FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICAFUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

O que você deve saber sobre

O crescimento exponencial em alguns casos pode ser vertiginoso; em outros momentos, pode tender lentamente a zero, sem nunca atingi-lo. A função exponencial é fundamental para explicar numericamente desde fenômenos biológicos até fenômenos físicos complexos, como a transmutação radioativa.

• O crescimento de bactérias em um meio de cultura, número que dobra em períodos regulares.

• Os juros compostos nas aplicações financeiras

• Está presente também na fórmula do termo geral de uma progressão geométrica.

FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

É a multiplicação sucessiva por um mesmo fator.

I. Potenciação

Exemplos:

O expoente n indica que a base a foi multiplicada por ela mesma n vezes; an é chamado de potência.


Propriedades das potências

I. Potenciação

1. Produto de potências de bases iguais: bc bd = bc+d

2. Quociente de potências de bases iguais:

3. Potência de potência: (bc)d = bcd

4. Potência de produto: (m n)c = mc nc

5. Potência de quociente:

6. Potência de expoente inteiro negativo: b–c =

7. Potência de expoente racional: b

8. Potência de expoente irracional:é obtida por aproximação do valor irracional do expoente.

bc

bd = bcd

mc

nc=

1bc =

= bcd

, com b 0

, com n 0

, com b 0

, com d 0

c

nm

c

b

1

dc

É qualquer função f: da forma f(x) = ax, com a > 0 e a ≠ 1.

Gráficos da função exponencial

f(x) = 2x

O gráfico é crescente, não cruza o eixo x e intercepta o eixo y no ponto (0,

1).

II. Função exponencial


(3,8)

(2,4)

(1,2)

(0,1)f(x) = 2x (-1; 0,5)

Gráficos da função exponencial


O gráfico é decrescente,

também cruza o eixo y em (0, 1) e não intercepta

o eixo x.


(-3, 8)

(-2, 8)

(-1, 2)

(0, 1) (1; 0,5)

x

xg

21

x

xg

21

Simulador: funções Clique na imagem para ver o simulador.


Equações exponenciais

A incógnita está no expoente.

Para resolvê-las, escrever os dois lados da igualdade como potências de uma mesma base. Chega-se então a:



III. Logaritmos

Dados dois números positivos a e b, com b ≠ 1, o logaritmo de a na base b é o número c tal que

Propriedades dos logaritmos (decorrem das propriedades das potências):

O número a é chamado logaritmando.

1. Logaritmo do produto: logb m n = logb m + logbn2. Logaritmo do quociente: logb n

m= logb – logb n (n 0)

3. Logaritmo de potência: logb mn = nlogb m

4. Mudança de base: logn m =nm

b

b

loglog


IV. Função logarítmica

Gráficos da função logarítmicaf(x) = log2 x

O gráfico é crescente, cruza o

eixo x em (1, 0) e não

intercepta o eixo y.

É qualquer função f: dada pela lei f(x) = loga x,

com a > 0 e a ≠ 1.


f(x) = log2 x (8, 3)

(2, 1)

(0,5; - 1)

(1, 0)


Gráficos da função logarítmica

O gráfico é decrescente,

intercepta o eixo x em (1, 0) e não cruza

o eixo y.


(0,5, 1)

(1, 0)

(2, -1) (4, -2)

(8, -3)

logxg

xxg21

log

xxg21

log

Gráficos de uma função exponencial e de uma função logarítmica,numa mesma base, construídos em um mesmo plano cartesiano,são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares:


Gráficos da função logarítmica


Equações logarítmicas

A incógnita está na base de um logaritmo ou em seu logaritmando.

Condições de existência do logaritmo:

• a base é um número real positivo e diferente de 1;

• o logaritmando é um número real positivo.

A resolução das equações logarítmicas envolve a

transformação da expressão em uma equação exponencial.



Equações logarítmicas

Outra situação:

Da mesma forma, o primeiro passo deve ser a aplicaçãoda definição de logaritmo. Uma vez calculado o valor da potência,pode-se obter a incógnita.



(UEG-GO)Certa substância radioativa desintegra-se de modo que, decorrido o tempo t, em anos, a quantidade ainda nãodesintegrada da substância é S = S0 . 2-0,25t, em que S0 representa a quantidade de substância que havia no início.

Qual é o valor de t para que a metade da quantidade inicial se desintegre?

1

FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA – NO VESTIBULAR

EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:

(Unesp) Considere a função dada por f(x) = 32x+1 + m . 3x + 1.

a) Quando m = 4, determine os valores de x para os quais f(x) = 0.b) Determine todos os valores reais de m para os quais a equação f(x) = m + 1 não tem solução real x.

2EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:


(UFJF-MG)

3EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:


(Ufal)Uma pessoa necessitava saber o valor do logaritmo decimal de 450, mas não tinha calculadora.

Em uma busca na internet, encontrou a tabela a seguir e,através dela, pôde calcular corretamente o que precisava.

Determine o valor encontrado.

4EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:


(UFPE) Suponha que a taxa de juros de débitos no cartão de crédito seja de 9% ao mês, sendo calculada cumulativamente.

Em quantos meses uma dívida no cartão de crédito triplicará de valor?(Dados: use as aproximações

5EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:

.)


Sabendo que os pontos (a, – ); (b, 0); (c, 2) e (d, ) estãono gráfico de f, calcule b + c + ad.

8EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:


a) Qual era o número de bactérias, de cada um dos tipos, no instante inicial do experimento?b) Esboce o gráfico das funções f e g apresentadas acima.

c) Após quantos minutos a lâmina terá o mesmo número de bactérias do tipo I e II? (Use log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47.)

1EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS17

RESPOSTA:

(UFPR) Em um experimento feito em laboratório, um pesquisador colocou numa mesma lâmina dois tipos de bactérias, sabendo que as bactérias do tipo I são predadoras das bactérias do tipo II. Após acompanhar o experimento por alguns minutos, o pesquisador concluiu que o número de bactérias tipo I era dado pela função f(t) = 2 • 3t + 1, e que o número de bactérias do tipo II era dado pela função g(t) = 3 • 24 – 2t, ambas em função do número t de horas.


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