Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
REKURZIVNA ZAPOREDJA
(geometrično zaporedje)
(aritmetično zaporedje)
0 1 ( ), 0,1,2,3,...n nx a x f x n
0 11 1.25n nx x x
0 11 0.5n nx x x
1 10
170.6 1
6 6
n nn
x xx x
2
10
1
40.2
2
nn
n
xx x
x
LIMITE IN ZVEZNOST REKURZIVNA ZAPOREDJA
MATEMATIKA 1 1
Točka x je negibna točka preslikave f, če velja f(x)=x.
Negibne točke f so edini kandidati za limite rekurzivnega zaporedja, določenega z f.
Privzemimo, da je f zvezna.
1 1
lim
lim ( ) (lim ) ( )
nn
n nn n
x x
x f x f x f x
Če zaporedje konvergira, potem za velja
Edine možne limite rekurzivnega zaporedja so rešitve enačbe f(x)=x.
LIMITE IN ZVEZNOST REKURZIVNA ZAPOREDJA
MATEMATIKA 1 2
0 1 ( ), 0,1,2,3,...n nx a x f x n
Ali zaporedje konvergira in katera negibna točka je limita, je odvisno od začetnega člena.
2 4
2
xy
x
Obstoj limite: grafično
2
10
1
40.5
2
nn
n
xx x
x
22 24
2 4 22
xx x x x
x
y x
2
2.07 2.59 4.25
0.50
n xn
0 0.50
1 4.25
2
5
3
4
…
2.59
2.07
2.00
2.00…
LIMITE IN ZVEZNOST REKURZIVNA ZAPOREDJA
MATEMATIKA 1 3
Obstoj limite: analitično
1
| ( ) ( ) | ,
k
f x f x k | x - x | x, x I
f I
Če za primeren velja
za vse
potem pravi skrčimo, da je funkcija na intervaluev t ,
Privzemimo, da je f skrčitev na intervalu I okoli negibne točke x.
1 | | | ( ) ( ) | | |
| | | | li m
n n n n
mn m n n
n
x I x x f x f x k x x
x x k x x x x
Za takšno negibno točko pravimo, da je privlačna negibna točka (atraktor).
Rekurzivno zaporedje, ki se približa privlačni negibni točki, proti tej točki tudi konvergira.
| ( ) | 1 f x x je privlačna negibna točka.
LIMITE IN ZVEZNOST REKURZIVNA ZAPOREDJA
MATEMATIKA 1 4
1 1(1 )n n nx ax x
( ( ) (1 ))f x ax x
1 ( ) 2
ax f x a
a
2,2.9
4
a
a
privlačni negibni točki
odbojna negibna točka
LIMITE IN ZVEZNOST REKURZIVNA ZAPOREDJA
MATEMATIKA 1 5
2a
2.9a
4a
Negibna točka je privlačna, če graf funkcije poteka skozi senčeno območje.
LIMITE IN ZVEZNOST REKURZIVNA ZAPOREDJA
MATEMATIKA 1 6
0 10.2, 1
:
n n nx x a x x
a
Obnašanje zaporedja
za različne izbire parametra
2.9a
2a
4a
VRSTE
1 2 3 ... ?x x x
1 1 1 1 1... 1
2 4 8 16 32
LIMITE IN ZVEZNOST VRSTE
MATEMATIKA 1 7
Ali je mogoče sešteti neskončno števil, npr. vse člene nekega zaporedja?
1
2
1
4
1
8
1
16
1
32
1 2 3 ...x x x
1 1s x
zaporedje delnih vsot
1 2 3 ... lim nn
x x x s
Vsoto vrste opredelimo kot limito zaporedja delnih vsot.
LIMITE IN ZVEZNOST VRSTE
MATEMATIKA 1 8
2 1 2s x x
3 1 2 3s x x x
1 2
.....
...
.....
n ns x x x
(geometrijska vrsta)2 1... ... ?na aq aq aq
2 1 1...
1
nn
n
qs a aq aq aq a
q
1 111lim
1 ( 1,1)
n
n
aqq
qaq
q
za
ne obstaja za
1 1 1 1 1... ... ?
2 6 12 20 ( 1)k k
1 1 1
( 1) 1k k k k
1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) ...
2 2 3 3 4 1ns
n n
1lim 1 1
1n n
LIMITE IN ZVEZNOST VRSTE
MATEMATIKA 1 9
11
1n
Harmonična vrsta
Čeprav se sumandi manjšajo, je vsota neskončna!
1 1 1 11 ... ... ?
2 3 4 k
1
1 1 1 1 11 ...
2 3 4
n
n
k
sn k
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ... ... ...
2 3 4 5 6 7 8 9 16 17 32
1
2
LIMITE IN ZVEZNOST VRSTE
MATEMATIKA 1 10
1
2
1
2
1
2
Primerjalna kriterija za konvergenco vrst
VRSTE S POZITIVNIMI ČLENI (xn ≥ 0)
Zaporedje delnih vsot je naraščajoče.
I.
II.
Limito ima, ko je navzgor omejeno.
0 n nx y
1 1
obstaja obstajan ny x
0 , , lim 0,nn n
nn
xx y C
yin je (tj. členi obeh vrst so primerljivo veliki)
1 1
n ny xobstaja obstaja
LIMITE IN ZVEZNOST VRSTE
MATEMATIKA 1 11
Geometrijska vrsta:
Harmonična vrsta:1
1 1
rr
nkonvergira za
1
1nq qkonvergira za
3 3
1
1- 1 ?n
n n
32
3 33 3
3 3 3 3
( 1) ( 1) 2 11- 1 =
1 1 1 1
n nn n
nn n n nje primerljivo z
3 3
1
1- 1 3.024n
n n
Vrsto lahko seštejemo, če gre splošni člen dovolj hitro proti 0.
Hitrost konvergence ocenimo tako, da poiščemo primerljivo geometrijsko ali harmonično vrsto.
LIMITE IN ZVEZNOST VRSTE
MATEMATIKA 1 12
31
2rKer je , vsota obstaja.
SPLOŠNE VRSTE
ALTERNIRAJOČE VRSTE
1 1
| | obstaja obstajan nx x
1 1 1 1 ..., ?
2 3 4Kaj pa pri kateri prirejena vrsta iz absolutnih vrednosti divergira
1 2 3
2 4 6 5 3 1
... 0, lim 0
...
nn
x x x x
s s s s s sza delne vsote velja :
1 2 3 4 1... | |n nS x x x x S s xobstaja in
LIMITE IN ZVEZNOST VRSTE
MATEMATIKA 1 13
Ogledamo si, kako se spreminjajo delne vsote: razlika med m-to in n-to delno vsoto je |xm+…+ xn|, kar je manj od |xm|+…+| xn|, kolikor je razlika delnih vsot vrste iz absolutnih vrednosti. Zato, če konvergira vrsta iz absolutnih vrednosti, konvergira tudi osnovna vrsta.
Razlika dveh zaporednih delnih vsot gre proti 0, zato po principu sendviča zaporedje delnih vsot konvergira. Razlika med delno in celotno vsoto je manjša od prvega člena, ki ga izpustimo.