LÍMITES DE FUNCIONES

1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Intuitivamente la idea que tenemos de límite de una función en un punto es el número hacia el que se aproximan los valores que toma la función cuando la variable independiente se aproxima a ese punto.

Analíticamente podemos definir el límite de una función en un punto de la siguiente manera:

Una función tiene por límite cuando tiende a si para todo entorno existe un entorno , de modo que para todo perteneciente al entorno reducido se cumple que pertenece al entorno

Por la definición de entorno podemos expresar la definición de límite de la siguiente manera:

Una función tiene por límite cuando tiende a si para todo , existe un tal que si , entonces

Si una función cumple esta definición, decimos que es convergente en .

Nota: Para que una función tenga límite en un punto de abscisa , o sea convergente en ese punto, no es necesario que la función esté definida en ese punto.

Cálculo analítico de algunos límites

En las funciones elementales definidas por una sola fórmula (funciones polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas) se tiene que:

siempre que

2. LÍMITES LATERALES

Existen funciones en las cuales no es posible calcular directamente el límite en algún punto. Esto es debido a que estas funciones están definidas de diferente manera a la izquierda y a la derecha de ese punto. Para estudiar estos límites, necesitamos recurrir a los límites laterales.

Una función tiene por límite cuando tiende a por la izquierda si para todo , existe un tal que si , entonces . Se

escribe .

Una función tiene por límite cuando tiende a por la derecha si para todo , existe un tal que si , entonces . Se

escribe .

CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE DE CONVERGENCIA

La condición necesaria y suficiente para que una función tenga límite en un punto de abscisa es que tenga límite lateral por la izquierda, tenga límite lateral por la derecha y ambos sean iguales.

Cálculo analítico de algunos límites

Cuando necesitamos calcular el límite de una función definida a trozos en uno de los puntos frontera debemos recurrir a la definición de los límites laterales y comprobar que existen y coinciden.

3. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONVERGENTES

Unicidad de límite.

Si una función es convergente o tiene límite en un punto, este es único.

Acotación.

Una función que tiene límite en un punto está acotada en un entorno de ese punto.

Operaciones con las funciones convergentes.

Si y son dos funciones convergentes en :

se verifican las siguientes propiedades:

- -

- -

-

4. LÍMITES INFINITOS CUANDO X TIENDE A UN NÚMERO REAL

En muchas funciones, cuando tiende a algunos puntos por la izquierda o por la derecha, el valor de no se aproxima a ningún número real si no que se hace cada vez más grande o cada vez más pequeño. En estos casos decimos que el límite correspondiente es o

, respectivamente.

Una función tiene por límite cuando tiende a por la izquierda si para todo número real , existe , tal que si se verifica que

. Se escribe .

Análogamente para

Una función tiene por límite cuando tiende a si para todo número real , existe , tal que si se verifica que . Se

escribe .

De forma similar se pueden definir , y

Cuando existe alguno de los seis límites mencionados decimos que la función tiene una asíntota vertical en .

5. LÍMITES EN EL INFINITO

5.1 LÍMITES FINITOS EN EL INFINITO

Una función tiene por límite un número real cuando tiende a si para todo , existe un número real , de modo que para

cualquier valor de mayor que K se verifica que . Se escribe

Una función tiene por límite un número real cuando tiende a si para todo , existe un número real , de modo que para

cualquier valor de menor que se verifica que . Se escribe

Cuando una función tiene alguno de los límites anteriores, decimos que la función tiene una asíntota horizontal de ecuación .

5.2 LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO

Una función tiende a cuando tiende a si para todo número real K existe un número real M, de modo que para cualquier mayor que M se verifica que es mayor que K. Simbólicamente:

Análogamente se definen , y

6. CÁLCULO DE LÍMITES

6.1. CÁLCULO DE LÍMITES EN LAS FUNCIONES ELEMENTALES.

Funciones polinómicas

Las funciones polinómicas son convergentes cuando tiende a , siendo un número real, y su límite coincide con el valor numérico del polinomio en :

Las funciones polinómicas, cuando tiende a , se comportan del mismo modo que su término de mayor grado, siendo su límite .

Funciones racionales

Las funciones racionales son convergentes cuando tiende a , para todo valor de perteneciente al dominio de la función:

Para los valores de que no pertenecen al dominio de la función y que se corresponden con las raíces del denominador aparecen las

indeterminaciones de tipo y que se resuelven estudiando los límites

laterales y simplificando los factores comunes del numerador y denominador, respectivamente.

Al calcular los límites en el infinito de este tipo de funciones aparece la indeterminación que se resuelve dividiendo numerador y denominador por la máxima potencia o utilizando la siguiente expresión:

El resultado depende de los grados de los polinomios numerador y denominador y denominador, de forma que:

- Si , el límite es infinito.

- Si , el límite es .

- Si , el límite es cero.

Otras funciones elementales

Para calcular límites en las funciones irracionales, exponenciales y logarítmicas hay que tener muy presente el dominio de definición de estas funciones

6.2. OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES

Conociendo como se calculan los límites de las funciones elementales y aplicando las operaciones con límites de funciones podemos calcular todos los demás. La siguiente tabla muestra todos los casos posibles de cálculo de límites funcionales, cuando la variable tiende a un número real, o . Los recuadros sombreados corresponden a los casos en los cuales no es posible hallar directamente el límite. Por esta razón, se llaman indeterminaciones y hay que resolverlas de manera particular.

Para interpretar la tabla debes recordar las propiedades vistas en el apartado 3 del tema sobre operaciones con límites:

Funciones potencial- exponenciales

Los límites de este tipo de funciones se resuelven aplicando la propiedad:

Los posibles resultados se recogen en la siguiente tabla:

Las expresiones , y son indeterminaciones. En este tema sólo aprenderemos a resolver la última de ellas pues las demás se resuelven utilizando la regla de L’ Hôpital.

Límite de la composición de funciones

Sea la función compuesta , donde es una función potencial (de exponente entero o fraccionario), logarítmica o trigonométrica (seno, coseno y tangente) y . Entonces:

6.3. RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES

Todas las indeterminaciones vistas en el apartado anterior se pueden agrupar en los siguientes tipos:

Indeterminaciones del tipo

Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones polinómicas. Su resolución se ha explicado en el apartado de las funciones racionales.

Indeterminaciones del tipo

Las indeterminaciones de cocientes de funciones polinómicas se resuelven factorizando los polinomios numerador y denominador mediante la regla de Ruffini.

Las indeterminaciones de cocientes de funciones irracionales se resuelven multiplicando numerador y denominador por la expresión conjugada de la función que lleve raíz.

Indeterminaciones del tipo

Estas indeterminaciones se resuelven estudiando los límites laterales de los cocientes de funciones que los generan.

Indeterminaciones del tipo Estas indeterminaciones se resuelven transformándolas en las del

tipo , o en las des del tipo .

Indeterminaciones del tipo

Las indeterminaciones con funciones racionales se resuelven operando convenientemente.

Las indeterminaciones con funciones irracionales se resuelven multiplicando el numerador y el denominador por la expresión conjugada de la función que lleve raíz.

Indeterminaciones del tipo

Este tipo de indeterminaciones se resuelven aplicando la siguiente propiedad, que es válida para real, o .

6.4. CÁLCULO DE LÍMITES UTILIZANDO INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES

Llamamos infinitésimos a las funciones que tienden a cero cuando tiende a un número real, o

es un infinitésimo

Dos infinitésimos son equivalentes si el límite de su cociente es 1.

Cuando tiende a cero, los infinitésimos equivalentes más importantes son:

En el cálculo de límites podemos sustituir un infinitésimo por su equivalente siempre que aparezca multiplicando o dividiendo.

7. ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS DE UNA FUNCIÓN

7.1 ASÍNTOTAS VERTICALES

Si alguno de los límites de una función en un punto es infinito, decimos que la función tiene ramas infinitas verticales. Estas ramas se aproximan a una recta vertical que se llama asíntota vertical.

La recta es una asíntota vertical de la función cuando existe al menos uno de los seis límites siguientes:

7.2 ASÍNTOTAS HORIZONTALES

Si alguno de los límites en el infinito de una función es un número real, decimos que la función tiene ramas infinitas horizontales. Estas ramas se aproximan a una recta horizontal que se llama asíntota horizontal.

La recta es una asíntota horizontal de la función cuando existe al menos uno de los siguientes límites:

7.3 ASÍNTOTAS OBLICUAS

Si una función se aproxima infinitamente a una recta oblicua cuando la variable independiente tiende a infinito, decimos que la función tiene ramas infinitas oblicuas hiperbólicas. Estas ramas se aproximan a una recta que se llama asíntota oblicua.

La recta es una asíntota oblicua de la función f cuando la pendiente y la ordenada en el origen pueden obtenerse mediante los siguientes límites:

7.4. RAMAS PARABÓLICAS

Si los valores de una función crecen indefinidamente cuando la variable independiente tiende a infinito pero sin aproximarse a una recta oblicua, decimos que la función tiene ramas infinitas oblicuas parabólicas. Las funciones con ramas infinitas parabólicas carecen de asíntotas oblicuas.

La función tiene una rama parabólica cuando existe al menos uno de los siguientes límites y no existen asíntotas oblicuas: