LIMITI DI SUCCESSIONI

Formalmente, una successione di elementi di un dato insieme A è un'applicazione dall'insieme N

dei numeri naturali in A:

L'elemento an della successione è quindi l'immagine

an = f(n)

del numero n secondo la funzione f. L'insieme A può essere ad esempio l'insieme dei numeri reali.

A seconda di come sia definito il codominio A, le successioni possono essere costituite da semplici

numeri reali o complessi, le successioni numeriche; ma anche da funzioni e in questo caso di parla

di successioni di successione di funzioni, oppure ancora da altri oggetti matematici, come matrici

(le matrici identità di dimensione ), figure geometriche (poligoni regolari, piramidi regolari)

o di strutture (gruppi ciclici di ordini successivi , spazi vettoriali Rn), ecc...

Limite di una successione in

Un numero reale a è il limite di una successione di numeri reali {an} se la distanza fra i numeri an

ed a è arbitrariamente piccola quando n è sufficientemente grande. La distanza fra an ed a è data dal

valore assoluto | an − a | .

In altre parole, a è il limite della successione se

Per ogni ε > 0 esiste un numero naturale N tale che | an − a | < ε per ogni n > N.

In questo caso si scrive

e si dice che la successione converge ad a. Se a = 0, la successione è detta infinitesima.

La definizione di limite può essere estesa al caso nel modo seguente: la successione {an}

ha limite se raggiunge valori arbitrariamente alti, cioè se

Per ogni M > 0 esiste un numero naturale N tale che an > M per ogni n > N.

Analogamente, ha limite se an < − M per ogni n > N. In entrambi i casi si dice che la

successione è divergente o convergente a .

Per il teorema di unicità del limite, una successione può avere un limite (finito o infinito) oppure

nessuno (non può quindi averne più di uno).

Successioni limitate

Una successione a valori reali an si dirà:

• limitata inferiormente se esiste un numero m tale che

• limitata superiormente se esiste un numero M tale che

• limitata se esiste un numero M tale che

Una successione a valori in uno spazio metrico è limitata se tutti i suoi valori sono inclusi un una

palla.

Successioni monotone

Una successione {an}n si dice:

• monotona strettamente crescente se

• monotona crescente se

• monotona strettamente decrescente se

• monotona decrescente se

• costante se è contemporaneamente crescente e decrescente, ovvero

Una successione monotona è sempre convergente o divergente; non è mai indeterminata.

Una successione monotona e limitata è sempre convergente.

Permanenza del segno

Per il teorema della permanenza del segno, se una successione {an} converge ad un limite

strettamente positivo a > 0 (che può essere anche ), questa ha definitivamente soltanto termini

positivi. In altre parole, esiste un N tale che an > 0 per ogni n > N.

Analogamente, una successione che converge ad un limite strettamente negativo ha definitivamente

soltanto termini negativi. Una successione che converge a zero può avere infiniti termini di ambo i

segni, ad esempio an = ( − 1)n / n:

D'altro canto, non è vero in generale che una successione {an} di termini positivi an > 0 convergente

debba avere un limite strettamente positivo a > 0: ad esempio, la successione an = 1 / n è fatta di

termini positivi, ma converge a zero.

Valori assoluti

Se una successione {an} converge ad un limite (finito o infinito) a, la successione dei valori assoluti

{ | an | } converge al valore assoluto del limite | a | .

Non è vero l'enunciato opposto: esistono successioni non convergenti, i cui valori assoluti però

convergono. Ad esempio, la successione an = ( − 1)n.

Successione monotona

Per il teorema di esistenza del limite di successioni monotone, una successione monotona {an}

converge sempre ad un limite (che può essere infinito). Il limite è dato dall'estremo superiore (se è

monotona crescente) o inferiore (se è decrescente) dei valori della successione. In altre parole, nel

caso crescente:

Tale limite è finito quindi se e solo se la successione è limitata.

Il fatto che an sia monotona e converga ad un limite a è spesso espresso con una freccia

oppure .

Sottosuccessioni

Una sottosuccessione di una successione {an} è ottenuta prendendo un sottoinsieme infinito di

questa, e si indica con . Vale la proprietà seguente:

Una successione è convergente se e solo se ogni sua sottosuccessione è convergente.

Teorema del confronto (o dei carabinieri)

Il teorema del confronto (o dei carabinieri) per le successioni asserisce che una successione

"stretta fra due successioni" convergenti allo stesso limite converge anch'essa a questo limite.

Formalmente, se {an},{bn} e {cn} sono tre successioni tali che

per ogni n, e se

allora anche

Ad esempio, la successione

è "stretta" fra le successioni an = − 1 / n e cn = 1 / n, poiché

per ogni n. Poiché entrambe an e cn sono infinitesime (convergono cioè a zero), anche bn è

infinitesima.

Criterio di convergenza di Cauchy

Una successione di Cauchy è una successione {an}, i cui valori "si avvicinano sempre di più" fra

loro. Formalmente, per ogni ε > 0 esiste N tale che:

| an − am | < ε per ogni n,m > N.

Per il criterio di convergenza di Cauchy, una successione di numeri reali è convergente se e solo

se è di Cauchy.

Numero di Nepero

Una successione di numeri razionali di Cauchy non è necessariamente convergente ad un numero

razionale (ma lo è ad un numero reale). Ad esempio,

è una successione di Cauchy di numeri razionali convergenti al numero irrazionale e di Nepero.

La Funzione Fattoriale

La funzione fattoriale può anche essere elegantemente definita in modo ricorsivo:

Per questa ragione, viene spesso utilizzata nell'insegnamento dell'informatica per fornire il primo

esempio di calcolo ricorsivo.

I fattoriali innanzitutto sono importanti nel calcolo combinatorio. In particolare vi sono n! diverse

sequenze formate da n oggetti distinti, cioè vi sono n! permutazioni di n oggetti; i fattoriali quindi

enumerano le permutazioni.

Data l'importanza delle permutazioni, segue che i fattoriali si incontrano in numerosissime

espressioni. Ad es., rimanendo nel calcolo combinatorio, il numero di scelte di k oggetti fra quelli

che costituiscono un insieme di n elementi, cioè il numero dei sottoinsiemi di k elementi di un dato

insieme di n oggetti, è dato dal cosiddetto coefficiente binomiale

Disuguaglianza di Bernoulli

Successioni notevoli

E’ opportuno conoscere un congruo numero di successioni notevoli alle quali ricondursi, ove ciò sia

possibile, per stabilire il carattere della successione.

• Successione armonica. E’ monotona decrescente e limitata quindi converge (a 0+ ) e il

limite della successione si ricava facilmente applicando la definizione.

•

Successione armonica generalizzata. E’ monotona decrescente e limitata quindi converge

(a 0+ ) ∀ p > 0 . E’ monotona crescente e illimitata quindi diverge (a +∞ ) ∀ p < 0 . E’

costante e converge a 1 per p = 0.

• Successione aritmetica. E’ monotona (il verso dipende dal segno di d ) ma non è limitata

quindi diverge.

•

•

•

•

•

Fonts: http://calvino.polito.it/~camporesi/succ2.pdf , http://it.wikipedia.org

http://www.mat.uniroma3.it/users/magrone/2006_07/am01/successioni.pdf

SUCCESSIONIEsercizi risolti

1. Calcolare i seguenti limiti:

a) limn→∞

(1 +

13n

)2n

b) limn→∞

√n − n + n2

2n2 − n3/2 + 1

c) limn→∞

2n − 3n

1 + 3nd) lim

n→∞2n + n2

3n + n3

e) limn→∞

n log n

(n + 1)(n + 2)f) lim

n→∞1 + log n√n − log n

g) limn→∞

(−1)n n

n2 + 1h) lim

n→∞(−1)n n2 + 1

n + 1

i) limn→∞

n√

2n + 3n �) limn→∞

n

√2n

3n2 + 1

m) limn→∞

n2(3n − 3−n)4n + n2

n) limn→∞

n6 + log n + 3n

2n + n4 + log5 n

o) limn→∞

(n + 3n + 1

)n

p) limn→∞

(n − 1

n

)n2

q) limn→∞

(n2 + 1)n

n2nr) lim

n→∞log(n + 1)

log n

s) limn→∞

(n√

3 − 1)n

t) limn→∞

n√

n log n

u) limn→∞

n2 2−√

n v) limn→∞

(n√

n − 2n)

.

2. Verificare che per n → ∞

a)(n + 3)! − n!

(n + 1)!∼ n2 b) log

(1 +

1n

)∼ 1

n.

3. Calcolare la parte principale per n → ∞ di

a)(

2n − 13

)b)

√n − 2n3 + n log n

5n + log n.

4. Sia dn una successione convergente a l ∈ R, e sia an = (−1)n dn. Studiare l’esistenzadel limn→∞ an al variare di l in R.

5. Dimostrare che 3n e un infinito di ordine inferiore a n! per n → ∞.

Soluzioni

1. a)

limn→∞

(1 +

13n

)2n

= limn→∞

[(1 +

13n

)3n]2/3

= e2/3.

Possiamo anche procedere utilizzando il limite fondamentale limn→∞(1+ a/n)n = ea,

limn→∞

[(1 +

13n

)n]2

= (e1/3)2 = e2/3.

b)

limn→∞

√n − n + n2

2n2 − n3/2 + n= lim

n→∞

/n2(1 − 1

n − 1n3/2

)/n2

(2 − 1√

n+ 1

n

) =12.

c)

limn→∞

2n − 3n

1 + 3n= lim

n→∞

/3n(−1 + ( 23 )n)

/3n(1 + 13n )

= −1.

d)

limn→∞

2n + n2

3n + n3= lim

n→∞

2n(1 + n2

2n )

3n(1 + n3

3n )= lim

n→∞

(23

)n

= 0.

e)

limn→∞

n log n

(n + 1)(n + 2)= lim

n→∞/n log n

n/2

1(1 + 1

n )(1 + 2n )

= limn→∞

log n

n= 0.

f)

limn→∞

1 + log n√n − log n

= limn→∞

log n√n

1 + 1log n

1 − log n√n

= limn→∞

log n√n

= 0.

g) Il limite vale zero perche la successione (−1)n e limitata mentre nn2+1 e infinitesima.

h) Il limite non esiste perche la successione dei termini di indice pari tende a +∞,mentre quella dei termini di indice dispari tende a −∞. Se il limite esistesse (= l) questedue successioni dovrebbero invece tendere entrambe a l (vedi anche esercizio 4). Notiamoche non e sufficiente dire che “(−1)n e oscillante e n2+1

n+1 tende a +∞” per concludere cheil limite non esiste. Per esempio la successione an = ((−1)n + 5)n tende a +∞ perchean ≥ 4n ∀n, pur essendo il prodotto di una successione oscillante per una successioneinfinita.

i)

limn→∞

n√

2n + 3n = limn→∞

3(

1 +(

23

)n) 1n

= 3.

l)

limn→∞

n

√2n

3n2 + 1= lim

n→∞

n√

n n√

2

( n√

n)2 n

√3 + 1

n2

= 1.

m)

limn→∞

n2(3n − 3−n)4n + n2

= limn→∞

n23n(1 − 3−2n)4n(1 + n2

4n )= lim

n→∞n2

(4/3)n= 0.

n)

limn→∞

n6 + log n + 3n

2n + n4 + log5 n= lim

n→∞

3n(1 + n6

3n + log n3n )

2n(1 + n4

2n + log5 n2n )

= limn→∞

(32

)n

= +∞.

o)

limn→∞

(n + 3n + 1

)n

= limn→∞

(1 +

2n + 1

)n

= limn→∞

[(1 +

1n+1

2

)n+12

] 2nn+1

= e2.

p)

limn→∞

(n − 1

n

)n2

= limn→∞

[(1 − 1

n

)n]n

= (e−1)+∞ = 0,

essendo 1/e < 1.q)

limn→∞

(n2 + 1)n

n2n= lim

n→∞

(n2 + 1

n2

)n

= limn→∞

[(1 +

1n2

)n2] 1n

= e0 = 1.

r) Si halog(n + 1)

log n=

log[n(1 + 1n )]

log n=

log n + log(1 + 1

n

)log n

,

e dunque

limn→∞

log(n + 1)log n

= limn→∞

(1 +

1log n

log(

1 +1n

))= 1.

s)

limn→∞

(n√

3 − 1)n

= 0+∞ = 0.

t) E facile verificare che per ogni n ≥ 3 vale 1 ≤ log n ≤ n. Moltiplicando per nabbiamo che n ≤ n log n ≤ n2, e dunque

n√

n ≤ n√

n log n ≤ ( n√

n)2, ∀n ≥ 3.

Ricordando che n√

n → 1 e applicando il teorema del doppio confronto otteniamo

limn→∞

n√

n log n = 1.

u) Si ha

n2 2−√

n = e2 log n−√n log 2 = e

√n(− log 2+2 log n√

n) → e−∞ = 0.

v) Si ha

n√

n − 2n = e√

n log n − en log 2 = −en log 2(1 − e

√n log n−n log 2

).

Orae√

n log n−n log 2 = en(− log 2+ log n√

n

)→ e−∞ = 0,

e quindilim

n→∞

(n√

n − 2n)

= − limn→∞

en log 2 = −∞.

2. a)

limn→∞

(n + 3)! − n!n2(n + 1)!

= limn→∞

(n + 3)(n + 2)(n + 1) − 1n2(n + 1)

= 1.

b)

limn→∞

log(1 + 1

n

)1n

= limn→∞

n log(

1 +1n

)= lim

n→∞log

[(1 +

1n

)n]= log e = 1.

3. a) Si ha (2n − 1

3

)=

(2n − 1)!3!(2n − 4)!

=(2n − 1)(2n − 2)(2n − 3)

6∼ 4

3n3.

b) √n − 2n3 + n log n

5n + log n= −2n3

5n

1 −√

n2n3 − log n

2n2

1 + log n5n

∼ −25n2.

4. E facile verificare dalla definizione di limite che una successione an tende a l ∈ R∗ se

e solo se le due successioni dei termini di indice pari e di indice dispari, bn = a2n ={a0, a2, a4, . . . } e cn = a2n+1 = {a1, a3, a5, . . . }, tendono entrambe a l. Nel nostrocaso a2n → l mentre a2n+1 → −l. Quindi se l = −l cioe l = 0 allora limn→∞ an = 0;se invece l �= 0 il limite di an non esiste.

5. Scrivendo per esteso 3n/n! possiamo effettuare la seguente maggiorazione:

0 <3n

n!=

3 · 3 · · · 31 · 2 · · ·n = 3 · 3

2· 1 · 3

4· · · 3

n − 1· 3n≤ 3 · 3

2· 3n

=272n

.

Passando al limite per n → ∞ e applicando il teorema del doppio confronto otteniamo

limn→∞

3n

n!= 0.

ESERCIZI SULLE SUCCESSIONI

NUMERICHE

Esercizio 1Calcolare i seguenti limiti facendo uso, se occorre, dei limti notevoli:

(i) limn→∞(√

n2 + 1− n2+1n+1

)

(ii) limn→∞ ln n√

1 + an, a ≥ 1

(iii) limn→∞ 2√

(ln n)2+ln n2

n2+1

(iv) limn→∞ 10√

(ln n)2+ln n2

n2+1

(v) limn→∞(1 + tan 1

n

)n

(vi) limn→∞ arctan(n2 − 1) cos 2nπnπ

(vii) limn→∞(1 + 1

2n

)3n+ln n

(viii) limn→∞ 2+n2

n3 cot 1n

(ix) limn→∞(1 + 2

n3 + 1n

)cot 1n

(x) limn→∞(√

n + 1−√n− 1)√

n

(xi) limn→∞ n2 2n

3n

(xii) limn→∞ n2−sin nn2+n

(xiii) limn→∞ ( n√

a− 1)n, a ∈ R+

(xiv) limn→∞n3+n2 sin 1

n

n2+1

1

(xv) limn→∞(cos πx)2n determinare per quali x ∈ R la successione converge.

(xvi) limn→∞n2 sin 1

n (ln n)2

(n+1)2

(xvii) limn→∞ n[(n + 2)

13 − n

13

]

(xviii) limn→∞(

nn−1

) nn+1

(xix) limn→∞(

n2+nn2−n+2

)n

(xx) limn→∞ (2n + 3n)1n

(xxi) limn→∞(1− 1

n2

)n

(xxii) limn→∞ n2+2n −√n2 + 4

Esercizio 2Usando la definizione di limite dimostrare che:

(a) limn→∞ n2−8n+4n−4 = +∞

(b) limn→∞ ln(1 + 1n ) = 0

(c) limn→∞ e1+ 1n = e

Esercizio 3Dire per quali valori del parametro reale a ∈ IR la seguente successione ammettelimite finito o infinito:

xn = an (−1)n

(n2 + 1) sin 1n2

.

Esercizio 4Teoremi di Cesaro:Teorema 1 : Se la successione di termine generale an ha per limite l, finito oinfinito, allora si ha limn→∞ a1+...+an

n = l.Teorema 2 : Se an > 0 e tale che limn→∞ an = l, finito o infinito, allora si halimn→∞(a1 · . . . · an)

1n = l.

Teorema 3 : Se an e tale che limn→∞(an+1 − an) = l, finito o infinito, alloralimn→∞ an

n = l.Teorema 4 : Se an > 0 e tale che limn→∞

an+1an

= l, finito o infinito, alloralimn→∞(an)

1n = l.

Utilizzando i teoremi di Cesaro calcolare i seguenti limiti:

(a) limn→∞ 1+212 +3

13 +....+n

1n

n

(b) limn→∞(n!)1n

2

(c) limn→∞(n!)

1n

n

(d) limn→∞(n!)

12n

n

Esercizio 5Verificare che una successione an converge ad un numero l se e soltanto seentrambe le sottosuccessioni a2n e a2n−1 convergono allo stesso limite l.

Esercizio 6Supponiamo che le sottosuccessioni a2n e a2n−1 estratte da una successione an

siano entrambre monotone. Dimostrare che , se limn→∞(a2n − a2n−1) = 0,allora an ammette limite.

Esercizio 7Verificare con un esempio che l’enunciato dell’esercizio precedente non e invert-ibile, ovvero esistono successioni an che ammettono limite, tali che a2n e a2n−1

sono monotone ma limn→∞(a2n − a2n−1) 6= 0.

3

ESERCIZI SULLE SUCCESSIONI

NUMERICHE-SOLUZIONI

Esercizio 1(i) limn→∞

(√n2 + 1− n2+1

n+1

).

Razionalizziamo:(√

n2 + 1− n2 + 1n + 1

)·(√

n2 + 1 +n2 + 1n + 1

)·(√

n2 + 1 +n2 + 1n + 1

)−1

=

=

[(n2 + 1)−

(n2 + 1n + 1

)2]·(

(n + 1)√

n2 + 1 + n2 + 1n + 1

)−1

=

[(n2 + 1)[(n + 1)2 − n2 − 1]

(n + 1)2

]·(

n + 1(n + 1)

√n2 + 1 + n2 + 1

)=

=(n2 + 1)[(n + 1)2 − n2 − 1]

(n + 1)2√

n2 + 1 + (n + 1)(n2 + 1).

Dividiamo numeratore e denominatore per n3, e la frazione diventa:

2(1 + 1

n2

)(1 + 1

n

)2√

1 + 1n2 +

(1 + 1

n

) (1 + 1

n2

)

passando a limite si ottiene 1.

(ii)

limn→∞

ln n√

1 + an = limn→∞

1n

ln[an

(1an

+ 1)]

= limn→∞

1n

ln an + limn→∞

1n

ln(

1an

+ 1)

.

Il primo termine e esattamente ln a, mentre il secondo tende a zero, dato chea ≥ 1, quindi ln

(1

an + 1)

< ln2.

(iii) limn→∞ 2√

(ln n)2+ln n2

n2+1 = limn→∞ e√

(ln n)2+ln n2

n2+1

(2e

)√(ln n)2+ln n2

.

1

Il termine(

2e

)√(ln n)2+ln n2

tende a zero perche 2 < e. D’altra parte, studiandoseparatamente la radice esponente di e :

limn→∞√

(ln n)2 + ln n2 = limn→∞ ln n√

(ln n)2

(ln n)2 + ln n2

(ln n)2 = ln n.

Quindi

limn→∞ e√

(ln n)2+ln n2

n2+1 ' limn→∞ eln n

n2+1 → 0.Quindi il limite iniziale e 0.

(iv) limn→∞ 10√

(ln n)2+ln n2

n2+1Questo limite e’ molto simile al precedente, c’e’ un 10 al posto di 2, ma inrealta’ il risultato e’ molto diverso perche’ e’ +∞, quello che quindi conta e’il rapporto tra la base dell’esponenziale, 10 oppure 2 e e che invece e’ la basedel logaritmo naturale a cui tende la radice all’esponente. Si procede come nellimite precedente per cui il termine

(10e

)√(ln n)2+ln n2

→∞

mentre l’altro termine tende a zero con lo stesso ordine di 1n . Ci troviamo di

fronte ad una forma indeterminata. Poiche’ la radice√

(lnn)2 + ln n2 ha lostesso andamento di ln n, come spiegato nell’esercizio precedente, si puo’ riscri-vere il limite come:

(10e

)ln n

· eln n

n2 + 1=

(10e

)ln n

· n

n2 + 1=

(10e

)lg 10e

n·ln 10e

· n

n2 + 1= nln 10

en

n2 + 1→∞

l’ultimo passaggio tiene conto del fatto che ln 10e > 1.

(v) limn→∞(1 + tan 1

n

)n =(1 + tan 1

n

) 1tan 1

n

n tan 1n = e.

Si e’ tenuto conto dei limiti notevoli limn→∞ (1 + an)1

an = e se limn→∞ an = 0,e limn→∞ n sin 1

n = 1.

(vi) limn→∞ arctan(n2 − 1) cos 2nπnπ = π

2 · 1 · 1n → 0

(vii) limn→∞(1 + 1

2n

)3n+ln n = limn→∞(1 + 1

2n

)2n( 32 ) (

1 + 12n

)2n( ln n2n ) →

→ e32 · limn→∞ e

ln n2n → e

32 .

(viii) limn→∞ 2+n2

n3 cot 1n = limn→∞ 2+n2

n3cos 1

n

sin 1n

= limn→∞ 2+n2

n2 limn→∞cos 1

n

n sin 1n

=1.

(ix) limn→∞(1 + 2

n3 + 1n

)cot 1n

Utilizzando il risultato dell’esercizio precedente si ottiene:

2

limn→∞

(1 +

2 + n2

n3

) n3

2+n2

2+n2

n3 cot 1n

→ e.

(x) risultato = 1(xi) risultato = 0(xii) risultato = 1(xiii) risultato = 0(xiv) risultato = +∞(xv) risultato: per x ∈ Z la successione e identicamente uguale ad 1, mentreper tutti gli altri x reali tende a 0.(xvi) riscriviamo il limite per sfruttare i limiti notevoli:

limn→∞

n2 sin 1n (lnn)2

(n + 1)2= lim

n→∞n sin

1n

n

n + 1(lnn)2

n + 1=

= limn→∞

n sin1n· lim

n→∞n

n + 1· lim

n→∞(lnn)2

n + 1= 1 · 1 · 0 = 0.

(xvii) utilizziamo il prodotto notevole a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) cona = (n + 2)

13 e b = n

13 . Quindi il limite diventa

limn→∞

n(n + 2− n)

(n + 2)23 + (n(n + 2))

13 + n

23

= limn→∞

2n

(n + 2)23 + (n(n + 2))

13 + n

23.

Abbiamo ottenuto un quoziente di polinomi di grado 1 al numeratore e 23 al

denominatore, quindi il limite e 0.

(xviii) riscriviamo il limite per sfruttare i limiti notevoli:

limn→∞

(n

n− 1

) nn+1

= limn→∞

(n− 1 + 1

n− 1

) nn+1 ·n−1

n−1

= limn→∞

(1 +

1n− 1

) 1n−1 ·

n(n−1)n+1

=

= elimn→∞n(n−1)

n+1 = +∞.

(xix) vogliamo ricondurci ad una forma del tipo(1 + 1

an

) 1an con limn→∞ an =

+∞, e poi usare il limite notevole(1 + 1

an

)an → e. Risolviamo quindi l’ equazione

1an

= 1− n2 + n

n2 − n + 2,

che e verificata se an = n2−n+22n−2 (→∞ per n →∞). Quindi

limn→∞

(n2 + n

n2 − n + 2

)n

= limn→∞

[(1 +

2n− 2n2 − n + 2

)an] n

an

= elimn→∞ nan = e2.

3

(xx) riscriviamo il limite come

limn→∞

(2n + 3n)1n = lim

n→∞3

((23

)n

+ 1) 1

n

.

Usiamo in teorema dei carabinieri:

3 ≤ 3((

23

)n

+ 1) 1

n

≤ 3(1 + 1)1n → 3 · 1

Pertanto tutta la successione tende a 3.(xxi) riscriviamo il limite come

limn→∞

(1− 1

n2

)n

= limn→∞

(1− 1

n

)n (1 +

1n

)n

=1e· e = 1.

(xxii) usiamo il Teorema dei Carabinieri per provare che il limite e 0.

n2 + 2n

−√

n2 + 4 = n +2n−

√n2 + 4 ≤ n +

2n−√

n2 =2n→ 0.

D’altra parte si ha n2 + 4 < n2 + 4 + 2n2 =

(n + 2

n

)2. Quindi:

n +2n−

√n2 + 4 > n +

2n−

(n +

2n

)= 0.

Esercizio 2Richiamiamo la definizione di limite:

L finito: limn→∞

an = L ⇔ ∀ε > 0 ∃n : |an − L| < ε ∀ n > n.

L infinito: limn→∞

an = +∞ ⇔ ∀M > 0 ∃n : an > M ∀ n > n.

(a) limn→∞

n2 − 8n + 4n− 4

= +∞ ⇔ ∀M > 0 ∃n :n2 − 8n + 4

n− 4> M ⇔ ( per n > 4)

n2 − 8n + 4 > Mn− 4M,

risolvendo l’equazione di secondo grado, troviamo che la disuguaglianza e veri-ficata per valori di n esterni all’ intervallo delle radici, che chiameremo x1 e x2,quindi se n > x2 = n (se x2 > x1) sicuramente la disuguaglianza e verificata ecosı la definizione di limite.(b ) limn→∞ ln(1 + 1

n ) = 0 ⇔ ∀ε > 0 ∃n:

∣∣∣∣ln(1 +1n

)∣∣∣∣ < ε ∀n > n.

4

Tenendo conto che ln(1 + 1n ) > 0, questa disuguaglianza e verificata se

1 +1n

< eε ⇔ n >1

eε − 1= n.

(c) limn→∞ e1+ 1n = e ⇔ ∀ε > 0 ∃n:

∣∣∣e1+ 1n − e

∣∣∣ < ε.

Tenendo conto che e1+ 1n > e, si ha

e1+ 1n − e < ε ⇔ e

1n < 1 +

ε

e⇔ 1

n< ln

(1 +

ε

e

)⇔ n >

1ln

(1 + ε

e

) = n.

Esercizio 3Consideriamo la successione:

xn = an (−1)n

(n2 + 1) sin 1n2

la frazione tende a (−1)n

1 , per cui il limite e sicuramente indeterminato se |a| ≥ 1.Infatti se a = ±1 limn→∞ xn = (−1)n, se se |a| > 1 limn→∞ xn = ±∞. Invecese |a| < 1 il limite e 0.

Esercizio 5Se la successione an ammette limite, tutte le successioni estratte devono am-mettere lo stesso limite, quindi un’ implicazione e ovvia. D’ altra parte, se a2k

e a2k−1 convergono allo stesso limite l, si avra:

|a2k − l| < ε ∀n > n1,

|a2k−1 − l| < ε ∀n > n2.

Quindi, se n > max(2n1, 2n2 − 1), risulta |an − l| < ε, quindi an tende a l.Osservazione importante: in generale se due sottosuccessioni estratte da unasuccessione data tendono al medesimo limite l, non e affatto detto che la suc-cessione di partenza converga ad l. Pero, se le successioni estatte sono tali daesaurire tutti i possibili indici naturali, come accade per le successioni degli in-dici pari e dispari, allora si puo concludere che la successione di partenza tendeallo stesso limite delle due sottosuccessioni.

Esercizio 6Essendo monotone, le due successioni a2n e a2n−1 sicuramente ammettono lim-ite, finito o infinito. Per ipotesi

limn→∞

(a2n − a2n−1) = 0 ⇔ limn→∞

a2n = limn→∞

a2n−1 = l ∈ IR∪{−∞,+∞},

quindi grazie all’ esercizio precedente, an ammette limite ed esso e uguale ad l.

5

Esercizio 7Vogliamo trovare una successione an che ammette limite, ma le due sottosuc-cessioni degli indici pari e dispari, pur essendo monotone, quindi ammettendolimite, non verificano la proprieta limn→∞(a2n − a2n−1) = 0. Basta sceglierean = n, essa ha limite +∞, ma

limn→∞

(a2n − a2n−1) = limn→∞

2n− 2n + 1 ≡ 1.

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