Libro Cálculo integral 7 julio 2010

Metodología para el Aprendizaje del

Calculo Integral

Conforme al programa de estudio de Cálculo Integral orientado a competencias del Sistema Nacional de Educación Superior Tecnológica

José Santos Valdez Pérez y Cristina Pérez Pérez

Instituto Tecnológico de Saltillo Instituto Tecnológico de Celaya

Segunda edición

http://www.pdfonline.com/easypdf/?gad=CLjUiqcCEgjbNejkqKEugRjG27j-AyCw_-AP


DEDICATORIA:

Mi verdad:

Lo mejor de la educación orientada a competencias, es haber dejado atrás la

percepción incompleta de la enseñanza centrada en el aprendizaje.

Dedicatoria:

A mis Madres: María Pérez y Josefina Rico.

A mi Padre: Francisco Valdez García.

A mis hijos.

A mis nietos.



iv

AGRADECIMIENTOS:

He de agradecer a las Ciudades que cobijaron mi existencia y de las cuales guardo gratos recuerdos: A mi

tierra Palma Grande, Nay.; Xalisco; Tepic; Morelia, cuna de mi cultura; Villahermosa, la inolvidable; Tehuacan el

irresistible; Distrito Federal el combativo y Saltillo de mis esperanzas; de la misma forma a Delicias Chih.,

Mazatlán, Sin.; Querétaro, Qro.; y Celaya, Gto. por recibir el influjo de esas tierras de inspiración.

Me es imposible nombrar a tantas personas, quienes de algún modo influyeron en la realización de la

presente obra; sin embargo he de recordar a mis exalumnos, compañeros de estudio y de trabajo, así como mis

maestros y directivos a quienes doy un profundo agradecimiento.

Directivos: Max Novelo Ramírez, Carlos García Ibarra, José Guerrero Guerrero, Juan Leonardo Sánchez

Cuellar, Bulmaro Fuentes Lemus, Enriqueta González Aguilar, Carlos Fernández Pérez, Jesús Contreras García,

Mario Madrigal Lápiz, Mario Valdés Garza, Javier Alonso Banda, Fidel Aguillón Hernández, Alejandro Guzmán

Lerma, José Callejas Mejía, David Hernández Ochoa y Agustín Vázquez Vera.

Maestros: Sergio Alaníz Mancera, Heber Soto Fierro, Germán Maynes Meléndez, Salvador Montoya Luján, Elisa

Álvarez Constantino, Salvador Campa, y Rosario Vitalle DiBenedeto.

Compañeros de trabajo: Ramón Tolentino Quilatan, Salvador Aarón Antuna García, Roberto Sánchez

Alvarado, Rodolfo Rosas Morales, Araceli Rodríguez Contreras, Isabel Piña Villanueva, Norma Herrera Flores,

Romina Sánchez González, Mayra Maycotte de la Péña, Elizabeth Sorkee Quiroz, Leonilo Rodríguez Borrego,

Miguel Ángel Cabrera Navarro, Sergio Gaytán Aguirre, Francisco Javier Rodríguez Sánchez, Adrián Martínez

Burceaga, Olivia García Calvillo, Javier Cuellar Villarreal, Alberto Córdoba García, Genaro Dávila Ramos, Josefina

González Muñoz; Rosa María Hernández González, José Luís Quero Durán, Beatriz Barrón González, Noé Isaac

García Hernández, Francisco Ruíz López, Roberto Wilson Alamilla, Jaime Edwald Montaño, José Luis Meneses

Hernández; Antelmo Ventura Pérez, Rubén Medina Vilchis, Juan Manuel Nuché, Alberto Gutiérrez Alcalá, Marco

Antonio Ledesma González, y Bernardo González Nava.

Compañeros de estudios: Mario Madrigal Lépiz, Bulmaro Fuentes Lemus, Jorge Maldonado Brizuela, Jaime

Rebollo Rico, Cecilia Guzmán Hernández, Francisco Orizaga Espinosa, Miguel Espericueta Corro, Carlos Díaz

Ramos, Juan Manuel Vargas Dimas, Fernando Aguilar Barragán y Delia Amador Gil.

Exalumnos: Martha Madero Estrada, Felicitas Cisneros Romero, Ma. Reyna Rivera Rivera, Fernando Treviño

Montemayor, Enedina Sierra Ramos, Ema Aguilar Ibarra, Lizet Mancinas Pérez, Lucia Rosalía Paredes Hernández,

Edgar Alonso Carrillo Quintero, Miriam Alcázar Ascacio, y Miriam Ávila García.


v

Así también a: Ricardo Llanos y Cecilia Guzmán ; David Obregón y Yolanda Pérez, Jesús Ramos y Araceli Pérez,

Camerina Valdés y Rubén Saldaña; Andrés Valdés y Ma. de Jesús Guitrón; Jorge Pérez y Teresa Guevara;

Gildardo Medina y Anita Pérez; Víctor Burciaga y Angélica Baena; Bernardo González Macías y Margarita Nava;

Fernando García Rangel; Donaciano Quintero Salazar; Ivonne Muñoz, Ociel Ramírez, Sandra Herrera y Francisco

Villaseñor; Leandro Ocampo López; Antonio Duarte Morales; Lupita Cárdenas Oyervides; Carolina Baez Olivo;

Irene Valdés; Mario Manríquez Campos, Isabel Solís Serrano, Martha Hernández, Faviola Lara Cervantes, Luís

Muñoz Romero, David Jaime González, Roberto Jaime González, Oscar Romero Rivera, Javier Valdés, Víctor

García Martínez y José Guadalupe Torres.

PREFACIO DE LA SEGUNDA EDICIÓN:

El perfeccionamiento, no es otra cosa mas que el proceso de revisar y detectar actualizaciones, vacíos y

errores; por lo que resulta natural, que lejos de la decepción surja el reto de hacer mejor lo que ya hemos

hecho; después de todo, es válida la siguiente redundancia: “hacer constantemente lo mismo se compensa con

perfeccionar lo que siempre hemos hecho”; desde luego sin haber olvidado la sentencia “Trabajos perfectos a

tiempos infinitos tienen valor cero”; Es así como en la presente edición se han realizado las siguientes mejoras.

En lo general:

- Revisión de las teorías del aprendizaje.- Completes de los supuestos pedagógicos.- Adaptación del trabajo realizado orientado a competencias.- Amplitud sobre el contenido del libro.- Revisión general de las unidades.

Unidad 1:

- Las unidades 1 y 2 (Diferenciales y La integral indefinida) se unieron para formar esta unidad.- Los fundamentos cognitivos por temas de la unidad 1, se trasladaron a los anexos.

Unidad 4:

- Antes era la unidad 6.

Unidad 2:

- Antes era la unidad 3.

Unidad 5:

- Se suma un nuevo contenido “Series”

Unidad 3:

- Antes era la unidad 4 y se sumó la unidad 5.

Anexos:

- Se suma el anexo “Fundamentos cognitivos del cálculo integral”.- Dentro de los fundamentos cognitivos se desarrolló el tema: “Funciones y sus gráficas”.- Perfeccionamiento y desarrollo de la instrumentación didáctica orientada a competencias.


vi

PREFACIO:

Recomendaciones a los maestros:

Este libro ha sido escrito en paralelo a desarrollos pedagógicos expresos para tal fin, de igual forma se han

delineado teorías y técnicas aún en proceso de desarrollo, sin embargo el máximo valor esperado, es el que tú

como maestro le puedas adherir, mediante la apropiación y praxis de tales instrumentos así como el de su

enriquecimiento.

Teorías del aprendizaje:

Se ha supuesto que la generación del aprendizaje tiene un comportamiento

helicoidal ascendente en forma de cono irregular invertido “Teoría tornado”.

También se afirma que su desarrollo es cíclico ascendente, porque a medida que

avanza se aprende lo mismo pero a otro nivel y se adhieren nuevos conocimientos,

por lo que es de suponer que las “Corrientes pedagógicas constructivistas” que

describen la construcción del aprendizaje fundamentado en otros aprendizajes, se

hacen presentes en cada momento; sin embargo también se han supuesto “Teorías

biogenéticas” que insinúan que el conocimiento existe en cada ser humano y su

aprendizaje es accesible.

De la misma manera y en forma constante, se deberá tener presente la “Teoría de los aprendizajes

equiparables” que afirma: Todos los aprendizajes tienen el mismo grado de dificultad y son directamente

proporcionales al grado cuantitativo y cualitativo de la información que se tenga del conocimiento. Así podemos

afirmar que se aplica el mismo esfuerzo en apropiarse del conocimiento de cualquier ciencia, llámense estas

sociales ó exactas; la clave de nuestra visión, es que en las ciencias exactas existe mucho conocimiento en poca

información, por lo que en el campo del cálculo integral es necesario girar constantemente sobre la información

disponible.

Otra teoría que se ha tomado en consideración y de aplicación práctica es la “Teoría del bao cognitivo” que

infiere la existencia de un flujo constante y mutuo de energía cognitiva entre alumnos y docentes; de aquí la

afirmación sobre la “Eternidad del Maestro”; y hace extensiva la generalidad de esta teoría infiriendo la

existencia de flujos cognitivos universales, que se manifiestan en saberes similares adquiridos por las

sociedades y las naciones en forma independiente.

Por supuesto que en su mayoría las diferentes teorías se encuentran en etapa de desarrollo, sin embargo y

me consta que sus inferencias son aplicadas con resultados pedagógicos asombrosos. No entraremos en

polémicas sobre estas teorías ya que no es el propósito, sin embargo una simbiosis de tales teorías sería

deseable en la praxis educativa.

Nivel de aprendizaje

Conocimiento


vii

Técnica de los aprendizajes por justificandos:

Esta técnica se ha desarrollado con el propósito de ser mas efectivos en el proceso enseñanza-aprendizaje;

su aplicación en las matemáticas y en la física ha sido exitosa, sin embargo es extensible al campo de otras

ciencias, por lo que aquí se presenta la dinámica de su proceso.

Información de entrada: Es el problema que se plantea y es sujeto a ser resuelto.

Justificación del proceso: Son todos los elementos necesarios para justificar un resultado.

Información de salida: Es el resultado fundamentado en la justificación de un proceso.

El proceso se caracteriza por ser cíclico, progresivo, repetitivo y cada vez que esto sucede avanza, ya que la

información de salida automáticamente se convierte en información de entrada hasta obtener el resultado final.

Ejemplo: Por la fórmula de integración de funciones algebraicas que contienen xn y la propiedad de la constante,

integrar la siguiente función:

cx

cx

nn

k

cn

xkdxxk

dxx

xu

k

dxukdxku

dxx

nn

5

2

52

51;4

21

)(

)(22)2(5)5(

1

4

4

4

Técnica de los aprendizajes por agrupamiento:

El propósito de esta técnica es que el alumno aprenda a un determinado nivel de conocimientos, el cual

incluye un eficiente dominio de las operaciones, entendiéndose estas rápidas y directas, además de mantener

sensible el resultado esperado; las etapas que deberán cubrirse las podríamos delinear de la siguiente forma:

1) Presentación del problema.

2) Identificación de las fórmulas.

3) Aplicación directa de las fórmulas utilizando paréntesis.

4) Eliminación de paréntesis y simplificación.

Información de entrada

Justificación del proceso

Información de salida

Entrada Proceso Salida

Resultado intermedio

Justificación Justificación

Resultado intermedio

Resultado final

Problema


viii

Ejemplo: Aplicando la propiedad de la constante y la fórmula de diferenciación de la función seno; obtener:

xsend 23

dxxdxxdxduxuxsenxfk

duusenudxfdkxfkdxsend

PasoPasoPasoPaso

2cos622cos32;2;2)(;3

cos;)())((23

)4)3)2)1

Instrumentación didáctica:

Para este curso se ha elaborado en particular la instrumentación didáctica orientada a competencias,

adjuntada en uno de sus anexos, y toda su estructura tienen como base los trabajos realizados sobre

“Metodología para la instrumentación didáctica orientada a competencias”, misma que previamente se

desarrolló en exclusivo para tal fin: Lo importante de esta instrumentación didáctica, es que nos resuelve las

siguientes preguntas: ¿qué?, ¿cómo?, ¿cuándo?, ¿con qué?, ¿para qué? y cuantas clases hay que desarrollar para

obtener un curso de calidad, en el entendido de que toda calidad educativa deja mucho que desear si la misma

no permea la labor docente y en última instancia el aprendizaje de los alumnos.

Supuestos pedagógicos:

Para un curso eficaz se han supuesto las siguientes condiciones pedagógicas:

- Apegarse en la instrumentación didáctica, en lo general, y cada maestro en función de su experiencia y de su

estilo personal, irá haciendo los cambios y adaptaciones correspondientes, sobre todo en el campo de los

métodos, las técnicas y las dinámicas educativas.

- Exposiciones globalizadas a través de proyector de transparencias ó cañón electrónico; máxime, cuando los

aprendizajes sean de información extensa y/ó sistematizada.

- Crear confianza en los alumnos para que pregunten; la regla es ¡ No hay preguntas tontas !

- Paralelamente al curso se requieren acciones que permitan la educación en valores para que la misma sea

integral, por lo que deben irse aprovechando los eventos institucionales o bien creando las actividades e

incentivos correspondientes; De la misma forma y con propósitos educativos, continuamente se deberá

observar la disciplina del grupo así como las actitudes de cada uno de sus integrantes.

- Tener conocimiento y control de los alumnos e identificación del grupo, para lo cual en los anexos se ha

incluido un registro escolar y el formato de lista.

- Inhibir la copia a través de una concientización y en casos extremos aplicar las sanciones previamente

establecidas e informadas al alumnado. En los anexos se encuentra un formato de examen, con el propósito

de ser utilizado en la presentación de exámenes cuando así se requiera.


ix

- No abusar de la aplicación de exámenes repetidos, para lo cual se sugiere elaborar una amplia batería de

evaluaciones, ya que el alumno tiende a informarse de exámenes aplicados con anterioridad y confiarse en su

posible aplicación, siendo ésta una de las causas de deficiencias en sus estudios.

Recomendaciones a los alumnos:

Existe una técnica para obtener buenos resultados en un curso, y lo mejor de esta técnica es que tú ya la

conoces. Se trata de la técnica “ege” que significa ¡ échale ganas ! esa es la clave.

Las matemáticas son una disciplina y por lo mismo requiere de alumnos disciplinados en sus estudios, por lo

que se requerirá de ti los siguientes condicionamientos mínimos:

- Un espacio de estudio, en tu casa preferentemente.

- Un horario de estudio, de al menos una hora de lunes a viernes y sólo para esta materia.

- Reorganización de los conocimientos, el domingo en la noche ó lunes en la mañana.

La técnica de estudio que deberás de aplicar es:

- Lectura de la teoría.

- Visualización de la estrategia empleada en la solución de problemas de tu libro.

- Resolución de los problemas ya resueltos en el libro. Toma en cuenta que es válido echar un ojito cuando te

bloques, no sin antes preguntarte ¿Qué sigue?, ¿Qué hago?, ¿ Qué se me ocurre?, etc., etc., etc..

- Solución a los ejercicios del libro.

- Si te es posible, intenta trabajar en equipo integrado por no más de cinco de tus compañeros.

- Recuerda: Tienes derecho a que se te desarrollen completamente los programas de estudio y a ser evaluado en

tiempo, forma, contenido y nivel de lo que se te enseña.

En este libro se ha considerado que aún si tus bases de conocimiento son deficientes, es posible tener un

excelente curso, ya que se previeron en las cadenas de aprendizajes los fundamentos indispensables para ir

avanzando, sin embargo es de tu entera responsabilidad ser sistemático en tus estudios y si lo consideras

necesario debes de consultar otras fuentes de información para el dominio correspondiente.

Se han desarrollado una serie de recursos pedagógicos para que tu aprendizaje sea más eficiente; así

tenemos: Teorías del aprendizaje, Técnica de los aprendizajes por justificandos, Técnica de los aprendizajes por

agrupamiento, Instrumentación didáctica, etc.. de los cuales no tienes que preocuparte por aprender, el maestro

te los irá mostrando en todo el curso, y a ti te corresponde en paralelo instruirte en su uso ya que de seguro te

servirá en toda tu carrera.


x

Sobre el libro:

Escribir un libro de matemáticas en el área de cálculo integral, tiene poco sentido, ya que existen en el

mercado varias decenas escritos por autores extranjeros y la moda actual es que autores mexicanos por fin

están elaborando libros y alguno de ellos de excelentes calidad en sus contenidos, pero pocos de ellos en sus

métodos de presentación del conocimiento, y aun mas escasos en la didáctica recomendada para el maestro y

metodologías de aprendizaje para el alumno. Y es aquí en donde se encuentra un desierto y la aportación de un

esfuerzo que intenta mitigar el vacío y donde el crédito si es que lo existe debe reconocerse. También debe

citarse que el éxtasis de la presente obra se encuentra en la idea de crear un libro para cada Programa de

estudio y en específico para una Institución ó bien para todo un sistema como lo es el Sistema Nacional de

Educación Superior Tecnológica.

El nivel de comprensión es para alumnos de inteligencia normal y aquellos que tienen leves problemas de

aprendizajes, y de ninguna manera se ha escrito para alumnos de alto rendimiento a menos que su interés se

concentre en la realización de ejercicios básicos de desarrollo de la creatividad, ya que los mismos descubrirán

que el texto intencionalmente esta muy lejos de provocar el conflicto cognitivo necesario para su evolución.

La estrategia de enseñanza y aprendizaje va dirigida a estudiantes que han iniciado una carrera profesional

sin incluir la de licenciatura en matemáticas, ya que esta orientada a la aplicación estructural de las matemáticas

y algunas demostraciones son solamente intuitivas, y para nada se realiza un análisis matemático riguroso;

Debemos de recordar que los métodos son para iniciar un aprendizaje que difícilmente lo podemos asimilar,

pero una vez que se han tenido los fundamentos del conocimiento, los métodos deben desecharse porque de

no ser así los mismos métodos nos limitan. Aquí opera el principio fundamental que versa sobre la existencia

de cada método para cada nivel de desarrollo cognitivo e intelectual.

La utilidad para los maestros se hace patente, cuando el docente domina los métodos que se muestran, y se

adquieren fundamentos de métodos y técnicas educativas así como de un leve repertorio de dinámicas

grupales, pero se debe entender que sin una actitud responsable como profesor todo deja de tener sentido.

Como complemento de utilidad para los docentes se anexa al final del libro la instrumentación didáctica

orientada a competencias del curso, y para el mismo objetivo se ha desarrollado y aplicado con gran éxito las

técnicas de aprendizajes por justificandos y por agrupamiento, como estrategia fundamental de desarrollo para

los educandos, que de seguro le serán de utilidad en casi todas sus materias.

La ciencia avanza enormemente día con día, y es menester señalar que el aprendizaje con una estrategia

metódica resulta más eficiente. Además los medios son eso, sólo medios únicamente, como paráfrasis

podríamos afirmar que para nada importan los procesos internos que una computadora realice, ese es problema

de los profesionales en electrónica; lo que si importa, son los resultados que se obtienen; Ahora bien y en

nuestro caso son los aprendizajes que el alumno adquiere. En este sentido es oportuno señalar que

intencionalmente se ha sacrificado la rigidez matemática por un intento de ser más claro en la comprensión del

conocimiento.


xi

Durante el proceso de su elaboración se tuvieron presentes las siguientes premisas fundamentales:

1) La ciencia y la tecnología tienen un avance potencialmente creciente, sin embargo el desarrollo de la

naturaleza del ser humano tarda cientos y quizá miles de años para asimilar un pequeño progreso.

2) Los programas de estudio incorporan cada vez mas nuevos conocimientos, al grado que la cantidad que se

estudia actualmente representa al menos el doble que en una década anterior, sin embargo el tiempo de 10

semestres en promedio que tarda un estudiante en realizar su carrera profesional no se ha incrementado por lo

que la administración educativa tendrá que crear simbiosis de las siguientes alternativas:

- Incrementar el tiempo de realización de una carrera profesional, lo que hace más costosa a la educación y sus

resultados no garantizan ser favorables.

- Quitar conocimientos de los programas de estudios, que seria un error al romperse las cadenas cognitivas.

- Tender a una especialización de las carreras profesionales, seleccionando aquellas áreas cognitivas específicas

de mayor interés, siendo esta una opción a medias.

- Eficientar la labor pedagógica, a través de la teoría fundamentada en las cuatro potencialidades del docente:

. Conocimiento: Dominio del conocimiento requerido por los programas de estudio.

. Didáctica: Capacitación en métodos, técnicas, dinámicas grupales y estrategias de enseñanza que incidan en

la instrumentación didáctica orientada a competencias.

. Ética docente: Crear los lineamientos individuales, departamentales, institucionales y del sistema en que

deba de ubicarse la labor docente.

. Filosofía de vida: Proporcionar la cultura de aplicación práctica y operativa para que los docentes en función

de sus intereses tengan alternativas de su existencia promoviendo un humanismo propio del Modelo

Educativo orientado a competencias.

- Un indicador importante son los altos índices de reprobación en los primeros semestres, y un factor

de aminoramiento lo es aplicando exámenes de admisión más selectivos, prestando atención en:

. Fundamentos en el conocimiento necesario.

. Vocación probada en el campo de la profesión elegida.

. Actitudes para aminorar la siguiente sentencia: Cuando el alumno no desea estudiar el pedagogo más

hábil fracasa.

3) Necesitamos entender y actuar en consecuencia que existen enormes vacíos no escritos en las matemáticas y

que por lo general los docentes lo damos por entendidos y dominados por los educandos, sin embargo esto es

falso al menos en la generalidad de los estudiantes de inteligencia normal, por lo que se deben de minimizar los

efectos de estos vacíos a través de la elaboración de rutas pedagógicas que le permitan la madurez cognitiva.

4) También es necesario reubicar el nivel en que se imparte la educación pública superior asignando el supuesto

de que este tipo de educación es para alumnos de inteligencia normal y por lo tanto se requiere de una

pedagogía para alumnos de este nivel.


xii

5) Para finalizar tenemos que darnos cuenta que aún no ha sido posible inventar un MODEM que permita al ser

humano accesar a los archivos akásicos de las ciencias, y esto es una fantasía al menos en un futuro cercano.

Al leer este libro se verá que existen errores incluyendo hasta los de dedo, sin embargo he creído que sería un

error aun más grande el no tener el valor de haberlo editado y sin importar que el mismo acuse de ignorancia.

En la práctica docente he observado que en el cajón del escritorio de cada maestro existe un libro que espera

ser publicado, tengo la esperanza en la satisfacción de leer uno de los libros escritos por mis compañeros, que

de seguro tendrá el éxito esperado.

En la presente como en todas las obras, el conocimiento tiene sus límites, sólo basta observar, lo escaso de

las aplicaciones prácticas ó bien la aplicación de programas específicos de cómputo, pero insisto, lo primero

siempre será lo primero y lo demás serán el resultado de la completes, enriquecimiento y perfeccionamiento de

la presente obra en futuras ediciones.

Motivos:

Se que existen tanto vacío en el universo como vacío escrito hay en las matemáticas, y éste libro se ha

elaborado pensando como maestro de la materia y no como matemático, puesto que si pensara como tal, jamás

lo hubiese escrito, y la razón principal es la infinidad de alumnos que desean hacer una carrera profesional y se

encuentran con la muralla de los números y la escasa tutoría en su aprendizaje.

Podría señalar una larga lista de motivos y cualquiera de ellos sería suficiente para la emisión del presente

trabajo; sin embargo aseguro, que cuando las sociedades se den cuenta que la educación ya no es solo

problema de bienestar social o económico, sino de existencia humana en toda la extensión de la palabra,

llámese a esta existencia individual, familiar, social, económica, institucional, de un sistema, de un País, de un

continente ó mundial, será entonces cuando habrá un viraje real y no simulado en el rumbo de las políticas

públicas en materia educativa; y entenderemos que hacer la calidad con discursos no tiene sentido.

Me es imposible no mencionar los estudios realizados por Antuna, Valdés e Hinojosa (2004) “Índices de

reprobación, un estudio exploratorio en el departamento de Ciencias Básicas del Instituto Tecnológico de

Saltillo” donde se bosqueja la enorme problemática educativa sintetizada en tres resultados: La eficiencia

Terminal total no rebasa el 40%; De ocho carreras, sólo 2 tienen eficiencia Terminal aceptable; existe una

carrera acreditada y certificada por su calidad? donde sólo 1 de cada 10 estudiantes egresa y 9 desertan ¡¡¡¡¡; y

la causa principal de deserción es el alto índice de reprobación en cálculo integral. Sin embargo otros

indicadores infieren que la institución investigada es una de las mejores instituciones del Sistema Educativo

Nacional, quedando interesante la respuesta a la pregunta; ¿Cómo estarán las demás?

Saltillo, Coah., verano del año 2010.

José Santos Valdez Pérez.


xiii

CONTENIDO:

UNIDAD: 1. LA INTEGRAL INDEFINIDA. 1

1.1 Diferenciales. 21.2 Diferenciación de funciones elementales. 41.3 Diferenciación de funciones algebraicas que contienen “xn”. 91.4 Diferenciación de funciones que contienen “u”. 111.5 La antiderivada e integración indefinida de funciones elementales. 161.6 Integración de funciones algebraicas que contienen “xn”. 211.7 Integración de funciones que contiene “u”. 23- Evaluación tipo. 29- Formulario de diferenciales de funciones que contienen xn, u, y v. 30- Formulario de integración indefinida de funciones que contienen xn y u. 31

UNIDAD: 2. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN. 32

2.1 Técnica de integración por uso de tablas de fórmulas de funciones que contienen

las formas: 22 au . 33

2.2 Técnica de integración por cambio de variable. 362.3 Técnica de integración por partes. 382.4 Técnica de integración del seno y coseno de m y n potencia. 412.5 Técnica de integración de la tangente y secante de m y n potencia. 442.6 Técnica de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia. 472.7 Técnica de integración por sustitución trigonométrica. 502.8 Técnica de integración de fracciones parciales. 542.9 Técnica de integración por series de potencia. 582.10 Técnica de integración por series de Maclaurin y series de Taylor. 59- Evaluaciones tipo. 61- Formulario de técnicas de integración indefinida. 62

UNIDAD: 3. LA INTEGRAL DEFINIDA. 63

3.1 La integral definida. 643.2 Teoremas de cálculo integral. 673.3 Integración definida de funciones elementales. 683.4 Integración definida de funciones algebraicas que contienen “xn”. 763.5 Integración definida de funciones que contienen “u”. 783.6 Integración definida de funciones que contienen las formas 22 au . 84

3.7 Integrales impropias. 86- Evaluaciones tipo. 93- Formulario de integración definida de funciones elementales. 94- Formulario de integración definida de funciones que contienen xn y u. 96

- Formulario de integración definida de funciones que contienen las formas 22 au . 97

- Formulario de integrales impropias. 98

UNIDAD: 4. TEMA: APLICACIONES DE LA INTEGRAL. 99

4.1 Cálculo de longitud de curvas. 1004.2 Cálculo de áreas. 1034.3 Cálculo de volúmenes. 1084.4 Cálculo de momentos y centros de masa. 1114.5 Cálculo del trabajo. 117- Evaluaciones tipo. 121- Formulario de aplicaciones de la integral. 122


xiv

UNIDAD: 5. TEMA: INTEGRACIÓN POR SERIES. 123

5.1 Definición, clasificación y tipos de series. 124

5.2 Generación del enésimo término de una serie. 1295.3 Convergencia de series. 1345.4 Intervalo y radio de convergencia de series de potencias. 1375.5 Derivación e integración indefinida de series de potencia. 1405.6 Integración definida de funciones por series de potencia. 1415.7 Integración definida de funciones por series de Maclaurin y series de Taylor. 144- Evaluaciones tipo. 151- Formulario de series. 152

ANEXOS: 153

A. Fundamentos cognitivos del cálculo integral: 153A1. Funciones y sus gráficas. 154A2. Propiedades de los exponentes. 168A3. Propiedades de los logaritmos. 168A4. Funciones trigonométricas. 168A5. Identidades de funciones trigonométricas. 169A6. Funciones hiperbólicas. 170A7. Identidades de funciones hiperbólicas. 170A8. Funciones hiperbólicas inversas. 170

B Instrumentación didáctica: 171B1. Identificación: 171B2. Caracterización de la asignatura: 171B3. Competencias a desarrollar: 171B4. Análisis del tiempo para el avance programático. 171B5. Avance programático. 172B6. Actividades de enseñanza y aprendizaje. 174

Unidad 1. 174Unidad 2. 176Unidad 3. 178Unidad 4. 180Unidad 5. 181

B7. Apoyos didácticos: 182B8. Fuentes de información. 183B9. Calendarización de evaluación. 183B10. Corresponsabilidades. 183

C Simbología: 184C1. Simbología de caracteres. 184C2. Simbología de letras. 185C3. Simbología de funciones. 186

D. Registro escolar. 187E. Formato de examen. 188F. Lista de alumnos. 188

Bibliografía. 183

Indice. 189


José Santos Valdez y Cristina Pérez Metodología para el aprendizaje del cálculo integral

1

El proceso de aprendizaje, es como en las empresas; estas, difícilmente alcanzan sus objetivos cuando la motivación de quienes laboran se encuentra debilitada.

Así sucede con los alumnos, estos requieren de una disciplina y una moral muy elevada para poder accesar al éxtasis del conocimiento.

José Santos Valdez Pérez

UNIDAD 1. LA INTEGRAL INDEFINIDA.

Clases:

1.1 Diferenciales.1.2 Diferenciación de funciones elementales.1.3 Diferenciación de funciones algebraicas que contienen xn.1.4 Diferenciación de funciones que contienen u.1.5 La antiderivada e integración de funciones elementales.1.6 Integración de funciones algebraicas que contienen xn.1.7 Integración de funciones que contiene u.

- Evaluación tipo.- Formulario de diferenciales de funciones que contienen xn, y u. - Formulario de integración indefinida de funciones que contienen xn y u.



2

Clase: 1.1 Diferenciales. Guía:

- Definición e interpretación geométrica de incrementos y diferenciales. - Ejemplos.- Propiedades de las diferenciales. - Ejercicios.- Clasificación de funciones.- Introducción a las diferenciales por fórmulas.

Definición e interpretación geométrica de incrementos y diferenciales:

Sean:

- 2R un plano rectangular.

- f la gráfica de una función )(xfy derivable.

- .)(),()(, fpuntosdosxxfxxQyxfxP - S una recta secante de .QyPf - T una recta tangente de .Pf - TS mym las pendientes de S y de T respectivamente.

- W el punto común de T y la ordenada xx

- dy la distancia entre los puntos W y ))(),(( xfxx .

xxxx )( es el incremento de "."x )()( xfxxfy es el incremento de "." y

Si TS mmyThaciagiraSPQx ;;0 entonces:

)()(

)()(00 xfyfunciónla

dederivadallamadayxf

dx

dy

notaciones

otras

x

xfxxf

x

ym lím

xlím

xT

Como: dxxfdydx

dy

dxx

xSíxf

x

dymT )(

0)(

llamada diferencial de "" y .

Propiedad de las diferenciales:

Propiedad de la constante:

Esta propiedad establece que: Para todo k que sea una constante y )(xf una función, se cumple lo siguiente:

)()( xfdkxfkd Esto nos sugiere y según nos convenga, ubicar la constante dentro ó fuera de la diferencial.

Propiedad de la suma y/o diferencia de funciones:

Esta propiedad nos indica que: Para )()( xgyxf que sean funciones, se cumple lo siguiente:

)()()()( xgdxfdxgxfd Entendiendo lo anterior como: “la diferencial de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus diferenciales”.

W

Q

y

dyP

x

)(xf

xx

)( xxf

S

T

f

x



3

Clasificación de funciones:

Antes de iniciar el proceso de obtención de diferenciales daremos una mirada a las dos clasificaciones de funciones sujetas a nuestro interés, lo anterior obedece a la completes y fluidez didáctica en el proceso de aprendizaje. Con el propósito de cubrir las posibles deficiencias cognitivas antecedentes de este curso, es recomendable consultar el “Anexo: A1. Funciones y sus gráficas”, desarrollado al final del libro.

La primera clasificación presenta el universo de funciones en que opera el cálculo integral y por lo mismo en cada etapa de aprendizaje se trata de globalizar el conocimiento atendiendo a este orden.

1) Funciones algebraicas.2) Funciones exponenciales.3) Funciones logarítmicas.4) Funciones trigonométricas.5) Funciones trigonométricas inversas.6) Funciones hiperbólicas.7) Funciones hiperbólicas inversas.

La segunda clasificación obedece al grado de complejidad de las funciones y las hemos observado de la siguiente manera:

1) Funciones elementales. 2) Funciones básicas. 3) Funciones metabásicas.

Las funciones elementales las hemos concebido como las funciones que contienen en su estructura una constante ó bien una variable, y para nuestro caso nos referiremos a la variable “x”.

Ejemplos: ..;;1

;4 etcxsenyx

yy

Las funciones básicas las definiremos como las funciones que contienen en su estructura un binomio de la

forma: 0, aykbabaxy

Ejemplos: ..);1(cos);12(ln;23 etcxyxyxy

Y por último; las funciones metabásicas las podemos inferir como aquellas que contienen en su estructura un

polinomio de la forma:

Znykzbazbxaxxpy nn ,,)( 1

Ejemplo: 23 23 xxy

Introducción a las diferenciales por fórmulas:

Las fórmulas de diferenciales se fundamentan en teoremas previamente demostrados en cálculo diferencial; al revisar su análisis se observa que son las mismas fórmulas que se utilizan para las derivadas, excepto que se multiplican ambos lados por ""dx (se dice “de equis ó diferencial de equis”).

Como punto de partida tenemos que aceptar por principio didáctico y por norma de jerarquía, que el objetivo principal del estudiante de cualquiera de las licenciaturas es el aprendizaje del proceso de obtención de las diferenciales, y no necesariamente el análisis matemático en el proceso de demostración de fórmulas,propiedades y reglas, muy propio de los aspirantes a profesionales del área de las matemáticas específicamente, sin que con esto se afirme que deba existir un total desconocimiento por parte de los aspirantes a profesionales de áreas ajenas.

De lo anterior y en lo sucesivo, iniciaremos cada aprendizaje con la aplicación directa de las propiedades y fórmulas, y sólo en algunos casos haremos su demostración intuitiva.



4

Clase: 1.2 Diferenciación de funciones elementales. Guía:- Diferenciación de funciones elementales: . Trigonométricas inversas. . Algebraicas. . Hiperbólicas. . Exponenciales. . Hiperbólicas inversas. . Logarítmicas. - Ejemplos. . Trigonométricas. - Ejercicios.

Diferenciación de funciones elementales algebraicas.

Funciones elementales algebraicas:

Es de observarse que existe una infinidad de funciones elementales algebraicas, sin embargo y según sea el caso, sólo mencionaremos las que sean de nuestro interés; y es así como ahora consideramos las siguientes:

Fórmulas de diferenciales Función Nombre

0)()1 kd ky Constante

dxxd )2 xy Identidad

dxx

xxd )3 xy

Valor absoluto

dxx

xd2

1)4 xy Raíz

dxxx

d2

11)5

xy

1 Inversa de “x”

Ejemplos:

02)1 d

0)2 panchod observe que todo lo que no sea “x” es constante.

dxxdxd 222)3 es de observarse que estamos aplicando la propiedad de la constante.

dxsitoxdsitosixtod )4 aquí hemos aprendido que todo lo que no sea “x” es constante.

dxx

xdx

x

xxdxdxd

55555)6

dxx

dxx

xdx

d6

1.

2

1

3

1

3

1

3)7

dxx

dxx

dxx

dxx

xdxd2

1

2

1

2

2.

2

1222)8

dxx

dxx

xdx

xd

x

xd

1

2

1222

2)9

dxx

dxxx

dx

d22 3

2.

1

3

21

3

2

3

2)10

544151454545)5 dxddxdxd



5

Diferenciación de funciones elementales exponenciales:

Funciones elementales exponenciales:


dxeed xx )1 ....71828.2e xey Exponencial de base e

dxaaad xx ln)2 10 a 10 aay x

Exponencial de base a

Ejemplos:

dxe

dxeede

dx

xxx

22

1

2

1

2)1

dxdxddd xxxx 2ln202ln23232)2

Diferenciación de funciones elementales logarítmicas:

Funciones elementales logarítmicas:


01

ln)1 xdxx

xd

xy ln Logaritmo de base e(logaritmo natural)

dxax

xd a ln

1log)2 xy alog Logaritmo de base a

Ejemplos:

dxx

dxx

xdx

d5

21

5

2ln

5

2

5

ln2)1

dxx

dxxdx

dxd

10ln

4log4log4)2 1010

Diferenciación de funciones elementales trigonométricas:

Funciones elementales trigonométricas:


dxxxsend cos)1 xseny Seno

dxxsenxd cos)2 xy cos Coseno

dxxxd 2sectan)3 xy tan Tangente

dxxxd 2csccot)4 xy cot Cotangente

dxxxxd tansecsec)5 xy sec Secante

dxxxxd csccotcsc)6 xy csc Cosecante



6

Ejemplos:

dxsenxdxsenxx

d2

1)(

2

1

2

cos)1

dxx

dxxxdx

d3

sec2sec

3

2tan

3

2

3

tan2)2

22

dxxxxdx

dx

d tansec2sec2cos

12

cos

2)3

Diferenciación de funciones elementales trigonométricas inversas:

Funciones elementales trigonométricas inversas:


dxx

xsenarcd21

1)1

xsenarcy Seno inverso

dxx

xarcd21

1cos)2

xarcy cos Coseno inverso

dxx

xarcd21

1tan)3

xarcy tan Tangente inversa

dxx

xarcd21

1cot)4

xarcy cot Cotangente inversa

dxxx

xarcd1

1sec)5

2 xarcy sec Secante inversa

dxxx

xarcd1

1csc)6

2 xarcy csc Cosecante inversa

Ejemplos:

dxx

dxx

arcsenxdarcsenxd22 1

3

1

1333)1

dxx

dxx

xarcdxarc

d22 13

2

1

1

3

2cot

3

2

3

cot2)2

dxxx

dxxx

dxxx

dxxx

xarcdxarc

d22

1

12

1

12

1

1

1

2

1sec

2

1

2

sec)3

2222



7

Diferenciación de funciones elementales hiperbólicas:

Funciones elementales hiperbólicas:


dxxxsenhd cosh)1 xsenhy Seno hiperbólico

dxxsenhxd cosh)2 xy cosh Coseno hiperbólico

dxxhxd 2sectanh)3 xy tanh Tangente hiperbólica

dxxhxd 2csccoth)4 xy coth Cotangente hiperbólica

dxxhxxhd sectanhsec)5 xhy sec Secante hiperbólica

dxxhxxhd csccothcsc)6 xhy csc Cosecante hiperbólica

Ejemplo:

52152)(5cosh25cosh2)1 dxxsenhdxxsenhxdxdxxd

dxxhdxxhxdx

d 22 sec4

3sec

4

3tanh

4

3

4

tanh3)2

Diferenciación de funciones elementales hiperbólicas inversas:

Funciones hiperbólicas inversas:


dxx

xarcsenhd1

1)1

2

xsenharcy Seno hiperbólico inverso

11

1arccos)2

2

xdx

xxhd

xarcy cosh Coseno hiperbólico inverso

11

1arctan)3 2

xdx

xxhd

xarcy tanh Tangente hiperbólico inverso

11

1coth)4 2

xdx

xxarcd

xarcy coth Cotangente hiperbólico inverso

101

1sec)5

2

xdx

xxxharcd

xharcy sec Secante hiperbólico inverso

01

1csc)6

2

xdx

xxxharcd

xharcy csc Cosecante hiperbólico inverso

Ejemplos:

dxx

dxx

xarcd22 1

2

1

12tanh2)1

dxxx

dxxx

xharcdxharc

d22 13

2

1

1

3

2csc

3

2

3

csc2)2



8

Ejercicios:

Tipo I. Obtener la diferencial por fórmula de las siguientes funciones elementales algebraicas.

?)2()1 xd ?2

)4

x

d ?5)7 xd ?3

)10

xd

?4

)2

xd ?)2()5 xd ?

2)8

x

xd ?

3

2)11

xd

?3

2)3

x

d ?4

2)6

xd

x

xd

3

2)9 ?

23)12 2

xxd

Tipo II. Obtener la diferencial por fórmula de las siguientes funciones elementales exponenciales.

?3

)1

xed

?

4

55)2

x

d ?432)3 xed

Tipo III. Obtener la diferencial por fórmula de las siguientes funciones elementales logarítmicas.

?9

ln2)1

x

d ?log5)2 10 xd ?5

ln)3

x

d

Tipo IV. Obtener la diferencial por fórmula de las siguientes funciones elementales trigonométricas.

?cos3)1 xd ?4

cot3)2

x

d ?csc32

)3

xd

Tipo V. Obtener la diferencial por fórmula de las siguientes funciones elementales trigonométricas inversas.

?3 xsenarcd ?8

tan3

xarc

d ?csc32

xarcd

Tipo VI. Obtener la diferencial por fórmula de las siguientes funciones elementales hiperbólicas.

?cosh2)1 xd ?4

tanh5)2

x

d ?csc2

3)3

xhd

Tipo VII. Obtener la diferencial por fórmula de las siguientes funciones elementales hiperbólicas inversas.

?3

2)1

xarcsenh

d ?10

arccos)2

xh

d ?sec5)5 xharcd



9

Clase: 1.3 Diferenciación de funciones algebraicas que contienen xn. Guía:- Diferenciación de funciones algebraicas que contienen xn.- Ejemplos. - Ejercicios.

Diferenciación de funciones algebraicas que contienen xn.


dxnxxd nn 1)1 nxy Potencia de x

Ejemplos:

dxxdxx

n

n

dxnxxd

xd

nn

22

1

3 33

21

3)()1

dxxdxxxd

xu

k

udkkud

xd 334

4

4 8)4(222

)(

2)2

dxx

dxxxdxdxxdx

xd

x

xd

3 4

3

4

3

1

3

41

3

41

3 43 4 3

7

3

177777

7)3

dxdxdxd

v

xu

vdudvud

xd

0)1()(

1

)()(

1)4

dxxdxxdxxdxd

xv

xu

vdudvud

xxd )16(6)(33

)()(

3)5 222

dxxx

dxxdxxxdxdx

xd

xd

x

xd

532332

2222

943)2(232

3232)6 2

523

dxdxxddx

ddx

dx

d2

31

2

30

2

1

2

31

2

1

2

3

2

1

2

3

2

1

2

31)7



10

dxxx

dxxx

dxxxxxdxx

xd

x

xd

x

xd

33

2

3

2

1

2

1

2

1

26

1

26

1

2

1

2

1

23

1

2

1

2

1

23

1

23

11

23

11

23

1

23

1)8

dxx

dxxdxxxdx

x

xd

x

xd

3

2

3

2

3

2

1 1

2

1212

22)9

dxx

b

x

adx

x

bdx

x

adxxbdxxa

xbdxdax

xbd

xad

x

bxd

x

ad

x

bx

x

ad

x

bxad

22222

1

2

1

1)10

33

2

1

2

3

2

1

2

1

Ejercicios:

Tipo I. Por la fórmula de diferenciación de funciones algebraicas que contienen xn; obtener:

1) ?2 xd 7) ?)2( xd 13) ?3

25

x

d

2) ?8 7 3 xd 8) ?)3( 2 xxd 14) ?3 2

x

xxd

3) ?3

23

x

d9) ?12 xxd

15) ?32

x

xd

4) ?2

x

xd 10) ?)12( 2 xd 16) ?)1( 2 zzd

5) ?5

35

3

x

xd

11) ?11 xxd 17) ?2

1

t

td

6) ?7

3 4

x

xd 12) ?4 xd 18) ?

2

132 2

x

xxd



11

Clase: 1.4 Diferenciación de funciones que contienen u. Guía:

- Diferenciación de funciones que contienen u. - Ejemplos.- Ejercicios.

Diferenciación de funciones que contienen u:

Sí u es cualquier función y n es un número real se cumple los siguientes diferenciales:

Diferenciación de funciones algebraicas que contienen u.


dunuud nn 1)1 nuy Potencia de u

duu

xd2

1)2 uy Raíz de u

duuu

d 2

11)3

uy

1 Inversa de u

Ejemplos:

dxx

dxxdxx

dxxdduxu

nn

dunuud

ucontieneque

fórmulalaPor

dxx

n

n

nxxd

xcontieneque

fórmulalaPor

xdnn

nn

n

4

4)4(

1

4

1

5 5

5)())(5(

)(;

41;5

)(

""

5

41

5

)(

""

)()1

dxxdxxdxduxu

nnduunudxd

nn33

1

231232343;23

31;4;23)2

dxx

dxx

dxduxu

duu

udxd

21

12

212

1

2;212

1

21)3

dxx

xdxx

xdxxduxu

duu

udxd

21

412

542

1

3

2

12;54

2

1

3

542)4

22

323

3



12

Diferenciación de funciones exponenciales que contienen u:


1) )()( udeed uu uey Exponencial de base e

2) )(ln)( udaaad uu uay Exponencial de base a

3) )()(ln)( 1 udvuvduuud vvv vuy Potencia de potencia

Ejemplo:

dxedxeedxxx

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2)1

Diferenciación de funciones logarítmicas que contienen u:


1) )(1

)(ln udu

ud uy alog Logaritmo de base e(logaritmo natural)

2) )(log

)(log udu

eud a

a uy ln Logaritmo de base a

Ejemplo:

dxx

dxx

xdxd21

102

21

15)21(ln521ln5)1

Diferenciación de funciones trigonométricas que contienen u:


duuusend cos)()1 useny Seno

duusenud )(cos)2 uy cos Coseno

duuud 2sec)(tan)3 uy tan Tangente

duuud 2csc)(cot)4 uy cot Cotangente

duuuud tansec)(sec)5 uy sec Secante

duuuud csccot)(csc)6 uy csc Cosecante

Ejemplos:

dxxsendxxsen

dxdu

xu

duusenud

xd 22)2()2(

2

2

)(cos

)2(cos)1

dxxdxxxd )31(sec6)3)(31(sec2))31(tan2()2 22

dxxx

dxxxx

d2

csc2

cot2

1

2

1

2csc

2cot

2csc)3



13

Diferenciación de funciones trigonométricas inversas que contienen u:


duu

usenarcd21

1)()1

usenarcy Arco seno

duu

uarcd21

1)cos()2

uarcy cos Arco coseno

duu

uarcd21

1)tan()3

uarcy tan Arco tangente

duu

uarcd21

1)cot()4

uarcy cot Arco cotangente

)(1

1)sec()5

2ud

uuuarcd

uarcy sec Arco secante

duuu

uarcd1

1)csc()6

2

uarcy csc Arco cosecante

Ejemplos:

dxx

dxx

xd22 161

44

)4(1

14arccos)1

dxxx

dxxxx

xarcd2222

2

161

22

1)(

1sec()2

Diferenciación de funciones hiperbólicas que contienen u:


duuusenhd cosh)1 usenhy Seno hiperbólico

duusenhud cosh)2 uy cosh Coseno hiperbólico

duuhud 2sectanh)3 uy tanh Tangente hiperbólica

duuhud 2csccoth)4 uy coth Cotangente hiperbólica

duuhuuhd sectanhsec)5 uhy sec Secante hiperbólica

duuhuuhd csccothcsc)6 uhy csc Cosecante hiperbólica

Ejemplos:

dxxxdxxxdxxduxu

duusenhudxsenhd )1(cosh2)2()1(cosh

2;1

cosh()1()1 22

2

2

dxxsenhxdxxsenhdxduxu

duusenhudxd 2222

2;2

(cosh)2(cosh)2



14

dxxhdxxh

dxduxu

duuhudxd )21(csc2)2)(21(csc

2;21

csccoth21coth)3 22

2

Diferenciación de funciones hiperbólicas inversas que contienen u:


duu

uarcsenhd1

1)1

2

usenharcy Arco seno hiperbólico

11

1arccos)2

2

udu

uuhd

uarcy cosh Arco coseno hiperbólico

11

1arctan)3

2

udu

uuhd

uarcy tanh Arco tangente hiperbólica

11

1coth)4

2

udu

uuarcd

uarcy coth Arco cotangente hiperbólica

101

1sec)5

2

udu

uuuharcd

uharcy sec Arco secante hiperbólica

01

1csc)6

2

udu

uuuharcd

uharcy csc Arco cosecante hiperbólica

Ejemplos:

dxx

dxxdxduxu

duu

uhdxhd

125

105

)5(

12

5;51

1arccos

5arccos2)122

2

dxxxx

dxxxx

dxxxx

dxxx

dxduxu

duuu

harcdxharcd

222

2

2

)21(

1

44)21(

2

)441(1)21(

2

)2()21(1)21(

1

2;21

1

1sec

)21(sec)2



15

Ejercicios:

TIPO I. Por la fórmula de diferenciación de funciones algebraicas que contienen u; obtener:

?)()1 xd ?21)5 2 xd ?23)7 xd

?)2 xd ?2)4 xd ?3

1)8

2

xd

?1

)3

xd ?323)6

32 xd ?212

3)9

xd

Tipo II. Por las fórmulas de diferenciación de funciones exponenciales que contienen u; obtener:

?)3()1 2 xd ?)3 2 xed?

3

2)5

3

xed

?10)2 3

2

x

d ?2)4 xed

?2)6 3 xxd

Tipo III. Por las fórmulas de diferenciación de funciones logarítmicas que contienen u; obtener:

?)3(log)1 10 xd ?)2(ln)3 xd ?3

2ln)5

x

d

?5

3log2)2 10

x

d ?ln)4 cd ?)21(ln)6 2 xd

Tipo IV. Por las fórmulas de diferenciación de funciones trigonométricas que contienen u; obtener:

?2)1 xsend ?1

tan)3

xd

?)21sec()5 2 xd

?cos)2 xd ?cot)4 2 xd ?2

csc2)6

x

d

Tipo V. Por las fórmulas de diferenciación de funciones trigonométricas inversas que contienen u; obtener:

?3)1 xsenarcd ?2tan)3 xarcd

2

3csc)4

xarcd

Tipo VI. Por las fórmulas de diferenciación de funciones hiperbólicas que contienen u; obtener:

?2)1 xsenhd ?3tanh)3 xd ?2

1sec)5

xhd

?)12cosh()2 xd ?3coth)4 2 xed ?2(lncsc)6 xhd

Tipo VII. Por las fórmulas de diferenciación de funciones hiperbólicas inversas que contienen u; obtener:

?2arccos)1 xhd ?3arctan)2 xhd ?)1(csc)3 xharcd



16

Clase: 1.5 La antiderivada e integración de funciones elementales. Guía:- Familia de funciones. - Integración de funciones elementales:- Antiderivada de una función. - Ejemplos.- Integración indefinida. - Ejercicios.- Propiedades de la integral indefinida.

Familia de funciones: Es un conjunto de funciones que difieren en una constante.

Ejemplo: Las siguientes funciones representan una familia de funciones puesto que difieren en una constante.

y = x2

y = x2 + 2y = x2 – 5

Observe: que al trazar la recta “L” (perpendicular al eje de las Xs ) esta toca a las curvas en los puntos de las curvas donde la pendiente de otras rectas “T” es la misma en todos los puntos que se tocan.

Antiderivada de una función:

De la siguiente familia de funciones observe lo siguiente:a) A cada función de la familia se llama función primitiva.b) De cada función primitiva se obtiene su derivada (todas las derivadas son iguales).c) De cada derivada se obtiene su antiderivada; de donde antiderivada y función primitiva es lo mismo.d) De cada antiderivada se obtiene su diferencial (todos los diferenciales son iguales).e) De cada diferencial se infiere su integral que es la función primitiva, sólo que en lugar del número aparece una “c” (constante).

Función primitiva

Derivada Antiderivada Diferencial Integral

2xy xdx

dy2 cxy 2 dxxdy 2 cxdxxdy 22

22 xy xdx


52 xy xdx


Conclusión:

Sí cxfy )( )(xfdx

dy cxfy )( dxxfdy )(' cxfdxxfdy )()('

De donde: La integración indefinida es el proceso de encontrar la familia de antiderivadas de una función. A partir de aquí y a menos que otra cosa se indique, cuando tratemos las integrales nos estaremos refiriendo a la integración indefinida de funciones.

Para efectos prácticos, haremos los siguientes cambios: La integral cxfdxxf )()( la concebiremos de

la siguiente forma: cxFdxxf )()( donde )(xf es la función a integrar y cxF )( es su resultado.

Recta “L”

T

y = x2

y = x2 + 2

y = x2 – 5

T

T



17

Notación: cxFdxxf )()(Donde: Es el signo de integración.

dxxf )( Es el integrando.

x Es la variable de integración.

cxF )( Es la familia de antiderivadas.

c Es la constante de integración.Propiedades de la integral indefinida:

Sí gyf son funciones de una misma variable, continuas e integrables y k es una constante, se cumplen las

siguientes propiedades:

dxxfkdxxfk )()()1Del producto constante y función.

dxxgdxxfdxxgxf )()()()()2De la suma y/o diferencia de funciones.

Integración de funciones elementales.

Integración de funciones elementales algebraicas:

Fórmulas de integración de funciones elementales algebraicas: Para el propósito de integración se han considerado únicamente las siguientes funciones algebraicas elementales:

cdx0)1 cxdx)2 cx

dxx 2)3

2

cxx

dx ln)4

Ejemplos:

cdxo)1

cxdx 33)2

cx

cx

dxxdxx 2

5

2)5(55)3

22

cxcxx

dx

x

dx

x

dx

x

dxln

2

1ln

2

1

2

1

2)4

cx

cx

dxxdxx

4

3

22

3

2

3

2

3)5

22

cxcxdxx

dxx

ln

3

2ln

3

21

3

2

3

2)6

cxx

cxx

dxdxxdxx

dxx

3

5

33

5

23

2

3

5

3

2

3

5

3

2

3

52)7

22

cxxdxdxxx

xdx

xdx

x

x

xdx

x

x

3ln23

12

323232)8

cxx

dxdxxdxxdxxdxxx 22

2)2()2(44)92

22



18

Integración de funciones elementales exponenciales:

Fórmulas de integración de funciones elementales exponenciales:

cedxe xx)1 ca

adxa

xx

ln)2

Ejemplos:

cedxe xx 22)1

ce

dxe xx

4

3

4

3)2

cdxxx

3ln2

3

2

3)3

Integración de funciones elementales logarítmicas:

Fórmulas de integración de funciones elementales logarítmicas:

cxxdxx 1lnln)1

c

e

xxdxx aa loglog)2

Ejemplos:

cxxdxx 1ln3ln3)1

c

e

xxdx

x10

10 log33

log)2

Integración de funciones elementales trigonométricas:

Fórmulas de integración indefinida de funciones elementales trigonométricas:

cxdxxsen cos)1 cxsendxxctg ln)4

cxsendxxcos)2 cxxdxx tanseclnsec)5

cxoscdxx lntan)3 cxxdxx cotcsclncsc)6

Ejemplos:

csenxxdx 2cos2)1

csenxdxx

ln3

2

3

cot2)2

cxxcxxdxxdxx

tansecln

5

1tansecln

5

1sec

5

1

5

sec)3

cxdxxxsen

ricatrigonométidentidaddxxxsendxxsen 44

1cos)cos(4)cos44()4

22

2222



19

Integración de funciones elementales trigonométricas inversas:

Fórmulas de integración de funciones elementales trigonométricas inversas:

cxsenxxarcdxxsenarc 21)1 cxxarcxdxxarc 1ln2

1cotcot)4 2

cxxarcxdxxarc 21coscos)2 cxxxxarcdxxarc 1lnsecsec)5 2

cxxxarcdxxarc 1ln2

1tantan)3 2

cxxxxarcdxxarc 1lncsccsc)6 2

Ejemplos:

cxxxcxxxdxx 22 12arccos21arccos2arccos2)1

cxxxarcxcxxxarcxdxxarc

1ln5

3sec

5

31lnsec

5

3

5

sec3)2 22

Integración de funciones elementales hiperbólicas:

Fórmulas de integración de funciones elementales hiperbólicas:

cxdxxsenh cosh)1 cxsenhdxx lncoth)4

cxsenhdxxcosh)2

c

xdxxh

2tanharctan2sec)5

cxdxx coshlntanh)3 cx

dxhx 2tanhlncsc)6

Ejemplos:

cxsenhdxx 2cosh2)1

cxdxx

)(coshln3

1

3

tanh)2

cxdxxsenhxsenh

xh

ahiperbólicidentidad

dxhx

dxhx

cosh3

2

3

2

csc

1csc

1

3

2

csc3

2)3

Integración de funciones elementales hiperbólicas inversas:

Fórmulas de integración de funciones elementales hiperbólicas inversas:

cxxarcsenhxarcsenhxdx 1)1 2 cxxxarcdxxarc 1ln2

1cothcoth)4 2

cxhxxhxdx 1arccosarccos)2 2c

x

xhxxarcdxhxarc

1

arctansecsec)52

cxhxxdxhx 1ln2

1arctanarctan)3 2 cxxhxxarcdxchxarc 1lncsccsc)6 2



20

Ejemplos:

cxxarcsenhxarcsenhxdx 1333)1 2

cxxxharcx

cxxxhxarcdxxharcdxhxarc

1ln2

1csc

21lncsc

2

1csc

2

1

2

csc)2 22

Ejercicios:

Tipo I. Por las fórmulas de integración de funciones elementales algebraicas; obtener:

?)1 dx ?2)2 dx ?3

)3 dxx

?10

)5(3)4 dx

x

Tipo II. Por las fórmulas de integración de funciones elementales exponenciales; obtener:

?5)1 dxex

?5

3)2 dx

ex

?3

2)3 dx

x

?3

)4 dxx

Tipo III. Por las fórmulas de integración de funciones elementales logarítmicas; obtener:

?ln5)1 xdx dxx

8

ln)3 ?

10

log3)5 5 dx

x

?5

ln3)2 dx

x ?log2)4 5 xdx ?3

log)6 5 dx

x

Tipo IV. Por las fórmulas de integración de funciones elementales trigonométricas; obtener:

?5)1 xdxsen ?8

tan)3 dx

x ?

10

sec3)5 dx

x

?5

cos3)2 dx

x ?cot2)4 dxx ?3

csc)6 dx

x

Tipo V. Por las fórmulas de integración de funciones elementales trigonométricas inversas; obtener:

?2)1 xdxsenarc dxxarc

10

tan)3 ?

5

sec3)5 dx

xarc

?5

cos3)2 dx

xarc ?cot2)4 dxxarc ?6

csc)6 dx

xarc

Tipo VI. Por las fórmulas de integración indefinida de funciones elementales hiperbólicas; obtener:

?5)1 xdxsenh ?2

tanh)2 dx

x ?

5

sec3)3 dx

hx

Tipo VII. Por las fórmulas de integración de funciones elementales hiperbólicas inversas; obtener:

?5

cosh3)1 dx

xarc ?coth2)2 dxxarc ?3

csc2)3 dx

hxarc



21

Clase: 1.6 Integración de funciones algebraicas que contienen xn. Guía:- Integración de funciones algebraicas que contienen xn.- Ejemplos.- Ejercicios.

Integración de funciones algebraicas que contienen xn.

Fórmula de integración de funciones algebraicas que contienen xn.

0)1(1

)11

ncn

xdxx

nn

Ejemplos:

cx

nn

cn

xdxxxdx

nn

221;11)1

21

1

cx

cx

nnk

cn

xkdxxkxdxxdx

nn

2

3

)2()3(

21;1;3133)2

2)2(1

cx

cx

nn

cn

xdxxdxx

nn

3)3(31;21)3

3)3(1

2

cx

cx

nn

cx

xdxx

dxxdxx

nn

3

2

2

31;

2

11)4

3

23

2

31

2

1

cx

cx

cx

dxxdxx 3

22

3

22222)5

33

23

2

3

cx

cx

cx

nn

cn

xdxx

dxxdxx

nn

2

1

2

2

2

2

21;312

2)6

22

21

33

cxxcxx

dxxdxxdxxx 2323

22

2

2

3

32323)7



22

cxx

cxx

dxxdxxdxxdxx

dxxx

3

2

933

1

3

1

33)8

33

23

2

33

2

12

22

cxx

cxx

dxdxxdxdxx

dxx

dxx

4

5

8

3

4

5

24

3

4

5

4

3

4

5

4

3

4

5

4

3

4

53)9

22

cxx

cxx

dxxdxxdxxx

xdx

x

x

2

3

211)10

3

21

2

1

23

2

3

2

1

2

1

Ejercicios:

Tipo I. Por la fórmula de integración de funciones algebraicas que contienen xn; obtener:

?)1 3dxx ?1

)4 dxx dx

x 23

2)7

?3

)2 dxx

?1

)52

dxx

?2

3)8

5 dx

x

?3

2)3

2

dxx

?2)6 dxx ?23

5)9 dx

x

Tipo II. Por la fórmula de integración de funciones algebraicas que contienen xn; obtener:

?)2()1 2 dxx ?2

2)3 dx

x?

5

3)5

5

3

dx

x

x

?4)2 dxx ?2

)4 dxx

x?

7)6

3 4

dx

x

x

Tipo III. Por la fórmula de integración de funciones algebraicas que contienen xn ; obtener:

?)3()1 dxx ?)21()4 dxx ?1

)7

dx

x

x

?)1()2 2 dxx ?321

)5

dx

x?)8

dx

x

bxa

?)2()3 2 dxxx?

3)6

2

dx

x

xx ?2

32)9

dx

x

x



23

Clase: 1.7 Integración de funciones que contienen u. Guía:- Integración de funciones que contienen u. - Ejemplos.- Fórmulas de integración de funciones que contienen u: - Ejercicios.

Integración de funciones que contienen u.

Para toda “u” que sea cualquier función, se cumplen las siguientes fórmulas de integración:

Integración de funciones algebraicas que contienen u.

Fórmulas de integración de funciones algebraicas que contienen u.

cdu0)1 cudu)20)1(

1)3

1

ncn

uduu

nn cudu

u ln

1)4

Ejemplos:

c

xc

x

dxxdx

x

nn

dxduxu

cn

uduu

dxx

nn

20

52

4

52

5

1

)5(525

1

5

552

41;3

5;521

52)1

44

33

1

3

cxx

dxdx

xdxduxu

cuu

du

x

dx31ln

3

1

31

)3(

3

1

3

3

31

1

3;31

ln31

)2

c

xc

xdxxdxxx

18

31

6

)31(

3

1631

6

12312)3

62625252

cx

c

x

dxxx

dxx

x

253

35

2

1

25

6

35

5

32

53

5

2

7

25

2

7)4

3

2

13

22

13

3

2

cx

cx

dxxx

dxx

du

xu

x

dx

xdx

x

x

6

6

2

5

2

2

5

2

5

2

11

12

1

62

11

2

1

)2(

1

2

13

4

)2(

2

12

11

2

13

4

1

4

2

13

)5



24

c

cx

xdx

xxdx

xxdx

xx

42

2

3

42

4

3)2(4

2

)2(2

314

2

2

3

42

2

3)6

21

2

1

2

2

1

2

2

1

2

cxx

xdxdx

xxx

xdx

x

x2ln63

2

63

2

63

2

63

2

3

2

3)7

cxxx

cxxx

dxx

x

xx

x

xdx

x

xdx

x

x

)2ln(2

113

4

3

)2ln(1162

3

2

12

1163

2

1

2

1163

2

13

2

13

2

1

42

13)8

2

2222

Integración de funciones exponenciales que contienen u.

Fórmulas de integración de funciones exponenciales que contienen u:

cedue uu)1 c

a

adua

uu

ln)2

Ejemplos:

cedxedxe xx

x

33

3

4

3

3

13

4

1

4)1

ccdxdxxx

xx

3ln2

3

3ln

3

2

1)2(3

2

13)2

2222

cedxx

edxx

edxx

e xxxx

3

25

)2(

1

23

)2(51

23

5

23

5)3

Integración de funciones logarítmicas que contienen u.

Fórmulas de integración de funciones logarítmicas que contienen u.

cuuduu 1lnln)1 ce

uuduu aa

loglog)2

Ejemplos:

cx

xcxx

dxx

dxx

dxx

1

5

3ln31

5

2ln

5

2

2

15

5

2

5

2ln

2

53

5

2ln3

5

2ln3)1

ce

xxc

e

xxdxxxdxxx

2

10

22

1022

102

10

5log

2

35log5

10

3105log

10

135log3)2



25

cxx

dxxx

dxxx

dxx

x

13

21ln

3

21

5

3

3

2

3

21ln

2

3

5

21

3

21ln

5

2

5

3

21ln2

)32

22

Integración de funciones trigonométricas que contienen u.

Fórmulas de integración de funciones trigonométricas que contienen u.

cuduusen cos)1 cuduuu sectansec)7

cusenduucos)2 cuduuu csccotcsc)8

cuoscduu lntan)3 cuduu tansec)9 2

cusenduu lncot)4 cuduu cotcsc)10 2

cuuduu tanseclnsec)5 cuuuuduu tansecln2

1tansec

2

1sec)11 3

cuuduu cotcsclncsc)6

Ejemplos:

cxsendxx

dxduxu

cusenduudxx 2

2

1)2(2cos

2

1

2;2

2cos2cos)1

cx

tgdxx

dxdu

xu

cutgkduukdx

xdx

x

4

3

3

8

4

3

4

3sec

3

42

4

3;

4

3

sec

4

3sec2

4

3sec2)2 2

2

22

cxtgdxxdxxu

ux

dx

x

dx5

10

3)5(5sec

5

1

2

35sec

2

3sec

cos

1

5cos2

3

5cos2

3)3 22

22

cx

cx

dxxsenx

dxxsendu

nn

xu

xdxsenxEstrategiac

n

uduu

tipoIntegraldxxsenx n

n

12

3cos

4

3cos

3

1333cos

3

1

33

41;3

3cos

33cos

1

33cos)4

443

313

dx

x

xsendx

xsen

xsendx

xsen

xsen

xsenEstrategia

xsen

dx

2cos

213

21

213

21

21

21

13

21

3)5

22

dxxx

xsendxxdx

x

xsendx

x 2cos

1

2cos

232sec3

2cos

23

2cos

13 2

22

cxxtgdxxxtgdxxdxxxtgdxx 2sec2

32

2

322sec2

2

322sec

2

32sec232sec3 22



26

Integración de funciones trigonométricas inversas que contienen u.

Fórmulas de integración de funciones trigonométricas inversas que contienen u.

cuusenarcuduusenarc 21)1 cuuarcuduuarc 1ln2

1cotcot)4 2

cuuarcuduuarc 21coscos)2 cuuuarcuduuarc 1lnsecsec)5 2

cuuuduu 1ln2

1arctanarctan)3 2 cuuuarcuduuarc 1lncsccsc)6 2

Ejemplos:

cxxx

xcxxx

x

cxxxdxxdxx

6921

2)31arccos(

21

)31(2961(1

21

2)31arccos(

21

)31(2

)31(1)31arccos()31(21

2)3)(31arccos(

3

1

7

2

7

)31arccos(2)1

22

2

cxxxarccxxxarcx

dxxarcdxxarc

142ln5

2)2(csc

5

41)2()2(ln)2(csc)2(

5

2

)2()2csc(2

1

5

4

5

)2csc(4)2

22

Integración de funciones hiperbólicas que contienen u.

Fórmulas de integración de funciones hiperbólicas que contienen u.

cuduusenh cosh)1 cuduuh tanhsec)7 2

csenhuduu cosh)2 cuduuh cothcsc)8 2

cuduu coshlntanh)3 cuhduuuh sectanhsec)9

cusenhduu lncoth)4 cuhduuuh csccothcsc)10

c

uduuh

2tanharctan2sec)5

cu

duuh 2tanhlncsc)6

Ejemplos:

cxsenhdxxdxx 2)2(2cosh

2

122cosh2)1

cxhdxxxhdx

xxh3sec

15

133tanh3sec

3

1

5

1

5

3tanh3sec)2



27

Integración de funciones hiperbólicas inversas que contienen u.

Fórmulas de integración de funciones hiperbólicas inversas que contienen u.

cuuarcsenhuduuarcsenh 1)1 2cuuarcuduuarc 1ln

2

1cothcoth)4 2

cuuhuduhu 1arccosarccos)2 2 cu

uhuuarcduhuarc

1

arctansecsec)52

cuhuuduhu 1ln2

1arctanarctan)3 2 cuuhuarcuduhuarc 1lncsccsc)6 2

Ejemplos:

cxxarcsenhx

cxxarcsenhxdxxarcsenhxdxarcsenh

142

323

1)2(2

3)2()2(

2

322

2

1323)1

2

2

cxxx

harcx

cxxx

harcx

cxxx

harcxdxx

harcdx

xharc

93

1

3ln

2

3

3csc

21

93ln

2

3

3csc

2

133

ln3

csc32

3

33csc3

2

1

23

csc)2

22

2

Ejercicios:

Tipo I. Por las fórmulas de integración de funciones algebraicas que contienen u; obtener:

?)1 dx ?23)8 dxx ?1

)15 x

dx duuu 2)22 43

?)2 xdx?

3

21)9

dx

x ?43)1622 dxxx dx

x

x 23

2

)1()23

?)3 3dxx?

2

13)10

dx

x ?)1()17 432 dxxx dxxcb

ax 222

3)24

?)4x

dxdx

b

bxaa

2)()11

?)1(5)18 72 dxxx dxxbax 222)25

?2)5 dxx ?12

3)12

dxx

?1

4)19

2

dxx

x

?)1()6 3 dxx ?22

3)13

dx

x

x ?15)20 2 dxxx

?)21()7 2 dxx ?32

3)14

dxx

?)31()21 2 dttt



28

Tipo II. Por las fórmulas de integración de funciones exponenciales que contienen u; obtener:

?)1 2 dxe x ?3

2)4

23 dxex x ?3)7 )4( dxx

?3

2)2

5

dxe x

?4)5322 dxex x ?2)8 )21( dxx

?)3 )21( dxe x ?2)6 )21( 2

dxex x ?23)922 dxxx

Tipo III. Por las fórmulas de integración de funciones logarítmicas que contienen u; obtener:

?5ln)1 dxx ?5

ln)3

2

2

dxx

x ?)82(log)5 10 dxx

?)21ln()2 dxx ?4log)4 10 dxx ?log3)6 210

2 dxee xx

Tipo IV. Por las fórmulas de integración de funciones trigonométricas que contienen u; obtener:

?2)1 dxxsen ?)7 2xSen

dx ?cos)13 3 dxxxsen

?3cos2)2 dxx ?)4()8 22 dxxsenx ?3cos3)14 4 dxxxsen

?tan)3 dxbx

?1

1)9

2dx

xsen?

cos)15

dxaxsenb

ax

?3

sec2)4 dx

x?

cos1)10

x

dx?

cos1)16

dxx

xsen

?)(csc)5 2 dxbxa ?cos)11 dxxxsen ?2cos

2)17

dsen

?)1(sec)6 2 dtt ?22cos12 dttsent ?2sec

2)18

5 dx

x

xsen

Tipo V. Por las fórmulas de integración de funciones trigonométricas inversas que contienen u; obtener:

?2)1 dxxsenarc ?)3(tan)3 dxxarc?

5

3sec2)5

2

dxxarcx

?5

arccos)2

231

dxx

x ?)21(cot)4 dxxuarc ?

3

2lncsc)6 dx

x

xarc

Tipo VI. Por las fórmulas de integración de funciones hiperbólicas que contienen u; obtener:

?55)1 xdxsenh ?2

2tanh)2 dx

x ?

5

3sec3)3 dx

xh

Tipo VII. Por las fórmulas de integración de funciones hiperbólicas inversas que contienen u; obtener:

?5

5cosh3)1 dx

xarc?

3coth2)2 dx

xarc ?

2

3csc)3 dx

xharc



29

Fecha:Evaluación tipo: Unidad 1. EXAMEN DE CÁLCULO INTEGRAL

Hora:

Oportunidad: 123 No. de lista:

Apellido paterno Apellido materno Nombre(s) Unidad: 1. Tema: La integral indefinida

Calificaciones: Elab: Clave: Evaluación TipoExamen Participaciones Tareas Examen

sorpresaOtras Calificación final

1) En la celda “RC” (Respuesta correcta) escriba con tinta la clave correspondiente a la solución correcta del problema. 2) En el reverso de la hoja resuelva únicamente los problemas que contienen en la celda “RC” las siglas (SRD). 3) En caso de que asigne la clave correcta en celdas con siglas (SRD) sin haber resuelto el problema adecuadamente, se restaran por cada celda 20 puntos del total de la calificación. 4) Para tener derecho a puntos extras, deberá obtener como mínimo el 40% del examen aprobado. 5) Iniciada la evaluación no se permite el uso de celulares, internet, ni intercambiar información ó material. 6) Cualquier operación, actitud ó intento de fraude será sancionada con la no aprobación del examen.

dxx22

1 dx

x22

1Ninguna dx

x24

1

2

2)1

xd

Clave: 10SWA Clave: 10YRJ Clave: 10NMX Clave: 10MCV

RC

Ninguna dxx22

5dx

x

2

1

2

52

dxx22

5

x

xd

2

5)2

Clave: 1BNGH Clave: 1YURT Clave: 1NHYK Clave: 1LPIO

RC

dxex

2

dxex

2

dxex

22

Ninguna

22)3x

ed

Clave: 2MHNS Clave: 2RTFH Clave: 2PLUY Clave: 2BNDP

RC

dxx291

1

Ninguna dx

x231

3

dx

x291

3

xsenarcd 3)4

Clave: 3NMHO Clave: 3BNML Clave: 3CVBR Clave: 3RTQE

RC

cx

32

52 5 c

x

160

52 5

Ninguna

cx

2

52 2

dxx

4

2

52)5

Clave: 4ASDI Clave: 4TRES Clave: 4LKUP Clave: 4KHMU

RC

Ninguna cx

3

344

1c

x

3

342

3 cx

3

343

8dx

x

3

4)6

Clave: 5ASDQ Clave: 5OPUH Clave: 5TREH Clave: 5LKMA

RC (SRD)

cx

10

232

cx

5

8 6

cx

5

232

Ningunadx

xx

5

23)7

2

Clave: 6NHGN Clave: 6NMGP Clave: 6PLOH Clave: 6RTEY

RC

c

xx

2

1ln3 32

Ninguna

cxx

4

1ln 32

cxx

2

1ln 32

dxx

x

223

2ln

)8

Clave: 7MNBH Clave: 7HYRA Clave: 7POUL Clave: 7TRET

RC

Ninguna cxsen 216

1 4 cx 2cos16

1 4 cx 2cos8

1 4 dxxsenx

2

22cos)9

3

Clave: 8UHKP Clave: 8RGMH Clave: 8BEQO Clave: 8LMNV

RC

cx

xarcsenx

121

21

cx

xarcsenx

1 cx

xarcsenx

1 Ninguna

dxx

xarcsen

2)10

Clave: 9TUTR Clave: 9PLOS Clave: 9WQPE Clave: 9PLTH

RC (SRD)



30

Formulario de diferenciales de funciones que contienen xn y u: Unidad 1.

Propiedades: )()()1 xfdkxfkd )()()()()2 xgdxfdxgxfd

Fórmula de diferenciación de funciones que contienen xn dxnxxd nn 1)1

Fórmulas de diferenciación de funciones que contienen u:

Algebraicas:

dunuud nn 1)1 duud )()2 duu

uud )3 du

uud

2

1)4 du

uud

2

11)5

Exponenciales: Logarítmicas:

dueed uu )1 ....71828.2e duu

ud1

ln)1 10 a

duaaad uu ln)2 duau

ud a ln

1log)2

duvudvuuud vvv 1ln)3

Trigonométricas: Trigonométricas inversas:

duuusend cos)1 duu

senuarcd21

1)1

duusenud cos)2 duu

uarcd21

1cos)2

uduud 2sectan)3 duu

uarcd21

1tan)3

duuud 2csccot)4 duu

uarcd21

1cot)4

duuuud sectansec)5 duuu

uarcd1

1sec)5

2

duuuud csccotcsc)6 duuu

uarcd1

1csc)6

2

Hiperbólicas: Hiperbólicas inversas:

duuusenhd cosh)1 duu

uarcsenhd1

1)1

2

duusenhud cosh)2 11

1arccos)2

2

udu

uuhd

duuhud 2sectanh)3 11

1arctan)3

2

udu

uuhd

duuhud 2csccoth)4 11

1coth)4 2

udu

uuarcd

duuhuuhd sectanhsec)5 101

1sec)5

2

udu

uuuharcd

duuhuuhd csccothcsc)6 01

1csc)6

2

udu

uuuharcd



31

Formulario de integración indefinida de funciones que contienen xn y u: Unidad 1.

Propiedades: dxxfkdxxfk )()()1 dxxgdxxfdxxgxf )()()()()2

Fórmula de integración de funciones algebraicas que contienen xn:

cn

xdxx

nn

1)1

1

Fórmulas de integración de funciones que contienen u:

Algebraicas: cdu0)1 cudu)2

cnu

duun

n

1)3

1

cuu

du ln)4

Exponenciales: cedue uu)1 ca

adua

uu

ln)2

Logarítmicas: cuuduu 1lnln)1

c

e

uuduu aa loglog)2

Trigonométricas:

cuduusen cos)1

cusenduucos)2

cuoscduutg ln)3

cusenduuctg ln)4

cuuduu tanseclnsec)5

cuctguduu csclncsc)6

cuduuu secsectan)7

cuduuu csccsccot)8

cuduu tansec)9 2

cuduu cotcsc)10 2

cuu

uuduu

tansecln2

1

tansec2

1sec)11 3

Trigonométricas inversas:

cusenuuarcduusenarc 21)1

cuuarcuduuarc 21coscos)2

cuuuduu 1ln2

1arctanarctan)3 2

cuuarcuduuarc 1ln2

1cotcot)4 2

cuuuarcuduuarc 1lnsecsec)5 2

cuuuarcuduuarc 1lncsccsc)6 2

Hiperbólicas: Hiperbólicas inversas:

cudxusenh cosh)1

cusenhdxucosh)2

cuduu coshlntanh)3

cusenhduu lncoth)4

c

uduuh

2tanharctan2sec)5

cu

duuh 2tanhlncsc)6

cuduuh tanhsec)7 2

cuduuh cothcsc)8 2

cuhduuuh sectanhsec)9

cuhduuuh csccothcsc)10

cuuarcsenhuduuarcsenh 1)1 2

cuuhuduhu 1arccosarccos)2 2

cuhuuduhu 1ln2

1arctanarctan)3 2

cuuarcuduuarc 1ln2

1cothcoth)4 2

cu

uhuuarcduhuarc

1

arctansecsec)52

cuuhuarcuduhuarc 1lncsccsc)6 2



32

El valor mas escaso de la naturaleza humana es la lealtad, ¡ Es ahí donde se encuentra lo interesante de las matemáticas !.


UNIDAD 2. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN.

Clases:

2.1 Técnica de integración por uso de tablas de fórmulas que contienen las formas u2 ± a2.

2.2 Técnica de integración por cambio de variable. 2.3 Técnica de integración por partes.2.4 Técnica de integración del seno y coseno de m y n potencia.2.5 Técnica de integración de la tangente y secante de m y n potencia.2.6 Técnica de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia.2.7 Técnica de integración por sustitución trigonométrica.2.8 Técnica de integración de fracciones parciales.2.9 Técnica de integración por series de potencia.2.10 Técnica de integración por series de Maclaurin y de Taylor.

- Evaluaciones tipo.- Formulario de técnicas de integración.



33

Clase: 2.1 Técnica de integración por uso de tablas de fórmulas que contienen las formas u2 ± a2. Guía:- Técnica de integración por uso de tablas de fórmulas que contienen las formas u2 ± a2.

- Tabla: Fórmulas de integración que contienen las formas 22 au a 0.- Ejemplos.- Ejercicios.

Técnica de integración por uso de tablas de fórmulas que contienen las formas u2 ± a2:

Introducción.

Con el propósito de hacer más ágil la integración, existen tablas que contienen cientos y quizá miles de fórmulas. A continuación en la tabla respectiva hemos seleccionado sólo diez de ellas y forman parte de una muestra representativa que contienen en su estructura la característica común 22 au y la finalidad es el aprendizaje en la identificación y aplicación de estas fórmulas a problemas concretos útil para el ejercicio de la aplicación de la técnica y que servirá como base para la integración de problemas similares.

Tabla: Fórmulas de integración que contienen las formas: 22 au a 0

ca

u

aau

duarctan

1)1

22

c

a

uarcsen

ua

du22

)6

cau

au

aau

duln

2

1)2

22

c

u

aua

aauu

du 22

22ln

1)7

cau

au

aua

duln

2

1)3

22 cauu

aau

uduau 22

22222 ln

22)8

cauuau

du 22

22ln)4 cauu

aau

uduau 22

22222 ln

22)9

cauuau

du 22

22ln)5 c

a

uarcsen

aua

uduua

22)10

22222

Método:

1) Identifique el problema que se plantea con alguna de las fórmulas de la tabla.

2) Identifique 2u y obtenga u y .du

3) Identifique 2a y obtenga .a

4) Sustituya el valor de du ( y u de ser necesario ) en una nueva integral y haga el ajuste correspondiente.5) Integre aplicando la fórmula seleccionada.



34

Ejemplos:

cx

cx

x

dx

aa

dxduxuxu

ca

uarc

aau

du

x

dx

x

dx

3

2arctan

6

53

2arctan

3

1

2

5

94

)2(

2

15

39

2;24

tan1

945

94

5)1

2

2

22

22

22

cx

x

cx

x

x

dx

dxduxuxu

aa

cau

au

aua

du

x

dx

12

12ln

22

1

12

12ln

)1(2

1

2

1

21

2

2

1

2;2;2

11

ln2

1

21)2

2

22

2

22

2

cxx

x

dx

aa

dxduxuxu

cauuau

du

x

dx

x

dx

5ln2

352

3

5;5

;;

ln

52

3

52

3)3

2

2

2

22

22

22

22

cx

x

cx

x

dxxx

aa

dxduxuxu

cu

aua

adu

auu

xx

dx

2

422ln

8

1

2

422ln

2

1

4

1

242)2(

1

)2(

)2(

4

1

2;4

2;2;2

ln11

424)4

2

2

2

2

22

22

22

2

cx

arcsenxx

cx

arcsenxx

dxx

dxdu

xuu

aa

duuatipoIntegral

dxx

x

5

3

43

58

5

316

2

42

16

5

316

23

5

5

3

5

316

3

5

;

4;16

:

5

316)5

2

532

53

2

53

53

532

2

22

2

2



35

2;4;

1;)1(

1:

413

41

412

?152

52

3)6

2

22

22

22

2

22

2

aadxdu

xuxu

duau

tipoIntegral

x

dx

x

xx

xxx

dxxx

dx

cxxxcxx 121ln34)1()1(ln3 22

7;7;

2;)2(

1:

7)2(5

72

7442

?22

42182

182

5)7

2

22

22

2

2

2

2

2122

2

aadxdu

xuxu

duau

tipoIntegral

x

dx

x

xx

x

xxxx

dxxx

dx

cx

xc

x

x

72

72ln

72

5

)7()2(

)7()2(ln

72

15

Ejercicios:

Tipo I. Integrar por tabla de fórmulas de integración que contienen las formas 22 ua , las siguientes

funciones:

34

3)1

2x

dx 83

2)4

2x

dx 44

3)7

2xx

dx

34)2

2x

dx 162

2)5

2x

dx dxxx 52)8 2

294)3

x

dx 2916

)6x

dx dxx 42)9 2



36

Clase: 2.2 Técnica de integración por cambio de variable. Guía:

- Técnica de integración por cambio de variable.- Método de integración por cambio de variable.- Ejemplos.- Ejercicios.

Técnica de integración por cambio de variable:

Sí tenemos dxxf )( y asignamos a u una parte de )(xf duufdxxf )()(

De otra forma: Sí cxgFdxxgxgf ))(())(')(( y sí )(xgu y dxxgdu )('

cuFduufdxxgxgf )()())(')((

Método de integración por cambio de variable:

1) Obtener: .;; dxyxu a) A una parte de la función darle el valor de u . b) A partir de u obtener .x c) A partir de x obtener .dx

2) Hacer cambio de variable. Nota: todo el resultado debe de estar en términos de .u

3) Integrar.

4) Sustituir u por su valor original. Nota: Todo el resultado debe de estar en términos de .x

Ejemplos:

cxcu

duuu

duuu

u

dudx

ux

ux

cxxdxx

iablede

cambioPor

ucontienen

quefuncionesde

fórmulalaPor

dxxx

525

442

5242

42

110

3

10

32

3

1213

12

1

1

110

321

2

13

var

"")1(3)1



37

cxxcuu

duuduuduu

udu

u

u

dudx

ux

ux

dxx

x

1416

3)14(

16

1

16

3)(

16

132

3

32

31

32

3

44

1

2

3

4

4

114

142

3)2

33

2

1

c

xxc

uuduuu

duuudu

uu

dudx

ux

dxduxudxxx

28

215

24

215

)7(4

5

)6(4

5

4

5

1(4

5

22

15

2;

2

1

2;21215)3

767665

555

cxx

cuu

cuu

duuu

duuudu

uu

dudx

ux

dxduxudxxx

6

)12(

10

)12(

6104

1

4

1

4

1

1(4

1

22

1

2;

2

1

2;1212)4

3535

23

2

3

25

2

5

2

1

2

3

Ejercicios:

Tipo I. Por la técnica de integración por cambio de variable; integrar las siguientes funciones:

dxxx 3)1()1 42 dxxx 153)3 dxxx 7522)5

dxxx 1)2 2

dx

x

x

12)4 dx

x

x 435

2)6



38

Clase: 2.3 Técnica de integración por partes. Guía:- Técnica de integración indefinida por partes.- Requisitos para poder integrar por partes.- Recomendaciones.- Aplicaciones.- Método de integración por partes.- Ejemplos.- Ejercicios.

Técnica de integración por partes:

Sean:- vu, funciones de la misma variable independiente.

Sí vduudvuvd )( es el diferencial del producto uv .

vduuvdudv )(

Sí vduuvdudv )( vduuvudv Llamada fórmula de integración por partes.

Y por paráfrasis matemática: dvuuvduv

Requisitos para poder integrar por partes:

1) Siempre dx debe ser una parte de dv .

2) Siempre debe ser posible integrar dv .

Recomendaciones:

1) Si no hay producto dvu entonces formarlo haciendo .dxdv .

2) Elegir como dv a la función que tenga apariencia más complicada.

Aplicaciones:

Se aplica en algunas integrales que contienen productos de funciones, como:

1) Algebraicas y algebraicas.2) Algebraicas y trigonométricas.3) Algebraicas y logarítmicas. 4) Algebraicas y exponenciales.5) Trigonométricas inversas.

Método de integración por partes:

1) Seleccione u y dv .

2) A partir de ""u obtener du .

3) A partir de dv obtener dvv .

4) Sustituir duyvu ,, en la fórmula de integración por partes.

5) Nuevamente integre; el proceso puede ser reiterativo.



39

Ejemplos:

cxcxx

dxxxx

xdxxdvv

dxdudxxdvxu

vduuvudv

cxdxx

partespor

egraciónPor

xcontieneque

fórmulalaPor

dxxx

n

555

33

3

523

5

2

15

4

3

2

3

2

3

2)(

3

2

;;

5

2

int)1

cxxsenxcxxsenxdxsenxxsenx

dxxsenxsenx

dxdu

cxsendxxdvv

dxxdvxu

vduuvudv

dxxx

cos22cos2222

22

2

cos

cos;2cos2)2

cx

xxdxxxxdxx

xxxcxxdxv

dxduxu

dxxx

funcionesdeordenencambiosugierese

cxxdxxdvv

dxduxu

vduuvudv

dxxx

x

23ln3ln

1))(3(ln

2

;3ln

23ln13ln3ln

2;23ln2)3

22222

2

1

cexedxeex

dxdu

cedxedvv

dxedvxu

vduuvudv

dxxe xxxx

xx

x

x

2222

22

2

2

4

1

2

1

2

1

2

1

2

1;

)4



40

5) Por la técnica de integración por partes, integrar: dxxarcsen 2

cxxarcsenxcx

xarcsenx

dxxxxarcsenxdxx

xxxarcsen

cxdxdvv

dxx

duxarcsenu

duvuvdvu

funciónuna

comodxatome

estrategia

dxxarcsen

2

21

2

12

2

1

2

2

412

12

)41(

4

12

8418

122

41

22

41

2;2

:

2

cxsenexexsenexexdxsene

xsenexexdxseneSí

xsenexexdxsene

xsenexexdxsenexdxsene

xdxsenexsenexexseneSí

xdxsenexsenexe

dxexsenxsenecxsenxdxv

dxedueuxdxexe

dxxexe

dxexxe

cxdxxsendvv

dxedueu

vduuvudv

dxxsene

xx

xx

x

xxx

xxx

xxxx

xxxx

xxx

xx

xx

xx

xx

xx

xxx

25

32cos

5

6

24

32cos

2

3

5

423

24

32cos

2

32

4

15

24

32cos

2

32

4

15

24

32cos

2

32

4

323

24

32

4

32cos

2

323

24

32

4

32cos

2

3

2

32

2

12

2

1

2

3

22cos

;2cos

2

32cos

2

3

2cos2

32cos

2

3

32cos2

12cos

2

13

2cos2

3;323)6

21

23

23

21

Ejercicios:

Tipo I. Por la técnica de integración por partes; integrar las siguientes funciones

dxxx cos)1 dxex ax)5 dxxsenarc)9

dxxsenx

53

2)2 dxxe

x32)6 dxxarc 2cos4)10

dxxx 2ln3)3 dxex x322)7 dxxtgarc 2)11

dxxx )1(ln2)4 dxxx 2cos3)8 dxx

tgarc43

2)12



41

Clase: 2.4 Técnica de integración del seno y coseno de m y n potencia. Guía:- Análisis de la “Tabla: Técnica de integración del seno y coseno de m y n potencia”.- Método de integración del seno y coseno de m y n potencia.- Tabla: Técnica de integración del seno y coseno de m y n potencia.- Ejemplos.- Ejercicios.

Análisis de la tabla: Método de integración del seno y coseno de m y n potencia.

Al observar la tabla “Método de integración del seno y coseno de m y n potencia”; que a continuación se presenta obtenemos lo siguiente:

Resultado del análisis:

1) Existen 3 tipos de integrales.2) Cada forma de integral presenta casos que se caracterizan por las potencias de las funciones.3) Para cada forma y caso se dan las recomendaciones de sustituir, aplicar y/ó desarrollar.

T I P O R E C O M E N D A C I O N

FORMA CASOSPara: nym Z+ SUSTITUIR, APLICAR Y/Ó DESARROLLAR

I. duusenm

II. duuncos

III. duuusen nm cos

Método de integración del seno y coseno de m y n potencia:

1) Identifique la integral del problema planteado con la forma y caso de la integral de la tabla.2) Sustituya, aplique y/ó desarrolle las recomendaciones.

Notas:

a) Es posible, que en un mismo problema después de aplicar las recomendaciones de la forma identificada, el resultado nos lleve a otra integral, donde de nuevo tengamos que repetir el método.

b) Cuando se agotan las recomendaciones dadas, y el resultado es una nueva integral, se supone que ésta integral, ya es del dominio de quien aplica el método.

c) Si dos ó mas casos son aplicables a una integral, entonces use el caso de la función de menor potencia.

d) Cuando en una recomendación resultan sumas y/ó restas, primero se hacen las operaciones de suma y/ó resta y se separan las integrales antes de seguir adelante.

e) En un grupo de integrales se recomienda “no integrar hasta que todas las integrales sean directamente solucionables”.



42

Tabla: Método de integración del seno y coseno de m y n potencia.



1) Sí 1m Aplicar: cuduusen cos

2) Sí 2m Sustituir: uusen 2cos2

1

2

12

Desarrollar: usenusenusena mm 22.1

I. duusenm

3) Sí 2mSustituir: )cos1(.2 22 uusena

1) Sí 1n Aplicar: cusenduucos

2) Sí 2n Sustituir: uu 2cos2

1

2

1cos 2

Desarrollar: uuua nn 22 coscoscos.1

II. duuncos

3) Sí 2nSustituir: )1(cos.2 22 usenua

1) Sí 1/ noym Aplicar:

cn

uduu

nn

1

1

Desarrollar: usenusenusena mm 1.1 2) Sí 1 imparm

y 1n Sustituir: uusena 22 cos1.2

Desarrollar: uuua nn coscoscos.1 13) Sí 1 imparn

y 1m Sustituir: usenua 22 1cos.2

Desarrollar: nomnm uusenuusena coscos.1 4) Sí parnym

y nm Sustituir: usenuusena 22

1cos.2

Desarrollar: usenuusenuusena nmnnm coscos.1

Sustituir: usenuusena 22

1cos.2

5) Sí parnym y nm

Sustituir: uusena 2cos2

1

2

1.3 2

Desarrollar: uuusenuusena mnmnm coscoscos.1

Sustituir: usenuusena 22

1cos.2

III. duuusen nm cos

6) Sí parnym y nm

Sustituir: uua 2cos2

1

2

1cos.3 2



43

Ejemplos:

cxdxxsencusenuduAplicar

casoIformadxxsen

2cos2

122

)2(

1cos:

1;2)1

cxsenx

dxxdxdxx

uu

iónrecomendac

casoIIforma

dxx

1020

3

2

310cos

2

3

2

310cos

2

1

2

13

2coscos

:

2;

5cos3)2

21

212

2

cxsenxsendxxxsendxxcasoIIIforma

xdxxsendxxxsendxx

dxxsenxusenu

iónrecomendacadxxx

uuu

iónrecomendaca

casoIIforma

dxxmm

26

12

2

12cos22cos

1;

2cos22cos22cos

212cos1cos

.22cos2cos

coscoscos

:.1

3;

2cos)3

322

2

2

22

2

22

3

cxx

dxx

senx

dxx

sencasoIIIforma

dxx

senx

dxx

senx

dxx

sen

dxxx

senuusen

iónrecomendacadx

xsen

xsen

usenusenusen

iónrecomendaca

casoIforma

dx

xsen

mm

2cos

15

2

2cos

5

2

22cos

5

1

25

1

1;22

cos

22cos

5

1

25

1

2cos1

25

1

cos1

.2

225

1:.1

3;

52)4

322

2

2

22

2

22

3

cxsenx

xsenx

dxxdxdxxdx

dxxdxxdxdxxsendxxdx

dxxsendxxdxdxxsenxdxx

dxxsenxdxxdxxsenxdxxxdxx

16128

1

84

8

1

216cos

8

1

8

14cos

2

1

2

1

16cos2

1

2

1

4

14cos

2

1

2

18

4

14cos

2

1

2

1

82

14cos

2

1

2

122cos4cos

2

1

2

1

22cos2cos212cos2cos2cos2cos)5

2

22

22222224

cxsenxsenx

dxxxsendxxdx

dxxxsendxxdxxxsendxxsen

dxxxsendxxsenxsendxxsenxsenxdxxxsen

248

14

64

1

162cos2

8

14cos

16

1

16

1

2cos28

14cos

2

1

2

1

8

12cos2

8

12

8

1

2cos2

1

2

12

4

12

2

1coscos)6

32

222

222

2224

Ejercicios:

Tipo I. Por la técnica de integración del seno y coseno de m y n potencia, integrar las siguientes funciones:

?2)1 dxxsen ?cos)5 5 dxxxsen ?cos)9 24 dxxxsen

?23)2 2 dxxsen ?cos2

1)6 43 dxxxsen ?cos3)10 42 dxxxsen

?2cos3)3 dxx ?cos)7 52 dxxxsen ?)11 3 dxxsen

?3

cos2

1)4 2 dx

x ?2cos2)8 22 dxxxsen ?2cos3)12 4 dxx



44

Clase: 2.5 Técnica de integración de la tangente y secante de m y n potencia.Guía:- Análisis de la “Tabla: Técnica de integración de la tangente y secante de m y n potencia”.- Método de integración de la tangente y secante de m y n potencia.- Tabla: Técnica de integración de la tangente y secante de m y n potencia.- Ejemplos.- Ejercicios.

Análisis de la tabla: Técnica de integración de la tangente y secante de m y n potencia.

Al observar la tabla “Técnica de integración de la tangente y secante de m y n potencia”; que a continuación se presenta obtenemos lo siguiente:





I. duutg m

II. duunsec

III. duuutg nm sec

Método de integración de la tangente y secante de m y n potencia:


Notas:








45

Tabla: Técnica de integración de la tangente y secante de m y n potencia.

T I P O R E C O M E N D A C I Ó N

FORMA CASOSPara: nym Z+

SUSTITUIR, APLICAR Y/Ó DESARROLLAR

1) Sí 1m Aplicar: cuduu seclntan

ó cuduu coslntan

2) Sí 2m Sustituir: 1sectan 22 uuDesarrollar: uuua mm 22 tantantan.1 Sustituir: 1sectan.2 22 uua

I. duumtan

3) Sí 2m

Aplicar:

cn

uduua

nn

1.3

1

1) Sí 1n Aplicar: cuuduu sectanlnsec

2) Sí 2n Aplicar: cuduu tansec2

3) Sí 3n Aplicar: cuuuuduu sectanln2

1sectan

2

1sec 3

Desarrollar: uuua nn 22 secsecsec.1 4) Sí 2 parn

Sustituir: 2

222 )1(tansec.2

nn uua

II. duunsec

5) Sí 3 imparn Aplicar: Técnica de integración por partes.

1) Sí 11 nym Aplicar: cuduuu secsectan

2) Sí 2nAplicar:

cn

uduu

nn

1

1

Desarrollar: uuua nn 22 secsecsec.1 3) Sí 2 parn

Sustituir: 2

222 )1(tansec.2

nn uua

Desarrollar: uuuuuua nmnm sectansectansectan.1 11 Sustituir: 1sectan.2 22 uua

4)Sí 1 imparm

Aplicar:

cn

uduua

nn

1.3

1

III. duuu nm sectan

5) Sí1

2

imparn

ymAplicar: Técnica de integración por partes



46

Ejemplos:

cxdxx

cuduuó

cuuduAplicar

casoIforma

dxx

2secln2

122tan

)2(

1

coslntan

seclntan:

1;

2tan)1

cxx

dxdxx

dxx

uu

iónrecomendac

casoIforma

dxx

23

tan623

sec213

sec2

1sectan

:

2;

3tan2)2 22

22

2

cxxxxg

cxxxx

cuuuuu

aplicariónrecomendaca

casoIIforma

dxx

2sec2tanln16

52sec2tan

16

5

2sec2tanln2

12sec2tan

2

1

8

5

sectanln2

1sectan

2

1sec

:;.1

3;

24

sec5)3

3

3

cxdxxxc

n

uduu

iónrecomendaca

dxxx nn

2tan

10

32sec2tan3

1

.1

2sec2tan3)4 524124

cxxx

dxxxxdxxxxdxxxx

cn

uduu

iónrecomendaca

dxxxxdxxxxdxxxx

dxxxxxx

dxxxxx

uuuu

iónrecomendaca

dxxxxxuuuuu

iónrecomendacadxxx

nn

nmnm

3

sec2

5

sec4

7

sec2

sectansec2sectansec4sectansec2

1

.3

sectansec2sectansec4sectansec2

sectansec1sec2sec2

sectansec1sec2

1sectan1sectan

.2

sectansectan2sectansectansectan

.1sectan2)5

357

246

1246

224

222

22422

24

11

35

Ejercicios:

Tipo I. Por la técnica de integración de la tangente y secante de """" nym potencia, integrar las

siguientes funciones:

?2)1 dxxtg ?2sec)5 2 dxx ?2sec2)9 45 dxxxtg

?23)2 2 dxxtg ?2sec)6 3 dxx ?2sec2)10 43 dxxxtg

?23)3 3 dxxtg ?2sec3)7 4 dxx

?2sec4)4 dxx ?2sec24)8 dxxxtg



47

Clase: 2.6 Técnica de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia.Guía:- Análisis de la “Tabla: Técnica de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia”.- Método de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia.- Tabla: Técnica de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia.- Ejemplos.- Ejercicios.

Análisis de la tabla: Técnica de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia.

Al observar la tabla “Técnica de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia”; que a continuación se presenta obtenemos lo siguiente:





I. duuctg m

II. duuncsc

III. uduuctg nm csc

Método de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia:


Notas:








48

Tabla: Método de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia:

T I P O R E C O M E N D A C I Ó N

FORMA CASOSPara: nym Z+

SUSTITUIR, APLICAR Y/Ó DESARROLLAR

1)1 mSí Aplicar: cusenduu lncot

2)2 mSí Sustituir: 1csccot 22 uu

Desarrollar: uuua mm 22 cotcotcot.1 Sustituir: 1csccot.2 22 uua

I. duumcot

2)3 mSí

Aplicar:

cn

uduua

nn

1.3

1

1)1 nSí Aplicar: cuuduu cotcsclncsc

2)2 nSí Aplicar: cuduu cotcsc2

1)3 imparnSí Aplicar: Técnica de integración por partes.

Desarrollar: uuua nn 22 csccsccsc.1

II. duuncsc

2)4 parnSí

Sustituir: 2

222 )1(cotcsc.2

nn uua

11)1 nymSí Aplicar: cuduuu csccsccot

2)2 nSíAplicar:

cn

uduu

nn

1

1

Desarrollar: uuua nn 22 csccsccsc.1 2)3 parnSí

Sustituir: 2

222 )1(cotcsc.2

nn uua

Desarrollar: uuuuuua nmnm csccotcsccotcsccot.1 11

Sustituir: 1csccot.2 22 uua

1)4 imparmSí

Aplicar:

cn

uduu

nn

1

1

III. duuu nm csccot

1

/2)5

imparn

oyparm Aplicar: Técnica de integración por partes



49

Ejemplos:

cxsendxx

cuduuó

csenuuduAplicar

casoIforma

dxx

2ln2

122cot

)2(

1

coslntan

lncot:

1;

2cot)1

cxx

dxdxx

dxx

uu

iónrecomendac

casoIforma

dxx

32

cot632

csc312

csc3

1csccot

:

2;

2cot3)2 22

22

2

cxxdxxdxxx

dxxdxxxdxxx

uu

iónrecomendacadxxx

uuu

iónrecomendaca

casoIIforma

dxx n

n

n

cot3

1cot

9

1csc

3

1csccot

3

1

csc3

1csccot

3

1csc1cot

3

11cotcsc

.2csccsc

3

1

csccsccsc

.1

4;

3

csc)3

3222

22222

2

222

22

222

4

cxxx

dxxxxdxxxxdxxxx

dxxxxxxdxxxxx

uu

uu

iónrecomendaca

dxxxxx

uuuuuu

iónrecomendaca

casoIIIforma

dxxxnmnm

3

csc

5

csc2

7

csccsccotcsccsccotcsc2csccotcsc

csccotcsc1csc2csccsccotcsc1csc

1csccot

1csccot

.2

csccotcsccot

csccotcsccotcsccot

:.1

4;

csccot)4

357246

224222

224

22

24

11

35

Ejercicios:

Tipo I. Por la técnica de integración de la cotangente y cosecante m y n potencia, integrar las siguientes funciones:

1) ?3

cot2

1dx

x 4) ?3csc dxx 7) ?2csc2cot dxxx

2) ?cot 4 dxx 5) ?3csc2 dxx 8) ?2csc2cot 23 dxxx

3) ?cot2

1 3 dxx 6) ?2csc3 4 dxx 9) ?2csc2cot 43 dxxx



50

Clase: 2.7 Técnica de integración por sustitución trigonométrica.Guía:- Método de integración por sustitución trigonométrica.- Ejemplos.- Ejercicios.

Método de integración por sustitución trigonométrica:

Sea una integral que contenga alguna de las siguientes formas:

22 au ;

22 au ; 22 ua

1) Haga cambio de variable (todo debe de quedar en términos de “u” y de “a”).

2) Haga sustitución trigonométrica, cambiando los términos de la integral en la siguiente forma:

a) Sí se tiene:22 au sustituir: dzzapordu 2sec ; zaporau sec22 y zaporu tan

b) Sí se tiene:22 au sustituir: dzzzapordu tansec ; zaporau tan22 y zaporu sec

c) Sí se tiene:22 ua sustituir: dzzapordu cos ; zaporua cos22 y zsenaporu

3) Integrar la función.

4) Haga sustitución triangular, cambiando las funciones trigonométrica del resultado de la integral por las funciones trigonométrica que se obtengan del triángulo que se muestra:

a) Sí se tiene

22 au

sustituir las funciones trigonométricas (del resultado de la integral) por las funciones trigonométrica que se obtengan del triángulo que se muestra:

a

uarcz tan

b) Sí se tiene

22 au


a

uarcz sec

c) Sí se tiene

22 ua


a

usenarcz

5) Restituir la variable original.

a

22 au u

z

22 au

a

uz

a

22 ua

u

z



51

Ejemplos:

czzdzzdzzaza

zaporau

zdzapordu

sustituirPasoPaso

duau

du

audu

dxdxdu

aaxuxudx

x

Paso

tansecln2

3sec

2

3sec

sec

1

2

3

sec

sec

32

1

2

3

2

13

2;2

1;1;2;4

14

3)1

1

2

22

2

2222

222

2

Paso 4

22 au

tienesecomo

El triángulo es:

a

auz

22

sec

a

uz tan

cxxPasocauuccccomo

caauuyxy

xcomoc

a

uauc

a

u

a

au

142ln2

35ln

2

3)ln(

lnln2

3lnlnlnln

2

3ln

2

3

222

222222

czsena

za

dzza

dza

dzza

dzza

dzza

dzzaa

zaporau

dzzapordu

sustituir

PasoPaso

duau

du

audu

dxdxdua

axuxudx

x

Paso

224

5

12

5

2cos12

5

12

52cos

2

1

2

1

6

5

cos6

5

sec

1

6

5sec

sec

1

6

5

sec

sec

32

1

6

5

3

1

2

5

3;31

1;3;9

192

5)2

1

33

333

2323

24

22

2

422

422

222

22

Paso 4

22 au

tienesecomo

El triángulo es: zsenzzsen cos22 (identidad trigonométrica)

222222

au

a

au

uzsen

cx

xxc

x

xxPaso

caua

u

a

u

ac

au

a

au

u

aa

u

a

194

53arctan

12

5

19112

35

1

3arctan

112

55

12

5arctan

12

52

24

5arctan

12

5

2223

2223222233

22 au

a

uz

22 au

a

uz



52

czza

dzzadzzzadzzza

dxzzaPasozdzazdzzaza

za

zau

zaau

zdzzapordu

sustituir

Paso

duau

u

aa

dudxdxduxuxu

Paso

dxx

x

tantan3

2sec2sectan2sec1tan2

secsec23sec2tansectan

sec2

sec

tan

tansec

2

2

5;5

;;;

1

5

2)3

33

22223223

223433

22

22

3

2

22

2

3

22

4

au

tienesecomo

Paso

El triángulo es:

caua

au

ca

au

a

aua

a

auz

22322

223

22322

1

3

2

3

2tan

cxxPaso 55

15

3

25 232

csenza

zdzsenza

dzzzsen

z

a

zdzzctga

zdzza

zdzzaza

zaporau

zdzzapordu

sustituir

PasoPaso

duau

du

audu

dxdxdu

aaxuxudx

x

Paso

2

2

22

2

2

2

2223

22

322

322

222

2

32

2

1cos

2

1

cos

1cos

2

1

sec2

1sec

tan

1

2

1tansec

tan

1

2

1

tan

tansec

32.

1

2

1

2

1

2;2

2;2;2;4

24

1)4

1

22

4

au

tienesecomo

Paso

El triángulo es:

u

ausenz

22

c

x

xc

x

xpasoc

aua

uc

u

aua

2422422

25

22

12222222

2

a

22 au u

z

a

22 au u

z



53

cza

zdza

dzza

dzzaza

zaporua

zdzapordu

sustituir

PasoPaso

duua

du

uadu

dxdxdu

aaxuxudx

x

Paso

tan9

5sec

9

5

cos

1

9

5cos

cos

1

9

5

cos

cos

32.

1

9

5

3

1

3

5

3;3

2;2;3;9

923

5)5

1

2

2

2223

22

322

322

222

2

32

Paso 4

22 ua

tienesecomo

El triángulo es:

cuaa

u

cua

u

aua

uz

222

22222

9

59

5tan

c

x

xc

x

xpaso

22 926

5

9229

355

cza

za

dzsenzzadzsenzadzsenzza

dzsenzzsenadzzsenadzzaza

asenz

zsenau

zaporua

dzzapordu

sustituir

PasoPaso

duua

udu

ua

u

dudxdxdu

aaxuxudx

x

x

Paso

33

3

23323

23333

22

22

3

22

3222

2

3

cos3

4cos4

cos44cos14

44coscos

4

cos

cos

32

44;

1;1;;

1

4)5

1

Paso 4

22 ua

tienesecomo

El triángulo es:

cuuaa

ca

ua

a

uaa

a

usenz

a

uaz

3222

33223

22

3

44

3

44cos

cxxcxxpaso 32322

3

414

3

41145

Ejercicios:

Tipo I. Por la técnica de integración por sustitución trigonométrica; integrar las siguientes funciones:

dxx

1

2)1

2

2

32 34

)3

x

dxdx

x

x 2

3

922

5)5

dxxx

543

4)2

2 dx

xx 9

2)4

23 dxx

x

2

2

5

9)6

a

22 ua

u

z

a

22 ua

u

z



54

Clase: 2.8 Técnica de integración de fracciones parciales. Guía:- Método de integración de fracciones parciales.- Ejemplos.- Ejercicios.

Método de integración de fracciones parciales:

Sí dxxg

xp

)(

)( es una fracción parcial donde )()( xgxp en grado y )(xg sea factorizable

Entonces:

1) Factorice el denominador: nfxg

ófffxg

)(

)( 321

2) Identifique los tipos de factores y sustituya la fracción parcial por la integral como se indica:

a) Sí

dxfff

xpdx

xg

xp

321

)(

)(

)(

dx

fff

xp

321

)( =

dx

f

C

f

B

f

A

321

b) Sí dxf

xpdx

xg

xpn

)(

)(

)( dx

f

xpn

)( =

dx

f

C

f

B

f

A

32

3) Separe la fracción parcial y obtenga los valores de ;;; CBA y compruebe la igualdad si lo desea.

Ejemplo: Para baxxp )( ; y )(xg con dos factores:

a) Sí 2121 f

B

f

A

ff

bax

;

BABAxfBfAbax )()()( 12

?

?:

B

AdondeDeBAb

BAa

b) Sí 212 f

B

f

A

f

bax

BAcAxBfAbax )()( 1

?

?:

B

AdondeDeBAb

cAa

4) Sustituya los valores de ;;; CBA en la integral.

5) Integre.



55

Ejemplos:

dxx

B

x

A

f

B

f

Apordx

xg

xp

Sustituir

xfxf

ffxg

ciónIdentificaPaso

dxxx

x

xxxx

Pasodx

xx

x

1

)(

)(

:

1;

)(

:);2

1

32

1

:)132)1

21

21

21

22

cxxx

dx

x

dx

Integre

Pasodx

xx

BdeyAde

valoressustituyaPaso

xx

xxx

xxxx

xxxxxx

xónComprobaci

BB

AA

BABxAxx

BxAAxxBxAx

x

B

x

A

xx

x

Paso

1ln5ln31

53:)5

1

53

""""

:)4

1

32)1(

5331

5131

53

1

32:

532

33

22

132

11

32

:)3

dxx

B

x

A

dxf

B

f

A

pordxxg

xpSustitir

xfxf

ffxg

ciónIdentificaPaso

dxxx

xx

xxPaso

dxxx

22

)(

)(:

2;2

)(

:)2

22

1

22

42:)1

42

1)2

21

21

21

2

2

""""

:)4

22

1)2(2)8(

48422

24122

124

1

22

1

22

1

:

4

1

22

1

2

2

121

22020

2)2(22221

2222

1

:)3

BdeyAde


xx

xx

xxxx

xx

xxxx

ónDemostraci

AB

AA

BABABAx

ABAxBxAAxxBxA

x

B

x

A

xx

Paso



56

cxxx

dx

x

dx

Integre

Pasodx

xx

2ln4

1ln

4

1

24

1

4

1:)5

224

12

1

dxf

B

f

Apordx

xg

xpSustitir

xfxf

ffxg

ciónIdentificaPaso

dxxx

x

xx

xPaso

dxx

x

21

21

21

2

2

)(

)(:

1;1

)(

:)2

11

5

11

1:)1

1

5)3

cxxx

dx

x

dx

Integre

Pasodx

xxBdeyAde


xx

xxx

xxxx

xxxxxx

xónDemostraci

AA

BB

BABABA

BABAxx

BBxAAxxBxAx

x

B

x

A

xx

x

Paso

dxx

B

x

A

1ln21ln31

21

3:)5

1

2

1

3

""""

:)4

11

51)1(

223311

12131

2

1

3

11

5:

321

224

51

5

1

115

1111

5

:)3

11

dxf

B

f

Apordx

xg

xpSustitir

xfxf

fxgciónIdentifica

Paso

dxx

x

x

xxPaso

dxxx

x

2

22

2

22

2

2

)(

)(:

)12(;12

)(:

:)2

12

31

12

144:)1

144

31)4



57

22

2

2

2

222

2

2

12

31

124

2612124

2126

122

11223

1212

1221122

3)12(

21

122

3

12

31

:

2

11

2

3

23232

1231

)12(12

12

31:)3

1212

x

x

x

xx

x

x

x

xx

xx

xxx

x

ónDemostraci

B

BA

A

AAxxBAAx

BxAx

x

B

x

A

x

xPaso

dxx

B

x

A

dxxx

dxx

dx

x

dx

Integre

Pasodx

xxBdeyAde

valoresSustituya

Paso

2

2

2

122

1

122

3122

1

122

3:)5

)12(2

1

)12(2

3

""""

)4

c

xxc

xxdxx

x

dx

48

112ln

4

3

1

12

4

112ln

4

32)12(

2

1

2

1

12

2

2

1

2

3 12

Ejercicios:

Tipo I. Por la técnica de integración de fracciones parciales; integrar las siguientes funciones:

dxxx

x

3

1)1

2

dxx

x2)4(

5)4 dx

xx

x

144

2)7

2

dx

x

x

4

2)2

2

dxxx

x3

2)5 dx

xxx

x

2

32)8

23

dxxx

x

12

5)3

2dx

xx

x

24

28)6

3dx

xxx

x

234 484

1)9



58

Clase: 2.9 Técnica de integración por series de potencias. Guía:- Fundamentos. - Ejemplos.- Método de integración por series de potencias. - Ejercicios.

Fundamentos: Sí x

y

1

1 y 1,11

1

1 32

xxxx

1,111

1 32

dxxxxdxx

Mas adelante en la unidad 5 trataremos este tema con más profundidad.

Método de integración por series de potencia:

1) Acople la función a integrar en el modelo x11 .

2) Identifique el nuevo valor de ""x de la función a integrar.

3) Sustituya el nuevo valor de ""x en la serie: 321 xxx hasta 4 términos no nulos 4) Integre.

Ejemplos:

xx

xxcxx

xxcPaso

dxxxx

dxxxx

xesxde

valornuevoeldx

xdx

x

PasoPasoPaso

43

8222

3

42)4

84212

)2()2()2(12

"2"""21

12

21

2)1

)3)2)1

324

32

32

32

dxxxxdxx

dxx

33233

33)3()3()3(110

)3(1

110

31

10)2

1074

1074963

277

90

2

1510

10

27

7

9

4

3102793110

xxx

xc

xxxxcdxxxx

dxxxx

xdxxdxx

xx

32

3

2

33

2221

2

1

1

1

2

1

2)3

56241088422

1 76546543 xxxx

cdxxxx

x

Ejercicios:

Tipo I. Integrar por serie de potencia las siguientes funciones:

1) dxx 21

32) dx

x 21

23) dx

x 33

24) dx

x

x 3

2 3



59

Clase: 2.10 Técnica de integración por series de Maclaurin y series de Taylor. Guía:- Fundamentos. - Ejemplos.- Método de integración por series de Maclaurin y series de Taylor. - Ejercicios.

Fundamentos:

!3

)0(

!2

)0(

!1

)0(

!0

)0()()(

32 xfxfxffxfyxfySí llamada serie de Maclaurin.

Y si la serie es integrable entonces:

dx

ffxffdxxf

!3

)0(

!2

)0(

!1

)0(

!0

)0()(

!3

)()(

!2

)()(

!1

)()(

!0

)()()(

32 cxcfcxcfcxcfcfxfyxfySí llamada serie de Taylor.

Y si la serie es integrable, entonces:

b

adx

cxcfcxcfcxcfcfdxxf

!3

))((

!2

))((

!1

)()(

!0

)()(

32

Método de integración por series de Maclaurin y series de Taylor:

1. Identifique la función elemental de la función a evaluar.2. Obtenga la representación de la función elemental en serie de Maclaurin ó de la serie de Taylor de la siguiente forma: 2.1. Obtenga los primeros cuatro términos no nulos de la función elemental.

Sí )0(f es definido evalúe: )0();0();0();0( ffff Sí )0(f es indefinido busque el valor ""c y evalúe: )();();();( cfcfcfcf ( ""c es el número fácil de evaluar que hace que Rcf )( )

2.1 Forme la serie: Para la serie de Maclaurin:

!3

)0(

!2

)0(

!1

)0(

!0

)0( 32 xfxfxff

Para la serie de Taylor:

!3

)()(

!2

)()(

!1

)()(

!0

)( 32 cxcfcxcfcxcfcf

3. Identifique el nuevo valor de ""x en la función a integrar.

4. Sustituya el nuevo valor de ""x en la serie de la integral5. Integre.

Ejemplo 1) Resolver la integral dxe x

xesxde

valornuevoel

Paso

xxx

xxx

esMaclaurindeseriela

eefeef

eefef

Paso

eyeseyde

elementalfunciónla

Paso

dxe xxx

xx

xx

x

""

)3

!3!21

!3

1

!2

1

!1

1

!0

1

1)0(1)0(

1)0(1)0(

)2

)1

3232

)0(0

0)0(0

)0(0

)0(

)!3)(5(

2

)!2)(2(

2

3

2

!3

)(

!21

!3

)(

!2

)(1

)5)4523332 xxx

xcdxxx

xdxxx

x

PasoPaso



60

Ejemplo 2) Resolver la integral dxxln

)!4(3

8

)!4(2

6

)!4(5

8

)!4(3!3

2

)!3(3

12

)!3(2

6

)!3(5

4

)!2(3

4

)!2(23

2

!4

1464

!3

133(2

!2

121

!4

)1(6

!3

)1(2

!2

)1()1(

4

""

)3

!4

)1(6

!3

)1(2

!2

)1()1(

!4

)1(6

!3

)1(2

!2

)1(1

!1

)1(1

:

6)1(

66)1(2

)1(

22)1(

1)1(

1)1(1)1(

0)1ln()1(1)0ln()0(

)2

lnln

)1

ln

3253325323

2

432

432

432

41

44

31

3

21

11

12

xxxxxxxxx

xxx

xc

dxxxxxxxxxxxx

x

dxxxxx

Paso

xesxde

valornuevoel

Paso

xxxx

xxxx

esTaylordeseriela

xf

xf

ff

fcinefinidof

Paso

xyesxyde

elementalfunciónónla

Paso

dxxxx

xxxx

Ejemplo 3) Integrar la función: dxx 2cos

!6!4!21

!6

)1(

!5

)0(

!4

)1(

!3

)0(

!2

1

!1

)0(

!0

1

1)0cos(cos)0(

0)0()0(

1)0cos(cos)0(

0)0()0(

1)0cos(cos)0(

0)0()0(1)0cos()0(

)2

coscos

)1

cos

642

65432

06

05

04

0

0

0

2

2

xxx

xxxxxx


xf

sensenxf

xf

sensenxf

xf

sensenxff

Paso

xyesxyde

elementalfunciónla

Paso

dxxx

x

x

x

x

x

)!6)(13()!4)(9()!2)(5()5

!6!4!21

!6

)(

!4

)(

!2

)(1)4

""""

)3

1395

1284624222

2xxx

xcPaso

dxxxx

dxxxx

Paso

xesxde

valornuevoel

Paso

Ejercicios:

Tipo I. Integrar por series de Maclaurin ó series de Taylor las siguientes funciones:

1) dxx 2

13) dxx2ln 5) dxxsen 2

2) dxex2

4) dxxcos 6) dxxarctag



61

Evaluaciones tipo: Unidad 2.

E X A M E N Número de lista:Cálculo Integral Unidad: 2

Clave: Evaluación tipo 1

dxx

dx 29

5)1

2 Técnica: Uso de tablas de fórmulas. Valor: 30 puntos.

dxx

2cos)2 5

Técnica: Integración del seno y coseno de “m” y “n” potencia.

Valor: 30 puntos.

dxxx

x

5

2)3

2 Técnica: Integración de fracciones parciales. Valor: 40 puntos.



?12

)1x

xdxTécnica: Integración por cambio de variable. Valor: 30 puntos.

?2)2 4 xdxsen Técnica: Integración del seno y coseno de “m” y “n” potencia.

Valor: 40 puntos.

dx

x32

5)3 Técnica: Integración por series de potencia. Valor: 30 puntos.



xdxxsen 2cos2)1 73 Técnica: Integración del seno y coseno de “m” y “n” potencia.

Valor: 30 puntos.

2

32 )4(

2)2

x

dx Técnica: Integración por sustitución

trigonométrica.Valor: 40 puntos.

dxxcos3)3 Técnica: Integración por series de Maclaurin. Valor: 30 puntos.



?ln2)1 xdxx Técnica: de integración por partes. Valor: 30 puntos.

?2)2 5 xdxctg Técnica: Integración de la cotangente y cosecante de “m” y “n” potencia. Valor: 30 puntos.

?2

2)3

2dx

xx

xTécnica: Integración de fracciones parciales. Valor: 40 puntos.



62

Formulario de técnicas de integración: Unidad 2.

1. Fórmulas de integración de funciones que contienen las formas: 22 au a 0

ca

uarc

aau

dutan

1)1

22

c

a

uarcsen

ua

du22

)6

cau

au

aau

duln

2

1)2

22

c

u

aua

aauu

du 22

22ln

1)7

cau

au

aua

duln

2

1)3

22 cauu

aau

uduau 22

22222 ln

22)8

cauuau

du 22

22ln)4

cauua

auu

duau 222

2222 ln22

)9

cauuau

du 22

22ln)5 c

a

uarcsen

aua

uduua

22)10

22222

2. Técnica de integración por cambio de variable: cuFduufdxxgxgf )()())(')((

3. Técnica de integración por partes: vduuvudv

Forman parte de este contenido las siguientes tablas:

4. Método de integración del seno y coseno de m y n potencia.5. Método de integración de la tangente y secante de m y n potencia.6. Método de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia.7. Método de integración por sustitución trigonométrica.8. Método de integración de fracciones parciales.9. Método de integración por series de potencia.10. Método de integración por series de Maclaurin y series de Taylor.



63

Las Grandes Naciones, se formaron por hombres que tuvieron buenos principios y a los cuales fueron fieles toda su vida.


UNIDAD 3. LA INTEGRAL DEFINIDA.

Clases:

3.1 La integral definida.3.2 Teoremas de cálculo integral.3.3 Integración definida de funciones elementales:3.4 Integración definida de funciones algebraicas que contienen xn.3.5 Integración definida de funciones que contienen u.3.6 Integración definida de funciones que contienen las formas 22 au 3.7 Integrales impropias.

- Evaluaciones tipo.- Formulario de integración definidas de funciones elementales.- Formulario de integración definidas de funciones que contienen xn y u.- formulario de integración definida de funciones que contienen las formas 22 au - Formulario de integrales impropias.



64

Clase: 3.1 La integral definida. Guía:- Definición de la integral definida. - Interpretación del resultado de la integral definida.- Propiedades de la integral definida. - Ejemplos. - Teorema fundamental del cálculo integral. - Ejercicios.

Definición de la integral definida:

Sean:

- 2R un plano rectangular

- ba, un intervalo cerrado en el eje de las “X”.

- f la gráfica de una función )(xfy continua a, b

- A el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:

)(xfy ; 0y ó el eje X ; ax ; y bx .

- nn ,3,2,1 las particiones del intervalo ba, de tal

forma que bxyxxxxax nn ;; 2100

- 1 iii xxx un iésimo subintervalo de ba,

- ic un iésimo punto en ix - )( icf la imagen de ic

y - ii xcf )( la iésima área de A .

n

iii xcf

1

)( Es el área “ A ” aproximada bajo la gráfica en el intervalo ba, ; llamada Suma de Riemann.

nxSí i 0

y

10 )()(

n

b

aiilím

x dxxfxcfA es el área exacta bajo la curva ba,

Más adelante veremos que esta integral también es aplicable para muchos casos en la solución de problemas de las ciencias. También es recomendable señalar, que durante el proceso de estructuración de fórmulas enproblemas específicos generalmente es repetitivo; y como nuestro propósito en hacer del cálculo integral una ciencia más amigable entenderemos esta integral de la forma siguiente:

Sí b

adxxf )( es la integral definida entonces definiremos a:

b

adxab como el intervalo de cálculo y a: )(xf como la función.

Propiedades de la integral definida:

Sí gyf son funciones continuas e integrables ba , y k constante; se cumplen las siguientes

propiedades:

b

abadxxf 0)()1 Del intervalo cero.

b

a

a

bdxxfdxxf )()()2 Del cambio de intervalos.

b

a

b

adxxfkdxxfk )()()3 Del producto constante y función.

c

a

b

a

c

bcbadxxfdxxfdxxf )()()()4 De la suma de intervalos.

b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf )()()()()5 De la suma y/o diferencia de funciones.

b

Xeje

)( icf

a

ix

ic

)(xfy

A



65

Teorema fundamental del cálculo integral:

El teorema fundamental del cálculo integral; sirve para evaluar la integral definida y afirma que:

Interpretación del resultado de la integral definida:

Retomando la definición, hemos afirmado que el valor de la integral definida de una función es el valor del área bajo la curva, entendida ésta de signo positivo; sin embargo, es necesario reafirmar que uno de los objetivos esenciales de esta unidad es el desarrollo de las habilidades de cálculo sin limitar la creatividad del proceso pedagógico que se cumple al implementar problemas creados en el instante, aunque éstos no nos den resultados con signo positivos e incluso estos resultados sean falsos.

Desde luego en la Unidad 6 durante la aplicación del cálculo integral en el análisis de áreas, haremos una evaluación precisa de las mismas; por lo pronto se recomienda dar por inferencia la interpretación del resultado de la integral de la forma siguiente:

Resultado Posibilidades Ejemplo Gráfica

1ª. El área limitada de la gráfica de la función en su intervalo dado se sitúa en la parte positiva del eje de las “Y”.

1

1

2 )1( dxxResultado consigno (+)

2ª. El área limitada de la gráfica de la función en su intervalo dado se sitúa en las partes positiva y negativa del eje de las “Y”; pero el área de la parte positiva es mayor que el área de la parte negativa.

2

1dxx

1ª. Los límites superior e inferior del intervalo son iguales.

3

32dx

Resultado cero

2ª. El área limitada de la gráfica de la función en su intervalo dado, se sitúa en las partes positiva y negativa del eje de las “Y”; y además ambas áreas de las partes positiva y negativa son iguales.

dxxsen

xy

2

1

1

12 xy

1

2y

3

b

axfFaFbFdxxf )()()()( '



66

1ª. El área limitada de la gráfica de la función en su intervalo dado se sitúa en la parte negativa del eje de las “Y”.

4

0dxx

Resultado consigno ( - )

2ª. El área limitada de la gráfica de la función en su intervalo dado se sitúa en las partes positiva y negativa del eje de las “Y”; pero el área de la parte positiva es menor que el área de la parte negativa.

1

2dxx

Resultadoindefinido

1ª. Al menos uno de los límites superior e inferior es indefinido.

3

2dxx

Resultadofalso

1ª. Existe al menos un punto de discontinuidad en la gráfica dentro del intervalo.

1

1 2

1dx

x

Ejercicios:

Tipo I. Dada una integral y su intervalo: a) Hacer el bosquejo de la gráfica con su intervalo. b) Predecir el resultado (signo (+); ó signo (-); ó valor 0; ó Indefinido; ó resultado falso).

dxx 1

1

21)1 dxx 4

01)4

2

0)2 dxxsen dx

x0

1

1)5

2

2

cos)3 dxx dxx

1

1

1)6

xy

32

2

1

xy

1 1

xy

4

xy 2

1



67

Clase: 3.2 Teoremas de cálculo integral. Guía:- Tarea: Teoremas de cálculo integral.

TAREA: TEOREMAS DE CÁLCULO INTEGRAL.

Título: Teoremas de Cálculo Integral.

Fecha de entrega: La que el Maestro indique.

Participación: Por equipos (máximo 3 alumnos).

Material: Hojas blancas tamaño carta; impresas en un solo lado; engrapadas. Elaboración: En computadora: Un teorema por hoja; más hoja de presentación; más hoja de bibliografía que hacen un total de 5 hojas, que se entregarán engrapadas más el CD con identificación (Primer apellido de los integrantes del equipo, título de la tarea y hora de clase).

Formato: - Nombre del teorema. grapa - Lo que el teorema afirma. - Trazar gráficas cuando se requieran. - Para las ecuaciones usar editor de fórmulas. - Un ejemplo de aplicación.

Evaluación: - Tarea obligatoria para tener derecho a examen de la unidad. - De 0 a 20 puntos extras en la unidad; más reconsideración al final del curso. - El equipo que presente la mejor tarea excenta la unidad con 80.

Valoración: NA = No acredita la unidad;

.00 puntosT .51 puntosT .102 puntosT .153 puntosT

puntosT 204 y reconsideración al final del

Curso. Hoja de presentación:Información mínima requerida; (vea formato); se permite hoja de color.

I NOMBRE DE LA INSTITUCIÒN EDUCATIVA Cálculo Integral

Tarea: Teoremas de Cálculo Integral.

- Teorema de existencia para integrales definidas. - Teorema fundamental del cálculo integral.- Teorema del valor medio para integrales.

Alumno:NlsNombrematernoApaternoA )(..

Alumno:NlsNombrematernoApaternoA )(..

Maestro:_____________________Hora de clase_____

Libre a tu imaginación



68

Clase: 3.3 Integración definida de funciones elementales. Guía:- Integración definida de funciones elementales: - Ejemplos. . Algebraicas. - Ejercicios. . Exponenciales. . Logarítmicas. . Trigonométricas. . Trigonométricas inversas. . Hiperbólicas. . Hiperbólicas inversas.

Integración definida de funciones elementales algebraicas:

Las funciones elementales algebraicas de interés a considerar son:

Función Nombre Dominio Recorrido Gráfica

0y Constante cero

),( 0,0

1y Constante uno

),( 1,1

ky Constante ),( kk,

xy Identidad ),( ),(

xy

1 Racional ,0)0,( ,0)0,(

Fórmulas de integración definida de funciones elementales algebraicas:

b

adx 00)1

b

a

b

akxdxk)3 b

a

b

axdx

xln

1)5

b

a

b

axdx)2

b

a

b

a

xdxx

2)4

2

xy

xy

1

ky

0y

1y



69

Ejemplos:

10)0(2)5(2)(25;0

21)(;2

)()(2)15

0

5

0

x

ba

xdxdxxfk

dxxfkdxxfkdxb

a

ba

b

a

b

a

b

a

819132

2

3;1

22

)2()2 223

1

23

1

3

1

2

2

xx

ba

k

xkdxxk

dxx

b

a

b

a

3662.003662.01ln3

13ln

3

1ln

3

1

3;1

ln1

1

3

11

)(;3

1

)()(

3

1)3

3

1

3

1

3

1

x

ba

xdxxdx

xx

xfk

dxxfkdxxfkdx

x

b

a

b

a

b

a

b

a

Integración definida de funciones elementales exponenciales:

Funciones elementales exponenciales:

Función Nombre Dominio Recorrido Gráfica representativa

xey De base ""e

),( ),0(

xay Ra De base ""a ),( ),0(

Fórmulas de integración definida de funciones elementales exponenciales:

b

a

b

axx edxe)1

b

a

b

a

xx

a

adxa

ln)2

Ejemplos:

2643.17357.02222)()2(2)1 )1()0(0

1

0

1

0

1

eeedxedxe xxx

2887.14

33

4

3

4

3

4

3

4

3)2

)0()1(1

0

1

0

eeeedx

e xx

6409.33ln2

19

3ln2

3

3ln2

3

3ln2

33

2

1

2

3)3

)0()2(2

0

2

0

2

0

xx

x

dxdx

xey



70

Integración definida de funciones elementales logarítmicas:

Funciones elementales logarítmicas:

Función Nombre Dominio Recorrido Gráfica representativa

xy ln De base ""e ),0( ),(

xy alog Ra De base ""a ),0( ),(

Fórmulas de integración definida de funciones elementales logarítmicas:

ba

b

axxdxx 1lnln)1

b

a

b

a aa e

xxdxx

loglog)2

Ejemplos:

1592.1133068.0611ln)1(312ln)2(31ln3ln)1 21

2

1 xxdxx

3124.0)0888.0(2236.07357.0log3

24715.1log

3

4

2log

3

24log

3

42log

3

)2()4(log

3

)4(log

33

log)2

1010

10101010

4

2

10

4

2

10

eeeee

xxdx

x

Integración definida de funciones elementales trigonométricas:

Funciones elementales trigonométricas:


xseny Seno , 1,1

xy cos Coseno , 1,1

xy tan Tangente ,23,2 x ,

xy ln



71

xy cot Cotangente ,2,,0 x ,

xy sec Secante ,23,2 x ),1()1,(

xy csc Cosecante ,2,,0 x ),1()1,(

Fórmulas de integración definida de funciones elementales trigonométricas:

b

a

b

axdxxsen cos)1

b

a

b

axsendxx lncot)4

b

a

b

axsendxxcos)2

b

a

b

axxdxx tanseclnsec)5

b

a

b

axdxx coslntan)3

b

a

b

axxdxx cotcsclncsc)6

Ejemplos:

4)1(2)1(20cos2cos2cos22)100

xdxxsen

2308.0)7071.0ln(3

2)1ln(

3

2

4ln

3

2

2ln

3

2ln

3

2

3

cot2)2

2

4

2

4

sensenxsendxx

Integración definida de funciones elementales trigonométricas inversas:

Funciones elementales trigonométricas inversas:


xsenarcy Seno inverso

1,1 2,2

xarcy cos Coseno inverso

1,1 ,0



72

xarcy tan Tangente inversa

),( )2,2(

xarcy cot Cotangente inversa

),(

2,

2

xarcy sec Secante inversa

),1[]1,( ],2()2,0[

xarcy csc Cosecante inversa

),1[]1,( ]2,0()0,2[

Fórmulas de integración definida de funciones elementales trigonométricas inversas:

b

a

b

axxarcsenxdxxarcsen 21)1

b

a

b

a

xxarcxdxxarc 1ln2

1cotcot)4 2

b

a

b

axxxdxx 21arccosarccos)2 b

a

b

axxxarcxdxxarc 1lnsecsec)5 2

b

a

b

a

xxxdxx 1ln2

1arctanarctan)3 2

b

a

b

axxxarcxdxxarc 1lncsccsc)6 2

Ejemplos:

2831.602831.600)1(12)1arccos()1(2)1(12)1arccos()1(2

12arccos21arccos2arccos2)1

22

1

121

1

1

12

xxxxxxdxx

4665.0007901.02566.1

1)1()1(ln5

3)1sec()1(

5

31)2()2(ln

5

3)2sec()2(

5

3

1ln5

3sec

5

31lnsec

5

3

5

sec3)2

22

2

1

22

1

2

1

2

arcarc

xxxxarcxxxarcxdxxarc



73

Integración definida de funciones elementales hiperbólicas:

Funciones elementales hiperbólicas:


xsenhy SenoHiperbólico

),( ),(

xy coshCoseno hiperbólico

),( ),1[

xy tanh Tangentehiperbólica

),( )1,1(

xy cothCotangenteHiperbólica

),0()0,( ),1()1,(

xhy sec Secantehiperbólica

),( )1,0(

xhy cscCosecantehiperbólica

),0()0,( ),0()0,(

Fórmulas de integración definida de funciones elementales hiperbólicas:

b

a

b

axdxxsenh cosh)1 b

a

b

axsenhdxx lncoth)4

b

a

b

axsenhdxxcosh)2b

a

b

a

xdxxh

2tanharctan2sec)5

b

a

b

axdxx coshlntanh)3

b

a

b

a

xdxxh

2tanhlncsc)6

Ejemplos:

1

1

1

1 7008.43504.23504.2)1(2)1(22cosh2)1 senhsenhxsenhdxx

9992.05438.15446.02

1tanhln2

2

2tanhln2

2tanhln2csc2)2

2

1

2

1

xdxxh



74

Integración definida de funciones elementales hiperbólicas inversas:

Funciones elementales hiperbólicas inversas:


xarcsenhy Seno hiperbólicoInverso

),( ),(

xhy arccos Cosenohiperbólicoinverso

),1[ ),0[

xhy arctanTangentehiperbólicainversa

)1,1( ),(

xarcy coth Cotangentehiperbólicainversa

),1()1,( ),0()0,(

xharcy sec Secantehiperbólicainversa

1,0( ),0

xharcy csc Cosecantehiperbólicainversa

),0()0,( ),0()0,(

Fórmulas de integración definida de funciones elementales hiperbólicas inversas:

b

a

b

axxarcsenhxdxxarcsenh 1)1 2

b

a

b

a

xxxarcdxxarc 1ln2

1cothcoth)4 2

b

a

b

axxhxdxxh 1arccosarccos)2 2b

a

b

a x

xxhxarcdxxharc

21arctansecsec)5

b

a

b

a

xxhxdxxh 1ln2

1arctanarctan)3 2

b

a

b

axxhxxarcdxxharc 1lncsccsc)6 2

Ejemplos:

1

0

1

02 1333)1 xxarcsenhxdxxarcsenh

4015.1302426.46441.21)0(3)0()0(31)1(3)1()1(3 22 arcsenharcsenh



75

3218.04406.04406.07218.04812.0

1)1()1(ln2

1)1(csc)1(

2

11)2()2(ln

2

1)2(csc)2(

2

1

1ln2

1csc

2

1

2

csc)2

22

2

1

2

1

2

harcharc

xxhxxarcdxhxarc

Ejercicios:

Tipo I. Por las fórmulas de integración definida de funciones elementales algebraicas; obtener:

0

10)1 dx

1

12)3 dx

2

1 3)5 dx

x

3

2)2 dx

4

02)4 dxx

1

3 3

2)6 dx

x

Tipo II. Por las fórmulas de integración definida de funciones elementales exponenciales; obtener:

2

05)1 dxex

4

2 8)3 dx

ex

0

4 10

)5(3)5 dx

x

1

1 5

3)2 dx

ex

4

0)3(2)4 dxx

2

1 3

2)6 dx

x

Tipo III. Por las fórmulas de integración definida de funciones elementales logarítmicas; obtener:

2

1ln5)1 dxx

4

3 8

ln)3 dx

x

8

7

10

10

log3)5 dx

x

2

1 5

ln3)2 dx

x 6

5 10log2)4 dxx 4

1

10

3

log)6 dx

x

Tipo IV. Por las fórmulas de integración definida de funciones elementales trigonométricas; obtener:

05)1 dxxsen 2

3

cot2)2

dxx 4

0 10

sec3)3

dxx

Tipo V. Por las fórmulas de integración definida de funciones elementales trigonométricas inversas; obtener:

1

1 5

arccos3)1 dx

x

3

0 2

arctan)2 dx

x

2

1 6

csc)3 dx

xarc

Tipo VI. Por las fórmulas de integración definida de funciones elementales hiperbólicas; obtener:

1

05)1 dxxsenh

0

1 2

tanh)2 dx

x

3

3 4

sec3)3 dx

xh

Tipo VII. Por las fórmulas de integración definida de funciones elementales hiperbólicas inversas; obtener:

2

0 5

arccos3)1 dx

xh 3

2coth2)2 dxxarc

1

2 2

csc)3 dx

xharc



76

Clase: 3.4 Integración definida de funciones algebraicas que contienen xn. Guía:- Integración de funciones algebraicas que contienen xn. - Ejemplos. . Funciones algebraica que contienen xn. - Ejercicios. . Fórmula de integración de funciones algebraicas que contienen xn.

Integración definida de funciones algebraicas que contienen xn.

Función algebraica que contienen xn.

Función Nombre Dominio Recorrido Gráficas representativas

nxy Algebraica que contiene xn

A obtenerse A obtenerse

Fórmula de integración de funciones algebraicas que contienen xn.

011

)11

nn

xdxx

b

a

b

a

nn

Ejemplos:

7974.23

)1(2

3

)3(2

3

2

2

31;

2

1;3;1

1)133

3

1

3

3

23

2

3

1

3

1

3

1

2

1

xx

nnba

n

xdxx

dxxdxx a

b

a

b

a

nn

8.18555

)2(3

5

)5(3

5

3

53

13

)(;3

)()(3)2

55

5

2

5

2

55

2

514

4

5

2

4

xx

n

xdxxdxx

xxfk

dxxfkdxxfkdxx

b

a

b

a

nn

b

a

b

a

5303.0)1(2

1

)2(2

1

2

1

22

2;1

121

2)(;2

)()(2)3

22

2

1

2

2

1

2

2

1

1

2

1

33

1

2

1 3

3

x

x

ba

n

xdxx

dxxdxxxfk

dxxfkdxxfkdx

x

b

a

b

a

nn

x

b

a

b

a

2xy 3xy



77

4)2()2()3()3(

21)(;2)(

)()()()()12()4

22

3

2

3

2

3

223

2

xxdxdxxxgxxf

dxxgdxxfdxxgxfdxxb

a

b

a

b

a

1667.156

91

6

1

3

46

3

2

6

1

3

16

3

32

)1(3

2

6

)1()4(

3

2

6

)4(

3

2

622)5 3

33

34

1

4

1

4

1

334

1

22

xxdxxdx

xdxx

x

6666.623

24

3

16

)1(2)1(3

2)4(2)4(

3

22

3

21)6

4

1

34

1

3

4

1

34

1

21

x

xdxxdxxdx

x

x

Ejercicios:

Tipo I. Por la fórmula de integración definida de funciones algebraicas que contienen xn; obtener:

1

2)1 dxx

2

1 2

1)7 dx

x

0

5

22 )1()13 dxx

1

2 2)2 dx

xdx

x2

1

1)8

4

01)14 dxx

4

0)3 dxx

1

1

2 )1()9 dxx dxxx )()15 21

0

4

0)4 dxx dxx

3

0)3(10

1

0)()16

2

dxxx

dxx2

0

3)5 dxx 1

1

21)11 dxx

x

2

1

1)17

dxx

1

2

1)6

1

1

2 )2()12 dxxx dxx

xx

1

1

23)18



78

Clase: 3.5 Integración definida de funciones que contienen u. Guía:- Integración definida de funciones que contienen u. . Trigonométricas. - Ejemplos. . Algebraicas. . Trigonométricas inversas. - Ejercicios. . Exponenciales. . Hiperbólica. . Logarítmicas. . Hiperbólicas inversas.

Integración definida de funciones que contienen u.

Sí u es cualquier función y Zn entonces se cumplen las siguientes fórmulas de integración:

Integración definida de funciones algebraicas que contienen u.

Fórmulas de integración definida de funciones algebraicas que contienen u.

b

a

b

audu)1

b

a

b

a

nn

n

uduu

1)2

1 b

a

b

audu

uln

1)3

Ejemplos:

2

1

21 112

2;1

)1 x

ba

dxdu

udu

dx

b

a

ba

2.206

5

1031

15

3093

15

323125

15

2

15

5

15

)0(32

15

)1(32

15

32

5

32

3

1

1;0

51;4

3;321

3323

1

3

332

3

3232)2

5555

1

0

51

0

5

1

0

1

1

0

1

0

1

0

444

xx

ba

nn

dxduxun

uduu

dxxdx

x

dxdu

xu

ajusteelhacerPara

dxx

b

a

nn

8047.02ln

2

110ln

2

12ln

2

12

2

1

2

1

5;1

2;2

ln1

2

1)3

5

1

5

1

5

1

xdxx

ba

dxduxu

uduu

dxx

b

a

b

a



79

6250.0

8

)0(15

8

)1(15

8

15

4

1

2

521

2

15

;2;1

1;0115

""""

tan

:

15)4

441

0

42

1

0

421

0

32

2

1

1

0

321

0

32

x

xdxxx

xdxduxu

ban

uduu

xdxx

dxaxunir

yteconslasacar

Estrategia

dxxx

b

a

b

a

nn

Integración definida de funciones exponenciales que contienen u.

Fórmulas de integración definida de funciones exponenciales que contienen u.

b

a

b

auu edue)1

b

a

b

a

uu

a

adua

ln)2

Ejemplos:

6334.03

2

3

2

3

2

3

2

3

23

3

122)1

2)1(3)0(30

1

0

1

0

1

333

eeee

dxedxex

xx

512.68

33

8

3

8

3

8

32

2

1

4

3

4

3)2

3)1)0(2()1)1(2(1

0

1

0

)12(1

0

)12()12(

eeeee

dxedxe x

xx

6873.0

5

2

5

2

5

2

5

2

1;0

;15

2

5

2)3

1

0

11

0

11

0

1

0

11

ee

dxe

ba

dxduxu

edue

dxedxe x

x

b

a

b

auu

xx

2557.1

3ln2

5

3ln2

35

3ln2

35

3ln2

35

3ln

3

2

5

5

135

2

1

2

3)4

4.05

0

5

22

0

2

0

55

2

0

5

xx

x

dxdx

Integración definida de funciones logarítmicas que contienen u.

Fórmulas de integración definida de funciones logarítmicas que contienen u.

b

a

b

auuduu 1lnln)1

b

a

a

b

a a e

uuduu

loglog)2

Ejemplos:

2382.3)9205.0(3177.212ln314ln61)1(2ln)1(31)2(2ln)2(3

12ln31)2(ln22

322ln

2

132ln3)1

2

1

2

1

2

1

2

1

xxxxdxxdxx



80

5132.0)1118.0()6250.0()2(2

log3

)2()4(2log

3

)4(

2log

322log

2

1

3

1

3

2log)2

1010

4

2

4

2

10

4

2 1010

ee

e

xxdxxdx

x

Integración definida de funciones trigonométricas que contienen u.

Fórmulas de integración definida de funciones trigonométricas que contienen u.

b

a

b

auduusen cos)1

b

a

b

auduuu sectansec)7

b

a

b

ausenduucos)2

b

a

b

auduuu csccotcsc)8

b

a

b

auduu coslntan)3

b

a

b

auduu tansec)9 2

b

a

b

ausenduu lncot)4

b

a

b

auduu cotcsc)10 2

b

a

b

auuduu tanseclnsec)5

b

a

b

a

uuuuduu tansecln2

1tansec

2

1sec)11 3

b

a

b

auuduu cotcsclncsc)6

Ejemplos:

0)0(22

1)(2

2

1

22

122cos

2

1

;0

2;2

cos

2cos)10

0

0

sensen

xsendxx

ba

dxduxu

usenu

dxx

b

a

ba

7818.1

4

)0(3tan

3

8

4

3tan

3

8

4

3tan

3

8

4

3

4

3sec

3

42

4;0

4

3;

4

3

tansec

4

3sec2)2

4

4

0

4

0

2

2

4

0

2

xdx

x

ba

dxdux

u

uduu

dxx

b

a

ba

8196.03.05196.020

5cot10

3

65cot

10

35cot

10

355csc

5

1

2

3

6;

20;5;5

cotcsc5csc

2

3csc

1

.

52

3)3

6

20

6

20

2

6

20

2

26

202

xdxx

badxduxu

uududxx

uusen

trigident

dxxsen

b

a

ba



81

08

1

8

1)(2cos

8

1)(2cos

8

12cos

8

1

4

2cos

2

1

222cos2

1

;;22

;2cos122cos)4

4444

3

1

3

xx

dxxsenx

baxdxsendu

xun

uduu

dxxsenx

b

a

b

a

nn

Integración definida de funciones trigonométricas inversas que contienen u.

Fórmulas de integración definida de funciones trigonométricas inversas que contienen “u”.

b

a

b

auuarcsenuduuarcsen 21)1

b

a

b

auuarcuduuarc

1ln2

1cotcot)4 2

b

a

b

auuuduu 21arccosarccos)2 b

a

b

auuuarcuduuarc 1lnsecsec)5 2

b

a

b

auuuduu

1ln2

1arctanarctan)3 2 b

a

b

auuuarcuduuarc 1lncsccsc)6 2

Ejemplos:

4242.94792.11055.28660.00472.168660.05235.06

2

)1(1

2

)1(arccos

2

)1(6

2

)1(1

2

)1(arccos

2

)1(6

21

2arccos

26

22arccos)2(3

2arccos3)1

22

1

1

21

1

1

1

xxxdxx

dxx

4825.0004

17627.16928.3

4

101ln)1sec(

4

183ln)3sec(3

4

1

1)1)1(2()1)1(2(ln)1)1(2sec()1)1(2(41

1)1)2(2()1)2(2(ln)1)2(2sec()1)2(2(41

1)12()12(ln)12sec()12(4

1

)2)(12sec(21

21

2)12sec(

)2

2

2

2

1

2

2

1

2

1

arcarc

arc

arc

xxxarcx

dxxarcdxxarc



82

Integración definida de funciones hiperbólicas que contienen u.

Fórmulas de integración definida de funciones hiperbólicas que contienen u.

b

a

b

auduusenh cosh)1

b

a

b

auduuh tanhsec)7

2

b

a

b

ausenhduucosh)2

b

a

b

auduuh cothcsc)8

2

b

a

b

auduu coshlntanh)3

b

a

b

ahuduuuh sectanhsec)9

b

a

b

ausenhduu lncoth)4

b

a

b

auhduuuh csccothcsc)10

b

a

b

a

uduuh

2tanharctan2sec)5

b

a

b

a

uduuh

2tanhlncsc)6

Ejemplos:

3572.13)6785.6(6785.6

)1(33

2)1(3

3

23

3

233cosh

3

123cosh2)1

1

1

1

1

1

1

senhsenhxsenhdxxxdx

1223.01666.0(0443.0)0(2sec6

1)1(2sec

6

1

2sec6

122tanh2sec

2

1

3

1

3

2tanh2sec)2 1

0

1

0

1

0

hh

xhdxxxhdxxxh

Integración definida de funciones hiperbólicas inversas que contienen u.

Fórmulas de integración definida de funcione hiperbólicas inversas que contienen u.

b

a

b

auuarcsenhuduuarcsenh 1)1 2

b

a

b

a

uuuarcduuarc 1ln2

1cothcoth)4 2

b

a

b

auuhuduuh 1arccosarccos)2 2

b

a

b

au

uuhuarcduuharc

21arctansecsec)5

b

a

b

a

uuhuduuh 1ln2

1arctanarctan)3 2

b

a

b

auuuharcuduuharc 1lncsccsc)6 2



83

Ejemplos:

7354.0607082.64436.114

)0(6

2

)0()0(3

14

)1(6

2

)1()1(31

46

23

12

622

622

232

3)1

2

21

0

2

1

0

1

0

21

0

arcsenh

arcsenhxx

xarcsenh

xxarcsenh

xdxxarcsenhdx

xarcsenh

3823.03030.01637.06824.01666.01)1(9)1(3ln6

1)1(3csc

2

)1(

1)10(9)10(3ln6

1)10(3csc

2

)10(193ln

6

13csc

2

1)3()3(ln)3(csc)3(6

133

3

1

2

1

2

3csc)2

2

210

1

2

10

1

210

1

10

1

harc

arcxxxharcx

xxxharcxdxxarccshdxxharc

Ejercicios:

Tipo I. Por las fórmulas de integración definida de funciones algebraicas que contienen “u”; obtener:

4

0

312)1 dxx

0

1 221

3)2 dx

x 3

1 41

2)3 dx

x

Tipo II. Por las fórmulas de integración definida de funciones exponenciales que contienen “u”; obtener:

2

0

2

4

3)1 dx

e x

0

1

)13(3)2 dxe x

3

1

4)3(2)3 dxx

Tipo III. Por las fórmulas de integración definida de funciones logarítmicas que contienen “u”; obtener:

2

12ln5)1 dxx

4

2 2

)14ln(3)1 dx

x

5

0

10

5

)12(log3)3 dx

x

Tipo IV. Por las fórmulas de integración definida de funciones trigonométricas que contienen “u”; obtener:

dxxsen

0 4

25)1 dx

x

2

2 3

)12(cos5)2

dx

x

0 10

5sec3)3

Tipo V. Por las fórmulas de integración definida de funciones trigonométricas inversas que contienen “u”; obtener:

1

023)1 dxxarcsen

3

0 4

)12arctan()2 dx

x

2

1 6

2csc)3 dx

xarc

Tipo VI. Por las fórmulas de integración definida de funciones hiperbólicas que contienen “u”; obtener:

1

025)1 dxxsenh

0

1 2

)13tanh()2 dx

x

3

3 5

3sec3)3 dx

xh

Tipo VII. Por las fórmulas de integración definida de funciones hiperbólicas inversas que contienen “u”; obtener:

2

0 5

2arccos3)1 dx

xh

3

23coth2)2 dxxarc

1

2 5

2csc3)3 dx

xharc



84

Clase: 3.6 Integración definida de funciones que contienen las formas u2 ± a2. Guía:- Integración definida de funciones que contienen las formas u2 ± a2. - Ejemplos.

- Fórmulas de integración definida de funciones que contienen las formas 22 au . - Ejercicios.

Integración definida de funciones que contienen las formas u2 ± a2.

Fórmulas de integración definida de funciones que contienen las formas 22 au a 0

b

a

b

aa

u

aau

duarctan

1)1 22

b

a

b

aa

uarcsendu

ua

du22

)6

b

a

b

aau

au

aau

duln

2

1)2

22

b

a

b

au

aua

aauu

du 22

22ln

1)7

b

a

b

aau

au

aua

duln

2

1)3

22

b

a

b

aauu

aau

uduau 22

22222 ln

22)8

b

a

b

aauu

au

du 22

22ln)4

b

a

b

aauu

aau

uduau 22

22222 ln

22)9

b

a

b

aauu

au

du 22

22ln)5

b

a

b

aa

uarcsen

aua

uduua

22)10

22222

Ejemplos:

1322.20661.10661.13

10arctan

6

5

3

10arctan

6

53

2arctan

3

1

2

5

34

2

2

15

3;9

2;2;4

arctan1

94

5)1

5

5

5

52

2

22

22

5

5 2

x

x

dx

aa

dxduxuxu

a

u

aau

du

x

dx

b

a

b

a

2464.16233.06231.07630.122

17626.1

22

11715.0ln

22

18280.5ln

22

1

7071.1

2928.0ln

22

1

2928.0

7071.1ln

22

1

12

12ln

22

1

12

12ln

22

1

12

12ln

22

1

21

2

2

1

2;2;2

;1;1

ln2

1

21

1)2

21

21

21

21

2

1

2

1

2

1

2

1 2

2

2

22

2

1

2

1 2

x

x

x

dx

dxduxuxu

aa

au

au

aua

du

dxx

b

a

b

a



85

571.0414.2985.25)3(3ln2

35)4(4ln

2

3

5ln2

3

)5()(

)(

2

3

5;5

;;

ln

52

3)3

22

4

3

24

3 22

43

2

22

22

22

4

3 2

xxx

dx

aa

dxduxuxu

auuau

du

x

dx

ba

b

a

b

a

2

1

2

222

222

22222

1

2 2142

1

1;1;2;2;4

ln2214)4 dxx

aadxduxuxu

auua

auu

duaudxx

b

a

b

a

2

1

22

2

1

22

2 142ln4

114

214)2(ln

2

)1(14

2

)2(

2

1

xxx

xxxx

x

1)1(4)1(2ln

4

11)1(4

2

)1(1)2(4)2(2ln

4

11)2(4

2

)2( 2222

1256.63609.01180.15236.01231.452ln4

1

2

5174ln

4

117

2;4;;;

ln24

2

1

2

4)5

222

2222222

0

22

0

2

aadyduyuyu

auuauu

duaudyydy

yb

a

b

a

2

0

222

0

22 4)(ln44

4)(ln2

)4(4

2

)(

2

1

yyy

yyyy

y

)4()0()0(ln)4()0(

4

)0(4)2()2(ln4)2(

4

)2( 2222

2956.26931.005745.14142.1

Ejercicios:

Tipo I. Por las fórmulas de integración definida de funciones que contienen las formas 22 au integrar:

2

2 24)1

x

dxdx

x 1

1 2 83

2)4

2

1

2

1 2416

5)7 dx

x

0

5 2 9

5)2 dx

x

4

6 2 1)5

x

dx

4

2

2 423)8 dxx

2

1

2

1 294

2)3 dx

x

4

3 2 162

2)6 dx

x 4

1

4

1

2

3

5105)9 dx

x



86

Clase: 3.7 Integrales impropias. Guía:- Definición de las integrales impropias.- Clasificación de las integrales impropias.- Cálculo de las integrales impropias.- Ejemplos. - Ejercicios.

Definición de las integral impropia:

Son las integrales definidas de funciones que se caracterizan porque al menos uno de los extremos del intervalos es infinito; o bien presentan al menos un punto de discontinuidad.

Las integrales impropias son evaluables si existe el límite y se dice que la función es convergentes; en cambio no son evaluables si no existe el límite y se dice que la función es divergentes.

Clasificación de las integrales impropias:

Las integrales impropias se clasifican según su intervalo de definición, así tenemos:

Clasificación Subtipo

Intervalo Representación gráfica Estructuración de la integral

1A a, a a

t

límt dxxfdxxf

1

1)()(

1B ,b 2

2)()(

t

bb

límt dxxfdxxf

Tipo 1 ó de 1ª clase

Característica:Presentan al menos un intervalo infinito

1C ,

c

t

t

c

límt

límt

c

c

dxxfdxxf

dxxfdxxf

dxxf

1

2

21)()(

)()(

)(

2t

)(xfy

b

)(xfy

a 1t

)(xfy

2t1t c



87

2A ba, 1

1)()(

t

a

b

a

límbt dxxfdxxf

2B cb,

c

t

c

b

lím

btdxxfdxxf

22)()(

Tipo 2 ó de 2ª clase

Característica:Presentan al menos un punto de discontinuidad

2C cba

1

221)()(

)()(

)(

t

a

c

t

lím

bt

lím

bt

b

a

c

b

c

a

dxxfdxxf

dxxfdxxf

dxxf

Ejemplo 1) Dada la función 2

1

xy y extremos de intervalos :1;2 xyx

a) Haga el bosquejo de la gráfica. b) Determine los intervalos sujetos a una posible evaluación de la integral impropia. c) Clasifíquela según corresponda. d) Estructurar las integrales impropia.

a) En el intervalo 2, Integral impropia tipo 1

b) En el intervalo ,1 Integral impropia tipo 1

c) En el intervalo 0,2 Integral impropia tipo 2

d) En el intervalo 1,0 Integral impropia tipo 2

e) En el intervalo 1,2 Integral impropia tipo 2

102

2

1

xy

)(xfy

c2tb

Asíntota vertical

)(xfy

1ta

Asíntota vertical

b

2t

1t

Asíntota vertical

)(xfy

a cb



88

dxx

dxx

at

límt

2

2

2

21

1

11)

dxx

dxx

btlím

t 2

2 1 21 2

11)

dx

xdx

xc

tlímt

1

1 2 20

0

2 2

11)

dxx

dxx

dt

límt

1

20

1

0 22

2

11)

dx

xdx

xdx

xdx

xdx

xe

t

límt

tlímt

1

202 20

0

2

1

0 22

1

2 22

2

1

1

11111)

Ejemplo 2) Dada la función x

y1

y extremos de intervalos xyxx ;1;0 :

a) Haga el bosquejo de la gráfica. b) Determine los intervalos sujetos a una posible evaluación de la integral impropia c) Clasifíquela según corresponda, d) Estructurar las integrales impropia.

a) En el intervalo 1,0 Integral impropia tipo 2

b) En el intervalo ,1 Integral impropia tipo 1

dxx

dxx

at

límt

1

0

1

0 22

11)

dxx

dxx

btlím

t 2

2 11

11)

Cálculo de las integrales impropias.

Integrales impropias del tipo 1 con intervalo de (α, a].

Ejemplos 1) Sea: 2

1

xy Calcula el valor de la integral en el intervalo 1, .

11

1

11

1

1

1

111

21

2

tx

xdxxdx

x

límt

t

límt

tt

límt

límt

Ejemplo 2) Sea: x

y

2

1 Calcula el valor de la integral en el intervalo 1, .

0

)(2ln)1(2ln

2ln)(2

1)(

2

1 111

t

xdxx

dxx

límt

límtt

límt

Interpretación del resultado: Esta integral no es evaluable y la función es divergente.

xy

1

1 0

1

2

1

xy

xy

2

1

1



89

Ejemplo 3) Sea: xey Calcula el valor de la integral en el intervalo 0, .

10100

000

eeee

edxedxe

tlímt

txlím

tt

xlímt

x

Integrales impropias del tipo 1 con intervalo [b, α).

Ejemplo: Sea: 2

1

xy Calcula el valor de la integral en el intervalo ,1

11

111

1

1

1

11

12

1 2

tt

lím

xt

lím

x

t

límdxx

t

límdx

x

t

tt

Integrales impropias del tipo 1 con intervalo de (-α, α).

Ejemplo: Sea: 1

12

x

y Calcular el valor de la integral en el intervalo: ,

022

0

0tantantan0tan

tantan

1

1

1

1

1

1

21

00

0

0 222

21

2

211

1

2

21

arctarctarcarc

xarcxarc

dxx

dxx

dxx

límt

límt

tlímtt

límt

t

tlímt

límt

0

1

0

xey

1

12

x

y

2t1t



90

Integrales impropias del tipo 2 con intervalo de [a, b) y discontinuidad en b.

Ejemplo: Sea: x

y

1

Calcula el valor de la integral en el intervalo .0,4

t lím

t

lím

t

b

a

t

a

lím

bt

dxxdxx

bax

xf

dxxfdxxf

dxx

4

0

42

1

00

0

4

1)1(1

0;4

1)(

)()(

1

4420)4(2)0(22

1 00

0

4

21

0

lím

t

lím

t

lím

t

x

Integrales impropias del tipo 2 con intervalo de (b, c] y discontinuidad en b.

Ejemplo: Sea: x

y1

1 Calcula el valor de la integral en el intervalo: .1,0

3)00()21(

21212

11

11

11

0

1

0

1

0

1

0

1

0

ttxx

dxx

dxx

dxx

lím

ttlím

t

t

lím

tt

lím

t xy

11

1t0

4 t 0



91

Integrales impropias del tipo 2 con intervalo de a < b < c y discontinuidad en b.

Ejemplo: Sea: 3 2 44

3

xxy Calcula el valor de la integral en el intervalo: 4,0

4

3 220 3 22

4

2 3 2

2

0 3 2

4

0 3 2

4

0 3 2

12

1

1 )2(3

)2(3

)2(3

)2(3

)2(

3

44

3

t

lím

t

tlím

t x

dx

x

dx

x

dx

x

dx

x

dx

xx

dx

6786.22)03393.11()3393.110(2)(92)0(9

2)4(92)(92929

31

)2(3

31

)2(3

)2(3

)2(3

322

32

32

312

43

20

32

4

31

2

0

31

2

4

3 220 3 22

21

212

2

1

1

2

2

1

112

1

1

t

txx

xx

x

dx

x

dx

lím

t

lím

t

lím

t

lím

tt

lím

t

tlím

t

t

lím

t

t

lím

tt

lím

t

tlím

t

Ejercicios:

Tipo I. Dada la función y extremos de intervalos: a) Haga el bosquejo de la gráfica. b) Determine los intervalos sujetos a una posible evaluación de la integral impropia c) Clasifíquela según corresponda.

;0;1;1

)1 xxxx

y 1;0;1

1)4

xxx

xy

0;1;1

)2

xxxx

y

xxxx

y ;0;11

1)5

xxxxxx

y ;10;1;4

4)3

2

Tipo II. Calcular el valor de las integrales impropias tipo 1 con intervalo (α, a]; en el intervalo que se indica.

1,1

)1 x

y 0,1

1)4

xy

2,1

)2 x

y 2,4

1)5

2

xy

1,1

)3

x

y 4,32

10)6

2

xy

420 21 tt



92

Tipo III. Calcular el valor de las integrales impropias tipo 1 con intervalo [b, α); en el intervalo que se indica.

,11

)1x

y ,11

)3x

y ,24

1)5

2

xy

,11

)2x

y ,01

1)4

xy

Tipo IV. Calcular el valor de las integrales impropias tipo 1 con intervalo (-α, α); en el intervalo que se indica.

,9

1)1

2

xy ,

4

1)2

2

xy

Tipo V. Calcular el valor de las integrales impropias tipo 2 con intervalo[a, b) y discontinuidad en b; en el intervalo que se indica.

0,11

)1 x

y 0,31

)3

x

y 1,01

1)4

xy

0,21

)2 x

y

Tipo VI. Calcular el valor de las integrales impropias tipo 2 con intervalo (b, c] y discontinuidad en b; en el intervalo que se indica.

2,01

)1x

y 3,01

)3x

y 0,11

1)4

xy

1,01

)2x

y

Tipo VII. Calcular el valor de las integrales impropias tipo 2 con intervalo de a < b < c y discontinuidad en b; en el intervalo que se indica.

2

0 3 2 12

5)1

xx

dx 2,21

)22

x

y 3,2)12(

3)3

3 2

xy



93

Evaluaciones tipo: Unidad 3



4

12)1 dxx

Indicadores a evaluar: - Hacer el bosquejo de la gráfica.- Hacer el cálculo.

Valor: 20 puntos.

1

1

2 4)2 dxxIndicadores a evaluar: - Hacer el cálculo.

Valor: 20 puntos.

dxx 0

1413)3

Indicadores a evaluar: - Hacer el cálculo.

Valor: 20 puntos.

dxx

2

0 2cos3

)4 Indicadores a evaluar:

- Hacer el bosquejo de la gráfica.- Hacer el cálculo.

Valor: 20 puntos.

dxx

2

4 3 2)2(

2)5

Indicadores a evaluar: - Hacer el bosquejo de la gráfica.- Estructurar la integral impropia.- Hacer el cálculo.

Valor: 20 puntos.



1

14)1 dx


Valor: 20 puntos.

1

21)2 dxx


Valor: 20 puntos.

dxx 0

122)3


Valor: 20 puntos.

dxxSen

0 4)4


Valor: 20 puntos.

3

0 2 9410

)5x

dx Indicadores a evaluar: - Hacer el bosquejo de la gráfica.- Hacer el cálculo.

Valor: 20 puntos.



94

Formulario de integración definida de funciones elementales: Unidad 3.

Propiedades de la integral definida de funciones elementales:

b

abadxxf 0)()1

c

a

b

a

c

bcbadxxfdxxfdxxf )()()()4

b

a

a

bdxxfdxxf )()()2

b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf )()()()()5

b

a

b

adxxfkdxxfk )()()3

Fórmulas de integración definida de funciones elementales:

Algebraicas:

b

adx 00)1

b

a

b

akxdxk)3 b

a

b

axdx

xln

1)5

b

a

b

axdx)2

b

a

b

a

xdxx

2)4

2

Exponenciales:

b

a

b

axx edxe)1

b

a

b

a

xx

a

adxa

ln)2

Logarítmicas:

ba

b

axxdxx 1lnln)1

b

a

b

a

aa e

xxdxx loglog)2

Trigonométricas:

b

a

b

axdxxsen cos)1

b

a

b

axsendxx lncot)4

b

a

b

axsendxxcos)2

b

a

b

axxdxx tanseclnsec)5

b

a

b

axdxx coslntan)3

b

a

b

axxdxx cotcsclncsc)6


b

a

b

axxarcsenxdxxarcsen 21)1

b

a

b

a

xxarcxdxxarc 1ln2

1cotcot)4 2

b

a

b

axxxdxx 21arccosarccos)2 b

a

b

axxxarcxdxxarc 1lnsecsec)5 2

b

a

b

a

xxxdxx 1ln2

1arctanarctan)3 2

b

a

b

axxxarcxdxxarc 1lncsccsc)6 2



95

Hiperbólicas:

b

a

b

axdxxsenh cosh)1 b

a

b

axsenhdxx lncoth)4

b

a

b

axsenhdxxcosh)2b

a

b

a

xdxxh

2tanharctan2sec)5

b

a

b

axdxx coshlntanh)3

b

a

b

a

xdxxh

2tanhlncsc)6

Hiperbólicas inversas:

b

a

b

axxarcsenhxdxxarcsenh 1)1 2

b

a

b

a

xxxarcdxxarc 1ln2

1cothcoth)4 2

b

a

b

axxhxdxxh 1arccosarccos)2 2b

a

b

a x

xxhxarcdxxharc

21arctansecsec)5

b

a

b

a

xxhxdxxh 1ln2

1arctanarctan)3 2

b

a

b

axxhxxarcdxxharc 1lncsccsc)6 2



96

Formulario de integración definida de funciones que contienen xn y u: Unidad 3.

Propiedades de la integral definida de funciones que contienen xn y u.

b

abadxxf 0)()1

c

a

b

a

c

bcbadxxfdxxfdxxf )()()()4

b

a

a

bdxxfdxxf )()()2

b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf )()()()()5

b

a

b

adxxfkdxxfk )()()3

Fórmula de funciones algebraicas que contienen “xn. 011

)11

nn

xdxx

b

a

b

a

nn

Fórmulas de integración definida de funciones que contienen u.

Algebraicas: b

a

b

audu)1

b

a

b

a

nn

n

uduu

1)2

1 b

a

b

audu

uln

1)3

Exponenciales: b

a

b

auu edue)1

b

a

b

a

uu

a

adua

ln)2

Logarítmicas: b

a

b

auuduu 1lnln)1

b

a

a

b

a a e

uuduu

loglog)2

Trigonométricas:

b

a

b

auduusen cos)1

b

a

b

auduuu sectansec)7

b

a

b

ausenduucos)2

b

a

b

auduuu csccotcsc)8

b

a

b

auduu coslntan)3

b

a

b

auduu tansec)9 2

b

a

b

ausenduu lncot)4

b

a

b

auduu cotcsc)10 2

b

a

b

auuduu tanseclnsec)5

b

a

b

a

uuuuduu tansecln2

1tansec

2

1sec)11 3

b

a

b

auuduu cotcsclncsc)6


b

a

b

auuarcsenuduuarcsen 21)1

b

a

b

auuarcuduuarc

1ln2

1cotcot)4 2

b

a

b

auuuduu 21arccosarccos)2 b

a

b

auuuarcuduuarc 1lnsecsec)5 2

b

a

b

auuuduu

1ln2

1arctanarctan)3 2 b

a

b

auuuarcuduuarc 1lncsccsc)6 2



97

Hiperbólicas:

b

a

b

auduusenh cosh)1

b

a

b

auduuh tanhsec)7

2

b

a

b

ausenhduucosh)2

b

a

b

auduuh cothcsc)8

2

b

a

b

auduu coshlntanh)3

b

a

b

ahuduuuh sectanhsec)9

b

a

b

ausenhduu lncoth)4

b

a

b

auhduuuh csccothcsc)10

b

a

b

a

uduuh

2tanharctan2sec)5

b

a

b

a

uduuh

2tanhlncsc)6


b

a

b

auuarcsenhuduuarcsenh 1)1 2

b

a

b

a

uuuarcduuarc 1ln2

1cothcoth)4 2

b

a

b

auuhuduuh 1arccosarccos)2 2

b

a

b

au

uuhuarcduuharc

21arctansecsec)5

b

a

b

a

uuhuduuh 1ln2

1arctanarctan)3 2

b

a

b

auuuharcuduuharc 1lncsccsc)6 2

Formulario de integración definida de funciones que contienen las formas 22 au : Unidad 3.

b

a

b

aa

u

aau

duarctan

1)1 22

b

a

b

aa

uarcsendu

ua

du22

)6

b

a

b

aau

au

aau

duln

2

1)2

22

b

a

b

au

aua

aauu

du 22

22ln

1)7

b

a

b

aau

au

aua

duln

2

1)3

22

b

a

b

aauu

aau

uduau 22

22222 ln

22)8

b

a

b

aauu

au

du 22

22ln)4

b

a

b

aauu

aau

uduau 22

22222 ln

22)9

b

a

b

aauu

au

du 22

22ln)5

b

a

b

aa

uarcsen

aua

uduua

22)10

22222



98

Formulario de integrales impropias: Unidad 3.

Integrales impropias del tipo 1 con intervalo de a, :

∫∫ )()(- ∝-→

a

t

a límt dxxfdxxf

Integrales impropias del tipo 1 con intervalo de ,b :

t

bb

límt dxxfdxxf )()(

Integrales impropias del tipo 1 con intervalo de , :

∫ ∫∫∫∫

1

2

21)()(

)()()(

→∝-t

--

c

t

t

c

límt

lím

c

c

dxxfdxxf

dxxfdxxfdxxf

Integrales impropias del tipo 2 con intervalo de ba, y

discontinuidad en :b

t

a

b

a

lím

btdxxfdxxf )()(

Integrales impropias del tipo 2 con intervalo de cb, y

discontinuidad en a:

c

t

c

b

lím

btdxxfdxxf )()(

Integrales impropias del tipo 2 con intervalo de cba y

discontinuidad en .b

1

221)()(

)()()(

t

a

c

t

lím

bt

lím

bt

c

b

b

a

c

a

dxxfdxxf

dxxfdxxfdxxf

t a

tb

ta

Asíntota vertical

b

)(xfy

t cb

Asíntota vertical

)(xfy

Asíntota vertical

2ta b c

1t

)(xfy

2t1t c



99

Es difícil y a veces hasta imposible, poder coexistir en una sociedad donde impera la corrupción.

La simulación es otra forma mas de mentir, sólo que ahora se encuentra potenciada con el engaño y es el principio de ser perverso.

Lo bueno de las matemáticas, es que no permiten el uso de estas deficiencias humanas.


UNIDAD 4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL.

Clases:4.1 Cálculo de longitud de curvas.4.2 Cálculo de áreas.4.3 Cálculo de volúmenes.4.4 Cálculo de momentos y centros de masa.4.5 Cálculo del trabajo.

- Evaluaciones tipo.- Formulario de aplicaciones de la integral.



100

Clase: 4.1 Cálculo de longitud de curvas. Guía:- Conceptos básicos.- Integral para el cálculo de longitud de curva. - Ejemplos.- Método. - Ejercicios.

Conceptos básicos:

Curva: Es una porción de la gráfica de una función limitada por un intervalo.Arco: Es una porción limitada de la curva.Cuerda: Es la recta que toca los puntos extremos de un arco.Curva rectificable; (Definición):

Sean:2R Un plano rectangular.

],[ ba un intervalo cerrado en el eje de las “X”.

f la gráfica de una función continua baxfy ,)( .

n,,3,2,1 las particiones del intervalo ],[ ba de tal forma que

bxyxxxxax nn ;; 2100

una partición en el intervalo ],[ ba

1 iii xxx una iésima partición de ],[ ba

iL la cuerda de ix

iL la longitud de la cuerda de ix

n

iiL

1

la sumatoria de las longitudes de todas de la cuerdas en ],[ ba .

Sí nxi 0 que transformada a límites quedaría:

10

ni

límx x

iSí el límite existe entonces se dice que la curva es rectificable.

Integral para el cálculo de longitud de curva.

Sean:)(xfy una curva rectificable.

ix un iésimo subintervalo de ],[ ba

iy un iésimo subintervalo en el eje “Y” como resultado de las imágenes de ix

iL la iésima hipotenusa del triángulo cuyos catetos son ii yyx

n

iix

1

es la longitud aproximada de la curva en el intervalo ., ba

Sí nxi 0 entonces:

10

ni

límx xL

i es la longitud exacta de la curva en el intervalo ],[ ba

Curva

nn xxxxx

ba

1210

iL

a bix

iL

a b

iyix

Intervalo

Arco

Cuerda



101

Como:

)(12

2

2

2

22222

ii

ii

i

i

i

i

i

iiiiii x

x

yx

x

y

x

x

x

xyxyxL

Entonces: in i

ilímx

ni

límx x

x

yxL

ii

1

2

01

0 1

Que traducido a una integral, esta quedaría: b

adxxfL 2)(1

De la misma forma y por paráfrasis matemática d

cdyyfL 2)(1

Método:

1) Haga el bosquejo de las gráficas e identifique la longitud de la curva a calcular.

2) Identifique )()(,, yfóxfba3) Formule la integral para el cálculo de la longitud de la curvas.4) Calcule la longitud de la curva.

Ejemplos:

1.- Calcular la longitud de la recta 2y entre el intervalo 31 xyx :

413)1()3(

101

0)(

0)(

2)(

3

1

)(1

3

1

3

1

31

2

2

xdxdx

xf

xf

xf

b

a

dxxfLb

a

2.- Calcular la longitud de la recta xy entre el intervalo 21 xyx :

2

1

2

1

2

2 4142.1211

1)(

1)(

)(

2

1

)(1 xdx

xf

xf

xxf

b

a

dxxfLb

a

3.- Calcular la longitud de la curva 22 xy entre el intervalo 21 xyx :

b

adxx

xxf

xxf

xxf

b

a

dxxfL2

1

2

22

22 1256.641

4)(

2)(

2)(

2

1

)(1

2y

3-1

xy

21

22 xy

-1

2

d

c

a b



102

4.- Calcular la longitud de la curva 32 xy entre el intervalo de intersección con

la recta 1 xy :

b

a

dxx

xxfxxf

xxf

ba

xxxx

dxxfL

1256.6

41

4)(;2)(

3)(

2;1

2;1;13

)(1

2

1

2

22

2

212

2

5.- Calcular la longitud de la curva xy 4 entre el intervalo 10 xyx :

dxx

xfxf

xxf

ba

dxxfLb

a

xxx

1

0121

42

2 11

)(;)(

4)(

1;0

)(1

El resultado es una integral que parece difícil de resolver en ausencia de software, sin embargo al calcular la longitud de la curva con respecto al eje “Y”, se observa que la integral es solucionable con métodos ya conocidos, como lo veremos a continuación.

2

0

22

0 4

4

2

24

4

4

4

2

2956.242

11

)(;)(;)(

221

000

4

)(1

2

22

2

2

2

dyydy

yfyfyf

dycomo

cycomo

xxySí

dyyfL

y

d

c

yyy

y

y

y

Ejercicios:

Tipo I. Calcular la longitud de las siguientes curvas en el intervalo especificado:

1) 1 xy Intervalo: 40 xyx 2) 24 xy Intervalo: 02 xyx

Tipo II. Calcular la longitud de las siguientes curvas en el intervalo especificado:

1)1 2 xy entre el intervalo de intersección con la recta 3y23)2 xy entre el intervalo de intersección con la curva

22xy 2)3 2 xy entre el intervalo de intersección con la curva xy

Tipo III. Calcular la longitud de las siguientes curvas en el intervalo especificado:

1) xy Intervalo: 21 xyx 3) xy 3 Intervalo: 41 xyx

2) xy 21 Intervalo: 20 xyx

4

2yx

2

xy 4

1

-1

2



103

Clase: 4.2 Cálculo de áreas. Guía:- Clasificación de las áreas.- Cálculo de áreas limitadas por una función y el eje “x”; que se localizan arriba del eje de las “x”.- Cálculo de áreas limitadas por una función y el eje “x”; que se localizan abajo del eje de las “x”.- Cálculo de áreas limitadas por una función y el eje “x”; que se localizan arriba y abajo del eje de las “x”.- Cálculo de áreas limitadas por dos funciones y localizadas en cualquier parte de R2.- Cálculo de áreas limitadas por dos ecuaciones y localizadas en cualquier parte de R2.- Ejemplos.- Ejercicios.

Clasificación de las áreas:

Las áreas para efectos de cálculo se clasifican según sus características y localización, así tenemos:

Clasificación Localización Representación gráfica Estructuración de la integral

Tipo I Áreas limitadas por una función y el eje “x”; que se localizan arriba del eje de las “x”.

b

adxxfA )(

Tipo II Áreas limitadas por una función y el eje “x”; que se localizan abajo del eje de las “x”.

b

adxxfA )(

Tipo III Áreas limitadas por una función y el eje “x”; que se localizan arriba y abajo del eje de las “x”.

c

b

b

adxxfdxxf

AAA

)()(

21

Tipo IV Las áreas limitadas por dos funciones y localizadas en cualquier parte de R2. dxxgxfA

b

a )()(

Tipo V Áreas limitadas por dos ecuaciones y localizadas en cualquier parte de R2.

dyygyfAd

c )()(

ba

)(xfy

A

a

A

ba

)(xgy

)(xfy

ba

)(xfy

A

c

)(xfy

1A2Ab

A

d

c )( yfx

)( ygx



104

Cálculo de áreas limitadas por una función y el eje “x”; que se localizan arriba del eje de las “x”.

Por definición de la integral definida, se entiende que el valor de la integral de la función )(xfy para 0)( xf es el área bajo la gráfica de la función

entre las rectas ;bxyax entonces podemos concluir:

b

adxxfA )(

Cálculo de áreas limitadas por una función y el eje “x”; que se localizan abajo del eje de las “x”.

Sí para una función )(xfy en el intervalo ba, para 0)( xf es el área

bajo la gráfica de la función, entonces para 0)( xf podemos inferir que:

b

adxxfA )(

Cálculo de áreas limitadas por una función y el eje “x”; que se localizan arriba y abajo del eje de las “x”.

De las dos inferencias anteriores podemos concluir la presente fórmula para el cálculo del valor del área, y desde luego podemos hace extensivo el razonamiento para casos similares. Así en el presente caso tenemos:

c

b

b

adxxfdxxfAAA )()(21

Cálculo de áreas limitadas por dos funciones y localizadas en cualquier parte de R2.

Al analizar la función )(xfy en el intervalo ba, para 0)( xf es el área

bajo la gráfica de la función con signo positivo, y que para 0)( xf también

es el área pero con signo negativo, ahora podemos inferir una nueva fórmula para el caso de áreas limitadas entre dos ó más gráficas y que desde luego podemos hace extensivo el razonamiento para casos en todo el espacio rectangular.

b

adxxgxfA )()(

Método; (áreas limitadas por una función y el eje de las “X”): 1) Haga el bosquejo de la gráfica e identifique el área limitada.2) Identifique la fórmula.3) Identifique ).(; xfyba

Notas: a) De ser necesario obtenga los puntos de intersección entre la gráfica de )( xfy y el eje de las “X”

b) Para el caso en que el área se localice en la parte superior e inferior del eje “X” también será necesario identificar u obtener el punto c . 4) Formule la integral definida.5) Calcule el área.

Método; (áreas limitadas por dos funciones) 1) Haga el bosquejo de las gráficas e identifique el área limitada.2) Identifique la fórmula.3) Identifique ).()(;; xgyxfba Nota: De ser necesario obtenga los puntos de intersección entre las gráficas de )( xfy y )(xgy 4) Formule la integral definida.5) Calcule el área.

ba

)(xfy

A

ba

)(xfy A

ca

)(xfy

1A2Ab

A

ba

)(xgy

)(xfy



105

Ejemplos:

1) Calcular el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son: y = 2; y = 0; x = 1; y x = 5

5

1

51 8)1(2)5(222

2)(

5

1

)( xdx

xf

b

a

dxxfAb

a

Nota: Esta área la podemos corroborar al calcular por geometría el área de un rectángulo que es: 8)2()4( ladoxladoA ; sin embargo el cálculo integral se ocupa de problemas mas complejos

como lo veremos a continuación.

2) Calcular el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:

01 2 yyxy

b

a xx

dxx

xxfba

xxxdxxfA

3

4

3

1

1)(;1;1

1;101)( 1

1

3

1

1

2

2

212


4;0; xyyxy

4

0

4

0

3

3

16

3

2

)(

4;0)(

xdxx

xxf

badxxfA

b

a

4) Calcular el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son: 11;0; xyxyxy

0

1

1

0

20

1

21

0

21

122

)(

1;0;1)()(

xxdxxdxx

xxf

cbadxxfdxxfAAA

b

a

c

b

5) Calcular el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son: y = 2; y = 1; x = 1; y x = 5

4)1()5(12

1)(

2)(

5

1

)()( 51

5

1

xdx

xg

xf

b

a

dxxgxfAb

a

Nota: Nuevamente insistimos que esta área la podemos corroborar al calcular por geometría el área de un rectángulo que es: 4)1()4( ladoxladoA ; sin embargo el cálculo integral se ocupa de problemas

mas complejos como lo veremos a continuación.

2A

1A 1x

1x

x=5x=1

y=2

y=0

A

0y

21 xy

A

4x

A 0y

)(xfy

xy

x=1

y=2

x=5

y=1A



106


xyyxy ;2

3

1

33

2

)(;)(

1;0

1;0)()( 1

0

33

1

0

2

2

21

2

xx

dxxx

xxgxxf

ba

xx

xx

dxxgxfAb

a


2;2 2 yyxy

3

32

34

4

)2()2(

2)(;2)(

2;2

2;2

22

)()(2

2

3

2

2

2

2

2

2

2

21

2

x

x

dxx

dxx

xgxxf

ba

xx

x

dxxgxfAb

a

Cálculo de áreas limitadas por dos ecuaciones y localizadas en cualquier parte de R2.

Aplicando los conocimientos sobre cálculo de áreas de dos ó más funciones localizadas en cualquier parte de R2 y por paráfrasis matemática podemos inferir que:

dyygyfA

d

c )()(

Método; (para una ecuación y el eje “Y”):1) Haga el bosquejo de la gráfica e identifique el área limitada.2) Identifique la fórmula.3) Identifique ).(;; yfyba Nota: De ser necesario obtenga los puntos de intersección entre la gráfica de )( yfx y el eje de las “Y”.

4) Formule la integral definida.5) Calcule el área.

Método; (para dos ecuaciones):1) Haga el bosquejo de las gráficas e identifique el área limitada.2) Identifique la fórmula.3) Identifique ).()(;; ygyyfbaNota: De ser necesario obtenga los puntos de intersección entre las gráficas de )( yfx y de )( ygx 4) Formule la integral definida.5) Calcule el área.

Ejemplos:


0;22 xyyyx

d

c yy

dyyy

yyyfdc

yyyydyyfA

3

4

3

2

2)(;2;0

2;002)( 2

0

32

2

0

2

2

2

A

22 xy

2y

A

2xy xy

A

0y

2y

A

d

c )( yfx

)( ygx



107


0;22 xyyyx

d

c yy

dyyy

yyyfdc

yyyydyyfA

3

42

3

2

2)(;0;2

0;202)( 2

0

3

2

0

2

2

212


yxyyx 22

5.4223

2)2()(

2)(;)(;2;1

2;12)()(

2

1

2

1

2

1

2322

2

212

yyy

dyyydyyy

yygyyfdc

yyyydyygyfA

d

c

Ejercicios:

Tipo I. Calcular el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:

1) y = 3 y = 0 x = 0 x = 5

4

0

)4

x

y

xy

0

2

1)7 3

y

x

xy2

)10

xy

xy

2

4)13 2

xy

xy

0

0

24)2

x

y

xy

8

0

)5 3

x

y

xy

5

2

3

1)8

x

x

y

y

xy

xy

22)11

0

4)3 2

y

xy

4

0

0

1)6

x

x

y

xy

1

1

1)9

x

y

xy

2

2)12 2

xy

xy

Tipo II. Calcular el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:

0

2)1 2

x

yyx

2

0

)2 2

y

x

yx

0

2)3 2

x

yx

1

)4 2

x

yx

2

)5 2

x

yx

A0y

2y

1

2

A



108

Clase: 4.3 Cálculo de volúmenes. Guía:- Integral para el cálculo del volumen generado por giro de áreas bajo la gráfica de una función.- Integral para el cálculo del volumen generado por áreas entre gráficas de funciones.- Métodos de investigación.- Ejemplos.- Ejercicios.

Integral para el cálculo del volumen generado por giro de áreas bajo la gráfica de una función.

Sean:

-2R

- ba , un intervalo cerrado X- A el área limitada por las gráficas de las funciones )(xfy y

0y definidas en ba , y las gráficas de las ecuaciones

ax y bx .

- Si giramos el área A alrededor del eje de las X se forma un volumen cilíndrico llamado "Sólido de revolución".- 'A el área transversal del cilindro en bx - h la altura del cilindro.

- r el radio del cilindro en bx .

- Si r es constante entonces el cilindro es recto, y su volumen es: hAV ' ; como 2' rA hrV 2

- Si r es variable entonces )(xfr ; 22 ))(( xfr y

b

adxabh

b

adxxfV 2))(( Llamado método de los discos.

Método de investigación:

1) Haga el bosquejo de las gráficas e identifique el área a girar. 2) Haga el bosquejo del volumen generado al girar el área alrededor del eje de las “X”.3) De ser necesario obtenga los puntos de intersección entre gráficas.4) Aplique la integral general de cálculo, e identifique sus componentes.5) Formule la integral específica.6) Calcule el volumen.

Ejemplos:

1) Calcular el volumen del sólido de revolución, generado al hacer girar alredor del eje de las “X” el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son: .3;1;0;2 xyxyy

Paso 1) Paso 2) Paso 3) No es necesario. Paso 4); 5) y 6).

3

1

3

1

2

2

844

4)(

2)(

3;1

)(

xdx

xf

xf

ba

dxxfVb

a

2y

0y3x1x

b

A

a

r

h

Ar

h



109

2) Calcular el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar alredor del eje de las “X” el área limitada

por las gráficas cuyas ecuaciones son: .4;0; xyyxy

.00 1 xx

82

0

2

16

2

)(

)(

4;0

)(

4

0

4

0

2

2

2

xdxx

xxf

xxf

ba

dxxfVb

a

Integral para el cálculo del volumen generado por áreas entre gráficas de funciones.

En la clase anterior estudiamos el volumen generado al girar el área bajo la gráfica de una función y obtuvimos que para el cálculo del volumen la ecuación

era: b

adxxfV 2))((

Sí ahora el área A es limitada por las gráficas de las funciones:

)()( xgyyxfy tales que )()( xgxf y por las rectas bxyax entonces:

b

adxxgxfV 22 ))(())((

Llamado método de las arandelas.


1) Haga el bosquejo de las gráficas e identifique el área a girar. 2) Haga el bosquejo del volumen generado al girar el área alrededor del eje de las “X”.3) De ser necesario obtenga los puntos de intersección entre gráficas.4) Aplique la integral general de cálculo, e identifique sus componentes.5) Formule la integral específica.6) Calcule el volumen.

Ejemplos:


por las gráficas cuyas ecuaciones son: 4;2;1;5 xyxyy

4

2

4

2

42

2

222

482424125

1)(;1)(

25)(;5)(

4

2

))(())((

xdxdx

xgxg

xfxf

b

a

dxxgxfVb

a

A

a b

A'h)(xfy

)(xgy

0y

xy

4x

5y

2 4

1y



110


por las gráficas cuyas ecuaciones son: .4;1;1; xyxyxy

4

1

4

1

32

2

2222

183

1

1))((;1)(

))((;)(

4;1

))(())((

xx

dxx

xgxg

xxfxxf

ba

dxxgxfVb

a

3) Calcular el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar el área alredor del eje de las “X” el área

limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son: .1;2 2 yyxy

Paso 1) Paso 2) Paso 3)

1;1

112

21

22

xx

xx

Pasos 4): 5) y 6)

15

563

3

4

5

)1()44(

1)(;1)(

442)(

2)(;1;1

))(())(( 1

1

35

1

1

24

2

24222

2

22

xxx

dxxx

xgxg

xxxxf

xxfba

dxxgxfVb

a

Ejercicios:

Tipo I. Calcular el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar alrededor del eje de las “X”s

el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:

.42;0;2)1 xyxyy .04)3 2 yyxy

.31;0;)2 xyxyxy .80;)4 3 xyyxy

Tipo II. Calcular el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar alrededor del eje de las “X”s

el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:

.52;1;3)1 xyxyy .)3 2 xyyxy

31;)2 xyyxy

1y

22 xy

xy

1y

4x1x



111

Clase: 4.4 Cálculo de momentos y centros de masa. Guía:- Conceptos básicos.- Integrales para el cálculo de momentos y centros de masa; de láminas con área bajo la gráfica de una función.- Método de investigación.- Integrales para el cálculo de momentos y centros de masa; de láminas con área entre gráficas de funciones.- Método de investigación.- Ejemplos.- Ejercicios.

Conceptos básicos:

Masa: es la cantidad de materia de un cuerpo.

Densidad de masa: Es la masa por unidad de volumen.

V

mm Donde: m es la densidad de masa en:

3mkgm ; 3ftlbm ; etc..

m la masa en: ..;; etclbkg mm

V el volumen en: ..;; 33 etcftm

Fórmula para el cálculo de la masa: Sí Vm

V

mmm

A continuación se presenta una tabla de densidades de masa de los materiales más comunes.

Tabla: Densidades de masa "" m .

Material 3mkgm 3ft

lbm Material 3mkgm

3ftlbm Material 3m

kgm 3ftlbm

Acero 7800 487 Hierro 7850 490 Plata 10500 654Aluminio 2700 169 Latón 8700 540 Plomo 11300 705Cobre 8890 555 Madera (Roble) 810 51 Vidrio 2600 162Hielo 920 57 Oro 19300 1 204

Lámina: Es una placa de material con densidad de masa uniforme, cuyo espesor “h” es despreciable con respecto a las dimensiones de la área, y por lo tanto la masa por área es la medida que usaremos; como extensión a este concepto observemos que el manejo comercial para la adquisición de estos materiales se

efectúa en ..;/;/ 22 etcftlbmkg ; es de aclarar, que aunque el kg es una

medida de fuerza y no de masa, haremos los cálculos en kilogramos masa mkgpor ser estos mas cercanos a la realidad profesional.

Región laminar: Es el área de una lámina localizada en el plano rectangular.

Centro de masa laminar: Es el punto de equilibrio de la lámina; entendiéndose este como el punto de apoyo donde tiene su efecto una fuerza hipotética perpendicular a la lámina que la mantiene estable. En realidad es el “centro de área” de la lámina, con la particularidad de que su espesor es despreciable.

h

A



112

Densidad laminar: Es la masa por unidad de área.

A

ml Donde: l es la densidad laminar en: ;;

22 ft

lb

m

kg mm m la masa en: ;; mm lbkg y

A es el área en: .; 22 ftm

Otra fórmula para el cálculo de la densidad laminar:

Sí hhA

AhAhVcomo

A

VVmcomo

A

mmlm

mmml ::

Fórmula para el cálculo de la masa: Si AmA

mll

Momentos de masa:

Momentos de masa con respecto a un punto:

Definición: Es la masa por la distancia a un punto de referencia.

Fórmula del momento de masa con respecto a un punto: mxM donde: ""mes la masa y ""x es la distancia.Nota: La definición común de “Momento” relaciona a la fuerza por la distancia, sin embargo el peso de una masa es un tipo de fuerza que es variable por el lugar en que se encuentra con respecto a la atracción de la gravedad, por lo que hemos preferido definir el “Momento de masa” por ser constante.

Momento de masa con respecto al eje “Y”:

Definición: Es la masa de la región laminar por la distancia horizontal entre el centro de masa laminar y el eje de las “Y”.

Fórmula del momento de masa con respecto al eje “Y”;

b

al

b

all

y dxxfxdxxfAcomoxAAm

comomxM )()(:

:

Momento de masa con respecto al eje “X”:

Definición: Es la masa de la región laminar por la distancia vertical entre el centro de masa laminar y el eje de las “X”.

Fórmula del momento de masa con respecto al eje “Y”;

b

a

l

b

a

ll

x dxxfxf

y

dxxfAyA

Am

comomyM 2)(

22

)(

)(:

Centro de masa:

Definición: Es el centro del área de la región laminar.

Fórmula del centro de masa:

m

M

m

M

m

MymyMSí

m

MxmxMSí

yxmc xy

xx

yy

,,..x

a b

y..mc

Punto

x m

a b

x ..mc

a by

..mc



113

Integrales para el cálculo de momentos y centros de masa; de láminas con área bajo la gráfica de una función.

2R un plano cartesiano.

ba, un intervalo cerrado en el eje “X”.

f la gráfica de una función )(xfy continua en ba,A el área de una región laminar de espesor ""h área bajo la gráfica de una función, y limitada por gráficas cuyas ecuaciones son: ;;;0);( bxyaxyxfy entonces:

b

adxxfA )( en

2m es el área.

hml en 2m

kg mes la densidad laminar.

Am l en mkg es la masa.

dxxfxMb

aly )( en mkgm . es el momento laminar con respecto al eje Y .

b

a

lx dxxfM 2)(

2

en mkgm . es el momento laminar con respecto al eje X .

m

M

m

Mmc xy ,..

en mm, es el centro de masa.

Observación: Como el Momento y la Masa contienen en su estructura formular la densidad laminar y dentro de esta a la densidad de masa y al tratarse de un cociente estas se eliminan por lo que al centro de masa tambiénes conocido con el nombre de “centroide”.


1) Haga el bosquejo del área.2) De ser necesario obtenga los puntos de intersección.3) Aplique las integrales generales de cálculo, e identifique sus componentes.4) Formule las integrales específicas y proceda a su cálculo.

Ejemplos:

Ejemplo 1.- Dada la lámina de aluminio de 10 mm de espesor y área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones

son: 4;1;2 xxy y el eje de las ;X con medidas en metros; Calcular: )a El área; )b La densidad

laminar; )c La masa; )d El momentos con respecto al eje ;""Y )e El momentos con respecto al eje ;"" X y

)f El centro de masa.

4

1

241 0.622

2)(

4;1)() mxdx

xf

badxxfAa

b

a

2

10001

00.27)01.0)(2700(01.010

2700)

3

m

kg

mmmhhb m

mmm

m

kgm

ml

m

mm

kgl

l kgmA

Amcm

00.162)0.6)(00.27(0.6

00.27)

2

2

1x 4x

2y

A

a b

)(xfy

Aax bx



114

mkgxdxxdxxdxxfxMd m

b

aly .40527227)2()27()()4

1

4

1

4

12

4

1

41

4

1

22 .00.1625442

272

2

)27()(

2) mkgxdxdxdxxfMe m

b

a

lx

),(1,5.2162

162,

162

405,..) mm

m

M

m

Mmcf xy

Es de observarse que a primera vista del rectángulo, el centro de masa se ubica en )1,5.2(

Ejemplo 2.- Dada la lámina de latón de 6.0 mm de espesor y área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son: 22 xy y 0y (el eje de las X), con medidas en metros; calcular: )a El área; )b La densidad laminar;

)c La masa; )d El momentos con respecto al eje ;""Y )e El momentos con respecto al eje ;"" X y )f El

centro de masa.

2

2

2

3

2

2

2

2

212

3

28

32

2

2)(

2;2

2;2;02

)()m

xx

dxx

xxf

ba

xxx

dxxfAab

a

2

10001

20.52)006.0)(8700(006.00.6

8700)

3

m

kg

mmmhhb m

mmm

m

kgm

ml

m

m

m

kgl

l kgmA

Amc

m

85.1963

28)20.52(

3

28

200.52

)2

2

mkgx

xdxxxdxxfxMd m

b

aly .00.04

20.52)2()20.52()()

2

2

422

2

2

mkgxxx

dxxdxxfMe m

b

a

lx .48.1574

3

4

52

20.522

2

)20.52()(

2)

2

2

352

2

222

),(8.0,085.196

48.157,

85.196

0,..) mm

m

M

m

Mmcf xy

Integrales para el cálculo de momentos y centros de masa; de láminas con área entre gráficas de funciones:

En la sección anterior estudiamos los momentos y centros de masa para láminas con área bajo la gráfica de una función, y mostramos para el cálculo las ecuaciones correspondientes al área, la densidad laminar, la masa, los momentos y el centro de masa; Ahora consideraremos el área

"" A circunscrita por dos funciones y limitada por las gráficas cuyas

ecuaciones son: )(xfy ; )(xgy ; ax ; y bx )()( xgxf

Entonces por paráfrasis matemática obtenemos las siguientes fórmulas

1 ..mc

5.2

2

A

2

)(xgy

)(xfy

ba

A



115

b

adxxgxfA )()( en

2m es el área.

hml en 2m

kgm es la densidad laminar.

Am l en mkg es la masa.

b

aly dxxgxfxM )()( en mkgm . es el momento laminar con respecto al eje Y .

b

a

lx dxxgxfM 22 ))(())((

2

en mkgm . es el momento laminar con respecto al eje X .

m

M

m

Mmc xy ,..

en mm, es el centro de masa.


1.- Haga el bosquejo del área entre las gráficas.2.- Aplique las integrales generales de cálculo, e identifique sus componentes.3.- Formule las integrales específicas y proceda a su cálculo.

Ejemplos:

1) Dada la lámina de cobre de 3.0 mm de espesor y el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:

;2;1;3 xyy ;5xy con medidas en metros; Calcular: )a El área; )b La densidad laminar; )c La

masa; )d El momentos con respecto al eje ;""Y )e El momentos con respecto al eje ;"" X y )f El centro

de masa.

25

2

5

2

5

2

0.62

213

1)(;3)(

5;2)()()

mx

dxdx

xgxf

badxxgxfAa

b

a

2

10001

67.26)003.0)(8890(003.00.3

8890)

3

mkg

mmmhhb m

mmm

m

kgm

ml

m

mm

kgl

l kgmA

Amcm

02.1600.6)67.26(0.6

67.26)

2

2

mkgxdxxdxxgxfxMd m

b

aly .07.56067.26)13()67.26()()()5

225

2

mkgxdxdxxgxfMe m

b

a

lx .04.3208

2

67.26)1()3(

2

)67.26()(())((

2)

5

2

5

2

2222

),(2.5,5.302.160

04.320,

02.160

07.560,..) mm

m

M

m

Mmcf xy

Es de observarse que a primera vista del rectángulo, el centro de masa se ubica en )2,5.3(

3y

5x

1y

2x

A

2

5.3

..mc



116

Ejemplo 2.- Dada la lámina de plata de 2mm de espesor y el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones

son: .; 2xyyxy con medidas en metros; Calcular: )a El área; )b La densidad laminar; )c La masa; )dEl momentos con respecto al eje ;""Y )e El momentos con respecto al eje ;"" X y )f El centro de masa.

2

1

0

32

1

0

2

2

2

12

6

1

32)(;)(

1;01

;0

)()()m

xx

dxxx

xxgxxf

bax

xxxSí

dxxgxfAab

a

2

10001

00.21)002.0)(10500(002.00.2

10500)

3

m

kg

mmmhhb m

mmm

m

kgm

ml

m

mm

kgl

l kgmA

Amcm

50.36

1)00.21(

00.21)

261

2

mkgxx

dxxxxdxxgxfxMd m

b

aly .75.143

00.21)()00.21()()()

1

0

431

0

2

mkgxx

dxxxdxxgxfMe m

b

a

lx .4.1

532

00.21)()(

2

)00.21()(())((

2)

1

0

531

0

22222

),(4.0,5.050.3

4.1,

50.3

75.1,..) mm

m

M

m

Mmcf xy

Ejercicios:

Tipo I. Dado el material y espesor de la lámina y las ecuaciones de las gráficas del área limitada con medidas en metros; Calcular: )a El área; )b La densidad laminar; )c La masa; )d El momentos con respecto al eje ;""Y

)e El momentos con respecto al eje ;"" X y )f El centro de masa.

1) Lámina de acero; espesor 3.0 mm; gráficas del área limitada 20;0;2 xyxyy2) Lámina de vidrio; espesor 6.0 mm; gráficas del área limitada 42;0;2 xyxyy

3) Lámina de cobre; espesor 5.0 mm; gráficas del área limitada 0;4 2 yyxy .

4) Lámina de oro; espesor 2.0 mm; gráficas del área limitada 4;0; xyyxy

Tipo II. Dado el material y espesor de la lámina y las ecuaciones de las gráficas del área limitada, con medidas en metros; Calcular: )a El área; )b La densidad laminar; )c La masa; )d El momentos con respecto al eje ;""Y

)e El momentos con respecto al eje ;"" X y )f El centro de masa.

1) Lámina de roble; espesor 12.0 mm; gráficas del área limitada 11;1;2 xyxyy2) Lámina de hierro; espesor 3.0 mm; gráficas del área limitada 53;2;4 xyxyy

3) Lámina de cobre; espesor 4.0 mm; gráficas del área limitada 0;4 2 yyxy .

4) Lámina de oro; espesor 1.0 mm; gráficas del área limitada 4;1; xyyxy

2xy A

xy



117

Clase: 4.5 Cálculo del trabajo. Guía:- Trabajo realizado por desplazamiento de cuerpos. - Ejemplos.- Integral para el cálculo del trabajo realizado por desplazamiento de cuerpos. - Ejercicios.- Trabajo realizado por un resorte elástico

- Integral para el cálculo del trabajo realizado por un resorte elástico.- Trabajo realizado por presión en los gases.

- Integral para el cálculo del trabajo realizado por presión en los gases.

Trabajo realizado por desplazamiento de cuerpos:

Conceptos básicos:

Trabajo realizado por fuerza constante: Es el producto de la fuerza aplicada constantemente a un cuerpo por la distancia de su desplazamiento.

FdW Donde: W es el trabajo en mkg f . .

F es la fuerza en kilogramos "" fkg

d es la distancia en metros ""m entre """" bya .

Trabajo realizado por fuerza variable: Es el producto de la fuerza variable aplicada a un cuerpo por la distancia de su desplazamiento.

Integral para el cálculo del trabajo realizado por desplazamiento de cuerpos.

b

ab

a

dxxfdxabdyxfF

iableesFcomoFdW )(

)(

var

b

adxxfW )(

Y por paráfrasis matemática también: d

cdyyfW )(

Nota: Para efectos de aprendizaje, durante el proceso de cálculo omitiremos las unidades y hasta el final las mismas serán especificadas.

Ejemplo 1) Movimiento de cuerpos por fuerza constante.

Calcular el trabajo realizado para deslizar un cuerpo sobre el piso, desde una posición mx 1 a otra posición mx 4 si se le ha aplicado una

fuerza constante de .10kg

Por ser de fuerza constante: mkgd

FFdW f .30)3()10(

314

10

y aplicando la integral del trabajo veremos que el resultado es el mismo:

b

a f mkgxdxxf

badxxfW

4

1

41 .301010

10)(

4;1)(

F

c

d

a b

F

41

kg10

10)( xf

41



118

Ejemplo 2) Movimiento de cuerpos por fuerza variable.

Cuanto trabajo se efectúa al mover un cuerpo si al cual se le ha aplicado un

fuerza variable de comportamiento igual a fkgx entre una distancia

.41 mxotraamx

b

a f mkgx

dxxxxf

badxxfW

4

1

4

1

3

.3

14

3

2

)(

4;1)(

Observación: El ejemplo anterior al parecer es relativamente sencillo, sin embargo en la aplicación práctica los problemas no resultan ser así, ya que estos requieren de otras áreas del conocimiento un tanto ajenas al cálculo, llámense estos conocimientos de la física, de la química, etc., donde se hace necesario estructurar sus

propias integrales partiendo siempre de la fórmula fundamental b

adxxfW )(

Trabajo realizado por un resorte elástico.

Conceptos básicos:

Deformación.- Son los cambios relativos de las dimensiones de los cuerpos por fuerzas que operan sobre los mismos.

Esfuerzo.- Es la capacidad de resistencia a la deformación que tienen los cuerposA

FE .

Elasticidad.- Es la capacidad que tienen los cuerpos de recuperar su forma original cuando han sido deformados. Análisis del gráfico de elasticidad:

Experimento: Sí a un cuerpo se le aplica una fuerza creciente tal, que al final se rompe, se puede observar su comportamiento en el gráfico Deformación-Esfuerzo.

Conclusión (Llamada Ley de Hooke).- Dentro del límite elástico, el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación. Paráfrasis de la ley de Hooke.- Dentro del límite elástico y para áreas transversales contantes, la fuerza ""F es

directamente proporcional a la distancia de estiramiento ""x , o sea:

x

FkkxFxFCuando

Donde: k es la constante de proporcionalidad en m

kg f

F es la fuerza en "" fkg .

x es la distancia de estiramiento en metros ""m .

Deformación

xy

1 4

Curva

Recta

Esfuerzo

Límite elástico.- Es el esfuerzo máximo que un cuerpo puede soportar y recuperar su forma original.

Resistencia final.- Es el esfuerzo máximo que un cuerpo puede soportar antes de romperse.

Zona de deformación proporcional y recuperable.

Zona de deformación permanente.

Deformación



119

Extensión de la paráfrasis de la ley de Hooke.- Dentro del límite elástico y para áreas transversales contantes,la fuerza variable es directamente proporcional a la variable de la distancia de estiramiento.

xkxf )( Donde: )(xf es la función.

k es la constante de proporcionalidad.x es la variable de estiramiento.

Integral para el cálculo del trabajo realizado por un resorte elástico:

b

a

b

a

b

adxxkWdxxkkxxfdxxfWSí )()(

Ejemplo: Para estirar un resorte de 10 cm de longitud inicial a una longitud final de 15 cm se requieren de 20 kilogramos de fuerza; Calcular: a) La constante de proporcionalidad del resorte. b) El trabajo realizado durante el estiramiento de 10 cm a 15 cm. c) El trabajo realizado durante el estiramiento de 12 cm a 15 cm. d) Cuál sería el trabajo realizado si el resorte después de los 15cm se estiraría 5 cm más?.

m

kg

mcmx

kgF

x

Fka ff

40005.0

20

05.051015

20)

mkgxdxxmbma

kdxxkWb f

b

a

m

kg f

.5.020040005.0;0.0

400)

05.0

00.0205.0

0.0

mkgxdxxmbma

mkgkdxxkWc f

fb

a.42.0200400

05.0;02.0

/400)

05.0

02.0

05.0

02.02

mkgxdxxmbma

kdxxkWd f

m

kgb

a

f

.5.120040010.0;05.0

400)

10.0

05.0210.0

05.0

Trabajo realizado por presión en los gases:

Conceptos básicos:

Presión: Es la fuerza aplicada a un cuerpo por unidad de área. A

Fp

Ley de los gases: La presión es inversamente proporcional al volumen.

pvkvk

vkp

vpCuando

11

Donde: k es la constante de proporcionalidad.

p es la presión en 2m

kg f

v es el volumen correspondiente a una presión en 3m .

0 5

kg20

v

pv

kxf )(

xky

x

f

fvA

iv

F



120

Paráfrasis de la ley de los gases: Para áreas constantes, la fuerza variable es inversamente proporcional alvolumen.

v

kxf

vxfCuando )(

1)(

Donde:

k es la constante de proporcionalidad en mkg f .

v es la variable del volumen en 3m .

Integral para el cálculo del trabajo realizado por presión en los gases:

f

i

f

i

v

v

b

a

v

v

fi

dvV

kWdvV

k

V

kxf

vbva

dxxfWSí11

)(

;

)(

Ejemplo: Calcular el trabajo realizado por un gas con volumen inicial de 31.0 m y presión de 212000

m

kg fsi se

expande hasta ocupar un volumen final de 32.0 m .

mkgvdvv

mvmv

mkgmv

ppvk

dvv

kW f

v

v

fi

fm

kg

f

i

f

.77.831ln12001

1200

2.0;1.0

.12001.0

120001 2.0

1.0

2.0

1.0

33

3

2

Ejercicios:

Tipo I. Calcular el trabajo según las indicaciones que se establezcan:

1) Calcular el trabajo realizado para levantar verticalmente un cuerpo sobre el piso, desde una posición

my 0.0 a otra posición my 0.5 si se le ha aplicado una fuerza constante de .20 fkg

2) Cuanto trabajo se efectúa al mover un cuerpo si al cual se le ha aplicado un fuerza variable de

comportamiento igual a fkgx 24 entre una distancia .21 mxymx

3) Calcular el trabajo realizado al comprimir un resorte de longitud inicial lg20 pu , si la fuerza aplicada es

de flb1000 , y la longitud final fue de lg10 pu .

4) Calcular el trabajo realizado por un gas con volumen inicial de 310 ft y presión de 100 lb/ft2 si se comprime

hasta ocupar un volumen final de .5 3ft



121




1) Calcular la longitud de la recta: 2 xy

entre el intervalo 32 xyx

Indicadores a evaluar:a) Bosquejo de la gráfica.b) Estructuración de la integral.c) Resultado.

Valor: 30 puntos.

2) Calcular el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar alrededor del eje de las “X” el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:

.04 2 yyxy


Valor: 40 puntos.

3) Calcular el trabajo realizado al mover un cuerpo con fuerza variable de comportamiento igual a

fkgx3

2 entre una distancia inicial mx 2 y

una distancia final mx 5 .


Valor: 30 puntos.



1) Calcular la longitud de la curva: 4

12x

y

entre el intervalo 22 xyx


Valor: 40 puntos.

2) Dada la lámina de cobre de 10 mm de espesor y área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:

;01 2 yyxy con medidas en metros.

Calcular:

a) ?A (el área).

b) ?l (la densidad laminar).

c) ?m (la masa).

d) ?yM (el momento con respecto al eje “Y”).

e) ?xM (el momento con respecto al eje “X”).

f) ?.. mc (el centro de masa).

Indicadores a evaluar:a) Bosquejo de la gráfica.b) Estructuración de las integrales.c) Resultado.

Valor: 60 puntos.



122

Formulario de aplicaciones de la integral: Unidad 4.

Con respecto al Eje “X”: b

adxxfL 2)(1Integrales para el cálculo de la

longitud de curvas:

Con respecto al Eje “Y”: b

adyyfL 2)(1

Cálculo de áreas bajo la gráfica: b

adxxfA )(

Cálculo de áreas entre gráficas: b

adxxgxfA )()(

Integrales para el cálculo de áreas:

Cálculo de áreas entre gráficas que no son funciones:

d

cdyygyfA )()(

Cálculo de volúmenes generados al girar áreas bajo una gráficas:

b

adxxfV 2))((

Integrales para el cálculo de volúmenes:

Cálculo de volúmenes generados al girar áreas entre gráficas:

b

adxxgxfV 22 ))(())((

Integrales para el cálculo de momentos y centros de masa; de láminas con área bajo la gráfica de una función:

b

adxxfA )( es el área dxxfxM

b

aly )( es el momento con respecto al eje Y

hml es la densidad laminar b

a

lx dxxfM 2)(

2

es el momento con respecto al eje X

Am l es la masa

m

M

m

Mmc xy ,.. es el centro de masa

Integrales para el cálculo de momentos y centros de masa; de láminas con área entre gráficas de funciones:

hml es la densidad laminar

b

aly dxxgxfxM )()( es el momento con respecto al eje Y

b

adxxgxfA )()( es el área

b

a

lx dxxgxfM 22 ))(())((

2

es el momento con el eje X

Am l es la masa.

m

M

m

Mmc xy ,.. es el centro de masa

Trabajo realizado por fuerza variable:

b

adxxfW )(

d

cdyyfW )(

Trabajo realizado por un resorte elástico:

b

adxxkW

x

Fk

Integrales para el cálculo del trabajo:

Trabajo realizado por presión en los gases: f

i

v

vdv

vkW

1 pvk



123

La pareja ideal de la verdad, es la matemática, porque ambas contienen inferencias que conducen al conocimiento exacto de la existencia humana.


Lo mejor de la educación orientada a competencias, es haber dejado atrás la percepción incompleta de la enseñanza centrada en el aprendizaje.


UNIDAD 5. INTEGRACIÓN POR SERIES.

Clases:

5.1 Definición, clasificación y tipos de series.5.2 Generación del enésimo término de una serie.5.3 Convergencia de series.5.4 Intervalo y radio de convergencia de series de potencias.5.5 Derivación e integración indefinida de series de potencia.5.6 Integración definida de funciones por series de potencia.5.7 Integración definida de funciones por series de Maclaurin y series de Taylor.

- Evaluaciones tipo.- Formulario de integración por series.



124

Clase: 5.1 Definición, clasificación y tipos de series. Guía:- Definición de una sucesión. - Ejemplos.- Definición de una serie. - Ejercicios.- Clasificación de las series.- Cálculo de los términos de una serie.- Tipos de series.

Definición de una sucesión.

Es un listado de números que obedecen a una regla de orden.

Ejemplos:

,16,9,4,1)1 es un listado de números que obedece la regla de orden Znn 2

24,6,2,1)2 es un listado de números que obedece la regla de orden 4! Znn

,,,,1)3 32 xxx es un listado de números (variable) que obedece la regla de orden Znxn 0

Notación: 321 kkkkknn aaaaa

Ejemplos: ,16,9,4,1)1 12

nn .24,6,2,1!)2 4

1 nn ,,,,1)3 320 xxxx n

n

Definición de una serie.

Es la sumatoria del listado de números de una sucesión.

Ejemplos: 16941)1 es la sumatoria del listado de números de la sucesión ,16,9,4,1 24621)2 es la sumatoria del listado de números de la sucesión 24,6,2,1 .

321)3 xxx es la sumatoria del listado de números de la sucesión ,,,,1 32 xxx

Clasificación de las series.

Sí el listado de números es ilimitado la serie es infinita; Ejemplo: 16641Sí el listado de números es limitado la serie es finita; Ejemplo: .24621

Para el propósito de nuestro estudio, a partir de aquí y a menos que otra cosa se indique, siempre nos estaremos refiriendo a las series infinitas.

Notación: 321 kkkk

knn aaaaa

Donde: n Es cualquier número entero positivo ó el cero.

k Es el valor de n en que inicia la serie; donde Znyn 0 .

knEs el símbolo de la sumatoria de na desde kn hasta .

na Es la fórmula del enésimo término ó simplemente enésimo término de la serie y representa la regla de orden.



125

knna Es la abreviatura de la sumatoria de los términos de la serie.

...,,,, 321 kkkk aaaa Son lo términos de la serie y a menos que otra cosa se indique la serie se

presentará con los primeros 4 términos.

ka Es el primer término de la serie.

1ka Es el segundo término de la serie.

2ka Es el tercer término de la serie.

. . . Nos indican continuidad de la serie.

Para el propósito de nuestro estudio diremos que una serie es completa, si esta representada por la sumatoria del enésimo término y los primeros cuatro términos no nulos.

Ejemplo:

En la serie 4

1

3

1

2

1

1

11

1

n n

Identificar:

a) Los términos de la serie. b) El valor de .kc) El segundo término. d) El término 2ka e) El enésimo término.

f) La abreviatura de la sumatoria de los términos de la serie.g) La serie completa.

Solución: a) ,4

1,

3

1,

2

1,

1

1 1) kb ;

2

1)c ;

3

1) 2 kad

nae n

1)

1

1)

n nf

4

131

21

111

)1

n ng

Cálculo de los términos de una serie.

Cuando una serie se expresa únicamente por la fórmula del enésimo término, y se hace necesario calcular los términos de la serie, se parte de la siguiente afirmación:

La fórmula del enésimo término de una serie, es la fórmula matemática que obedece la siguiente regla: “Para cualquier valor de n el resultado nos muestra el valor del enésimo término”.

Nota: Con el propósito de realizar procesos inversos, y a menos que otra cosa se indique; cuando los términos de las series se presentan en cocientes, se tiene que respetar cada elemento del cociente no haciendo las operaciones de división. Para fortalecer el concepto anterior obsérvese que en los términos de la serie:

41

31

21

11

0

1

1

nn se presenta el término 1

1 sin haberse realizado la operación de división que sería uno.

Método de investigación para el cálculo de los términos de una serie:

1) Sustituya los valores de ""k en la fórmula del enésimo término hasta obtener los primeros cuatro términos no nulos.

Ejemplo 1.- Calcular los términos de la serie;

0 1n n

n

54

43

32

21

10

144

133

122

111

100

10

n nn



126


1 12nn

n

154

73

32

11

124

123

122

121

12 43211

nn

n


0 !n

n

n

x

!3!2

1!3!211

1

!3!2!1!0!

32323210

0

xxx

xxxxxxx

n

x

n

n

Observe que en las series que contienen variables, sí se realizan las operaciones 111 xy y además no se efectúan

las operaciones de !3!2 y .


0

2

!)2(

)1(3

n

nn

n

x

!6!4

3

!2

3

1

3

!))3(2(

)1(3

!))2(2(

)1(3

!))1(2(

)1(3

!))0(2(

)1(3

!)2(

)1(3 642)3(2)3()2(2)2()1(2)1()0(2)0(

0

2 xxxxxxx

n

x

n

nn

Nota: Habrá ocasiones donde sea conveniente evaluar por separado cada uno de los términos de la serie, y al final representar la serie completa.


1

)1(1n

n

0)1(1)1(1 11 a 2)1(1)1(1 2

2 a

0)1(1)1(1 33 a 2)1(1)1(1 4

4 a

2020)1(11

n

n


12121 1;13

nnnn ffynfff

Paso 1) 111 fa 11 f ; 122 fa ; 21112231333 fffffa ;

31223241444 fffffa 52334251555 fffffa

Paso 2)

532111;131

2121

nnnn ffynfff

Nota: En el análisis del listado de los términos de la serie se observa, que cada término es la suma de sus dos antecesores (al listado de términos de la serie, se le llama Sucesión de Fibonacci).



127

Tipos de series:

Tipo Caracterización Ejemplo

p-serie Familia de series que presentan la forma:

01

pnkn

p

16

1

9

1

4

1

1

11

12

n n

Armónica Serie del tipo p-serie donde 1p , de tal

forma que su estructura final queda:

kn n

1

4

1

3

1

2

1

1

11

1

n n

Armónica general

Familia de series que presentan la forma:

01

abankn

7

3

5

3

3

3

1

3

12

3

1

n n

Alternantes Familia de series que presentan sus términos alternativamente en positivos y negativos:

kn

nna 1)1(

4

1

3

1

2

1

1

1)1(

1

1

n

n

n

Telescópicas: Familia de series que presentan la forma:

knnn aa )( 1

122 9

1

4

1

4

1

1

1

)1(

11

n nn

25

1

16

1

16

1

9

1

Geométricas Familia de series que presentan la forma:

Rryaran

n

00

a ""r se le llama la “razón de la serie” .

8

1

4

1

2

1

1

1

2

1

0

nn

Observe que:

n

n 2

11

2

1

2

11 rya

De potencias familia de series que presentan la forma:

0n

nn xa donde x es una variable.

6211

1

!3!2!1!0

1

!32

32

0

xxx

xxx

n

x

n

n



128

Nota: Para el caso especial donde 1x , se tendría lo siguiente:

enn

...718.2...04166.0...1666.05.01124

1

6

1

2

111

!4

1

!3

1

!2

1

!1

1

!0

1

!

1

0

De potencias centrada en c

Es una familia de series de potencia que presentan la forma:

0

)(n

nn cxa donde “c” es una

constante.

2

)2(

1

2

1

1

!2

)2(

!1

2

!0

1

!

)2(

2

2

0

xx

xx

n

x

n

n

Ejercicios:

Tipo I. En las siguientes series, identificar:

a) Los términos de la serie; b) El valor de k ; c) El segundo término; d) El término 2ka ;

e) El enésimo término; y f) La abreviatura de la sumatoria de los términos de la serie.

86422)11

n

n 7

16

5

8

3

4

1

2

12

2)3

1

n

n

n

75311)21

n

n 16

15

8

7

4

3

2

1

2

12)4

nn

n

Tipo II. Calcular los términos de las siguientes series:

1

)1n

n2

1

1)4

n

n

n

1 2

3)7

n n

1

)10n

n

n

n

1

1

2)2

3)5

1

nsen

n

1

2

1

ln)8

n n

n

0

2

2

)1()11

n

nn

n

x

!

1)3

0 nn

1)6

2

1 n

n

n

1

)9n

ne

n

0

12

!

)1(2)12

n

nn

n

x

Tipo III. Dar al menos tres ejemplos de los siguientes tipos de series:1) Series p-serie.2) Armónica general.3) Series alternantes.4) Series telescópicas. 5) Series geométricas.6) Series de potencias.7) Series de potencias centrada en c.



129

Clase; 5.2 Generación de la fórmula del enésimo término de una serie.Guía:- Estructuras típicas de fórmulas de enésimos términos. - Ejemplos.- Enésimos términos elementales. - Ejercicios.- Operador de alternancia.- Tabla: Estructuras típicas de fórmulas de enésimos términos.- Generación de la fórmula del enésimo término.

Estructuras típicas de fórmulas de enésimos términos:

Son estructuras genéricas de las series, que se transforman en fórmulas de enésimos términos al asignarles los valores específicos a cada una de sus componentes.

Ejemplo: Sea qna pn la estructura típica del enésimo término de una serie; Obtener la fórmula del

enésimo término para 12 qyp :

Solución: 1)1( 2)2( nnan la fórmula del enésimo término es: 12 nan

Enésimos términos elementales:

Son estructuras típicas que contienen """" nóp siendo "" p una constante y se caracterizan porque al

observar los términos de las series, directamente se presenta la fórmula del enésimo término.

Ejemplo: 4321 Para 1k nan

Operador de alternancia:

Es la estructura típica del enésimo término pn )1( que presenta una serie alternante.

Ejemplo: Obtener la serie completa cuya fórmula del enésimo términos es;

1

1)1(

n

n

n:

Solución:

4

1

3

1

2

1

1

1

4

1

3

1

2

1

1

1)1(

1

1

n

n

n

Tabla: Estructuras típicas de fórmulas de enésimos términos.

A continuación se presenta una tabla de las estructuras típicas de fórmulas mas comunes, y que a la vez son punto de partida en el aprendizaje para generar fórmulas de enésimos términos de series mas complejas.

Tabla: Estructuras típicas de fórmulas de enésimos términos. Zyqpn 0,,

Enésimos términos elementales Estructuras típicas de enésimos términos

Para: nóp Ejemplo: Para: pyn Para: qypn,

pan )1 2222na pnan )1 qpnan )1

pan )2 2222na pn na )2 qpnan )2

nan )3 4321na Para 1k nn pa )3 qna p

n )3

!)4 nan 6211na Para 0k pnan )4 qna pn )4

nn na )5 2562741na Para 1k pnan )5 qpa n

n )5n

na )1()6 1111na Para 0k npan )6 qpa nn )6



130

Generación de la fórmula del enésimo término:

Cuando una serie se expresa únicamente por sus términos, se supone que los términos subsecuentes (indicados por los tres puntos ) obedecen a la regla de orden implícita en los términos que sí están presentes. Es aquí donde se hace necesario generar la fórmula del enésimo término por lo que se ofrece el siguiente método.

Método de investigación para la generación del enésimo término:

1) Analizar cada estructura típica de enésimos términos de cuerdo a la “Tabla: Prueba de estructuras típicas” que se presenta, hasta encontrar la estructura que cumpla con todos y cada uno de los términos de la serie.

Notas: a) Esto no necesariamente implica que siempre se deban de probar en determinado orden todas las estructuras hasta encontrar la que estamos buscando, sino que una ves que se domina el método se pueden hacer saltos de estructuras típicas de acuerdo a la intuición de cada estudiante. b) Cocientes, múltiplos, potencias y operadores de alternancia se analizan por separado.

Ejemplo 1) 24

4

6

3

2

2

1

1 Se analizan por separado las series:

24621

4321 y

Ejemplo 2) 432 8642 xxxx Se analizan por separado las series:

4321

8642 y

2) Identificar la fórmula de la estructura típica del enésimo término.3) Generar la fórmula del enésimo término.4) Estructurar la serie completa (con el enésimo término incluido).

Tabla: Prueba de estructuras típicas.

Valores

321 kkkk aaaa para ?k Estructura típica

p qkn ?1 a Cumple?

1 kn?2 a Cumple?

2 kn?3 a Cumple?

3 kn?4 a Cumple?

Fórmulaenésimo término

pan pan

nan n

n na

qpa nn ?na

Ejemplo 1) Sea: 24621 Generar la fórmula del enésimo término de la serie para 1k .

Paso 1)


Valores

Serie: 24621 para 1k .

Estructura típica p q

1n11 a Cumple?

2n22 a Cumple?

3n63 a Cumple?

4n244 a Cumple?


pan 1 11 a Sí 12 a No

pan 11 a No



131

nan 11 a Sí 22 a Sí 33 a No

nn na 111

1 a Sí 4222 a No

!nan 1!11 a Sí 2!22 a Sí 6!33 a Sí 24!44 a Sí !nan

Paso 2) Fórmula de la estructura típica del enésimo término: !nan Paso 3) Fórmula del enésimo término: !nan

Paso 4) Serie completa:

24621!1

n

n

Ejemplo 2)

Sea: 321 xxxGenerar la fórmula del enésimo término de la serie para 0k .

Observe que 10 x de donde la serie similar sería 3210 xxxxPaso 1)


Valores

Serie: 3210 para 0k .


0n01 a Cumple?

1n12 a Cumple?

2n23 a Cumple?

3n34 a Cumple?


pan 1 11 a Sí 12 a No

pan No

nan 01 a Sí 12 a Sí 23 a Sí 33 a Sí nan

Paso 2) Fórmula de la estructura típica del enésimo término: n

n xa

Paso 3) Fórmula del enésimo término: n

n xa


32

0

1 xxxxn

n

Ejemplo 3.- Sea: 7

16

5

8

3

4

1

2 Generar la fórmula del enésimo término para de la serie

para 1k

Paso 1)


Valores

Serie 16842 Para 1k


1n21 a Cumple?

2n42 a Cumple?

3n83 a Cumple?

4n164 a Cumple?


nan 11 a No

nn na 111

1 a No

!nan 1!11 a No

pnan 2 21.21 a SÍ 42.22 a Sí 63.23 aNo

n

n pa 2 2211 a Sí 522

2 a Sí 8233 a Sí 1624

4 a Sín

na 2



132

Valores

Serie: 7531 Para 1k


1n11 a Cumple?

2n32 a Cumple?

3n53 a Cumple

?

4n74 a Cumple?


nan 11 a Sí 22 a No

nn na 111

1 a Sí 4222 a No

!nan 1!11 a Sí 2!22 a No

qpnan 2 1 111.21 a

Sí

312.22 a

Sí

513.23 a Sí

714.21 a Sí

12 nan

Paso 2) Fórmula de la estructura típica del enésimo término: qpn

pa

n

n

Paso 3) Fórmula del enésimo término: 12

2

na

n

n


7

16

5

8

3

4

2

1

12

2

1

n

n

n

Ejemplo 4.- Sea: 5

15

4

7

3

3

2

1 Generar la fórmula del enésimo término para de la serie para

1k

Paso 1) Tabla: Prueba de estructuras típicas.

Valores Serie: 15731 Para 1k


1n11 a Cumple?

2n32 a Cumple?

3n73 a Cumple

?

4n154 a Cumple

?



nn na 111

1 a Sí2

2 2a No

qpc nn 2 1

Sí

a

1

1211

Sí

a

3

1222

Sí

a

7

1233

Sí

a

15

1244

12 n

na

Tabla: Prueba de estructuras típicas.Valores Serie: 5432 Para 1k


1n21 a Cumple

?

2n31 a Cumple?

3n41 a Cumple?

4n51 a Cumple?



nn na 111

1 a Sí2

2 2a No

1 nan

Sí

a 2111 Sí

a 3122

Sí

a 4133

Sí

a 5144 1 nan



133

Paso 2) Formula de la estructura típica del enésimo término: 1

n

qpa

n

n

Paso 3) Fórmula de enésimo término: n

n

na2

12


16

15

8

7

4

3

2

1

2

12

1

nn

n

Ejemplo 5)

Sea: !3!2

132 xx

x

Generar la fórmula del enésimo término de la serie para 0k .

Observe que una serie similar es: !3!2!1!0

3210 xxxx

Paso 1) Observe que los signos cambias de positivo a negativo alternativamente, por lo que n

na )1(

Para la serie 3210 xxxx el enésimo término es: n

n xa Para la serie !3!2!1!0 el enésimo término es: !nan Paso 2) La fórmula de la estructura típica del enésimo término es:

!

)1(

n

xa

nn

n

Paso 3) La fórmula del enésimo término es: !

)1(

n

xa

nn

n

Paso 4) La serie completa es:

!3!21

!

)1( 32

0

xxx

n

x

n

nn

Ejercicios:

Tipo I. Generar el enésimo término de las siguientes series:

18642)1 k 19

3

7

3

5

3

3

3)6 k

16543)2 k 16

1

2

1

1

1

1

1)7 k

14

1

3

1

2

1

1

1)3 k 0

!3!2)8

432 k

xxxx

0!3!2

1)432

kxx

x 18

1

4

1

2

1

1

1)9 k

116

1

9

1

4

1

1

1)5 k 0

!3!21)10

32

kxx

x



134

Clase: 5.3 Convergencia de series. Guía:- Sumas parciales de una serie. - Ejemplos.- Estrategias para investigar la convergencia de series. - Ejercicios.- Intervalo y radio de convergencia de series de potencias:

Sumas parciales de una serie:

Sí se tiene una serie: 321 kkkk

knn aaaaa

entonces las sumas parciales de la serie infinita son:

kas 1

12 kk aas

213 kkk aaas

...21 kkkn aaas llamada enésima suma parcial de la serie infinita na

Sí a las sumas parciales le asociamos una serie de sumas parciales entonces tenemos:

knn sssssS 4321

kn

ssssS 4321 De donde podemos inferir que:

La suma ""S de la serie infinita

knna es el límite del enésimo término de la serie de sumas parciales,

siempre y cuando el límite exista ó sea:

RssS nlímnn

límn

Estrategias para investigar la convergencia de series.

Debido a que el proceso de investigación de la convergencia de series en algunos casos resultan ser de un grado de complejidad apreciable, a continuación se describen las estrategias mas conocidas para simplificar la investigación y acceder a las que presenten mayores dificultades.

Convergencia de series por la definición:

La definición de convergencia de una serie afirma que: Una serie es convergentes, si el límite del enésimo término de la serie de sumas parciales existe, ó bien es divergente si el límite no existe.

Método para investigar la convergencia de series por la definición:

1) Calcular los términos de la serie2) Calcular las sumas parciales.3) Estructurar la serie de sumas parciales.4) Obtener el enésimo término de la serie de sumas parciales ó determinar por observación directa de los términos la existencia ó no del límite 5) Obtener el límite del enésimo término de las sumas parciales.6) Declarar aplicando la definición si la serie es convergente ó divergente.

Ejemplo 1. Investigar por la definición la convergencia de la serie:

1

1)1(n

n

Paso 1)

20201)1(1

n

n

Paso 2) 01 S ; 2202 S ; 20203 S ; 420204 S ,4,2,2,0S



135

Paso 3)

1

4220n

S

Paso 4) Por observación directa se declara que no hay límite.Paso 5) No hay límite.Paso 6) La serie es divergente.

Ejemplo 2. Investigar por la definición la convergencia de la serie:

n

n

1 2

1

Paso 1)

16

1

8

1

4

1

2

1

1

1

2

1

1

n

n

Paso 2) 2

11 S ;

4

3

4

1

2

12 S ;

8

7

8

1

4

3

8

1

4

1

2

13 S ;

16

15

16

1

8

7

16

1

8

1

4

1

2

14 S

Paso 3)

1 16

15

8

7

4

3

2

1

n

S

Paso 4) n

n

2

12 ya resuelto en el apartado: “Generación del enésimos término de una serie”.

Paso 5) 12

11

2

12

n

límnn

nlímn por lo tanto el límite existe.

Paso 6) La serie es convergente. Es de observarse que:

121

992188.0128

1641

321

161

81

41

21

21

11

n

n

lìmn

n

n

S

Convergencia de series por el criterio de la raíz:

El criterio establece que si se tiene una serie na entonces se puede afirmar lo siguiente:

1º. na es convergente si 1n

nlímn a

2º. na es divergente si 1n

nlímn a

3º. El criterio no decide si 1n

nlímn a

Ejemplo: Investigar por el criterio de la raíz la convergencia ó divergencia de la serie

12

2

nn

n

n:

0002222

222

nnnn

nlímnn

n

nlímnn

n

nlímn nnn

Como 1n

nlímn a se concluye que la serie es convergente.



136

Convergencia de series por el criterio del cociente:

El criterio establece que si se tiene una serie na con términos no nulos, entonces se puede afirmar:

1º. Sí 11

n

nlímn a

a La serie converge.

2º. Sí 11

n

nlímn a

a La serie converge.

1.3 1

n

nlímn a

aSío

El criterio no decide.

Método para investigar la convergencia de series por el criterio del cociente:

1. Obtener los términos de la serie na y verificar que sus términos sean no nulo.

2. A partir de na obtenga 1na

3. Obtenga el n

nlímn a

a 1

4. Aplique el criterio del cociente.

Ejemplo: Investigar por el criterio del cociente la convergencia de la serie

0 !

2

n

n

n:

Paso 1) Análisis: 6

8

2

4

1

2

1

1

!

2

0

n

n

n se concluye que

0 !

2

n

n

nno tiene términos no nulos.

Paso 2) Análisis: si

0 !

2

n

n

n na

0

1

1 !)1(

2

n

n

n na

Paso 3) 01

2

1

2

!)1(2

!2 1

!2

!)1(2

1

1

nn

n

a

a límnn

nlímn

n

nlímn

n

nlímn n

n

Paso 4) 11

n

nlímn a

a se concluye que la serie es convergente.

Ejercicios:

Tipo I. Investigar la convergencia de las siguientes serie:

1

2)1n

n

0 32

)3n

n

0

1)5

n

n

n

e

1

1)2

n nn

0

2)4n

n

1 2

13)6

n

n

n



137

Clase: 5.4 Intervalo y radio de convergencia de series de potencias. Guía:- Intervalo y radio de convergencia de series de potencias.- Método para investigar el intervalo y el radio de convergencia de una serie de potencia:- Ejemplos.- Ejercicios.

Intervalo y radio de convergencia de series de potencias:

El intervalo de convergencia es el conjunto de valores donde la serie converge.

El teorema de convergencias de una serie de potencias centrada en “c” afirma que: “Existe un número real 0R ( ""R es el radio de convergencia) en la serie

0

)(n

nn cxa en la cual:

1º. Sí la serie converge, para toda ""x ; entonces R y su intervalo de convergencia es: ),(

2º. Sí la serie converge, solo cuando cx ; entonces (por convención) 0R y su intervalo de

convergencia consta de un solo punto y es el punto ""c ; ó sea: ),( cc

3º. Sí la serie converge, para Rcx ; entonces Rcx 1 y Rcx 2 son su puntos extremos y su

intervalo de convergencia tiene cuatro posibilidades: 21212121 ,;,;,;, xxyxxxxxx

Método para investigar el intervalo y el radio de convergencia de una serie de potencia:

1.- Seleccione alguna estrategia para investigar la convergencia de la serie. 2.- Identificar el radio de convergencia.3.- Investigar el intervalo de convergencia.

Ejemplo 1. Investigar el radio e intervalo de convergencia de la serie;

0

1

!

)1(

n

nn

n

x

Paso 1. La estrategia seleccionada es “Criterio del cociente”.

Paso 1.1.

!4!3!1!0!

)1( 432

0

1 xxxx

n

x

n

nn

No tiene términos nulos.

Paso 1.2. !)1(

)1(

!

)1( 21

1

1

n

xa

n

xa

nn

n

nn

n

Paso 1.3. 011)1(!)1(

)1(!1

21

!)1(

!)1()1(

11

21

x

n

x

xn

xn

a

a límnnn

nnlímn

nx

nx

límn

n

nlímn nn

nn

Paso 1.4. La serie converge para toda ""x ; según el criterio del cociente.

Paso 2. El radio de convergencia es: R

Paso 3. El intervalo de convergencia es: ),(



138


1 2n

n

n

x


Paso 1.1. 86422

432

1

xxxx

n

x

n

n


Paso 1.2. )1(22

1

1

n

xa

n

xa

n

n

n

n

Paso 1.3. xxx

n

xn

xn

xn

a

a

n

límn

nnn

nxn

lómn

límnn

nlímn

nx

nx

límn

n

nlímn n

n

0111)1(2

211

1

2

)1(21

1

Paso 1.4. La serie converge para 1x según el criterio del cociente.

Paso 2. El radio de convergencia es: 1RPaso 3. Sí la serie es convergente en 1x entonces los puntos extremos de ""x Son: 11 xyx

Para 1x 4

1

3

1

2

1

1

1)1(

1

n

n

n la serie converge; y por lo tanto su intervalo es cerrado.

Para 1x 4

1

3

1

2

1

1

1)1(

1

n

n

n la serie diverge; y por lo tanto su intervalo es abierto.

Conclusión: El intervalo de convergencia es: 1,1

Ejemplo 3. Investigar el radio de convergencia de la serie;

0

2n

nx

Paso 1) La estrategia seleccionada es “Criterio del cociente”.

Paso 1.1.

3210

0

)2()2()2()2()2( xxxxx n

n

donde se observa que no tiene

términos nulos en )2( x , excepto para 2x de donde para 2x el criterio es aplicable.

Paso 1.2.

0

11

0

)2(2n

nn

n

nn xaxa

2)2(

)2(

)2(3.1 0

1

1

xx

x

x

a

aPaso lím

nnn

n

límn

n

nlímn

Paso 1.4. se concluye que la serie es convergente en 212 xx

Paso 2) Se concluye que: 1R según el criterio del cociente. de ""x

Paso 3) Sí la serie es convergente en 212 xx entonces los puntos extremos son: 31 xyx

Para 1x

1111)21(0

n

n

la serie diverge; y su intervalo es abierto.

Para 3x

1111)23(0

n

n

la serie converge; y su intervalo es cerrado.

Por lo tanto el intervalo de convergencia es: 23,1 x



139


0

2

1

)1(

n

nn

n

x


Paso 1.1.

43211

)1( 5432

0

2 xxxx

n

x

n

nn


Paso 1.2. 2

)1(

1

)1( 31

10

2

n

xa

n

xa

nn

nn

nn

n

Paso 1.3.

xn

xn

xn

xn

xn

a

a lómn

límnnn

nnlímn

nx

nx

límn

n

nlímn nn

nn

2

11

2

)1(

)1()2(

)1)(1(2

31

1)1(

2)1(

12

31

Paso 1.4. La serie converge para 1 x según el criterio del cociente.

Paso 2. El radio de convergencia es: 1R

Paso 3. Sí 1 x entonces los puntos extremos son 11 y .

Para 1x

4

1

3

1

2

1

1

1

1

)1()1(

0

2

n

nn

n la serie diverge; y su intervalo es abierto.

Para 1x

4

1

3

1

2

1

1

1

1

)1()1(

0

2

n

nn

n la serie converge; y su intervalo es cerrado.

Por lo tanto se concluye que; el intervalo de convergencia es: 1,1

Ejercicios:

Tipo I. Investigar el radio e intervalo de convergencia de las siguientes series:

1)

0 1)1(

n

nn

n

x3)

0

1

2)1(

n

nn

n

x

2)

0 !

)3(

n

n

n

x4)

0 !2

3

n

n

n

x



140

Clase: 5.5 Derivación e integración indefinida de series de potencia. Guía:- Derivación e integración indefinida de series de potencias.- Ejemplos.- Ejercicios.

Derivación e integración indefinida de series de potencias:

Sí f es una función que tiene una representación en la serie de potencia, entonces:

0

33

2210)(

n

nn xaxaxaaxaxf y si f es derivable e integrable, se infiere que:

0

34

2321

1 432)(n

nn xaxaxaaxnaxf es decir, el proceso se lleva a cabo derivando

cada término de la serie.

32)(

3

2

2

10

xa

xaxacdxxf o sea, el proceso se lleva a cabo integrando

cada término de la serie.

Método de derivación e integración indefinida de series de potencia:

1. Obtenga los primeros cuatro términos no nulos de la serie.2. Derive la serie.3. Integre la serie.

Ejemplo 1. Derivar e integrar la serie;

0

)(n

nxxf

0

321n

n xxxx

0n

nx = 32 4321)(' xxxxf 432

432 xxxxcdxxn


0

)(n

n

n

xxf

432

432

1

xxxx

n

x

n

n

42

1

1 1)(' xxxxxfn

n

201262

5432 xxxxcdx

n

xn


0

2

!)3()(

n

n

n

xxf

!9!6!3!0

1

!)3(

642

0

2 xxx

n

x

n

n

!12

8

!9

6

!6

4

!3

2

!)3(

2)(

753

0

12 xxxx

n

nxxf

n

n

)!6(5)!3(3)!0(1!)3(

532 xxxcdx

n

x n

Ejercicios:

Tipo I. Derivar e integrar las siguientes series:

0

)2()1n

nx

1

1

2

)1()3

n

nn

n

x

1

131

13

)1()5

n

nn

n

x

0 !2

5!)3()2

n

nxn

1

1

1

)3()4

n

n

n

xn

0

2

!)6

n

n

n

x



141

Clase: 5.6 Integración definida de funciones por series de potencias. Guía:- Representación de funciones en series de potencias. - Ejemplos.- Integración definida de funciones por series de potencias. - Ejercicios.

Representación de funciones en series de potencias:

Ya hemos definido que:

0

321n

n xxxx es una serie de potencia y además x

xxx

1

11 32 1 x

De donde podemos inferir que la serie de potencia también es una función por lo que concluimos que:

0

3211

1)(

n

n xxxxx

xf 1 x

Para fortalecer estas afirmaciones se presenta el siguiente análisis:

Evaluar la función x

xf

1

1)( y la serie

0

321n

n xxxx para 5.0x .

Solución: 2)5.0(1

1)5.0(

f ;

0

432 2)5.0()5.0()5.0()5.0(1)5.0(n

n

Método de investigación para representar funciones en series de potencia:

1.- Acoplar la función a investigar en el modelo x1

1

2.- Identificar el nuevo valor de ""x3.- Sustituir el nuevo valor de ""x en la serie: 321 xxx hasta 4 términos no nulos.

Ejemplos: Expresar las siguientes funciones en series de potencias:

xxf

1

1)()1 : Paso 1)

)(1

1

1

1

xx

;

Paso 2) el nuevo valor de ""x es "" x

Paso 3)

3232

0

1)()()(1)()( xxxxxxxxfn

n

3

1)()2

xxf ; Paso 1)

313

1

3

1

3

1

xxx;

Paso 2) el nuevo valor de ""x es""

3

x

Paso 3)

812793

1

3331

3

1

33

1)(

3232

0

xxxxxxxxf

n

n



142

x

xxf

1)()3

3

; Paso 1)

x

xx

x

1

1

13

3

Paso 2) el nuevo valor de ""x es ""x y la serie multiplica a "" 3x

Paso 3)

6543323

0

333

11

1

1xxxxxxxxxx

xx

x

x

n

n

12

2)()4

2

xx

xxf ;

Paso 1)

2

222 )(1

1

)(1

12

)(1

2

)(1

2

)1(

2

1

2

12

2

xxxxxxxx

x

Paso 2) el nuevo valor de ""x es: "" x y la serie multiplica a "2"

Paso 3)

0

642322 1212)()(2x

nn xxxxxxxx

64364322 211(2 xxxxxxxxxx

Integración definida de funciones por series de potencia:

Introducción: Es una técnica que se utiliza para integrar funciones del tipo nxk

ky

2

1

Fundamentos: Sí x

y

1

1 y

0

32 1,111

1

n

nxxxxx

yab

b

a

b

adxxxxdx

x1

1321

1

1

Método de integración definida de funciones por series de potencia:

1) Acople la función a integrar en el modelo x11 .

2) Identifique el nuevo valor de ""x .

3) Sustituya el nuevo valor de ""x en la serie: 321 xxx hasta 4 términos no nulos 4) Integre.

Ejemplos:

1. dxxxxxesx

denuevoeldx

xdx

x

5.0

0

32222

2

5.0

0 2

5.0

0 2)()()(12

)("")(1

12

1

2

9269.0753

212

5.0

0

7535.0

0

642

xxxxdxxxx



143

dxxxx

xdxxdxx

xdxx

xx

32

5.0

0

35.0

03

2

3

23

5.0

023

35.0

0

3

3

2

3

2

3

21

3

5

1

1

)2(

51

2

5

23

5)2

0356.0)27)(7(

8

)9)(6(

4

)3)(5(

2

43

5

27

8

9

4

3

2

3

55.0

0

76545.0

0

6543

xxxxdx

xxxx

4853.01074

1)()()(1)(1

1

1

1)3

5.0

0

1074

5.0

0

9635.0

0

5.0

0

332333

5.0

0 3

xxxx

dxxxxdxxxxdxx

dxx

Ejercicios:

Tipo I. Representar en serie de potencias las siguientes funciones:

xxf

21

1)()1

x

xxf

2)()4

3

12

3)()7

2

xx

xxf

21

1)()2

xxf

2)1(

1)()5

xxf

1

23)()8

2

x

xxf

2

2)()3

xxf

21

1)()6

xxf

241

21)()9

x

xxf

Tipo II. Integrar las siguientes funciones:

dxx

5.0

0 2

4)1 dx

x

5.0

0 31

10)2 dx

x

x

1.0

0 241

21)3



144

Clase: 5.7 Integración definida de funciones por series de Maclaurin y series de Taylor. Guía:- Serie de Maclaurin. - Ejemplos.- Serie de Taylor. - Ejercicios.- Representación de funciones elementales en series de Maclaurin y series de Taylor.Tabla: Lista básica de funciones representadas en series de Maclaurin y series de Taylor.- Representación de funciones en serie de Maclaurin y serie de Taylor con uso de tablas.- Integración definida de funciones por series de Maclaurin y series de Taylor.

Serie de Maclaurin:

Definición: Es una función representada por la serie

0n

nn xa (serie de potencia)

donde !

)0()(

n

fa

n

n y "" )(n es el orden de la derivada de la función y además )0()0()0( ff

por lo tanto: !3

)0(

!2

)0(

!1

)0(

!0

)0(

!

)0()(

3'''2'''

0

)( xfxfxff

n

xfxf

n

nn

Para observar que la igualdad se cumple se presenta la función 2)( xxf donde al aplicar la serie de

Maclaurin tenemos: 2

222

0

2)(2

2

2

2

2

1

0

1

0

!2

2

!1

)0(2

!0

)0(

!

)()( x

xxxx

n

xxxf

n

nn

Serie de Taylor:

Definición: Es una función representada por la serie

0

)(n

nn cxa (serie de potencia centrada en “c”)

donde !

)()(

n

cfa

n

n y "" )(n es el orden de la derivada de la función y además )()()0( cfcf

Por lo tanto:

!3

)()(

!2

)()(

!1

)()(

!0

)(

!

)()()(

3'''2'''

0

)( cxcfcxcfcxcfcf

n

cxcfxf

n

nn

Para corroborar lo afirmado anteriormente; se presenta la función 12)( cxxf donde al aplicar la serie

de Taylor tenemos: xxxx

n

xxxf

n

n

22221

22

1

2

!1

)1(2

!0

)1(2

!

)1(2)(

0

Es de observarse, que la serie de Maclaurin es un caso particular de la serie de Taylor donde 0c .Al abordar un problema se inicia generalmente con la aplicación de la serie de Maclaurin, y la serie de Taylor se utiliza cuando al evaluar el primer término de la serie de Maclaurin la función es indefinida; cuando esto pasa, se busca un número (el mas censillo para efectos de cálculos) donde la función evaluada en ese número es definida.

Ejemplo 1) 1)0(cos)( fxxf (la función es definida) se aplica la serie de Maclaurin.

Ejemplo 2) Indefinidofx

xf 0

1)0(

1)( el número buscado es “ "1" c y se aplica la serie de Taylor.

Por lo tanto: 11

1)1( f (la función es definida)



145

Representación de funciones elementales en series de Maclaurin y series de Taylor:


1. Obtenga los primeros cuatro términos no nulos de la función elemental.

Sí )0(f es definido evalúe: )0();0();0();0( ffff Sí )0(f es indefinido busque el valor de ""c y evalúe: )();();();( cfcfcfcf

2. Forme la serie: Para la serie de Maclaurin:

!3

)0(

!2

)0(

!1

)0(

!0

)0( 32 xfxfxff


!3

)()(

!2

)()(

!1

)()(

!0


3.- Obtenga el enésimo término de la serie.

4.- Forme la serie completa:

Para la serie de Maclaurin: !3

)0(

!2

)0(

!1

)0(

!0

)0(

!

)0()(

3'''2'''

0

)( xfxfxff

n

xfxf

n

nn


!3

)()(

!2

)()(

!1

)()(

!0

)(

!

)()()(

3'''2'''

0

)( cxcfcxcfcxcfcf

n

cxcfxf

n

nn

5.- Sí lo desea y si es posible; obtenga de la nueva serie el nuevo enésimo término.

Ejemplo 1. Representar la serie de la función elemental x

xf1

)( :

!3

)1(6

!2

)1(2

!1

)1(1

!0

12

6)1(

2)1(

1)1(

1)1(

1;)0(

.1

1 32

)1(6

1

6

1

)3(

)(2

)1(2

1

2

1

)2(

)(1

)1(1

1

1

)1(1

01

44

2

23

3322

22

xxxPaso

f

f

f

f

cesbuscadonúmeroelindefinidof

Paso

x

xxx

x

x

xxx

x

x

xx

Paso 3) Para 6,2,1,1 se cumple la fórmula: !)1( nn

Para !4,!3,!2,!1,!0 se cumple la fórmula !n el enésimo término es nn

n

n)1(

!

!)1(

Paso 4) )(xf

0

432 )1()1()1()1(1)1()1(1

n

nn xxxxxx

Ejemplo 2. Representar la serie de la función elemental xexf )( :

!3!21

!3

)1(

!2

)1(

!1

)1(

!0

12

1)0(

1)0(

1)0(

1)0(

.1

3232

)0(0

)0(0

)0(0

)0(

xxx

xxxPaso

eef

eef

eef

ef

Paso

e

xx

xx

xxx



146

Paso 3) Para 3210 xxxx se cumple la fórmula nx .

Para !4,!3,!2,!1,!0 se cumple la fórmula !n el enésimo término es !n

x n

Paso 4)

0

432

!4!3!2!1!0

1

!n

nx xxxx

n

xe

Ejemplo 3. Representar la serie de la función elemental xxf cos)( .

!6

)1(

!5

)0(

!4

)1(

!6!4!21

!3

)0(

!2

)1(

!1

)0(

!0

12

1)0cos()(cos)0(

0)0()()0(

1)0cos()cos()0(

0)0()0(

1)0cos(cos)0(

0)0()0(

1)0cos()0(

.1

cos654

642

32

06

05

04

0

0

0

xxx

xxx

xxxPaso

xf

senxsenf

xf

senxsenf

xf

senxsenf

f

Paso

x

x

x

x

x

x

x

Paso 3) Para 1111 se cumple la fórmula n)1(

Para !4,!3,!2,!1,!0 se cumple la fórmula !n el enésimo término es !

)1(

n

n

Paso 4)

!6!4!2!0

1

!

)1(cos

642

0

xxx

n

xx

n

n

n

Paso 5) Para 6420 xxxx se cumple la fórmula: nn x2)1(

Para !6,!4,!2,!1,!0 se cumple la fórmula !)2( n el nuevo enésimo término es !)2(

)1( 2

n

x nn

Y finalmente queda

!6!4!2!0

1

!)2(

)1(cos

6422

0

xxx

n

xx

n

n

n

Nota: Mediante éste método, se obtienen representaciones de funciones elementales1 y similares2 para formar una lista básica de funciones representadas en series, cuya utilidad hace mas amigable la representación de otras funciones mas complejas, por lo que a continuación se presenta dicha lista:

(1) Entenderemos como función elementales de otra función a calcular, la que contiene en su estructura una sola ""x ; y además es posible sustituir el nuevo valor de la función a calcular en la serie de la función elemental sin alterar el valor de la función a calcular.

(2) Entenderemos como función similar de otra función a calcular, aquella que contiene un valor diferente pero mantiene la misma estructura; y además es posible sustituir el nuevo valor de la función a calcular en la serie de la función similar sin alterar el valor de la función a calcular.

Ejemplo 1) Función a calcular: x

xf2

1)( La función elemental es

xy

1

Ejemplo 2) Función a calcular: xxf cos)( La función elemental es xy cos Ejemplo 3) Función a calcular:

2)21()( xxf La función similar es kxy )1(



147

Tabla: Lista básica de funciones representadas en series.

Función Intervalo de convergencia

32

0

)1()1()1(1)1()1(1

)( xxxxx

xf n

n

n

)2,0(

0

321)1(1

1)(

n

nn xxxxx

xf )1,1(

0

32

!3!21

!)(

n

nx xx

xn

xexf ),(

4

)1(

3

)1(

2

)1()1(

)1()1(ln)(

432

0

1 xxxx

n

xxxf

n

nn

2,0

4321

)1()1(ln)(

4321 xxxx

n

xxxf

on

nn

1,1

0

75312

!7!5!3!)12(

)1()(

n

nn xxxx

n

xxsenxf ),(

0

6422

!6!4!21

!)2(

)1(cos)(

n

nn xxx

n

xxxf ),(

0

753

2

12

7.6.4.2

5.3.1

5.4.2

3.1

3.2)12()!2(

!)2()(

nn

n xxxx

nn

xnxarcsenxf 1,1

75312

)1(arctan)(

753

0

12 xxxx

n

xxxf

n

nn

1,1

!7!5!3!)12()(

753

0

12 xxxx

n

xsenhxxf

n

n

),(

!6!4!2

1!)2(

cosh)(642

0

2 xxx

n

xxxf

n

n

),(

!3

)2()1(

!2

)1(1

!

)1()1()1()(

32

0

xkkkxkkxk

n

xnkkkxxf

n

nk

Zk

Zk

,

1,1

!3

)2()1(

!2

)1(1

!

)1()1()1()1()(

32

0

xkkkxkkxk

n

xnkkkkxxf

n

nnk

Zk

Zk

,

1,1

Representación de funciones en serie de Maclaurin y serie de Taylor con uso de tablas:

Método:

1) Identifique la función elemental ó similar, en la tabla: “Lista básica de funciones representadas en series”.2) Identifique el nuevo valor de ""x en la función a determinar.

3) Sustituya el nuevo valor identificado ""x en la serie de la función elemental ó similar identificada.



148

Ejemplo 1) Representar en serie la función: x

xf2

1)(

Paso 1) Función elemental:

32

0

)1()1()1(1)1()1(1

)( xxxxx

xf n

n

n

Paso 2) El nuevo valor de ""x es "2" x

Paso 3) 32 )1)2(()1)2(()1)2((1)2(

1)( xxx

xxf

32 )12()12()12(1 xxx

Ejemplo 2) Representar en serie la función: xxf cos)(

Paso 1) Función elemental:

0

86422

!8!6!4!21

!)2(

)1(cos)(

n

nn xxxx

n

xxxf

Paso 2) El nuevo valor de ""x es "" x

Paso 3) !8!6!4!2

1!8

)(

!6

)(

!4

)(

!2

)(1cos

4328642 xxxxxxxxx

Ejemplo 3) Representar en serie la función: 2)21()( xxf

Paso 1) La función similar es:

!3

)2()1(

!2

)1(1

!

)1()1()1()(

32

0

xkkkxkkxk

n

xnkkkxxf

n

nk

Paso 2) El nuevo valor de "2""" xesx y de ""k es 2.

Paso 3) 2

322 441

!3

)2)(22)(12(2

!2

)2)(12)(2()2)(2(1)21( xx

xxxx

Integración definida de funciones por series de Maclaurin y series de Taylor.

Un interés de las series de Maclaurin y de Taylor es la posibilidad de evaluar integrales de funciones que no han sido posible ser calculadas por los métodos hasta ahora conocidos, por lo que se convierte en una técnica de integración de mucha ayuda.

Fundamentación: Sí )(xfy y

)0(f es definido

b

a

b

a Rb

yRadx

ffxffdxxf

!3

)0(

!2

)0(

!1

)0(

!0

)0()(

)0(f es indefinido

b

a

b

a Rcb

yRcadx

cxcfcxcfcxcfcfdxxf

!3

))((

!2

))((

!1

)()(

!0

)()(

32



149

Método de integración definida de funciones por series de Maclaurin y series de Taylor:

1) Identifique la función elemental ó similar, en la tabla: “Lista básica de funciones representadas en series”.1.1. Sí la función elemental ó similar ya esta en la tabla, identifíquela y continúe en el paso 3.

1.2. Sí la función elemental ó similar no está en la tabla continúe en el paso 2.2. Obtenga la representación de la función elemental en serie de Maclaurin ó de Taylor: 2.1. Obtenga los primeros cuatro términos no nulos de la función elemental. Sí )0(f es definido evalúe: )0();0();0();0( ffff Sí )0(f es indefinido busque el valor ""c y evalúe: )();();();( cfcfcfcf 2.1 Forme la serie:

Para la serie de Maclaurin:

!3

)0(

!2

)0(

!1

)0(

!0

)0( 32 xfxfxff


!3

)()(

!2

)()(

!1

)()(

!0


3) Identifique el nuevo valor de ""x de la función a calcular.

4) Sustituya el nuevo valor identificado ""x en la serie de la función elemental ó similar identificada u obtenida.5. Integre.6. Evalúe.

Ejemplo 1) Resolver la integral 1

0dxe x

con precisión de los primeros 4 términos y 4 cifras;

(suponga que la representación de la función elemental no se encuentra en tablas).

9833.1

)6

)!4)(3()!3)(3(

2

)!2)(2(3

2

)5!4

)(

!3

)(

!2

)(1

)4

"":""

)3

!3!21

!3

1

!2

1

!1

1

!0

1

1)0(

1)0(

1)0(

1)0(

)2

)1

1

0

32

522

3

2

1

432

3232

)0(0

0

)0(0

)0(0

)0(

1

0

Paso

xxxxx

Paso

dxxxx

x

Paso

xesxdevalornuevoel

Paso

xxx

xxx


eef

eef

eef

ef

Paso

eyelementalfunción

Paso

dxe

x

xx

xx

x

x

Ejemplo 2) Resolver la integral 2

1ln dxx con precisión de los primeros 4 términos y 4 cifras;

(suponga que la representación en serie de la función elemental no se encuentra en tablas).

2

1

432

432

432

41

44

31

3

21

11

1

2

1

1927.0)6)5!4

)1(6

!3

)1(2

!2

)1()1()4

"":""

)3

!4

)1(6

!3

)1(2

!2

)1()1(

!4

)1(6

!3

)1(2

!2

)1(1

!1

)1(1

6)1(

66)1(2

)1(

22)1(

1)1(

1)1(1)1(

0)1ln()1(1)0ln()0(

)2

ln

)1

ln

2

yPasodxxxx

xPasoxesxdevalornuevoel

Paso

xxxx

xxxx

esTaylordeserienuevala

xf

xf

ff

fcinefinidof

Paso

xyelementalfunción

Paso

dxx

xx

xxxx



150

Ejemplo 3) Resolver la integral dxxsen1

0

2 con precisión de los primeros 4 términos y 4 cifras

(con uso de la tabla).

1

0

141062

1

0

7252322

2

7531

0

2

!7!5!3

!7

)(

!5

)(

!3

)()4

)3

!7!5!3)2

)1

dxxxx

x

dxxxx

x

Paso

xPaso

xxxxPaso

xsenyPaso

dxxsen

3102.0)6)!7(15)!5(11)!3(73

)51

0

151173

Paso

xxxxPaso

Ejemplo 4) Integrar la función: dxx1

0cos con precisión de los primeros 4 términos y 4 cifras.

(con uso de la tabla).

2

0

2

0

326426422

0 !6!4!21

!6

)(

!4

)(

!2

)(1)4

)3

!6!4!21)2

cos)1

cosxxx

dxxxx

Paso

xPaso

xxxPaso

xyPaso

dxx

1056.01)6)!6(4)!4(3)!2(2

)52

0

432

Paso

xxxxPaso

Ejercicios:

Tipo I. Integrar las siguientes funciones (suponga que la representación de la serie no se encuentra en la tabla):

1

1.0

3

2)1 dxe x 2

1

3ln5)2 dxx dxxsenh1

0)3

2

0

2cosh)4 dxx

Tipo II. Demostrar al comparar en la tabla “Lista básica de funciones representadas en series”; la representación de series de Maclaurin ó de Taylor las siguiente funciones:

xsenxf )()1 xxf cosh)()2 xxf arctan)()3

Tipo III. Integrar con uso de tablas las siguientes funciones con precisión de los primeros 4 términos y 4 cifras:

dxx

2

1 2

1)1 dxx2ln)4

2

1 dxx5.0

0arctan5)7

dxx

1

0 1

1)2 dxxsen

1

03)5 dxx

1

0cosh)8

dxex20

1)3 dxx

1

0

2cos2)6 5.0

0

31)9 dxx



151




1) Calcular los primeros cuatro términos no nulos

de la serie:

0

2

!2

15

n

nn

n

xIndicadores a evaluar:- Desarrollo.- Resultado.

Valor: 30 puntos.

2) Calcular por series de potencia: 25.0

0 31

2dx

x

Indicadores a evaluar:- Desarrollo.- Resultado.

Valor: 40 puntos.

3) Calcular por series de Maclaurin: 1

0

2cos dxxIndicadores a evaluar:- Desarrollo.- Resultado.

Valor: 30 puntos.



1) Obtener el enésimo término de la serie:

!3

2

!2

222

642 xx

x


Valor: 30 puntos.

2) Demostrar por series de Maclaurin que:

!6!4!2

1cosh642 xxx

x


Valor: 30 puntos.

3) Calcular por series de Taylor: 2

1ln dxx


Valor: 40 puntos.



1) Calcular los primeros cuatro términos no nulos

de la serie:

012

112

nn

nn xIndicadores a evaluar:- Desarrollo.- Resultado.

Valor: 30 puntos.

2) Obtener el enésimo término de la serie:

!3

25

!2

25255

2xxx


Valor: 30 puntos.

3) Calcular por serie de Maclaurin:

5.0

04 dxxarcsen


Valor: 40 puntos.



152

Formulario de integración por series: Unidad 5.

Tipo Caracterización Tipo Caracterización

p-serie0

1

pnkn

p

Telescópicas:

knnn aa )( 1

Armónica

kn n

1 GeométricasRryara

n

n

00

Armónica general0

1

abankn

De potencias

0n

nn xa

Alternantes

kn

nna 1)1(

De potencias centrada en c

0

)(n

nn cxa

Tabla: Estructuras típicas de fórmulas de enésimos términos. Zyqpn 0,,

Enésimos términos elementales Estructuras típicas de enésimos términos

Para: nóp Ejemplo: Para: pyn Para: qypn,

pan )1 2222na pnan )1 qpnan )1

pan )2 2222na pn na )2 qpnan )2

nan )3 4321na Para 1k nn pa )3 qna p

n )3

!)4 nan 6211na Para 0k pnan )4 qna pn )4

nn na )5 2562741na Para 1k pnan )5 qpa n

n )5n

na )1()6 1111na Para 0k npan )6 qpa nn )6

Serie de Maclaurin:

!3

)0(

!2

)0(

!1

)0(

!0

)0(

!

)0()(

3'''2'''

0

)( xfxfxff

n

xfxf

n

nn

Serie de Taylor:

!3

)()(

!2

)()(

!1

)()(

!0

)(

!

)()()(

3'''2'''

0

)( cxcfcxcfcxcfcf

n

cxcfxf

n

nn

Forma parte de este formulario: La tabla: Lista básica de funciones representadas en series.



153

Decía un gran amigo: “Tanta fuerza tiene la verdad como la mentira”.¡ Admiro a las matemáticas porque encuentro imposible ser víctima de un engaño ¡


ANEXOS:

A Fundamentos cognitivos del cálculo integral.A1. Funciones y sus gráficas.A2. Propiedades de los exponentes.A3. Propiedades de los logaritmos.A4. Funciones trigonométricas.A5. Identidades de funciones trigonométricas.A6. Funciones hiperbólicas.A7. Identidades de funciones hiperbólicas.A8. Funciones hiperbólicas inversas.

B Instrumentación didáctica.B1. Identificación:B2. Caracterización de la asignatura:B3. Competencias a desarrollar:B4. Análisis del tiempo para el avance programático.B5. Avance programático.B6. Actividades de enseñanza y aprendizaje.B7. Apoyos didácticos:B8. Fuentes de información.B9. Calendarización de evaluación.B10. Corresponsabilidades.

C Simbología:C1. Simbología de caracteres.C2. Simbología de letras.C3. Simbología de funciones.

D Registro escolar.

E Formato de examen.

F Lista de alumnos.



154

Anexo A. FUNDAMENTOS COGNITIVOS DEL CÁLCULO INTEGRAL.

Anexo A1: Funciones y sus gráficas:

Guía:- Plano rectangular: - Método de graficación de funciones básicas.

- Función. - Reglas fundamentales de graficación.

- Clasificación de funciones. - Técnica de graficación a través del criterio de la primera derivada.

- Estructuras de funciones. - Técnica de graficación a través del criterio de la segunda derivada.

- Gráficas de funciones elementales - Ejemplos.

- Ejercicios.

Plano rectangular:

El plano cartesiano; es el conjunto cerrado de puntos que se encuentran en el plano generado por las rectas "X" e "Y".

Función:

Es una relación entre las variables """" yex del plano rectangular, cuya regla de correspondencia consiste en

asignar a cada elemento ""x uno y solamente un elemento "" y .

Nota: Todas las ecuaciones (modelos matemáticos) que obedecen ésta regla son funciones, y se diferencian por

su estructura: )(xfy significa que la parte )(xf debe estar expresada en términos de ""x y/ó números

reales.

La característica gráfica de las funciones es que: “Toda recta vertical toca la gráfica de una función a lo más una sola vez”.

Es funcion No es funcion Es funcion No es funcion

Clasificación de funciones:

Antes de iniciar el proceso de aprendizaje del cálculo integral, daremos una mirada a las dos clasificaciones de funciones sujetas a nuestro interés, lo anterior obedece a la completes y fluidez didáctica.

La primera clasificación de interés presenta el universo de funciones en que opera el cálculo integral y por lo mismo en cada etapa de aprendizaje se trata de globalizar el conocimiento atendiendo a este orden.

1) Funciones algebraicas.2) Funciones exponenciales.3) Funciones logarítmicas.4) Funciones trigonométricas.5) Funciones trigonométricas inversas.6) Funciones hiperbólicas.7) Funciones hiperbólicas inversas.

X

Y



155

La segunda clasificación obedece al grado de complejidad de las funciones y las hemos observado de la siguiente manera:

1) Funciones elementales. 2) Funciones básicas. 3) Funciones metabásicas.

Las funciones elementales las hemos concebido como las funciones que contienen en su estructura una constante ó bien una variable, y para nuestro caso nos referiremos a la variable “x”.

Ejemplos: ..;;1

;4 etcxsenyx

yy

Las funciones básicas las definiremos como las funciones que contienen en su estructura un binomio de la

forma: 0, akbabaxy

Ejemplos: ).1cos();12ln(;23 xyxyxy

Y por último; las funciones metabásicas las podemos inferir como aquellas que contienen en su estructura uno

ó más polinomios de la forma:

Znykzbazbxaxxpy nn ,,)( 1

Ejemplo: 23 23 xxy

Estructuras de las funciones:

EstructuraFunción Nombre Elementales Básicas Metabásicas

Constante ky Identidad xy Binómica baxy Polinómica )(xpy Valor absoluto xy baxy )(xpy Raíz xy baxy )(xpy

Racional xy

1

baxy

1

)(

1

xpy

Algebraicas:

Racional raíz.x

y1

bax

y

1

)(

1

xpy

Exponencia de base “ e ”

xey )( baxey )( xpey

Exponenciales: Exponencial de base “ a ”

xay Ra

)( baxay )(xpay

Logaritmo de base “ e ”

xy ln )(ln baxy )(ln xpy

Logarítmicas Logarítmica de base “ a ”

xy alog Ra

)(log baxy a )(log xpy a



156

Seno xseny )( baxseny )(xpseny Coseno xy cos )(cos baxy )(cos xpy Tangente xy tan )(tan baxy )(tan xpy Cotangente xy cot )(cot baxy )(cot xpy Secante xy sec )(sec baxy )(sec xpy

Trigonométricas

Cosecante xy csc )(csc baxy )(csc xpy

Arco seno xsenarcy )( baxsenarcy )(xpsenArcy Arco coseno xy arccos )(arccos baxy )(cos xpArcy Arco tangente xy arctan )(arctan baxy )(tan xpArcy Arco cotangente xarcy cot )(cot baxarcy )(cot xpArcy Arco secante xarcy sec )(sec baxarcy )(sec xpArcy

Trigonométricasinversas

Arco cosecante xarcy csc )(csc baxarcy )(csc xpArcy

Seno hiperbólico xsenhy )( baxsenhy )(xpsenhy Coseno hiperbólico

xy cosh )(cosh baxy )(cosh xpy

Tangente hiperbólico

xy tanh )(tanh baxy )(tanh xpy

Cotangente hiperbólico

xy coth )(coth baxy )(coth xpy

Secante hiperbólico

xhy sec )(sec baxhy )(sec xphy

Hiperbólicas

Cosecante hiperbólico

xhy csc )(csc baxhy )(csc xphy

Arco seno hiperbólico

xarcsenhy )( baxarcsenhy )(xparcsenhy

Arco coseno hiperbólico

xarcy cosh )(cosh baxarcy )(cosh xparcy

Arco tangente hiperbólica

xarcy tanh )(tanh baxarcy )(tanh xparcy

Arco cotangente hiperbólica

xarcy coth )(coth baxarcy )(coth xparcy

Arco secante hiperbólica

xharcy sec )(sec baxharcy )(sec xpharcy

Hiperbólicas inversas

Arco cosecante hiperbólica

xharcy csc )(csc baxharcy )(csc xpharcy



157

Gráficas de funciones elementales:

Algebraicas:

Función Estructura Dominio Recorrido Gráfica

Constante ky ),( ),( kk

Identidad xy ),( ),(

Valor absoluto xy ),( ,0

Raíz xy ,0 ,0

Racional xy

1 ,0)0,( ,0)0,(

Racional raíz

xy

1

),0( ),0(

Exponenciales

Función Estructura Dominio Recorrido Gráfica representativa

De base ""e xey

),( ),0(

De base ""a xay Ra

),( ),0(

ky

xy

xey

xy

xy

1

xy

1



158

Logarítmicas

Función Estructura Dominio Recorrido Gráfica representativa

De base ""e xy ln ),0( ),(

De base ""a xy alog Ra

),0( ),(

Trigonométricas


Seno xseny , 1,1

Coseno xy cos , 1,1

Tangente xy tan ,23,2 x ,

Cotangente xy cot ,2,,0 x ,

Secante xy sec ,23,2 x

),1(

)1,(

Cosecante xy csc ,2,,0 x

),1(

)1,(

xy ln



159



Seno inverso xsenarcy 1,1 2,2

Coseno inverso

xarcy cos 1,1 ,0

Tangente inversa

xarcy tan ),( )2,2(

Cotangente inversa

xarcy cot ),( )2,2(

Secante inversa

xarcy sec ),1[]1,( ],2[]2,0[

Cosecante inversa

xarcy csc ),1[]1,( ]2,0()0,2[



160

Hiperbólicas:


SenoHiperbólico

2

xx eexsenhy

),( ),(

Coseno hiperbólico 2

coshxx ee

xy

),( ),1[

Tangentehiperbólica

x

xsenhxy

coshtanh

),( )1,1(

Cotangentehiperbólica

0

tanh

1coth

x

xxy ),0()0,( ),1()1,(

Secantehiperbólica x

xhycosh

1sec ),( )1,0(

Cosecantehiperbólica

0

1csc

x

xsenhxhy ),0()0,( ),0()0,(



161



Seno hiperbólico inverso 1ln 2 xxxarcsenhy ),( ),(

Coseno hiperbólicoinverso 1lnarccos 2 xxxhy ),1[ ),0[

Tangente hiperbólicainversa

x

xxhy

1

1ln

2

1arctan

)1,1( ),(

Cotangente hiperbólicainversa

1

1ln

2

1coth

x

xxarcy

),1(

)1,(

),0(

)0,(

Secante hiperbólicainversa

x

xxharcy

211lnsec

1,0( ),0

Cosecante hiperbólica inversa

x

x

xxharcy

211lncsc ),0(

)0,(

),0(

)0,(

Método de graficación de funciones básicas:

1) Identifique la función dada en la tabla: “Método de graficación de funciones básicas”.2) Determine el punto medio de graficación de acuerdo a la regla dada en la tabla.3) Evalúe la función en el intervalo mínimo de graficación de acuerdo a la tabla.4) Marque los puntos.5) Trace la gráfica.

Conceptos:

El punto central de graficación de una función básica; Es el valor de ""x en donde se presume sea el centro de la traza de la función a graficar.

El punto tope de graficación de una función básica; Es el valor de ""x en donde se presume sea el inicio de la gráfica de la función y a partir del cual se inicia la traza de la función.

El punto límite de graficación de una función básica; Es el valor de ""x en donde se presume sea el valor

indefinido de ""x mas cercano a dicha gráfica; y cerca del cual se inicia la traza de la función.



162

El punto medio de graficación de una función básica “Pm”: Es el punto central ó punto tope ó punto límite de la gráfica de una función; Para identificar estos puntos observe la tabla "Reglas de graficación de funciones básicas".

Tabla: Método de graficación de funciones básicas: MP Punto medio de graficación

IPT Intervalo parcial de trazo

Función Regla: baxxp )( Intervalo de graficación IPT EjemploMP

Binómica 0MP ]3,3[ 1 2 xy 0MP

Valor absoluto xPM donde 0)( xp 3,3 12 xy 2MP

Raíz xPM donde 0)( xp 3,3 MM PP

en el intervalo definido

1 3 xy 3MP

Racional xPM donde

0)( xp )3,3( MM PP 1 2

3

xy 2MP

Racional raiz xPM donde 0)( xp )3,3( MM PPen el intervalo definido

133

2

xy 3MP

Exponencial 0MP ]3,3[ 1 12 xey 0MP

Logarítmica xPM donde 0)( xp )3,3( LL PPen el intervalo definido

1 )2(ln xy 2MP

Trigonométrica xPM donde 0)( xp 3,3 MM PP 1 )4(cos xy 4MP

Hiperbólica xPM donde 0)( xp 3,3 MM PP 1 )3cosh( xy 3MP

Ejemplos:

1) Graficar la función

xy 3 x xy 3 0 1 2

3MP 4 5 6

1.73…1.41…10IndefinidoIndefinidoIndefinido

2) Graficar la función 3

1

xy

x

3

1

xy

0 1 2

3MP 4 5 6

- 0.333…- 0.5- 1Indefinido 1 0.5 0.333…

3

3

1

xy

PM

0

3

xy 3

PL

0



163

3) Graficar la función

2

1

xy

x

2

1

xy

5 4 3

2MP

1 0 1

IndefinidoIndefinido

IndefinidoIndefinido

1...707.0...577.0

4) Graficar la función )2(ln xy

x )2(ln xy - 1 0 1

2MP

3 4 5

1.09…0.69…0IndefinidoIndefinidoIndefinidoIndefinido

Reglas fundamentales de graficación de funciones.

1) Regla de la ecuación constante:

Sí x = k la gráfica es una recta que toca al eje “X” en (k, 0); y es paralela al eje “Y”. Ejemplo: Trazar la gráfica cuya ecuación es: x = 2

2) Regla de la función constante:

Sí y = k la gráfica es una recta que toca al eje “Y” en (0, k); y es paralela al eje “X”,

Ejemplo: Trazar la gráfica cuya ecuación es: y = 3

3) Regla de la función lineal:

Sí y = ax + b la gráfica es una recta que toca al eje “Y” en (0, b); y además es creciente si “a” es positiva“+” y decreciente si “a” es negativa “-“) Ejemplo: Trazar la gráfica cuya ecuación es: y = 2x – 1

4) Regla de la función cuadrática y binómica:

Sí y = ax2 + b la gráfica es una parábola que toca al eje “Y” en (0, b); y es cóncava hacia arriba sí “a” es positiva “+”

Ejemplo: Trazar la gráfica cuya ecuación es: y = 2x2 + 1 Extensión: Todas las gráficas de la forma axn + b donde n es par, presentan este bosquejo.

(2, 0)

x = 2

•

•

y = 2x2 + 1

(0, 1)

y = 3(0, 3)•

y = 2x - 1

(0, -1)•

PM 2

1

xy

- 20

)2(ln xy

PM

0



164

5) Regla de la función cuadrática y trinómica:

Sí dxacbxaxy ab 2

22

la gráfica es una parábola que toca el punto dab ,2 ; y es

cóncava hacia arriba sí “ a ” es positiva “+” ; y cóncava hacia abajo sí “ a ” es negativa “-“.

Ejemplo 1. Trazar la gráfica cuya ecuación es: 1162 xxy

23296?3116 2222 xxxxxxy

De donde 2,3,2 dab

Ejemplo 2. Trazar la gráfica cuya ecuación es: 842 2 xxy

1012)512(2

?1242284222

222

xxx

xxxxxy

De donde: 10,1,2 dab

6) Regla de la función cúbica:

Sí y = ax3 + b la gráfica es una curva que toca al eje “Y” en (0, b); similar a una ese “S” “ invertida sí “a” es positiva “+” y similar a una “S” normal sí “a” es negativa “-”. Ejemplo: Trazar la gráfica cuya ecuación es: y = 2x3 + 1 Extensión: Todas las gráficas de la forma axn + b donde n es impar > 1, presentan este bosquejo.

7) Regla de los desplazamientos:

Para y = f(x) y k > 0 se cumple lo siguiente:

Sí y = f(x) + k la gráfica y = f(x) se desplaza k unidades hacia arriba.Sí y = f(x) - k la gráfica y = f(x) se desplaza k unidades hacia abajo.Sí y = f(x + k) la gráfica y = f(x) se desplaza k unidades hacia la izquierda.Sí y = f(x- k) la gráfica y = f(x) se desplaza k unidades hacia la derecha.

Ejemplo 1): Sea: y = x2 para k = 2 bosquejar a) y = f(x) + k; b) y = f(x) – k; c) y = f(x + k); d) y = f(x - k).

a) y = f(x) + k = x2 + 2 c) y = f(x + k) = (x + 2)2 = x2 + 4x +4b) y = f(x) – k = x2 - 2 d) y = f(x - k) = ( x – 2)2 = x2 – 4x +4

2

2

2 20

y = x2y = x2 + 2 y = (x - 2)2

y = (x + 2)2

•

y = 2x3 + 1

y = x2 - 2

(-1, -10)

y = 2x2 + 1

y = x2 + 6x+11

(-3, 2)



165

Ejemplo 2): Sea: y = x2 + 1 para k = 2 bosquejar a) y = f(x) + k; b) y = f(x) – k; c) y = f(x + k); d) y = f(x - k).

a) y = f(x) + k = (x2 + 1) + 2 = x2 + 3 c) y = f(x + k) = (x + 2)2 +1 = x2 + 4x + 5b) y = f(x) – k = (x2 +1) - 2 = x2 - 1 d) y = f(x - k) = ( x – 2)2 + 1 = x2 – 4x + 1

y = x2 + 1 y = x2 + 3 y = x2 -1 y = (x + 2)2 + 1 y = (x - 2)2 + 1

8) Regla de los estiramientos y compresiones:

Para y = f(x) y k > 0 se cumple lo siguiente:

Sí y = k f(x) la gráfica y = f(x) se estira k veces en dirección vertical. Sí y = f(x)/k la gráfica y = f(x) se comprime k veces en dirección vertical. Sí y = f(kx) la gráfica y = f(x) se comprime k veces en dirección horizontal. Sí y = f(x/k) la gráfica y = f(x) se estira k veces en dirección horizontal.

Ejemplo: Sea: y = x2 para k = 2 bosquejar a) y = k f(x); b) y = f(x)/k; c) y = f(kx); d) y = f(x/k).

a) y = k f(x) = 2 (x2 ) = 2x2 c) y = f(kx) = (2x)2 =4x2

b) y = f(x)/k = (x2 )/2 = x2/2 d) y = f(x/k) = (x/2)2 = x2/4

9) Regla de las reflexiones:

Para y = f(x) se cumple lo siguiente:

Sí y = - f(x) la gráfica y = f(x) se refleja respeto al eje “X”.Sí y = f(-x) la gráfica y = f(x) se refleja respecto al eje “Y”.

Ejemplo: Sea: xy para k = 2 bosquejar a) y = - f(x); b) y = f(-x).

a) y = - f(x) = xb) y = f(-x) = x

xy xy xy

221

31

y = x2 y = 2x2 y = x2/2 y = 4x2 y = x2/4



166

Técnica de graficación a través del criterio de la primera derivada.

El criterio de la primera derivada establece:Cuando en f existen puntos estacionarios Icfc ))(,(tales que 0)( cf se infiere que:

a) Sí antes ó después de ))(,( cfc ; 0´f f es curva creciente.

b) Sí antes ó después de ))(,( cfc ; 0´f f es curva decreciente.

c) Si de antes a después de ))(,( cfc hay cambio de

af 0' 0'f ))(,( cfc es un máximo relativo.

d) Si de antes a después de ))(,( cfc hay cambio de

af 0' 0'f ))(,( cfc es un mínimo relativo.

e) Si de antes a después de ))(,( cfc no hay cambio de

'f ))(,( cfc es un punto de inflexión.

Ejemplo: Investigar números y puntos críticos de la función xxx

y 223

23

.

2´ 2 xxf 022 xx 0)2()1( xx

21 21 xyx Son los números estacionarios.

3/10,23/10)2(

6/7,16/7)1(

f

f Son los puntos estacionarios

1 x 21 x x2 - 2 0 3

)(02)2()2()2(' 2 f )(02)0()0()0(' 2 f )(02)3()3()3(' 2 f

Técnica de graficación a través del criterio de la segunda derivada.

Primera parte: Si en f existen puntos estacionarios Icfc ))(,((obtenidos de la 1a. derivada); se infiere que:

a) Sí ))(,(0)(''0 cfccfóf es un máximo relativo

b) Sí ))(,(0)(''0 cfccfóf es un mínimo relativo

c) Sí 0)('' cf el criterio no decide.

0'f0'f

0'f

Mínimorelativo

Máximorelativo Punto de inflexión

Mínimorelativo

Máximorelativo

0)('' cf0)('' cf

Mínimorelativo

DecrecienteCreciente Creciente

(- 1, 7/6 ) - 1

(2, - 10/3) 2

Máximorelativo

cc

0)( cf

0'f0'f

0'f

0)( cf

67,1

310,2



167

Segunda parte: Si en f existen puntos Icfc ))(,( obtenido de la 2a. derivada, se infiere que:

a) Sí 0'' f antes o después de ))(,( cfc

f es cóncava hacia abajo nIb) Sí 0'' f antes o después de ))(,( cfc

f es cóncava hacia arriba nIc) Sí hay cambio de concavidad de antes a después de ))(,( cfc ))(,( cfc es un punto de inflexión.


1) Obtenga números y puntos estacionarios de la primera derivada.

2) Obtenga )('' cf de los números estacionarios de la 1a. derivada y aplique la 1a. parte del criterio.

3) Obtenga números y puntos estacionarios de la 2a. derivada.4) Elabore la matriz de intervalos abiertos y aplique la 2a. parte del criterio.5) Haga el bosquejo de la gráfica.

Ejemplo.- Por el criterio de la segunda derivada, graficar la función 3

62

x

y

22 )3(

12´

x

xf ; 0

)3(

1222

x

x; 0x es el número estacionarios de la 1ª derivada.

2,023)0(

6)0(

2

f es el punto estacionarios de la 1ª derivada.

32

2

3

3636

x

xf 00

3)0(

36)0(36)0( 32

2

fcomof 2,0 es un máximo relativo

0

3

363632

2

x

x; 11 21 xyx

estos son los números estacionario de la 2ª derivada.

)5.1,1(5.13)1(

6)1(

2

f

es un punto estacionario de la 2ª derivada.

)5.1,1(5.13)1(

6)1(

2

f

es otro punto estacionario de la 2ª derivada.

1 x 11 x x1 - 2 0 2

0

3)2(

36)2(36)2( 32

2

f

0

3)0(

36)0(36)2( 32

2

f

0

3)2(

36)2(36)2( 32

2

f

Punto deinflexión

Cóncavahacia abajo

Cóncavahaciaarriba

0'' f 0'' f

Punto deinflexión

Cóncavahacia abajo

Cóncava hacia arriba

Cóncavahacia arriba

(-1, 1.5) -1

(1, 1.5) 1

Punto deinflexión

5.1,1 5.1,1

2,0



168

Anexo: A2. Propiedades de los exponentes:

1)1 0 a xxx baab )()3 yxyx aa )5 xe x ln

yxy

x

aa

a )2 yxyx aaa )4 x

xx

b

a

b

a

)6 10log axa xa

Anexo: A3. Propiedades de los logaritmos:

Logaritmos de base ;""a 1, baSí

Logaritmos de base ;""e 1aSí

01log)1 a01ln)1

1log)2 aa1ln)2 e

yxxy aaa loglog)(log)3 yxxy lnlnln)3

yxy

xaaa logloglog)4

yx

y

xlnlnln)4

xnx an

a log)(log)5 xnxn ln)(ln)5

a

xx

b

ba log

loglog)6

e

xx

a

a

log

logln)6

ab

ba log

1log)7

ea

alog

1ln)7

10log)8 axa xa xe x ln)8

Anexo: A4. Funciones trigonométricas:

Las funciones trigonométricas son funciones que se definen por la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, cuyo ángulo de referencia tiene como vértice el origen del plano cartesiano.

Función Nombre Gráfico

C

Bxseny )1 Seno

C

Axy cos)2 Coseno

A

Bxy tan)3 Tangente

B

Axy cot)4 Cotangente

A

Cxy sec)5 Secante

B

Cxy csc)6 Cosecante

A

C

x

B



169

Anexo: A5. Identidades de funciones trigonométricas:

Seno:x

xsencsc

1)1 xsenxxsen 2

2

1cos)5 xxsen 22 cos1)7

xsenxsen )()2 xx

xsentan

cos)6 xxsen 2cos

2

1

2

1)8 2

xxsen

csc1

)3 xxsen cos2

1

2

1

2

1)9 2

xxsenxsen cos22)4 1cos)10 22 xxsen

Coseno:xSec

x1

cos)1 xsenx 2212cos)5 xsenx 22 1cos)9

xx cos)cos()2 xSenxx 22cos2cos)6 xx 2cos2

1

2

1cos)10 2

xx

seccos

1)3 xsenxxsen 2

2

1cos)7 xx cos

2

1

2

1

2

1cos)11 2

1cos22cos)4 2 xx xx

xsentan

cos)8 1cos)12 22 xxsen

Tangente:x

xcot

1tan)1

x

xsenx

costan)4 1sectan)5 22 xx

xx tan)(tan)2 1tansec)6 22 xx

xx

cottan

1)3

Cotangente: xx

tan

1cot)1 x

xtan

cot

1)3 1csccot)6 22 xx

xx cot)(cot)2 xsen

xx

coscot)5 1cotcsc)7 22 uu

x

xx

2tan1

tan22tan)4

Secante:x

xcos

1sec)1 x

xcos

sec

1)3 xx 22 tan1sec)4

xx sec)(sec)2 1tansec)5 22 xx

Cosecante:xsen

x1

csc)1 xsenx

csc

1)3 xx 22 cot1csc)4

xx csc)(csc)2 1cotcsc)5 22 uu



170

Anexo: A6. Funciones hiperbólicas:

Es una clase de funciones exponenciales que surgió al observar la relación del área de un semicírculo con el área de una parábola, quedando definida de la siguiente forma:

Función Nombre Función Nombre

2)1

xx eexsenhy

Seno

hiperbólicoxx

xx

ee

ee

xtghxy

1

coth)4 Cotangente hiperbólica

2cosh)2

xx eexy

Coseno

hiperbólicoxx eex

xhy

2

cosh

1sec)5 Secante

hiperbólica

xx

xx

ee

ee

x

xsenhxy

cosh

tanh)3 Tangente hiperbólica

xx eexsenhxhy

21

csc)6 Cosecante hiperbólica

Anexo: A7. Identidades de funciones hiperbólicas:

Seno hiperbólico xsenhxsenh )()1 2

2cosh1)4 2 x

xsenh

xxsenhxsenh cosh22)2 1cosh)5 22 xsenhx

12cosh2

12)3 xxsenh

Coseno hiperbólicoxx cosh)cosh()1

2

2cosh1cosh)4 2 x

x

xsenhxx 22cosh2cosh)2 1cosh)5 22 xsenhx

12cosh2

12cosh)3 xx

Tangente hiperbólica x

xsenhx

coshtanh)1 1sectanh)2 22 xhx

Cotangente hiperbólica

xsenh

xx

coshcoth)1 1csccoth)2 22 xhx

Secante hiperbólicax

xhcosh

1sec)1 1sectanh)2 22 xhx

Cosecante hiperbólica

xsenhxh

1csc)1 1csccoth)2 22 xhx

Anexo: A8. Funciones hiperbólicas inversas:

Función Nombre

1ln)1 2 xxxsenharcy Seno hiperbólico inverso

1lnarccos)2 2 xxxhy Coseno hiperbólico inverso

x

xxhy

1

1ln

2

1arctan)3 Tangente hiperbólico inverso

1

1ln

2

1coth)4

x

xxarcy Cotangente hiperbólico inverso

x

xxharcy

211lnsec)5

Secante hiperbólico inverso

x

x

xxharcy

211lncsc)6 Cosecante hiperbólico inverso


171

Anexos: B. INSTRUMENTACIÓN DIDÁCTICA.

B1. Identificación.B2. Caracterización de la asignatura.B3. Competencias a desarrollar:B4. Análisis del tiempo para el avance programático.B5. Avance programático.B6. Instrumentación didáctica.B7. Apoyos didácticos.B8. Fuentes de información.B9. Calendarización de evaluación.B10. Corresponsabilidades.

Anexo: B1. Identificación:

Asignatura: Cálculo integralDescripción: Cálculo integral.Clave: Sin.

Carrera: Todas las ingenierías.Horas teóricas: 3Horas prácticas: 2Unidades: 5

Versión: Agosto del año 2010.

Anexo: B2. Caracterización de la asignatura:

- Esta asignatura contribuye a desarrollar un pensamiento lógico, heurístico y algorítmico al modelar fenómenos y resolver problemas en los que interviene la variación.- Hay una diversidad de problemas en la ingeniería que son modelados y resueltos a través de una integral, por lo que resulta importante que el ingeniero domine el Cálculo integral.

Anexo: B3. Competencias a desarrollar:

- Contextualizar el concepto de Integral.- Discernir método más adecuado para resolver una integral dada y resolverla usándolo.- Resolver problemas de cálculo de longitud de arco, áreas, volúmenes de sólidos de revolución, y centroides.- Reconocer el potencial del Cálculo integral en la ingeniería.

Anexo: B4. Análisis del tiempo para el avance programático.

No Indicador Subindicador Hrs. Hrs.1 Horas programadas por semestre 16 Semanas programadas por 5 horas/semana 80

Subtotal +80

2 Horas no impartidas: Suspensiones de ley (promedio) - 4Eventos institucionales - 3Faltas del maestro - 3Juntas de academia - 2Juntas departamentales - 2Juntas sindicales - 2 Subtotal -16

3 Horas reales -644 Total -80 +80


172

Anexo: B5. Avance programático:

UNIDAD: 1. LA INTEGRAL INDEFINIDA. Avance programático

Clase Tema T/h T/h/a %

0.0 Presentación del programa de estudio, la bibliografía, los lineamientos en que se desarrollará el curso y los criterios de evaluación.

1 1 2

1.1 Diferenciales. 1 2 31.2 Diferenciación de funciones elementales. 2 4 61.3 Diferenciación de funciones algebraicas que contienen “xn”. 1 5 81.4 Diferenciación de funciones que contienen “u”. 2 7 111.5 La antiderivada e integración indefinida de funciones elementales. 2 9 141.6 Integración indefinida de funciones algebraicas que contienen “xn”. 1 10 161.7 Integración indefinida de funciones que contiene “u”. 2 12 19

Evaluación de la unidad. 1 13 20 Subtotal: 13

UNIDAD: 2. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN. Avance programático


2.1 Técnica de integración por uso de tablas de fórmulas de funciones que contienen

las formas: 22 au .

1 14 22

2.2 Técnica de integración por cambio de variable. 1 15 232.3 Técnica de integración por partes. 1 16 252.4 Técnica de integración del seno y coseno de m y n potencia. 2 18 282.5 Técnica de integración de la tangente y secante de m y n potencia. 1 19 302.6 Técnica de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia. 1 20 312.7 Técnica de integración por sustitución trigonométrica. 2 22 342.8 Técnica de integración de fracciones parciales. 2 24 372.9 Técnica de integración por series de potencia. 1 25 392.10 Técnica de integración por series de Maclaurin y series de Taylor. 2 27 42


UNIDAD: 3. LA INTEGRAL DEFINIDA. Avance programático


3.1 La integral definida. 1 29 453.2 Teoremas de cálculo integral. 1 30 473.3 Integración definida de funciones elementales. 3 33 523.4 Integración definida de funciones algebraicas que contienen “xn”. 1 34 533.5 Integración definida de funciones que contienen “u”. 3 37 583.6 Integración definida de funciones que contienen las formas: 22 au a 0 2 39 61

3.7 Integrales impropias. 3 42 66Evaluación de la unidad. 1 43 67 Subtotal: 15


173

UNIDAD: 4. TEMA: APLICACIONES DE LA INTEGRAL. Avance programático


4.1 Cálculo de longitud de curvas. 1 44 694.2 Cálculo de áreas. 2 46 72

4.3 Cálculo de volúmenes. 2 48 754.4 Cálculo de momentos y centros de masa. 2 50 784.5 Cálculo del trabajo. 2 52 81

Evaluación de La unidad. 1 53 83 Subtotal: 10

UNIDAD: 5. TEMA: INTEGRACIÓN POR SERIES. Avance programático


5.1 Definición, clasificación y tipos de series. 1 54 845.2 Generación del enésimo término de una serie. 2 56 875.3 Convergencia de series. 1 57 895.4 Intervalo y radio de convergencia de series de potencias. 1 58 915.5 Derivación e integración indefinida de series de potencia. 1 59 925.6 Integración definida de funciones por series de potencia. 2 61 955.7 Integración definida de funciones por series de Maclaurin y series de Taylor. 1 62 970.0 Evaluación y clausura del curso. 1 63 98



174

Anexo: B6. Actividades de enseñanza y aprendizaje.

Identificación:

No. de unidad: 1.Tema: La integral.

Competencias específicas:

- Solución de las diferenciales necesarias para el cálculo de integrales.- Discernir sobre métodos más adecuados para resolver una integral.- Solucionar las integrales indefinidas como apoyo para el cálculo de las integrales definidas.

Criterios de evaluación:

- Solución de problemas. - Participaciones.- Tareas.- Disciplina; Actitud; Valores.

Actividades de enseñanzaClase

Descripción NActividades de aprendizaje Competencias genéricas

hrs%

- Con la dinámica de presentación, promover la identificación del grupo.

C2 Participar en la dinámica de presentación.

- Comunicar ideas. 112

- Por el método globalizado y con la técnica expositiva; presentar el programa de estudio, la bibliografía, los lineamientos en que se desarrollará el curso y los criterios de evaluación.

C2 Participar haciendo preguntas, comentarios y aclarando dudas.

- Interpretar conceptos.- Establecer generalizaciones.- Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente.

- Coordinar la formación de equipos que participarán en la exposición de temas y elaboración de tareas.

C2 Formar equipos de investigación para la elaboración de tareas y presentación de exposiciones.

- Tomar decisiones.

0.0

- Por el método psicológico y con la técnica de la comisión, asignar a los equipos los temas sujetos a investigación y presentación ante el grupo.

C2 Tomar notas y participar haciendo preguntas, comentarios y aclarando dudas.

- Interpretar conceptos.- Establecer generalizaciones.- Tomar decisiones.

1.1 Por el método inductivo y con la técnica expositiva presentar el tema “Diferenciales”. A continuación se forman parejas que por la técnica de cuchicheo discuten la solución a problemas planteados.

Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.

C2 Haber investigado el tema “Diferenciales”; y participar haciendo preguntas y aclarando dudas.

Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.

- Interpretar y procesar datos.

- Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.

- Transferir el conocimiento adquirido a otros campos de aplicación.

- Comunicar ideas en el lenguaje matemático.

123

1.2 Por el método heurístico y con la técnica expositiva presentar el tema “Diferenciación de funciones elementales”. A continuación se forman parejas que por la técnica de cuchicheo discuten la solución a problemas planteados.


C3 Haber investigado el tema “Diferenciación de funciones elementales”; y participar haciendo preguntas y aclarando dudas.




- Analizar la factibilidad de las soluciones.

- Resolver problemas.

246


175

1.3 Por el método analógico hacer una introducción al tema “Diferenciación de funciones algebraicas que contienen xn” . A continuación se hace la presentación del equipo que por la técnica de la comisión hará una exposición del tema.


C3 El equipo participante presenta el tema “Diferenciación de funciones algebraicas que contienen xn” . El resto del grupo haber investigado el tema y participar haciendo preguntas y aclarando dudas.






- Establecer generalizaciones.

158

1.4 Por el método analógico hacer una introducción al tema “Diferenciación de funciones que contienen u”. A continuación se hace la presentación del equipo que por la técnica de la comisión hará una exposición del tema.


C3 El equipo participante presenta el tema “Diferenciación de funciones que contienen u”. El resto del grupo haber investigado el tema y participar haciendo preguntas y aclarando dudas.






2711

1.5 Por el método activo y con la técnica expositiva presentar el tema “La antiderivada e integración indefinida de funciones elementales”.


C4 Haber investigado el tema “La antiderivada e integración indefinida de funciones elementales”; y participar haciendo preguntas y aclarando dudas.






2914

1.6 Por el método psicológico hacer una introducción al tema “Integración indefinida de funciones algebraicas que contienen xn”. A continuación se organiza al grupo en discusión circular, luego se hace la presentación de los equipos que por la técnica del seminario presentan el tema.


C3 Los equipos participantes presentan el tema “Integración indefinida de funciones algebraicas que contienen xn”. El resto del grupo haber investigado el tema y organizado en discusión circular participan haciendo preguntas y aclarando dudas.







11016

1.7 Por el método sistematizado y por la técnica de la exposición presentar el tema “Integración indefinida de funciones que contienen u”.


C4Haber investigado el tema “Integración indefinida de funciones que contienen u”; y participar haciendo preguntas y aclarando dudas.


- Interpretar y procesar datos.- Analizar la factibilidad de las soluciones.- Resolver problemas.- Establecer generalizaciones.- Potenciar las habilidades para el uso de tecnologías de la información.

21219

Evaluación de la unidad. Participar presentando exámenes.- Resolver problemas.- Comunicar ideas.- Tomar decisiones.

11320


176

Identificación:

No. de unidad: 2.Tema: Técnicas de integración.


- Discernir sobre métodos más adecuados para resolver una integral dada y aplicarlo.- Solucionar las integrales indefinidas de cierto grado de dificultad como apoyo para el cálculo de las integrales definidas.





hrs%

2.1 Por el método analógico hacer una introducción al tema “Técnica de integración por uso de tablas de fórmulas de funciones que contienenlas formas u2 ± a2”. A continuación por el método de investigación se dan los temas sujetos de investigación y los lineamientos de presentación del informe.

C3 El grupo participa haciendo preguntas y aclarando dudas sobre la investigación y la presentación del informe sobre el tema “Técnica de integración por uso de tablas de fórmulas de funciones que contienen las formasu2 ± a2”. Realizan la investigación y entregan el informe.


- Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente.



11422

2.2 Por el método sistematizado hacer una introducción al tema “Técnica de integración por cambio de variable”. A continuación se hace la presentación del equipo que por la técnica de la comisión hace una exposición del tema.


C4 El equipo participante presenta el tema “Técnica de integración por cambio de variable”. El resto del grupo haber investigado el tema y participar haciendo preguntas y aclarando dudas.






11523

2.3 Por el método intuitivo y por la técnica de presentación se expone el tema “Técnica de integración por partes”. A continuación se forman parejas que por la técnica de cuchicheo discuten la solución a problemas planteados.


C4 Haber investigado el tema “Técnica de integración por partes”, y formar parejas para la discusión a problemas planteados y exponer sus soluciones.






11625

2.4 Por el método intuitivo y por la técnica de presentación se expone el tema “Técnica de integración del seno y coseno de m y n potencia”. A continuación se forman equipos que por la técnica de corrillos discuten la solución a problemas planteados.


C4 Haber investigado el tema “Técnica de integración del seno y coseno de m y n potencia”, y formar equipos para la discusión a problemas planteados y exponer sus soluciones.






21828


177

2.5 Por el método intuitivo y por la técnica de presentación se expone el tema “Técnica de integración de la tangente y secante de m y n potencia”; y por la técnica de la caja de entrada a continuación se plantea al grupo problemas a los que tiene que dar solución.


C4Haber investigado el tema “Técnica de integración de la tangente y secante de m y npotencia”, y dar solución y exponer problemas planteados.






11930

2.6 Por el método inductivo hacer una introducción al tema “”Técnica de integración de la cotangente y cosecante de m y npotencia. A continuación se hace la presentación de los equipos que por la técnica del seminario presentan el tema.


C4 Los equipos participantes presentan el tema “Técnica de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia”. El resto del grupo haber investigado el tema y participan haciendo preguntas y aclarando dudas.






12031

2.7 Por el método intuitivo y por la técnica de presentación hacer una introducción al tema “Técnica de integración por sustitución trigonométrica”; y por la técnica de la comisión un equipo presenta el tema.


C4 El equipo comisionado presentael tema “Técnica de integraciónpor sustitución trigonométrica”. El resto del grupo haber investigado el tema y participan haciendo preguntas y aclarando dudas.






22234

2.8 Por el método heurístico y por la técnica de presentación se expone el tema “Técnica de integración de fracciones parciales”. A continuación se forman grupos que por la técnica de corrillos analizan problemas propuestos.


C4 Haber investigado el tema “Técnica de integración de fracciones parciales”, y formar equipos para la discusión a problemas planteados y exponer sus soluciones.






22437

2.9 Por el método heurístico y por la técnica de presentación se expone el tema “Técnica de integración por series de potencia”. A continuación se forman grupos que por la técnica de corrillos analizan problemas propuestos.


C4 Haber investigado el tema “Técnica de integración por series de potencia”, y formar equipos para la discusión a problemas planteados y exponer sus soluciones.






12539


178

2.1 0

Por el método analógico y por la técnica de presentación se expone el tema “Técnica de integración por series de Maclaurin y series de Taylor”. A continuación se forman grupos que por la técnica de corrillos analizan problemas propuestos.


C4 Haber investigado el tema “Técnica de integración por series de Maclaurin y series de Taylor”, y formar equipos para la discusión a problemas planteados y exponer sus soluciones.






- Potenciar las habilidades para el uso de tecnologías de la información.

22742


12844

Identificación:

No. de unidad: 3.Tema: La integral definida.

Competencias específicas:- Discernir sobre métodos más adecuado para resolver una integral definida y aplicarlo.- Evaluar las integrales definidas como dominio previo a las aplicaciones en la solución de problemas prácticas del campo de la ingeniería.





hrs%

3.1 Por el método inductivo y con la técnica expositiva presentar el tema “Definición de la integral definida”.


C3 Haber investigado el tema “Definición de la integral definida”; y participar haciendo preguntas y aclarando dudas.



- Transferir el conocimiento adquirido a otros campos de aplicación.


12945

3.2 Por el método analógico hacer una introducción al tema “Teoremas de cálculo integral”. A continuación por el método de investigación se dan los temas sujetos de investigación y los lineamientos de presentación del informe.

C3 El grupo participa haciendo preguntas y aclarando dudas sobre la investigación y la presentación del informe sobre el tema “Teoremas de cálculo integral”. Realizan la investigación y entregan el informe.




13047

3.3 Empleando el método lógico y con la técnica expositiva presentar el tema “Integración definida de funciones elementales”. A continuación se forman equipos quienes por la técnica de corrillos discuten la solución a problemas planteados.


C4 Haber investigado el tema “Integración definida de funciones elementales”, y formar equipos para la discusión a problemas planteados y exponer sus soluciones.






33352


179

3.4 Por el método deductivo y con la técnica expositiva presentar el tema “Integración definida de funciones algebraicas que contienen xn”. A continuación se forman parejas de alumnos que por la técnica de cuchicheo discuten la solución a problemas planteados.


C4 Haber investigado el tema “Integración definida de funciones algebraicas que contienen xn”, y formar parejas de alumnos para la discusión a problemas planteados y exponer sus soluciones.






13453

3.5 Por el método activo y por la técnica expositiva se presenta el tema “Integración definida de funciones que contienen u”. A continuación se forman equipos que por la técnica de corrillos discuten la solución a problemas planteados.


C4 Haber investigado el tema “Integración definida de funciones que contienen u”, y formar equipos para la discusión a problemas planteados y exponer sus soluciones.






33758

3.6 Por el método activo y por la técnica expositiva se presenta el tema “Integración definida de funciones que contienen las forma u2 ± a2”. A continuación se forman equipos que por la técnica de corrillos discuten la solución a problemas planteados.


C4 Haber investigado el tema “Integración definida de funciones que contienen las formas u2 ± a2” y formar equipos para la discusión a problemas planteados y exponer sus soluciones.






23961

3.7 Por el método inductivo y con la técnica expositiva presentar el tema “Integrales impropias”.


C3 Haber investigado el tema “Integrales impropias”; y participar haciendo preguntas y aclarando dudas.



- Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.- Resolver problemas.- Potenciar las habilidades para el uso de software.

34266

Evaluación de la unidad. Participar presentando exámenes. - Resolver problemas.- Comunicar ideas.- Tomar decisiones.

14367


180

Identificación:

No. de unidad: 4.Tema: Aplicaciones de la integral


- Discernir sobre métodos más adecuado para resolver problemas prácticos del campo de la ingeniería.

- Solucionar problemas específicos del campo de la ingeniería.



Clase Actividades de enseñanza Actividades de aprendizaje Competencias genéricas

hrs%

4.1 Por el método especializado hacer una introducción al tema “Cálculo de la longitud de curvas”. A continuación se hace la presentación del equipo que por la técnica del simposio hará una exposición del tema.


C2

El equipo participante presenta el tema “Cálculo de la longitud de curvas”. El resto del grupo haber investigado el tema y participar preguntando y aclarando dudas.




- Discernir sobre métodos más adecuado para resolver un problema y aplicarlo.


14469

4.2 Por el método analógico y por la técnica expositiva se presenta el tema “Cálculo de áreas”. A continuación por la técnica de problemas se plantean los mismos para que los alumnos den soluciones.


C3

Haber investigado el tema “Cálculo de áreas”, y sugerir soluciones a problemas planteados.






24672

4.3 Por el método inductivo y por la técnica expositiva se presenta el tema “Cálculo de volúmenes”. A continuación por la técnica de problemas se plantean los mismos para que los alumnos sugieran soluciones.


C3

Haber investigado el tema “Cálculo de volúmenes”, y sugerir soluciones a problemas planteados.






24875

4.4 Por el método especializado y por la técnica expositiva se presenta el tema “Cálculo de la masa, momentos y centros de masa”. A continuación por la técnica de problemas se plantean los mismos para que los alumnos den soluciones.


C3

Haber investigado el tema “Cálculo de la masa, momentos y centros de masa”, y sugerir soluciones a problemas planteados.






- Potenciar las habilidades para el uso de software.

25078


181

4.5 Por el método analógico y por la técnica expositiva se presenta el tema “Cálculo del trabajo”. A continuación por la técnica de problemas se plantean los mismos para que los alumnos den soluciones.


C4

Haber investigado el tema “Cálculo del trabajo”, y sugerir soluciones a problemas planteados.






25281


15383

Identificación:

No. de unidad: 5.Tema: Integración por series.


- Discernir sobre métodos para resolver problemas.- Evaluar las integrales definidas por series como dominio previo a las aplicaciones en la solución de problemas prácticas del campo de la ingeniería.



Clase Actividades de enseñanza Actividades de aprendizaje Competencias genéricas

hrs%

5.1 Por el método especializadohacer una introducción al tema “Definición, clasificación y tipos de series”. A continuación se hace la presentación del equipo que por la técnica del simposio hará una exposición del tema.


C3

El equipo participante presenta el tema “Definición, clasificación y tipos de series”. El resto del grupo haber investigado el temay participar preguntando y aclarando dudas.






15484

5.2 Por el método analógico y por la técnica expositiva se presenta el tema “Generación del enésimo término de una serie”. A continuación por la técnica de problemas se plantean los mismos para que los alumnos den soluciones.


C3

Haber investigado el tema “Generación del enésimo término de una serie”, y sugerir soluciones a problemas planteados.






25687

5.3 Por el método inductivo y por la técnica expositiva se presenta el tema “Convergencia de series”. A continuación por la técnica de problemas se plantean los mismos para que los alumnos sugieran soluciones.


C3

Haber investigado el tema “Convergencia de series”, y sugerir soluciones a problemas planteados.






15789


182

5.4 Por el método especializado y por la técnica expositiva se presenta el tema “Intervalo y radio de convergencia de una serie de potencia”. A continuación por la técnica de problemas se plantean los mismos para que los alumnos den soluciones.


C4

Haber investigado el tema “Intervalo y radio de convergencia de una serie de potencia”, y sugerir soluciones a problemas planteados.






15891

5.5 Por el método analógico y por la técnica expositiva se presenta el tema “Derivación e integración indefinida de series de potencia”. A continuación por la técnica de problemas se plantean los mismos para que los alumnos den soluciones.


Haber investigado el tema “Derivación e integración indefinida de series de potencia”, y sugerir soluciones a problemas planteados.






15992

5.6 Por el método especializado y por la técnica expositiva se presenta el tema “Integración definida por series de potencia”. A continuación por la técnica de problemas se plantean los mismos para que los alumnos den soluciones.


C4

Haber investigado el tema “Integración definida por series de potencia”, y sugerir soluciones a problemas planteados.



- Analizar la factibilidad de las Soluciones y resolver problemas.



26195

5.7 Por el método analógico y por la técnica expositiva se presenta el tema “Integración definida por series de Maclaurin y series de Taylor”. A continuación por la técnica de problemas se plantean los mismos para que los alumnos den soluciones.


C4

Haber investigado el tema “Integración definida por series de Maclaurin y series de Taylor”, y sugerir soluciones a problemas planteados.


- Interpretar y procesar datos.- Resolver problemas.


- Comunicar ideas en el lenguaje Matemático.


16297

0.0 Evaluación y clausura del curso. Participar haciendo comentarios.- Comunicar ideas.- Tomar decisiones.

16398

Evaluación de la unidad. Participar presentando exámenes- Resolver problemas.- Comunicar ideas.- Tomar decisiones.

164100

Anexo: B7. Apoyos didácticos:

- Aula básica.- Cañón electrónico

- Fuentes de información.- Lap-top

- Proyector de acetatos.- Software


183

Anexo: B8. Fuentes de información:

Clave AUTOR TÍTULO EDITORIAL

Bibliografia del Maestro:

BM/1 José Santos Valdez y Cristina Pérez

Metodología para el Aprendizaje del Cálculo Integral

Trafford, 2010.

BM/2. Wolfram Research, Inc Mathematica 7 (Software ).

BM/3. José Santos Valdez Pérez

Metodología para el Aprendizaje del Cálculo Diferencial: Versión 2008

Trafford, 2008.

Bibliografia del Programa de estúdio:

BP/1 Stewart, James B. Cálculo con una variable. Thomson

BP/2 Larson, Ron. Matemáticas 2 (Cálculo integral) McGraw-Hill, 2009.

BP/3. Swokowski Earl W. Cálculo con Geometría Analítica. Iberoamérica, 2009

BP/4. Leithold Louis. El Cálculo con Geometría Analítica Oxford University Press, 2009.

BP/5. Purcell, Edwing J. Cálculo Pearson, 2007.

BP/6. Ayres, Frank. Cálculo McGraw-Hill, 2005

BP/7. Hasser, Norman B. Análisis matemático Vol 1. Trillas, 2009.

BP/8. Courant, Richard. Introducción al cálculo y Análisis matemático Vol 1.

Limusa, 2008.

Anexo: B9. Calendarización de evaluación:

Semana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18Tiempo

Planeado Ed Eu1 Eu2 Eu3 Eu4 Eu5 Eo2 Eo3

Tiempo Real

Anexo: B10. Corresponsabilidades:

Autor de elaboración Nombre: Fecha: Día: Mes: Año:

Docente Nombre: Firma:

Jefe del Departamento Nombre: Vo.Bo.

Presidente de academia Nombre: Vo.Bo.


184

Anexos: C. SIMBOLOGÍA:

C1. Simbología de caracteres.C2. Simbología de letras.C3. Simbología de funciones.

Anexo: C1. Simbología de caracteres:

SÍMBOLO SIGNIFICADO SÍMBOLO SIGNIFICADO

Aproximadamente ,b Intervalo infinito y cerrado por la izquierda

Aproximadamente ó igual ba, Intervalo semiabierto por la derecha

Beta ba, Intervalo semiabierto por la izquierda

l Densidad laminar + Más; Signo de suma

m Densidad de masa Más ó menos

Diferente > Mayor que Entre; Signo de división Menor ó igual que Es, está, existe, pertenece < Menor que= Igual Mayor ó igual que Implica; tiende a - Menos, Menor que; Signo de resta

Incremento, delta Menos infinito

x Incremento de “x” No existe, no pertenece

y Incremento de “y” Para todo

Infinito, alfa Perpendicular

Integral indefinida Pi 1416.3

b

a

Integral definida Por; Signo de multiplicación

¿ Interrogación (apertura). . Por; Signo de multiplicación? Interrogación (cierre). Por lo tanto; de donde Intersección Raíz cuadrada

n Raíz enésima

Sí y sólo sí

ba, Intervalo cerrado Sumatoria

, Intervalo infinito

b

a

Sumatorio que inicia en ""a y termina en "."b

a, Intervalo infinito y abierto por la derecha

Unión

,b Intervalo infinito y abierto por la izquierda

a Valor absoluto de a

a, Intervalo infinito y cerrado por la derecha


185

Anexo: C2. Simbología de letras:


a Límite inferior de la integral definida NA No aprueba

A Área p Punto “ p ”, Presión

b Límite superior de la integral definida abPM Punto medio entre """" byac Punto “c”; Punto límite “c”; Constante de

integraciónP(x, y) Punto “P”

cm Centímetros )(xp Polinomio de variable “x”

c.m. Centro de masa Q Punto “Q”

du Diferencial de “u” r Radio

dv Diferencial de “v” R Números reales positivos

dy Diferencial de “y” 2R Plano cartesiano

d Distancia s Espacio

e Número 71828.2"" ee t Tiempo

f Función; T Recta tangente

F Fuerza0T Tarea evaluada con cero puntos

ft Pies1T Tarea evaluada con cinco puntos

h Altura2T Tarea evaluada con diez puntos

I Intervalo; 3T Tarea evaluada con quince puntos

k Constante; Constante de proporcionalidad4T Tarea evaluada con veinte puntos

lb Libras u Cualquier función; Unidades

lím Límite v Cualquier función; Velocidad

ln Logaritmo natural V Volumen

lt Litro W Trabajo

L Límite; Longitud de arco x Coordenada “x” ó absisa

L Límite lateral izquierdo X Recta horizontal; Eje de las “xs”

L Límite lateral derecho xc “x” tiende a “c”

m Pendiente; masa; eme xc+ “x” tiende a “c” por la derecha

Tm Pendiente de la recta tangente xc- “x” tiende a “c” por la izquierda

Sm Pendiente de la recta secante (x, y) Pareja ordenada “x” e “y”; Punto en R2

xM Momento con respecto a “x” y Coordenada “y” ú ordenada

yM Momento con respecto a “y” Y Eje de las “Ys”

""n Ene potencia Z Números enteros

!n n factorial Z- Números enteros negativos

N Números naturales Z+ Números enteros positivos


186

Anexo: C3. Simbología de funciones:


f Función; xy cos Función coseno

)(xf Función f de variable ""x xy cosh Función coseno hiperbólico

'f Primera derivada de la función f xy csc Función cosecante

''f Segunda derivada de la función f xy cot Función cotangente

nf Enésima derivada de la función f xy coth Función cotangente hiperbólica

)(' xf Derivada de la función )(xfy xhy csc Función cosecante hiperbólica

)('' xf Segunda derivada de la función f xtrigfy Función elemental trigonométrica

)(xf n Enésima derivada de la función f )(xphiperfy Función hiperbólica

)( xkf Función múltiplo escalar xhiperfy Función elemental hiperbólica

))(( xfg Función producto )(log xpfy Función logarítmica de )(xp

)()( xgf Función cociente xfy log Función elemental logarítmica

))(( xgf Función composición )(xptrigfy Función trigonométrica

)(xg Función g de variable ""x )(exp xpfy Función exponencial

u Cualquier función; Unidades xfy exp Función elemental exponencial

v Cualquier función; Velocidad )(xfy Función

xay Función elemental exponencial de base ""a

xhy sec Función secante hiperbólica

)( xpay Función exponencial de base ""a . xseny Función seno

xarcy cos Función inversa del coseno )(ln xpy Función logaritmo naturalde )(xp

xhy arccos Función inversa del coseno hiperbólico

xy ln Función logaritmo natural de x

xarcy coth Función inversa de la cotangente hiperbólica

)(log xpy a Función logaritmo de base ""a

xarcy csc Función inversa de la cosecante xy alog Función elemental logaritmo de

base ""axharcy csc Función inversa de la cosecante

hiperbólicaxsenhy Función seno hiperbólico

xarcy sec Función inversa de la secante xy tan Función tangente

xharcy sec Función inversa de la secante hiperbólica

xtghy Función tangente hiperbólica

xsenarcy Función inversa del seno )(log10 xpy Función logaritmo común base "10"

xarcsenhy Función inversa del seno hiperbólico

xy 10log Función elemental logaritmo común de base "10"

xarcy tan Función inversa de la tangente xy sec Función secante

xhy arctan Función inversa de la tangente hiperbólica


187

Anexo D: REGISTRO NOMBRE DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA No. de lista: ___________

ESCOLAR Registro escolar Fecha: ___/___/___

C á l c u l o I n t e g r a l Hora de clase: _____/_____Años cumplidos: ___________

Alumno: Sexo: M O F O

Apellido Paterno Apellido Materno Nombre (s) Recursando: Si O No O

1. INFORMACIÓN PERSONAL:

Semestre que cursas: ___ Especialidad:______________ Correo electrónico:__________________________________________________

Si estas recursando la materia, con qué Maestro la reprobaste?____________________________________________________________Cuáles consideras las tres causas de reprobación:1ª_________________________2ª_______________________3ª__________________Es la especialidad que tu elegiste ? Si O No O Si la respuesta es no entonces cuál te gustaría cursar?____________________Trabajas?: Sí O No O Si la respuesta es sí donde y en qué?_______________________________________________________________

Realizas otros estudios: Si O No O Si la respuesta es sí donde y qué?____________________________________________________Lugar de nacimiento: Población:_______________________________________ Estado:___________________________________________

Estudios de bachillerato: Nombre de la escuela:_________________________________________________________________________Población:__________________________________________Estado:____________________________________Especialidad del bachillerato:___________________________________________________________________

1. Tiene un método para estudiar: Si O Más o menos O No O 8. Tienes Internet en tu casa: Si O No O 2. Tienes un horario de estudio: Si O Más o menos O No O 9. Tienes correo electrónico: Si O No O 3. Sabes estudiar en libros: Si O Más o menos O No O 10. Tiene calculadora científica: Si O No O4. Sabes estudiar en computadora: Si O Más o menos O No O 11. Tienes calculadora graficadora: Si O No O5. Sabes estudiar en equipo: Si O Más o menos O No O 12. Tienes computadora personal: Si O No O 6. Tienes cuarto de estudio: Si O No O 13. Tienes computadora portátil: Si O No O 7. Tienes un lugar de estudio: Si O No O 14. Tienes mini laptop: Si O No O

2.- EXPECTATIVAS:

Qué esperas del curso? Qué esperas del Maestro?:

1. 1.2. 2.3. 3.

3. INFORMACIÓN ACADÉMICA:

En el bachillerato cursaste cálc. Integral?____ Promedio de matemáticas en el bachillerato:___ Qué calificación esperas:____

Materias cursadas en el tecnológico Habilidades tecnológicas:

1. _______________________ Cal_____ 1. Sabes usar Internet: Sí O No O2. _______________________ Cal_____ 2. Sabes usar la calculadora científica: Sí O No O3. _______________________ Cal_____ 3. Sabes usar una calculadora graficadora: Sí O No O4. _______________________ Cal_____ 4. Sabes obtener una derivada con calculadora: Sí O No O5. _______________________ Cal_____ 5. Sabes obtener un límite con software de matemáticas: Sí O No O6. _______________________ Cal_____ 6. Sabes obtener una derivada con software de matemáticas: Sí O No O7. _______________________ Cal_____ 7. Sabes usar software: Mathematica; Derive, Maple; Matlab; Otro? Sí O No O

Conoces lo siguiente:1. Números reales: Si O Más o menos O No O 7. Derivadas básicas: Si O Más o menos O No O 2. Factorización: Si O Más o menos O No O 8. Derivadas (productos y cocientes): Si O Más o menos O No O 3. Funciones: Si O Más o menos O No O 9. Integral indefinida: Si O Más o menos O No O 4. Límites: Si O Más o menos O No O 10. Integral definida: Si O Más o menos O No O 5. Graficación básica: Si O Más o menos O No O 11. Calcular áreas con cálculo integral: Si O Más o menos O No O 6. Reglas de graficación:

Si O Más o menos O No O 12. Calcular volúmenes con cálculo integral:

Si O Más o menos O No O

4.- DEPORTE Y/O CULTURA:

Practicas deporte: Sí O No O Para el tecnológico Sí O No O Nivel: Inicial O Medio: O Selección: OPracticas cultura: Sí O No O Para el tecnológico Sí O No O Nivel: Inicial O Medio: O Avanzado: O

5.- Algún comentario o recomendación que quieras hacer:________________________________________________________________


188

Anexo: E. FORMATO DE EXÁMEN.

ITS EXÁMEN DE CALCULO INTEGRAL Unidad: Tema:Oportunidad: 1a.O 2a.O 3a.O

Apellido paterno Apellido materno Nombre(s) Fecha: Hora: No. de lista

Examen Participaciones Tareas Otras Calificación final

Anexo: F. LISTA DE ALUMNOS.

NOMBRE DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA

LISTA DE ALUMNOS Materia: Cálculo integral

Semestre: Hora: Aula: Maestro:

A L U M N O U N I D A D E S No N o m b r e Esp Op 1 2 3 4 5

Promedio Op

Califi-cación final

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1415

16

17

18

19

20

21

2223

24

25

CLAVES: 1a oportunidad Participación A Asistencia Esp Especialidad 2a oportunidad T Tarea F Falta Exe Examen sorpresa 3a oportunidad C Conferencia Op Oportunidad NP No presento


189

ÍNDICE:

CONCEPTO Página CONCEPTO Página

- Anexos 153 - Diferenciación de funciones algebraicas que contienen xn 9

- Antiderivada 16- Diferenciación de funciones elementales 4

- Aplicaciones de la integral: 99 . algebraicas 4 . cálculo de áreas 103 . exponenciales 5 . cálculo de la masa 113,114 . hiperbólicas 7 . cálculo de longitud de curvas. 100 . hiperbólicas inversas 7 . cálculo de momentos 111 . logarítmicas 5 . cálculo de volúmenes 108,109 . trigonométricas 5 . cálculo del centro de masa 111, 113,114 . trigonométricas inversas 6 . cálculo del trabajo 117, 119,120 . formulario 122 - Diferenciación de funciones que

contienen u: 11- Arco 100 . algebraicas 11

. exponenciales 12- Bibliografía 183 . hiperbólicas 13

. hiperbólicas inversas 14- Cálculo de áreas: 103 . logarítmicas 12 . clasificación 103 . trigonométricas 12 . localización 103 . trigonométricas inversas 13 . representación gráfica 103 . estructuración de la integral 103 - Diferenciales: 2

. Definición 2- Centro de masa 112 . Interpretación geométrica 2

. Por fórmulas 3- Centro de masa laminar 111 . Propiedades 2

- Centroide 113 - Evaluaciones tipo: . Unidad 1 (La integral indefinida) 29

- Contenido (del libro) xiii . Unidad 2 (Técnicas de integración) 61 . Unidad 3 (La integral definida) 93

- Constante de integración 17 . Unidad 4 (Aplicaciones de la integral) 121 . Unidad 5 (Integración por series) 151

- Cuerda 100- Formato de examen 188

- Curva 100

- Curva rectificable 100

- Densidad de masa 111

- Densidad laminar 112


190


- Formulario de aplicaciones de la integral 122 - Fórmulas de integración definida de funciones algebraicas que contienen xn 76

- Formulario de diferenciales de: . funciones algebraicas que contienen xn 30 - Fórmulas de integración definida de . funciones que contienen u 30 funciones elementales: 68

. algebraicas 68- Formulario de integración definida de: 94 . exponenciales 69 . funciones elementales 94 . hiperbólicas 73 . funciones algebraicas que contienen xn 96 . hiperbólicas inversas 74 . funciones que contienen u 96 . logarítmicas 70 . funciones que contienen las formas . trigonométricas 71 22 au 97 . trigonométricas inversas 72 . integrales impropias 98

- Fórmulas de integración definida de - Formulario de integración indefinida de: 31 funciones que contienen las formas u2 ± a2 84 . funciones algebraicas que contienen xn 31 . funciones que contienen u 31 - Fórmulas de integración definida de

funciones que contienen u: 78- Formulario de series 152 . algebraicas 78

. exponenciales 79- formulario de técnicas de integración 62 . hiperbólicas 82

. hiperbólicas inversas 82- Formularios de unidades: . logarítmicas 79 . unidad 1 (La integral indefinida) 30 . trigonométricas 80 . unidad 2 (Técnicas de integración) 62 . trigonométricas inversas 81 . unidad 3 (La integral definida) 94 . series de Maclaurin 144 . unidad 4 (Aplicaciones de la integral) 122 . series de potencia 142 . unidad 5 (Integración por series) 152 . series de Taylor 144

- Formulas de diferenciales de - Fórmulas de integración definida de funciones algebraicas que contienen xn 9 integrales impropias 98 - Fórmulas de diferenciales de - Funciones: 154 funciones elementales: 4 . básicas 3 . algebraicas 4 . clasificación 154

. exponenciales 5 . definición 154 . hiperbólicas 7 . familia 16 . hiperbólicas inversas 7 . identidades 169,170 . logarítmicas 5 . metabásicas 3 . trigonométricas 5 . estructuras 155 . trigonométricas inversas 6 . reglas fundamentales de graficación de 163

- Fórmulas de diferenciales de - Funciones elementales: 3 funciones que contienen u: 11 . algebraicas. 157 . algebraicas 11 . exponenciales 157 . exponenciales 12 . hiperbólicas 160,170 . hiperbólicas 13 . hiperbólicas inversas 161,170 . hiperbólicas inversas 14 . logarítmicas 158 . logarítmicas 12 . trigonométricas 158,168 . trigonométricas 13 . trigonométricas inversas 159 . trigonométricas inversas 13


191


- Fundamentos cognitivos del cálculo - Integración definida de funciones: integral 153 algebraicas que contienen xn 76 . funciones y sus gráficas 154 . propiedades de los exponentes 168 - Integración definida de funciones . propiedades de los logaritmos 169 elementales: 68 . funciones trigonométricas 168 . algebraicas 68 . identidades de funciones . exponenciales 69 trigonométrica 169 . hiperbólicas 73 . funciones hiperbólicas 170 . hiperbólicas inversas 74 . identidades de funciones hiperbólicas 170 . logarítmicas 70 . funciones hiperbólicas inversas 170 . trigonométricas 70

. trigonométricas inversas 71- Identidades de funciones: . hiperbólicas 170 - Integración definida de funciones . trigonométricas 169 que contienen las formas u2 ± a2 84- Incrementos: 2 . de “x” 2 - Integración definida de funciones que . de “y” 2 que contienen u: 78 . definición 2 . algebraicas 78 . interpretación geométrica 2 . exponenciales 79- Indice 189 . hiperbólicas 82

. hiperbólicas inversas 82- Instrumentación didáctica viii,171 . logarítmicas 79 . identificación 171 . trigonométricas 80 . caracterización de la asignatura 171 . trigonométricas inversas 81 . competencias a desarrollar 171 . formulario . análisis del tiempo para el avance programático 171 - Integración definida de funciones . avance programático 172 impropias 86 . actividades de enseñanza aprendizaje 174 .. unidad 1 174 - Integración definida de funciones por:

. Series de Maclaurin 144 .. unidad 2 176 - Series de potencia 141 .. unidad 3 178 - Series de Taylor 144 .. unidad 4 180 .. unidad 5 181 - Integración indefinida de funciones: . apoyos didácticos 182 . Definición 2 . fuentes de información 183 . Propiedades 2 . calendarización de evaluaciones 183 . corresponsabilidades 183 - Integración indefinida de funciones

algebraicas que contienen xn 21- Integración definida de funciones: 63 . definición 64 - Integración indefinida de funciones . interpretación de resultados 65 elementales: 17 . formulario 64 . algebraicas 17 . propiedades 94 . exponenciales 18

. hiperbólicas 19 . hiperbólicas inversas 19 . logarítmicas 18 . trigonométricas 18 . trigonométricas inversas 19


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- Integración indefinida de funciones - Método de derivación de series de que contienen u: 23 potencia 140 . algebraicas 23 . exponenciales 24 - Método de graficación: . hiperbólicas 26 . a través del criterio de la 2ª. derivada 167 . hiperbólicas inversas 27 . de funciones básicas 161 . logarítmicas 25 . trigonométricas 25 - Método de integración definida por: . trigonométricas inversas 26 . series de Maclaurin 149

. series de potencia 142- Integración indefinida de funciones por . series de Taylor 149 . Series de Maclaurin 59 - Series de potencia 58,140 - Métodos de técnicas de integración: - Series de Taylor 59 . de fracciones parciales 54

. de la cotangente y cosecante 47- Integral definida de funciones: 63 . de la tangente y secante 44 . definición 64 . del Seno y coseno 41 . propiedades 64 . por cambio de variable 36 . interpretación de resultados 65 . por partes. 38

. por sustitución trigonométrica 50- Integral: . por uso de tablas de fórmulas 33 . para el cálculo de áreas 103 . por series de Maclaurin 59 . para el cálculo de la longitud de curva 100 . por series de potencia 58 . para el cálculo de la masa 113,114 . por series de Taylor 59 . pra el cálculo del centros de masa 113,114 . para el cálculo del momentos 113,114 - Método para el cálculo de: . para el cálculo del trabajo 117, 119,120 . longitud de curvas 101 . para el cálculo del volumen 108,109 . áreas 104,106

. volúmenes 108,109- Integrales impropias: 86 . momentos 113,115 . definición 86 . centros de masa 113,115 . cálculo 88 . los términos de una serie 125 . clasificación 86 . tipo 1 con intervalo de (-α, a] 88 - Método para investigar la convergencia . tipo 1 con intervalo de [b, α) 89 . de series por el criterio del cociente 136 . tipo 1 con intervalo de (-α, α) 89 . de series por definición 134 . tipo 2 con intervalo de [a, b) 90 . tipo 2 con intervalo de (b, c] 90 - Método para investigar: . tipo 2 con intervalo de a < b <c 91 . el intervalo de convergencia de una serie 137

. el radio de convergencia de una serie 137- La integral definida 63

- La integral indefinida 1 - Método para la generación de la fórmula del enésimo término 130

- Lámina 11Método para representar: 141

- Lista de alumnos 188 . series de Maclaurin 145,147 . series de potencia

- Masa 111 . series de Taylor 145,147

- Momento de masa 112


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- Plano rectangular 154 - Series: 123 . definición 124

- Propiedades de la integral definida 64 . clasificación 124 . notación 124

- Propiedades de la integral indefinida 17 . cálculo de los términos 125 . tipos 127

- Propiedades de las diferenciales: 2 . p-series 127 . de la constante 2 . armónica 127 . de la suma y/ó diferencia 2 . armónica general 127

. alternantes 127- Propiedades de los exponentes 168 . telescópica 127

. geométrica 127- Propiedades de los logaritmos de base “a” 168 . de potencias 127

. de potencias centrada en c 128- Propiedades de los logaritmos de base “e” 168 . generación del enésimo término 129,130

. estructuras típicas de enésimos- Recomendaciones a los alumnos ix términos 129

. operador de alternancia 129- Región laminar. 111 . tabla de estructuras típicas de

Enésimos términos 129- Registro escolar 187 . convergencia 134

. estrategias para investigar la - Reglas fundamentales de graficación 163 convergencia 134 . de la ecuación constante 163 .. por definición 134 . de la función constante 163 .. por el criterio de la raíz 135 . de la función lineal 163 .. por el criterio del cociente 136 . de la función cuadrática y binómica 163 . sumas parciales 134 . de la función cuadrática y trinómica 164 . de la función cúbica 164 Series de potencia: 127 . de los desplazamientos 164 . centrada en c 128 . de los estiramientos y compresiones 165 . derivación 140 . de las reflexiones 165 . integración definida 142

. integración indefinida 140 . representación de funciones 141 . técnica de integración 58

Series de Maclaurín 144 . definición 144 . integración definida 144 . integración indefinida 58 . representación de funciones 145 . técnica de integración 59

Series de Taylor 144 . definición 144 . integración definida 144 . integración indefinida 58 . representación de funciones 145 . técnica de integración 59


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- Series de potencia: 127,128 - Técnica de estudio ix . intervalo y radio de convergencia 137 - Técnica de graficación a través del: . derivación 140 . criterio de la primera derivada 166 . integración indefinida 140, . criterio de la segunda derivada 166 . representación de funciones 141, . integración definida por 142 - Técnicas de integración: 32 . técnica de integración 58 . de fracciones parciales 54

. de la cotangente y cosecante 47- Series de Maclaurin: 144 . de la tangente y secante 44 . definición 144 . del seno y coseno 41 . integración indefinida por 59 . formulario de 62 . representación de funciones en 145,147 . por cambio de variable 36 . tabla de representación de funciones 147 . por partes. 38 . integración definida 148 . por uso de tablas de fórmulas 33 . técnica de integración por 59 . por series de Maclaurin 59

. por series de potencia 58- Series de Taylor: 144 . por series de Taylor 59 . definición 144 . por sustitución trigonométrica 50 . integración indefinida 59 . representación de funciones en 145,147 - Técnica de los aprendizajes: vii . tabla de representación de funciones 147 . por justificandos Vii . integración definida 144 . por agrupamiento vii . técnica de integración por 59

- Teorías de los aprendizajes: vi- Simbología 184 . tornado vi . de caracteres 184 . constructivista Vi . de letras 185 . aprendizajes equiparables Vi . de funciones 186 . bao cognitivo Vi

. biogenéticas Vi- Sobre el libro x,xii- Sucesión: 124 - Teoremas de cálculo integral: . definición 124 . de existencia para integrales definidas 67 . notación 124 . fundamental del cálculo integral 65

. del valor medio para integrales 67- Suma de Riemann 64

- Trabajo realizado por:- Supuestos pedagógicos viii . desplazamiento de cuerpos 117

. fuerza constante 117- Tipos de series: 127 . fuerza variable 117 . p-series 127 . presión en los gases 119 . armónica 127 . resorte elástico 118 . armónica general 127 . alternantes 127 . telescópica 127 . geométrica 127 . de potencias 127 . de potencias centrada en c 128


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Libro Cálculo integral 7 julio 2010