Metodologa para el Aprendizaje del

Calculo Integral

Conforme al programa de estudio de Clculo Integral orientado a competencias del Sistema Nacional de Educacin Superior Tecnolgica

Jos Santos Valdez Prez y Cristina Prez Prez

Instituto Tecnolgico de Saltillo Instituto Tecnolgico de CelayaSegunda edicin

5

DEDICATORIA:

Mi verdad: Lo mejor de la educacin orientada a competencias, es haber dejado atrs la percepcin incompleta de la enseanza centrada en el aprendizaje.

Dedicatoria: A mis Madres: Mara Prez y Josefina Rico. A mi Padre: Francisco Valdez Garca. A mis hijos. A mis nietos.

AGRADECIMIENTOS:

He de agradecer a las Ciudades que cobijaron mi existencia y de las cuales guardo gratos recuerdos: A mi tierra Palma Grande, Nay.; Xalisco; Tepic; Morelia, cuna de mi cultura; Villahermosa, la inolvidable; Tehuacan el irresistible; Distrito Federal el combativo y Saltillo de mis esperanzas; de la misma forma a Delicias Chih., Mazatln, Sin.; Quertaro, Qro.; y Celaya, Gto. por recibir el influjo de esas tierras de inspiracin. Me es imposible nombrar a tantas personas, quienes de algn modo influyeron en la realizacin de la presente obra; sin embargo he de recordar a mis exalumnos, compaeros de estudio y de trabajo, as como mis maestros y directivos a quienes doy un profundo agradecimiento. Directivos: Max Novelo Ramrez, Carlos Garca Ibarra, Jos Guerrero Guerrero, Juan Leonardo Snchez Cuellar, Bulmaro Fuentes Lemus, Enriqueta Gonzlez Aguilar, Carlos Fernndez Prez, Jess Contreras Garca, Mario Madrigal Lpiz, Mario Valds Garza, Javier Alonso Banda, Fidel Aguilln Hernndez, Alejandro Guzmn Lerma, Jos Callejas Meja, David Hernndez Ochoa y Agustn Vzquez Vera. Maestros: Sergio Alanz Mancera, Heber Soto Fierro, Germn Maynes Melndez, Salvador Montoya Lujn, Elisa lvarez Constantino, Salvador Campa, y Rosario Vitalle DiBenedeto. Compaeros de trabajo: Ramn Tolentino Quilatan, Salvador Aarn Antuna Garca, Roberto Snchez Alvarado, Rodolfo Rosas Morales, Araceli Rodrguez Contreras, Isabel Pia Villanueva, Norma Herrera Flores, Romina Snchez Gonzlez, Mayra Maycotte de la Pa, Elizabeth Sorkee Quiroz, Leonilo Rodrguez Borrego, Miguel ngel Cabrera Navarro, Sergio Gaytn Aguirre, Francisco Javier Rodrguez Snchez, Adrin Martnez Burceaga, Olivia Garca Calvillo, Javier Cuellar Villarreal, Alberto Crdoba Garca, Genaro Dvila Ramos, Josefina Gonzlez Muoz; Rosa Mara Hernndez Gonzlez, Jos Lus Quero Durn, Beatriz Barrn Gonzlez, No Isaac Garca Hernndez, Francisco Ruz Lpez, Roberto Wilson Alamilla, Jaime Edwald Montao, Jos Luis Meneses Hernndez; Antelmo Ventura Prez, Rubn Medina Vilchis, Juan Manuel Nuch, Alberto Gutirrez Alcal, Marco Antonio Ledesma Gonzlez, y Bernardo Gonzlez Nava. Compaeros de estudios: Mario Madrigal Lpiz, Bulmaro Fuentes Lemus, Jorge Maldonado Brizuela, Jaime Rebollo Rico, Cecilia Guzmn Hernndez, Francisco Orizaga Espinosa, Miguel Espericueta Corro, Carlos Daz Ramos, Juan Manuel Vargas Dimas, Fernando Aguilar Barragn y Delia Amador Gil. Exalumnos: Martha Madero Estrada, Felicitas Cisneros Romero, Ma. Reyna Rivera Rivera, Fernando Trevio Montemayor, Enedina Sierra Ramos, Ema Aguilar Ibarra, Lizet Mancinas Prez, Lucia Rosala Paredes Hernndez, Edgar Alonso Carrillo Quintero, Miriam Alczar Ascacio, y Miriam vila Garca.

As tambin a: Ricardo Llanos y Cecilia Guzmn ; David Obregn y Yolanda Prez, Jess Ramos y Araceli Prez, Camerina Valds y Rubn Saldaa; Andrs Valds y Ma. de Jess Guitrn; Jorge Prez y Teresa Guevara; Gildardo Medina y Anita Prez; Vctor Burciaga y Anglica Baena; Bernardo Gonzlez Macas y Margarita Nava; Fernando Garca Rangel; Donaciano Quintero Salazar; Ivonne Muoz, Ociel Ramrez, Sandra Herrera y Francisco Villaseor; Leandro Ocampo Lpez; Antonio Duarte Morales; Lupita Crdenas Oyervides; Carolina Baez Olivo; Irene Valds; Mario Manrquez Campos, Isabel Sols Serrano, Martha Hernndez, Faviola Lara Cervantes, Lus Muoz Romero, David Jaime Gonzlez, Roberto Jaime Gonzlez, Oscar Romero Rivera, Javier Valds, Vctor Garca Martnez y Jos Guadalupe Torres.

PREFACIO DE LA SEGUNDA EDICIN:

El perfeccionamiento, no es otra cosa mas que el proceso de revisar y detectar actualizaciones, vacos y errores; por lo que resulta natural, que lejos de la decepcin surja el reto de hacer mejor lo que ya hemos hecho; despus de todo, es vlida la siguiente redundancia: hacer constantemente lo mismo se compensa con perfeccionar lo que siempre hemos hecho; desde luego sin haber olvidado la sentencia Trabajos perfectos a tiempos infinitos tienen valor cero; Es as como en la presente edicin se han realizado las siguientes mejoras.

En lo general: Revisin de las teoras del aprendizaje. Completes de los supuestos pedaggicos. Adaptacin del trabajo realizado orientado a competencias. Amplitud sobre el contenido del libro. Revisin general de las unidades. Unidad 4: - Antes era la unidad 6.

Unidad 1: - Las unidades 1 y 2 (Diferenciales y La integral indefinida) se unieron para formar esta unidad. - Los fundamentos cognitivos por temas de la unidad 1, se trasladaron a los anexos. Unidad 2: - Antes era la unidad 3. Unidad 3: - Antes era la unidad 4 y se sum la unidad 5. Anexos:

Unidad 5: - Se suma un nuevo contenido Series

- Se suma el anexo Fundamentos cognitivos del clculo integral. - Dentro de los fundamentos cognitivos se desarroll el tema: Funciones y sus grficas. - Perfeccionamiento y desarrollo de la instrumentacin didctica orientada a competencias. 8

PREFACIO:

Recomendaciones a los maestros: Este libro ha sido escrito en paralelo a desarrollos pedaggicos expresos para tal fin, de igual forma se han delineado teoras y tcnicas an en proceso de desarrollo, sin embargo el mximo valor esperado, es el que t como maestro le puedas adherir, mediante la apropiacin y praxis de tales instrumentos as como el de su enriquecimiento. Teoras del aprendizaje: Se ha supuesto que la generacin del aprendizaje tiene un comportamiento helicoidal ascendente en forma de cono irregular invertido Teora tornado. Tambin se afirma que su desarrollo es cclico ascendente, porque a medida que avanza se aprende lo mismo pero a otro nivel y se adhieren nuevos conocimientos, por lo que es de suponer que las Corrientes pedaggicas constructivistas que describen la construccin del aprendizaje fundamentado en otros aprendizajes, se hacen presentes en cada momento; sin embargo tambin se han supuesto Teoras biogenticas que insinan que el conocimiento existe en cada ser humano y su aprendizaje es accesible. De la misma manera y en forma constante, se deber tener presente la Teora de los aprendizajes equiparables que afirma: Todos los aprendizajes tienen el mismo grado de dificultad y son directamente proporcionales al grado cuantitativo y cualitativo de la informacin que se tenga del conocimiento. As podemos afirmar que se aplica el mismo esfuerzo en apropiarse del conocimiento de cualquier ciencia, llmense estas sociales exactas; la clave de nuestra visin, es que en las ciencias exactas existe mucho conocimiento en poca informacin, por lo que en el campo del clculo integral es necesario girar constantemente sobre la informacin disponible. Otra teora que se ha tomado en consideracin y de aplicacin prctica es la Teora del bao cognitivo que infiere la existencia de un flujo constante y mutuo de energa cognitiva entre alumnos y docentes; de aqu la afirmacin sobre la Eternidad del Maestro; y hace extensiva la generalidad de esta teora infiriendo la existencia de flujos cognitivos universales, que se manifiestan en saberes similares adquiridos por las sociedades y las naciones en forma independiente. Por supuesto que en su mayora las diferentes teoras se encuentran en etapa de desarrollo, sin embargo y me consta que sus inferencias son aplicadas con resultados pedaggicos asombrosos. No entraremos en polmicas sobre estas teoras ya que no es el propsito, sin embargo una simbiosis de tales teoras sera

Entrada Problema

Justificaci?n

Proceso Justificaci?n Resultado intermedio

Salida Resultado intermedio

Resultado final

deseable en la praxis educativa. Tcnica de los aprendizajes por justificandos: Esta tcnica se ha desarrollado con el propsito de ser mas efectivos en el proceso enseanzaaprendizaje; su aplicacin en las matemticas y en la fsica ha sido exitosa, sin embargo es extensible al campo de otras ciencias, por lo que aqu se presenta la dinmica de su proceso.

Informacin de entrada: Es el problema que se plantea y es sujeto a ser resuelto. Justificacin del proceso: Son todos los elementos necesarios para justificar un resultado. Informacin de salida: Es el resultado fundamentado en la justificacin de un proceso. El proceso se caracteriza por ser cclico, progresivo, repetitivo y cada vez que esto sucede avanza, ya que la informacin de salida automticamente se convierte en informacin de entrada hasta obtener el resultado final. Ejemplo: Por la frmula de integracin de funciones algebraicas que contienen xn y la propiedad de la constante, integrar la siguiente funcin:

(2 x ) dx = k = 2 4 u=x4

ku dx = k u dx

= 2 ( x 4 ) dx =

x n +1 k ( x ) dx = k +c n +1 k =2 n = 4; n + 1 = 5n

= ( 2)

x (5) 2x 5 +c = +c 5 5

Tcnica de los aprendizajes por agrupamiento: El propsito de esta tcnica es que el alumno aprenda a un determinado nivel de conocimientos, el cual incluye un eficiente dominio de las operaciones, entendindose estas rpidas y directas, adems de mantener sensible el resultado esperado; las etapas que debern cubrirse las podramos delinear de la siguiente forma: 10

1) Presentacin del problema. 2) Identificacin de las frmulas. 3) Aplicacin directa de las frmulas utilizando parntesis. 4) Eliminacin de parntesis y simplificacin. Ejemplo: Aplicando la propiedad de la constante y la frmula de diferenciacin de la funcin seno; obtener:

d ( 3sen 2 x )

4

Paso 1) d ( 3 sen 2 x ) =

Paso 2)

Paso 3)

Paso 4)

d (k f ( x )) = k d ( f ( x) ) ; d ( senu ) = cos u du = ( 3) ( cos 2 x ) ( 2dx ) = 6 cos 2 x dx k = 3; f ( x) = sen2 x; u = 2 x; du = 2 dx

Instrumentacin didctica: Para este curso se ha elaborado en particular la instrumentacin didctica orientada a competencias, adjuntada en uno de sus anexos, y toda su estructura tienen como base los trabajos realizados sobre Metodologa para la instrumentacin didctica orientada a competencias, misma que previamente se desarroll en exclusivo para tal fin: Lo importante de esta instrumentacin didctica, es que nos resuelve las siguientes preguntas: qu?, cmo?, cundo?, con qu?, para qu? y cuantas clases hay que desarrollar para obtener un curso de calidad, en el entendido de que toda calidad educativa deja mucho que desear si la misma no permea la labor docente y en ltima instancia el aprendizaje de los alumnos. Supuestos pedaggicos: Para un curso eficaz se han supuesto las siguientes condiciones pedaggicas: - Apegarse en la instrumentacin didctica, en lo general, y cada maestro en funcin de su experiencia y de su estilo personal, ir haciendo los cambios y adaptaciones correspondientes, sobre todo en el campo de los mtodos, las tcnicas y las dinmicas educativas. - Exposiciones globalizadas a travs de proyector de transparencias can electrnico; mxime, cuando los aprendizajes sean de informacin extensa y/ sistematizada. - Crear confianza en los alumnos para que pregunten; la regla es No hay preguntas tontas ! - Paralelamente al curso se requieren acciones que permitan la educacin en valores para que la misma sea integral, por lo que deben irse aprovechando los eventos institucionales o bien creando las continuamente se actividades e incentivos correspondientes; De la misma forma y con propsitos educativos, deber observar la disciplina del grupo as como las actitudes de cada uno de sus integrantes. - Tener conocimiento y control de los alumnos e identificacin del grupo, para lo cual en los anexos se ha incluido un registro escolar y el formato de lista.

4

- Inhibir

la

copia

a

travs

de

una concientizacin

y

en

casos

extremos aplicar

las

sanciones con el

previamente establecidas e propsito de ser utilizado en la presentacin de exmenes cuando as se requiera. informadas al alumnado. En los anexos se encuentra un formato de examen,

- No abusar de la aplicacin de exmenes repetidos, para lo cual se sugiere elaborar una amplia batera de evaluaciones, ya que el alumno tiende a informarse de exmenes aplicados con anterioridad y confiarse en su posible aplicacin, siendo sta una de las causas de deficiencias en sus estudios. Recomendaciones a los alumnos: Existe una tcnica para obtener buenos resultados en un curso, y lo mejor de esta tcnica es que t ya la conoces. Se trata de la tcnica ege que significa chale ganas ! esa es la clave. Las matemticas son una disciplina y por lo mismo requiere de alumnos disciplinados en sus estudios, por lo que se requerir de ti los siguientes condicionamientos mnimos: - Un espacio de estudio, en tu casa preferentemente. - Un horario de estudio, de al menos una hora de lunes a viernes y slo para esta materia. - Reorganizacin de los conocimientos, el domingo en la noche lunes en la maana. La tcnica de estudio que debers de aplicar es: - Lectura de la teora. - Visualizacin de la estrategia empleada en la solucin de problemas de tu libro. - Resolucin de los problemas ya resueltos en el libro. Toma en cuenta que es vlido echar un ojito cuando te bloques, no sin antes preguntarte Qu sigue?, Qu hago?, Qu se me ocurre?, etc., etc., etc.. - Solucin a los ejercicios del libro. - Si te es posible, intenta trabajar en equipo integrado por no ms de cinco de tus compaeros. - Recuerda: Tienes derecho a que se te desarrollen completamente los programas de estudio y a ser evaluado en tiempo, forma, contenido y nivel de lo que se te ensea. En este libro se ha considerado que an si tus bases de conocimiento son deficientes, es posible tener un excelente curso, ya que se previeron en las cadenas de aprendizajes los fundamentos indispensables para ir avanzando, sin embargo es de tu entera responsabilidad ser sistemtico en tus estudios y si lo consideras necesario debes de consultar otras fuentes de informacin para el dominio correspondiente. Se han desarrollado una serie de recursos pedaggicos para que tu aprendizaje sea ms eficiente; as tenemos: Teoras del aprendizaje, Tcnica de los aprendizajes por justificandos, Tcnica de los aprendizajes

por agrupamiento, Instrumentacin didctica, etc.. de los cuales no tienes que preocuparte por aprender, el maestro te los ir mostrando en todo el curso, y a ti te corresponde en paralelo instruirte en su uso ya que de seguro te servir en toda tu carrera.

Sobre el libro: Escribir un libro de matemticas en el rea de clculo integral, tiene poco sentido, ya que existen en el mercado varias decenas escritos por autores extranjeros y la moda actual es que autores mexicanos por fin estn elaborando libros y alguno de ellos de excelentes calidad en sus contenidos, pero pocos de ellos en sus mtodos de presentacin del conocimiento, y aun mas escasos en la didctica recomendada para el maestro y metodologas de aprendizaje para el alumno. Y es aqu en donde se encuentra un desierto y la aportacin de un esfuerzo que intenta mitigar el vaco y donde el crdito si es que lo existe debe reconocerse. Tambin debe citarse que el xtasis de la presente obra se encuentra en la idea de crear un libro para cada Programa de estudio y en especfico para una Institucin bien para todo un sistema como lo es el Sistema Nacional de Educacin Superior Tecnolgica. El nivel de comprensin es para alumnos de inteligencia normal y aquellos que tienen leves problemas de aprendizajes, y de ninguna manera se ha escrito para alumnos de alto rendimiento a menos que su inters se concentre en la realizacin de ejercicios bsicos de desarrollo de la creatividad, ya que los mismos descubrirn que el texto intencionalmente esta muy lejos de provocar el conflicto cognitivo necesario para su evolucin. La estrategia de enseanza y aprendizaje va dirigida a estudiantes que han iniciado una carrera profesional sin incluir la de licenciatura en matemticas, ya que esta orientada a la aplicacin estructural de las matemticas y algunas demostraciones son solamente intuitivas, y para nada se realiza un anlisis matemtico riguroso; Debemos de recordar que los mtodos son para iniciar un aprendizaje que difcilmente lo podemos asimilar, pero una vez que se han tenido los fundamentos del conocimiento, los mtodos deben desecharse porque de no ser as los mismos mtodos nos limitan. Aqu opera el principio fundamental que versa sobre la existencia de cada mtodo para cada nivel de desarrollo cognitivo e intelectual. La utilidad para los maestros se hace patente, cuando el docente domina los mtodos que se muestran, y se adquieren fundamentos de mtodos y tcnicas educativas as como de un leve repertorio de dinmicas grupales, pero se debe entender que sin una actitud responsable como profesor todo deja de tener sentido. Como complemento de utilidad para los docentes se anexa al final del libro la instrumentacin didctica orientada a competencias del curso, y para el mismo objetivo se ha desarrollado y aplicado con gran xito las tcnicas de aprendizajes por justificandos y por agrupamiento, como estrategia fundamental de

6

desarrollo para los educandos, que de seguro le sern de utilidad en casi todas sus materias. La ciencia avanza enormemente da con da, y es menester sealar que el aprendizaje con una estrategia metdica resulta ms eficiente. Adems los medios son eso, slo medios nicamente, como parfrasis podramos afirmar que para nada importan los procesos internos que una computadora realice, ese es problema de los profesionales en electrnica; lo que si importa, son los resultados que se obtienen; Ahora bien y en nuestro caso son los aprendizajes que el alumno adquiere. En este sentido es oportuno sealar que intencionalmente se ha sacrificado la rigidez matemtica por un intento de ser ms claro en la comprensin del conocimiento. Durante el proceso de su elaboracin se tuvieron presentes las siguientes premisas fundamentales: 1) La ciencia y la tecnologa tienen un avance potencialmente creciente, sin embargo el desarrollo de la naturaleza del ser humano tarda cientos y quiz miles de aos para asimilar un pequeo progreso. 2) Los programas de estudio incorporan cada vez mas nuevos conocimientos, al grado que la cantidad que se estudia actualmente representa al menos el doble que en una dcada anterior, sin embargo el tiempo de 10 semestres en promedio que tarda un estudiante en realizar su carrera profesional no se ha incrementado por lo que la administracin educativa tendr que crear simbiosis de las siguientes alternativas: - Incrementar el tiempo de realizacin de una carrera profesional, lo que hace ms costosa a la educacin y sus resultados no garantizan ser favorables. - Quitar conocimientos de los programas de estudios, que seria un error al romperse las cadenas cognitivas. - Tender a una especializacin de las carreras profesionales, seleccionando aquellas reas cognitivas especficas de mayor inters, siendo esta una opcin a medias. - Eficientar la labor pedaggica, a travs de la teora fundamentada en las cuatro potencialidades del docente: . Conocimiento: Dominio del conocimiento requerido por los programas de estudio. . Didctica: Capacitacin en mtodos, tcnicas, dinmicas grupales y estrategias de enseanza que incidan en la instrumentacin didctica orientada a competencias. . tica docente: Crear los lineamientos individuales, departamentales, institucionales y del sistema en que deba de ubicarse la labor docente. . Filosofa de vida: Proporcionar la cultura de aplicacin prctica y operativa para que los docentes en funcin de sus intereses tengan alternativas de su existencia promoviendo un humanismo propio del Modelo Educativo orientado a competencias. - Un indicador importante son los altos ndices de reprobacin en los primeros semestres, y un factor de aminoramiento lo es aplicando exmenes de admisin ms selectivos, prestando atencin en: . Fundamentos en el conocimiento necesario. . Vocacin probada en el campo de la profesin elegida.

. Actitudes para aminorar la siguiente sentencia: Cuando el alumno no desea estudiar el pedagogo ms hbil fracasa. 3) Necesitamos entender y actuar en consecuencia que existen enormes vacos no escritos en las matemticas y que por lo general los docentes lo damos por entendidos y dominados por los educandos, sin embargo esto es falso al menos en la generalidad de los estudiantes de inteligencia normal, por lo que se deben de minimizar los efectos de estos vacos a travs de la elaboracin de rutas pedaggicas que le permitan la madurez cognitiva. 4) Tambin es necesario reubicar el nivel en que se imparte la educacin pblica superior asignando el supuesto de que este tipo de educacin es para alumnos de inteligencia normal y por lo tanto se requiere de una pedagoga para alumnos de este nivel.

5) Para finalizar tenemos que darnos cuenta que an no ha sido posible inventar un MODEM que permita al ser humano accesar a los archivos aksicos de las ciencias, y esto es una fantasa al menos en un futuro cercano. Al leer este libro se ver que existen errores incluyendo hasta los de dedo, sin embargo he credo que sera un error aun ms grande el no tener el valor de haberlo editado y sin importar que el mismo acuse de ignorancia. En la prctica docente he observado que en el cajn del escritorio de cada maestro existe un libro que espera ser publicado, tengo la esperanza en la satisfaccin de leer uno de los libros escritos por mis compaeros, que de seguro tendr el xito esperado. En la presente como en todas las obras, el conocimiento tiene sus lmites, slo basta observar, lo escaso de las aplicaciones prcticas bien la aplicacin de programas especficos de cmputo, pero insisto, lo primero siempre ser lo primero y lo dems sern el resultado de la completes, enriquecimiento y perfeccionamiento de la presente obra en futuras ediciones. Motivos: Se que existen tanto vaco en el universo como vaco escrito hay en las matemticas, y ste libro se ha elaborado pensando como maestro de la materia y no como matemtico, puesto que si pensara como tal, jams lo hubiese escrito, y la razn principal es la infinidad de alumnos que desean hacer una carrera profesional y se encuentran con la muralla de los nmeros y la escasa tutora en su aprendizaje. Podra sealar una larga lista de motivos y cualquiera de ellos sera suficiente para la emisin del

8

presente trabajo; sin embargo aseguro, que cuando las sociedades se den cuenta que la educacin ya no es solo problema de bienestar social o econmico, sino de existencia humana en toda la extensin de la palabra, llmese a esta existencia individual, familiar, social, econmica, institucional, de un sistema, de un Pas, de un continente mundial, ser entonces cuando habr un viraje real y no simulado en el rumbo de las polticas pblicas en materia educativa; y entenderemos que hacer la calidad con discursos no tiene sentido. Me es imposible no mencionar los estudios realizados por Antuna, Valds e Hinojosa (2004) ndices de reprobacin, un estudio exploratorio en el departamento de Ciencias Bsicas del Instituto Tecnolgico de Saltillo donde se bosqueja la enorme problemtica educativa sintetizada en tres resultados: La eficiencia Terminal total no rebasa el 40%; De ocho carreras, slo 2 tienen eficiencia Terminal aceptable; existe una carrera acreditada y certificada por su calidad? donde slo 1 de cada 10 estudiantes egresa y 9 desertan ; y la causa principal de desercin es el alto ndice de reprobacin en clculo integral. Sin embargo otros indicadores infieren que la institucin investigada es una de las mejores instituciones del Sistema Educativo Nacional, quedando interesante la respuesta a la pregunta; Cmo estarn las dems? Saltillo, Coah., verano del ao 2010. Jos Santos Valdez Prez.

CONTENIDO:

UNIDAD: 1. LA INTEGRAL INDEFINIDA. 1.1 Diferenciales. 1.2 Diferenciacin de funciones elementales. 1.3 Diferenciacin de funciones algebraicas que contienen xn. 1.4 Diferenciacin de funciones que contienen u. 1.5 La antiderivada e integracin indefinida de funciones elementales. 1.6 Integracin de funciones algebraicas que contienen xn. 1.7 Integracin de funciones que contiene u. - Evaluacin tipo. - Formulario de diferenciales de funciones que contienen xn, u, y v. - Formulario de integracin indefinida de funciones que contienen xn y u. UNIDAD: 2. TCNICAS DE INTEGRACIN. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.1 0 Tcnica de integracin 2 2 las formas: u a . Tcnica de integracin Tcnica de integracin Tcnica de integracin Tcnica de integracin Tcnica de integracin Tcnica de integracin Tcnica de integracin Tcnica de integracin Tcnica de integracin por uso de tablas de frmulas de funciones que contienen

1 2 4 9 11 16 21 23 29 30 31 32 33

por cambio de variable. por partes. del seno y coseno de m y n potencia. de la tangente y secante de m y n potencia. de la cotangente y cosecante de m y n potencia. por sustitucin trigonomtrica. de fracciones parciales. por series de potencia. por series de Maclaurin y series de Taylor.

36 38 41 44 47 50 54 58 59

- Evaluaciones tipo. - Formulario de tcnicas de integracin indefinida. UNIDAD: 3. LA INTEGRAL DEFINIDA. 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 La integral definida. Teoremas de clculo integral. Integracin definida de funciones elementales. Integracin definida de funciones algebraicas que contienen xn. Integracin definida de funciones que contienen u.2 2

61 62 63 64 67 68 76 78 84 86 93 94 96 97 98 99 100 103 108 111 117 121 122

Integracin definida de funciones que contienen las formas u a . 3.7 Integrales impropias. - Evaluaciones tipo. - Formulario de integracin definida de funciones elementales. - Formulario de integracin definida de funciones que contienen xn y u. - Formulario de integracin definida de funciones que contienen las formas u - Formulario de integrales impropias. UNIDAD: 4. TEMA: APLICACIONES DE LA INTEGRAL. 4.1 Clculo de longitud de curvas. 4.2 Clculo de reas. 4.3 Clculo de volmenes. 4.4 Clculo de momentos y centros de masa. 4.5 Clculo del trabajo. - Evaluaciones tipo. - Formulario de aplicaciones de la integral.2

a2 .

UNIDAD: 5. TEMA: INTEGRACIN POR SERIES. 5.1 Definicin, clasificacin y tipos de series.

123 124 129 134 137 140 141 144 151 152

5.2 Generacin del ensimo trmino de una serie. 5.3 Convergencia de series. 5.4 Intervalo y radio de convergencia de series de potencias. 5.5 Derivacin e integracin indefinida de series de potencia. 5.6 Integracin definida de funciones por series de potencia. 5.7 Integracin definida de funciones por series de Maclaurin y series de Taylor. - Evaluaciones tipo. - Formulario de series.

ANEXOS: A. A1. A2. A3. A4. A5. A6. A7. A8. B B1. B2. B3. Fundamentos cognitivos del clculo integral: Funciones y sus grficas. Propiedades de los exponentes. Propiedades de los logaritmos. Funciones trigonomtricas. Identidades de funciones trigonomtricas. Funciones hiperblicas. Identidades de funciones hiperblicas. Funciones hiperblicas inversas. Instrumentacin didctica: Identificacin: Caracterizacin de la asignatura: Competencias a desarrollar:

153 153 154 168 168 168 169 170 170 170 171 171 171 171

10

B4. B5. B6.

B7. B8. B9. B10 . C C1. C2. C3. D. E. F.

Anlisis del tiempo para el avance programtico. Avance programtico. Actividades de enseanza y aprendizaje. Unidad 1. Unidad 2. Unidad 3. Unidad 4. Unidad 5. Apoyos didcticos: Fuentes de informacin. Calendarizacin de evaluacin. Corresponsabilidades. Simbologa: Simbologa de caracteres. Simbologa de letras. Simbologa de funciones. Registro escolar. Formato de examen. Lista de alumnos. Bibliografa. Indice.

171 172 174 174 176 178 180 181 182 183 183 183 184 184 185 186 187 188 188 183 189

El proceso de aprendizaje, es como en las empresas; estas, difcilmente alcanzan sus objetivos cuando la motivacin de quienes laboran se encuentra debilitada. As sucede con los alumnos, estos requieren de una disciplina y una moral muy elevada para poder accesar al xtasis del conocimiento. Jos Santos Valdez Prez

UNIDAD 1. LA INTEGRAL INDEFINIDA.Clases: 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Diferenciales. Diferenciacin de funciones elementales. Diferenciacin de funciones algebraicas que contienen xn. Diferenciacin de funciones que contienen u. La antiderivada e integracin de funciones elementales. Integracin de funciones algebraicas que contienen xn. Integracin de funciones que contiene u.

- Evaluacin tipo. - Formulario de diferenciales de funciones que contienen xn, y u. - Formulario de integracin indefinida de funciones que contienen xn y u.

Jos Santos Valdez y Cristina Prez integral

Metodologa para el aprendizaje del clculo

Clase: 1.1 Diferenciales. Gua: - Definicin e interpretacin geomtrica diferenciales. - Propiedades de las diferenciales. - Clasificacin de funciones. - Introduccin a las diferenciales por frmulas.

de

incrementos

y

- Ejemplos. - Ejercicios.

Definicin e interpretacin geomtrica de incrementos y diferenciales:

13

Sean: -

P( x, f ( x) ) y Q( ( x + x), f ( x + x) ) dos puntos f .Suna recta secante de

R 2 un plano rectangular. f la grfica de una funcin y = f (x) f P y Q.

derivable.

T una recta tangente de f P. m S y mT las pendientes de S y de T respectivamente. - W el punto comn de T y la ordenada x + x dy la distancia entre los puntos W y (( x + x ), f ( x)) . x = ( x + x) x es el incremento de " x". y = f ( x + x) f ( x) es el incremento de " y". x 0 Q P; S gira hacia T ;Si

y mS mT

entonces:

otras llamada derivada de y lm f ( x + x ) f ( x) dy mT = lm 0 = x 0 = = = f ( x) = y = x notaciones la funcin y = f ( x ) x x dx S x 0 dy dy mT = = f ( x ) = = dy = f ( x)dx x dx x dx " y" . Como: llamada diferencial dePropiedad de las diferenciales: Propiedad de la constante:

4

Esta propiedad establece que: Para todo siguiente:

k

que sea una constante y

f (x )

una funcin, se cumple lo

4

d ( k f ( x ) ) = k d ( f ( x) )

Esto nos sugiere y segn nos convenga, ubicar la constante dentro fuera de la diferencial.

Propiedad de la suma y/o diferencia de funciones:

4

Esta propiedad nos indica que: Para

f ( x) y g ( x)

que sean funciones, se cumple lo siguiente:

4

d ( f ( x) g ( x) ) = d ( f ( x ) ) d ( g ( x) )

Entendiendo lo anterior como: la diferencial de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus diferenciales.

Clasificacin de funciones: Antes de iniciar el proceso de obtencin de diferenciales daremos una mirada a las dos clasificaciones de funciones sujetas a nuestro inters, lo anterior obedece a la completes y fluidez didctica en el proceso de aprendizaje. Con el propsito de cubrir las posibles deficiencias cognitivas antecedentes de este curso, es recomendable consultar el Anexo: A1. Funciones y sus grficas, desarrollado al final del libro. La primera clasificacin presenta el universo de funciones en que opera el clculo integral y por lo mismo en cada etapa de aprendizaje se trata de globalizar el conocimiento atendiendo a este orden. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) Funciones Funciones Funciones Funciones Funciones Funciones Funciones algebraicas. exponenciales. logartmicas. trigonomtricas. trigonomtricas inversas. hiperblicas. hiperblicas inversas.

La segunda clasificacin obedece al grado de complejidad de las funciones y las hemos observado de la siguiente manera: 1) Funciones elementales. 2) Funciones bsicas. 3) Funciones metabsicas. Las funciones elementales las hemos concebido como las funciones que contienen en su estructura una constante bien una variable, y para nuestro caso nos referiremos a la variable x. Ejemplos:

y = 4;

1 y= ; x

y = sen x; etc..

4

Las funciones bsicas las definiremos como las funciones que contienen en su estructura un binomio de la forma:

y = ax + b a, b k

y a0

4

Ejemplos:

y = 3 x + 2;

y = ln (2 x + 1);

y = cos ( x + 1); etc..

4

Y por ltimo; las funciones metabsicas las podemos inferir como aquellas que contienen en su estructura un polinomio de la forma:

y = p ( x) = ax n + bx n 1 + + z a, b, z k

y nZ+

4

Ejemplo:

y = x3 3x 2 + 2

Introduccin a las diferenciales por frmulas: Las frmulas de diferenciales se fundamentan en teoremas previamente demostrados en clculo diferencial; al revisar su anlisis se observa que son las mismas frmulas que se utilizan para las derivadas, excepto que se multiplican ambos lados por

"dx" (se dice de equis diferencial de equis).

Como punto de partida tenemos que aceptar por principio didctico y por norma de jerarqua, que el objetivo principal del estudiante de cualquiera de las licenciaturas es el aprendizaje del proceso de obtencin de las diferenciales, y no necesariamente el anlisis matemtico en el proceso de demostracin de frmulas, propiedades y reglas, muy propio de los aspirantes a profesionales del rea de las matemticas especficamente, sin que con esto se afirme que deba existir un total desconocimiento por parte de los aspirantes a profesionales de reas ajenas. De lo anterior y en lo sucesivo, iniciaremos cada aprendizaje con la aplicacin directa de las propiedades y frmulas, y slo en algunos casos haremos su demostracin intuitiva. Clase: 1.2 Diferenciacin de funciones elementales. Gua: - Diferenciacin de funciones elementales: . Trigonomtricas inversas. . Algebraicas. . Hiperblicas. . Exponenciales. . Hiperblicas inversas. . Logartmicas. - Ejemplos. . Trigonomtricas. - Ejercicios.

Diferenciacin de funciones elementales algebraicas. Funciones elementales algebraicas: Es de observarse que existe una infinidad de funciones elementales algebraicas, sin embargo y segn sea el caso, slo mencionaremos las que sean de nuestro inters; y es as como ahora consideramos las siguientes:

4

Frmulas de diferenciales

Funcin

Nombre Constante Identidad Valor absoluto Raz

1) d (k ) = 0 2) d ( x ) = dx x 3) d x = dx x 1 4) d x = dx 2 x 1 1 5) d = 2 dx x x

y=k y=x y= x y= x y= 1 x

( )

Inversa de x

Ejemplos:

1) d ( 2 ) = 0 2) d ( pancho ) = 0

3) d ( 2 x ) = 2 d ( x ) = 2 dx

observe que todo lo que no sea x es constante. es de observarse que estamos aplicando la propiedad de la constante. aqu hemos aprendido que todo lo que no sea x es constante.

4) d ( sixto ) = sito d ( x ) = sito dx

4

5) d ( 5 x 4 ) = d ( 5 x ) d ( 4 ) = 5 d ( x ) 4 d (1) = ( 5) (1) ( 4 ) ( 4 ) = 5

6)

x 5x d ( 5 x ) = d ( 5 x ) = 5 d ( x ) = ( 5) dx = dx x x

4

7)

x 1 d 3 = 3d

( x ) = 1 3

1 dx = . dx 2 x 6 x 1

4

8)

d

(

2 x = 2d

)

( x ) = ( 2)

2 dx = . dx = 2 x 2 x 1

1 1 dx = dx 2 x 2x

4

9)

2x x d = 2d = 2d x x

( x ) = ( 2) 2 1 x dx =

1 dx x

4

10 )

2 2 2 1 2 1 d = d = 2 dx = . 2 dx 3x 3 x 3 x 3x

Diferenciacin de funciones elementales exponenciales: Funciones elementales exponenciales:

4

Frmulas de diferenciales

Funcin

Nombre Exponencial de base

1) d ( e x ) = e x dx 2) d ( a x ) = a x ln a dxEjemplos:

e 2.71828.... a > 0 1

y = ex y = ax

a > 0 1

Exponencial de base

e a

4

ex 1 ex 1 x x 1) d 2 = 2 d ( e ) = 2 ( e dx ) = 2 dx

4

2) d ( 2 x + 3) = d ( 2 x ) + d ( 3) = ( 2 x ln 2 dx ) + 0 = 2 x ln 2 dxDiferenciacin de funciones elementales logartmicas: Funciones elementales logartmicas:

4

Frmulas de diferenciales

Funcin

Nombre

1) d ( ln x ) =

1 dx x > 0 x 1 2) d ( log a x ) = dx x ln a

y = ln x y = log a x

Logaritmo de base (logaritmo natural) Logaritmo de base

e a

Ejemplos:

4

2 ln x 2 2 1 2 1) d dx = d ( ln x ) = dx = 5 5 5 x 5x d 4 2) d ( 4 log10 x ) = 4 ( log10 x ) dx = dx dx x ln 10Diferenciacin de funciones elementales trigonomtricas: Funciones elementales trigonomtricas:

4

Frmulas de diferenciales

Funcin

Nombre Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante

1) 2) 3) 4) 5) 6)

d ( sen x ) = cos x dx d ( cos x ) = sen x dx d ( tan x ) = sec 2 x dx d ( cot x ) = csc 2 x dx d ( sec x ) = sec x tan x dx d ( csc x ) = cot x csc x dx

y = sen x y = cos x y = tan x y = cot x y = sec x y = csc x

Ejemplos:

1 cos x 1 1) d = ( senx) dx = senx dx 2 2 2

4

2 tan x = 2) d 3 2 3) d = 2d cos x

2 2 2 sec 2 x ( sec 2 x dx ) = d ( tan x ) = dx 3 3 3 1 = 2d ( sec x ) = 2 sec x tan x dx cos x

Diferenciacin de funciones elementales trigonomtricas inversas: Funciones elementales trigonomtricas inversas:

4

Frmulas de diferenciales

Funcin

Nombre Seno inverso

1) d ( arc sen x ) = 2) d ( arc cos x ) = 3) 4) 5) 6)

1 1 x2 1

dx

y = arc sen x y = arc cos x y = arc tan x y = arc cot x y = arc sec x y = arc csc x

dx 1 x2 1 d ( arc tan x ) = dx 1+ x2 1 d ( arc cot x ) = dx 1+ x2 1 d ( arc sec x ) = dx x x2 1 1 d ( arc csc x ) = dx x x2 1

Coseno inverso

Tangente inversa Cotangente inversa Secante inversa

Cosecante inversa

Ejemplos:

4

1 3 1) d ( 3arcsenx ) = 3 d ( arcsenx ) = ( 3) dx = dx 2 1 x2 1 x

4

1 2 2arc cot x 2 2 2) d d ( arc cot x ) = dx = dx = 2 2 3 3 3 1+ x 3 (1 + x )

4

1 1 1 1 arc sec x 1 1 3) d d ( arc sec x ) = dx = dx = dx = dx = 2 x x 2 1 x 2 x 2 1 2 2 2 x 2 x 1 x 2x 2 2

(

)

Diferenciacin de funciones elementales hiperblicas: Funciones elementales hiperblicas:

4

Frmulas de diferenciales

Funcin

Nombre

1) 2) 3) 4) 5) 6)

d ( senh x ) = cosh x dx d ( cosh x ) = senh x dx d ( tanh x ) = sec h 2 x dx d ( coth x ) = csc h 2 x dx d ( sec h x ) = tanh x sec h x dx d ( csc h x ) = coth x csc h x dx

y = senh x y = cosh x y = tanh x y = coth x y = sec h x y = csc h x

Seno hiperblico Coseno hiperblico Tangente hiperblica Cotangente hiperblica Secante hiperblica Cosecante hiperblica

Ejemplo:

4

1) d ( 2 cosh x 5 x ) = 2 d ( cosh x ) 5d ( x) = ( 2 )( senh x dx ) ( 5) (1) = 2 senh x dx 5

4

3 3 tanh x 3 3 2 2 2) d = d tanh x = ( sec h x dx ) = sec h x dx 4 4 4 4Diferenciacin de funciones elementales hiperblicas inversas: Funciones hiperblicas inversas:

4

Frmulas de diferenciales

Funcin

Nombre Seno hiperblico inverso

1) d ( arcsenh x ) = 2) d ( arccos h x ) = 3) 4) 5) 6)

1 x2 +1 1

dx dx x >1

y = arc senh x y = arc cosh x y = arc tanh x y = arc coth x y = arc sec h x y = arc csc h x

Coseno hiperblico inverso

x2 1 1 d ( arctan h x ) = dx x < 1 1 x2 1 d ( arc coth x ) = dx x > 1 1 x2 1 d ( arc sec h x ) = dx 0 < x < 1 x 1 x2 1 d ( arc csc h x ) = dx x 0 x 1 + x2

Tangente hiperblico inverso Cotangente inverso hiperblico

Secante hiperblico inverso

Cosecante hiperblico inverso

Ejemplos:

4

1) d

(

2 arc tanh x =

) ( 2 ) 1 1x

2

2 dx = dx 2 1 x

4

1 2 2 arc csc h x 2 2 2) d = d ( arc csc h x ) = dx = dx x 1+ x2 3 3 3 3 x 1+ x2

Ejercicios:

4

Tipo I. Obtener la diferencial por frmula de las siguientes funciones elementales algebraicas.

1) d ( 2 x) = ? x 2) d = ? 4 2x 3) d = ? 3

x 4) d = ? 2 5) d (2 x ) = ? 2x 6) d 4 =?

7) d

(

5x = ?

)

2x 8) d =? x 2x 9) d 3x

3 10) d = ? x 2 11) d = ? 3x 2 12) d 3 x 2 = ? x

4

Tipo II. Obtener la diferencial por frmula de las siguientes funciones elementales exponenciales.

ex 1) d = ? 3

5 5x 2) d 4 =? 2) d ( 5 log10 x ) = ?

( )

3) d 2 3e x + 4 = ?

(

)

Tipo III. Obtener la diferencial por frmula de las siguientes funciones elementales logartmicas.

1)

2 ln x d =? 9

3)

ln x d =? 5

Tipo IV. Obtener la diferencial por frmula de las siguientes funciones elementales trigonomtricas.

1) d ( 3 cos x ) = ?

3 cot x 2) d =? 4

2 3) d csc x = ? 3

Tipo V. Obtener la diferencial por frmula de las siguientes funciones elementales trigonomtricas inversas.

d ( 3arc sen x ) = ?

3arc tan x d =? 8

2 d arc csc x = ? 3

Tipo VI. Obtener la diferencial por frmula de las siguientes funciones elementales hiperblicas.

1) d ( 2 cosh x ) = ?

5 tanh x 2) d =? 4

3 3) d csc h x = ? 2 5) d ( 5arc sec h x ) = ?

Tipo VII. Obtener la diferencial por frmula de las siguientes funciones elementales hiperblicas inversas.

2arcsenh x 1) d =? 3

arccos h x 2) d =? 10

Clase: 1.3 Diferenciacin de funciones algebraicas que contienen xn. Gua: - Diferenciacin de funciones algebraicas que contienen xn. - Ejemplos. - Ejercicios.

Diferenciacin de funciones algebraicas que contienen xn.

4

Frmulas de diferenciales

Funcin

Nombre Potencia de

1) d ( x n ) = nx n 1 dx

y = xn

x

Ejemplos:

d ( x n ) = nx n 1 dx 1) d ( x 3 ) = n = 3 = ( 3) ( x ( 2 ) dx ) = 3 x 2 dx n 1 = 2 d ( ku ) = k d (u ) 2) d ( 2 x ) = k = 2 = 2 d ( x 4 ) = ( 2 ) (4)( x ( 3 ) dx ) = 8 x 3dx u = x44

4

7x 3) d 3 4 x4)

4 1 4 1 4 1 x 7 1 3 3 3 3 = 7d 3 4 = 7 d x x = 7 d x = 7d x = ( 7 ) 3 x dx = 3 4 dx 3 x x

d ( x + 1) = u = x v =1

d ( u + v ) = d (u ) + d (v) = d ( x ) + d (1) = dx + 0 = dx

5)

d ( u v ) = d (u ) d ( v ) d 3x x = u = 3x 2 = d 3 x 2 d ( x) = 6 xdx dx = (6 x 1)dx

(

2

)

(

)

v=x

4

6)

2 +3 x 3 x 2 =d 2 +d 2 d x2 x x

3 5 4 9 = 2d ( x 2 ) + 3d x 2 = 2( 2) x 3dx + 3( 3 ) x 2 dx = 3 2 x 2 x5

( )

dx

4

3 3 1 3x 1 3x 1 3x 1 1 3 7) d = d = d d = d (1) d ( x ) = ( 0) (1 dx ) = dx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4

1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 x +1 x + 1 x x + x dx 8) d d d + d x2 + x 2 = = = = 3 22 2 x 3 2 3 2x 3 2 x 3 2 x 1 1 1 1 1 dx = dx = 6 2x 3 2 2 x 2 x3 6 2x3

4

2 x 2 =d 9) d x x

3 1 3 x 2 x 2 1 = ( 2) 1 x 2 dx = x 2 dx = 1 dx =d x 2 x3

4

1 1 bx a bx a a bx 1 x x 2 bd x 2 10) d = d = d d = ad bd = ad x x x x x x x 3 1 a b a b 1 2 1 2 dx = ( a ) x dx ( b ) x dx = dx dx = 3 2 x 2 x 2 2 2 x3 2 x

Ejercicios:

4

Tipo I. Por la frmula de diferenciacin de funciones algebraicas que contienen xn; obtener: 1) 2)

d

(

2x = ?

)

7) 8)

d ( x + 2) = ?13)

d 8 7 x3 = ? 2 d 3 =? 3x 2x d =? x 3x 3 d 5 x5 7x d 3 4 x =?

(

)

5 2 x d =? 3

d ( x 3 x ) = ?2

14) 9)

3x x 2 d x

=?

d ( x ( 2 x 1) ) = ?15)

3)

2 3x d =? x d (1 z 2 ) z = ?1 t d 2t = ?

4)

10)

d ( 2 x + 1) 2 = ?

16)

11)

d ( ( x + 1) ( x 1) ) = ?17)

5)

6)

=?

12)

d 4 x =?18)

(

)

2 x 2 + 3x 1 =? d 2x

Clase: 1.4 Diferenciacin de funciones que contienen u. Gua: - Diferenciacin de funciones que contienen u. - Ejemplos. - Ejercicios.

Diferenciacin de funciones que contienen u: S

u

es cualquier funcin y

n

es un nmero real se cumple los siguientes diferenciales:

Diferenciacin de funciones algebraicas que contienen u.

4

Frmulas de diferenciales

Funcin

Nombre Potencia de Raz de

1) d ( u n ) = nu n 1 du 1 2) d x = du 2 u 1 1 3) d = 2 du u u

( )

y =un y= u y= 1 u

u

u

Inversa de u

Ejemplos:

4

Por la frmula 1) d ( x 5 ) =

d ( x n ) = nx n 1 = n=5 = 5 x 4 dx n que contiene " x " n 1 = 4n n 1

d (u ) = nu du Por la frmula = n = 5; n 1 = 4 = (5)( x ( 4 ) ) (dx) = 5 x 4 dx que contiene " u" u = x; du = d ( x) = dx d ( u n ) = n u n 1 du; n = 4; n 1 = 3 3 3 = ( 4 ) ( 3 x + 2 ) ( 3dx ) = 12 ( 3 x + 2 ) dx u = 3 x + 2; du = 3 dx 1 1 = dx ( 2 dx ) = 1 2x 2 1 2x u = 1 2 x; du = 2 dx d

= 5 x 4 dx

2) d ( 3x + 2) =

3) d

(

1 2x =

)

( u ) = 2 1u du ( )

1 2 4x3 + 5 d u = du 1 4x 2 2 = (12 x 2 dx ) = 4) d = dx 2 u 3 1 2x 3 2 4 x 3 + 5 3 2 u = 4 x + 5; du = 12 x dx

Diferenciacin de funciones exponenciales que contienen u:

4

Frmulas de diferenciales 1) 2) 3)

Funcin

Nombre Exponencial de base Exponencial de base Potencia de potencia

d (e u ) = e u d (u ) d (a u ) = a u ln a d (u ) d (u v ) = u v ln u d (v) + vu v 1d (u )

y = eu y = au y =uv

e a

Ejemplo:

4

23x 23x 2 2 23x 1) d e = e dx = e dx 3 3 Diferenciacin de funciones logartmicas que contienen u:

4

Frmulas de diferenciales

Funcin

Nombre Logaritmo de base (logaritmo natural) Logaritmo de base

1)

2)

1 d (u ) u log a e d (log a u ) = d (u ) u d (ln u ) =

y = log a u y = ln u

e a

Ejemplo:

4

10 1 1) d ( 5 ln (1 2 x ) ) = 5d ( ln (1 2 x ) ) = ( 5) dx ( 2 dx ) = 1 2x 1 2x Diferenciacin de funciones trigonomtricas que contienen u:

4

Frmulas de diferenciales

Funcin

Nombre Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante

1) 2) 3) 4) 5) 6)

d ( sen u ) = cos u du d (cos u ) = sen u du d (tan u ) = sec 2 u du d (cot u ) = csc 2 u du d (sec u ) = sec u tan u du d (csc u ) = cot u csc u du

y = sen u y = cos u y = tan u y = cot u y = sec u y = csc u

Ejemplos:

d (cos u ) = sen u du 1) d (cos 2 x) = u = 2 x = ( sen 2 x) ( 2dx) = 2sen 2 x dx du = 2dx 2) d (2 tan (1 3 x)) = 2 sec 2 (1 3x )(3dx) = 6 sec 2 (1 3 x) dx x x x1 1 x x 3) d csc = cot csc dx = cot csc dx 2 2 22 2 2 2

Diferenciacin de funciones trigonomtricas inversas que contienen u:

4

Frmulas de diferenciales

Funcin

Nombre Arco seno

1) d (arc sen u ) = 2) 3) 4) 5) 6)

1

1 u2 1 d (arc cos u ) = du 1 u2 1 d (arc tan u ) = du 1+ u2 1 d (arc cot u ) = du 1+ u2 1 d ( arc sec u ) = d (u ) u u2 1 1 d (arc csc u ) = du u u2 1

du

y = arc sen u y = arc cos u y = arc tan u y = arc cot u y = arc sec u y = arc csc u

Arco coseno

Arco tangente Arco cotangente Arco secante

Arco cosecante

Ejemplos:

4

1 1) d ( arccos 4 x ) = 1 ( 4 x) 2

4 ( 4 dx ) = dx 1 16 x 2

4

1 2 ( 2 x dx ) = 2) d ( arc sec( x 2 ) = dx ( x 2 ) ( x 2 ) 2 1 x 1 16 x 2 Diferenciacin de funciones hiperblicas que contienen u:

4

Frmulas de diferenciales

Funcin

Nombre Seno hiperblico Coseno hiperblico Tangente hiperblica Cotangente hiperblica Secante hiperblica Cosecante hiperblica

1) 2) 3) 4) 5) 6)

d ( senh u ) = cosh u du d ( cosh u ) = senh u du d ( tanh u ) = sec h 2 u du d ( coth u ) = csc h 2 u du d ( sec h u ) = tanh u sec h u du d ( csc h u ) = coth u csc h u du

y = senh u y = cosh u y = tanh u y = coth u y = sec h u y = csc h u

Ejemplos:

4

1) d ( senh ( x 2 1) ) =

d ( senhu = cosh u du u = x 1; du = 2 x dx2

= ( cosh ( x 2 1) ) (2 x dx) = 2 x cosh ( x 2 1) dx

4

2) d ( cosh (2 x) ) =

d (cosh u = senh u du = ( senh 2 x ) ( 2 dx ) = 2 x senh 2 x dx u = 2 x; du = 2 dx

3) d [ coth (1 2 x ) ] =

d ( coth u ) = csc h 2 u du = csc h 2 (1 2 x)(2 dx) = 2 csc h 2 (1 2 x) dx u = 1 2 x; du = 2 dx

Diferenciacin de funciones hiperblicas inversas que contienen u:

4

Frmulas de diferenciales

Funcin

Nombre Arco seno hiperblico

1) d ( arcsenh u ) = 2) d ( arccos h u ) = 3) 4) 5) 6)

1 u2 +1 1

du du u > 1

y = arc senh u y = arc cosh u y = arc tanh u y = arc coth u y = arc sec h u y = arc csc h u

Arco coseno hiperblico

u 2 1 1 d ( arctan h u ) = du u < 1 1 u2 1 d ( arc coth u ) = du u > 1 1 u2 1 d ( arc sec h u ) = du 0 < u < 1 u 1 u2 1 d ( arc csc h u ) = du u 0 u 1+ u2

Arco tangente hiperblica Arco cotangente hiperblica Arco secante hiperblica

Arco cosecante hiperblica

Ejemplos:

4

1) d ( 2 arccos h 5 x ) =

u2 1 u = 5 x; du = 5 dx

d ( arccos h u ) =

1

du

1 ( 5 dx ) = = ( 2) (5 x ) 2

10 25 x 2 1

dx

4

2) d ( arc sec h (1 2 x) ) = =

u 1 u2 u = 1 2 x; du = 2 dx 2

d ( arc sec h ) =

1

du

=

1 (1 2 x) 1 (1 2 x) 2 2 dx =

( 2 dx) 1

(1 2 x ) 1 (1 4 x + 4 x 2 )

dx =

(1 2 x ) 4 x 4 x 2

(1 2 x) x x 2

dx

Ejercicios:

4

TIPO I. Por la frmula de diferenciacin de funciones algebraicas que contienen u; obtener:

1) d ( x) = ? 2) d

5) d (1 2 x ) = ?2

7) d

(

3 2x = ? =? =?

)

( x) = ?

4) d

(

2x = ?3

)

1 3) d = ? x 1) d (3 2 x ) = ? 2x 2) d 10 3 = ? 1) d (log10 3x ) = ?2)

6) d 3 ( 2 x 2 3) = ? 3) d ( e 2 x ) = ? 4) d 2e

1 x2 8) d 3 9)

3 d 2 1 2x

Tipo II. Por las frmulas de diferenciacin de funciones exponenciales que contienen u; obtener:

(

x

)=?

2e 3 x 5) d 3 6) d ( 2 x )3x

=? =?

Tipo III. Por las frmulas de diferenciacin de funciones logartmicas que contienen u; obtener:

3) d (ln 2 x) = ?

5)

Tipo IV. Por las frmulas de diferenciacin de funciones trigonomtricas que contienen u; obtener:

3x d 2 log 10 =? 5

4) d ln c = ?

(

)

6) d ( ln (1 2 x) 2 ) = ? 5) d ( sec(1 2 x) 2 ) = ? x 6) d 2 csc = ? 2 4) 3x d arc csc 2

2x d ln = ? 3

1) d ( sen2 x ) = ? 2) d cos x = ?

(

)

1 3) d tan = ? x 4) d ( cot x 2 ) = ? 3) d ( arc tan 2 x ) = ?

Tipo V. Por las frmulas de diferenciacin de funciones trigonomtricas inversas que contienen u; obtener:

1) d ( arc sen 3 x ) = ?

Tipo VI. Por las frmulas de diferenciacin de funciones hiperblicas que contienen u; obtener:

1) d ( senh 2 x ) = ? 2) d ( cosh(2 x + 1) ) = ? 1) d ( arccos h2 x ) = ?

3) d tanh 3 x = ? 4) d ( coth 3e 2 x ) = ?

(

)

5)

6) d ( csc h (ln 2 x ) = ? 3) d ( arc csc h(1 x ) ) = ?

1 d sec h =? 2x

Tipo VII. Por las frmulas de diferenciacin de funciones hiperblicas inversas que contienen u; obtener:

2) d arctan h 3 x = ?

(

)

Clase: 1.5 La antiderivada e integracin de funciones elementales. Gua: - Familia de funciones. - Integracin de funciones elementales: - Antiderivada de una funcin. - Ejemplos. - Integracin indefinida. - Ejercicios. - Propiedades de la integral indefinida.

4

Familia de funciones: Es un conjunto de funciones que difieren en una constante. Ejemplo: Las siguientes funciones representan una familia de funciones puesto que difieren en una constante. y = x2 y = x2 + 2 y = x2 5 Observe: que al trazar la recta L (perpendicular al eje de las Xs ) esta toca a las curvas en los puntos de las curvas donde la pendiente de otras rectas T es la misma en todos los puntos que se tocan.

Antiderivada de una funcin: De la siguiente familia de funciones observe lo siguiente: a) A cada funcin de la familia se llama funcin primitiva. b) De cada funcin primitiva se obtiene su derivada (todas las derivadas son iguales). c) De cada derivada se obtiene su antiderivada; de donde antiderivada y funcin primitiva es lo mismo. d) De cada antiderivada se obtiene su diferencial (todos los diferenciales son iguales). e) De cada diferencial se infiere su integral que es la funcin primitiva, slo que en lugar del nmero aparece una c (constante).

Funcin primitiva

Derivada

Antiderivada

Diferencial

Integral

y = x2 y = x2 + 2 y = x2 5Conclusin: S

dy = 2x dx dy = 2x dx dy = 2x dx dy = f (x) dx

y = x2 + c y = x2 + c y = x2 + c y = f ( x) + c

dy = 2 x dx dy = 2 x dx dy = 2 x dx dy = f ' ( x)dx

dy = 2 x dx = x dy = 2 x dx = x dy = 2 x dx = x

2

+c +c +c

2

2

y = f ( x) + c

dy = f ' ( x)dx = f ( x) + c

De donde: La integracin indefinida es el proceso de encontrar la familia de antiderivadas de una funcin. A partir de aqu y a menos que otra cosa se indique, cuando tratemos las integrales nos estaremos refiriendo a la integracin indefinida de funciones.

4

Para efectos prcticos, haremos los siguientes cambios: La integral de la siguiente forma: resultado.

f ( x) dx = f ( x) + c

la concebiremos

f ( x) dx = F ( x) + c

donde

f (x )

es la funcin a integrar y

F ( x) + c

es su

4

Notacin:

f ( x) dx = F ( x) + c

Donde:

f ( x ) dx x F ( x) + c c

Es el signo de integracin. Es el integrando. Es la variable de integracin. Es la familia de antiderivadas. Es la constante de integracin.

Propiedades de la integral indefinida:

4

S son funciones de una misma variable, continuas e integrables y las siguientes propiedades:

f y g

k

es una constante, se cumplen

1) 2)

k f ( x) dx = k f ( x) dx ( f ( x) g ( x)) dx = f ( x) dx g ( x) dx

Del producto constante y funcin. De la suma y/o diferencia de funciones.

Integracin de funciones elementales. Integracin de funciones elementales algebraicas: Frmulas de integracin de funciones elementales algebraicas: Para el propsito de integracin se han considerado nicamente las siguientes funciones algebraicas elementales:

1)

0dx = c o dx = c 3 dx = 3x + c

2)

dx = x + c

3)

x dx =

x2 +c 2

4)

dx = ln x + c x

Ejemplos:

1) 2) 3)

x2 5x 2 +c = +c 2 2 dx 1 dx 1 dx dx 1 4) = = = = ln x + c = ln x + c 2x 2 x 2 x x 2 2 2 3x 3 3x 3 x 5) dx = x dx = +c = +c 2 2 4 2 2 2 2 1 2 2 6) dx = dx = ln x + c = ln x + c 3x 3 x 3 3

5 x dx = 5 x dx = (5)

4

2 2x + 5 2 5 2x 5 2 x 7) dx = + dx = x dx + dx = 3 3 3 3 3 3 2

5 x 2 5x + x+c = + +c 3 3 3

4

8)

2 3x 2 3x 1 2 3x dx = dx = dx =2 dx 3 dx = 2 ln x 3 x + c x x x x x x

4

9)

x 2 4 x + 4 dx = ( x 2) 2 dx = ( x 2) dx = x dx 2dx =

x2 2x + c 2

Integracin de funciones elementales exponenciales: Frmulas de integracin de funciones elementales exponenciales:

1)

e

x

dx = e + cx

2)

x a dx =

ax +c ln a

Ejemplos:

1) 2)

2e

x

dx = 2e x + c

3e x 3e x dx = +c 4 4 3x 3x 3) dx = +c 2 2 ln 3Integracin de funciones elementales logartmicas: Frmulas de integracin de funciones elementales logartmicas:

1) 1) 2)

Ejemplos:

ln x dx = x ( ln

x 1) + c

2)

x +c log a x dx = x log a e

3 ln x dx = 3x ( ln x 1) + c x log10 x x dx = log10 + c 3 3 e

Integracin de funciones elementales trigonomtricas: Frmulas de integracin indefinida de funciones elementales trigonomtricas:

1) 2) 3)

sen x dx = cos x + c cos x dx = sen x + c tan x dx = ln cos x

4) 5) +c 6)

ctg x dx = ln sen x + c sec x dx = ln sec x + tan x + c csc x dx = ln csc x cot x + c

Ejemplos:

1) 2) 3)

2 cos xdx = 2senx + c 2 cot x 2 3 dx = 3 ln senx + c sec x 1 1 1 dx = sec x dx = ( ln sec x + tan x + c ) = ln sec x + tan x + c 5 5 5 5 4

4)

2 2 2 2 (4sen x + 4 cos ) dx = 4(sen x + cos x)dx =

identidad trigonomtrica sen 2 x + cos 2 x = 1

= 4 dx = 4 x + c

Integracin de funciones elementales trigonomtricas inversas: Frmulas de integracin de funciones elementales trigonomtricas inversas:

1) 2) 3)

arc sen x dx = xarc senx + arc cos x dx = x arc cos x

1 x2 + c 1 x2 + c x2 +1 + c

4) 5) 6)

arc cot x dx = x arc cot x + 2 ln arc sec x dx = xarc sec x ln arc csc x dx = xarc csc x + ln

1

x2 +1 + c

x + x2 1 + c x + x2 1 + c

arc tan x dx = xarc tan x 2 ln 2 arccos x dx = 2 ( x arccos x

1

Ejemplos:

1)

1 x 2 + c = 2 x arccos x 2 1 x 2 + c

)

4

2)

3 arc sec x 3 3 3 dx = x arc sec x ln x + x 2 1 + c = x arc sec x ln x + x 2 1 + c 5 5 5 5

(

)

Integracin de funciones elementales hiperblicas: Frmulas de integracin de funciones elementales hiperblicas:

4

1) 2) 3)

senh x dx = cosh x + c cosh x dx = senh x + c tanh x dx = lncosh x + c

4) 5) 6)

coth x dx = ln senh x + c

sec h x dx = 2 arctan tanh 2 + c csc hx dx = lntanh x +c 2

x

Ejemplos:

4

1)

2 cosh x dx = 2 senh x + c

4

2)

tanh x 1 dx = ln (cosh x) + c 3 3

4

2 2 1 3) dx = dx = 3 csc hx 3 csc hx

identidad hiperblica 2 2 = senh x dx = cosh x + c 1 = senh x 3 3 csc h x

Integracin de funciones elementales hiperblicas inversas: Frmulas de integracin de funciones elementales hiperblicas inversas:

4

1) 2)3)

arcsenhxdx = xarcsenhx x + 1 + c2

4)5)

arc coth x dx = xarc coth x + 2 ln x arc sec hx dx = xarc sec hx arctan x

1

2

1 + c

arccos hxdx = x arccos hx

x2 1 + c2

2

x + c 1

arctan hx dx = x arctan hx + 2 ln x

1

1 + c

6)

arc csc chx dx = xarc csc hx + ln

x + x 2 +1 + c

Ejemplos:

1)

3arcsenhxdx = 3xarcsenhx 3

x2 +1 + c

4

2)

arc csc hx 1 1 x 1 dx = arc csc h x dx = xarc csc h x + ln x + x 2 + 1 + c = arc csc h x + ln x + x 2 + 1 + c 2 2 2 2 2

(

)

Ejercicios:

4

Tipo I. Por las frmulas de integracin de funciones elementales algebraicas; obtener:

1)

dx = ? 5e dx = ?x

2)

2dx = ?3e x 5 dx = ? 3) 4)

3)

x 3 dx = ? 2x 3 dx = ? 5)

3 (5) x 4) dx = ? 10 4)

Tipo II. Por las frmulas de integracin de funciones elementales exponenciales; obtener:

1)

2)

3)

3 dx = ?

x

Tipo III. Por las frmulas de integracin de funciones elementales logartmicas; obtener:

1) 2)

5 ln xdx = ? 3 ln x dx = ? 5

ln x dx 85

2 log

xdx = ?

3 log 5 x dx = ? 10 log5 x 6) dx = ? 3

Tipo IV. Por las frmulas de integracin de funciones elementales trigonomtricas; obtener:

1) 2)

5 sen xdx = ? 3 cos x dx = ? 5

3) 4)

tan x dx = ? 8

5)

2 cot x dx = ? arc tan x dx 10

3 sec x dx = ? 10 csc x 6) dx = ? 3

Tipo V. Por las frmulas de integracin de funciones elementales trigonomtricas inversas; obtener:

1) 2)

2arc sen xdx = ? 3arc cos x dx = ? 5

3) 4)

5)

2arc cot x dx = ? tanh x dx = ? 2

3 arc sec x dx = ? 5 arc csc x 6) dx = ? 6

Tipo VI. Por las frmulas de integracin indefinida de funciones elementales hiperblicas; obtener:

1)

5 senh xdx = ? 3arc cosh x dx = ? 5

2)

3)

3 sec hx dx = ? 5 2arc csc hx dx = ? 3

Tipo VII. Por las frmulas de integracin de funciones elementales hiperblicas inversas; obtener:

1)

2)

2arc coth x dx = ?

3)

Clase: 1.6 Integracin de funciones algebraicas que contienen xn. Gua: - Integracin de funciones algebraicas que contienen xn. - Ejemplos. - Ejercicios.

Integracin de funciones algebraicas que contienen xn. Frmula de integracin de funciones algebraicas que contienen xn.

1)

n x dx =

x n +1 + c ( n + 1) 0 n +1 4

Ejemplos:

x n +1 2 x n +1 dx = +c = x +c 1) xdx = n +1 2 n = 1; n + 1 = 2 x n +1 x ( 2) 3x 2 2) 3 xdx =3 xdx = k x dx = k n + 1 + c =(3) +c = +c (2) 2 k = 3; n = 1; n + 1 = 2n

x n +1 ( 3) 3 x n dx = +c = x +c = x +c 3) x dx = n +1 (3) 3 n = 2; n + 1 = 32

4)

x n +1 +c 1 x +1 2 x dx = x dx = 1 3 n = ; n +1 = 2 2n x dx =

3

=

x23 2

+c =

2 x3 +c 3

4

3

5)

2 x dx = 2 x dx =

2 x23 2

+c =

2 2 x3 2 2x 3 +c = +c 3 3

4

6)

x n +1 2 x dx = +c dx = 2 x 3 dx = = n +1 3 x n = 3; n + 1 = 2n

2 x 2 2 1 +c = 2 +c = 2 +c 2 2x x 2

4

7)

(3x

2

+ 2 x ) dx = 3 x 2 dx + 2 x dx =

3x 3 2 x 2 + + c = x3 + x2 + c 3 2

4

1 3 x2 x2 1 x3 2 x3 1 x x 2 8) x dx = dx x dx = x 2 dx x 2 dx = 3 + c = +c 3 3 3 9 3 3 3 2

3

4

9)

2 3x + 5 3x 5 3 5 3x 5 3 x dx = + dx = dx + dx = x dx + dx = 2 4 4 4 4 4 4 4 4

5 3x 2 5x + ( x ) + c = + +c 4 8 4

4

10)

x +1 x 1 x x 2 x3 dx = + dx = x dx + x dx = 3 + 1 + c = +2 x +c x 3 x x 2 2

1 2

1 2

3 2

1 2

Ejercicios:

4

Tipo I. Por la frmula de integracin de funciones algebraicas que contienen xn; obtener:

1) 2) 3)

x dx = ?3

3 dx = ?2x 2 3 dx = ?

x

1 dx = ? x 1 5) 2 dx = ? x 4)

7) 8) 9)

3x 2

22

dx

6)

2

x dx = ? 2 dx = ? 2x

dx = ? x5 5 dx = ? 3 2x

3

Tipo II. Por la frmula de integracin de funciones algebraicas que contienen xn; obtener:

1) 2)

(2 x)

2

dx = ?

3) 4)

5)

4 x dx = ?

2x dx = ? x

3x 3 5 x 5 dx = ? 7x 6) 3 4 dx = ? x 7)

Tipo III. Por la frmula de integracin de funciones algebraicas que contienen xn ; obtener:

1) 2) 3)

(3 x) dx = ? ( x + 1) dx = ?2

4) 5)

(1 2 x ) dx = ?

(2 x

2

x) dx = ?

1 2x dx = ? 3 3x x 2 6) x dx = ?

x + 1 dx = ? x a bx 8) dx = ? x 2 3x 9) dx = ? 2x

Clase: 1.7 Integracin de funciones que contienen u. Gua: - Integracin de funciones que contienen u. - Frmulas de integracin de funciones que contienen u:

- Ejemplos. - Ejercicios.

Integracin de funciones que contienen u. Para toda u que sea cualquier funcin, se cumplen las siguientes frmulas de integracin: Integracin de funciones algebraicas que contienen u. Frmulas de integracin de funciones algebraicas que contienen u.

4

1)

0 du = c

2)

du = u + c

3)

n u du =

u n +1 + c (n + 1) 0 n +1

4)

u du = ln

1

u +c

Ejemplos:

u n +1 +c n +1 3 1) ( 2 + 5 x ) dx = u = ( 2 + 5 x ) ; du = 5dx n = 3; n + 1 = 4n u du =

1 3 5 dx 3 = ( 2 + 5x) = ( 2 + 5 x ) (5 dx ) 5 5

4 ( 2 + 5x ) 4 + c 1 ( 2 + 5 x ) +c = = 4 20 5

du dx 1 3dx 1 (3dx) 1 u = ln u + c 2) = = = ln 1 3 x + c = 1 3x 1 3x 3 3 1 3x 3 u = 1 3 x; du = 3dx 3)

2 x (1 3x )

2 5

1 1 2 5 dx =( 2 ) (1 3 x ) ( 6 dx ) = 3 6

(1 3x 2 ) 6 6

(1 3x 2 ) + c +c = 18 6

4

x3 2 1 + 2 3 2 3 x 2 35 5 7x2 7 5 x3 + c = 35 x + 2 + c 4) dx = + 2 dx = 5 6 1 2 3 5 3 5 x3 2 +2 2 5

1

4

1 1 1 1 5 u = 1 3 (2) 1 1 1 2x 5 1 1 dx = 2x 2x 3 2 x (2) x 2 dx = 2 6 + c 5) dx = 3 2 = 4 1 4 2x x 4x 2 6 du = 2 dx 1 1 2x = 1 + c 12 2 x 5

6

4

3 3 2 6) dx = + 4 2 x 2 2x 2 +4 x

1 2

2 2 + 4 1 1 3 2 2 (2) 3 x dx = + 4 2 dx = 4 2 x x 12 + c 2 (2) x 3 2 = +4 +c 2 x

1

4

7)

2 x dx =

3x

3x 6 6 6 = 3 + = 3 + = 3x 6 ln 2 x + c dx = 3dx + 2 x 2x 2x 2x

4

3x 2 1 1 3x 2 1 8) dx = dx = 2x + 4 2 x+2

1 11 3x 6 + x + 2 dx 2 2 1 3 x 2 3x 1 11 = 6 x + 11 ln( x + 2) + c = 3x 6 x+2 x+2 2 2 = = 3x 2 11 3x + ln( x + 2) + c 4 2

Integracin de funciones exponenciales que contienen u. Frmulas de integracin de funciones exponenciales que contienen u:

1)

e

u

du = e u + c

2)

u a du =

Ejemplos:

au +c ln a

4

1)

e 1 1 3 4 dx = 4 ( 3) e 3 3 dx = 4 e 3 + c 2x 32 x 1 13 2) 3 2 x dx = 3 2 x (2dx) = +c = +c 2 ln 3 2 2 ln 3

x 3

x

x

4

5e x 5 3) dx = e 3 2x 3 2

x

5 (2) 1 dx = e x 3 2

x

1 5 2 dx = e 3 (2) x

x

+c

Integracin de funciones logartmicas que contienen u. Frmulas de integracin de funciones logartmicas que contienen u.

4

1)

ln u du = u ( ln

u 1 ) + c

2)

log

a

u +c u du = u log a e

Ejemplos:

4

1)

3 ln

3x 2x 2x 2 x 2 15 2 x 2 x 5 dx = 3 ln dx = 3 ln 1 + c = 3 x ln dx = ln 5 1 + c 5 5 5 5 2 5 5 2

4

2 2 2 3 2 1 2 log 5 x + c = 3 x log 5 x + c 2) 3 x log10 5 x dx = 3 log10 5 x (10 x dx ) = 5 x 10 10 10 e 2 e 10 2

4

2 2 ln 1 + 3 x dx = 2 ln 1 + 2 1 dx = 2 3 ln 1 + 2 2 3) 5 3x x 2 5 2 3x 3x 2 5x 2Integracin de funciones trigonomtricas que contienen u.

3 2 2 1 + c dx = 1 + ln 1 + 5 3x 3x

Frmulas de integracin de funciones trigonomtricas que contienen u.

1) 2) 3) 4) 5) 6)

sen u du = cos u + c cos u du = sen u + c tan u du = ln cos u + c cot u du = ln sen u + c sec u du = ln sec u + tan u + c csc u du = lncsc u cot u + c

7) 8) 9) 10) 11)

sec u tan u du = sec u + c csc u cot u du = csc u + c sec u du = tan u + c csc u du = cot u + c 1 1 sec u du = 2 sec u tan u + 2 ln2 2 3

sec u + tan u + c

Ejemplos:

1)

cos 2u du = sen u + c cos 2 x dx = u = 2 x; du = 2 dx2

=

1 1 cos 2 x (2 dx) = 2 sen 2 x + c 2

k sec 2 u du = k tg u + c 3x 3 x 3dx 8 3x 4 2 3x 2) 2 sec dx = 2 sec dx = = 2 sec 2 = tg + c 3x 3dx 4 4 4 4 3 4 u = ; du = 3 4 43)

2 cos

3dx2

5x

=

3 dx 1 3 31 3 2 2 cos 2 5 x = cos u = sec u = 2 sec 5 x dx = 2 5 sec 5x (5dx ) = 10 tg 5x + c 2

4)

u = cos 3 x Integral tipo 3 3 cos 3x sen3x dx = u n du = u n+1 + c = Estrategia = ( cos 3x ) sen 3xdx = n = 3; n + 1 = 4 n +1 du = 3sen3 x dx4 cos 4 3x 1 1 ( cos 3 x ) 3 +c = = ( cos 3 x ) ( 3sen3 x dx ) = +c 4 12 3 3

5)

1 sen2 x = Estrategia

1 1 + sen2 x 1 + sen2 x 1 + sen2 x dx = 3 dx dx = 3 2 1 sen2 x 1 + sen2 x 1 sen 2 x cos 2 2 x 1 sen2 x sen2 x 1 = 3 dx + 3 dx =3 sec 2 2 x dx + 3 dx 2 2 cos 2 x cos 2 x cos 2 x cos 2 x 3 3 3 3 2 = 3 sec 2 2 x dx + 3 tg 2 x sec 2 x dx = sec 2 x ( 2dx) + ( 2) tg 2 x sec 2 x( 2dx) = 2 tg 2 x + 2 sec 2 x + c ( 2) 3dx = 3

Integracin de funciones trigonomtricas inversas que contienen u.

4

Frmulas de integracin de funciones trigonomtricas inversas que contienen u.

1) 2)3)

arc sen u du = u arc sen u + arc cos u du = u arc cos u arctan u du = u arctan u 2 ln1

1 u2 + c 1 u2 + cu 2 +1 + c

4) 5) 6)

arc cot u du = u arc cot u + 2 ln

1

u 2 +1 + c u 2 1 + c u 2 1 + c

arc sec u du = u arc sec u ln u + arc csc u du = u arc csc u + ln u +

Ejemplos:

4

1)

2 arccos( 1 3 x) 2 1 2 dx = (1 3 x) arccos( 1 3x ) 1 (1 3x ) 2 + c arccos( 1 3x )( 3dx ) = 7 7 3 21 2(1 3x ) 2 2(1 3x ) 2 = arccos( 1 3 x) + 1 (1 6 x + 9 x 2 + c = arccos( 1 3x ) + 9x 2 + 6x + c 21 21 21 21

(

)

4

2)

4arc csc(2 x) 4 1 dx = arc csc(2 x) (2 dx ) 5 5 2 2 4 2 = (2 x ) arc csc (2 x ) + ln (2 x) + (2 x) 2 1 + c = arc csc (2 x) ln 2 x + 4 x 2 1 + c 5 5 5

(

)

Integracin de funciones hiperblicas que contienen u. Frmulas de integracin de funciones hiperblicas que contienen u.

4

1) 2) 3) 4) 5) 6)

senh u du = cosh u + c cosh u du = senhu + c tanh u du = ln cosh u + c coth u du = ln senh u + c

7) 8) 9) 10) u

sec h u du = tanh u + c csc h u du = coth u + c sec h u tanh u du = sec h u + c csc h u coth u du = csc h u + c2 2

sec h u du = 2 arctan tanh 2 + c csc h u du = lntanh u +c 2

Ejemplos:

4

1)

2 cosh 2 x dx = 2 2 cosh 2 x (2dx) = senh 2 x + c

1

4

2)

sec h 3 x tanh 3 x 1 1 1 dx = sec h 3 x tanh 3 x ( 3dx ) = sec h 3 x + c 5 15 5 3

Integracin de funciones hiperblicas inversas que contienen u. Frmulas de integracin de funciones hiperblicas inversas que contienen u.

4

1) 2) 3)

arcsenh u du = u arcsenh u arccos hu du = u arccos h u

u2 +1 + c u 1 + c2

4)5)

arc coth u du = u arc coth u + 2 ln u

1

2

1 + cu + c 1

arc sec hu du = uarc sec hu arctan u arc csc hu du = u arc csc hu + ln3

2

1 2 arctan hu du = u arctan hu + 2 ln u 1 + c1 3

6)

u + u 2 +1 + c

Ejemplos:

1)

3arcsenh 2 xdx = ( 3) 2 arcsenh 2 x ( 2dx ) = 2 (2 x) arcsenh (2 x) 2 = 3 x arcsenh 2 x 3 4x 2 + 1 + c 2

(2 x) 2 + 1 + c

4

2)

arc csc h 2

x 2 3 dx = 1 ( 3) arc csc h x dx = 3 x arc csc h x + ln x + x + 1 + c 3 3 23 3 3 2 3 = x x 3 x arc csc h + ln + 2 3 2 3 x2 x x 3 x 1 2 + 1 + c = arc csc h + ln + x +9 +c 9 2 3 2 3 3

Ejercicios:

4

Tipo I. Por las frmulas de integracin de funciones algebraicas que contienen u; obtener:

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

dx = ? xdx = ? x dx = ?3

8) 9)

3 2 x dx = ?

15) 16) 17) 18) 19) 20) 21)

x +1 = ? x (x2 3

dx

22)2 2

u

3

u 4 + 2 du

1 2x 3 dx = ? 3 1 x 10) 2 dx = ? a (a bx) 2 b dx 3 12) dx = ? 2 1 x 3x 13) dx = ? 2 2x 3 14) dx = ? 2x + 3 11)

x (3 4 x )

dx = ?

23) 24)

x2 ( x3 1)2 dx

1) 4 dx = ?2 7

b

2

3ax dx + c2x2

dx =? x 2 x dx = ?3

5x (1 x ) 4x 1 + x2

dx = ?

25) x a 2 + b 2 x 2 dx

dx = ?

(1 + x) dx = ? (1 2 x)2

5x

1 + x 2 dx = ?2

dx = ?

(1 + 3t )t dt = ?

4

Tipo II. Por las frmulas de integracin de funciones exponenciales que contienen u; obtener:

1) 2)

2e 5 x 3 dx = ? 3) e (1 2 x ) dx = ?

e dx = ?2x

4) 5) 6)

2x 3x2 3 e dx = ?

7) 8) 9) 5) 6) 13) 14) 15) 16) 17) 18)

3 2 3

(4 x)

dx = ? dx = ?

4x e 2x e

2 2 x3

dx = ? dx = ?

(1 2 x )

(1 2 x 2 )

2 x2

2 x dx = ? (2 x + 8) dx = ?

Tipo III. Por las frmulas de integracin de funciones logartmicas que contienen u; obtener:

1) 2) 1) 2) 3) 4) 5) 6)

ln 5 x dx = ? ln(1 2 x) dx = ? sen 2 x dx = ? 2 cos 3x dx = ? tan bx dx = ? 2 sec x dx = ? 32

3)

ln 2 x 5 x 2 dx = ? 4) log10 4 x dx = ? dx Sen2 x = ?

log 3e

10

2x

log10 e 2 x dx = ?3

Tipo IV. Por las frmulas de integracin de funciones trigonomtricas que contienen u; obtener:

7) 8) 9) 10) 11) 12

sen x cos x dx = ? sen 3x cos 3x dx = ? cos ax b + sen ax dx = ?4

x (sen 4 x ) dx = ? 1 1 sen x dx = ?2 2 2

1 + cos x = ? sen x cos x dx = ? cos 2t sen 2t dt = ? arc tan (3x) dx = ? arc cot u (1 2 x ) dx = ? tanh 2 x dx = ? 2 x

dx

1 cos x dx = ? sen 2 d = ? cos 2 sen 2 x dx = ? sec 5 2 x

sen x

csc (a bx) dx = ? (sec t 1) dt = ?2

Tipo V. Por las frmulas de integracin de funciones trigonomtricas inversas que contienen u; obtener:

1) 2)

arc sen 2 x dx = ?arccos 31x dx = ? 5x 2

3) 4)

5) 6)

2 x arc sec 3x 2 dx = ? 5 arc csc ( ln 2 x ) dx = ? 3x 3 sec h 3 x dx = ? 5 arc csc h3 x dx = ? 2

Tipo VI. Por las frmulas de integracin de funciones hiperblicas que contienen u; obtener:

1)

5 senh 5 xdx = ? 3arc cosh 5 x dx = ? 5

2)

3)

Tipo VII. Por las frmulas de integracin de funciones hiperblicas inversas que contienen u; obtener:

1)

2)

2 arc coth 3 dx = ?

3)

Evaluacin tipo: Unidad 1.

Fecha: EXAMEN DE CLCULO

4

INTEGRAL Hora: Apellido paterno Examen Apellido materno Calificaciones: Participacione Tareas s Nombre(s) Examen sorpresa No. de lista: Oportunidad: 123 Unidad: 1. Tema: La integral indefinida Elab: Clave: Evaluacin Tipo Otras Calificacin final

1) En la celda RC (Respuesta correcta) escriba con tinta la clave correspondiente a la solucin correcta del problema. 2) En el reverso de la hoja resuelva nicamente los problemas que contienen en la celda RC las siglas (SRD). 3) En caso de que asigne la clave correcta en celdas con siglas (SRD) sin haber resuelto el problema adecuadamente, se restaran por cada celda 20 puntos del total de la calificacin. 4) Para tener derecho a puntos extras, deber obtener como mnimo el 40% del examen aprobado. 5) Iniciada la evaluacin no se permite el uso de celulares, internet, ni intercambiar informacin material. 6) Cualquier operacin, actitud intento de fraude ser sancionada con la no aprobacin del examen.

2x 1) d 2 5+ x 2) d 2x 3)x 2 2e d

1 dx 2 2x

1 dx 2 2xClave: 10YRJ

NingunaClave: 10NMX

1 dx 4 2xClave: 10MCV

RC

Clave: 10SWA

NingunaClave: 1BNGH

5 dx 2x2Clave: 1YURT x 2

1 5 2 + dx 2 2xClave: 1NHYK x 2

5 dx 2x2

RC

Clave: 1LPIO RC

e

x 2

dx

e

dx

2e

dx

NingunaClave: 2BNDP

Clave: 2MHNS

Clave: 2RTFH

Clave: 2PLUY

4) d ( arc sen 3x )5)

1 1 9x2

dx

NingunaClave: 3BNML

3 1 3x 2

dx

3 1 9x2

dx

RC

Clave: 3NMHO

2x + 5 dx 2

4

( 2 x + 5)32

5

+c

( 2 x + 5)160

Clave: 3CVBR

Clave: 3RTQE

5

+c3

NingunaClave: 4LKUP

( 2 x + 5) 2 + c23

RC

Clave: 4ASDI

Clave: 4TRES

Clave: 4KHMU

6)

x 4 + 3 dx dx

NingunaClave: 5ASDQ

1 x + 3 + c 4 4 Clave: 5OPUH

3 x + 3 + c 2 4 Clave: 5TREH

3

8 x + 3 + c 3 4 Clave: 5LKMA

RC (SRD)

7)

3x 2 x 2 5 2 ln 32x 2x

(2x )102 3x

2 3

+c

8x +c 5Clave: 6NMGP

6

(2x )52 3x

2 3

RC

+c

NingunaClave: 6RTEY

Clave: 6NHGN8) dx

3 ln (

1)

Clave: 6PLOH

2x

+c

NingunaClave: 7HYRA

ln (

1)

4x

+c

ln(

2 3x

1)

2x

+c

RC

Clave: 7MNBH

Clave: 7POUL

Clave: 7TRET

9)

cos 2 x sen 2 x dx 2 arcsen x 2 x dx 1 2

3

NingunaClave: 8UHKP

1 sen 4 2 x + c 16 x arcsen x

1 cos 4 2 x + c 16

1 cos 4 2 x + c 8Clave: 8LMNV

RC

Clave: 8RGMH

Clave: 8BEQO

x arcsen x

x arcsen x + 1 x + cClave: 9WQPE

10 )

+ 1 1 x + c 2Clave: 9TUTR

+ 1 x + cClave: 9PLOS

NingunaClave: 9PLTH

RC (SRD)

4

Formulario de diferenciales de funciones que contienen xn y u: Unidad 1. Propiedades:

1) d ( k f ( x) ) = k d ( f ( x) )

2) d ( f ( x ) g ( x ) ) = d ( f ( x ) ) d ( g ( x ) )1) d x n = nx n 1dx

Frmula de diferenciacin de funciones que contienen xn Frmulas de diferenciacin de funciones que contienen u: Algebraicas:

( )

1) d (u n ) = nu n 1 duExponenciales:

2) d (u ) = du

3) d

(u ) = uu

d u

4) d

( u)=

1 2 u

du

1 1 5) d = 2 du u u

Logartmicas:

1)

d eu = eu du

( )u

e 2.71828....

1)2)

2)3)

d a

( )=a

d ( ln u ) =d ( loga

1 du u

a > 0 1

u

ln a du

d u v = u v ln u dv + vu v 1duTrigonomtricas inversas:1) d (a c s n r eu

( )

1 u) = du u ln a

Trigonomtricas:

1)2)

d ( sen u ) = cos u dud ( cos u ) = sen u du

)=

1 1 2 u

d u

2)

3)

d ( tan u ) = sec 2 udu

3) 4)5) 6)

4)5)6)

d ( cot u ) = csc 2 u dud ( sec u ) = tan u sec u dud ( csc u ) = cot u csc u du

1 d u 1 u 2 1 d ( a tan u ) = rc du 1 +u 2 1 d ( arc co u ) = t du 1 +u 2 d ( a co u ) = rc sd

(a c r

s c u) = e u

1

d (a c c c u ) = r s u

u2 1 1

d u d u

u2 1

Hiperblicas:

Hiperblicas inversas:1)2)3)

1)2)

d ( senh u ) = cosh u dud (co sh u ) = sen u d h u

d (a rcsen hd (a c s rc od

u) =h u) =

1 u2 + 11 u2 1

d ud u > u 1

3)

d ( tanh u ) = sec h 2u du

(ac n r ta

4)

d ( coth u ) = csc h u du2

1 hu) = d u 1 2 u

< u 1

4)

1 d (a c c th u ) = r o d u 1 2 u

>1 u

5) d ( sec h u ) = tanh u sec h u du6) d ( csc h u ) = coth u csc h u du

5) 6)

1 d ( a sec h u ) = rc d u u 1 u 2 1 d ( arc csc h u ) = du u 1 +u 2

0 0

1) 2) 3)

u

du 1 u = arctan + c 2 a a +a du 1 ua u 2 a 2 = 2a ln u + a + c2

6) 7) 8) 9) 10)

u = arcsen + c a a u2 2

du

1 a + u2 + a2 = ln +c u u2 + a2 a u du

du 1 u+a a 2 u 2 = 2a ln u a + c du 4) = ln u + u 2 + a 2 + c 2 2 u +a du 5) = ln u + u 2 a 2 + c 2 2 u aMtodo:

u 2 + a 2 du =

u a2 u2 + a2 + ln u + u 2 + a 2 + c 2 2 u a2 u 2 a 2 du = u2 a2 ln u + u 2 a 2 + c 2 2 u a2 u a 2 u 2 du = a 2 u 2 + arcsen + c 2 2 a

1) Identifique el problema que se plantea con alguna de las frmulas de la tabla. 2) Identifique 3) Identifique

u2 a2

y obtenga y obtenga

u a.

y

du.

4) Sustituya el valor de du ( y u de ser necesario ) en una nueva integral y haga el ajuste correspondiente. 5) Integre aplicando la frmula seleccionada.

6

Ejemplos:

du 1 u = arc tan + c 51 2x 1 (2dx) 2 = 5 2 = arctan + c a a +a 5dx dx 3 2 4x + 9 2 3 1) 2 = 5 2 = u 2 = 4 x 2 u = 2 x; du = 2dx 5 2x 4x + 9 4x + 9 = arctan +c a2 = 9 a = 3 6 3

u

2

2)

1 2x

dx

2

=

du 1 u+a 2 dx 1 1 1 = ln +c = = 2 1 2 x 2 2 2 (1) ln 2a u a u 2 a 2 = 1 a = 1 2 x +1 u 2 = 2 x 2 ; u = 2 x; du = 2 dx = 1 ln +c 2 2 2 x 1

a

2

(

)

+ c 2 x 1 2 x +1

3 dx 3) = = 2 x2 5 2 x2 5

3dx

u a u 2 = x 2 ; u = x; du = dx a 2 = 5; a = 52 2

du

= ln u + u 2 a 2 + c

( dx) 3 x2 5 2 3 = ln x + x 2 5 + c 2=

4)

4x

dx 2x + 42

1 a + u2 + a2 du = ln +c u u2 + a2 a u 1 = u 2 = 2 x 2 ; u = x 2; a = 4;2

du = 2 dx

a =2

1 ( 2) 1 ( x 2 ) 2 x 2 + 4 2 dx 4 ( 2) 1 1 2 + 2x 2 + 4 = ln + c 4 2 x 2 2 1 2 + 2x + 4 = ln +c 8 x 2 =

(

)

4

Integral tipo : a u du2 2

5)

16

3x 2 dx = 5

a 2 = 16; a = 4 u2 = du =3x2 5 3 5

; u=x dx

3 5

5 3x 2 3 16 dx 3 5 5 3 2 x 5 x 3 5 3x 16 = 16 + arcsen 5 + c 3 2 5 2 4 2 x 3x 5 x 3 = 16 + 8 arcsen +c 2 5 3 4 5 =

4

6)

3dx x 2x + 52

x 2 x + 5 = ( x 1) + ?2 2

Integral tipo : = 3 dx

1 u + a22

du

dx =

= x 2 2x +1 + 4 = ( x 1) + 42

( x 1)

2

+4

u 2 = ( x 1) 2 ; du = dx ;2

u = x 1 a=2

a = 4;

4

= 3 ln ( x 1) + ( x 1) 2 + 4 + c = 3 ln x 1 + x 2 2 x + 1 + c

(

)

4

2 x 2 8x +1 = 2 x 2 4 x + 1 2 7) 5dx 2 x 2 8 x + 1 dx = = 2 ( x 2) ?2

(

)= 5 dx ( x 2) 2 7

= 2 x 4x + 4 72

= ( x 2) 72

(

)

1 du u a2 u 2 = ( x 2) 2 ; u = x 2 Integral tipo : 2

du = dx ;

a 2 = 7;

a= 7

4

1 ( x 2) ( 7 ) 5 x2 7 = 5 ln + c = ln +c 2 7 2 7 ( x 2) + ( 7 ) x2+ 7

( )

Ejercicios: Tipo I. Integrar por tabla de frmulas de integracin que contienen las formas funciones:

a 2 u 2 , las siguientes

1) 2)3)

4x

3dx 2 +3

4) 5)6)

3x

2dx 2 8 2dx

7) 8) 9)

x

3dx 4x 2 4 x 2 + 2 x + 5 dx 2 x 2 4 dx

dx 4x 2 3

2 x 2 16dx 16 9 x2

4 9x

dx

2

Clase: 2.2 Tcnica de integracin por cambio de variable. Gua: - Tcnica de integracin por cambio de variable. - Mtodo de integracin por cambio de variable. - Ejemplos. - Ejercicios.

Tcnica de integracin por cambio de variable:

S tenemos

f ( x)dx

y asignamos a

u

una parte de

f (x)

f ( x)dx = f (u )dudu = g ' ( x )dx

De otra forma: S

f ( g ( x) g ' ( x))dx = F ( g ( x)) + c y s u = g (x) y f ( g ( x) g ' ( x))dx = f (u )du = F (u ) + c

4

Mtodo de integracin por cambio de variable: 1) Obtener: a) A una parte de la funcin darle el valor de b) A partir de u obtener x. c) A partir de

u; x; y dx.

u.

x

obtener

dx. u.

2) Hacer cambio de variable. Nota: todo el resultado debe de estar en trminos de 3) Integrar. 4) Sustituir u por su valor original. Nota: Todo el resultado debe de estar en trminos de

x.

Ejemplos:4 5 3 2 1 = 3 x 2 + 1 ( 2 xdx ) = x +1 + c 10 2

1)

3x ( x

2

+ 1) 4 dx =

Por la frmula de funciones que contienen " u" Por cambio de var iable

(

)

(

)

x 2 +1 = u = x = u 1 du dx = 2 u 1

du 3 = u 4 du 2 u 1 2 5 3 5 3 2 = u +c = x +1 + c 10 10 = 3 u 1( u )4

(

)

2)

2

3x dx = 4x 1

4x 1 = u u +1 x= 4 du dx = 4

u +1 1 3 3 4 du = 3 u + 1 du = 3 = u du + u 2 du 2 32 32 u 4 32 u 1 3 1 3 = (u ) 3 + u +c = (4 x 1) 3 + 4x 1 + c 16 16 16 16

u = 1 2 x; du = 2dx 5 1 u 5 du 5 3) 5 x (1 2 x ) dx = = 5 u = ( (1 u ) u du 1 u du 4 x= ; dx = 2 2 2 25

5u 6 5u 7 5 (1 2 x ) 5 (1 2 x ) 5 5 6 = ( u u ) du = + +c = + +c 4 4 (6) 4 (7) 24 286 7

4

u = 2 x 1; du = 2dx 4) x 2 x 1 dx = = u +1 du x= ; dx = 2 25 3

u + 1 du 1 u = ( (u + 1) u du 2 2 4 ( 2 x 1) 5 (2 x 1) 3 + +c 10 6

3 1 1 2 1 u2 1 u2 u5 u3 u + u 2 du = = + +c = + +c = 4 4 5 4 3 10 6 2 2

Ejercicios:

4

Tipo I. Por la tcnica de integracin por cambio de variable; integrar las siguientes funciones:

1) 2)

(x x

2

+ 1) 4 3x dx x 2 1 dx

3) 4)

3x

5 x +1 dx

5) 6)

2 x ( 2 5x ) 5

7

dx

x dx 2x 1

2x dx 3 4x

Clase: 2.3 Tcnica de integracin por partes. Gua: - Tcnica de integracin indefinida por partes. - Requisitos para poder integrar por partes. - Recomendaciones. - Aplicaciones. - Mtodo de integracin por partes. - Ejemplos. - Ejercicios.

Tcnica de integracin por partes: Sean: -

u, v

S

d (uv ) = udv + vdu

funciones de la misma variable independiente. es el diferencial del producto

S

udv = d (uv) vdu udv = d (uv) vdu

uv .Llamada frmula de integracin por partes.

udv = uv vdu

4

Y por parfrasis matemtica:

v du = v u u dvdv . dv .

Requisitos para poder integrar por partes: 1) Siempre

dx

debe ser una parte de

2) Siempre debe ser posible integrar Recomendaciones: 1) Si no hay producto 2) Elegir como Aplicaciones:

u dv

entonces formarlo haciendo dv

= dx. .

dv

a la funcin que tenga apariencia ms complicada.

Se aplica en algunas integrales que contienen productos de funciones, como: 1) 2) 3) 4) 5) Algebraicas y algebraicas. Algebraicas y trigonomtricas. Algebraicas y logartmicas. Algebraicas y exponenciales. Trigonomtricas inversas.

Mtodo de integracin por partes: 1) Seleccione 2) A partir de 3) A partir de

u y dv . "u" obtener du .

4) Sustituir 5) Nuevamente integre; el proceso puede ser reiterativo.

dv obtener v = dv . u , v, y du en la frmula de integracin por partes.

Ejemplos:

Por la frmula que contiene x n 1)

= x 2 dx =

3

2 5 x +c 5

x

x dx =

Por int egracin por partes

2 3 2 u = x; dv = x dx; du = dx = ( x) x 3 x dx 3 3 2 3 v = dv = x dx = x 3 2 5 4 2 5 = x x5 + c = x +c 3 15 5 =

udv = uv vdu

4

2)

2 x cos x dx =

u = 2 x; dv = cos x dx v = dv = cos x dx = sen x + c du = 2dx

udv = uv vdu

= ( 2 x )( sen x ) ( sen x ) ( 2dx )

= 2 xsenx 2 senx dx = 2 x sen x 2( cos x + c ) = 2 x sen x + 2 cos x + c

3)

2 x ln 3x dx ==

u = 2 x; du = 2dx

udv = uv vdu

v = dv = ln 3 x dx = x ln ( 3x 1) + c se sugiere cambio en orden de funciones

= ln 3 x 2 x dx

u = ln 3 x; du = 1 dx x v = 2 xdx = x 2 + c

x2 1 = (ln 3x )( x 2 ) ( x 2 ) dx = x 2 ln 3 x x dx = x 2 ln 3 x +c 2 x

4)

xe

2x

dx =

u = x; dv = e 2 x dx

udv = uv vdu

1 v = dv = e 2 x dx = e 2 x + c 2 du = dx

1 1 1 1 = ( x ) e 2 x e 2 x dx = xe 2 x e 2 x + c 2 4 2 2

4

5) Por la tcnica de integracin por partes, integrar:

arcsen 2 x dx

4

estrategia : arcsen 2 x dx = tome a dx como una funcin

u dv = uv v du= u = arcsen 2 x; du = 2 1 4x 2 dx v = dv = dx = x + c

1 2 1 = ( arcsen 2 x )( x ) ( x ) dx = x arcsen 2 x 2 (1 4 x ) 2 ( 8 x dx ) 2 8 1 4x 1 1 (1 4 x 2 ) 2 1 = x arcsen 2 x + + c = x arcsen 2 x + 1 4x 2 + c 1 4 2 2

4

6)

1 1 = (3e x ) cos 2 x cos 2 x (3e x dx ) 2 2 3e sen 2 x dx = u = 3e ; du = 3e dx 3 x 3 x v = dv = sen 2 x dx = 1 cos 2 x + c = 2 e cos 2 x + 2 e cos 2 x dx 2x x x

udv = uv vdu

3 = e x cos 2 x + 2

u = 3 e x ; du = 3 e x dx 2 2 3 x 3 x 1 1 3 x 2 e cos 2 xdx = v = cos 2 xdx = 1 sen 2 x + c = 2 e 2 sen 2 x 2 sen 2 x 2 e dx 2 3 3 3 sen 2 x = e x cos 2 x + e x sen 2 x e x sen 2 xdx 2 4 4 3 x 3 x 3 3 e x sen 2 xdx + e sen 2 xdx = e cos 2 x + e x sen 2 x 4 2 4 15 x 3 x 3 x e sen 2 xdx = e cos 2 x + e sen 2 x 4 2 4 S

3e

x

3 3 3 = e x cos 2 x + e x sen 2 x e x sen 2 xdx = 2 4 4

15 x 3 x 3 x e sen 2 xdx = 2 e cos 2 x + 4 e sen 2 x 4 = 4 3 3 3e x sen 2 xdx = e x cos 2 x + e x sen 2 x 5 2 4 SEjercicios:

6 3 = e x cos 2 x + e x sen 2 x + c 5 5

Tipo I. Por la tcnica de integracin por partes; integrar las siguientes funciones

1) 2) 3) 4)

x cos x dx2x 3 sen 5x dx

5) 6) 7) 8)

xe

ax

dx3

9) 10) 11) 12)

arc sen x dx 4 arc cos 2 x dx arc tg 2 x dx 3 arc tg 4 dx2 x

2 xe

x

dx dx

3x ln 2 x dx 2 x ln (1 x) dx

2x e

2 3x

3x cos 2 x dx

Clase: 2.4 Tcnica de integracin del seno y coseno de m y n potencia. Gua: - Anlisis de la Tabla: Tcnica de integracin del seno y coseno de m y n potencia. - Mtodo de integracin del seno y coseno de m y n potencia. - Tabla: Tcnica de integracin del seno y coseno de m y n potencia. - Ejemplos. - Ejercicios.

Anlisis de la tabla: Mtodo de integracin del seno y coseno de m y n potencia. Al observar la tabla Mtodo de integracin del seno y coseno de m y n potencia; que a continuacin se presenta obtenemos lo siguiente: Resultado del anlisis: 1) Existen 3 tipos de integrales. 2) Cada forma de integral presenta casos que se caracterizan por las potencias de las funciones.

4

3) Para cada forma y caso se dan las recomendaciones de sustituir, aplicar y/ desarrollar.

TIPOCASOS

RECOMENDACION

FORMA I. II. III.

Para:m n

myn

sen cosm

Z+

SUSTITUIR, APLICAR Y/ DESARROLLAR

u du u du

sen

u cos n u du

Mtodo de integracin del seno y coseno de m y n potencia: 1) Identifique la integral del problema planteado con la forma y caso de la integral de la tabla. 2) Sustituya, aplique y/ desarrolle las recomendaciones. Notas: a) Es posible, que en un mismo problema despus de aplicar las recomendaciones de la forma identificada, el resultado nos lleve a otra integral, donde de nuevo tengamos que repetir el mtodo. b) Cuando se agotan las recomendaciones dadas, y el resultado es una nueva integral, se supone que sta integral, ya es del dominio de quien aplica el mtodo. c) Si dos mas casos son aplicables a una integral, entonces use el caso de la funcin de menor potencia. d) Cuando en una recomendacin resultan sumas y/ restas, primero se hacen las operaciones de suma y/ resta y se separan las integrales antes de seguir adelante. e) En un grupo de integrales se recomienda no integrar hasta que todas las integrales sean directamente solucionables.

Tabla: Mtodo de integracin del seno y coseno de m y n potencia.

TIPOCASOS

RECOMENDACION

FORMA

Par