Límite y Continuidad de Funciones de Varias Variables

LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES

José Espina Alvarado

na de las ideas centrales del aparato actual del Análisis Matemático es la de límite. En ella se

apoyan las demostraciones infinitesimales, caracterizadas por juicios hipotético-deductivos y el

uso de desigualdades específicas (construcción ε-δ).

El concepto de Límite y el camino hasta él datan de épocas remotas en la historia de la matemática.

La primera forma teórica de razonar con límites procede de los antiguos griegos, en particular Demócrito

calculó el volumen de pirámides y conos, se cree que considerándolos formados por un número infinito de

secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño); Eudoxo de Cnido y Arquímedes de Siracusa

utilizaron el "Método de Exhaución" para encontrar el área de una circunferencia con el uso de polígonos

inscritos. Sin embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenón de

Elea impidieron formular una teoría sistemática del Análisis Matemático.

Sir Isaac Newton

Hasta los trabajos de I. Newton publicados en 1704, lo que entonces era una

sucesión de pasos aislados se convirtió en el principio de una investigación seria. Fue

Newton quien introdujo el término limes (límite) sin dar una definición formal,

presuntamente por su “evidencia”.

En el siglo XVIII aumentó considerablemente el número de aplicaciones del cálculo, pero el uso

impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, así como la intuición geométrica, causaban todavía

confusión y controversia sobre sus fundamentos. Uno de sus críticos más notables fue el filósofo irlandés

G. Berkeley (1685-1753).

Los partidarios de los métodos con límites, especialmente el francés J. D’Alembert (1717-1783),

defendieron con vehemencia su legitimación. Este investigador afirmó que Newton vio en el Cálculo

Diferencial sólo el método de definición de límites de relaciones. Sin embargo, el mismo D’Alembert no

pudo encajar en algún método racional a la eliminación de infinitesimales de Leibniz.

A principios del siglo XIX las obras de muchos matemáticos reflejaban la necesidad objetiva de

diseñar una teoría de límites como base del Análisis Matemático y una reestructuración radical de este

último. El más destacado de estos creadores fue Agustín Luís Cauchy (1789-1857).

A. Cauchy cursó estudios en la escuela Politécnica de París, culminando su formación en el Instituto

de Vías de Comunicación de la misma ciudad, donde además trabajó como INGENIERO, llegando a publicar

U

Límite y Continuidad de Funciones

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2

cerca de 800 trabajos de investigación. En la escuela Politécnica dictó conferencias sobre Análisis

Matemático, publicadas posteriormente en tres títulos: “Curso de Análisis” (1821), “Resumen de

conferencias sobre el cálculo infinitesimal” (1823), y “Conferencias sobre aplicaciones del análisis a la

geometría” (2 tomos, 1826 y 1828). En estas obras se construye por primera vez el Análisis Matemático

sobre la base de una teoría de límites, preludio inmediato a su estado actual.

En su “Curso de Análisis”, Cauchy describe en mucho los fundamentos contemporáneos de esta rama

de la matemática. En él se introduce el concepto de magnitud “infinitesimal” como una variable cuyo límite

es cero. La continuidad de una función se explica como la correspondencia de un incremento infinitesimal de

la función a un incremento infinitesimal del argumento. Con gran detalle se expone lo referente a la

convergencia de series infinitas, cuya existencia se condiciona con la existencia del límite de las sumas de

un número finito de términos analizando rigurosamente al resto.

No menos importante fue el aporte del eminente matemático checo Bernardo Bolzano (1781-1848),

cuyos trabajos lamentablemente, fueron reconocidos treinta años después de su muerte. Bolzano formuló y

demostró en 1817 que si un conjunto de números reales está acotado superiormente (o inferiormente)

entonces tiene un extremo superior (o inferior), adelantándose al profesor berlinés Karl Weierstrass

(1815-1897), quien formuló este teorema en 1860. También antes que Cauchy, Bolzano había deducido el

criterio de convergencia de sucesiones y dado una definición rigurosa de continuidad de una función; a él se

debe el concepto de continuidad lateral y también la demostración de que una función continua entre dos

de sus valores, toma todos los intermedios.

A todo aquello se sumaron las ideas de Weierstrass sobre la naturaleza del número real. La

utilización sistemática de los conceptos de extremos superior e inferior de conjuntos numéricos,

construcción de una función que no es derivable en su dominio y otros, fueron resultados importantes

introducidos por Weierstrass al Análisis Matemático. En ese armonioso y riguroso sistema, ya para 1880 se

había elaborado la forma actual de las definiciones y el aparato de demostraciones, con base en

razonamientos condicional-deductivos (“Para cualquier ε positivo, existe δ también positivo, tal que…”), y el

simbolismo correspondiente. Por fortuna, la historia del Análisis tiende a ser infinita.

I. Límite de una función real

Considere la función ℜ→ℜ⊂ 2:Uf con regla ),( yxfz = . Se dice que f tiene límite L cuando

),( yx tiende a ),( 00 yx , si la distancia entre estos dos puntos es tan pequeña que a consecuencia de ello

L),( −yxf es también arbitrariamente pequeña. Esto es,

Límite de una función vectorial

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3

Definición I-1. ( ) ( )Lyxfyxyxyxfyxyx εδδε B),(),(B),(00L),(Lim 00

*),(),( 00

∈⇒∈>∃>∀⇔=→

.

En esta definición, los símbolos ε y δ representan números reales positivos arbitrariamente pequeños y se

supone que ( ) ( ) ( ) ∅≠⇒⊆ UyxyxUyx II ),(B),(B),(B 00*

00*

00*

δδδ ; en este caso ),( 00 yx se llama punto de

acumulación del conjunto U. Esto significa que toda bola reducida de ese punto contiene puntos de U

diferentes del centro, dicho de otro modo, en dicha bola hay infinitos puntos del dominio distintos del

centro. El hecho de que ),( 00 yx no este en U es irrelevante: la función puede tener límite en un punto

donde no esta definida, por ejemplo en la frontera de un dominio no cerrado.

Geométricamente puede ilustrarse la definición como sigue.

x

y

L+ε

L-ε

(x0,y0)δ

z

L

Obsérvese que si la distancia del punto variable al de acumulación del dominio es menor que δ, es

condición suficiente para que la imagen de f esté tan próxima a L que la diferencia entre ellos resulta


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4

menor que ε. Dicho de otro modo, ),( yxf está entre (L-ε) y (L+ε) siempre que1 ),( yx este en el disco

reducido de centro ),( 00 yx y radio δ. Debe destacarse que para probar un límite se tiene entonces la

necesidad de encontrar un δ para cada valor de ε libremente escogido; por esta razón se recapitula la

definición anterior para hacerla operacional.

Definición I-1.(Forma Operacional)

δεδε <−+−<<−>∃>∀⇔=→

20

20),(),(

)()(0s.q.L),(00L),(Lim00

yyxxyxfyxfyxyx

.

Más aun, como δ<−+−≤−=− 20

20

200 )()()( yyxxxxxx se puede escribir

δδεδε <−<<−<<−>∃>∀⇔=→

00),(),(0,0s.q.L),(00L),(Lim

00

yyxxyxfyxfyxyx

.

Al igual que en los límites de funciones de una variable real, el reto es definir la cota superior de

L),( −yxf sabiendo que 0yy − y 0xx − están acotados superiormente por algún δ, teniendo presente

que por definición la cota así determinada debe ser igual o menor ε.

Ej. 1) Demuestre que 20)254(Lim)2,3(),(

−=+−−→

yxyx

.

Sol.-

Por definición

δεδε <−++<<++−>∃>∀⇔=+−−→

22)2,3(),(

)2()3(0s.q.2025400-20)254(Lim yxyxyxyx

Sabiendo que δδ <−<<+< 20y30 yx se define una cota para 20254 ++− yx . Esto se logra

manipulando algebraicamente esta ultima expresión de manera que en cada sumando del argumento de la

función valor absoluto aparezca al menos uno de los factores )2(o)3( −+ yx . De este modo,

[ ] [ ] 222)2(53)3(4225420254 ++−−−+=+−=++− yxyxyx

)2(5)3(4 −−+= yx …factorización;

2534 −++≤ yx …desigualdad triangular y propiedad del valor

absoluto de un producto;

εδδδ ≤=+< 954 …propiedades del producto y la adición de

desigualdades; uso de la definición.

Luego, para cualquier ε seleccionado, basta tomar 9εδ ≤ que verifique el límite dado.

1 En adelante abreviaremos “siempre que” mediante s.q.


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5

Ej. 2) Demuestre que 6)221(Lim 32)1,1(),(

=−+−−→

yxxyyx

.

Sol.-

Por definición

δ

εδε

<++−<

<−−+−>∃>∀⇔=−+−

−→ 22

3232

)1,1(),( )1()1(0s.q.

6221006)221(Lim

yx

yxxyyxxy

yx

Estrategia 1. Factorización Simultánea por Sumas y Diferencias de Potencias n-ésimas.

[ ] [ ] [ ][ ]

1132112

)1()1)(32()1)(1(2

11)1()1()1)(1(2)1)(1(2

51)1()1(2)1)(1(22)1)(1(2

51)1(1)1(21)1(2

5226221

2

2

2

2

23

2332

++−++++−≤

++−+−++−=

+−−−++−+−++−=

++−−++−−+−−++−=

+−+++−−−+=

++−=−−+−

yxxxyyy

yxxxyyy

xyxxxyyy

xyxxxyyy

yxxy

xyxyyxxy

Nótese que en cada sumando uno de los factores esta acotado por definición. Para el otro factor es

necesario calcular una cota superior, con el objeto de encontrar una cota para la suma y garantizar así que

ε<−−+− 6221 32 yxxy . Como la función de estudio es un polinomio es factible suponer 1≤δ (¿por

qué?), y entonces

2011111 <<⇒<−<−⇒<− xxx (1a) 0211111 <<−⇒<+<−⇒<+ yyy (1b)

2)1(

<⇒ xa

40: 22)1( <<↑ yb (2b)

7323420:)2()3(

)1( <+<⇒<<⋅+

xxa (2a) 31120:)1()1(

)1( <+−<⇒<−<⋅−+

yyb (3b)

732)2(

<+⇒ xa

71711: 22)3()2( <+−⇒<+−<+ yyyybb

Así tenemos:

εδδδδ ≤=++<−−+− 2327)7(26221 32 yxxy

Luego, para cualquier ε seleccionado basta tomar )23,1mín( εδ ≤ que verifique el límite dado.


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6

Estrategia 2. Factorización Simultánea usando Potencias de Binomios.

[ ] [ ] [ ][ ]

δδδδδδδδδ 1382252662

11512161612

)1()1(5)1(2)1(6)1(6)1(2

)1()1()1(4)1(2)1(6)1(6)1(2

51)1()1(2)1(4)1(22)1(6)1(6)1(2

51)1(1)1(21)1(2

5226221

23223

223

223

223

223

23

2332

++=+++++<

++−+−++++++≤

++−−−−+++−+=

−−++−−−−+++−+=

++−−++−−−−−−+++−+=

+−+++−−−+=

++−=−−+−

yxxxyyy

yxxxyyy

xyxxxyyy

xyxxxyyy

yxxy

xyxyyxxy

El hecho que hayamos utilizado 2<x indica que inicialmente hemos supuesto 1≤δ , y en consecuencia

δδδ ≤≤ 23 . Por tanto:

εδδδδδδδ ≤=++<++<−−+− 23138213826221 2332 yxxy

Lo cual nos lleva a las conclusiones ya obtenidas.

Ej. 3) Demuestre que 11Lim),(),( 2

121

=+→ yxyx

.

Sol.-

Por definición

δεδε <−+−<<−+

>∃>∀⇔=+→

2212

21

),(),()()(0s.q.110011Lim

21

21

yxyxyxyx

yxyx

yx +−−

=−+

111

yxyx

+−+−=

1)()( 21

21 …(factorización)

( )yx

yx+

−+−≤1

21

21 …(desigualdad triangular)

De este último resultado debe destacarse que el primer factor está acotado según la definición; no

obstante, la cota del segundo factor es desconocida. Como yx +

1 no es acotado cuando 0)( →+ yx , la

suposición acerca de δ debe ser hecha con más rigor, cuidando que la bola reducida de ),( 00 yx NO

contenga algún punto del conjunto { }xyyx −=ℜ∈ 2),( . Luego,


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δδδδδ +<<−⇒<−<−⇒<− 21

21

21

21 xxx (1)

δδδδδ +<<−⇒<−<−⇒<− 21

21

21

21 yyy (2)

(1)+(2): δδ 2121 +<+<− yx (3)

δδδδ 2111

2111

211

1)3(

021 s.q. −<

+⇒

−<

+<

+⇒−↑

>− yxyx

Para llegar a este resultado se ha exigido 021 >− δ , o sea, 21<δ . Ahora podemos suponer que si 4

1≤δ ,

entonces:

εδδδ ≤=+<−+

⇒

<+

4)2)((11

21

yx

yx

Finalmente, para cualquier ε seleccionado, basta tomar )4,41mín( εδ ≤ que verifique el límite dado.

Ej. 4) Demuestre que 03Lim22)0,0(),(=

+→ yxxy

yx.

Sol.-

Por definición

δεδε <+<<+

>∃>∀⇔=+→

222222)0,0(),(

0s.q.30003Lim yxyx

xyyx

xyyx

Nótese que a diferencia de los ejemplos anteriores, el denominador de la función de estudio es NULO en el

punto de acumulación. En este caso la estrategia consiste en simplificar el denominador utilizando algún

hecho algebraico-aritmético obvio relacionado con la definición. De este modo,

εδ ≤<+=+

++≤

+=

+33333 22

22

2222

2222yx

yxyxyx

yxyx

yxxy

Luego, para cualquier ε seleccionado, basta tomar 3εδ ≤ que verifique el límite dado.

Los teoremas de límites de funciones de una variable se extienden válidamente a más dimensiones,

de manera que:

1. Si el límite existe entonces su valor es único.


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2. Si existen los límites de varias funciones en el mismo punto, entonces se verifica el álgebra de límites

(adición, producto, cociente y composición), considerando las restricciones pertinentes a

indeterminaciones o indefiniciones.

Así, se puede extender la definición dada para funciones reales de dos variables a más dimensiones.

Definición I-2. Sea ℜ→ℜ⊂ nUf : con regla )(xfy = , y sea el extremo (final) de nℜ∈a un punto

de acumulación de U. Entonces,

( ) ( )Lfxf εδδε B)(B00L)(Lim * ∈⇒∈>∃>∀⇔=→

xaxax

;

que en forma operacional puede escribirse como:

δεδε <−<<−>∃>∀⇔=→

axxxax

0 s.q. L)(00L)(Lim ff

Nótese que la condición suficiente indica que δ<−< ii ax0 , donde ieax ˆ)( ⋅−=− ii ax . Luego, en

las pruebas de límites puede procederse en forma análoga al caso de dependencia bidimensional. Aquí

podemos hacer la siguiente abstracción geométrica.

fnU ℜ⊂

a

δ

L+ε

L-ε

y

L

En el caso de funciones reales de varias variables, para demostrar la NO existencia de límite o para

tener una idea de cuál es su posible valor, son muy útiles los dos siguientes resultados sobre límites por

trayectorias o límites reiterados.

Proposición I-1. Sea ℜ→ℜ⊂ nUf : tal que L)(Lim =→

xaxf . Entonces, para cada trayectoria

nU ℜ→ℜ⊂:r que verifique ar =)( 0t , se tiene que:

L))((Lim0

=→

tftt

r .

El recíproco de esta proposición no es correcto, pero si lo es el contrario puesto que si el límite por

trayectorias no es un valor único entonces no existe límite.


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Ej. 5) Usando trayectorias muestre que la función de regla yx

yyxf+

= 2),( no tiene límite en (0,0).

Sol.-

Considérese la familia de trayectorias parabólicas por el origen ℜ∈+= mtmtt con ,̂ˆ)( 2jir . Luego,

222

2

022

2

0 11

)1(Lim

)(Lim

mtmt

tmtt

tt +=

+=

+ →→

Como este resultado no es único puesto que depende de m, la función dada no tiene límite en (0,0).

Proposición I-2. Sea ℜ→ℜ⊂ nUf : tal que L)(Lim =→

xaxf . Supongamos que existen los límites

)(Lim xfii ax →

, con iix ex ˆ⋅= y iia ea ˆ⋅= . Entonces existe y coincide con el límite por trayectorias el límite

L)(LimLimLimLimLim112211

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛→→→→→ −−

LLLL xfnnnnii axaxaxaxax

,

así como los n!-1 límites determinados al cambiar el orden de prioridad en el cálculo.

El recíproco de esta proposición tampoco es correcto, pero si lo es el contrario: si los n! límites así

calculados no coinciden entre sí, o con el límite por trayectorias, entonces no existe límite para la función

dada en el punto indicado.

Ej. 6) Usando límites reiterados muestre que la función de regla yx

yyxf+

= 2),( no tiene límite en (0,0).

Sol.-

Se determinan 2! Límites.

1)1(LimLimLimLim

0)0(LimLimLim

00200

0200

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

→→→→

→→→

yyxy

xyx

yy

yxy

yxy

Lugar Geométrico del Gráfico de la función.

Como los resultados no coinciden, se sigue que la función dada no tiene límite en (0,0).

En el caso que los resultados de límites por trayectorias y de límites reiterados en un punto dado,

coincidan en valor numérico, no se puede afirmar que éste sea el límite de la función hasta probarlo usando

la definición.


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10

II. Límite de una función vectorial

Ahora interesa hablar del caso de las funciones f cuyas imágenes son vectores en ℜm,

específicamente del valor límite de tal función en el algún punto del conjunto de partida que en general,

supondremos es ℜn. Esto proporcionará la visión más general sobre la piedra angular de este curso.

Definición II-1. Sea mnU ℜ→ℜ⊂:f con regla )(xfy = , y sea el extremo (final) de nℜ∈a un

punto de acumulación de U. Entonces,

( ) ( )LxfaxLxfax εδδε B)(B00)(Lim * ∈⇒∈>∃>∀⇔=

→,

que en forma operacional puede escribirse como:

δεδε <−<<−>∃>∀⇔=→

axLxfLxfax

0 s.q. )(00)(Lim

Nótese que la condición suficiente indica que δ<−< ii ax0 , donde ieax ˆ)( ⋅−=− ii ax . Luego, en

las pruebas de límites puede procederse en forma análoga al caso de dependencia real n-dimensional. Ahora

podemos hacer la siguiente abstracción geométrica.

nU ℜ⊂ mℜ

a

δL

εf

Considérese ∑=

==m

jjjf

1ˆ)()( exxfy con ℜ→ℜ⊂ n

jj Uf : y Im

jjUU

1== . Luego,

jj

m

jjj LfL =⇔==

→=

→ ∑ )(Limˆ)(Lim1

xeLxfaxax

.

Esta afirmación nos lleva a la conclusión que el trabajo con límites de funciones vectoriales se reduce al

cálculo de límites de funciones reales. Es más, desde el punto de vista operacional se puede escribir:

{ } { } niiimjjj axLf≤≤≤≤→

<−<<−>∃>∀⇔= 110 s.q. )(00)(Lim δεδε xLxf

ax (¿por qué?).


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Ej. 7) Demuestre que )24,6()32,( 222)2,2,2(),,(

=++++→

zyxzyxLimzyx

.

Sol.-

Por definición,

δ

εδε

<−+−+−<

<−+++−++>∃>∀⇔=++++

→ 222

22222222

)2,2,2(),,( )2()2()2(0 q. s.

)2432()6(00)24,6()32,(

zyx

zyxzyxzyxzyxLim

zyx

Considerando simultáneamente cada función componente,

εδ ≤<

−+−+−≤

−+−+−=−++

3222

)2()2()2(6

zyxzyxzyx

[ ] [ ] [ ]

εδ

δδδ

≤<−++⇒

+<−++⇒

−+−+−+−+−+−≤

−+−+−+−+−+−=

−+−++−++−=

−++

≤302432

2462432

212)2(328)2(224)2(

)2(12)2(3)2(8)2(2)2(4)2(

242)2(32)2(22)2(

2432

2221

2222

222

222

222

222

zyx

zyx

zzyyxx

zzyyxx

zyx

zyx

Luego, para cualquier ε seleccionado basta tomar )30,1mín()30,1,3mín( εεεδ == que verifique el límite

dado.

Ej. 8) Muestre que la función ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−−−

= 222 )()(,cos1),(

yaxyax

yxyyxf no tiene límite en (a,0).

Sol.-

Estudiando los límites de cada función componente, se tiene que:

(i) ( )( )( ) 2

senlim21

cos1cos1cos1limcos1lim

2

22

22

)0,(),(2)0,(),(2)0,(),(

ayx

xyxxyy

xyxyy

xyayxayxayx

==+

+−=

−→→→

(ii) Usando la familia de trayectorias rectas que pasan por (a,0), jir ˆˆ)()( mtatt ++= con ℜ∈m ,

222

2

0220 1)1(lim

)()())((lim

mm

tmmt

mtatamtata

tt +=

+=

+−+−+

→→

es obvio que este resultado no es único y en consecuencia esta función componente no tiene límite en

(a,0).

En conclusión la función f no tiene límite en el punto especificado.

Para finalizar este apartado se resumen las propiedades algebraicas de los límites en el siguiente teorema.


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Teorema 1. Sean las funciones vectoriales pmmnmn WVU ℜ→ℜ⊂ℜ→ℜ⊂ℜ→ℜ⊂ :y:,: hgf , la

función real ℜ→ℜ⊂Ω np : , y el extremo de a un punto de acumulación común a todos los dominios

n-dimensionales. Si los límites de las funciones correspondientes en ese punto son

Rp ===→→→

)(Lim y)(Lim ,)(Lim xMxgLxfaxaxax

,

entonces:

(i) ))((Lim MLxgfax

+=+→

(ii) ))((Lim MLxgfax

⋅=⋅→

(iii) Lxfax

Rp =→

))((Lim

(iv) 0 s.q. ,))((Lim ≠=→

RRpLxf

ax

(v) Lxfax

=→

)(Lim

(vi) W∈=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

→→LLhxfhxfh

axax s.q. )()(Lim))((Lim o

III. Continuidad de una función de varias variables

La continuidad de una función formalmente significa que incrementos pequeños en las variables

independientes conducen a incrementos pequeños en el valor de la función, así, cuando aquel incremento es

infinitésimo (tiende a cero) también lo es el de la función. Dicho de otro modo, f es continua en el extremo

de cierto a , si )(xf tiende a )(af cuando ax → .

Definición III-1. Sea mnU ℜ→ℜ⊂:f con regla )(xfy = . Se dice que la función f es continua en

nℜ∈a , y que denotamos { }af C∈ , sii ( )afxfax

=→

)(Lim o equivalentemente,

( ) ( )( )afxfax εδδε B)(B00 * ∈⇒∈>∃>∀ .

Operacionalmente se escribe:

{ } δεδε <−<<−>∃>∀⇔∈ axafxff a 0 s.q. )()(00C

Observaciones.

1. La función f es continua en a sii, son continuas allí todas sus funciones componentes.

2. Se dice que f es continua en un conjunto UD ⊂ , si lo es en todo punto de ese conjunto.

3. La función polinomial es continua en todo el conjunto de partida. También lo son intrínsecamente las

funciones circulares principales y la exponencial.

Límite de una función real

JEA/05/06/98

13

4. Si la función f no es continua en un punto a de acumulación de U, se dice es discontinua en a . En

tal caso la discontinuidad es evitable o esencial según que exista o no el límite de f en a .

Se dice que se “evita la discontinuidad“ si se cambia lo que sucede en a por el valor límite de f allí;

con esta manipulación se consigue que f pase a ser continua en a . Concretamente, la corrección a

realizar es:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=≠

=→

axxfaxxf

xfax

si ,)(Lim si ,)(

)(c .

Las propiedades de límites de funciones que se estudiaron en el apartado anterior, conducen a

propiedades análogas para las funciones continuas.

Teorema 2. Sean las funciones vectoriales pmmnmn WVU ℜ→ℜ⊂ℜ→ℜ⊂ℜ→ℜ⊂ :y:,: hgf , la

función real ℜ→ℜ⊂Ω np : . Si p y, gf están definidas sobre el mismo conjunto nD ℜ⊂ , y son continuas

en D∈a ; si además WU ⊂)(f , entonces:

(i) { } )( agf C∈+

(ii) { } )( agf C∈⋅

(iii) { } )( af C∈p

(iv) { } 0)( s.q. )( ≠∈ af a pp C

(v) { } { })( s.q. )( afa hfh CC ∈∈o

Ej. 9) Estudie la continuidad de la función cuya regla es )sgn(),( xyxf = .

Sol.-

Como el gráfico de esta función es bastante simple, es posible realizar el estudio con base en meras

observaciones geométricas. Luego,

{ }01 0 0,1),()Gra( 2 >=∨==∨<−=ℜ∈= ,xzxzxzyxf

y

x 1

-1

z


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Es obvio que la función sólo presenta una discontinuidad, del tipo esencial para el eje de ordenadas.

Ej. 10) Estudie la continuidad de la función cuya regla es 22

22 )1(),(yxxyxyxf

+++

= .

Sol.-

Aquí la función dada es racional y por tanto es continua en { })0,0(2 −ℜ (¿por qué?). Estudiaremos entonces

el límite de f en (0,0).

1)1(LimLim)1(LimLim02

2

022

22

00==⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++

→→→→ xxyx xx

yxxyx

1)1(LimLim)1(LimLim02

2

022

22

00==⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++

→→→→ yyxy yy

yxxyx

Cualquier trayectoria conducirá también a este resultado. Por tanto, debemos usar la definición para

probar que el valor del límite en cuestión es 1. En efecto,

εδ

δεδε

≤<=+

+≤

+=−

+

++

<+<<−+

++>∃>∀⇔=

+++

→

xyxyxx

yxyx

yxxyx

yxyxxyx

yxxyx

yx

22

22

22

2

22

22

2222

22

22

22

)0,0(),(

)(1)1(

0 s.q. 1)1(001)1(Lim

Luego, para cualquier ε seleccionado basta tomar εδ ≤ que verifique el límite dado. Puesto que el límite

EXISTE y vale 1, la función presenta discontinuidad del tipo evitable en (0,0). La función corregida es:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠+

++=

)0,0(),( si ,1

)0,0(),( si ,)1(),( 22

22

yx

yxyxxyx

yxfc


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15

Ej. 11) Estudie la continuidad de la función

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−−

−+

= − )ln(ln,2sen2cos2cos2sen),(

44

yxyx

aayyyxyx yxf .

Sol.-

Sean yx aayyyxyxf

−+

= −2sen2cos2cos2sen),(1 y

)ln(ln),(

44

2 yxyxyxf−−

−= , las funciones componentes de f .

Luego,

{ } { } { }),(),(),()Dom( 00222

1 xxyxyxaayxf yx −−ℜ=≠−ℜ∈=≠ℜ∈= − , y

{ } { }{ } { }),(0,0),(

0,0,),(0,0),ln(ln),()Dom(

002

222

xxyxyxyxyxyxyxyxyxf

−−<>ℜ∈=

<>−≠ℜ∈=<>−≠ℜ∈=

{ } { }),(0,0),()Dom()Dom()Dom( 002

21 xxyxyxff −−<>ℜ∈==⇒ If

Si 0<x o 0>y , o si 00 22 ≠+∧= yxxy , f2 no está definida y la discontinuidad es esencial.

Estudio del límite de cada función componente cuando ),(),( 00 xxyx −→ .

( ) ( )

( )

( )( )

( )0

2ln2

1

sen

),(),(02

),(),(02

12

222

22

),(),(0

1),(),(),(),(

2cosLim2cos2

1senLim2cos2

cossen2Lim2cos

2cos)2sen2(senLim2sen2cos2cos2senLim

0

00

0

00

0

00

0000

xaxa

ayxxa

x

ayyx

aayyyx

xa

yxa

yxyx

xxyxx

yxxxyxx

aa

yxyx

xxyx

ya

xxyxyxxxyx

yx

x

yx

x

−=−=

−+

=

=

−+

=−+

+−

++

−→

+−→

−

−+

−→

−→−−→

+

+

[ ]

40

1),(),(

30

1),(),(

30

),(),(

30

),(),(301),(),(

30

3223

),(),(

44

),(),(

4)(Lim

14

)(1)(Lim

14

)(Limln

14

)ln(

1Lim4)ln(

1Lim4

)ln())((Lim

)ln(lnLim

00

00

1

00

10000

0000

xx

xx

xx

yxyyxxyxyx

yx

yxxyx

yxyx

xxyxyx

xxyx

yxxxyxy

xyxxxyx

yxxxyxxxyx

yx

yx

=

−

=

−−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

−=

−=

−−+−+

=−−

−

−→

+−→−→

−→+−→

−→−→

+

+


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Luego, f tiene discontinuidad evitable en ),( 00 xx − . La función corregida es:

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−

−≠⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−−

−+

= −

yxxxa

yxyx

yxaa

yyyxyx

xa

yx

si ,4,2cos

si ,)ln(ln

,2sen2cos2cos2sen),(

42ln2

44

f .

REFERENCIAS

1. El Cálculo con Geometría Analítica, por Louis Leithold. HARLA.

2. Cálculo Infinitesimal de Varias Variables, por Juan de Burgos. McGraw-Hill.

3. Calculus, por Tom Apostol. Reverté.

4. Cálculo Diferencial, por José Mazón. McGraw-Hill.

5. Cálculo de Varias Variables con Algebra Lineal, por Philip Curtis. LIMUSA

6. Cálculo Vectorial, por Claudio Pita. Prentice Hall.

7. Cálculo Vectorial, por Marsden/Tromba. Addison-Wesley Iberoamericana.

8. Funciones de Varias Variables, por DeSalvo/Torres. EDILUZ.

9. Historia de las Matemáticas, por K. Ríbnikov. MIR

10. Enciclopedia ENCARTA97. Microsoft Corp.

"Mejor que de nuestro juicio, debemos fiarnos del cálculo algebraico". Leonard Euler.

Documents

Límite y Continuidad de Funciones de Varias Variables