data la geometria del problema, sono state svolte analisi numeriche assialsimmetriche. Si è imposto, per semplicità, che il contorno inferiore della vasca sia perfettamente incastrato (impediti cioè sia gli spostamenti in direzione orizzontale che verticale), mentre sul contorno laterale sono stati collocati dei carrelli (impediti cioè unicamente gli spostamenti orizzontali). Non sono stati inoltre introdotti smorzatori in grado di tener conto della propagazione delle onde all’interno del terreno circostante. Dato il valore dell’energia in gioco e dato che il fenomeno è localmente fortemente dissipativo, questa ipotesi può essere considerata ragionevole.

Figura 4.1 : strato ammortizzante stratificato

A causa dell’eterogeneità dello strato indotta dalla procedura sperimentale adottata (v. Appendice B, Capitolo 1), per simulare la reale stratigrafia del sistema, è stato necessario

ρ2 ; c2

ρ1 ; c1

h1

h2

Analisi numerica della propagazione dello sforzo

109

ipotizzare la presenza di due strati con caratteristiche geotecniche differenti (Figura 4.1). Tutto lo strato è stato supposto secco: si è cioè stimata ininfluente, ai nostri fini, l’eventuale parziale saturazione del materiale. La schematizzazione spaziale adottata per studiare numericamente il problema è riportata in Figura 4.2. La vasca ha pianta circolare di diametro D=10.7 m, riempita fino ad un livello di 2 m.

Figura 4.2 : mesh utilizzata per l'esecuzione delle analisi numeriche

La mesh (Figura 4.2) utilizzata nelle simulazioni numeriche di seguito discusse è il risultato di un’analisi numerica di sensitività. In particolare, le dimensioni della mesh sono tali da essere più fitta e regolare nella zona interessata dall'impatto, più larga invece verso il bordo del dominio. Analisi numeriche svolte con discretizzazioni più fitte hanno fornito risultati numerici con differenze del tutto trascurabili. Come già anticipato, si è deciso di utilizzare tre leggi costitutive differenti:

• elastica-isotropa;

• elasto-plastica perfetta con criterio di rottura alla Mohr Coulomb e legge di flusso non associata;

• elasto-visco-plastica perfetta con legge di flusso non-associata.

In tutti e tre i casi le caratteristiche elastiche dei due strati sono state ricavate mediante back analyses semplificate a partire dall’interpretazione critica dei dati sperimentali. In particolare, è stato imposto in ogni caso, e per entrambi gli strati, un valore di ν (modulo di Poisson) pari a 0.25 e due valori di E medi (modulo di Young), pari, rispettivamente, a 134.5 MPa per lo strato più profondo costituito di sabbia densa, e 4.2 MPa per lo strato più superficiale costituito di sabbia sciolta. Gli spessori dello strato più profondo e dello strato più superficiale sono stati assunti rispettivamente pari a 1.22 m e 0.78 m. Una descrizione dell’approccio utilizzato per la definizione della stratigrafia e della definizione dei parametri elastici è riassunta nell’Appendice G “Definizione della stratigrafia”. L'input dell'analisi in FLAC2D è rappresentato dalla storia di carico derivante dalle prove sperimentali o prodotta sinteticamente tramite il codice BIMPAM.

h = 2m

L = 5.35m

Boulder radius

R = 0.45m

4

110

In tale senso possono essere considerate due modalità di carico:

• applicazione dello sforzo di contatto tra masso e terreno;

• applicazione della velocità di affondamento del grave.

Per valutare lo sforzo che si genera all'interfaccia tra masso e terreno, si è ipotizzato che esso sia uniforme su tutta la superficie di contatto, e cioè che valga la seguente relazione:

( ) ( )( )F t

tA t

σ = [23]

dove F(t) ed A(t) sono rispettivamente la forza d’impatto e l’area della sezione sulla quale lo sforzo è applicato (Figura 4.3).

Figura 4.3: area di applicazione del carico A(t) (a) e metodologia di carico introdotta in FLAC2D (b)

Il termine A(t) della [23] può essere calcolato come:

( ) ( ) ( ) ( )2 2A t a t y t R y tπ π= ⋅ = ⋅ ⋅ −⎡ ⎤⎣ ⎦ [24]

essendo R il raggio del blocco in roccia, y(t) il suo affondamento al generico istante t ed a il raggio dell’orma di carico. Questo significa che, al crescere della penetrazione, lo sforzo viene distribuito in un’area via via crescente.

4.1.1 Analisi numeriche elastiche

Eseguendo analisi puramente elastiche non è realistico imporre il vero campo di spostamenti del grave, in quanto il valore reale di penetrazione nello strato ammortizzante è legato essenzialmente alle deformazioni irreversibili che si generano in prossimità della zona di impatto all’interno del mezzo granulare. È quindi opportuno eseguire l'analisi numerica imponendo il valore dello sforzo di contatto calcolato secondo le equazioni [23] e [24]. I risultati ottenuti simulando la prova n.7 (Capitolo 1) sono confrontati, in Figura 4.4, con le letture sperimentali delle celle di carico. Questi dati sono relativi alla variazione dello sforzo verticale registrato sul fondo della vasca al di sotto del punto di impatto.

(a) (b)

a

Analisi numerica della propagazione dello sforzo

111

Figura 4.4 : simulazione della prova n.7 (H=10 m)

Come evidente dall’analisi della Figura 4.4, la risposta numerica è fortemente oscillante e, nel complesso, mal approssima la risposta globale del sistema. Numericamente le onde elastiche continuano a propagarsi nel mezzo, producendo un caotico gioco di riflessioni a causa dell’assenza di dissipatori sul contorno del dominio. Ciò nonostante è importante osservare che il valore del primo picco di sforzo calcolato numericamente si avvicina molto a quello sperimentale. Nella medesima figura viene mostrato anche il valore dell'incremento di sforzo che si otterrebbe seguendo un approccio statico, ossia imponendo il valore del massimo sforzo di contatto su una fondazione circolare equivalente di raggio R(t) ed utilizzando un approccio (linea orizzontale tratteggiata), alla Boussinesq (Poulos e Davis, 1974). Come si può notare la differenza è notevole, e mostra l'importanza di effettuare un'analisi dinamica, senza la quale non è possibile cogliere il comportamento del continuo sollecitato in maniera impulsiva. Il tempo di arrivo del segnale è colto in modo estremamente soddisfacente, a conferma della correttezza della stima dei valori del modulo di rigidezza.

Figura 4.5 : (a) simulazione della prova n.8 (H=13.7 m); (b) simulazione della prova n.9 (H=18.45 m)

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1 0.14

-100

0

100

200

-50

50

150

sfo

rzo

vert

icale

(kP

a)

tempo (s)

Prova n.7

sperimentale

simulazione numerica

soluzione statica

(a) (b)

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1 0.14

-100

0

100

200

300

-50

50

150

250

sfo

rzo

ve

rtic

ale

(k

Pa

)

tempo (s)

Prova n.8

sperimentale

simulazione numerica

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1 0.14

-200

-100

0

100

200

300

400

-150

-50

50

150

250

350

sfo

rzo

ve

rtic

ale

(k

Pa

)

tempo (s)

Prova n.9

sperimentale

simulazione numerica

4

112

Le medesime conclusioni possono essere tratte osservando le simulazioni dei risultati di altre due prove, la n.8 e la n.9, mostrate in Figura 4.5a e Figura 4.5b (altezza di caduta pari rispettivamente a 13.7 e 18.45 m). Per quanto concerne la distribuzione spaziale degli sforzi sul fondo della vasca si rimanda al §4.1.4. Come già osservato, l’analisi statica assialsimmetrica avrebbe portato, nel caso illustrato in Figura 4.4, noto lo sforzo applicato in superficie e nota l’orma di carico, ad un valore di sforzo alla base pari a 48.6 kPa. E quindi possibile affermare che, per passare dallo sforzo medio applicato in superficie a quello massimo registrato in profondità, è possibile moltiplicare il primo per il prodotto di due coefficienti:

• uno geometrico legato alla diffusione spaziale degli sforzi che può essere anche valutato staticamente;

• uno dinamico che mette in gioco le inerzie del sistema.

Il primo dei due coefficienti è naturalmente inferiore all’unità e dipende essenzialmente dallo spessore dello strato; il secondo è invece maggiore di uno e dipende, al contrario del primo, come mostrato nel seguito, dalla rigidezza del mezzo e dalla sua massa. Per confermare questo risultato sono state effettuate le stesse analisi numeriche mediante un codice di calcolo agli elementi spettrali (SEM) (Stupazzini et al., 2005). Oltre che riconfermare i risultati ottenuti con FLAC2D, si è indagata la dipendenza della risposta elastica dello strato al variare di alcuni parametri geometrici, meccanici ed in funzione della sollecitazione applicata. Queste analisi numeriche sono state effettuate anche su strati omogenei e sono un utile riferimento per la definizione dell'onda dinamica indotta dall’impatto. Essi saranno riassunti all’interno del §4.2.

4.1.2 Analisi elasto-plastiche

Il comportamento elasto-plastico del terreno è stato in questo caso simulato mediante il criterio di rottura di Mohr-Coulomb, utilizzando i seguenti parametri costitutivi:

.

Tabella 4.1 : parametri costitutivi caratterizzanti il comportamento a rottura del terreno

Il valore dell'angolo di dilatanza utilizzato consente di cogliere il fenomeno del punzonamento osservato nel corso della campagna di prove sperimentali. Il set di parametri mostrato in Tabella 4.1 è stato utilizzato per caratterizzare entrambi gli strati di terreno: il risultato ottenuto, infatti, non risente in maniera evidente del valore dell'angolo di attrito dello strato più profondo, che si comporta in maniera praticamente elasticaIl continuo è stato caricato imponendo la velocità di spostamento del grave: in Figura 4.6 sono mostrati, a scopo di confronto, i risultati numerici, ottenuti imponendo le due differenti modalità di carico (§4.1: controllo dello spostamento-Modalità A; controllo della velocità-Modalità B), con quelli sperimentali relativi alla prova n.7.

Parametro Valore

Angolo di attrito φ' (°) 30

Angolo di dilatanza ψ (°) 2

Analisi numerica della propagazione dello sforzo

113

Figura 4.6 : simulazione della prova n.7 (H=10 m). Andamento dello sforzo verticale registrato sulla sezione di contatto blocco-terreno (a), dello sforzo medio di contatto (modalità B) (b) e della velocità in

direzione verticale del punto di impatto (modalità A) (c)

Osservando l'andamento dell’incremento di sforzo verticale nel tempo sulla piastra, si può notare come le curve siano molto simili fino a t=0.025 s, istante nel quale la soluzione numerica presenta un’importante fase di scarico (fenomeno osservato anche nel paragrafo precedente). Successivamente si nota un nuovo picco, legato prevalentemente alla comparsa di fenomeni di riflessione. Infine, il valore di sforzo tende ad annullarsi in anticipo rispetto alla realtà sperimentale. In conclusione, si può osservare che:

• le forti oscillazioni indicano che il sistema non è in grado di dissipare la corretta quantità di energia;

• il fenomeno si esaurisce in tempi troppo rapidi. Le medesime conclusioni possono essere tratte osservando le simulazioni delle prove n.8 e 9, mostrate in Figura 4.7a e in Figura 4.7b. In questo caso sono riportate solamente due curve in quanto le simulazioni numeriche sono state effettuate unicamente imponendo gli spostamenti

(a) (b)

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1 0.14

-100

-50

0

50

100

150

200

-75

-25

25

75

125

175s

forz

o v

ert

ica

le (

kP

a)

tempo (s)

Prova n.7

sperimentale

sim. num. (input-velocità)

sim. num. (input-sforzo)

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1

0

400

800

1200

-200

200

600

1000

sfo

rzo

ve

rtic

ale

me

dio

(k

Pa

)

tempo (s)

Prova n.7

sperimentale

sim. num. (input-velocità)

(c)

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1

0

4

8

12

16

2

6

10

14

ve

loc

ità

ve

rtic

ale

(m

/s)

tempo (s)

sperimentale

sim. num. (input-sforzo)

Prova n.7

4

114

verticali sul contorno superficiale. Per quanto concerne la distribuzione spaziale degli sforzi sul fondo della vasca si rimanda al paragrafo successivo.

Figura 4.7 : (a) simulazione della prova n.8 (H=13.7 m); (b) simulazione della prova n.9 (H=18.45 m)

4.1.3 Analisi elasto-visco-plastiche

Per migliorare la qualità dei risultati numerici e tenuto conto della rapidità dei carichi, si è deciso di utilizzare un modello elasto-visco-plastico alla Perzjna (1963). Nel programma di calcolo FLAC sono disponibili diversi modelli di tipo viscoso, ma purtroppo adatti unicamente alla simulazione di fenomeni di creep. È stato quindi necessario modificare il legame costitutivo utilizzato finora (Mohr-Coulomb), facendo ricorso al linguaggio di programmazione interno a FLAC (FISH, si veda il Riquadro seguente).

LEGGE DI FLUSSO VISCO-PLASTICA Secondo l’approccio alla Perzjna (1963), il tensore incremento di deformazione visco-plastico può essere definito mediante la seguente legge di flusso:

S Svpij

ij ij

g g(f ) f' '

ε γ γσ σ∂ ∂= Φ =

∂ ∂ [25]

ove il tensore incremento di deformazione dipende rispettivamente da una funzione Φ, denominata nucleo viscoso e da un parametro costitutivo γ [s-1] dipendente dal tipo di terreno. Per semplicità il nucleo viscoso è assunto dipendere linearmente dalla funzione di plasticità/snervamento fS. La simbologia Sf sta ad indicare che l’incremento di deformazione plastica è diversa da zero unicamente se fS è positivo. Questo significa che per γ→∞ si ricade nel caso elastoplastico standard, altrimenti la risposta deformativa risulta ritardata nel tempo e il materiale è in grado di sopportare localmente sforzi superiori a quelli applicabili staticamente. Come nel caso elasto-plastico, l'input dell'analisi in FLAC2D è rappresentato dalla storia di carico derivante dalle prove sperimentali o prodotta sinteticamente tramite il codice BIMPAM, applicato mediante la storia di spostamento imposta sul contorno. Osservando le curve riportate in Figura 4.8a, si può notare come la simulazione della prova n.7 sia nettamente migliorata in seguito

(a) (b)

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1 0.14

-100

0

100

200

300

-50

50

150

250

sfo

rzo

ve

rtic

ale

(k

Pa

)

tempo (s)

sperimentale

simulazione numerica

Prova n.8

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1 0.14

-100

0

100

200

300

-50

50

150

250

sfo

rzo

ve

rtic

ale

(k

Pa

)

tempo (s)

sperimentale

simulazione numerica

Prova n.9

Analisi numerica della propagazione dello sforzo

115

alla modifica del legame costitutivo. La curva numerica, ottenuta utilizzando un coefficiente γ=0.000056 s-1, mostra un valore di picco ed un contenuto in frequenza coerenti con quelli sperimentali.

Figura 4.8: (a) simulazione della prova n.7 (H=10 m); (b) simulazione della prova n.8 (H=13.7 m)

Le medesime conclusioni possono essere tratte simulando le prove n.8 e 9 (Figura 4.8b e Figura 4.9).

Figura 4.9 : simulazione della prova n.9 (H=18.45 m)

4.1.4 Distribuzione degli sforzi nello strato ammortizzante

Fino ad ora l'attenzione è stata focalizzata sulle letture effettuate al centro della vasca, in corrispondenza del punto di impatto. Tuttavia, di grande importanza è anche la definizione dell’incremento di sforzo negli altri punti della piastra di base. Facendo riferimento alla prova n. 7, in Figura 4.10a-b i dati sperimentali sono confrontati con le relative simulazioni numeriche

(a) (b)

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1 0.14

-100

0

100

200

300

-50

50

150

250

sfo

rzo

vert

icale

(kP

a)

tempo (s)

sperimentale

simulazione numerica

Prova n.7

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1 0.14

-100

0

100

200

300

-50

50

150

250

sfo

rzo

ve

rtic

ale

(k

Pa

)tempo (s)

sperimentale

simulazione numerica

Prova n.8

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1 0.14

-100

0

100

200

300

-50

50

150

250

sfo

rzo

vert

icale

(kP

a)

sperimentale

simulazione numerica

tempo (s)

Prova n.9

4

116

(effettuate con il modello costitutivo elasto-visco-plastico), al variare della distanza dal centro della vasca (Figura 4.10c).

Figura 4.10 : prova n.7 (H=10 m); (a) simulazione numerica, (b) dati sperimentali e (c) schematizzazione della vasca

Se si considera la distribuzione dei valori massimi dello sforzo verticale al variare della posizione, è possibile concludere che, già utilizzando un approccio di tipo elastico (Figura 4.11a), la soluzione numerica può essere considerata soddisfacente. In Figura 4.11 viene mostrata, a questo proposito, la distribuzione spaziale dello sforzo verticale sperimentale, confrontata con quella ottenuta numericamente secondo un approccio sia dinamico che statico. La distribuzione statica si riferisce alla soluzione elastica alla Boussinesq. Si noti, ancora una volta, l'effetto di amplificazione dinamica. Anche in questo caso, l'utilizzo di modelli costitutivi sempre più complessi consente di ottenere simulazioni numeriche sempre più aderenti alla realtà (Figura 4.12a e Figura 4.13a). In Figura 4.11b, Figura 4.12b e Figura 4.13b, sono mostrati i medesimi confronti ma con riferimento allo sforzo verticale normalizzato rispetto al valore massimo.

(b)

(c)

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1 0.14

00

0

00

00

-50

50

150

250

r = 0.00 cm

r = 50.00 cm

r = 100.00 cm

Prova n.7 - simulazione numerica

tempo (s)0 0.04 0.08 0.12

0.02 0.06 0.1 0.14

-100

0

100

200

-50

50

150

250

r = 0.00 cm

r = 50.00 cm

r

=

100.00

cm

sfo

rzo

ve

rtic

ale

(k

Pa

)

tempo (s)

Prova n.7 - dati sperimentali

Analisi numerica della propagazione dello sforzo

117

Figura 4.11 : prova n.7: distribuzione radiale del valore massimo dello sforzo verticale, ottenuta mediante un'analisi numerica elastica (a), e andamenti adimensionalizzati (b)

Figura 4.12 : prova n.7: distribuzione radiale del valore massimo dello sforzo verticale, ottenuta mediante un'analisi numerica elasto-plastica (a), e andamenti adimensionalizzati (b)

Figura 4.13 : prova n.7: distribuzione radiale del valore massimo dello sforzo verticale, ottenuta mediante un'analisi numerica elasto-visco-plastica (a), e andamenti adimensionalizzati (b)

(a) (b)

0 100 200 300 40050 150 250 350

0

40

80

120

160

200

20

60

100

140

180

sfo

rzo

vert

icale

(kP

a)

distanza radiale (cm)

sperimentale

Prova n.7

simulazione numerica dinamica

simulazione numerica statica

0 100 200 300 40050 150 250 350

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.1

0.3

0.5

0.7

0.9

sfo

rzo

vert

icale

ad

imen

sio

nalizzato

(-)

distanza radiale (cm)

sperimentale

Prova n.7

simulazione numerica dinamica

simulazione numerica statica

(a) (b)

0 100 200 300 40050 150 250 350

0

40

80

120

160

200

20

60

100

140

180

sfo

rzo

vert

icale

(kP

a)

distanza radiale (cm)

sperimentale

Prova n.7

simulazione numerica dinamica

simulazione numerica statica

0 100 200 300 40050 150 250 350

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.1

0.3

0.5

0.7

0.9

sfo

rzo

vert

icale

ad

imen

sio

nalizzato

(-)

distanza radiale (cm)

sperimentale

Prova n.7

simulazione numerica dinamica

simulazione numerica statica

(a) (b)

0 100 200 300 40050 150 250 350

0

40

80

120

160

200

20

60

100

140

180

sfo

rzo

ve

rtic

ale

(k

Pa

)

distanza radiale (cm)

sperimentale

Prova n.7

simulazione numerica dinamica

simulazione numerica statica

0 100 200 300 40050 150 250 350

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.1

0.3

0.5

0.7

0.9

sfo

rzo

ve

rtic

ale

ad

ime

ns

ion

alizza

to (

-)

distanza radiale (cm)

sperimentale

Prova n.7

simulazione numerica dinamica

simulazione numerica statica

4

118

Lo stesso risultato si ottiene nel caso delle prove 8 e 9. Le curve che meglio approssimano i dati sperimentali, per ciò che concerne la diffusione spaziale del carico, sono infatti relative ai casi visco-plastico e alla soluzione analitica elastica.

4.1.5 Analisi elasto-visco-plastica eseguita con l'input del modello BIMPAM

Allo scopo di verificare la possibilità di semplificare il più possibile l'approccio al problema, in questo paragrafo sono confrontati i risultati numerici ottenuti fornendo come input dell'analisi di propagazione l’andamento della velocità di spostamento generata per il medesimo impatto tramite il codice di calcolo BIMPAM, con quelli ottenuti introducendo come input le registrazioni sperimentali del blocco. Le curve così ottenute sono confrontate con i dati registrati sperimentalmente sulla piastra di base. In Figura 4.14 è mostrato l'input utilizzato, riferito alla prova n.7; in 4.15 è presentato l’andamento temporale dello sforzo verticale.

Figura 4.14 : input sintetico ottenuto mediante il codice BIMPAM (prova n.7) Figura

4.15 : confronto dei risultati ottenuti con FLAC con i dati sperimentali (prova n.7)

4.2 Analisi parametriche in campo elastico

A partire da quanto osservato nei precedenti paragrafi di questo Capitolo, è possibile allora affermare quanto segue:

• nella valutazione della sollecitazione sulla piastra di base, è pressoché indifferente utilizzare l’input numerico di BIMPAM o le registrazioni sperimentali;

• il valore dell’incremento massimo di sforzo sotto il punto d’impatto sulla piastra di base può essere valutato mediante un’analisi dinamica elastica;

• la distribuzione spaziale dei massimi incrementi di sforzo registrati sulla piastra di base è ben approssimato dalla soluzione analitica elastica;

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1

tempo (s)

-4

0

4

8

12

16

-2

2

6

10

14

velo

cit

à v

ert

icale

(m

/s)

sperimentale

simulazione BIMPAM

Prova n.7

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

-100

0

100

200

300

-50

50

150

250s

forz

o v

ert

ica

le (

kP

a)

sperimentale

simul. num. input reale

simul. num. input BIMPAM

Prova n.7

Analisi numerica della propagazione dello sforzo

119

• dall’osservazione dei dati sperimentali già commentati all’interno del Capitolo 1, mediamente, il periodo di applicazione dello sforzo registrato sulla piastra di base è strettamente legato all’input imposto in superficie, ed in particolare non si introduce un errore eccessivo se si ipotizza che questi due intervalli di tempo tendenzialmente possano essere ipotizzati della medesima durata.

A partire da queste semplici osservazioni è allora possibile valutare l’onda di sforzo sulla piastra di base a partire da un input numerico valutato mediante BIMPAM, imposto sulla superficie libera del terreno, ed utilizzare un programma numerico dinamico all’interno del quale è introdotta una legge costitutiva elastica. Seguendo questo approccio semplificato si è allora deciso di effettuare delle analisi parametriche in campo elastico utilizzando un codice di calcolo agli elementi spettrali (SEM) noto con il nome di GeoELSE (v. Appendice H). Si è considerato uno strato omogeneo di spessore pari a 2 m: la modalità di applicazione del carico in superficie è la medesima descritta per FLAC2D, mentre i parametri relativi al terreno ipotizzato denso e le caratteristiche elastiche isotrope ed omogenee sono riassunte in Tabella 4.2.

Tabella 4.2 : parametri del terreno utilizzate per le analisi con GeoELSE

In particolare densità e modulo elastico sono stati imposti pari a quelli valutati sperimentalmente durante la campagna di prove di Listolade; il valore di rigidezza E è stato ottenuto a partire dai dati relativi alla velocità di propagazione dell’onda all’interno dello strato. Sono stati variati i dati di ingresso, ovvero altezza di caduta e massa del grave. I risultati ottenuti si riferiscono al massimo valore di sforzo verticale registrato sulla piastra di base nei vari casi (Figura 4.16).

Figura 4.16 : sforzo massimo numerico sulla base della piastra (h=2 m)

Densità relativa

Modulo di Poisson

Modulo elastico Densità

Unità di Misura DR [%] ν [-] [MPa] ρ [kg/m3]

Valore 100 0.25 161 2000

E

0 40 80 12020 60 100

altezza di caduta (m)

0

500

1000

1500

2000

2500

250

750

1250

1750

2250R=0.45 m

R=0.75 m

massim

o s

forz

o a

lla b

ase (

kP

a)

4

120

Più interessante è però mostrare gli andamenti relativi alle medesime analisi numeriche ottenuti normalizzando rispetto allo sforzo massimo applicato in superficie (σS

MAX). Si ottiene così un fattore di amplificazione fa:

SMAX

a BMAX

f σσ

= [26]

Dividendo fa per un fattore geometrico fg valutato staticamente come riportato qui di seguito (Poulos e Davis,1974), si ricava il fattore di amplificazione dinamico fd:

ad

g

ff

f= [27]

( )

3 / 2

2

111 /

gfa z

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟+⎝ ⎠

[28]

dove a è il raggio dell’orma di carico, mentre z è la distanza in direzione verticale fra zona caricata in superficie e base dello strato (nel nostro caso pari allo spessore h=2 m). Questo approccio permette empiricamente di disaccoppiare la diffusione geometrica dall’amplificazione dinamica dell’onda di pressione. Il fattore geometrico sarà però valutato mediante la [5] (Capitolo 3) che qui di seguito riportiamo:

( ) ( ) ( )( )2a t y t R y t= ⋅ − [29]

ove con y(t) ed R sono rispettivamente indicati affondamento e raggio del grave, ipotizzato sferico. Il fattore fg varierà allora nel tempo e di conseguenza dovrà essere valutato per un istante temporale corrispondente al momento in cui si registra il valore massimo in superficie. Si osservi che tale istante temporale non coincide con quello corrispondente al valore massimo della forza di contatto, in quanto anche l’orma di carico varia nel tempo.

Figura 4.17 : fattore geometrico (a), fattore di amplificazione (b) e fattore di amplificazione dinamico c) (h=2 m)

(a) (b) (c)

0 40 80 12020 60 100

altezza di caduta (m)

0

0.04

0.08

0.12

0.02

0.06

0.1

fatt

ore

geo

me

tric

o f

g (

-)

R=0.45 m

R=0.75 m

0 40 80 12020 60 100

altezza di caduta (m)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.05

0.15

0.25

0.35

fatt

ore

di

am

pli

fic

azio

ne

fa (

-)

R=0.45 m

R=0.75 m

0 40 80 12020 60 100

altezza di caduta (m)

0

1

2

3

4

0.5

1.5

2.5

3.5

fatt

ore

di a

mp

lifi

ca

zio

ne

din

am

ico

fd (

-)

R=0.45 m

R=0.75 m

Analisi numerica della propagazione dello sforzo

121

Il risultato certamente più interessante di questa analisi è che, a patto di depurare il fattore di amplificazione dal fenomeno di diffusione tridimensionale degli sforzi, per stratigrafie omogenee, fissati i parametri elastici che ne caratterizzano il comportamento meccanico medio, il fattore dinamico di amplificazione degli sforzi non varia sensibilmente in funzione dell’altezza di caduta, né della massa del grave. Effettuare un’analisi parametrica mantenendo costante lo spessore dello strato (pari a 2 m) e facendo variare la rigidezza elastica ci ha inoltre permesso di osservare, come atteso (Figura 4.18), un andamento asintotico per valori di E via via crescenti. Il fattore di amplificazione dinamico, per rigidezze crescenti, tende ad un valore pari circa a due, dovuto alla riflessione dell’onda sul contorno rigido.

Figura 4.18 : variazione del fattore di amplificazione dinamico in funzione della rigidezza elastica dello strato (a) ed in scala semi-logaritmica (b)

Figura 4.19 : sforzo massimo calcolato numericamente sulla base della piastra (spessore variabile)

(a) (b)

0 2000 4000 6000 8000 100001000 3000 5000 7000 9000

modulo elastico (MPa)

0

1

2

3

4

5

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

fatt

ore

di

am

pli

fic

azio

ne

din

am

ico

fd (

-)

R=0.725 m; H=100 m

10 100 1000 10000modulo elastico (MPa)

0

1

2

3

4

5

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

fatt

ore

di

am

pli

fic

azio

ne

din

am

ico

fd (

-)

R=0.725 m; H=100 m

0 1 2 30.5 1.5 2.5 3.5

spessore dello strato (m)

0

400

800

1200

1600

2000

200

600

1000

1400

1800

R=0.45 m-H=50 m

R=0.45 m-H=100 m

ma

ss

imo

sfo

rzo

all

a b

as

e (

kP

a)

4

122

Sempre con riferimento ai parametri di Tabella 4.2, si mostrano, qui nel seguito, gli andamenti dello sforzo massimo alla base della piastra e dei parametri fg, fa ed fd, al variare dello spessore h dello strato ammortizzante, per un grave di raggio 0.45 m che impatta rispettivamente da un’altezza di 50 m e 100 m.

Figura 4.20 : (a) fattore geometrico, (b) fattore di amplificazione e (c) fattore di amplificazione dinamico (spessore variabile)

4.3 Elaborazione dell’output in forma sintetica

Come ricordato all’interno del §4.2, per elaborare un output sintetico che possa essere utilizzato per studiare la risposta dinamica della struttura, è necessario definire un andamento spazio-temporale dell’onda di sforzo che va a sollecitare l’estradosso della struttura di protezione. A tal fine è necessario conoscere: (a) il valore massimo dello sforzo agente all’estradosso sotto il punto d’impatto (punto A in Figura 4.21), σ(A)

MAX; (b) la distribuzione spaziale, in funzione cioè della distanza radiale dal punto A, del massimo valore degli sforzi agenti sull’estradosso, σMAX(ri); (c) l’andamento temporale degli sforzi agenti all’intradosso, espresso tramite il parametro adimensionale σ(t,ri)/σMAX(ri).

Figura 4.21 : schematizzazione geometrica

(a) (b) (c)

0 1 2 30.5 1.5 2.5 3.5

spessore dello strato (m)

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.01

0.03

0.05

0.07

0.09

fatt

ore

geo

me

tric

o f

g (

-)

R=0.45 m-H=50 m

R=0.45 m-H=100 m

0 1 2 30.5 1.5 2.5 3.5

spessore dello strato (m)

0

0.1

0.2

0.3

0.05

0.15

0.25

fatt

ore

di

am

pli

ficazio

ne f

a (

-)

R=0.45 m-H=50 m

R=0.45 m-H=100 m

0 1 2 30.5 1.5 2.5 3.5

spessore dello strato (m)

0

1

2

3

4

0.5

1.5

2.5

3.5

fatt

ore

di a

mp

lifi

ca

zio

ne

din

am

ico

fd (

-)

R=0.45 m-H= 50 m

R=0.45 m-H=100 m

A

strato ammortizzante

soletta

estradosso della

struttura B

d

C

ri

Analisi numerica della propagazione dello sforzo

123

(a) σ(A)MAX può essere valutato o numericamente, mediante un’analisi agli Elementi Finiti

(o simili) elasto-dinamica, o tramite i grafici riportati all’interno del §4.2, nei quali i vari fattori di amplificazione sono definiti in funzione del raggio del blocco, dell’altezza di caduta e dello spessore dello strato. Naturalmente, questi stessi fattori cambieranno anche al variare della rigidezza dello strato: i valori riportati si riferiscono infatti unicamente al caso di strato compatto con modulo elastico del terreno pari a 161 MPa.

(b) Per ciò che concerne la distribuzione spaziale di σMAX è possibile utilizzare (§4.1) la funzione ottenuta mediante la teoria elastica (Boussinesq), ipotizzando trascurabile l’effetto dinamico.

(c) Come osservato sperimentalmente, in ogni punto la durata dell’onda di pressione è strettamente legata alla perturbazione (forma) applicata in superficie. Di conseguenza, l’andamento nel tempo dello sforzo verticale, è definibile sinteticamente come già fatto all’interno del Capitolo 3. Per semplicità si è deciso di utilizzare opportunamente i parametri T1, T2 e T4 del §3.4, secondo le espressioni [30]:

*1 1*

2 2*

4 4

2.2

0.8 ( )

⎧ = +⎪

= ⋅⎨⎪ = ⋅ +⎩

arr

arr

T t T

T T

T t T

[30]

dove tarr è il tempo di arrivo all’estradosso dell’onda di pressione, ottenendo così le relazioni seguenti:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

*1

* *1 2

* * *4 2 4

*4

0 se

se

se

se

0 se

i ARR i

i ARR i ARR i

i MAX i

i

i

r t t d

r t t d t d t T

r r T t T

r t T T t T

r t T

σ

σ α

σ σ

σ β

σ

⎧ = <⎪⎪ = ⋅ − ≤ <⎪⎪ = ≤ <⎨⎪

= ⋅ − ≤ <⎪⎪⎪ = ≥⎩

[31]

nelle quali α e β rappresentano le pendenze dei rami crescente e discendente dell’output sintetico, mentre ri la distanza radiale dal punto A (Figura 4.22a). In Figura 4.22b, a scopo esemplificativo, è riportato il confronto tra l’andamento proposto, definito mediante i parametri valutati secondo le [30] (Tabella 4.3), e quello sperimentale registrato durante la Prova 5 della campagna di Listolade, per il punto A di Figura 4.21.

Tabella 4.3 : valori di T1, T2 e T4 (Prova 5-Listolade) e relativi T*i (tarr=0.0065 s)

T1 (s) 0.005818 T*1 (s) 0.012318

T2 (s) 0.010037 T*2 (s) 0.022081

T4 (s) 0.049824 T*4 (s) 0.045059

Prova 5 (Listolade)

Input sintetico Output sintetico

4

124

Figura 4.22 : (a) andamento temporale qualitativo dell’onda di sforzo all’estradosso e (b) confronto tra andamento sintetico e sperimentale (punto A-Prova 5 Listolade)

Si ritiene che le relazioni [30] e [31] possano ritenersi valide in prima approssimazione indipendentemente dalle variabili (R, H) precedentemente citate. La definizione corretta della forma dell’onda di sforzo nel tempo, come sarà chiarito nel Capitolo 5, è estremamente importante per cogliere correttamente la risposta della struttura in campo dinamico. I tempi di arrivo dell’onda vanno calcolati in ogni punto utilizzando la distanza d fra punto appartenente all’estradosso della struttura e punto di contatto blocco-terreno ammortizzante, ed il modulo di rigidezza elastico del terreno (Figura 4.21).

(a) (b)

tempo (s)

sforzo verticale (kPa)

tarr

T*1

T *

T*2

α∗ β

0 0.02 0.04 0.060.01 0.03 0.05

tempo (s)

0

200

400

600

800

1000

100

300

500

700

900

sfo

rzo

ve

rtic

ale

(kP

a)

Sforzo verticale sotto il punto d'impatto

sintetico

sperimentale Prova 5-cella 838

tarr

T*1

T *

T*2

α∗ β

Analisi numerica della propagazione dello sforzo

125

Elenco dei simboli

A area della sezione a raggio della fondazione circolare equivalente o raggio dell’orma di carico c velocità di propagazione delle onde di pressione c1 velocità di propagazione delle onde di pressione all’interno dello strato 1 c2 velocità di propagazione delle onde di pressione all’interno dello strato 2

cmax limite superiore per la velocità di propagazione di un’onda D diametro della vasca d distanza fra l’estradosso della struttura e il punto di contatto blocco-terreno

DR densità relativa E modulo di Young

1E modulo di Young dello strato 1

2E modulo di Young dello strato 2

F forza d’impatto fa un fattore di amplificazione fd fattore di amplificazione dinamico fg fattore geometrico fS funzione di plasticità/snervamento g potenziale plastico H altezza di caduta h spessore dello strato h1 spessore dello strato 1

h1,p7 spessore dello strato 1 per la prova 7 (campus Bovisa) h1,p8 spessore dello strato 1 per la prova 8 (campus Bovisa) h2 spessore dello strato 2

h2,p7 spessore dello strato 2 per la prova 7 (campus Bovisa) h2,p8 spessore dello strato 2 per la prova 8 (campus Bovisa) N grado spettrale R raggio del grave r distanza radiale t tempo t* istante temporale corrispondente al cambio di pendenza della curva di sforzo T*

1 parametro dell’output sintetico T*

2 parametro dell’output sintetico T*

4 parametro dell’output sintetico T1 parametro dell’input sintetico T2 parametro dell’input sintetico T4 parametro dell’input sintetico tarr tempo di arrivo alla base dello strato, dell’onda di pressione y affondamento del grave z distanza in direzione verticale fra zona caricata in superficie e base dello strato α parametro dell’output sintetico (pendenza del ramo crescente) β parametro dell’output sintetico (pendenza del ramo discendente)

4

126

Δt1 intervallo temporale tra l'istante corrispondente al primo incremento di sforzo registrato e l'istante t*

Δxmin passo spaziale più piccolo della maglia spettrale vpijε tensore incremento di deformazione visco-plastico

Φ nucleo viscoso φ' angolo di attrito γ parametro costitutivo γm peso per unità di volume ν modulo di Poisson ρ densità dello strato ρ1 densità dello strato 1 ρ2 densità dello strato 2 σ sforzo

σMAX massimo sforzo agente in ciascun punto dell’estradosso al variare del tempo σB

MAX sforzo massimo registrato alla base σ'ij tensore degli sforzi efficaci

σSMAX sforzo massimo applicato in superficie Ω dominio di calcolo ψ angolo di dilatanza

ζ costante positiva

Analisi numerica della propagazione dello sforzo

127

Appendice G DEFINIZIONE DELLA STRATIGRAFIA

La stima della rigidezza del terreno rappresenta un passo fondamentale per la buona riuscita delle analisi numeriche: dal modulo elastico del materiale dipende infatti la velocità di trasmissione delle sollecitazioni. A questo proposito occorre ricordare che parte dei risultati delle prove sperimentali eseguite a Milano risente di un progressivo addensamento del materiale ammortizzante, legata all'impossibilità di rimuovere completamente la sabbia dopo ogni prova. In particolare, tutte le prove eseguite su terreno orizzontale che costituiscono l'oggetto di studio di questo lavoro, risentono di questa anomalia. L'ipotesi di omogeneità non può essere allora considerata soddisfacente nel caso in esame: il materiale ammortizzante si presentava infatti composto da uno strato superficiale in condizioni sciolte e da uno strato profondo, non raggiungibile dai mezzi meccanici utilizzati dopo ogni prova per il rimaneggiamento, con densità relativa prossima al 90-100%. Alla luce di queste considerazioni, la ricerca del corretto valore del modulo elastico nelle due zone di terreno può essere effettuata per semplicità considerando due strati di materiale omogeneo con rigidezza costante, poggianti su una base rigida. Assumendo di considerare due strati caratterizzati da rigidezze costanti e non variabili con la profondità, un peso per unità di volume γm medio costante e pari 17 kN/m3, e facendo riferimento alla simbologia indicata in Figura G1, si vogliono determinare i valori delle incognite h1, h2 (spessori), c1 e c2 (velocità di propagazione) compatibili con le osservazioni sperimentali circa i tempi di arrivo della sollecitazione dinamica indotta dall'impatto.

Figura G1: trasmissione degli sforzi nel materiale ammortizzante

In Figura G2 vengono mostrate, in forma normalizzata rispetto al valore massimo in funzione del tempo, le curve relative alla forza di impatto e alla variazione dello sforzo verticale sul fondo della vasca per la prova n.7 (altezza di caduta pari a 10 m, terreno piano). Si vuole focalizzare l'attenzione su due variabili:

• il ritardo con cui il segnale arriva alla base dello strato (tARR, uguale alla distanza tra i due tratti paralleli delle curve);

ρ2 ; c2

ρ1 ; c1

h1

h2

4

128

• il tempo trascorso tra l'istante in cui la cella di carico inizia a registrare un incremento di sforzo e l'istante t* in cui si nota un cambio di pendenza della curva di sforzo (∆t1).

Figura G2 : tempi caratteristici considerati nella stima dei moduli elastici

Il cambio di pendenza può essere attribuito all'arrivo della prima onda riflessa dall'interfaccia tra i due strati che, propagandosi nello strato più rigido, è senza dubbio la prima perturbazione che giunge dopo il segnale principale. L'intervallo di tempo indicato come Δt1 in Figura G2, corrisponde al tempo impiegato dall'onda elastica per coprire due volte una distanza pari ad h1, ossia lo spessore dello strato più rigido. Il tempo di arrivo è invece quello impiegato dalla perturbazione per attraversare i due strati di terreno, entrambi caratterizzati dalla propria velocità di propagazione. È quindi possibile scrivere il seguente sistema di tre equazioni in quattro incognite:

11

1

1 2

1 2

1 2

2

2

arr

ht

ch h mh h

tc c

⎧ = Δ⎪⎪⎪ + =⎨⎪⎪ + =⎪⎩

. [32]

Per poter risolvere il sistema [32] si è quindi costretti ad introdurre l'ipotesi che le velocità di propagazione siano costanti per ogni prova. Considerando una coppia di prove sperimentali, ad esempio le prove n.7 e n.8, si può risolvere il seguente sistema:

Δt1

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1 0.14

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

-0.2

0.2

0.6

1

1.4

forza di impatto

sforzo verticale

t*

t arr

cari

co

e s

forz

o a

dim

en

sio

nalizzati

tempo (s)

Prova n.7

Analisi numerica della propagazione dello sforzo

129

1, 71, 7

1

1, 81, 8

1

1, 7 2, 7

1, 8 2, 8

1, 7 2, 7

1 2

1, 8 2, 8

1 2

2

2

2

2

pp

pp

p p

p p

p parr

p parr

ht

ch

tc

h h m

h h m

h ht

c ch h

tc c

⎧= Δ⎪

⎪⎪⎪ = Δ⎪⎪ + =⎪⎨ + =⎪⎪⎪ + =⎪⎪⎪ + =⎪⎩

, [33]

ottenendo i seguenti risultati: h1,p7=1.39 m, H2,p7=0.61 m, h1,p8=1.22 m, h2,p8=0.78 m, c1=305.75 m/s, c2=55.50 m/s. Ovviamente, confrontando ogni prova con le altre disponibili, si può ottenere un nuovo set di parametri, che assumono però valori molto simili, confermando la validità del modello interpretativo proposto. I valori del modulo di rigidezza possono quindi essere stimati con ragionevole affidabilità. Facendo riferimento alla prova n.7, e ricordando che

( )( )( )

2 1 2 11

E cυ υ

ρυ

− += ⋅ ⋅

− [34]

si può ottenere 1E =134.5 MPa ed 2E =4.2 MPa.

4

130

Appendice H GeoELSE

GeoELSE (GeoELasticity by Spectral Elements (Stupazzini, 2004) è un codice ad Elementi Spettrali (Faccioli et al., 1997) per lo studio dei fenomeni di propagazione di onde in domini complessi 2D o 3D. Il codice include (i) la capacità di trattare con domini di calcolo completamente non strutturati e (ii) l'architettura parallela, naturale approccio per le applicazioni di grande scala. Il metodo ad Elementi Spettrali (SEM) è di solito considerato come una generalizzazione del metodo agli Elementi Finiti (FEM) basato sull'uso di funzioni polinomiali a tratti di ordine elevato. Il metodo è capace di fornire un incremento arbitrario in accuratezza semplicemente accrescendo il grado algebrico di queste funzioni (il grado spettrale-SD). Questa operazione è completamente trasparente agli utenti, che si limitano a scegliere il grado spettrale a tempo di elaborazione, lasciando al codice di calcolo il compito di costruire i punti appropriati di quadratura ed i nuovi gradi di libertà. Inoltre, come nelle tecniche standard agli Elementi Finiti, anche la griglia può essere raffinata per migliorare l'accuratezza della soluzione numerica, perciò gli Elementi Spettrali sono un metodo cosiddetto "h-p", dove "h" si riferisce alla dimensione della griglia e "p" al grado dei polinomi (Faccioli et al., 1996). Le caratteristiche chiave della discretizzazione ad elementi spettrali sono le seguenti:

• come nelle tecniche standard FEM, (i) il dominio di calcolo può essere diviso in quadrilateri in 2D o in esaedri in 3D, (ii) sia la distribuzione locale dei punti della griglia all’interno del singolo elemento che la mesh globale di tutti i punti della griglia nel dominio devono essere assegnati, (iii) molti di questi ultimi sono condivisi tra diversi gradi spettrali, (iv) ogni elemento spettrale è ottenuto dalla mappatura di un elemento di riferimento attraverso un’opportuna trasformazione e tutti i calcoli sono eseguiti sull’elemento di riferimento (Figura H1);

• i nodi all’interno dell’elemento (Figura H2), dove (i) gli spostamenti e le derivate spaziali sono calcolati, (ii) sui quali gli integrali di volume sono valutati, non sono necessariamente equispaziati. In letteratura sono chiamati nodi di Legendre-Gauss-Lobatto (LGL);

• l’interpolazione della soluzione all’interno dell’elemento è fatta attraverso polinomi di Lagrange di ordine adeguato;

• l’integrazione in spazio è fatta attraverso la formula di quadratura di Legendre-Gauss-Lobatto.

Grazie a questa strategia numerica, l’accuratezza esponenziale del metodo è assicurata e lo sforzo computazionale è minimizzato, poiché la matrice delle masse risulta essere diagonale. L’avanzamento nel tempo della soluzione numerica è fornito da uno schema esplicito del secondo ordine leap-frog (LF2-LF2). Sotto ipotesi lineari elastiche,

Analisi numerica della propagazione dello sforzo

131

questo schema è condizionatamente stabile e deve soddisfare la condizione di Courant-Friedrichs-Levy (CFL):

min

max

ζ ΔΔ ≤

xt

c [35]

dove Δxmin è il passo spaziale più piccolo della maglia spettrale, cmax è il limite superiore per la velocità di propagazione di un’onda, e ζ è una costante positiva (0< ζ<1). Con il codice è possibile anche effettuare analisi elastoviscoplastiche con differenti criteri di rottura, ad es. Mohr Coulomb (Stupazzini e Zambelli, 2005), di Prisco (di Prisco et al., 2006).

Figura H1 : il dominio di calcolo Ω viene suddiviso in un insieme di quadrilateri Ωk che non si sovrappongono, come risultato di una mappatura dell'elemento di riferimento

Ωref=[-1,1]2, tramite un'opportuna trasformazione x=Fk( x̂ )

Figura H2 : punti LGL all'interno di elementi spettrali aventi grado spettrale N differente

Risposta dinamica della struttura

Capitolo quinto

Risposta dinamica della struttura

Risposta dinamica della struttura

135

5 RISPOSTA DINAMICA DELLA STRUTTURA

Nei Capitoli 3 e 4 sono state esaminate le fasi di compenetrazione locale del grave all’interno dello strato deformabile (il terreno) e di diffusione dell’onda di compressione all’interno dello stesso. Per entrambe, alla luce dei risultati sperimentali e numerici, sono stati forniti degli abachi e delle relazioni che permettono di stimare l’andamento spazio-temporale della sollecitazione agente sulla struttura in funzione dell’impatto di progetto e delle proprietà del terreno ammortizzante. Ribadiamo che l’approccio adottato è di tipo non accoppiato, in quanto forza d’impatto e sollecitazione sulla struttura sono valutate separatamente ed in successione, senza cioè tenere conto delle successive fasi che caratterizzano il fenomeno. Questa semplificazione è valida, a rigore, per quanto concerne la valutazione della forza d’impatto, soltanto nel caso in cui lo spessore dello strato sia sufficientemente grande; invece, per quanto riguarda la sollecitazione sulla struttura, abbiamo mostrato nel Capitolo 1 che considerare la struttura come un vincolo geometrico fisso costituisce un’approssimazione a favore di sicurezza, dato che tale assunzione comporta una sovrastima delle sollecitazioni stesse. In quest’ultimo Capitolo affrontiamo lo studio della risposta strutturale, cominciando con il mettere in evidenza i principali i fattori che la influenzano e utilizzando un semplice modello costituito da un oscillatore monodimensionale (§5.1). In seguito saranno presentati i dati raccolti nel corso della campagna prove condotta presso la galleria di Listolade (Capitolo 1, Appendice C) allo scopo di illustrare, in vista della definizione di un opportuno modello numerico, le peculiarità del comportamento dinamico di una galleria tipo sottoposta ad impatto (§5.2). Infine, a completamento del percorso di modellazione descritto nel testo, presenteremo due esempi di analisi strutturale in campo dinamico, prendendo in considerazione la galleria a portale (§5.3) di Listolade ed una a mensola (§5.4).

5.1 Interpretazione della risposta strutturale: modello monodimensionale

Allo scopo di mettere in evidenza i fattori che determinano la risposta strutturale, consideriamo in questo paragrafo un semplice oscillatore monodimensionale, con il quale si intende cogliere qualitativamente l’andamento in funzione del tempo della freccia in un punto rappresentativo di una struttura sottoposta ad un carico impulsivo. Per rendere il più semplice possibile la trattazione, faremo qui riferimento alle prove in piccola scala di Losanna (Labiouse et al., 1994, vedi Capitolo 1). In particolare, verrà simulato l’impatto di una massa di 100 kg, in caduta libera da un'altezza di 10 m su di uno strato ammortizzante spesso 0.5 m. Lo schema particolarmente semplice della copertura (piastra su quattro appoggi) e la simmetria del problema, consentono di descrivere piuttosto agevolmente il problema tramite un modello ad un singolo grado di libertà. Sono state pertanto introdotte le seguenti ipotesi semplificative:

• il carico sollecitante F(t) è considerato concentrato nel centro della piastra;

• si considera il terreno collaborante durante l’impatto, assunzione questa giustificata dal piccolo valore dell’energia d’impatto; questa determina nella struttura un’accelerazione che non è in grado di determinare il distacco del terreno ammortizzante dall’estradosso della copertura (si rimanda al §5.2.4 per una discussione circa la validità di questa ipotesi nel caso di una struttura in scala reale);

5

136

• la deformata della struttura viene completamente descritta in funzione della freccia registrata sotto il punto di applicazione della forza e di opportune funzioni di forma;

• in assenza di soluzioni in forma chiusa, le funzioni di forma e la rigidezza della piastra sono state valutate tramite un’apposita analisi ad Elementi Finiti della piastra caricata staticamente con una forza centrata. Lo schema strutturale della piastra, il sistema ad un grado di libertà utilizzato per l'analisi e gli spostamenti valutati tramite il modello ad Elementi Finiti sono mostrati in Figura 5.1.

Figura 5.1 : modello 1-DOF utilizzato per lo studio della piastra (spessore 20 cm) (a); spostamenti in direzione verticale ottenuti tramite un'analisi ad

Elementi Finiti di una piastra su quattro appoggi, caricata nel centro (b)

5.1.1 Equazione del moto dell’oscillatore

Come ben noto, il moto di un sistema ad un singolo grado di libertà è governato dalla seguente equazione:

( )+ + =Mx Cx Kx F t [36]

(a)

F

F

M

K

3.4 m

3.4 m

Piastra in calcestruzzo armato

E=30 GPa - ν=0.20

(b)

Risposta dinamica della struttura

137

dove si sono indicate con M la massa del sistema, con K la rigidezza della molla e con C la costante di smorzamento, mentre F(t) rappresenta la forzante del sistema. In questo caso, la forzante non è una costante ma varia in funzione del tempo. Esistono soluzioni in forma chiusa della [36] solo per i casi più semplici: nel caso in esame, per via della forma della funzione F(t), si utilizza un algoritmo numerico alle differenze finite di tipo esplicito, tale per cui:

( ) ( )x t t x tx

t+ Δ − Δ

=Δ

[37]

( ) ( ) ( )2

2x t t x t x t tx

t+ Δ − Δ + + Δ

=Δ

. [38]

Il problema può quindi essere risolto sostituendo la [37] e la [38] nella [36], ed imponendo le condizioni iniziali:

( ) ( )0 0 0x x= = . [39]

La simulazione dei dati sperimentali è ovviamente subordinata alla calibrazione dei parametri M, K, e C della [36] e cioè alla riconduzione del problema in esame ad un modello monodimensionale in cui la variabile x assume il significato di freccia al centro della piastra.

5.1.1.1 Calcolo della rigidezza della molla Al fine di stimare la rigidezza della piastra, in mancanza di soluzioni in forma chiusa, è stata svolta un’analisi mediante il metodo degli Elementi Finiti, applicando staticamente una forza verticale P nel punto centrale della piastra. Nell’analisi si è assunto, per il materiale che costituisce la piastra, un comportamento di tipo elastico lineare, con vincoli di appoggio concentrati negli spigoli. La piastra è stata discretizzata utilizzando cento elementi di tipo shell, come mostrato in Figura 5.1b; nella medesima figura sono riportate anche le caratteristiche meccaniche assunte per il calcestruzzo. Lo spostamento verticale massimo, wc, viene registrato in corrispondenza del punto centrale della piastra. Una volta calcolato numericamente wc, la rigidezza K della molla equivalente può essere semplicemente valutata con la seguente equazione:

=c

PKw

[40]

nella quale P rappresenta una forza verticale concentrata, applicata staticamente al centro della piastra. Nel caso in esame, utilizzando i risultati dell’analisi ad Elementi Finiti per la valutazione di wc, risulta K=76482 kN/m.

5.1.1.2 Calcolo della massa collaborante della piastra Se, a seguito dell’impatto, la piastra subisse una semplice traslazione, se la deformabilità del terreno fosse trascurabile, ed il terreno rimanesse a contatto con la piastra stessa, il termine M da introdurre nell’equazione dell’oscillatore monodimensionale sarebbe dato semplicemente

5

138

dalla somma delle masse della piastra e del terreno. In realtà, l’applicazione di un carico concentrato al centro della piastra comporta la deformazione mostrata in Figura 5.1, per la quale lo spostamento verticale di un generico punto appartenente alla piastra può essere espresso in funzione dello spostamento wc e di una funzione di forma ξ(x,y) che descriva la deformata della piastra:

( ) ( ), ,ξ= ⋅cw x y w x y . [41]

Mantenendo l’ipotesi che il terreno rimanga solidale con la piastra, la massa equivalente M può essere allora valutata secondo la seguente relazione, in cui si impone l’uguaglianza, in termini di energia cinetica, tra l’oscillatore equivalente e la piastra:

( )2 21 1 ,2 2

ρ⋅ = ⋅∫c cV

M w w x y dV . [42]

Introducendo la [41] nella [42], si ottiene:

( ) ( ) ( )2 2 2 2 21 1 1, , ,2 2 2c c c PT

V V Aw x y dV w x y dV w M x y dAρ ρ ξ ξ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫

[43]

in cui MPT è la massa complessiva del sistema (piastra e terreno). Confrontando le equazioni [42] ed [43], si ricava la seguente espressione per la massa equivalente:

( )2 ,ξ= ⋅ ⋅∫PTA

M M x y dA . [44]

Sfruttando i risultati dell’analisi numerica ad Elementi Finiti per la valutazione della funzione di forma (e quindi dell’integrale contenuto nella [44]), si ottiene che la massa equivalente è pari a circa un terzo di quella totale. Si ha pertanto:

[ ]1 1 3.4 3.4 (0.2 2500 0.5 1800) 5394.7 kg3 3

= = × × × + × =PTM M . [45]

5.1.1.3 Calcolo della costante di smorzamento La costante di smorzamento C viene usualmente calcolata come una percentuale dello smorzamento critico Ccr. Lo smorzamento critico, per un oscillatore ad un grado di libertà, vale:

2=crKC MM

. [46]

Nel caso in esame Ccr=1284.67 kN·s/m.

Risposta dinamica della struttura

139

5.1.1.4 Determinazione della forzante Allo scopo di semplificare la soluzione numerica del problema, è opportuno esprimere la forzante come funzione analitica del tempo t. In Figura 5.2 sono riportati l'andamento temporale della risultante degli sforzi verticali applicati alla piastra (Labiouse et al., 1994), e la relativa curva interpolante adottata per risolvere la [36]. Quest’ultima ha un’espressione del tipo:

( ) ( ) atrF t F sen t eω −= ⋅ [47]

con F=500 kN, ωr=112 rad/s (equivalente ad una frequenza di circa 18 Hz) ed a=100 s-1.

Figura 5.2 : risultante della distribuzione degli sforzi verticali applicati alla piastra in funzione del tempo. Misure sperimentali (Labiouse et al., 1994) e funzione analitica ([47])

5.1.2 Risultati

Una volta stimati i parametri equivalenti M, C e K, tramite integrazione numerica alle differenze finite dell’equazione dell’oscillatore [36] è possibile determinare quantitativamente l'andamento dello spostamento verticale del punto centrale della piastra. I risultati ottenuti per due diversi valori di smorzamento (5% e 25% dello smorzamento critico) vengono confrontati in Figura 5.3 con i dati sperimentali. Osserviamo innanzitutto come il modello numerico sia in grado, nonostante la sua semplicità, di cogliere con sufficiente accuratezza sia la massima freccia che il periodo proprio di oscillazione della struttura. Questa osservazione ci conforta circa la correttezza delle scelte fatte per quanto concerne la massa e la rigidezza equivalenti. Quanto al valore dello smorzamento, notiamo come la migliore riproduzione dei risultati sperimentali sia cinque volte maggiore rispetto a quello che viene normalmente utilizzato nell’analisi dinamica delle strutture in CA. Questo risultato è, con ogni probabilità, associato al danneggiamento subito dalla piastra nel corso degli impatti precedenti, danneggiamento osservato direttamente dagli stessi Autori della sperimentazione (vedi Labiouse et al. 1994).

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10.01 0.03 0.05 0.07 0.09

tempo (s)

-50

0

50

100

150

200

-25

25

75

125

175

forz

a (

kN

)

Labiouse at al., 1994

Modello analitico

5

140

Figura 5.3 : confronto tra la freccia misurata sperimentalmente e lo spostamento valutato tramite il modello di oscillatore 1D

5.2 Sperimentazione in scala reale (Listolade, 2006)

Riprendiamo qui l’analisi dei dati ottenuti nel corso della campagna sperimentale condotta presso la galleria paramassi di Listolade, focalizzando questa volta l’attenzione sulla risposta strutturale. Per la descrizione generale della campagna di prove, della struttura e degli strumenti si rimanda al Capitolo 1 (Appendice C). Per facilitare la lettura, in questo paragrafo saranno richiamati i punti che sono essenziali per la comprensione della risposta strutturale. In Figura 5.4 riportiamo la posizione degli impatti e la disposizione degli strumenti di misura.

Figura 5.4 : disposizione planimetrica dei punti d’impatto. 3-4-5: posizione pilastri del portale; A: celle di carico; A e B: misure di spostamento sulla struttura

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20.02 0.06 0.1 0.14 0.18

4

2

0

-2

-4

3

1

-1

-3

sp

os

tam

en

to (

mm

)

dati sperimentali

5% smorzamento critico

25% smorzamento critico

Scavo per

posizionamento

celle di carico

AREA IMPATTI

34

5

AB

Risposta dinamica della struttura

141

Con riferimento agli impatti, si osserva come ne sia stato eseguito un numero considerevole lungo l’asse della copertura. Come mostreremo nel seguito, questi impatti si possono ritenere sostanzialmente equivalenti in termini di sollecitazioni trasmesse alla struttura, il che permette di interpretarne i risultati tracciando una sorta di linea d’influenza in condizioni dinamiche (vedi §5.2.2). Ricordiamo che la copertura è costituita da una serie di travi prefabbricate in CAP disposte trasversalmente all’asse della galleria con interasse di circa 100 cm, e da una soletta di continuità in CA con spessore di 30 cm. La soletta è direttamente gettata su tavelloni in CA che poggiano sulle travi in CAP. Allo scopo di studiare il comportamento della copertura sono stati installati quattro sensori potenziometrici Penny & Giles SLS190 con corsa pari a 25 mm e cinque sensori potenziometrici Gefran PY2 con corsa di 10 mm. Questi strumenti hanno permesso di misurare rispettivamente gli spostamenti verticali delle travi e dei tavelloni e le deformazioni degli stessi elementi lungo le direzioni trasversale e parallela all’asse longitudinale della galleria (Figura 5.5). Ad uno dei potenziometri Penny & Giles è affiancato un accelerometro, allo scopo di convalidare la misura diretta tramite il confronto con quella ottenuta dalla doppia integrazione delle misure di accelerazione.

Figura 5.5 : posizione dei potenziometri sotto la copertura in corrispondenza dei punti A e B di Figura 5.4

I risultati che saranno presentati nel seguito hanno il duplice scopo di illustrare le peculiarità della risposta dinamica della struttura, e di indirizzare il progettista nella definizione di un opportuno modello numerico che permetta di valutare le sollecitazioni agenti sulla struttura, completando così il percorso delineato in questo libro. Passando ai risultati, una prima considerazione riguarda il comportamento della struttura portante, costituita da un muro sul lato di monte e da una serie di arcate sul lato di valle. Integrando le misure fornite da due accelerometri appositamente posizionati, sono stati valutati gli spostamenti verticali alla sommità di un pilastro ed in corrispondenza della mezzeria di una trave del portale che sostiene la copertura sul lato di valle (pilastro 3 e trave 3-4, Figura 5.5). In entrambi i casi, e per tutti gli impatti, gli spostamenti sono risultati trascurabili rispetto a quelli misurati in corrispondenza della mezzeria della copertura (punti A e B, Figura 5.4). Questo risultato indica che, per la galleria in esame, la struttura portante può, in prima approssimazione, essere considerata rigida, risultato questo di grande importanza ai fini della definizione del modello numerico atto all’analisi della copertura in campo dinamico (§5.3).

(a)

(b)

5

142

5.2.1 Caratteri generali della risposta strutturale

Faremo inizialmente riferimento all’impatto 5, effettuato in corrispondenza del punto A (ove sono poste anche le celle di carico e la maggior parte dei potenziometri) e caratterizzato da un’altezza di caduta di 36 m (vedi Tabella D1, Capitolo 1). L’andamento della decelerazione del blocco e dell’incremento di sforzo registrato dalle celle di carico poste sotto il punto d’impatto sono riportate in Figura 5.6.

Figura 5.6 : (a) decelerazione del blocco ed (b) incremento di sforzo verticale per le due celle di carico (impatto 5)

Gli spostamenti verticali della copertura sono mostrati in Figura 5.7 e in Figura 5.8.

Figura 5.7 : (a) spostamenti verticali sotto il punto d’impatto (Punto A): travi (PE5 e PEX) e tavellone (PE1). (b) Spostamento verticale a sette metri dal punto d’impatto lungo

l’asse della copertura (punto B): trave (PE3)

(a)

(b)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10.01 0.03 0.05 0.07 0.09

tempo (s)

0

50

100

150

200

250

25

75

125

175

225

de

ce

lera

zio

ne

de

l g

rav

e (

g)

PROVA 5 - Listolade

Risultante accelerometri

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10.01 0.03 0.05 0.07 0.09

tempo (s)

-200

0

200

400

600

800

-100

100

300

500

700

sfo

rzo

ve

rtic

ale

(kP

a)

PROVA 5 - Listolade

Cella di carico 833

Cella di carico 838

(a) (b)

0 0.4 0.8 1.2 1.60.2 0.6 1 1.4

tempo (s)

6

4

2

0

5

3

1

-1

sp

os

tam

en

to v

ert

ica

le (

mm

)

PROVA 5 - Listolade

Sensore PE1

Sensore PEX

Sensore PE5

0 0.4 0.8 1.2 1.60.2 0.6 1 1.4

tempo (s)

6

4

2

0

5

3

1

-1

sp

os

tam

en

to v

ert

ica

le (

mm

)

PROVA 5 - Listolade

Sensore PE3

Risposta dinamica della struttura

143

Osserviamo innanzitutto che, in corrispondenza delle travi e del tavellone posti sotto il punto d’impatto, gli spostamenti, sostanzialmente coincidenti, sono caratterizzati da una prima oscillazione molto accentuata. Questa oscillazione ha inizio dopo poco meno di 0.01 s dall’impatto, contemporaneamente all’arrivo della onda di compressione sulla copertura (Figura 5.6b e Figura 5.8). La prima oscillazione si esaurisce in poco più di 0.07 s, quando l’impulso forzante si è ormai esaurito. La fase successiva mostra quindi il progressivo smorzamento dell’oscillazione libera della struttura, e permette di stimare una frequenza propria di circa 6 Hz.

Figura 5.8 : spostamento verticale sotto il punto d’impatto (doppia integrazione misura accelerometrica); ingrandimento della prima oscillazione

Particolarmente interessante per la comprensione della risposta strutturale, è il confronto tra le letture dei potenziometri posti sotto il punto d’impatto e quella del potenziometro situato lungo l’asse longitudinale, a sette metri di distanza (Figura 5.7a e b). Lo spostamento in corrispondenza di quest’ultimo è molto minore rispetto agli spostamenti sotto il punto d’impatto ed è caratterizzato da un sensibile ritardo. La prima osservazione, che appare logica ed ovvia (e lo sarebbe effettivamente se il carico fosse applicato staticamente), non è in realtà disgiungibile dalla seconda (vedi §5.2.2). Un altro aspetto degno di nota riguarda gli spostamenti nel corso della prima oscillazione (Figura 5.8), i quali sono caratterizzati da un andamento a campana marcatamente asimmetrica, in cui il ramo discendente è molto più ripido di quello ascendente. Questo aspetto, che è legato al ruolo giocato dalla massa del terreno, sarà discusso nel §5.2.4.

5.2.2 Risposta strutturale lungo l’asse della galleria

Per studiare la propagazione dell’onda di deformazione lungo l’asse della galleria è possibile sfruttare i dati relativi ai vari impatti realizzati lungo l’asse della galleria stessa. In particolare, gli impatti 9, 11, 12, 13 e 14 sono caratterizzati da un’altezza di caduta media di 43 m (vedi Tabella D1, Capitolo 1), e da una massima forza d’impatto pari a circa 1650 kN. La dispersione della massima forza d’impatto attorno al valore medio è inferiore al 10%, e questo permette di considerare gli impatti menzionati come equivalenti, anche in termini di sollecitazioni trasmesse

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10.01 0.03 0.05 0.07 0.09

tempo (s)

6

4

2

0

5

3

1

-1sp

os

tam

en

to v

ert

ica

le (

mm

)

PROVA 5 - Listolade

accelerometro 5307

(doppia integrazione)

5

144

alla struttura. Queste ultime sono infatti influenzate dalle proprietà meccaniche del terreno di copertura, le quali sono sufficientemente uniformi, come è testimoniato dalla limitata dispersione delle massime forze d’impatto. Come anticipato nel §5.2, grazie a questi impatti è possibile definire una sorta di linea d’influenza dinamica la quale, alla luce delle precedenti considerazioni, rappresenta in realtà l’attenuazione dell’onda di deformazione. I risultati di Figura 5.9 mostrano che, all’aumentare della distanza dal punto d’impatto, si assiste ad un progressivo aumento del ritardo della risposta strutturale ed alla progressiva attenuazione della freccia, a testimonianza della trasmissione dell’onda di deformazione lungo l’asse della galleria. Gli stessi dati permettono allora di valutare la velocità di propagazione longitudinale dell’onda stessa che risulta essere all’incirca pari a 250-300 m/s.

Figura 5.9 : spostamenti in corrispondenza di punti a distanza r crescente dal punto d’impatto: r=0 m, 1.75 m, 3.5 m, 5.25 m e 10.5 m, da (a) ad (e).

Misure potenziometriche ed accelerometriche (tramite doppia integrazione)

A completamento dei risultati, in Figura 5.10, l’attenuazione della freccia viene messa in evidenza tracciando il valore massimo sMAX dello spostamento in funzione della distanza dal punto d’impatto.

(a) (b) (c)

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

6

4

2

0

-2

5

3

1

-1

sp

os

tam

en

to v

ert

ica

le (

mm

)

r = 0 m

accelerometro 5307

(doppia integrazione)

Sensore PEX

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

6

4

2

0

-2

5

3

1

-1

sp

os

tam

en

to v

ert

ica

le (

mm

)

r = 1.75 m

accelerometro 5307

(doppia integrazione)

Sensore PEX

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

6

4

2

0

-2

5

3

1

-1

sp

os

tam

en

to v

ert

ica

le (

mm

)

r = 3.5 m

accelerometro 5307

(doppia integrazione)

Sensore PEX

(d) (e)

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

6

4

2

0

-2

5

3

1

-1

sp

os

tam

en

to v

ert

ica

le (

mm

)

r = 5.25 m

accelerometro 5307

(doppia integrazione)

Sensore PEX

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

6

4

2

0

-2

5

3

1

-1

sp

os

tam

en

to v

ert

ica

le (

mm

)

r = 10.5 m

accelerometro 5307

(doppia integrazione)

Sensore PEX

Risposta dinamica della struttura

145

Figura 5.10 : massimo spostamento in funzione della distanza r dal punto d’impatto

5.2.3 Risposta strutturale in direzione trasversale all’asse della galleria

Facciamo qui riferimento agli impatti 9 e 10 (vedi Figura 5.11), caratterizzati da altezze di caduta di circa 45 m.

Figura 5.11 : spostamento in corrispondenza dell’asse longitudinale della galleria (punto B). Impatti 9 (centrato) e 10 (posto trasversalmente).

Misure potenziometriche ed accelerometriche (tramite doppia integrazione)

La differenza tra le massime forze d’impatto (pari a 1584 e 1778 kN per gli impatti 9 e 10, rispettivamente) è di poco superiore al 10%, dispersione questa che non inficia le considerazioni

0 3.5 7 10.51.75 5.25 8.75

r (m)

6

4

2

0

5

3

1

sM

AX (

mm

)

(a)

(b)

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

6

4

2

0

-2

5

3

1

-1

sp

os

tam

en

to v

ert

ica

le (

mm

)

PROVA 9

Sensore PEX

accelerometro 5307

(doppia integrazione)

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

6

4

2

0

-2

5

3

1

-1

sp

os

tam

en

to v

ert

ica

le (

mm

)

PROVA 10

Sensore PEX

accelerometro 5307

(doppia integrazione)

5

146

che svolgeremo nel seguito. L’impatto 9 è stato eseguito in corrispondenza dell’asse longitudinale della galleria (punto B di Figura 5.4), mentre l’impatto 10 ha avuto luogo ad una distanza di circa 2.6 m dal punto B stesso in direzione trasversale. I risultati di Figura 5.11 mostrano che lo spostamento verticale misurato in corrispondenza del punto B è appena leggermente ritardato nel caso d’impatto spostato trasversalmente rispetto all’asse della galleria; la velocità di propagazione trasversale dell’onda di deformazione risulta pari a circa 1000 m/s. La velocità di propagazione dell’onda in direzione longitudinale (§5.2.2) risulta pertanto all’incirca compresa tra un terzo ed un quarto della velocità di propagazione trasversale. Questo risultato conferma che la copertura della galleria è caratterizzata da un diverso valore di rigidezza flessionale nelle due direzioni longitudinale e trasversale (parallela quest’ultima all’asse delle travi in CAP su cui poggia la soletta di copertura). Nel caso di impatto lungo l’asse longitudinale della galleria, tenendo conto delle dimensioni della copertura della galleria di Listolade e della velocità di propagazione precedentemente determinata, è possibile stimare in circa 0.005 s il tempo necessario affinché l’onda di deformazione raggiunga gli appoggi laterali. Pertanto, l’effetto del contorno sulla freccia registrata in mezzeria comincia già a manifestarsi dopo circa 0.01 s, nel momento in cui la sollecitazione ha raggiunto la soletta, ovvero nell’istante in cui l’onda riflessa dal contorno stesso raggiunge l’asse longitudinale della galleria. È interessante notare che, nel caso in esame, questo istante di tempo pari a 0.02 s precede il raggiungimento della massima freccia, che si ha a circa 0.03 s dal momento in cui avviene l’impatto (Figura 5.11a). Nella prospettiva di una successiva analisi numerica della struttura sottoposta ad impatto, le considerazioni svolte in questo paragrafo e nel precedente possono essere riassunte sottolineando l’importanza di una corretta definizione dei vincoli. Data l’ortotropia strutturale, di particolare importanza è la definizione delle condizioni al contorno in direzione parallela all’asse della galleria.

5.2.4 Comportamento del sistema terreno-copertura

Lo strato di terreno posto a protezione della soletta della galleria esercita un’influenza sul valore della forza d’impatto e sul processo di trasmissione della sollecitazione alla struttura. La massa del terreno, infatti, è rilevante rispetto a quella degli elementi strutturali in CA e CAP e pertanto, data la natura impulsiva dell’impatto, gioca un ruolo che non può essere trascurato (vedi §5.1) nella risposta dinamica della struttura. Rispetto alla situazione analizzata nel §5.1, dobbiamo a questo proposito notare che l’ipotesi secondo la quale il terreno rimane solidale con la piastra di copertura, realistica nel caso di impatti in scala ridotta, appare eccessivamente semplificativa se applicata al comportamento di una struttura in scala reale sottoposta ad impatti con un elevato contenuto energetico. Due aspetti vanno considerati a questo proposito: l’eventualità di un distacco all’interfaccia tra il terreno e la soletta all’interfaccia, e gli effetti della deformabilità del terreno stesso. Questi aspetti inficiano l’assunzione, implicita in un approccio in cui si consideri il terreno come pienamente collaborante, secondo cui le accelerazioni subite da un elemento di terreno siano indipendenti dalla profondità e siano uguali a quelle della sottostante soletta. Nel seguito illustreremo queste considerazioni facendo di nuovo riferimento agli impatti eseguiti lungo l’asse della galleria, studiando le accelerazioni della soletta e gli sforzi agenti sulla stessa in funzione della distanza dal punto d’impatto.

Risposta dinamica della struttura

147

Le accelerazioni verticali della soletta sono mostrate in Figura 5.12. In corrispondenza del punto d’impatto l’accelerazione raggiunge un massimo (negativo in quanto la struttura accelera verso il basso) superiore a 8 g, e un picco di quasi 6 g viene registrato alla distanza di 1.75 m.

Figura 5.12 : accelerazione verticale della struttura in vari punti lungo l’asse longitudinale a distanza crescente dal punto d’impatto. r=0 m (a), 1.75 m (b), 3.5 (c), 5.25 m (d) e 10.5 m (e)

Inoltre, a 3.5 m dal punto d’impatto, l’accelerazione massima, pur minore, si mantiene comunque sopra al valore di 1 g. Questo valore è molto significativo: infatti, al di fuori della zona di diffusione del carico, il terreno è soggetto solo al peso proprio e l’accelerazione che subirebbe se la soletta venisse ipoteticamente rimossa è proprio pari ad 1 g. Questa accelerazione assume dunque il significato di soglia di possibile, temporaneo (dato che i valori di picco dell’accelerazione sono mantenuti per un breve intervallo) distacco tra terreno e soletta. L’occorrenza di un distacco è peraltro mostrata anche dagli andamenti degli incrementi di sforzo sulla soletta (Figura 5.13). Osserviamo innanzitutto che i punti presi in considerazione si trovano al di fuori della zona di diffusione del carico superficiale indotto dall’impatto. Dunque, gli andamenti di Figura 5.13 rappresentano la reazione del terreno al movimento della soletta e testimoniamo quindi l’accoppiamento descritto nel Capitolo 1 (§1.4.2). Dal punto di vista quantitativo, notiamo che fino a distanze di 5.25 m dal punto d’impatto la riduzione dello sforzo è dell’ordine di 40 kPa, valore

(a) (b) (c)

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

-8

-4

0

4

-10

-6

-2

2

6

ac

ce

lera

zio

ne

(g

)

r = 0 m

accelerometro 5307

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

-8

-4

0

4

-10

-6

-2

2

6

ac

ce

lera

zio

ne

(g

)

r = 1.75 m

accelerometro 5307

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

-8

-4

0

4

-10

-6

-2

2

6

ac

ce

lera

zio

ne

(g

)

r = 3.5 m

accelerometro 5307

(d) (e)

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

-8

-4

0

4

-10

-6

-2

2

6

ac

ce

lera

zio

ne

(g

)

r = 5.25 m

accelerometro 5307

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

-8

-4

0

4

-10

-6

-2

2

6

ac

ce

lera

zio

ne

(g

)

r = 10.5 m

accelerometro 5307

5

148

questo che comporta l’annullamento del preesistente sforzo geostatico (si ricorda che il terreno ha uno spessore di 2 m ed un peso per unità di volume di circa 20 kN/m3). Inoltre, la natura impulsiva degli andamenti qui mostrati è tale da generare onde di compressione che si trasmettono verticalmente nel terreno deformabile.

Figura 5.13 : incremento di sforzo sulla soletta, in vari punti lungo l’asse longitudinale a distanza crescente dal punto d’impatto. 3.5 m (a), 5.25 m (b), 10.5 m (c)

In conclusione, i risultati mostrano chiaramente che l’ipotesi di terreno solidale con la sottostante struttura non è realistica. Tuttavia, gli aspetti che sono stati qui messi in evidenza sono molto difficilmente riproducibili in un modello numerico, così come di difficile valutazione è l’effettivo grado di collaborazione tra terreno e struttura; questo punto sarà studiato numericamente nel §5.3.

5.3 Analisi numerica di galleria a portale

In questo paragrafo mostriamo un esempio di calcolo strutturale dinamico, simulando l’impatto di un blocco sulla struttura paramassi di Listolade (tratto dimesso S.R. 203 Agordina). In particolare, faremo riferimento all’impatto n. 9, avente le caratteristiche riportate in Tabella 5.1:

Tabella 5.1 : caratteristiche della Prova 9

La modellazione prende le mosse da quanto osservato e discusso nei Capitoli precedenti. In particolare, ai fini della valutazione della sollecitazione sulla struttura, svolgeremo

(a) (b) (c)

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

-40

0

40

-60

-20

20

60

sfo

rzo

ve

rtic

ale

(kP

a)

r = 3.5 m

celle di carico-media

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

-40

0

40

-60

-20

20

60

sfo

rzo

ve

rtic

ale

(kP

a)

r = 5.25 m

celle di carico-media

0 0.04 0.08 0.120.02 0.06 0.1 0.14

tempo (s)

-40

0

40

-60

-20

20

60

sfo

rzo

ve

rtic

ale

(kP

a)

r = 10.5 m

celle di carico-media

massa del blocco m (kg) 850

altezza di caduta H (m) 44.8

raggio del grave R (cm) 45

PROVA 9 - Listolade

Risposta dinamica della struttura

149

compiutamente i passaggi che costituiscono un’applicazione esemplificativa del percorso sin qui delineato e che riguardano:

• forza d’impatto: generazione di un “input sintetico” a partire dalle dimensioni del blocco e dall’altezza di caduta, sfruttando gli abachi presentati all’interno del Capitolo 3;

• sollecitazioni sulla copertura della struttura: generazione di un “output sintetico”, sfruttando i risultati presentati all’interno del Capitolo 4.

Adottando un approccio di tipo disaccoppiato, i due punti qui descritti (§5.3.1 e §5.3.2) saranno affrontati in successione, così come solo successivamente la sollecitazione “sintetica” sarà utilizzata per studiare la risposta della struttura in campo dinamico. A tal fine verrà utilizzato un modello numerico agli Elementi Spettrali (codice di calcolo GeoELSE, vedi Appendice H, Capitolo 4).

5.3.1 Generazione dell’input sintetico

Gli abachi presentati nel Capitolo 3 (§3.4), permettono, nota l’altezza di caduta ed il raggio del grave impattante sullo strato ammortizzante, di determinare i parametri necessari alla descrizione dell’andamento temporale della forza d’impatto, già definita sinteticamente all’interno del Capitolo 3, qui di seguito riportato:

11

1 2

22 3

2 43 4

3 4 3

se 0 t<T

se T T

se T T

se T T

MAX

MAX

MAX

MAX

FF t

TF F t

TF F t

t

T T tF F t

T T T

α

α

⎧ = ≤⎪⎪⎪ = ≤ <⎪⎪

⎛ ⎞⎨ = ⋅ ≤ <⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−

= ⋅ ⋅ ≤ <⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

[48]

[49]

Figura 5.14 : andamento temporale della forza d’impatto discretizzata sinteticamente tramite i parametri T1, T2, T3, T4 ed α

T1 T2 T4T3

FMAX

forza d'impatto

tempo

5

150

Facendo riferimento alla Prova 9, caratterizzata da un’altezza di caduta pari a 44.8 m e raggio del grave 0.45 m, è possibile stimare i valori dei tempi Ti e del parametro α, utilizzando gli abachi progettuali definiti nel Capitolo 3 e qui di seguito riportati (Figura 5.15).

Figura 5.15 : abachi per la determinazione di T1, T2, T3, T4 ed α (R=0.45 m; H=44.8 m)

(a) (b)

(c) (d)

(e)

0.2 0.4 0.6 0.8 10.3 0.5 0.7 0.9

r (m)

0

0.004

0.008

0.012

0.016

0.002

0.006

0.01

0.014

T1 (

s)

0.45

0.005671

5 m

10 m

25 m

50 m

75 m

100 m

0.2 0.4 0.6 0.8 10.3 0.5 0.7 0.9

r (m)

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.0025

0.0075

0.0125

0.0175

0.0225

0.0275

T2 (

s)

5 m

10 m

25 m

50 m

75 m

100 m

0.45

0.00954

0.2 0.4 0.6 0.8 10.3 0.5 0.7 0.9

r (m)

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.01

0.03

0.05

0.07

0.09

T3 (

s)

5 m

10 m

25 m

50 m

75 m

100 m

0.45

0.047549

0.2 0.4 0.6 0.8 10.3 0.5 0.7 0.9

r (m)

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.01

0.03

0.05

0.07

0.09

T4 (

s)

Tempo T4

5 m

10 m

25 m

50 m

75 m

100 m0.45

0.051651

0.2 0.4 0.6 0.8 10.3 0.5 0.7 0.9

raggio (m)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0.25

0.75

1.25

1.75

2.25

α (

-)

0.45

1.64

Risposta dinamica della struttura

151

Il massimo valore della forza d’impatto FMAX è invece ottenibile applicando la relazione [22] del Capitolo 3 ovvero:

0.5676

00

2

373.56 kJ773.01 kN 1651.16 kN98.1 kJ

m850 kg 9.81 44.8 m 373.56 kJs

n

MAXEF FE

E mgH

⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ = ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎨⎪ = = ⋅ ⋅ =⎪⎩

[49]

nella quale F0 ed n sono due parametri ricavabili direttamente dagli abachi di Figura 5.16a e b, noto il valore del raggio R del grave.

Figura 5.16 : abachi per la determinazione di n ed F0 (R=0.45 m)

I valori così ottenuti riepilogati in Tabella 5.2.

Tabella 5.2 : valori dei parametri e della massima forza d’impatto per l’input sintetico della Prova 9 (H=44.8 m-R=0.45 m)

(a)

(b)

0.2 0.4 0.6 0.8 10.3 0.5 0.7 0.9

R (m)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0.1

0.3

0.5

0.7

n (

-)

0.45

0.5676

0.2 0.4 0.6 0.8 10.3 0.5 0.7 0.9

R (m)

0

400

800

1200

1600

200

600

1000

1400

F0 (

kN

)

0.45

773.01

T1 (s) 0.005671T2 (s) 0.00954T3 (s) 0.047549T4 (s) 0.051651

α (-) 1.64F0 (kN) 773.01

n (-) 0.5676E0 (kJ) 98.1

FMAX (kN) 1651.16

Dati input sintetico PROVA 9

5

152

In Figura 5.17a viene mostrato l’input sintetico corrispondente ai parametri di Tabella 5.2; la Figura 5.17b riporta invece, allo scopo di confrontarla con la precedente, la forza d’impatto ottenuta utilizzando il codice BIMPAM per simulare l’impatto numero 9. La differenza del valor massimo della forza stimata utilizzando direttamente il programma di calcolo BIMPAM e gli abachi sintetici, è dovuto unicamente al fatto che questi ultimi sono stati ricavati imponendo una densità del grave pari a quello delle rocce (ρ 2.5 t/m3); al contrario, il blocco utilizzato a Listolade contiene un foro per l’alloggiamento degli accelerometri e quindi è equivalente ad un blocco sferico di densità inferiore. Il valore di F0 di Figura 5.16b andrebbe corretto per tener conto della sua dipendenza dalla densità equivalente del blocco. Tale aspetto è stato trascurato in quanto peculiare del masso di prova utilizzato per l’esecuzione della campagna sperimentale.

Figura 5.17 : input sintetico (a), modello BIMPAM (b) (Prova 9)

Gli effetti delle semplificazioni introdotte nella definizione dell’input sintetico e delle, seppur limitate, differenze tra i due andamenti di Figura 5.17 saranno discussi in Appendice.

5.3.2 Generazione dell’output sintetico

Seguendo l’approccio introdotto nel §4.2, per elaborare un output sintetico che possa essere utilizzato per studiare la risposta dinamica della struttura, è necessario definire un andamento spazio-temporale dell’onda di sforzo agente sull’estradosso della struttura di protezione. A tal fine è necessario conoscere:

• lo sforzo massimo σMAX(r=0) agente in corrispondenza della verticale del punto d’impatto (punto A, Figura 5.18). Nel seguito indicheremo tale sforzo come σMAX(A);

• la distribuzione spaziale di σMAX(r) in funzione della distanza radiale r dal punto A, ed in particolare nei punti ove la successiva analisi numerica, in funzione della tipologia di mesh adottata, richiede la definizione delle condizioni di carico;

(a)

(b)

0 0.02 0.04 0.060.01 0.03 0.05

tempo (s)

0

400

800

1200

1600

2000

200

600

1000

1400

1800

forz

a d

'im

patt

o (

kN

)

input sintetico - Prova 9

0 0.02 0.04 0.060.01 0.03 0.05

tempo (s)

0

400

800

1200

1600

2000

200

600

1000

1400

1800

forz

a d

'im

patt

o (

kN

)

BIMPAM - Prova 9

Risposta dinamica della struttura

153

• l’andamento temporale del parametro adimensionale σ(r,t)/σMAX(r) nei punti della soletta di cui sopra.

Figura 5.18 : punti notevoli per la determinazione dell’onda spazio-temporale di sforzo all’estradosso della soletta in vista dell’analisi numerica

5.3.2.1 Determinazione del massimo valore di sforzo all’estradosso sotto il punto d’impatto (punto A)

Lo sforzo σMAX(A) deve essere determinato nel modo seguente:

( ) ( )MAX MAX d gA O f fσ σ= ⋅ ⋅ [50]

ove σMAX(O) è il massimo sforzo nominale agente all’interfaccia tra il blocco e lo strato di terreno (punto O di Figura 5.18), mentre fg, ed fd sono rispettivamente i fattori di amplificazione geometrico e dinamico (vedi §4.2). Lo sforzo σMAX(O) è valutato attraverso la seguente relazione:

( ) ( )( )

( )( )2max maxMAX

F t F tO

A t a tσ

π⎛ ⎞⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

[51]

ove F(t) è la forza d’impatto (“input sintetico”, [48]), A(t) è l’area dell’impronta di carico, mentre a(t) ne indica il raggio. Data la forma dell’input sintetico (Figura 5.17a), osserviamo preliminarmente che lo sforzo nominale di contatto non può che diminuire a partire da t=T1, in quanto per tempi maggiori F(t) si mantiene costante (T1<t<T2) oppure diminuisce, mentre l’affondamento del blocco continua a crescere. Restringendo pertanto l’analisi a t < T1 si ha:

A

strato ammortizzante

soletta

estradosso

della strutturaB

h=2 m

C D E

r1=0.1081 m

r2=0.4677 m

r3=1.3764 m r4=2.6125 m

O

d1 d2

d3

d4

d5

5

154

( )1

MAXFF t t

T= − . [52]

Tra la decelerazione del blocco e la forza d’impatto vale la relazione seguente, che traduce l’equilibrio dinamico del blocco durante la fase di impatto (trascurando il peso proprio del blocco stesso):

( ) ( )y t F t m= [53]

in cui m è la massa del blocco. Integrando tale decelerazione si ottiene:

( )

( )

20

1

30

1

12

16

MAX

MAX

Fy t y t

T mF

y t y t tT m

= −⋅

= ⋅ −⋅

[54]

in cui 0y è la velocità del blocco al momento dell’impatto. Tenendo conto della relazione geometrica che intercorre tra l’affondamento del blocco y ed il raggio dell’impronta di carico (vedi Figura 3.1, Capitolo 3):

( ) ( ) ( )( )2a t y t R y t= ⋅ − , [55]

si ottiene la seguente espressione per la sforzo nominale di contatto:

( ) 1

3 30 0

1 1

1 126 6

MAX

MAX MAX

F tT

OF Fy t t R y t tT m T m

σπ

=⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⋅ − ⋅ − ⋅ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

. [56]

Si noti per inciso che per t tendente a zero, lo sforzo tende ad un valore finito, ottenuto trascurando nell’equazione precedente gli infinitesimi di ordine superiore al primo:

[ ] ( )01 02

MAXt

FO

R T yσ

π= =⋅ ⋅ ⋅

. [57]

In Figura 5.19 mostriamo, con riferimento alla simulazione della prova numero 9, la forza d’impatto (input sintetico), l’affondamento del blocco e lo sforzo nominale di contatto così come ottenuti seguendo il procedimento qui descritto (equazioni [54] e [56]). Il massimo valore dello sforzo di contatto vale in questo caso è pari a 4456.57 kPa e si registra per t=T1; l’affondamento corrispondente è pari a y =16 cm, mentre il raggio dell’area di contatto è pari a a =0.343 m.

Risposta dinamica della struttura

155

Facendo riferimento ai risultati presentati in Figura 5.19b, notiamo come l’affondamento sia pressoché lineare per t < T1. Le [54] e [56] possono pertanto essere semplificate come segue:

( )

( ) ( )

0

1 0 02MAX

y t y tF

OT y R y t

σπ

⋅

⋅ ⋅ − ⋅ [58]

da cui si ottiene σMAX(O)=4273.2 kPa, valore questo solo leggermente sottostimato rispetto a quello valutato precedentemente.

Figura 5.19 : input sintetico (a), penetrazione del blocco (b) e sforzo nominale all’interfaccia tra il blocco ed il terreno (c). Il punto indica l’istante t=T1 in cui si raggiunge il massimo valore dello sforzo nominale

Una volta noto σMAX(O), si valuta σMAX(A), applicando l’equazione [50]. Il fattore geometrico presente nella [50] è calcolato attraverso la [9] del Capitolo 4 (vedi §4.2):

( ) ( )

3 / 2 3 / 2

2 2

1 11 1 0.0426491 / 1 0.343 / 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

gfa h

. [59]

Dall’abaco di Figura 5.20 (vedi §4.2) si valuta invece il fattore di amplificazione dinamica fd, che in questo caso è pari a circa 3.7 (R=0.45 m, H=44.8 m, spessore del terreno h=2 m). Sostituendo i valori così ottenuti nella [50], si ottiene il seguente valore di sforzo massimo nel punto A:

( ) ( ) 4456.57 kPa 3.69 0.042649 701.37 kPaσ σ= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =MAX MAX d gA O f f . [60]

(a) (b) (c)

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010.001 0.003 0.005 0.007 0.009

t (s)

0

400

800

1200

1600

2000

200

600

1000

1400

1800

F (

kN

)

PROVA 9sintetico

FMAX,sintetico

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010.001 0.003 0.005 0.007 0.009

t (s)

0

0.1

0.2

0.3

0.05

0.15

0.25

y (

m)

PROVA 9sintetico

y*sintetico

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010.001 0.003 0.005 0.007 0.009

t (s)

0

1000

2000

3000

4000

5000

500

1500

2500

3500

4500

σIN

(kP

a)

PROVA 9sintetico

σ*IN,sintetico

5

156

Figura 5.20 : fattore di amplificazione dinamica (caso h=2 m)

5.3.2.2 Valutazione dei massimi valori di sforzo all’estradosso: distribuzione spaziale

Al variare della distanza dal punto A, il massimo valore di sforzo σMAX(r) può essere ottenuto a partire da σMAX(A) utilizzando il grafico di Figura 5.21, che rappresenta la soluzione analitica del problema di Boussinesq (§4.1). In particolare, la mesh che sarà utilizzata nel già citato codice di calcolo GeoELSE per la simulazione numerica del comportamento strutturale (§5.3.3), richiede la definizione degli sforzi nei punti B, C, D ed E di Figura 5.18.

Figura 5.21 : andamento dello sforzo adimensionalizzato σADIM rispetto al valore σMAX(A), al variare della distanza ri dal punto A di Figura 5.18; soluzione elastica

0 40 80 12020 60 100

altezza di caduta (m)

0

1

2

3

4

0.5

1.5

2.5

3.5

fatt

ore

di a

mp

lifi

ca

zio

ne

din

am

ico

fd (

-)

R=0.45 m

R=0.75 m

3.69

44.8

0 100 200 300 40050 150 250 350

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.1

0.3

0.5

0.7

0.9

10.8146.77

137.64

261.25

0.991

0.85

0.25

0.02

ri (cm)

σ(x,t

)/σM

AX

(x) (-

)

simulazione

numerica statica

Risposta dinamica della struttura

157

I valori calcolati con riferimento al caso in esame sono riportati in Tabella 5.3.

Tabella 5.3 : valori di sforzo massimo nei punti B, C, D, ed E all’estradosso

5.3.2.3 Determinazione dell’andamento temporale dello sforzo verticale Seguendo le indicazioni fornite nel §4.3, la durata dell’onda di pressione viene stimata sulla base della forma della sollecitazione applicata in superficie. Di conseguenza, l’andamento nel tempo dello sforzo verticale è definito sinteticamente a partire dall’input, tramite le equazioni [62] e

distanza, di, dal punto d’impatto (vedi Figura 5.18) e della velocità di propagazione delle onde di compressione nello strato ammortizzante. Nel caso in esame, i dati sperimentali indicano una velocità di propagazione pari a circa 300 m/s. In generale, la velocità può essere stimata note le proprietà elastiche ( E e ν) e la densità (ρ) del materiale:

( ) ( )1

1 2 1Ec νρ ν ν

−= ⋅− ⋅ +

[61]

Si rimanda a questo proposito al Capitolo 4 - Appendice G “Definizione della stratigrafia”.

[62][63]

Figura 5.22 : andamento qualitativo dell’output sintetico per un generico punto posto ad una distanza ri da A

Punto all’estradosso Distanza radiale da A Sforzo adimensionalizzato Sforzo massimo

ri (cm) σ(ri,t) /σMAX(ri) (-) σMAX(ri) (kPa)B 10.81 0.991 695.06

C 46.77 0.85 596.16

D 137.64 0.25 175.34

E 261.24 0.02 14.03

*1 1*

2 2*

4 4

2.2

0.8 ( )

⎧ = +⎪

= ⋅⎨⎪ = ⋅ +⎩

arr

arr

T t T

T T

T t T

[62]

( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

*

*4

0

0

i

i ARR i

i MAX i

i

i

r

r t t d

r r

t

r

r T

σ

σ α

σ σ

σ β

σ

⎧ =⎪⎪ = −⎪⎪ =⎨⎪

= −⎪

=⎩⎪⎪

( ) ( )( )

( )( )

( )

*1

* *1 2

* *2 4

*4

se

se

s

0

e

se

se

iARR i

ARR

i

i

i

i

r

r

r

r

t t d

t d t T

T t T

T t T

t T

σ

σ

σ

σ

σ

<

≤ <

≤ =

≤

<

<

≥

=

=

[63]

tempo (s)

sf

rzo

ve

rtic

ale

(k

Pa

)

Sforzo verticale sotto il punto d'impatto

sintetico

tarr

T *1

T *4

T*2

o

α β

[63] (Figura 5.22). Si noti che il tempo d’arrivo dell’onda di pressione è funzione della

5

158

I valori dei tempi tARR d’arrivo calcolati relativamente ai punti di riferimento per il caso in esame sono riportati in Tabella 5.4.

Tabella 5.4 : tempi di arrivo stimati per la Prova 9

Da questi è possibile calcolare i valori dei tempi Ti* e dei parametri α∗ e β, attraverso l'uso delle relazioni [62] ottenendo finalmente le distribuzioni spazio-temporali degli sforzi all’estradosso della soletta nei diversi punti di coordinata ri (Figura 5.23).

Tabella 5.5 : valori dei tempi Ti* e dei parametri α∗ e β per la Prova 9

Figura 5.23 : andamento temporale dello sforzo all’estradosso della struttura nei cinque punti d’interesse

Punto all’estradosso

Distanza dal punto O Tempi di arrivo

di (m) tARR(di) (10-3 s)A 2 6.5

B 2.003 6.509

C 2.054 6.675

D 2.428 7.891

E 3.29 10.693

Punto all’estradosso T1*(s) T2*(s) T4*(s) α∗ (−) β (−)A 0.012171 0.022081 0.046521 123676.6 -28698.3

B 0.01218 0.022081 0.0465281 122563.5 -28431.2

C 0.012346 0.022081 0.0466611 105125.1 -24254.3

D 0.013561 0.022081 0.0476331 30919.1 -6862.2

E 0.016364 0.022081 0.0498751 2473.5 -504.7

0 0.02 0.04 0.060.01 0.03 0.05

tempo (s)

0

200

400

600

800

100

300

500

700

sfo

rzo

all

'es

tra

do

ss

o (

kP

a)

Input Sintetico

A - r i=0 cm

B - r i=10.81 cm

C - r i=46.77 cm

D - r i=137.64 cm

E - r i=261.25 cm

Risposta dinamica della struttura

159

5.3.3 Modello di calcolo

Come già anticipato, l’analisi dinamica della struttura è stata effettuata utilizzando il programma di calcolo agli Elementi Spettrali GeoELSE, alla cui descrizione è dedicato l’Appendice G nel Capitolo 4. Nel seguito riassumiamo le principali ipotesi, ispirate dalle evidenze sperimentali riportate nel §5.2, che stanno alla base della definizione del modello numerico:

• l’analisi è limitata alla copertura, dato che la struttura di sostegno della stessa (muro a monte ed arcate a valle), ha rigidezza sufficientemente elevata da far sì che la si possa ritenere un vincolo rigido;

• la copertura è considerata come semplicemente appoggiata sulla struttura di sostegno. Una serie preliminare di analisi numeriche, in cui i bordi sono stati ipotizzati incastrati, hanno dato risultati molto simili;

• la copertura, costituita da una serie di travi prefabbricate in CAP disposte trasversalmente all’asse della galleria e da una soletta di continuità in CA, è modellata come una piastra elastica ortotropa (vedi §5.2.2 e §5.2.3 e Figura 5.24a e b);

• data l’incertezza circa il grado di solidarietà tra il terreno e la soletta stessa (vedi §5.2.4), sono state svolte due analisi separate (con e senza collaborazione della massa del terreno).

Lo schema del modello ed una vista della mesh adottata sono riportati in Figura 5.24a e in Figura 5.25, rispettivamente.

Figura 5.24 : (a) schematizzazione a piastra (non in scala) e (b) vista laterale della galleria di Listolade (si noti la disposizione trasversale delle travi e la presenza della soletta di continuità)

Figura 5.25 : vista 3D della mesh GeoELSE, in cui si nota l’infittimento nella zona ove viene simulato l’impatto (prova 9)

(a)

(b)

100 m

11.7 m

0.7 m

X

Y

Z

5

160

In pianta, il modello numerico della piastra è caratterizzato dalle effettive misure della copertura della galleria (100 m di lunghezza per 11.7 m di larghezza) ed è costituita da un materiale elastico ortotropo. Questa scelta si è resa necessaria per riprodurre il comportamento marcatamente ortotropo della copertura, senza dover ricorrere alla modellazione di dettaglio di tutti gli elementi strutturali che la compongono (travi trasversali in CAP e soletta di copertura in CA). I parametri costitutivi del modello elastico ortotropo sono riportati in Tabella 5.6, ove si fa riferimento alla terna d’assi cartesiani di Figura 5.24. Per quanto riguarda le direzioni y e z, si è utilizzato direttamente il valore medio del modulo di Young del calcestruzzo di cui è costituita la struttura (valutato grazie ad una serie di misure ultrasoniche in sito). I valori dei rimanenti moduli (in particolare xE ), della densità del materiale (pari a 1567 kg/m3) e dello spessore (pari a 0.7 m), sono stati calcolati in modo che la piastra abbia la stessa rigidezza flessionale e la stessa massa della copertura della galleria. Su ciò che concerne i dettagli strutturali relativi alla piastra di copertura si rimanda all’Appendice C del Capitolo 1.

Tabella 5.6 : parametri costitutivi elastici

5.3.4 Risultati

In Figura 5.26 mostriamo il confronto tra i risultati sperimentali e quelli delle due simulazioni numeriche precedentemente descritte (con e senza collaborazione da parte della massa del terreno). Notiamo innanzitutto la netta differenza tra le due simulazioni, in particolare per quanto riguarda il periodo di oscillazione della struttura. La prima fase dell’inflessione, all’incirca fino al raggiungimento della massima freccia, viene riprodotta molto bene qualora non si tenga conto della massa del terreno. Al contrario, la successiva fase in cui la copertura “risale” verso la posizione indeformata, è molto meglio riprodotta nel caso in cui si consideri il terreno come collaborante. In altri termini, mentre nessuna delle due simulazioni è in grado di cogliere individualmente l’andamento temporale marcatamente asimmetrico della freccia, la loro combinazione fornisce un’ottima stima del comportamento della struttura. Questo risultato trova una giustificazione nei riscontri sperimentali (§5.2.4), i quali mostrano chiaramente che nella prima fase dell’impatto la copertura subisce una violenta accelerazione verso il basso, tale da provocare il temporaneo distacco del terreno. Dal punto di vista quantitativo, ed ai fini del calcolo strutturale, è comunque importante sottolineare che, a seconda delle ipotesi fatte, si ottiene una stima per eccesso (massa non collaborante) o per difetto (massa collaborante) della massima inflessione della copertura.

Modulo di Poisson

ν [-]2.308 Gxy 5

30 Gxz 12

30 Gyz 12

0.25

Modulo elastico

[GPa] G [GPa]

Modulo di taglio

E

xE

yE

zE

Risposta dinamica della struttura

161

Figura 5.26 : confronto tra dati sperimentali (curva continua nera) e simulazioni numeriche (curva tratteggiata: massa del terreno collaborante, curva tratto-punto: massa del terreno non collaborante)

Figura 5.27 : vista 3D della deformata della struttura all’istante temporale in cui si verifica la freccia massima

Per completare la presentazione dei risultati, in Figura 5.28 e in Figura 5.29 è illustrata l’evoluzione temporale della deformata della piastra. Si è scelto di rappresentare una vista tridimensionale della struttura corrispondente all’istante di spostamento massimo (Figura 5.27), e due viste, laterale (piano XZ) e frontale (piano YZ), al procedere del tempo. I risultati numerici confermano le osservazioni sperimentali (§5.2.2 e §5.2.3) ed in particolare permettono di visualizzare chiaramente il fenomeno della propagazione dell’onda d’inflessione lungo l’asse longitudinale della galleria, così come mettono in luce gli effetti dell’ortotropia della piastra.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10.01 0.03 0.05 0.07 0.09

tempo (s)

6

4

2

0

-2

-4

5

3

1

-1

-3

ce

dim

en

to (

mm

)

Simulazione numerica-GeoELSEPROVA9

dati sperimentali-accelerometro 5307

input sintetico-massa non collaborante

ρ=1567 kg/m3

input sintetico-massa collaborante

ρ=7088 kg/m3

5

162

Figura 5.28 : andamento temporale della deformata (massa del terreno non collaborante); piano XZ (vista laterale di Figura 5.27)-zoom della zona d’impatto

(1) (7)

(2) (8)

(3) (9)

(4) (10)

(5) (11)

(6) (12)

Risposta dinamica della struttura

163

Figura 5.29 : andamento temporale della deformata (massa del terreno non collaborante); piano YZ (vista frontale di Figura 5.27)

(1) (7)

(2) (8)

(3) (9)

(4) (10)

(5) (11)

(6) (12)

5

164

5.4 Analisi numerica di galleria a mensola

In questo paragrafo mostriamo un esempio di analisi dinamica di una struttura avente una tipologia diversa rispetto al classico schema a portale sin qui considerato, formata da elementi prefabbricati che costituiscono una mensola. In Figura 5.30 è riportato, quale esempio, la galleria paramassi attualmente in costruzione in località Ponte del Cristo (S.R. 203 Agordina km 22).

Figura 5.30 : galleria paramassi in costruzione lungo la S.R. 203 Agordina (BL)

L'analisi verrà effettuata mediante il programma numerico agli elementi finiti SAP2000, molto diffuso in ambito professionale, e sarà limitata al caso elastico lineare. In questo caso mostreremo unicamente i risultati della analisi della struttura, tralasciando di descrivere passo-passo la procedura che porta alla determinazione della sollecitazione impulsiva in funzione dell’impatto di progetto. Ricordiamo infatti che, adottando un approccio disaccoppiato, la valutazione delle sollecitazioni sulla struttura prescinde dal comportamento della struttura stessa, e può pertanto essere svolta in maniera del tutto analoga a quanto mostrato con riferimento alla struttura a portale (§5.3.1 e §5.3.2).

5.4.1 Descrizione della struttura

Il modello della galleria adottato ha una lunghezza totale pari a 85 m ed è costituita da sessantotto moduli prefabbricati giustapposti. La luce netta dell'elemento a sbalzo misura 8.34 m, e sovrasta di 5.18 m la sede stradale. Il singolo elemento prefabbricato è costituito a sua volta da tre corpi scatolari in calcestruzzo armato, aventi larghezza di 1.25 m e collegati tra loro tramite barre in acciaio che formano l'armatura principale della struttura (Figura 5.31). I moduli sono riempiti in fase di messa in opera con polistirolo (sezione A-A), calcestruzzo (sezione B-B) ed inerte (sezione C-C). La staticità del manufatto è garantita da una serie di tiranti che vincolano la struttura alla parete retrostante e dalle fondazioni gettate in opera. Al termine della fase di messa in opera degli elementi prefabbricati, si procede al getto di una soletta di copertura in CA. Quest’ultima ha la funzione di completare e solidarizzare gli elementi scatolari, dando vita ad una struttura caratterizzata da una notevole rigidezza e dalla capacità di distribuire i carichi lungo la

direzsecoposi

Figu

Commedinforsing(Figulungoppointrospesrispe

zione longitudinaleonda serie di tirazionamento dello

ura 5.31 : schema g

5.4.2 Modella

me anticipato nell'idiante il codice di crmazioni più approlo modulo prefabura 5.32a). Il mo

ghezza totale paortunamente i mo

odotte per descrivssori assegnati aettivamente.

Figura 5.3

(a)

e (vedi §5.4.3). Laanti che vincolanostrato di terreno a

geometrico di un mo

azione agli eleme

introduzione, la mcalcolo ad Elemenrofondite. Il modebbricato in tutte le odello della gallerari a 85 m, è oduli così come mvere il comportameagli elementi she

32 : modello FE del

a costruzione dell’oo direttamente lammortizzante a pr

odulo prefabbricato

enti finiti della ga

modellazione ad elnti Finiti SAP2000ello è stato costrsue parti tramite e

ria completa, cosstato ottenuto a

mostrato in Figuraento del calcestruell sono mostrat

l singolo modulo (a)

(b)

Rispo

opera è completat soletta alla parerotezione della sol

o e della soletta di c

lleria

lementi finiti dell'o0, al cui manuale uuito partendo dalelementi finiti di tipstituita da sessanaccostando e vina 5.32b. Le caratuzzo (elastico lineti in Tabella 5.7

) e della galleria co

osta dinamica dell

a dalla tesatura diete retrostante, eletta stessa.

opertura (misure in

opera è stata esegutente rimandiamolla riproduzione dpo shell a quattro

ntotto moduli per ncolando fra di tteristiche meccaneare ed isotropo) 7 ed in Tabella

mpleta (b)

la struttura

165

i una e dal

n cm)

guita o per di un nodi una loro

niche e gli 5.8,

5

166

I tira5.31formè laottievienche con prefacope5.33utiliz

anti sono stati rap. La rigidezza dei

mula: KT= E ·A/L, ov lunghezza libera

ene: KT=12.973 kNe simulato medianriproducono un alinea a doppio tr

abbricati e della sertura (P1), del rie3. e la spinta del zzato il valore della

Pe

Le

Pi

Tabella 5.7 : caratt

Tabella 5.8

ppresentati tramitetiranti è stata valuve A è la sezione

a del trefolo stessN/m. Il vincolo cosnte l'utilizzo di ele

appoggio monolateratteggio di Figurasoletta in CA, sonempimento in CLSterreno di riempim

a spinta a riposo).

Figura 5.33 : sche

eso per unità di voluModulo elastico

Modulo di Poiss

Caratteristich

SezioneCostole

Copertura supe

embo estremo della

Setti (giunti di sigi

astra inferiore deg

teristiche meccanich

: spessore degli el

e l'utilizzo di molleutata sulla base dedel trefolo, E il moso. Ponendo A=9stituito dalla pareteementi “gap”, ossiaero. I “gap” sono sa 5.31. Nei calco

no introdotti comeS dei moduli scatomento (P3) a terg

ema dei carichi sta

ume γ (kN/m3) (GPa)

son ν (-)

he meccaniche de

E

S

eriore

a mensola

illatura)

li elementi

he del calcestruzzo

ementi shell

e, posizionate comelle proprietà dei tiodulo elastico dell’973 mm2, E =200 e retrostante e daa di particolari elestati posizionati lu

oli, oltre al peso pe carichi distribuiti olari (P2), così comgo della mensola

tici (misure in cm)

25

25

0.25

l calcestruzzo

Spessore (cm)18.5

25

10

17

14

o

me mostrato in Firanti stessi second’acciaio armonico GPa, ed L=15 m

al riempimento a tmenti di collegam

ungo i contorni indproprio degli elemil peso del terren

me mostrato in Fi(per semplicità, v

5

gura do la ed L

m, si tergo

mento dicati menti no di gura

viene

Nel para

I caprocgranè sitdellamodgallelunggalleIn pamenmoslong

In Ffunzsess

5.4.3 Risultat

seguito mostrereametri di Tabella 5

Tabella

arichi dinamici lecedimento propostnulare piano che atuato nella seziona mensola. Nel sedellata l’intera galleeria di ridotta esghezza). In questoeria, che viene sfruarticolare commen

nsola, al variare dstrati per diversegitudinale rispetto a

Fig

Figura 5.35 è illuszione del tempo, insantotto moduli). C

i dell'analisi dina

emo i risultati n.9:

5.9 : parametri dell

gati all'impatto dto nel corso dei pr

abbia spessore di 1e centrale della g

eguito verranno moeria (sessantotto m

stensione (composo modo metteremuttata grazie alla nnteremo i risultati della distanza D de sezioni della gal punto d’impatto.

gura 5.34 : schema e della sezio

strato l'andamenton corrispondenza dCome atteso, la m

Massa del blo

Altezza di ca

Energia d’imp

Cara

mica della strutt

umerici ottenuti

l’impatto utilizzato p

di un blocco in recedenti capitoli, 1.5 m e che si trovgalleria ad una disostrati i risultati dimoduli); nella secosta da soli cinqu

mo in evidenza l'inotevole rigidezza

concernenti gli spdal punto A di Fgalleria, caratteriz.

del sistema di riferne di calcolo delle a

o dello spostamendi quattro diverse assima freccia vie

occo (kg)

duta (m)

patto (kJ)

atteristiche dell’im

Rispo

ura sottoposta a

simulando l’impa

per la simulazione n

roccia sono staticonsiderando uno

vi in condizioni sciostanza di circa 3.5 due separate anaonda si prenderà ue moduli per comportanza della flessionale della s

postamenti verticaigura 5.34. I valozzate dalla dista

rimento locale adottazioni interne

nto verticale dei psezioni della galle

ene registrata alla

10000

40

3924

mpatto

osta dinamica dell

d impatto

atto caratterizzato

numerica

i stimati attraverso strato ammortizzolte. Il punto di imp5 m dall'estremo lialisi: nella prima vin considerazioneomplessivi 6.25 mtridimensionalità d

soletta di coperturaali di diversi punti dori in esame verranza dy lungo l'a

tato

punti della mensoeria (galleria compmezzeria dell'ope

la struttura

167

o dai

so il zante patto bero

viene e una m di della a. della anno asse

ola in pleta, ra, e

5

168

cioè in corrispondenza del punto d’impatto. L’aspetto di maggior interesse è dato dal fatto che la freccia si mantiene su valori confrontabili con il massimo anche spostandosi di parecchi metri longitudinalmente. Inoltre, misurando il ritardo con cui gli effetti dell’impatto si trasmettono longitudinalmente, si ottiene una velocità di propagazione dell’ordine di 600 m/s.

Figura 5.35 : spostamenti in direzione verticale in funzione del tempo, per diverse sezioni della galleria: dy=0 m (a), dy=10 m (b) dy=20 m (c) dy=30 m (d)

Questi due risultati stanno ad indicare il fatto che la struttura, grazie alla rigidezza conferita dalla piastra di copertura, è in grado di distribuire la risposta strutturale chiamando a collaborare un’ampia porzione della galleria. Questa osservazione è confermata dai dati riportati in Figura 5.36 ove è illustrata la deformata del lembo estremo della mensola, in tre differenti istanti di tempo. Il massimo valore della freccia verticale viene registrato per t=0.08 s, istante in cui la deformata si è propagata longitudinalmente per più di 20 m.

(a) (b)

(c) (d)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.1 0.3 0.5 0.7 0.9

tempo (s)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

-7

-5

-3

-1

1

3

sp

os

tam

en

to v

ert

ica

le (

cm

)

dy = 0.00 m

D = 8.75 m

D = 7.50 m

D = 6.25 m

D = 5.00 m

D = 3.75 m

D = 2.50 m

D = 1.25 m

D = 0.00 m

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.1 0.3 0.5 0.7 0.9

tempo (s)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

-7

-5

-3

-1

1

3

sp

os

tam

en

to v

ert

ica

le (

cm

)

dy = 10.00 m

D = 8.75 m

D = 7.50 m

D = 6.25 m

D = 5.00 m

D = 3.75 m

D = 2.50 m

D = 1.25 m

D = 0.00 m

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.1 0.3 0.5 0.7 0.9

tempo (s)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

-7

-5

-3

-1

1

3

sp

os

tam

en

to v

ert

ica

le (

cm

)

dy = 20.00 m

D = 8.75 m

D = 7.50 m

D = 6.25 m

D = 5.00 m

D = 3.75 m

D = 2.50 m

D = 1.25 m

D = 0.00 m

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.1 0.3 0.5 0.7 0.9

tempo (s)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

-7

-5

-3

-1

1

3

sp

os

tam

en

to v

ert

ica

le (

cm

)

dy = 30.00 m

D = 8.75 m

D = 7.50 m

D = 6.25 m

D = 5.00 m

D = 3.75 m

D = 2.50 m

D = 1.25 m

D = 0.00 m

Risposta dinamica della struttura

169

Figura 5.36 : deformata del lembo estremo della mensola, in tre differenti istanti di tempo

Il comportamento qui descritto è completamente differente rispetto a quello osservato nel caso della galleria a portale, ove la marcata ortotropia strutturale della copertura tendeva a concentrare la risposta dinamica in una zona longitudinalmente poco estesa, esaltando il comportamento a trave degli elementi trasversali. Ad ulteriore conferma del ruolo giocato dall’estensione tridimensionale della galleria, mostriamo ora i risultati che sono stati ottenuti nel caso in cui si prenda in considerazione una galleria di limitata estensione, costituita da soli cinque moduli. In Figura 5.37 è illustrato l'andamento dello spostamento verticale in corrispondenza del modulo centrale (ove ha luogo l’impatto) della galleria ridotta, da cui si nota che, rispetto all’analisi precedente, la freccia massima è circa triplicata. Analoghe conclusioni possono essere tratte dal confronto tra le azioni nei tiranti che risultano addirittura quadruplicate nel caso della galleria di estensione ridotta.

Figura 5.37 : spostamenti in direzione verticale in funzione del tempo (modulo centrale, galleria composta da cinque moduli)

0 10 20 30 405 15 25 35

distanza longitudinale (m)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

-7

-5

-3

-1

1

3

sp

os

tam

en

to v

ert

ica

le (

cm

)

Deformata della galleria

t = 0.04 s

t = 0.08 s

t = 0.12 s

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250.025 0.075 0.125 0.175 0.225

tempo (s)

-30

-20

-10

0

10

20

-25

-15

-5

5

15

sp

os

tam

en

to v

ert

ica

le (

cm

)

dy = 0.00 m

D = 8.75 m

D = 7.50 m

D = 6.25 m

D = 5.00 m

D = 3.75 m

D = 2.50 m

D = 1.25 m

D = 0.00 m

5

170

Figura 5.38 : azioni nei tiranti: (a) sessantotto moduli; (b) cinque moduli (N.B. scale temporali differenti)

5.4.3.1 Azioni interne nella sezione d’incastro Di seguito ci riferiremo ai risultati ottenuti nel caso di galleria di lunghezza 85 m (sessantotto moduli), mostrando le azioni interne negli elementi strutturali (anima, estradosso ed intradosso) che costituiscono gli elementi prefabbricati della copertura. In particolare considereremo la sezione d’incastro (Figura 5.34) del modulo direttamente sottoposto ad impatto (Figura 5.39).

Figura 5.39 : sezione di un generico elemento del modulo prefabbricato. Numerazione degli elementi appartenenti alla sezione d’incastro del modulo centrale

In Figura 5.40 e in Figura 5.41 è illustrata, in funzione del tempo, l'azione assiale per i diversi elementi strutturali che compongono la sezione: le azioni interne sono mostrate individualmente per ogni shell (Figura 5.40 a, b, c, d), ed in termini di risultanti sul singolo elemento strutturale (Figura 5.40 e, f). Facendo riferimento ai singoli elementi strutturali, si osserva quanto segue:

• nelle anime verticali l’azione assiale è prevalentemente di trazione (Figura 5.40 a, b, e);

• negli elementi dell'intradosso e dell'estradosso la distribuzione dell'azione assiale è sostanzialmente uniforme (Figura 5.40 c e d);

• intradosso ed estradosso si comportano alternativamente come tiranti e puntoni (Figura 5.40 f).

(a) (b)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.1 0.3 0.5 0.7 0.9

tempo (s)

0

100

200

300

400

50

150

250

350

ca

ric

o t

ira

nte

(k

N/m

)

Tiranti

dy = 40.00 m

dy = 30.00 m

dy = 20.00 m

dy = 10.00 m

dy = 0.00 m

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250.025 0.075 0.125 0.175 0.225

tempo (s)

0

100

200

300

400

50

150

250

350

ca

ric

o t

ira

nte

(k

N/m

)

Tiranti

dy = 0.00 m

intradosso

estradosso

anima dx

anima sx

linea

baricentrica

1224 1225 1226 1227 1228

328 361 394 439 472

695

694

693

687

686

13

12

11

5

4

Risposta dinamica della struttura

171

Figura 5.40 : azione assiale sollecitante la sezione: anima sinistra (a), anima destra (b), intradosso (c) ed estradosso (d); azione risultante sulle anime (e) e sugli elementi orizzontali (f), per il modulo

prefabbricato centrale (larghezza 1.25 m)

In Figura 5.41 è evidente l’arrivo di un’onda di compressione (piccolo effetto puntone) che precede, grazie alla rastremazione della mensola, la risposta flessionale della struttura.

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.1 0.3 0.5 0.7 0.9

tempo (s)

-800

-400

0

400

800

-600

-200

200

600c

ari

co

as

sia

le (

kN

)

elemento verticale, sx

shell n.4

shell n.5

shell n.11

shell n.12

shell n.13

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.1 0.3 0.5 0.7 0.9

tempo (s)

-800

-400

0

400

800

-600

-200

200

600

ca

ric

o a

ss

iale

(k

N)

elemento verticale, dx

shell n.686

shell n.687

shell n.693

shell n.694

shell n.695

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.1 0.3 0.5 0.7 0.9

tempo (s)

-1200

-800

-400

0

400

800

-1000

-600

-200

200

600

cari

co

assia

le (

kN

)

shell n.1228

shell n.1227

shell n.1226

shell n.1225

shell n.1224

intradosso

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.1 0.3 0.5 0.7 0.9

tempo (s)

-200

0

200

400

600

800

-100

100

300

500

700

ca

ric

o a

ss

iale

(k

N)

shell n.472

shell n.439

shell n.394

shell n.361

shell n.328

estradosso

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.1 0.3 0.5 0.7 0.9

tempo (s)

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

-250

250

750

1250

1750

2250

cari

co

assia

le (

kN

)

sinistra

destra

azione risultante,elementi verticali

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.1 0.3 0.5 0.7 0.9

tempo (s)

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

-5000

-3000

-1000

1000

3000

cari

co

assia

le (

kN

)

estradosso

intradosso

azione risultante,elementi orizzontali

5

172

L'andamento della risultante dell’azione assiale N* sull’intera sezione è mostrato in Figura 5.41, da cui si notano gli effetti del comportamento dinamico della struttura, ed in particolare della forza d’inerzia che si accompagna all’oscillazione trasversale in direzione x di Figura 5.32b, permessa dai tiranti, della mensola. L'andamento osservato è fortemente asimmetrico, con una prevalenza delle fasi di trazione rispetto a quelle di compressione. Ciò è legato al comportamento asimmetrico del tipo di vincolo (tirante ed appoggio monolatero) presente a monte della struttura. A completamento dei risultati riguardanti le azioni interne della sezione di incastro, in Figura 5.42 riportiamo il momento flettente agente in corrispondenza del modulo centrale ed il contributo dato dai singoli elementi strutturali (anime, intradosso ed estradosso).

Figura 5.41 : azione assiale risultante per l'intera sezione (modulo prefabbricato centrale di larghezza pari a 1.25 m)

Figura 5.42 : momento flettente per la sezione in esame (modulo centrale di larghezza pari a 1.25 m)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.1 0.3 0.5 0.7 0.9

tempo (s)

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

-1500

-500

500

1500

2500

ca

ric

o a

ss

iale

(k

N)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.1 0.3 0.5 0.7 0.9

tempo (s)

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

-3000

-1000

1000

3000

5000

mo

me

nto

fle

tte

nte

(k

N. m

)

momento flettente

elemento verticale, sx

elemento verticale, dx

intradosso

estradosso

risultante

Risposta dinamica della struttura

173

5.4.3.2 Distribuzione delle azioni interne nella struttura In questo paragrafo studiamo la distribuzione delle azioni interne (ed in particolare dell’azione assiale), negli elementi prefabbricati che costituiscono la galleria a mensola. Da quanto mostrato in Figura 5.43, relativa agli elementi appartenenti alle anime del cassone centrale, è possibile trarre una serie di considerazioni:

• le azioni assiali nelle anime differiscono sostanzialmente da quanto previsto nel caso di pura flessione: ciò potrebbe essere determinato, in prima analisi, dalla concentrazione di sforzi che si viene a creare in corrispondenza dell'intradosso per via della conformazione geometrica dell'elemento prefabbricato (cfr. ad esempio la Figura 5.43b);

• la Figura 5.43a e la Figura 5.43b fotografano la distribuzione delle azioni in istanti di tempo che si situano attorno al raggiungimento della massima inflessione della struttura. In prossimità della sezione d'incastro (Figura 5.34), la distribuzione delle azioni si discosta da quanto atteso ipotizzando il mantenimento della planarità delle sezioni: ciò è certamente dovuto alla geometria della mensola, la quale comporta una marcata concentrazione di sforzi in corrispondenza dello spigolo d'intradosso. Per motivi ugualmente determinati dalla geometria e dal conseguente flusso degli sforzi nella struttura, in corrispondenza dell'estradosso si osserva una migrazione del massimo valore di trazione verso il centro della sezione.

Figura 5.43 : distribuzione dell'azione assiale nelle anime del cassone centrale, a vari istanti temporali: t=0.05 s, 0.075 s, 0.1 s, 0.15 s, 0.2 s, 0.25 s

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

5

174

Con riferimento alle azioni registrate negli elementi orizzontali della copertura (estradosso ed intradosso, Figura 5.44), si osserva quanto segue:

• le sollecitazioni tendono a concentrarsi in corrispondenza delle anime verticali, che irrigidiscono la struttura (si osservino le zone blu scuro di Figura 5.44b, le quali individuano la posizione delle anime);

• nella zona sottostante il punto d'impatto, si ha una forte concentrazione di azioni di compressione all'estradosso e di trazione all'intradosso (Figura 5.44b e c);

• il fenomeno di diffusione delle sollecitazioni in direzione trasversale (ossia lungo l'asse della galleria) è chiaramente visibile, e mostra come l'estensione della zona più sollecitata sembri all'incirca pari al doppio della distanza tra il punto di impatto e la sezione di incastro della mensola.

Figura 5.44 : distribuzione dell'azione assiale negli elementi di estradosso (b) ed intradosso (c), all'istante t=0.075 s

(a) (b)

(c)

Risposta dinamica della struttura

175

Elenco dei simboli A area A(t) area dell’impronta di carico a parametro a(t) raggio dell’impronta di carico (andamento temporale) a raggio dell’impronta di carico all’istante di massimo sforzo C costante di smorzamento c velocità di propagazione delle onde di compressione nello strato

ammortizzante cV parametro costitutivo Ccr smorzamento critico D distanza dal punto di collegamento tra molla-tirante e mensola Dr densità relativa dA unità di area infinitesima d distanza dell’i-esimo punto all’estradosso della soletta dal punto

d’impatto dy sezione lungo l’asse longitudinale della galleria rispetto al punto

d’impatto dV unità di volume infinitesimo E energia cinetica del grave E modulo di Young E0 energia cinetica di riferimento F(t) carico sollecitante la struttura-forzante del sistema-forza d’impatto F0 parametro FMAX massima forza applicabile staticamente ad una pseudo-fondazione

circolare - valore massimo della forza d’impatto fd fattore di amplificazione dinamico fg fattore di amplificazione geometrico G modulo di taglio g accelerazione di gravità H altezza di caduta h spessore del terreno ammortizzante K rigidezza della molla/costante elastica (modello BIMPAM) KT rigidezza dei tiranti L lunghezza libera del trefolo m massa del grave M massa del sistema M* momento MPT massa complessiva del sistema piastra-terreno N* azione assiale n parametro P forza verticale concentrata applicata staticamente al centro della piastra R raggio del grave r distanza radiale s spostamento verticale

5

176

sMAX valore massimo dello spostamento verticale T* azione dei tiranti t tempo T1 parametro dell’input sintetico T2 parametro dell’input sintetico T3 parametro dell’input sintetico T4 parametro dell’input sintetico

*1T

parametro dell’output sintetico *2T

parametro dell’output sintetico *4T

parametro dell’output sintetico tARR tempo d’arrivo dell’onda di compressione all’estradosso della soletta V volume V* azione di taglio wC spostamento verticale massimo-caso 1 DOF x, y, z coordinate spaziali y(t) affondamento del blocco

0y velocità del blocco al momento dell’impatto α parametro dell’input sintetico α∗ parametro dell’output sintetico β parametro dell’output sintetico Δ1 parametro costitutivo Δ2 parametro costitutivo Δt intervallo temporale φ’r angolo d’attrito residuo

γ peso per unità di volume γv parametro costitutivo ν modulo di Poisson ρ densità

σMAX(r) distribuzione spaziale di sforzo all’estradosso della soletta σ(r,t)/σMAX(r) parametro adimensionale di sforzo ωr frequenza angolare ξ(x,y) funzione di forma che descrive la deformata della piastra

Risposta dinamica della struttura

177

Appendice I ANALISI CON INPUT GENERATO MEDIANTE BIMPAM

Di seguito verranno confrontati i risultati ottenuti sfruttando la generazione sintetica dell’input (forza d’impatto) e dell’output (distribuzione spazio-temporale degli sforzi sulla soletta), con quelli che si ottengono riproducendo specificamente l’impatto 9 tramite l’utilizzo del codice BIMPAM.

Definizione dell’input

In Tabella I1 sono riassunti i parametri caratterizzanti lo strato ammortizzante di Listolade, già presentati all’interno del Capitolo 3, necessari alla simulazione dell’impatto tramite il codice BIMPAM.

Tabella I1 : parametri utilizzati nel codice BIMPAM per la simulazione delle prove di Listolade

L’andamento temporale della forza d’impatto F(t), così come ottenuta dalla simulazione BIMPAM (già mostrata nel §5.3.1), viene qui riportata e confrontata con l’input sintetico.

Definizione dell’output

La valutazione del massimo sforzo di contatto tra il blocco ed il terreno è pari a:

( ) ( )( )

( )( )2max maxMAX

F t F tO

A t a tσ

π⎛ ⎞⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. [64]

Osserviamo che l’andamento della forza d’impatto di Figura I1a è tale da richiedere un’integrazione numerica della decelerazione corrispondente.

m (kg) 850

R (m) 0.45

γ (kN/m3) 20

ν (-) 0.25

Dr (%) 100

φ'r (°) 36.5

K, n (-) 1000, 0.4

γV (s-1) 5

cV, Δ1, Δ2 (-) 1, 3, -1

Parametri del modello BIMPAM

5

178

Figura I1 : forza d’impatto: (a) riproduzione mediante codice BIMPAM; (b) input sintetico

La forza d’impatto, l’affondamento del blocco ottenuto dall’integrazione della decelerazione e l’andamento dello sforzo nominale di contatto corrispondenti alla simulazione tramite codice BIMPAM dell’impatto, sono mostrati in Figura I2. Nella medesima figura riportiamo le stesse grandezze valutate partendo dall’input sintetico (§5.3.2), allo scopo di mostrare le differenze tra i due approcci.

Figura I2 : input sintetico (a), penetrazione del blocco (b) e sforzo nominale all’interfaccia tra il blocco ed il terreno (c). Il punto indica l’istante t=T1 in cui si raggiunge il massimo valore dello sforzo nominale

La curvatura iniziale della forza d’impatto generata tramite BIMPAM è tale da far sì che lo sforzo nominale di contatto sia inizialmente nullo, per poi crescere regolarmente sino ad un massimo, σMAX_BIMPAM(O)=4663.33 kPa, che è leggermente superiore rispetto a quello derivante dall’utilizzo dell’input sintetico (σMAX(O)=4456.57 kPa, vedi §5.3.2.1).

(a) (b)

0 0.02 0.04 0.060.01 0.03 0.05

tempo (s)

0

400

800

1200

1600

2000

200

600

1000

1400

1800fo

rza

d'im

patt

o (

kN

)BIMPAM - Prova 9

0 0.02 0.04 0.060.01 0.03 0.05

tempo (s)

0

400

800

1200

1600

2000

200

600

1000

1400

1800

forz

a d

'im

patt

o (

kN

)

input sintetico - Prova 9

(a) (b) (c)

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010.001 0.003 0.005 0.007 0.009

t (s)

0

400

800

1200

1600

2000

200

600

1000

1400

1800

F (

kN

)

PROVA 9BIMPAM

sintetico

FMAX,sintetico

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010.001 0.003 0.005 0.007 0.009

t (s)

0

0.1

0.2

0.3

0.05

0.15

0.25

y (

m)

PROVA 9BIMPAM

sintetico

y*sintetico

y*BIMPAM

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010.001 0.003 0.005 0.007 0.009

t (s)

0

1000

2000

3000

4000

5000

500

1500

2500

3500

4500

σIN

(k

Pa

)

PROVA 9BIMPAM

sintetico

σ*IN,sintetico

σ*IN,BIMPAM

Risposta dinamica della struttura

179

Dal punto di vista qualitativo, i due andamenti dello sforzo nominale sono molto diversi nella prima fase, a causa della linearizzazione della forza d’impatto che caratterizza l’input sintetico. Per altro, l’affondamento cresce in modo sostanzialmente identico, essendo determinato in larga parte dal valore della velocità d’impatto, come mostrato nel §5.3.2. Si noti tuttavia che il massimo sforzo viene raggiunto in due istanti temporali differenti, e corrisponde dunque a due diversi valori di affondamento e di ampiezza dell’orma d’impatto. Quanto alla determinazione di σMAX(A), viene utilizzata la medesima equazione del §5.3.2.1

( ) ( )MAX MAX d gA O f fσ σ= ⋅ ⋅ , [65]

in cui il fattore geometrico va calcolato tenendo conto del raggio dell’orma d’impatto

( ) ( )

3 / 2 3 / 2

2 2

1 11 1 0.037421 / 1 0.321/ 2

gfa h

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. [66]

Il fattore dinamico, che dipende unicamente dal raggio del blocco e dall’altezza di caduta, non cambia rispetto a quello utilizzato per l’input sintetico e vale fd=3.69. Pertanto si ha: σMAX_BIMPAM(A)=643.93 kPa, da paragonare con il valore ottenuto tramite l’adozione dell’input sintetico che era: σMAX(O)=701.37 kPa. Una volta determinato il massimo valore dello sforzo agente sulla soletta in corrispondenza della verticale del punto d’impatto, l’andamento spazio temporale della sollecitazione viene valutato procedendo esattamente come mostrato nel corso del §5.3.2.3. Il confronto tra l’output generato tramite l’utilizzo del codice BIMPAM e quello derivato dall’input sintetico è mostrato in Figura I3.

Figura I3: andamento temporale dello sforzo all’estradosso della struttura nei cinque punti d’interesse (BIMPAM (a) e input sintetico (b))

(a) (b)

0 0.02 0.04 0.060.01 0.03 0.05

tempo (s)

0

200

400

600

800

100

300

500

700

sfo

rzo

all'e

str

ad

os

so

(k

Pa

)

Input BIMPAM

A - r i=0 cm

B - r i=10.81 cm

C - r i=46.77 cm

D - r i=137.64 cm

E - r i=261.25 cm

0 0.02 0.04 0.060.01 0.03 0.05

tempo (s)

0

200

400

600

800

100

300

500

700

sfo

rzo

all

'es

tra

do

ss

o (

kP

a)

Input Sintetico

A - ri=0 cm

B - ri=10.81 cm

C - ri=46.77 cm

D - ri=137.64 cm

E - ri=261.25 cm

5

180

Risultati

Facciamo riferimento alle analisi condotte escludendo la collaborazione tra il terreno e la soletta ai fini della determinazione delle forze d’inerzia, e confrontiamo i risultati ottenuti utilizzando i due input discussi (sintetico, vedi §5.3.4 e BIMPAM). Data la minore sollecitazione corrispondente all’input generato tramite BIMPAM, e considerato il fatto che la durata dell’impulso è la medesima per i due approcci qui mostrati, la simulazione “sintetica” dell’impatto comporta uno spostamento leggermente maggiore. Rimangono invariati i tratti qualitativi della risposta, per la cui analisi si rimanda al §5.3.4.

Figura I4 : confronto tra dati sperimentali (curva continua nera) e simulazioni numeriche (input sintetico ed input ottenuto da codice BIMPAM); massa del terreno non collaborante

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10.01 0.03 0.05 0.07 0.09

tempo (s)

6

4

2

0

-2

-4

5

3

1

-1

-3

ce

dim

en

to (

mm

)

Simulazione numerica-GeoELSEPROVA9

dati sperimentali-accelerometro 5307

input sintetico-massa non collaborante

ρ=1567 kg/m3

input BIMPAM-massa non collaborante

ρ=1567 kg/m3

183

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