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LIMITES INFINITOS Y AL INFINITO

Ahora explicaremos los significados de los siguientes límites y sus

diferentes versiones.

Estos límites formalizan el concepto de rectas asíntotas a la gráfica, las

cuales pueden ser verticales, horizontales y/o oblicuas.

Limites infinitos.

Definición. Sea RRf →: y Ra∈ , Se dice que ∞=→

)(lim xfax

si para

cualquier 0>M , existe 0>δδδδ tal que si Domfx∈ y δδδδ<−< ax0

entonces Mxf >)( .

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

2

1)(x

xf =

Lxfx

=∞→

)(lim Lxfx

=−∞→

)(lim

∞=→

)(lim xfax

−∞=→

)(lim xfax

∞=∞→

)(lim xfx

infinitos Límites

infinito al Límites

infinito infinito al Límite

2

Ejemplo. ∞∞∞∞====→→→→

20

1lim

xx

Para 0>>>>M , encontrar 0>δδδδ tal que si Domfx∈ y δδδδ<<<<<<<< x0 ,

entonces )(xfM <<<<

2

1

xM <<<< ,

Mx

12<<<< , δδδδ====<<<<

Mx

1

Ejemplo. ∞∞∞∞====−−−−→→→→

25 )5(

4lim

x

x

x

Para 0>>>>M , encontrar 0>δδδδ tal que si Domfx∈ y δδδδ<<<<−−−−<<<< 50 x ,

entonces )(xfM <<<<

2)5(

4

−−−−<<<<x

xM , consideramos un 1δδδδ auxiliar, digamos 11 ====δδδδ

150 <<<<−−−−<<<< x , 151 <<<<−−−−<<<<−−−− x , 64 <<<<<<<< x , 24416 <<<<<<<< x ,

22 )5(

4

)5(

16

−−−−<<<<

−−−− x

x

x

2)5(

16

−−−−<<<<x

M , M

x16

)5( 2<<<<−−−− , 2

45 δδδδ====<<<<−−−−

Mx

También tenemos las versiones de límites laterales derecho e izquierdo.

Definición. Sea RRf →: y Ra∈ , Se dice que ∞=+

→

)(lim xfax

si para

cualquier 0>M , existe 0>δδδδ tal que si Domfx∈ y δδδδ+<< axa

( δδδδ<−< ax0 ) entonces Mxf >)( .

Definición. Sea RRf →: y Ra∈ , Se dice que ∞=−

→

)(lim xfax

si para

cualquier 0>M , existe 0>δδδδ tal que si Domfx∈ y axa <<−δδδδ

( δδδδ<−< xa0 ) entonces Mxf >)( .

Ejemplo. ∞=+

−

−−→ 3

3lim

3 xx

Para 0>>>>M , encontrar 0>δδδδ tal que si Domfx∈ y 33 −<<−− xδδδδ ,

O equivalentemente δδδδ+<−< 33 x o δδδδ<−−< x30

entonces 3

3

+

−<x

M

análisis: como 03 <+x , 3

3

+

−<x

M implica lo siguiente

3)3( −>+ Mx M

x3

3−

>+ M

x3

3 <−−

3

Proponemos M

3=δδδδ

Justificación: Para 0>>>>M , sea 03>=

Mδδδδ

si Domfx∈ y δδδδ<−−< x30

entonces xx

Mx

M

Mx

+

−=

−−<→

−−<→<−−<

3

3

3

3

3

1

3

330

es decir )(xfM <

por lo tanto ∞=+

−

−−→ 3

3lim

3 xx

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y

3

3)(

+

−=x

xf

Definición. Sea RRf →: y Ra∈ , Se dice que −∞=→

)(lim xfax

si para

cualquier 0>M , existe 0>δδδδ tal que si Domfx∈ y δδδδ<−< ax0

entonces Mxf −<)( .

En forma equivalente:

Se dice que −∞=→

)(lim xfax

si para cualquier 0<M , existe 0>δδδδ tal que si

Domfx∈ y δδδδ<−< ax0 entonces Mxf <)( .

Ejemplo. −∞=−

−

→22 )2(

4lim

x

x

x

Para 0>>>>M , encontrar 0>δ tal que si Domfx∈ y δδδδ<<<<−−−−<<<< 20 x ,

entonces Mxf −−−−<<<<)(

Mx

x−−−−<<<<

−−−−

−−−−

2)2(

4, consideramos un 1δδδδ auxiliar, digamos 11 ====δδδδ

120 <<<<−−−−<<<< x , 121 <<<<−−−−<<<<−−−− x , 143 −−−−<<<<−−−−<<<<−−−− x ,

4

Mxx

x−−−−<<<<

−−−−

−−−−<<<<

−−−−

−−−−

22 )2(

1

)2(

4

2)2(1

−−−−−−−−<<<<−−−−

xM

, M

x1

)2( 2<<<<−−−− , 2

12 δδδδ====<<<<−−−−

Mx

−2 −1 1 2 3 4 5 6

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

x

y

2)2(

4)(

−

−=x

xxf

También se encuentran las versiones de los límites laterales

correspondientes a este caso.

Ejemplo. −∞−∞−∞−∞====−−−−

−−−−→→→→ 2

1lim

2 xx

Para 0>>>>M , encontrar 0>>>>δδδδ tal que si Domfx∈∈∈∈ y δδδδ<<<<−−−−<<<< x20 ,

entonces Mxf −−−−<<<<)(

Mx

−−−−<<<<−−−− 2

1,

xM

−−−−<<<<<<<<2

10 ,

Mx

12 <<<<−−−− ,

M

1====δδδδ

Limites al infinito.

Definición. Sea RRf →: y RL∈ . Se dice que Lxfx

=∞→

)(lim si para cada

0>>>>εεεε , existe 0>>>>N tal que si Domfx∈∈∈∈ y Nx >>>> entonces εεεε<− Lxf )( .

Ejemplo. 252

34lim ====

++++

−−−−

∞∞∞∞→→→→ x

x

x

Para 0>>>>εεεε , encontrar 0>>>>N tal que si Domfx∈∈∈∈ y Nx >>>>

entonces εεεε<<<<−−−− 2)(xf

5

52

13

52

13

52

104342

52

34

++++====

++++

−−−−====

++++

−−−−−−−−−−−−====−−−−

++++

−−−−

xxx

xx

x

x

522 ++++<<<< xx , xx 2

1

52

1<<<<

++++,

xx 2

13

52

13<<<<

++++

εεεε<<<<x2

13 x<<<<

εεεε2

13, N====

εεεε2

13

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

−17

−16

−15−14

−13−12

−11

−10−9

−8−7

−6−5−4

−3−2

−1

1

23

45

6

78910

11

1213

1415

16

x

y

52

34)(

+

−=x

xxf

Ejemplo. 32

3lim

2

2

====++++∞∞∞∞→→→→ x

x

x

Para 0>>>>εεεε , encontrar 0>>>>N tal que si Domfx∈∈∈∈ y Nx >>>>

entonces εεεε<<<<−−−− 3)(xf

2

6

2

6333

2

322

22

2

2

++++====

++++

−−−−−−−−====−−−−

++++ xx

xx

x

x

222++++<<<< xx ,

22

1

2

1

xx<<<<

++++,

22

6

2

6

xx<<<<

++++

εεεε<<<<2

6

x 26

x<<<<εεεε

, x<<<<εεεε

6, N====

εεεε

6

Definición. Sea RRf →: y RL∈ . Se dice que Lxfx

=−∞→

)(lim si para

cada 0>εεεε , existe 0>N tal que si Domfx∈ y Nx −< entonces

εεεε<− Lxf )( .

Y en forma equivalente:

6

Se dice que Lxfx

=−∞→

)(lim si para cada 0>εεεε , existe 0<N tal que si

Domfx∈ y Nx < entonces εεεε<− Lxf )( .

Ejemplo. 02

lim

=∞−→ xx

Para 0>>>>εεεε , encontrar 0>>>>N tal que si Domfx∈∈∈∈ y Nx −<

entonces εεεε<=− )(0)( xfxf

εεεε<−=xx

22

Como 0<x entonces xx −=

1)(

2

2<−→<−

xx εεεεεεεε

x>−εεεε

2 porque 0<x

Tomamos 02>=

εεεεN

−12−11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

xxf

2)( =

Definición. Sea RRf →: se dice que ∞=→∞

)(lim xfx

si para cada 0>M ,

existe 0>N tal que si Domfx∈ y xN < entonces )(xfM < .

Existen otras tres versiones de esta definición alternando los signos a cada

∞ de la expresión.

Ejemplo. ∞=−→∞

)53(lim xx

Sea 0>M , encontrar 0>N tal que si Domfx∈ y xN <

7

entonces )(xfM <

xM

xMxM <+

→<+→−<3

5 35 53

Entonces tomando 3

5+=M

N

Demostración: si Domfx∈ y xN < xNM

<=+

3

5

)(53 35 3

5xfxMxMx

M=−<→<+→<

+

Ejemplo. −∞=−∞−→

2

lim xx

Sea 0>M , encontrar 0>N tal que si Domfx∈ y Nx −<

entonces Mxf −<)(

MxxMMxMx −<<↔>→−<− o 22

Entonces tomando MN =

Demostración: si Domfx∈ y Mx −<

)( 22MxfxMxMx −<=−→>→−<

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2

−12

−11

−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1x

y

2)( xxf −=