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MARIA ALICE DE VASCONCELOS FEIO MESSIAS
JOÃO CLÁUDIO BRANDEMBERG
LIMITE DE UMA FUNÇÃO:
HISTÓRIA E ATIVIDADES PARA O ENSINO
BELÉM - PARÁ
outubro 2019
Organizadores Acylena Coelho Costa
Fernando Cardoso de Matos
Reginaldo da Silva
Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias – João Cláudio Brandemberg
2
Copyright © 2019 by EPAEM- 12º Edição
Revisão de Texto e Bibliográfica: Os autores
Projeto Gráfico e Diagramação: Demetrius Gonçalves de Araújo
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
Belém - Pará - Brasil
LIMITE DE UMA FUNÇÃO:
HISTÓRIA E ATIVIDADES PARA O ENSINO
Belém : Sociedade Brasileira de Educação
Matemática - SBEM, 2019.
1. Educação - Finalidade e objetivos
2. Aprendizado 3. Matemática (Ensino fundamental)
4. Matemática - Estudo e ensino 5. Prática de ensino 6. Professores -
Formação 7. Sala de aula I. Alice de Vasconcelos Feio Messias, Maria. II.
Cláudio Brandemberg, João.
Belém: XII EPAEM, 2019. (Coleção VI). 67 p.
ISBN 978-65-5076-010-6 (V.10)
ISBN 978-65-5076-000-7(Coleção)
CDD 510.
Índices para catalogo sistemático:
1. Matemática: Estudo e ensino 510.7
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida
sejam quais forem os meios empregados sem a permissão da Editora. Aos infratores
aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei Nº 9.610, de 19
de fevereiro de 1998.
Comitê Científico - Coleção VI Demetrius Gonçalves de Araújo
José Carlos de Sousa Pereira
José Messildo Viana Nunes
Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias
Natanael Freitas Cabral
Organizadores:
Acylena Coelho Costa
Fernando Cardoso de Matos
Reginaldo da Silva
Coleção VI – Educação Matemática na Amazônia V.10
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XII ENCONTRO PARAENSE DE EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA
Diretoria Regional da SBEM-PA
Diretor: Fernando Cardoso de Matos
Vice-diretor: Reginaldo da Silva
Secretário: José Carlos de Sousa Pereira
Secretário: José Messildo Viana Nunes
Secretário: Demetrius Gonçalves de Araújo
Secretário: Natanael Freitas Cabral
Tesoureiro: Acylena Coelho Costa
Tesoureiro: Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias
Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias – João Cláudio Brandemberg
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Coleção VI – Educação Matemática na Amazônia V.10
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Apresentação
om o intuito de consolidar mais um espaço de divulgação da
produção de conhecimento na região norte, a coleção Educação
Matemática na Amazônia teve o lançamento de sua sexta edição
durante a realização do XII Encontro Paraense de Educação
Matemática – XII EPAEM.
A partir do tema Educação Matemática: Teorias, Práticas e
Reflexões, apresenta-se ao leitor um conjunto de obras diversificadas,
tendo em vista os avanços dos estudos efetivados no âmbito da
Educação Matemática em diversos centros de pesquisa do país.
Cada um dos 12 volumes apresenta múltiplas discussões e
reflexões sobre teorias e práticas, as quais foram contempladas
durante os minicursos disponibilizados no XII EPAEM. Espera-se,
nesse sentido, que a publicação desse material permita que
estudantes de graduação e pós-graduação, bem como professores
dos níveis básico e superior, ampliem seu olhar crítico no que se
refere à pluralidade de produções relativas à Educação Matemática.
Finalmente, almeja-se que essa coleção inspire reflexões e
provoque transformações na trajetória acadêmica e profissional de
cada um dos leitores.
Boa leitura!
Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias
(Membro da Diretoria da SBEM-PA)
C
Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias – João Cláudio Brandemberg
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Coleção VI – Educação Matemática na Amazônia V.10
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO:
HISTÓRIA E ATIVIDADES PARA O ENSINO
Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias
João Cláudio Brandemberg
Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias – João Cláudio Brandemberg
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Coleção VI – Educação Matemática na Amazônia V.10
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO..................................................................... 11
AS ORIGENS DO CÁLCULO: CONCEPÇÕES NA
ANTIGUIDADE E NA IDADE MÉDIA............................
14
SÉCULO XVII: CONTRIBUIÇÕES QUE
ANTECEDERAM O CÁLCULO.........................................
18
NEWTON X LEIBNIZ: A DESCOBERTA DO
CÁLCULO.............................................................................
25
SÉCULO XIX: O RIGOR MATEMÁTICO VEM À
TONA..................................................................................
35
COMPREENSÕES SOBRE LIMITE: O QUE DIZ A
LITERATURA?......................................................................
41
COMPREENSÕES SOBRE LIMITE A PARTIR DE
QUESTÕES ENVOLVENDO ESSE CONCEITO..............
47
HISTÓRIA & ENSINO DE MATEMÁTICA:
ALGUMAS CONSIDERAÇÕES.........................................
58
CONSIDERAÇÕES FINAIS................................................ 63
REFERÊNCIAS...................................................................... 65
DADOS SOBRE OS AUTORES........................................... 69
Educação Matemática na Amazônia - Coleção – VI... 71
Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias – João Cláudio Brandemberg
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Coleção VI – Educação Matemática na Amazônia V.10
11
LIMITE DE UMA FUNÇÃO:
HISTÓRIA E ATIVIDADES PARA O ENSINO
INTRODUÇÃO
A evolução histórico-conceitual no âmbito do Cálculo se constituiu
como um processo que, desde os primórdios até a efetiva formalização e
sistematização dos conceitos matemáticos envolvidos, foi marcado por uma
pluralidade de conflitos.
Evidenciamos, nesse sentido, que os avanços relativos a essa área
de conhecimento não podem ser atribuídos a uma única figura. Nessa
perspectiva, admitimos que:
[...] raramente – quem sabe nunca – um único
matemático ou cientista foi intitulado por receber o crédito completo por uma inovação ou, nenhuma Era
merece ser chamada de renascença em relação a determinado aspecto cultural. Por trás de qualquer
descoberta ou invenção há, invariavelmente, um desenvolvimento evolucionário de ideias, tornando seu
surgimento possível. A história do cálculo nos fornece
uma notável ilustração desse fato. (BOYER, 2012, p. 299,
traduzido pelos autores).
As origens do Cálculo estiveram centradas nas dificuldades dos
gregos em expressar razões e proporcionalidades de segmentos de retas
de forma numérica. Todavia, foi somente no período medieval que teve
início o estudo quantitativo acerca da variabilidade, fato que possibilitou o
Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias – João Cláudio Brandemberg
12
desenvolvimento de novos campos de conhecimento, tais como a
geometria analítica e a representação de variáveis, os quais exerceram
grande influência na composição dos algoritmos de Newton e Leibniz que,
por sua vez, constituíram o Cálculo.
Ressaltamos, no entanto, que mesmo com as contribuições de
Newton e Leibniz, não se tinha clareza sobre a base lógica e formal dos
conceitos envolvidos. Na verdade, foi somente quando as definições mais
rigorosas de número e contínuo, no século XIX, que a noção de derivada se
configurou como fundamental e, consequentemente, uma base mais sólida
no âmbito do Cálculo foi estabelecida (MESSIAS, 2013).
Atualmente, as definições dos tópicos de Cálculo, bem como as
operações envolvidas encontram-se tão esclarecidas em livros da área que
as dificuldades referentes ao desenvolvimento histórico dos conceitos
básicos são facilmente esquecidas. Em contrapartida, mais de 2500 anos
de tentativas foram necessárias para o desenvolvimento, sistematização e
formalização do Cálculo. Reiteramos, nesse sentido, a relevância de um
estudo histórico sobre tais conhecimentos, sobretudo, no que tange à sua
construção epistemológica.
Dedicamos esse texto à descrição da construção do conceito de
limite de uma função, conforme a organização a seguir:
➢ As origens do Cálculo: Concepções na Antiguidade e na Idade
Média;
➢ Século XVII: Contribuições que antecederam o Cálculo;
➢ Newton x Leibniz: A descoberta do Cálculo;
➢ Séc. XVIII: Um século rumo à formalização do Cálculo;
➢ Século XIX: o rigor matemático vem à tona;
Em seguida, apresentamos múltiplas interpretações relacionadas ao
conceito de limite, tendo os apontamentos de diferentes autores como
Coleção VI – Educação Matemática na Amazônia V.10
13
suporte para efetivar uma discussão acerca das compreensões destacadas
no decorrer de seção.
Por fim, disponibilizamos algumas atividades envolvendo o referido
objeto matemático e outros adjacentes a ele, de modo a promover uma
reflexão sobre tais atividades a partir de elementos comumente associados
à compreensão sobre limite.
É importante ressaltarmos que o conceito de limite é de
fundamental importância para a construção de uma base mais sólida da
esfera de conhecimentos do Cálculo. O Teorema do Valor Médio, por
exemplo, é aplicável somente para funções contínuas. Sendo assim, antes
de utilizá-lo, é preciso averiguar a continuidade da função em um dado
intervalo e, para tanto, verificar as condições para a existência do limite em
determinado ponto.
Qualquer fragilidade no que tange ao entendimento desse conceito
pode implicar, portanto, em dificuldades na aprendizagem de outros
conteúdos no âmbito do Cálculo, fato que reitera a relevância dos aspectos
discutidos nesse trabalho.
Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias – João Cláudio Brandemberg
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Capítulo 1
AS ORIGENS DO CÁLCULO: CONCEPÇÕES NA ANTIGUIDADE E NA IDADE MÉDIA
Um importante resultado para o desenvolvimento do Cálculo na
Antiguidade foi a teoria dos pitagóricos sobre a aplicação de áreas que os
permitia verificar se uma figura delimitada por segmentos de retas era
maior, equivalente ou menor que uma segunda figura. Tal superposição de
uma área sobre a outra pode ser considerada um primeiro passo, na
tentativa de definir de maneira exata essa noção.
Ressaltamos, também, a relevância das discussões relacionadas aos
paradoxos de Zenão1 que, por sua vez, em muito afetaram as concepções
da época, já que envolviam abstrações extrínsecas ao pensamento
matemático grego, tais como a noção de limite, infinito e continuidade.
Tais paradoxos segundo Caraça (1984), têm um valor inestimável,
mostrando-nos que:
[...] o movimento não pode ser compreendido como uma
sucessão de estados particulares; considerá-lo assim,
equivale abordar seu estudo por um método estático que traz consigo o gérmen da infecundidade e da
incompreensão (CARAÇA, 1984, p. 215).
O paradoxo da dicotomia aponta que antes de determinado objeto
percorrer certa distância, deve percorrer metade dela e antes disso, um
quarto dessa distância, mas antes um oitavo da distância e assim
sucessivamente. Dessa maneira, o movimento do objeto não acontecerá,
pois a distância percorrida se aproximará cada vez mais do ponto de
partida. (BARTO, 2004)
1 Referimo-nos, nesse caso, aos paradoxos de Aquiles e a Tartaruga, da Dicotomia, da Flecha, e do Estádio.
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15
No paradoxo de Aquiles e a tartaruga, percebemos que ao disputar
uma corrida com uma tartaruga, Aquiles será derrotado se a tartaruga
largar determinada distância à frente. Isso porque:
[...] assim que Aquiles alcançar a posição inicial da tartaruga, ela já se deslocou dali, mesmo que seja pouca
coisa. Quando Aquiles chegar ao local onde a tartaruga devia se encontrar agora, esta já adiantou-se outro
pequeno espaço, e assim por diante, de modo que a tartaruga sempre está à frente de Aquiles, até cruzar
vitoriosa a reta de chegada (BROLEZZI, 1996, p. 22 –
23).
O paradoxo da flecha aponta que ao se disparar uma flecha,
percebemos que ela nunca sairá do lugar, dado que em cada instante a
flecha se encontra imóvel, já que o tempo é constituído por instantes.
(BROLEZZI, 1996)
Finalmente, no paradoxo do estádio, Zenão considera (por absurdo)
que o tempo é constituído por instantes e o espaço por pontos, sendo
ambos indivisíveis. Devemos considerar um estádio – em que os corredores
sejam pontos indivisíveis – e que haja três grupos de cinco corredores, um
parado e os outros dois correndo em sentidos opostos (ver figura 2).
Figura 1: Descrição do Paradoxo do Estádio I
A B C D E
F G H I J →
K L M N O
Fonte: BROLEZZI (1996)
Sendo a velocidade dos corredores tal que percorram a distância
entre dois pontos em um instante, então J irá passar de C para D em um
Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias – João Cláudio Brandemberg
16
instante, da mesma maneira que K passará de C para B no mesmo instante
(ver figura 3).
Figura 1: Descrição do Paradoxo do Estádio II
A B C D E
F G H I J →
K L M N O
Fonte: BROLEZZI (1996)
Em contrapartida, K passou por J e I, encontrando-se agora sob o
corredor H, mas o tempo necessário para passar por dois pontos são dois
instantes. Dessa maneira, um instante seria igual à dois instantes, o que
seria uma contradição.
Outro grande marco na trajetória de desenvolvimento conceitual do
Cálculo foi o método de Exaustão, o qual nos permite verificar que:
[...] para todo , existe um polígono regular inscrito
em um círculo, cuja área difere da do círculo menos que
. Se a razão das áreas dos dois círculos for e o
quadrado dos raios , então teremos três casos
possíveis: , ou
(CORNU, 1991, p. 160, traduzido pelos
autores)
É importante destacarmos que, apesar de ser equivalente aos
argumentos utilizados na prova de existência do limite, o método de
Exaustão era puramente geométrico, já que não se tinha conhecimento
Coleção VI – Educação Matemática na Amazônia V.10
17
sobre infinito contínuo na Antiguidade. Em se tratando da relação entre
esse método e a noção de limite, Boyer (2012) aponta que:
[...] o método de Exaustão corresponde a um conceito institucional, descrito em termos de figuras mentais da
percepção sensorial de mundo. A noção de limite, por
outro lado, deve ser percebida como um conceito verbal (...) apesar da ideia de limite aparecer na história da
matemática nos tempos antigos, sua formulação rigorosa não aparece em trabalhos antes do século XIX e,
certamente, não no método da Exaustão (BOYER, 2012
p. 36-37, traduzido pelos autores).
Arquimedes de Siracusa (287 – 212 a. C.) teve, mediante seus
resultados, grande importância para as antecipações do Cálculo Diferencial
e Integral. Dentre seus trabalhos, destacamos as aplicações do Método de
Exaustão, o cálculo de volume, centros de gravidade do semicírculo, dentre
outros (MESSIAS, 2013). Todavia, os métodos de Arquimedes não podem
ser considerados uma representação genuína da integração, já que os
aspectos essenciais desse conceito, tais como as noções de variabilidade e
funcionalidade, são extrínsecos a todo pensamento matemático grego.
No período medieval, as principais contribuições para o
desenvolvimento dos conceitos no âmbito do Cálculo estiveram
relacionadas à especulações, do ponto de vista filosófico, sobre infinito,
infinitesimal, continuidade, movimento e variabilidade (BARON, 1985).
Nesse sentido, destacamos os estudos de Richard Suiseth, cujos trabalhos
trouxeram consigo a noção da variabilidade.
A associação do estudo da variação à representação de
coordenadas estabelecidas por Nicole Oresme (1323 – 1382) também teve
grande importância para o avanço da análise matemática. Oresme foi o
primeiro a representar uma taxa de variação instantânea como uma reta,
além de ter se dedicado, assim como outros escolásticos, ao estudo
Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias – João Cláudio Brandemberg
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retórico de séries infinitas. Sobre as contribuições medievais no âmbito do
Cálculo, Boyer (2012) aponta que:
[...] foram, sobretudo, na forma de especulações,
largamente sob ponto de vista filosófico com referência ao estudo do movimento a da variabilidade. Essas
aquisições tiveram papel fundamental para o
desenvolvimento de conceitos e métodos do Cálculo, pois conduziram os primeiros descobridores do assunto a
associar a geometria estática dos gregos às representações gráficas de variáveis, bem como à ideia
de continuidade (BOYER, 2012, p. 94, traduzido pelos
autores)
A história do Cálculo foi marcada de incertezas, bem como pelo
empenho de inúmeros estudiosos para a fundamentação de seu campo de
estudo. Apesar de muitas das contribuições para trajetória do
desenvolvimento do Cálculo ser estabelecidas após a Idade Média, este
período é considerado de suma importância, pois preparou terreno para os
estudos posteriores que anteciparam e em muito influenciaram as
descobertas de Newton e Leibniz no século XVII, bem como as
formalizações de Cauchy e Weirstrass no século XIX. Dessa maneira,
dedicamos o tópico a seguir a algumas dessas antecipações.
SÉCULO XVII: CONTRIBUIÇÕES QUE ANTECEDERAM O CÁLCULO
Nos anos que anteciparam as descobertas de Newton e Leibniz
acerca do Cálculo, deparamo-nos com contribuições advindas dos trabalhos
de alguns estudiosos, dentre os quais destacamos: Johann Kepler (1571 –
1630), Boaventura Cavalieri (1598 – 1647), Evangelista Torricelli (1608 –
1647), Pierre de Fermat (1601 – 1665), Gregory de St. Vicent (1584 –
1667), Gilles de Roberval (1602 – 1675), Blaise Pascal (1623 – 1662) e
Isaac Barrow (1630 – 1677), sendo algumas de suas contribuições
descritas a seguir.
Coleção VI – Educação Matemática na Amazônia V.10
19
Dentre os estudos de Kepler, evidenciamos algumas antecipações
de resultados relacionados ao Cálculo Integral. Em seu livro Astronomia
Nova (ver figura 3), há uma computação que se assemelha à notação
moderna (BOYER, 2012).
Figura 3 – Astronomia nova de Keppler
Fonte: Imagens do Google
Entretanto, apesar de alguns estudos que se aproximavam a
resultados do cálculo integral, Kepler não apresentava nenhum tipo de
esclarecimento no que se refere aos conceitos básicos envolvidos. Ainda
assim, convencionamos importante destacar que:
[...] apesar da visão escolástica sobre variação apresentar um papel significativo para as antecipações
do Cálculo, a abordagem estática de Kepler predominou.
Incrementos e decrementos, ao invés de taxa de variação, foram elementos fundamentais que levaram
aos trabalhos de Leibniz e, apresentaram um papel ainda
Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias – João Cláudio Brandemberg
20
mais importante no Cálculo de Newton (BOYER, 2012, p. 111, tradução nossa).
Cavalieri também teve participação, dentre aqueles que
anteciparam as descobertas do Cálculo. Um de seus resultados, referente à
soma dos cubos dos segmentos de um paralelogramo, é equivalente ao
que atualmente expressamos da seguinte maneira: , sendo
esse o primeiro teorema geral do cálculo.
É claro que Cavalieri não apresentava nenhuma concepção clara
acerca dos conhecimentos em termos de diferencial e integral. Sobre seu
livro Geometria indivisibilibus (ver figura 4), ressaltamos que Cavalieri não
enfatizava os elementos algébricos e aritméticos que levaram, a priori, às
regras de procedimentos do Cálculo e, a posteriori, às definições de
diferencial e integral (BOYER, 2012).
Figura 4 – Geometria Indivisilibus de Cavalieri
Fonte: Imagens do Google
Coleção VI – Educação Matemática na Amazônia V.10
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Dentre os resultados alcançados por Torricelli, destacamos a
aplicação dos métodos de exaustão, dos indivisíveis e a composição de
movimento que são antecipações marcantes da nova análise. Além disso,
Torricelli realizou diversos estudos relacionados aos problemas de
quadraturas e tangentes e, inclusive, reconhecia que um era o inverso do
outro. Em contrapartida, não estabeleceu nenhum algoritmo que pudesse
ser aplicado em todos os casos, haja vista que não via seus métodos como
constituintes de um novo tipo de análise.
Os estudos de Torricelli marcaram um significativo avanço para o
Cálculo, entretanto os conceitos básicos empregados nos mesmos estavam
díspares do ponto de vista moderno e apesar de Torricelli estar ciente do
método dos indivisíveis produzir resultados consonantes com os obtidos
pelos métodos dos antigos, ele estava longe de descobrir que ambos
deveriam ser associados ao conceito de limite.
A participação de Gregory de St. Vincent também foi de suma
importância para a história do Cálculo. Segundo Boyer (2012), há uma
grande probabilidade de ter sido dele a primeira sentença explícita sobre
estar definida, em séries infinitas, uma grandeza a ser chamada de limite
de uma série. Aliado a isso, Gregory também reconheceu que o paradoxo
de Aquiles e a Tartaruga poderia ser explicado em termos de limite de uma
série infinita. No que se refere à sua importância para a história do Cálculo,
verificamos que:
[...] apesar de Gregory de St. Vincent não se expressar com o rigor e clareza dos matemáticos do século XIX,
seu trabalho deve ser guardado como constituindo a
primeira tentativa explícita de formular em um sentido positivo – mesmo que com uma terminologia geométrica
– a doutrina do limite, na qual foi assumida implicitamente por Stevin e Valerio e também,
provavelmente, por Arquimedes em seu método da
exaustão (BOYER, 2012, p. 138, traduzido pelos
autores).
Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias – João Cláudio Brandemberg
22
Os estudos sobre infinitesimais foram bastante difundidos no século
XVII e, nesse aspecto, Gilles de Roberval não foi exceção. Em suas
proposições sobre indivisíveis, são reconhecidas antecipações do Cálculo
Integral, sendo algumas delas equivalente à determinação de integrais
definidas de funções algébricas e trigonométricas.
O equivalente do teorema foi alcançado por
Roberval que, ao contrário de Fermat e Torricelli, não consegui chegar aos
resultados para outros valores de . Apesar disso, podemos dizer que seus
trabalhos são caracterizados pela flexibilidade e pela utilização de diversos
elementos infinitesimais, tais como triângulos, paralelogramos,
paralelepípedos, cilindros e conchas cilíndricas concêntricas, sendo a ideia
de limites implícita, escondida sob a terminologia do método de indivisíveis
de Roberval (BOYER, 2012).
No que se refere à Blaise Pascal, destacamos seu traité des sinus du
quart de cercle, no qual determinou a soma dos senos de uma parte de
uma curva, ou seja, a área abaixo dela, sendo essa uma considerável
observação. Nesse aspecto, verificamos que se Pascal tivesse se dedicado
mais em considerações aritméticas e nos problemas das tangentes, ele
poderia ter antecipado o conceito de limite e descoberto sua importância
para os problemas de tangentes e quadraturas. Entretanto, Boyer (2012)
evidencia que:
[...] sua subestimação no que se refere à importância
dos pontos de vista algébrico e analítico podem ter sido responsáveis não apenas por sua inabilidade de definir o
conceito central e unificador do Cálculo integral – o de limite de uma soma – mas também pela falha ao
reconhecer a natureza inversa dos problemas de
quadratura e tangentes (BOYER, p. 152, traduzido pelos
autores)
Coleção VI – Educação Matemática na Amazônia V.10
23
O método de determinar máximos e mínimos de Pierre de Fermat,
publicado em 1638, foi também um dos marcos na história do Cálculo. Em
seus estudos, dados um segmento de reta de comprimento e uma
distância a partir de uma das extremidades desse segmento , a área
nos segmentos e será . Se, ao invés da distância
for considerada uma distância , a área seria
Dessa maneira, para a área máxima os dois
valores serão iguais e os pontos e coincidirão. Consequentemente,
definindo dois valores de iguais e fazendo desaparecer, o resultado
será .
Na verdade, mesmo sem conhecer a noção de limite, ele igualava
( )f x e ( )f x E+ e percebia que os valores eram quase iguais. Em seguida,
dividia tudo por E e resolvia E = 0, encontrando assim as abscissas dos
pontos máximo e mínimo da função. Em outras palavras, fazia
0
( ) ( )limE
f x E f x
E→
+ − e igualava a zero. Nesse aspecto, Boyer (1959)
destaca que o procedimento aplicado por Fermat é praticamente aquele
atualmente utilizado no cálculo diferencial, exceto que é substituído por
(ou ocasionalmente ).
Os trabalhos de Isaac Barrow também tiveram grande relevância
para história do Cálculo. Seus resultados incluem inúmeros teoremas sobre
os problemas de tangentes e quadraturas, além do reconhecimento acerca
do significado da relação entre esses problemas. Em sua obra Lectiones
Geometricae, de 1670, ele estabeleceu de forma explicita, que, em certo
sentido, existe uma reciprocidade entre quadraturas de áreas e
determinação de tangentes (ESTRADA et al, 2000).
Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias – João Cláudio Brandemberg
24
Figura 5 – Lectiones Geometricae de Barrow
Fonte: Imagens do Google
É importante ressaltar que as proposições de Barrow eram dispostas
em termos de construções geométricas. Caso elas tivessem sido feitas em
termos do Cálculo, seriam equivalentes a inúmeras regras e teoremas da
diferenciação e integração, inclusive relativas ao Teorema Fundamental do
Cálculo (MESSIAS, 2013).
Coleção VI – Educação Matemática na Amazônia V.10
25
Cabe comentar que Barrow foi professor de Newton e, portanto, o
mesmo teve acesso a suas descobertas.
Newton estudou no Trinity College de Cambridge, foi aluno de Barrow (a quem sucedeu, em 1669, como
professor de Matemática daquela universidade) e sofreu
as influências de suas Lectiones Geometricae. Além disso, o próprio Newton reconheceu ter sido influenciado
pela Arithmetica Infinitorum de Wallis (ESTRADA et al,
2000, p. 570)
Podemos inferir que, dentre os estudiosos que foram destacados
nesse tópico, além de outros que possam ter antecipado as descobertas do
Cálculo, Barrow e Fermat foram os que mais se aproximaram da nova
análise. Segundo Boyer (2012):
[...] Fermat inventou métodos analíticos equivalentes a ambos, diferenciação e integração, mas aparentemente
não percebeu o significado da inter-relação entre esses problemas. Por outro lado, Barrow descobriu a relação
fundamental inversa, mas por conta de não ter desenvolvido profundamente as possibilidades de
representação analítica das operações envolvidas, ele era
incapaz de fazer um uso efetivo disso (p. 184, traduzido
pelos autores).
Conforme evidenciamos nesse tópico, foram inúmeros os esforços
que levaram ao desenvolvimento do cálculo e, frente às contribuições dos
estudiosos envolvidos com essa nova análise, seria inevitável – cedo ou
tarde – a descoberta desse campo de estudo. Essa trajetória foi marcada,
sobretudo, pelos estudos de Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibiniz,
cujas observações acerca do Cálculo são apresentadas no tópico seguinte.
Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias – João Cláudio Brandemberg
26
NEWTON X LEIBNIZ: A DESCOBERTA DO CÁLCULO
A descoberta do Cálculo é atribuída a Isaac Newton (1642 – 1727) e
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716), em virtude de terem inventado –
independente um do outro – algoritmos universalmente aplicáveis que, em
sua essência, assemelham-se com aqueles empregados atualmente no
Cálculo, cujas concepções de derivada e integral se encontram logicamente
desenvolvidas.
As primeiras manifestações de Newton sobre o Cálculo constam em
seu De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (BOYER,
2012).
Figura 6 – De Analysi de Issac Newton
Fonte: Imagens do Google
No referido estudo, ele não se expressava explicitamente em termos
da ideia e/ou notação fluxionária, mas encontrou quadraturas de curvas
baseando-se nas noções geométrica e analítica de infinitamente pequeno,
Coleção VI – Educação Matemática na Amazônia V.10
27
conforme as seguintes considerações que caracterizaram um passo
introdutório ao Cálculo Diferencial e Integral:
Seja uma curva esboçada tal que para a abscissa e
para a ordenada a área é . Seja o
momento ou crescimento infinitesimal na abscissa,
seguindo a notação de James Gregory, igual a . A nova
abscissa será e a área mencionada
. Se nessa expressão
aplicarmos o teorema binomial, dividindo tudo por , e
depois abandonar os termos que ainda contenham , o
resultado será . Ou seja, se a área é dada por
, a curva será . Reciprocamente,
se a curva é , a área será
(BOYER, 2012, p. 191, traduzido pelos autores)
Em Methodus fluxionum et serierum infinitarum, seu segundo
trabalho contendo aspectos referente ao Cálculo, Newton estabeleceu os
conceitos de fluxões, que seria a taxa de geração, e de fluentes constituída
pela quantidade gerada. Segundo Boyer (2012), esse livro se caracteriza
por expor o problema fundamental do Cálculo – dada uma relação de
quantidade, encontrar a relação do fluxão dessa quantidade e vice-versa.
Como exemplo, apresentamos a seguir:
Se é um intervalo de tempo infinitamente pequeno,
então e serão incrementos, ou momentos,
infinitamente pequenos das seguintes quantidades e .
Em , então, substitui-se em e em
, expande-se, como anteriormente pelo teorema
binomial, cancela-se os termos que não contém e se
divide tudo por . Como, aliás, foi considerado
infinitamente pequeno, os termos que o contém - isto é,
os momentos de quantidades – pode ser considerado como zero em comparação com os outros, e devem ser
Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias – João Cláudio Brandemberg
28
abandonados (BOYER, 2012, p. 194 - 195, traduzido
pelos autores).
Figura 7 – Método de Fluxões e Séries Infinitesimais de Isaac
Newton
Fonte: Imagens do Google
É claro que o resultado é o mesmo obtido por Newton
em seu De analysi, sendo que sem o uso do conceito de fluxão.
Evidenciamos, portanto, que a introdução desse conceito não foi uma
modificação essencial do trabalho anteriormente apresentado por ele. Em
seu De quadratura curvarum, Newton demonstrou mais clareza no que
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29
concerne aos elementos essenciais da derivada, enfatizando a ideia de
função de uma variável, a formação da relação entre as taxas, a variável
independente e a função e a determinação do limite dessa relação quando
as taxas se aproximam de zero.
No que concerne à noção de limite, Newton apresentou a seguinte
definição:
Quantidades, e razões de quantidade, os quais em qualquer tempo finito convergem continuamente á
igualdade, e antes do fim daquele tempo se aproximam cada vez mais uma da outra que, finalmente, tornam-se
iguais (BOYER, 2012, p. 197, traduzido pelos autores).
Em linhas gerais, podemos dizer que as manifestações de Newton
sobre a nova análise caracterizam-se por três interpretações: Uma em
termos de infinitesimais, conforme apresentado em seu De analysi; outra
em termos de razões ou limites, conforme destacado em seu De
quadratura e, finalmente, aquela em termos de fluxões, apresentada em
seu Methodus fluxionum (BOYER, 1954).
Gottfried Wilhelm Leibiniz – independente das considerações de
Newton sobre a nova análise – desenvolveu seu método para determinar
somas e diferenças de infinitesimais, caracterizando-o por uma notação
própria: para as “somas” (integral de , conforme chamou) e
para as “diferenças”.
Dentre as manifestações de Leibniz sobre o Cálculo, destacamos
que – assumindo e como sendo e , respectivamente –
ele evidenciou que e . Além disso, ao
perceber que a “diferença” de seria e, sabendo que as “somas”
eram o inverso das “diferenças”, determinou que . No que
se refere à definição de diferencial de primeira ordem, verificamos que:
Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias – João Cláudio Brandemberg
30
[...] Ele afirmou que a diferencial da abscissa é uma
quantidade arbitrária, e que a diferencial da ordenada
é definida como a quantidade, na qual é para como
a razão da ordenada para a subtangente (BOYER, 2012,
p. 210, traduzido pelos autores).
Sobre a ideia de limite, Leibniz a justificava a partir da lei de
continuidade. Sabemos, entretanto, que a lei de continuidade deve ser
definida em termos de limites o que nos leva a perceber que sua ideia de
contínuo era vaga, tal como na antiguidade. Além disso, evidenciamos que
somente depois do desenvolvimento do conceito de número real foi
possível interpretar tanto o cálculo de Newton quanto o de Leibniz em
termos de limites, ou seja, os inventores do Cálculo, tal como seus
antecessores, não conseguiram explicar a ideia de limites pertinentemente.
Atribuímos à notação de Leibniz um papel de suma importância
para a base lógica do Cálculo, sendo mantida a sua utilização até os dias
atuais. Em contrapartida, esse sistema de notação induziu Leibniz ao erro
no que concerne à formulação rigorosa desse campo de estudo, haja vista
que o fez pensar as relações diferenciais como quocientes, e suas integrais,
não como valores limitantes de determinadas funções características, mas
como somas.
Finalmente, em se tratando dos estudos de Newton e Leibniz,
concordamos com Boyer (2012) ao afirmar que:
Newton apresentou três interpretações de seu
procedimento, e apesar de indicar a preferência pela noção de razões iniciais e finais como a mais rigorosa, ele
não elaborou nenhuma em um sistema lógico. Leibniz apresentou uma falta de decisão similar, pois embora
tenha empregado o método integral por completo, ele
vacilou em sua atitude à respeito das diferenciais, considerando – as como zeros qualitativos, e como
variáveis auxiliares (BOYER, 2012, p. 219, tradução nossa).
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31
As abordagens de Newton e Leibniz, portanto, foram bem diferentes
quanto a forma e influências. Newton apresentou uma visão cinemática do
Cálculo, ou seja, sua derivada foi interpretada como uma taxa de variação,
enquanto Leibniz considerou x e y variando, com variações muito pequenas
e em sequência, onde e , seriam as diferenças entre valores
consecutivos destas sequências. (BRANDEMBERG, 2017a).
Baron (1985) destacou em seu trabalho que as principais diferenças
entre o Cálculo de Newton e Leibniz residem, sobretudo:
(i) Quanto às suas concepções sobre quantidades variáveis:
Enquanto Newton considerou as variáveis dependentes do
tempo, Leibniz as entendia ‘percorrendo sequências de
valores infinitamente próximos’ (BARON, 1985, p. 70);
(ii) Quanto aos conceitos fundamentais: Newton partiu de uma
concepção cinemática, na qual sugeriu a velocidade ou a
taxa de mudança de variável como conceito fundamental,
isto é, a fluxão; Leibniz partia da ideia de quantidades
infinitamente pequenas, na qual a diferencial era entendida
como a ‘diferença de dois valores sucessivos em uma
sequência’ (BARON, 1985, p. 71);
(iii) Quanto à notação: Leibniz usou letras como símbolos para a
diferenciação e integração, elucidando seus papéis como
operadores. Já Newton, trabalhou com pontos para fluxões,
porém fez pouco uso de qualquer símbolo para a integração;
(iv) Quanto às quantidades infinitamente pequenas: Leibiniz
utilizou plenamente essa ideia em seus estudos. Newton,
entretanto, hesitou em utilizá-las, uma vez que considerava
seu cálculo independente dessa noção, sendo a fluxão de
Newton uma velocidade finita, e não uma quantidade
infinitamente pequena (BARON, 1985).
Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias – João Cláudio Brandemberg
32
Entendemos, de todo modo, que seja importante destacar que os
trabalhos de ambos, Newton e Leibniz, apresentaram procedimentos
essenciais do Cálculo. Isso porque, conforme destacado por Baron (1985):
(i) Os métodos infinitesimais de seus antecessores eram
restritos, uma vez que foram aplicados, na maioria das
vezes, eram aplicáveis a classes específicas de curvas. Já
Newton e Leibiniz apresentaram um conjunto de métodos
que os permitiam resolver problemas sobre curvas,
independente da natureza delas;
(ii) A coerência dos estudos de Newton e Leibniz deu-se,
principalmente, pelo reconhecimento do Teorema
Fundamental do Cálculo, ou seja, da relação inversa entre
diferenciação e integração;
(iii) Newton e Leibniz utilizaram um sistema de notação e
símbolos por meio dos quais era possível aplicar
analiticamente seus métodos.
Todavia, a clareza de algumas de suas contribuições foram somente
estabelecidas quase um século depois e são essas manifestações
posteriores, relacionadas às concepções da nova análise, que destacaremos
no tópico subsequente.
SÉC. XVIII: UM SÉCULO RUMO À FORMALIZAÇÃO DO CÁLCULO
Conforme mencionamos anteriormente, Newton e Leibniz tiveram
um papel importante para o Cálculo, pois ambos foram os primeiros a
desenvolver algoritmos universalmente aplicáveis, cuja essência
assemelha-se aos métodos utilizados atualmente, sendo assim, o título de
inventores do Cálculo lhes é dado com incontestável coerência. Em
contrapartida, sabemos que as manifestações tanto de Newton quanto de
Leibniz acerca do Cálculo não apresentavam rigor e clareza em suas
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33
definições e, portanto, havia a necessidade de buscar esse rigor
matemático para esclarecer as concepções envolvidas na nova análise.
Dentre os que se dedicaram à tentativa de fundamentação teórica
do Cálculo, destacamos: Benjamin Robins (1707 – 1751), Leonhard Euler
(1707 – 1783) e Jean le Rond d’Alembert (1717 – 1783), cujas
considerações apresentamos a seguir.
As manifestações de Benjamin Robins sobre o cálculo constam em
alguns artigos publicados em periódicos da época, como por exemplo, o de
título A discourse concerning the nature and certainty of Sir Isaac Newton’s
methods of fluxions and of prime and ultimate ratios (BOYER, 2012).
Dentre suas considerações, verificamos que ele distinguiu somente duas
interpretações concernentes ao trabalho de Newton, sendo uma
relacionada às fluxões e outra às razões iniciais e finais. Estes são,
respectivamente, caracterizados por facilitar as demonstrações e pelo rigor
matemático. No que concerne às suas considerações sobre limites,
verificamos que:
(...) ele reconheceu que a frase ‘a razão final de
quantidades desaparecidas’ era uma expressão figurativa, referindo – se não à última razão, mas à ‘uma
quantidade fixa na qual uma quantidade variável, mediante um contínuo aumento ou diminuição, pode
continuamente se aproximar,... munida da quantidade
variável essa aproximação pode diferir uma da outra tão pouco quanto qualquer quantidade possa ser atribuída’,...
‘apesar de nunca poderem ser absolutamente iguais’
(BOYER, 2012, p. 230, traduzido pelos autores).
Leonhard Euler, por ter sido um dos primeiros matemáticos a ter
dado notoriedade ao conceito de função, ocupa posição de destaque
dentre os que almejavam pela formalização da nova análise, sendo
responsável pelo estudo e classificação sistemáticos relacionados às
funções elementares, bem como suas diferenciais e integrais. Entretanto,
segundo Boyer (2012), o desenvolvimento do cálculo no decorrer do século
XVIII se caracterizou por uma visão de funcionalidade atrelada não a um
reconhecimento conceitual de relação, mas somente como uma
Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias – João Cláudio Brandemberg
34
representação formal, na qual a notação de Leibniz se encontrava
perfeitamente adaptada.
No que diz respeito à visão de Euler sobre os princípios do Cálculo,
afiançamos, mediante as considerações de Boyer (2012), que:
[...] como Euler se restringiu às funções elementares, ele
não se envolveu com as sutis dificuldades conectadas às
noções de infinito e continuidade (...). Apesar de suas visões sobre os princípios fundamentais do cálculo não
apresentarem precisão e rigor, apresentada pela matemática no século seguinte, a tendência formalística
que seu trabalho inaugurou, estava por libertar a nova análise da corrente geométrica. Além de a interpretação
aritmética ter sido mais aceita, o que levou ao
esclarecimento do cálculo mediante o conceito de limite, no qual ele mesmo (Euler) negligenciou (p. 246,
traduzido pelos autores).
Jean Ron d’Alembert reconheceu a importância da nova análise e,
na tentativa de tornar o conceito de limite – no qual a acreditava ser a
base do cálculo diferencial – mais compreensível, apresentou a seguinte
definição em um artigo para a Encyclopédie methodique:
Diz que uma grandeza é o limite de outra grandeza
quando a segunda pode aproximar-se da primeira tanto quanto se queira, embora a primeira grandeza nunca
possa exceder a grandeza da qual ela se aproxima; de
modo que a diferença entre tal qual quantidade e seu limite é absolutamente indeterminável (SIERPINSKA,
1985, p. 49, traduzido pelos autores).
Em contrapartida, a ideologia geométrica de D’Alembert influenciou
na falta de uma fraseologia clara em sua definição de limite. É possível
ilustrar esse fato ao compararmos sua terminologia à moderna.
Atualmente, não falamos em limite de uma variável, mas sim sobre o limite
de uma função quando a variável independente tende a determinado valor,
Coleção VI – Educação Matemática na Amazônia V.10
35
enquanto que para D’Alembert, o limite é claramente tratado como uma
fronteira.
De qualquer maneira, a atitude de D’Alembert e a de muitos outros
resultou no estabelecimento de uma nova análise, em que o conceito de
limite se constituiu como fundamental, trazendo à tona a formulação
rigorosa do Cálculo.
Apresentamos no tópico a seguir as importantes manifestações
nesse aspecto.
SÉCULO XIX: O RIGOR MATEMÁTICO VEM À TONA
O Cálculo foi descoberto no século XVII por Newton e Leibniz,
entretanto, somente no século XIX podemos dizer que esse campo de
estudo foi definitivamente fundamentado, conforme o rigor matemático
característico deste período. Destacaremos nesse tópico as contribuições
advindas dos trabalhos de Bernhard Bolzano (1781 – 1848), A. L. Cauchy
(1789 – 1857) e Karl Weirstrass (1815 – 1897) que foram de extrema
importância para que, finalmente, a fundamentação conceitual da nova
análise fosse estabelecida.
No que concerne às contribuições de Bolzano, podemos dizer que
ele foi o primeiro a definir continuidade de função a partir do conceito de
limite, definindo uma função “como contínua em determinado
intervalo se por qualquer valor de nesse intervalo a
diferença se torna e permanece menor que qualquer
quantidade dada para um suficientemente pequeno, sendo positivo ou
negativo” (BOYER, 2012, p. 268, tradução nossa). Verificamos ainda que:
Ele definiu a derivada de para qualquer valor de
como a quantidade , na qual a razão se
aproxima indefinidamente, ou tanto quanto queiramos, a
medida que se aproxima de zero, sendo positivo
ou negativo (BOYER, 2012, p. 269, tradução nossa).
Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias – João Cláudio Brandemberg
36
Cauchy expôs em seus trabalhos – Cours d’analyse de L’Êcole
Polytechnique, Résumé des leçons sur le calcul infinitesimal e Leçons sur le
calcul différentiel – uma incontestável contribuição para o Cálculo (ver a
figura 3).
Figura 8 – Cours D’Analyse de Cauchy
Fonte: Imagens do Google
Dentre as manifestações de Cauchy acerca da fundamentação
conceitual da nova análise, apresentamos a seguir a definição de limite –
livre das intuições geométricas – apresentada em seu Cours d’analyse:
[...] Quando os valores sucessivamente atribuídos a uma
variável aproximam-se indefinidamente de um valor fixo, de modo que eles finalmente difiram deste valor tão
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37
pouco quanto quisermos, esse último valor é chamado o limite de todos os outros. Assim, por exemplo, a área do
círculo é o limite para qual convergem as áreas de todos os polígonos regulares inscritos, se o número de seus
lados aumentar cada vez mais e o ângulo entre o eixo x e o raio vetor, traçado do centro de uma hipérbole a um
ponto na curva que se mover cada vez mais para longe
do centro tem como limite o ângulo entre esse mesmo
eixo e a assíntota [...] (BARON, 1985, p. 46).
Além da definição de limite destacada anteriormente, Cauchy
apresentou a definição de um infinitesimal como sendo de ordem a
respeito de um infinitesimal se e , tal
que e estabeleceu ainda a definição de derivada, conforme a seguir:
Seja a função . Atribui-se a variável um incremento
; e forma-se a razão . O limite
dessa razão (se existir) quando se aproxima de zero ele
representou como e chamou de derivada de em
relação à (BOYER, 2012, p. 275, traduzido pelos
autores).
As contribuições de Cauchy se estendem à noção de continuidade, a
qual definiu a partir da ideia de limite, apresentando uma precisão
matemática muito mais evidente que as definições expostas até então.
Para ele, uma função é contínua se, entre os limites, um incremento
infinitamente pequeno na variável sempre produz um incremento
infinitamente pequeno na função.
Ainda sobre as contribuições de Cauchy para a nova análise,
evidenciamos que a partir de sua definição precisa de limite, ele construiu
sua teoria sobre continuidade, séries infinitas, derivadas, diferenciais e
integrais, sendo essa trajetória rumo à formalização do Cálculo também
seguida, com notável sucesso, por Karl Weierstrass na segunda metade do
século XIX.
Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias – João Cláudio Brandemberg
38
No que concerne às manifestações de Weierstrass sobre a nova
análise, verificamos uma notável clareza e rigor nas definições
apresentadas. Sobre a noção de continuidade, ele definiu uma função
contínua em determinado intervalo se, para qualquer valor neste
intervalo e para um número positivo arbitrariamente pequeno , for
possível encontrar um intervalo próximo de tal que para todos os
valores nesse intervalo a diferença for menor em valor
absoluto que . Além disso, definiu limite, conforme a seguir:
O número é o limite da função , tal que se,
dado qualquer número arbitrariamente pequeno , outro
número possa ser encontrado tal que para todos os
valores de diferindo de por menos que , o valor de
diferir de por menos que (BOYER, 2012, p. 287,
traduzido pelos autores).
Diante das considerações de Bolzano e, principalmente, de Cauchy
e Weierstrass podemos dizer que a nova análise – depois de instituída por
Newton e Leibniz no século XVII – atingiu seu rigor máximo, tal como os
gregos jamais sonharam em alcançar nos primórdios das concepções
envolvidas nesse campo de conhecimento.
Reiteramos, finalmente, que no que concerne ao conhecimento da
história do Cálculo interpretamos que:
A familiaridade não apenas com os elementos do cálculo, mas também com a história de seu desenvolvimento,
servirá para trazer à tona que a questão não está voltada
apenas aos fundadores desse conhecimento – Weierstrass e Cauchy, ou Newton e Leibniz, ou Barrow e
Fermat, ou Cavalieri e Kepler, ou Arquimedes e Eudoxo – mas principalmente em que sentido cada um desses
homens podem ser apontados como responsáveis pela
nova análise (BOYER, 2012, p. 301, traduzido pelos autores).
Coleção VI – Educação Matemática na Amazônia V.10
39
Na seção subsequente, efetivamos uma discussão relativa à
múltiplas compreensões sobre limite de uma função, tendo em vista os
apontamentos de diferentes pesquisas que contemplaram a aprendizagem
desse conceito como objeto de estudo.
Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias – João Cláudio Brandemberg
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41
Capítulo 2
COMPREENSÕES SOBRE LIMITE: O QUE DIZ A LITERATURA?
Ao longo das últimas décadas, os conceitos de limite têm se
configurado como objetos de estudo em várias pesquisas no âmbito da
educação matemática, dadas as expressivas dificuldades inerentes à sua
compreensão. Dedicamos esse tópico à discussão sobre a multiplicidade
dos conhecimentos que estudantes investigados em diferentes pesquisas
têm mobilizado a respeito desses conceitos.
No que concerne às expressivas dificuldades relativas ao processo
de apreensão do conceito de limite, por exemplo, evidenciamos em Cornu
(1983) e Juter (2008), que o (não) entendimento dos elementos que
constituem o campo conceitual dessa noção – tais como o conhecimento
sobre sequências, séries, bem como as ideias de infinitamente pequeno,
infinitamente grande e função – influenciam na formação de imagens
conceituais nem sempre coerentes sobre limites.
Ressaltamos, em acordo com Cornu (1991), que o entendimento da
noção de limite depende tanto da riqueza e complexidade do conceito
quanto de aspectos cognitivos que não podem ser gerados puramente a
partir de sua definição matemática, uma vez que a ideia de aproximação
encontrada usualmente por meio de uma concepção dinâmica e a maneira
como o conceito é colocado em prática para resolver problemas não estão
exatamente ligados à sua definição formal.
Os próprios termos ‘limite’ e ‘tender para’, segundo Cornu (1983,
1991), conduzem os estudantes a interpretações contraditórias do
conceito, pautadas na ideia de aproximação em torno de um valor de ,
sem alcançá-lo ou ultrapassá-lo. Nesse sentido, os estudantes costumam
Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias – João Cláudio Brandemberg
42
enfatizar essa aproximação no eixo das abscissas e não em torno de um
valor limite no eixo das ordenadas.
Tall e Vinner (1981) reforçaram que a utilização de expressões
como ‘se aproxima de’, ‘tende a’ ou ‘chega perto de’ conduz os alunos a
uma percepção de que o valor de em determinado ponto sempre difere
do valor do limite de nesse ponto, isto é, . A ideia de
aproximar-se de um valor no eixo também foi mobilizada pelos sujeitos
investigados por Swinyard (2011) e em Przenioslo (2004). Nesses casos,
observamos que o conceito de limite foi atrelado a uma compreensão de
vizinhança ao longo dos intervalos , ) e .
Outros estudos – tais como o de Nascimento (2003), Jordaan
(2005), Juter (2008), Sarvestani (2011), Denbel (2014) e Messias e
Brandemberg (2015) – também apontaram em suas análises que os
estudantes costumam mobilizar elementos que caracterizam o limite como
sendo inalcançável e/ou intransponível (ideia de fronteira), uma vez que
partem de uma compreensão dinâmica, na qual a função se move em
direção a um ponto qualquer sem, de fato, atingi-lo. Em contrapartida, se
tomarmos como exemplo a função , veremos que
e que esse valor de é ‘alcançado’ ou ‘ultrapassado’ várias
vezes no eixo das ordenadas
Outra mobilização comumente atrelada à ideia de movimento dada
a função é a de que o valor do limite pode ser alcançado. Amatangelo
(2013) observou, nesse sentido, que os estudantes consideram que o valor
da função em determinado ponto é sempre igual ao valor do limite nesse
ponto, ou seja, .
A prática excessiva do cálculo de limites a partir do método de
substituição, como por exemplo, acontece no caso das funções polinomiais,
contribui para esse tipo de interpretação que, para Amatangelo (2013),
configura-se como uma concepção potencialmente problemática, uma vez
Coleção VI – Educação Matemática na Amazônia V.10
43
que pode levar os estudantes ao erro, dependendo da tarefa matemática
que lhe for proposta. Cinestav e Lara-Chaves (1999), Cornu (1983),
Przenioslo (2004) e Juter (2008) também apontaram mobilizações
semelhantes a essa em seus estudos. Juter (2008) ressaltou ainda que
muitos estudantes acabam, inclusive, por não saber diferenciar ) de
.
Cornu (1991), Zuchi (2005), Juter (2008), Rodriguez (2009) e Oh
(2014) ressaltaram também que a ‘passagem’ da noção intuitiva para a
definição formal, a relação entre e , e os quantificadores envolvidos na
definição têm se configurado como um fator de conflito em potencial ao
longo do processo de aprendizagem do conceito de limite. Isso porque,
poucos estudantes conseguem correlacionar a definição formal com o
dinamismo comumente utilizado para explicar que uma função tem limite
quando se a distância entre as imagens da função e podem ser
arbitrariamente pequenas e os valores de , cada vez mais próximos de .
Sobre as condições para que o limite exista em determinado ponto,
Nascimento (2003), Nair (2009), Messias e Brandemberg (2016) apontaram
que muitos estudantes evocam que indeterminações implicam na não
existência do limite. Outras mobilizações, tais como a existência do
condicionada ao fato de ou ainda à continuidade em
também se fizeram presente em diferentes pesquisas2. Nessa
perspectiva, ‘buracos’, ‘saltos’ ou ‘quebras’ no gráfico de uma função
podem levar a esse tipo de evocação.
O cálculo de limite de funções escritas em mais de uma sentença
tem se configurado como um fator de conflito em potencial, conforme
destacado em Nascimento (2003), Maharaj (2010), Mutlu e Aydin (2013) e
Brandemberg e Messias (2016). É comum, nesse caso, que os estudantes
2 Tais como Cinestav e Lara-Chaves (1999), Przenioslo (2004), Jordaan (2005), Juter (2008), Karatas et al. (2011), Sarvestani (2011), Amatangelo (2013), Denbel (2014) e Messias e Brandemberg (2015, 2016).
Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias – João Cláudio Brandemberg
44
tenham dificuldades em calcular limites, ou ainda, que considerem que este
não exista em determinado ponto.
Apresentamos nos quadros subsequentes uma síntese acerca das
diferentes compreensões sobre o conceito de limite enunciada nessa seção.
QUADRO 1 – Compreensões sobre o Conceito de Limite
Tipo de compreensão Quem discutiu?
Concepção dinâmica: atribui-se
movimento à função; aproximação em
torno de ;
Tall e Vinner (1981); Cornu (1983); Cornu (1991); Cottril et al (1996);
Przenioslo (2004); Sarvestani (2011); Swinyard(2011); Amatangelo (2013);
Denbel (2014)
Limite é inalcançável Tall e Vinner (1981); Cornu (1983); Cornu (1991); Cinestav; Lara-Chaves (1999); Nascimento (2003); Jordaan
(2005); Juter (2008);
Limite da função em um ponto é sempre igual ao valor da função nesse
ponto (limite alcançável)
Cornu (1991); Cinestav e Lara-Chaves (1999); Przenioslo (2004); Juter (2008);
Amatangelo (2013)
Ideia de intervalo; vizinhança em torno de um ponto pertencente a um
intervalo
Cornu (1991); Przenioslo (2004)
Discussões sobre o que épsilon e delta representam na definição de limite
Zuchi (2005); Juter (2008); Rodriguez (2009); Oh (2014)
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Indeterminações implicam na não existência do limite
Nascimento (2003); Nair (2009); Messias e Brandemberg (2016)
Existência do limite no ponto condicionada ao fato desse ponto pertencer ao domínio da função
Przenioslo (2004); Jordaan (2005); Karatas et al. (2011); Denbel (2014);
Messias e Brandemberg (2015)
Existência do limite condicionada à continuidade da função
Cinestav e Lara-Chaves (1999); Przenioslo (2004); Jordaan (2005); Juter (2008); Sarvestani (2011);
Swinyard (2011); Amatangelo (2013);. Denbel (2014); Messias e Brandemberg
(2015; 2016)
Dificuldades em calcular limites de funções escritas em mais de uma
sentença/limite não existe
Nascimento (2003); Mutlu e Aydin (2013); Brandemberg e Messias (2016)
Investigação à direita e à esquerda de um ponto dado é suficiente para
verificar a existência do limite
Nascimento (2003); Mutlu e Aydin (2013)
Fonte: Elaborado pelos autores.
Observamos, mediante a síntese apresentada no quadro 1, que o
conhecimento de estudantes sobre limite é pautado, sobretudo, em
interpretações dinâmicas desse conceito. Além disso, a questão da
existência do limite tem se configurado como um fator de conflito em
potencial para estudantes de Cálculo.
Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias – João Cláudio Brandemberg
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Vejamos, a seguir, algumas atividades envolvendo, sobretudo, o
conceito de limite de uma função, bem como suas possíveis relações com
outros conhecimentos no âmbito do Cálculo.
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COMPREENSÕES SOBRE LIMITE A PARTIR DE QUESTÕES ENVOLVENDO ESSE CONCEITO
A dualidade estático/dinâmico permeia todo o processo de
compreensão do conceito de limite e encontra-se presente, sobretudo, na
dificuldade dos estudantes em afirmar se uma função pode ou não alcançar
o valor do limite. Como exemplo, consideremos as questões 1 e 2, a seguir:
1ª questão: O número é menor ou igual a 1? E o
?
Para Tall e Vinner (1981) e Messias (2013), é comum que
estudantes afirmem que e que
. Isso porque, diferentes elementos podem
estar vinculados à compreensão de um indivíduo sobre um conceito. E,
nesse caso, a ideia de que “existem infinitos números entre 0,99999 e 1”
ou que “o limite da sequência se aproxima de 1, porém nunca o alcança”,
ou ainda, que ‘limite fica tão próximo de 1 que o alcança”. Tais
interpretações estão intimamente ligadas à ideia de limite (in)alcançável
(TALL; VINNER, 1987; AMATANGELO, 2013; MESSIAS, 2018).
Para responder essa questão, consideremos as informações do
quadro 1:
Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias – João Cláudio Brandemberg
48
Quadro 1: Considerações sobre o Exemplo 1
2ª questão: O paradoxo da dicotomia aponta que antes de determinado
objeto percorrer qualquer distância, este deve percorrer metade dela e,
antes disso, um quarto dessa distância, mas previamente, um oitavo, e
assim sucessivamente... Nessas condições, temos que o argumento de que
o movimento do objeto não aconteceria, uma vez que a distância
percorrida se aproximaria cada vez mais do ponto de partida (BARTO,
2004; MESSIAS; BRANDEMBERG, 2013).
Fialho e Soares (2008) interpretaram e analisaram os processos
infinitos implícitos nas concepções filosóficas desse paradoxo. Vejamos, no
quadro 2, a interpretação desses autores, na perspectiva da análise
matemática, para o problema no quadro 2:
Observe que ,ou seja, a referida dízima
periódica pode ser expressa como uma soma infinita que, por sua vez, é igual
ao limite das somas parciais. Desse modo, temos que:
Logo:
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49
Quadro 2 – Interpretação do Paradoxo da Dicotomia
3ª questão: Observe o gráfico e, em seguida, avalie a existência do limite
quando .
1. Considere que seja a distância percorrida num tempo finito ;
2. Observe que, para percorrer , é preciso percorrer , , ...
3. A distância pode ser obtida, portanto, a partir da soma dos infinitos ‘pedaços’ a serem
percorridos (ver figura a seguir):
4. Observe que, tendo em vista o argumento do paradoxo da dicotomia, obtemos o seguinte resultado:
5. Observe que: Para percorrer , é necessário um tempo ; Para será gasto , e assim
sucessivamente. Ou seja, o raciocínio é análogo ao descrito em (4); 6. As séries:
, nos levam à conclusão de que é possível percorrer infinitas
distâncias num tempo limitado.
Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias – João Cláudio Brandemberg
50
Mediante o gráfico representado acima, é possível levar um
indivíduo a refletir acerca dos aspectos que precisam ser considerados para
que o limite exista em determinado ponto. É importante ressaltar que
muitos estudantes condicionam a existência do limite ao domínio da função
e/ou a continuidade no ponto (PRZENIOSLO, 2004; JUTER, 2008;
MESSIAS; BRANDEMBERG, 2015, 2016; MESSIAS, 2018). Tais
compreensões não estão em acordo com a teoria formal, porém, dependo
da situação matemática, elas podem levar um indivíduo a solucionar um
problema corretamente, ainda que por meio de justificativas incoerentes.
Como exemplo, um sujeito pode afirmar que o existe porque
e não porque .
O cálculo de limite de funções escritas em mais de uma sentença
tem se configurado como um fator de conflito em potencial, conforme
destacado em Nascimento (2003), Maharaj (2010), Mutlu e Aydin (2013) e
Brandemberg e Messias (2016). É comum, nesse caso, que os estudantes
tenham dificuldades em calcular limites, ou ainda, que considerem que ele
não exista em determinado ponto. Isso porque funções definidas em partes
normalmente despertam nos alunos a ideia de que suas representações
gráficas apresentam saltos que, para eles, implicam na não existência do
limite. Esse tipo de mobilização pode (ou não) levar um indivíduo a uma
resposta equivocada, dependendo da tarefa que lhe for proposta. Vamos
tomar como exemplo as funções e , cujas representações
gráficas encontram-se destacadas na questão 4.
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4ª questão: Avalie a existência dos limites das funções e
quando .
Na figura A temos a representação gráfica de .
Nesse caso específico, o não existe, uma vez que
. No entanto, caso um sujeito mobilize que uma
função definida em partes apresenta saltos em seu gráfico que, por sua
vez, implicam na não existência do limite, sua interpretação – ainda que
equivocada – será suficiente para avaliar a existência do , porém,
o levará ao erro se solicitado que verifique o , tal que
(ver figura B), já que , fato
que garante a existência de , independente da função estar
definida em mais de uma sentença.
Figura A: Gráfico de
Fonte: Thomas (2002, p. 88)
Figura B: Gráfico de
Fonte: Kelley (2013, p. 131)
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Ainda sobre o conceito de limite, apresentamos um roteiro de
discussão na questão 5, por meio do qual entendemos que seja possível
levar um indivíduo a refletir acerca dos elementos que estejam vinculados à
compreensão desse conceito. Vejamos o primeiro tópico:
5ª questão (roteiro de discussão) – (Des)continuidade implica na (não)
existência do limite?
1. Mostrar o gráfico da função abaixo:
• Observe esse gráfico e responda: o O existe? Justifique.
o E quando ? Justifique.
o O existe? Justifique.
o E quando ? Justifique.
• Caso seja mobilizada a ideia de que o limite existe se ,
perguntar:
o Então, o limite da função em determinado ponto deve ser igual ao valor da função nesse ponto? (aguardar resposta). E se não for?
o Devemos, portanto, considerar o domínio da função como um fator decisivo para evidenciarmos a (não) existência do limite?
o Então quando o limite de uma função existe? o Escreva uma definição para e, em seguida, explique-a.
• Caso o sujeito responda corretamente o primeiro tópico, solicitar as seguintes
situações:
o Quando o limite existe? o Escreva uma definição para e, em seguida, explique-a.
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O roteiro apresentado na questão 5 explora a relação entre (des)
continuidade de função em um ponto e a (não) existência do limite nesse
ponto. Esse tema é de grande relevância, já que muitos estudantes evocam
que o limite de uma função quando existe se ela for contínua nesse
ponto (VINNER, 1987; MESSIAS; BRANDEMBERG, 2015; MESSIAS, 2018).
Incluímos o gráfico de uma função, a fim de discutir sobre a (não)
existência do limite. É importante discutir a ideia de continuidade, já que
estudos têm mostrado que para muitos estudantes L existe se
. É importante, ainda, solicitar uma definição para limite
de função, bem como seu significado, já que a reprodução da definição
formal não garante a compreensão de seus elementos (ver questão 6).
6ª questão (roteiro de discussão) – Limite de função x Dicotomia
estático-dinâmico
1. Observe a definição de limite:
[Seja ( )f x definida em um intervalo aberto em torno de 0x , exceto talvez em 0x ] (parte I).
[Dizemos que ( )f x tem limite L quando x tende a 0x e escrevemos 0
lim ( )x x
f x L→
= se para
todo número >0 existir um >0] (parte 2) tal que, [para todos os valores de x , 0 < 0x x− <
( )f x L− < ] (parte 3).
a) Explique, com suas palavras, o que significa cada parte da definição de limite de função.
b) O que é o limite? O que ele representa?
2. Mostrar a figura abaixo:
a) De que maneira você pode relacionar a definição de limite com essa figura?
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Com a questão 6 é possível discutir aspectos relacionados à
dicotomia estático/dinâmica. Para isso, solicitamos uma definição de limite
de função, seguida da explicação de seu significado por parte do sujeito,
de maneira e verificar se as mesmas relacionam sua definição com as
expressões ditas dinâmicas que mobilizam a ideia de que o valor do limite
não pode ser alcançado pela função.
A definição de limite de função incluída nesse roteiro é de
fundamental importância, pois a partir dela, entendemos que seja possível
discutir a presença e/ou ausência de dinamismo nessa definição.
Ressaltamos que incluímos a figura no roteiro com o intuito de verificar
como (ou se) é estabelecida qualquer relação com a definição por meio de
sua representação visual.
7ª questão: Considere a função definida a seguir e responda:
(a) “O existe”. Essa afirmativa é verdadeira ou falsa? Explique.
(b) Verifique se o existe. Explique.
(c) “O limite da função quando não existe”. Você concorda com essa
afirmação? Explique
(d) Determine o .
(e) ”. Essa sentença é verdadeira ou falsa? Explique b sua
resposta.
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Na questão 7, apresentamos uma função escrita em partes.
Consideramos importante que um indivíduo avalie (e justifique) a existência
do limite em diferentes pontos a partir da forma analítica da função. Essa
mesma tarefa foi solicitada anteriormente sob uma perspectiva geométrica,
já que na questão 3 apresentamos o gráfico dessa função e solicitamos que
seja avaliada a existência do limite nos mesmos pontos.
Além disso, essa questão permite verificar se o fato da função ser
escrita em mais de uma sentença leva o aluno a evocar que os limites da
função nos pontos indicados não existem, ou ainda, que a função não é
contínua. É possível, também, identificar se os limites laterais e bilateral
são mobilizados.
8ª questão: Observe o gráfico de a seguir:
Fonte: Flemming e Gonçalves (2006)
a) Qual o domínio de ?
b) Explique o que as retas de equações e representam no
gráfico de .
c) O existe? Explique.
d) O que acontece com à medida que tornamos os valores de
cada vez mais próximos de 3, tanto pela direita quanto pela esquerda?
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É possível, a partir da questão 8, verificar como o aluno analisa o
gráfico de , a fim de identificar seu domínio e assíntotas, cujas
equações são e , de modo a observar sua compreensão
acerca das assíntotas no gráfico e sua relação com o domínio da função.
Como sugerimos que seja realizada uma análise à direita e à esquerda dos
pontos dados, é provável que os limites laterais e a (não) existência dos
limites sejam evocados. Por isso, consideramos uma boa oportunidade para
discutir a relação limite x domínio x continuidade, bem como o conceito de
assíntotas (horizontal e vertical).
9ª questão: É possível desenhar o gráfico de uma função, de maneira que
o limite quando exista, e:
a) A função seja descontínua em ? Explique
b) A função seja contínua em ? Explique.
c) A função não seja definida em ? Explique.
d) A função seja definida em ? Explique.
A questão 9 é baseada em uma atividade proposta por Amatangelo
(2013). Ao solicitar que um estudante a resolva, é possível discutir sobre a
construção gráfica mediante determinadas particularidades que, por sua
vez, relacionam domínio, limite e continuidade.
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10ª questão: Seja . Responda a seguir:
a) O limite de f(x) quando x tende a 2 existe? Explique.
b) Leibniz entendia que a existência do limite em um ponto dependia da
continuidade nesse ponto (MESSIAS, 2013). Como você explicaria para
Leibniz que sua justificativa para a existência do limite estava equivocada?
Utilize a função da questão para explicar sua resposta.
A questão 10 permite que seja realizada uma discussão a fim de
levar o indivíduo a explicar aspectos concernentes à existência do limite,
tanto a partir do cálculo de L quanto a partir de uma concepção histórica
desse conceito, na qual Leibniz condicionava a existência do limite à
continuidade da função no ponto, fato que permite o conhecimento de
elementos históricos relativos ao desenvolvimento do Cálculo.
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HISTÓRIA & ENSINO DE MATEMÁTICA: ALGUMAS CONSIDERAÇÕES
Ao longo dos anos, temos observado, cada vez mais, pesquisas em
educação e educação matemática que incorporam a história à teoria e à
prática no âmbito do ensino de matemática, de maneira a utilizá-la não
somente como instrumento de ensino, mas também para proporcionar uma
visão dinâmica da evolução da própria matemática (MENDES; VALDÉS;
FOSSA, 2006). Nesse sentido, a história da matemática vem se
configurando como um campo de pesquisa que atua na busca da
aprendizagem de maneira a possibilitar aos alunos uma construção do
saber matemático dentro de sua realidade, por meio da valorização dos
conhecimentos produzidos ao longo de sua história.
A utilização de aspectos históricos relacionados ao conteúdo é
importante para se conhecer o desenvolvimento de conceitos matemáticos,
esta importância se acentua, quando pensamos em um ensino de
Matemática que visa o reconhecimento e, se possível, a contextualização
dos conteúdos. Com nossa abordagem histórica queremos relacionar as
estruturas conceituais envolvidas nos processos de resolução dos
problemas e fazer a ligação entre o conhecimento atual e o antigo. Assim,
resolução de atividades, aqui, é tratada a partir de exemplos de cunho
histórico, em processos diferenciados, que permitam estas ligações.
O conhecimento deste conteúdo histórico nos permite a
comparação de estratégias de resolução de problemas e
garante ao aluno a percepção do desenvolvimento
conceitual e dos aspectos epistemológicos do conceito
abordado, bem como as facilidades disponibilizadas pelos
métodos estruturados de resolução modernos. Assim,
considerando a beleza dos métodos de resolução
históricos e relacionando-os a economia de tempo e
esforço propiciada pela resolução moderna para resolver
tais problemas, além de tentar garantir a aprendizagem
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existe uma preocupação nossa com o ato cotidiano de
ensinar-aprender, considerando as experiências
anteriores dos estudantes (BRANDEMBERG, 2017b, p.
25).
A inclusão da perspectiva histórica no ensino de matemática
contribui para a formação do aluno, já que o mesmo pode experimentar
determinado conhecimento matemático como atividade humana,
desmitificando-o (MACHADO; MENDES, 2013) Evidenciamos, ainda, que
certo conhecimento acerca da história da matemática permite que o aluno
avalie seu surgimento como um fruto da necessidade humana,
reconhecendo-a como um corpo de conhecimento em constante evolução,
fato que viabiliza o processo de interatividade no processo de construção
do conhecimento matemático escolar, bem como a exploração e releitura
de fatos históricos, na tentativa de encontrar explicações para
questionamentos levantados ao longo do processo de ensino-
aprendizagem.
Fauvel (1991) apud Mendes, Valdés e Fossa (2006) elencou várias
razões para que a história seja utilizada em educação matemática, dentre
as quais destaco: o aumento da motivação para aprender matemática, a
humanização da matemática, promove a aproximação multicultural para a
construção do conhecimento matemático, ajuda a explicar o papel da
matemática na sociedade, contribuem para que o estudante busque no
passado soluções matemáticas para o presente e projetem seus resultados
no futuro. Além disso, a utilização da história na aprendizagem matemática
oportuniza o acesso a um corpo de possibilidades pedagógicas, tais como
“a motivação, determinação de objetivos de ensino, a recreação, a
desmistificação, a formalização, a dialética, a unificação da matemática, a
conscientização, a significação, a cultura e a epistemologia” (MENDES;
VALDÉS; FOSSA, 2006, p. 91).
No que concerne à utilização da história no ensino, é importante
ressaltarmos que para que uma ação docente apoiada nessa perspectiva
seja desenvolvida, professores e alunos precisam exercitar a pesquisa
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bibliográfica e documentação, além da experimentação, problematização e
argumentação lógica - matemática em sala de aula, que podem ser
realizadas mediante atividades manipulativas extraídas ou adaptadas da
história da matemática, projetos de investigação temática e de problemas
históricos, estudo de textos históricos adaptados ou extraídos de fontes
primárias, elaboração e utilização de vídeos didáticos, dentre outros
(MACHADO; MENDES, 2013). Sendo assim, uma atividade histórica
possibilita a construção de um processo de aprendizagem independente, no
qual o estudante explora, descobre, investiga e, principalmente, aprende
sobre matemática, sociedade e cultura humana.
Consideramos, também, que o percurso didático conduzido pelo
professor de matemática através da história deve manter um fluxo
interativo e dinâmico. Para isso, é imprescindível a criatividade do educador
ao elaborar as situações apresentadas aos alunos, que por sua vez, serão
estimulados a compreender o saber matemático, não como um
conhecimento pronto e acabado ou sem história, mas como criação
humana.
No que se refere à resistência em relação à utilização da história
para ensinar matemática, evidenciamos, dentre os principais argumentos,
os seguintes:
(i) ausência de literatura adequada;
(ii) natureza imprópria da literatura existente;
(iii) ausência do sentido de progresso histórico;
(iv) história é um fator complicador.
Frente a tais dificuldades, é notória a necessidade de
desenvolvimento de pesquisas voltadas tanto para o âmbito do uso da
história no ensino, quanto no estudo da própria história da matemática,
para que dificuldades como as elencadas em (i), (ii) e (iii) sejam
superadas. Em relação ao argumento (iv), os professores devem entender
Coleção VI – Educação Matemática na Amazônia V.10
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que a ênfase ostensiva de elementos históricos em oposição ao conteúdo
matemático é prejudicial, haja vista que a história da matemática deve ser
usada como ferramenta auxiliar ao ensino da matemática, não devendo,
portanto, substituí-la.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Propusemo-nos com esse trabalho efetivar uma discussão por meio
da qual fosse possível refletir acerca do conceito de limite sob o viés de seu
desenvolvimento histórico e de múltiplas compreensões relativas a esse
conhecimento.
Destacamos, ainda, algumas atividades envolvendo o conceito de
limite de uma função, bem como outros a ele adjacentes, como por
exemplo, a ideia de continuidade. Entendemos, nesse sentido, que tais
atividades podem permitir que estudantes compreendam aspectos da
teoria formal a partir de discussões que os levem a refletir sobre diferentes
compreensões vinculadas a conhecimentos no âmbito do Cálculo.
É importante ressaltarmos que, de modo geral, o conhecimento de
estudantes sobre limite é pautado, sobretudo, em interpretações dinâmicas
desse conceito. Além disso, a questão de sua existência tem se
configurado como um fator de conflito em potencial para estudantes de
Cálculo (MESSIAS, 2018). Por isso, consideramos de grande relevância
estabelecer discussões a partir de diferentes situações matemáticas,
inclusive do ponto de vista histórico, como as que exemplificamos no
decorrer desse livro.
Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias – João Cláudio Brandemberg
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Coleção VI – Educação Matemática na Amazônia V.10
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DADOS SOBRE OS AUTORES
Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias possui graduação em
licenciatura em matemática pela Universidade do Estado do Pará (2008),
Mestrado e Doutorado em Educação em Ciências e Matemáticas pela
Universidade Federal do Pará (2013/2018), com área de concentração em
Educação Matemática. Tem se dedicado aos estudos sobre Pensamento
Matemático Avançado, Imagem e Definição Conceitual, Teoria APOS e
suas implicações, especialmente, no âmbito do Cálculo. Tem experiência na
docência no Ensino Superior e Ensino Fundamental Bilíngue. Atualmente é
professora do Departamento de Matemática, Estatística e Informática
(DEMEI) na Universidade do Estado do Pará (UEPA).
E-mail: [email protected]
João Cláudio Brandemberg é professor associado III da FACMAT-
ICEN/UFPA, mestre em Matemática (UFPA) e doutor em Educação
Matemática (UFRN). Realiza pesquisa sobre o uso da componente Histórica
no ensino e aprendizagem de Matemática. Autor de livros: “Métodos
históricos para resolução algébrica de equações” (2009), “Uma Análise
histórico-epistemológica do conceito de Grupo” (2010), “Euler, Professor”
(2013). “Das Quadraturas Gregas as Somas de Riemann-Darboux” (2015),
“Uma História da Integral: de Arquimedes a Lebesgue” (2017) e “O Idioma
da Álgebra” (2017). Desde 2005 é membro da SBHMat. Professor
Orientador nos cursos de mestrado e doutorado acadêmico do PPGECM –
IEMCI – UFPA e Mestrado Profissional – PROFMAT – ICEN – UFPA.
E-mail: [email protected]
Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias – João Cláudio Brandemberg
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Educação Matemática na Amazônia - Coleção - VI
Volume 1 – Ensino da matemática por meio da geometria dinâmica com o desmos.
Autores: Demetrius Gonçalves de Araújo, Fábio José da Costa Alves e Gilvan Lira Souza.
Volume 2 – A noção do raciocínio combinatório nos anos iniciais do ensino fundamental a partir
da teoria antropológica do didático.
Autores: Guilherme Motta de Moraes, José Carlos de Souza Pereira e José Messildo Viana Nunes.
Volume 3 – Educação Matemática e Educação Hospitalar: um paralelo entre o solo oncológico e
solo geométrico.
Autores: Marcos Evandro Lisboa de Moraes, Felipe Moraes dos Santos, Elielson Ribeiro Sales.
Volume 4 – Altas habilidades em matemática no contexto escolar: reflexões iniciais.
Autores: Maria Eliana Soares, Elielson Ribeiro de Sales e Edson Pinheiro Wanzeler.
Volume 5 – Pelas trilhas históricas do pesar e do medir.
Autora: Elenice de Souza Lodron Zuin.
Volume 6 – O uso de materiais manipuláveis e suas perspectivas na atividade matemática.
Autores: Fernando Cardoso de Matos, Reginaldo da Silva e Wellington Evangelista Duarte.
Volume 7 – O ensino de Frações por atividades.
Autores: Pedro Franco de Sá e Kamilly Suzanny Felix Alves.
Volume 8 – Criatividade na história da criação matemática: potencialidades para o trabalho do
professor.
Autor: Iran Abreu Mendes.
Volume 9 – Sequências didáticas: olhares teóricos e construção.
Autores: Acylena Coelho Costa e Natanael Freitas Cabral.
Volume 10 – Limite de uma função: História e atividades para o ensino
Autores: Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias e João Cláudio Brandemberg.
Volume 11 – O ensino de fatoração algébrica por atividaes.
Autores: Glaucianny Amorim Noronha e Pedro Roberto Sousa da Silva.
Volume 12 – Medidas Lineares e de Superfície: um enfoque histórico e matemático.
Autores: Maria Lúcia Pessoa Chaves Rocha, Francisco Fialho Guedes Ferreira e Francisca Janice
dos Santos Fortaleza.