SucessõesLimites de sucessões

O essencial

Dada uma sucessão (𝑢𝑛), um número real 𝑙 designa-se por limite

da sucessão (𝒖𝒏) ou limite de 𝒖𝒏 quando 𝒏 tende para +∞

quando, para todo o número real 𝛿 > 0, existir uma ordem 𝑝 ∈ 𝐼𝑁

a partir da qual todos os termos da sucessão 𝑢𝑛 verificam a

condição 𝑢𝑛 − 𝑙 < 𝛿.

Dizer que o limite da sucessão (𝑢𝑛) é 𝑙 é o mesmo que dizer que

𝒖𝒏 tende para 𝒍, o que se representa por 𝒖𝒏 → 𝒍 .

Limite de uma sucessão

Uma sucessão 𝑢𝑛 que tem como limite um número real 𝑙 designa-

-se por convergente.

Caso contrário, diz-se divergente.

Sucessão convergente/divergente

Uma sucessão (𝑢𝑛) convergente admite um único limite.

O limite de uma sucessão convergente representa-se por 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞

𝒖𝒏,

𝐥𝐢𝐦𝒏

𝒖𝒏 ou 𝐥𝐢𝐦 𝒖𝒏.

Teorema da unicidade do limite de uma sucessão

Toda a sucessão convergente é limitada.

Teorema

Uma sucessão crescente em sentido lato e majorada é convergente.

Uma sucessão decrescente em sentido lato e minorada é convergente.

Teorema sobre sucessões monótonas e limitadas e convergência

Dadas duas sucessões (𝑢𝑛) e (𝑣𝑛), se (𝑢𝑛) é limitada e lim𝑣𝑛 = 0,

então, lim 𝑢𝑛𝑣𝑛 = 0.

Teorema

Uma sucessão 𝑢𝑛 tem limite +∞, (lim𝑢𝑛 = +∞), quando, para todo o

𝐿 > 0, existe uma ordem 𝑝 ∈ 𝐼𝑁, tal que ∀𝑛 ∈ 𝐼𝑁, 𝑛 ≥ 𝑝 ⇒ 𝑢𝑛 > 𝐿 é

verdadeira, dizendo-se, neste caso, que 𝒖𝒏 tende para +∞ (𝒖𝒏 → +∞).

Uma sucessão 𝑢𝑛 tem limite −∞, (lim𝑢𝑛 = −∞), quando, para todo o

𝐿 > 0, existe uma ordem 𝑝 ∈ 𝐼𝑁, tal que ∀𝑛 ∈ 𝐼𝑁, 𝑛 ≥ 𝑝 ⇒ 𝑢𝑛 < −𝐿 é

verdadeira, dizendo-se, neste caso, que 𝒖𝒏 tende para −∞ (𝒖𝒏 → −∞).

Limites infinitos

O limite de uma progressão aritmética de razão 𝑎 é +∞ se 𝑎 > 0 ou

−∞ se 𝑎 < 0.

Limite de uma progressão aritmética

• Se 𝑐 ≠ 0, então, lim𝑎𝑛+𝑏

𝑐𝑛+𝑑=

𝑎

𝑐;

• Se 𝑐 = 0, então, lim𝑎𝑛+𝑏

𝑑= +∞ (respetivamente, lim

𝑎𝑛+𝑏

𝑑= −∞)

caso 𝑎 e 𝑑 tenham o mesmo sinal (respetivamente, sinais contrários);

• Se 𝑎 = 𝑐 = 0, então,lim𝑏

𝑑=

𝑏

𝑑. Em particular, o limite de uma

sucessão constante é a própria constante.

Limite de uma sucessão de termo geral

𝒖𝒏 =𝒂𝒏 + 𝒃

𝒄𝒏 + 𝒅(𝒄𝒏 + 𝒅 ≠ 𝟎)

Dado um número racional 𝑟, tem-se:

• lim𝑛𝑟 = +∞, se 𝑟 > 0;

• lim𝑛𝑟 = 0 𝑠𝑒 𝑟 < 0.

Limite de uma sucessão de termo geral 𝒖𝒏 = 𝒏𝒓, 𝒓 ∈ ℚ

Dadas duas sucessões (𝑢𝑛) e (𝑣𝑛) convergentes de limites 𝑎 e 𝑏,

respetivamente, tem-se que a sucessão (𝑢𝑛 + 𝑣𝑛) é convergente e

𝐥𝐢𝐦 𝒖𝒏 + 𝒗𝒏 = 𝒂 + 𝒃.

Limite da soma de sucessões convergentes

Dadas duas sucessões (𝑢𝑛) e (𝑣𝑛) convergentes de limites 𝑎 e 𝑏,

respetivamente, e 𝑘 ∈ 𝐼𝑅, tem-se que as sucessões (𝑢𝑛𝑣𝑛) e 𝑘𝑢𝑛

são convergentes e

𝐥𝐢𝐦 𝒖𝒏𝒗𝒏 = 𝒂𝒃 e 𝐥𝐢𝐦 𝒌𝒖𝒏 = 𝒌𝒂.

Limite do produto de sucessões convergentes

Dadas duas sucessões (𝑢𝑛) e (𝑣𝑛) convergentes de limites 𝑎 e 𝑏,

respetivamente, com 𝑣𝑛 ≠ 0, ∀𝑛 ∈ 𝐼𝑁 e 𝑏 ≠ 0, as sucessões

1

𝑣𝑛𝑒

𝑢𝑛𝑣𝑛

são convergentes e

𝐥𝐢𝐦𝟏

𝒗𝒏=

𝟏

𝒃e 𝐥𝐢𝐦

𝒖𝒏

𝒗𝒏=

𝒂

𝒃.

Limite do quociente de duas sucessões convergentes

Dada uma sucessão (𝑢𝑛) convergente e um número racional 𝑟 ≠ 0, se

𝑟 ∈ 𝐼𝑁 , ou se todos os termos da sucessão são não negativos e 𝑟 é

positivo, ou ainda se todos os termos da sucessão são positivos, então,

a sucessão de termo geral 𝑢𝑛𝑟 é convergente e

𝐥𝐢𝐦 𝒖𝒏𝒓 = 𝐥𝐢𝐦𝒖𝒏

𝒓.

Limite da potência de expoente racional de uma sucessão convergente

Dadas duas sucessões 𝑢𝑛 e (𝑣𝑛), se lim𝑢𝑛 = +∞ e lim𝑣𝑛 = 𝑙 ∈ 𝐼𝑅,

(ou lim𝑣𝑛 = +∞ ), lim 𝑢𝑛 + 𝑣𝑛 = +∞.

Esta propriedade representa-se por +∞+ 𝑙 = +∞ e

+∞+ +∞ = +∞, respetivamente.

Dadas duas sucessões 𝑢𝑛 e (𝑣𝑛), se lim𝑢𝑛 = −∞ e lim𝑣𝑛 = 𝑙 ∈ 𝐼𝑅,

(ou lim𝑣𝑛 = −∞ ), lim 𝑢𝑛 + 𝑣𝑛 = −∞.

Esta propriedade representa-se por −∞+ 𝑙 = −∞ e

−∞+ −∞ = −∞, respetivamente.

Álgebra de limites infinitos

Dadas duas sucessões, (𝑢𝑛) com limite 𝑙, e (𝑣𝑛) com limite +∞ ,

lim 𝑢𝑛𝑣𝑛 = +∞ se 𝑙 > 0 ou lim 𝑢𝑛𝑣𝑛 = −∞ se 𝑙 < 0 .

Estas propriedades representam-se por:

𝑙 × +∞ = +∞ se 𝑙 > 0 e por 𝑙 × +∞ = −∞ se 𝑙 < 0

Dadas duas sucessões, (𝑢𝑛) com limite 𝑙, e (𝑣𝑛) com limite −∞ ,

lim 𝑢𝑛𝑣𝑛 = −∞ se 𝑙 > 0 ou lim 𝑢𝑛𝑣𝑛 = +∞ se 𝑙 < 0 .

Estas propriedades representam-se por 𝑙 × −∞ = −∞ se 𝑙 >

0 e por 𝑙 × −∞ = +∞ se 𝑙 < 0.

Produto de uma sucessão convergente por uma com limite infinito

Dadas sucessões, (𝑢𝑛) com limite +∞ (respetivamente, −∞), e (𝑣𝑛)

com limite +∞, lim(𝑢𝑛𝑣𝑛) = +∞ (respetivamente, lim(𝑢𝑛𝑣𝑛) = −∞).

Esta propriedade representa-se, respetivamente, por:

+∞× +∞ = +∞ e −∞× +∞ = −∞

Dadas sucessões, (𝑢𝑛) com limite +∞ (respetivamente, −∞), e (𝑣𝑛)

com limite −∞ , lim(𝑢𝑛𝑣𝑛) = −∞ (respetivamente, lim(𝑢𝑛𝑣𝑛) = +∞)

Esta propriedade representa-se, respetivamente, por:

+∞× −∞ = −∞ e −∞× −∞ = +∞

Limite do produto de sucessões com limites infinitos

Expoente natural

Dada uma sucessão 𝑢𝑛 e um número natural 𝑟.

Se lim𝑢𝑛 = +∞, a sucessão de termo geral 𝑢𝑛𝑟 tem limite +∞.

Se lim𝑢𝑛 = −∞, a sucessão de termo geral 𝑢𝑛𝑟 tem limite +∞ se 𝑟

for par e −∞ se 𝑟 for ímpar.

Esta propriedade representa-se por +∞ 𝑟 = +∞, −∞ 𝑟 = +∞

se 𝑟 for par e −∞ 𝑟 = −∞ se 𝑟 for ímpar.

Limite da potência de uma sucessão com limite infinito

Expoente racional positivo

Dada uma sucessão 𝑢𝑛 de termos não negativos e limite +∞, e um

número racional 𝑟 positivo, a sucessão de termo geral 𝑢𝑛𝑟 tem limite +∞.

Esta propriedade representa-se por +∞ 𝑟 = +∞.

Limite da potência de uma sucessão com limite infinito

Dada uma sucessão 𝑢𝑛 de termos não nulos, se lim𝑢𝑛 = −∞ ou

lim𝑢𝑛 = +∞, então, lim1

𝑢𝑛= 0.

Esta propriedade representa-se escrevendo 1

∞= 0.

Inversa de uma sucessão de limite infinito

Seja 𝑢𝑛 uma sucessão de termos não nulos e limite nulo.

Se a partir de certa ordem todos os seus termos são positivos

(respetivamente, negativos), lim1

𝑢𝑛= +∞ (respetivamente, lim

1

𝑢𝑛= −∞).

Dada uma sucessão 𝑢𝑛 de termos não nulos:

Se lim𝑢𝑛 = 0+, lim1

𝑢𝑛= +∞, representando-se por

1

0+= +∞.

Se lim𝑢𝑛 = 0−, lim1

𝑢𝑛= −∞, representando-se por

1

0−= −∞.

Inversa de uma sucessão com limite nulo

Se 𝑎 ≠ 0, a sucessão de termo geral 𝑢𝑛 = 𝑎𝑛 é uma progressão

geométrica de razão 𝑎.

Se 0 < 𝑎 < 1, tem-se que 𝑢𝑛 é uma sucessão decrescente de termos

positivos e lim𝑎𝑛 = 0.

Se 𝑎 > 1, lim𝑎𝑛 = lim11

𝑎𝑛

=1

0+= +∞.

Limite da sucessão de termo geral 𝒂𝒏, 𝒂 ∈ 𝑰𝑹+\{𝟏}

Dado um polinómio 𝑃(𝑥) de grau 𝑚 ≥ 1 com coeficiente do termo de

maior grau 𝑎𝑚, a sucessão 𝑃𝑛 de termo geral 𝑃𝑛 = 𝑃(𝑛) é tal que:

𝐥𝐢𝐦𝑷𝒏 = +∞, se 𝒂𝒎 > 𝟎

e

𝐥𝐢𝐦𝑷𝒏 = −∞, se 𝒂𝒎 < 𝟎.

Limite de polinómios

Dados números reais 𝑎𝑖 , 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 e 𝑏𝑗 , 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑝, com 𝑎𝑚 ≠ 0 e

𝑏𝑝 ≠ 0 e a sucessão 𝑞𝑛 de termo geral

𝑞𝑛 =𝑎𝑚𝑛

𝑚 + 𝑎𝑚−1𝑛𝑚−1 +⋯+ 𝑎1𝑛 + 𝑎0

𝑏𝑝𝑛𝑝 + 𝑏𝑝−1𝑛

𝑝−1 +⋯+ 𝑏1𝑛 + 𝑏0

tem-se

𝟏) Se 𝑚 = 𝑝, lim𝑞𝑛 =𝑎𝑚𝑏𝑝

; 𝟐) Se 𝑚 > 𝑝 e𝑎𝑚𝑏𝑝

> 0, lim𝑞𝑛

= +∞;

𝟑) Se 𝑚 > 𝑝 e𝑎𝑚𝑏𝑝

< 0, lim𝑞𝑛 = −∞; 𝟒) Se 𝑚 < 𝑝, lim𝑞𝑛 = 0.

Limite de sucessões com polinómios

Dado um número real 𝑎 > 0, lim 𝑛 𝑎 = 1.

Limite de 𝒏 𝒂, com 𝒂 > 𝟎

+∞− (+∞)

∞

∞

0

0

0 × ∞

Indeterminações