Котельников А.Г.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Часть I

ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Конспект лекций

2

ЛЕКЦИЯ 1

ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ.

Содержание теории электрических цепей как прикладной науки составляют задачианализа и синтеза электрических цепей, т.е. анализа свойств заданных электрических цепей ипостроения электрических цепей с заданными свойствами. Содержание данного курсаограничено изучением анализа установившегося режима линейных электрических цепей ссосредоточенными параметрами.

Электрическая цепь, совокупность различных устройств и соединяющих ихпроводников (или элементов электропроводящей среды), по которым может протекатьэлектрический ток.

Линейная электрическая цепь, электрическая цепь, состоящая только из элементовс линейными характеристиками. Для линейной цепи выполняется принцип суперпозиции.

Процессы, протекающие в электрических цепях, могут быть описаны при помощипонятий об эдс, токе и напряжении.

Электродвижущая сила (эдс), величина, характеризующая источник энергиинеэлектрической природы в электрической цепи, необходимый для поддержания в нейэлектрического тока. Эдс численно равна работе по перемещению единичногоположительного заряда вдоль замкнутой цепи. Полная эдс в цепи постоянного тока равнаразности потенциалов на концах разомкнутой цепи. Эдс индукции создается вихревымэлектрическим полем, порождаемым переменным магнитным полем.

∫Ε=а

бсторстор Bde ,l , ∫Ε=

а

биндинд Bde ,l

сторΕ - сторонняя напряженность электрического поля;

индΕ - напряженность электрического поля, обусловленная изменениемэлектромагнитной индукции.

Электрический ток, направленное (упорядоченное) движение заряженных частиц:электронов, ионов и др. Условно за направление электрического тока принимаютнаправление движения положительных зарядов.

Сила тока, равна электрическому заряду, проходящему через поперечное сечениепроводника в 1 с.

Аtqdtdti ),()( = .

Если необходимо учесть неравномерность распределения тока по сечениюпроводника, то

Adti ,)( ∫=S

SJ , где J -плотность тока, 2мA .

Напряжение, то же, что разность потенциалов между двумя точками электрическойцепи; на участке цепи, не содержащей электродвижущую силу, равно произведению силытока на сопротивление участка.

Разность потенциалов между двумя точками, равна работе электрического поля поперемещению единичного положительного заряда из одной точки поля в другую.

∫ Ε+Ε=−=а

биндпотбaаб Bdu ,)( lϕϕ

потΕ - потенциальная напряженность электрического поля, создаваемаяраспределением электрических зарядов и выражаемая законом Кулона.

3

Потенциал, равен работе электрического поля по перемещению единичногоположительного заряда из бесконечности в данную точку поля.

∫∞

Ε+Ε=а

индпотa Bd ,)( lϕ

Напряжение и ток есть величины алгебраические, т.е. они имеют знак и поэтому дляих определения необходимо установить направление для отсчета положительного значениявеличины. В ТОЭ для токов и напряжений это делается с помощью стрелочек на схеме.

В ТОЭ принято мгновенную величину тока, напряжения и потенциала обозначатьстрочными буквами латинского алфавита

i или i(t), u или u(t), ϕ или )(tϕ .Описание электрической величины мгновенной величиной даёт представление о

значении величины в любой момент времени. Мгновенную величину можно наблюдать спомощью осциллографа.

Анализ реальной электрической цепи осуществляется над её электрической схемой.Следует различать принципиальную электрическую схему и расчётную схему см. пример нарис. 1.1. Иначе расчётную схему ещё называют схемой замещения или схемной моделью.

Электрическая схема, графическое изображение электрических цепей электронных,электро- или радиотехнических устройств, на котором условными обозначениями показаныэлементы данного устройства и соединения между ними.

а) Принципиальная схема транзисторного усилителя переменного сигнала.б) Схема замещения транзисторного усилителя переменного сигнала сиспользованием линейной модели транзистора и модели совершенноготрансформатора в режиме по переменному току.

Рис. 1.1.Схемной модели ставится в соответствие математическая модель, над которой можно

проводить вычисления электрических величин (токов, напряжений и др.). Именно такаяработа, в основном, ждёт нас в курсе ТОЭ. Получение схемной модели устройства (объекта),получение его математической модели и выполнение вычислительных операции над ней сцелью обнаружения свойств - всё это объединяется понятием моделирование. Переход отреальной цепи к её схеме осуществляется с принятием ряда допущений, призванныхотбросить всё несущественное и сохранить те особенности объекта, которые отражаютосновные, интересные в данном исследовании связи и свойства объекта. Схема являетсярезультатом абстрагирования, идеализацией реальной цепи.

Моделирование - исследование каких-либо явлений, процессов или систем объектовпутем построения и изучения их моделей. Использование моделей для определения илиуточнения характеристик и рационализации способов построения вновь конструируемыхобъектов. Моделирование — одна из основных категорий теории познания: на идее

4

моделирования по существу базируется любой метод научного исследования — кактеоретический (при котором используются различного рода знаковые, абстрактные модели),так и экспериментальный (использующий предметные модели).

Элементы электрических цепей.Существует всего два типа элементов цепей – источники (активные элементы) и

потребители или приёмники (пассивные элементы) электрической энергии.Источники

Эдс - источник напряжения, т.е. источник электрической энергии, у которогонапряжение на зажимах не зависит от протекающего тока.

u(t)=e(t)i(t)

e(t)

Рис. 1.2. Обозначение эдс на схемахцепей.

e

i

u

Рис. 1.3. Вольт-ампернаяхарактеристика источника напряжения

Источник тока – это источник электрической энергии, ток через который не зависитот нагрузки, т.е. напряжения возникающего на его зажимах.

u(t))()( titi ист=

)(tiист

Рис. 1.4. Обозначение источника токана схемах.

истii

u

Рис. 1.5. Вольт-ампернаяхарактеристика источника тока.Приёмники

Резистор (активное сопротивление) – элемент, при протекании через которыйэлектрического тока происходит необратимое преобразование электрической энергии втепловую энергию.

u

i

Ri

u

Рис. 1.5. Вольт – ампернаяхарактеристика линейного резистора.

Связь напряжения на зажимахрезистора с током определяется покомпонентному уравнению

Riu = - закон Ома (Г. С. Ом, 1826 г.),Gui =

R – сопротивление резистора, Ом;

G- проводимость , Ом1 или См

(Сименс).

5

Индуктивность (реактивное сопротивление, катушка, дроссель) – элемент,способный энергию источников цепи накопить в виде энергии магнитного поля

ψ

i

Li

u

Рис. 1.6. Вебер – ампернаяхарактеристика линейнойиндуктивности.

Li=ψψ –потокосцепление, Вб (Вебер);

L- индуктивность , Гн (Генри).

Связь между напряжением и током определяетсяпо компонентному уравнению

idtdL

dtdu == ψ - закон электромагнитной

индукции (Фарадей, 29 августа 1831 г.),

∫ +=t

idttuL

ti0

)0()(1)( .

Ёмкость (реактивное сопротивление, конденсатор) - элемент, способный энергиюисточников цепи накопить в виде энергии электрического поля.

С

Клq,

u, B

i

u

Рис. 1.6. Кулон – вольтнаяхарактеристика линейногоконденсатора.

Cuq =q –заряд, Кл (Кулон);С- ёмкость , Ф (Фарад).

Связь между напряжением и током определяетсяпо компонентному уравнению

),()()( tudtdCtq

dtdti ==

∫ +=t

udttiC

tu0

)0()(1)( .

Топология электрической цепи.При анализе для определения топологии цепи используют ряд понятий.Ветвь – участок цепи, состоящий из последовательно включённых элементов с одним

и тем же током.Узел - место или точка соединения двух и более ветвей.Контур – любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, при этом

каждый узел в рассматриваемом контуре встречается не более одного раза.Независимый контур – контур, который нельзя получить комбинацией ранее

выбранных контуров. У независимого контура имеется хотя бы одна ветвь непринадлежащая другим конурам.

Граф электрической цепи – условное изображение цепи, на котором ветви показанылиниями, узлы – точками. Нумерация ветвей и узлов делается арабскими цифрами, а для ихразличия номера узлов обводят кружком. Ветви и узлы нумеруются произвольно, начиная спервой, а узлы начинают нумеровать с 0. Замечание. Источники тока в граф не входят.

Дерево графа – часть графа, не имеющая ни одного контура и включающая все узлы.Связи графа (хорда) – ветви не входящие в дерево графа.Если возникают трудности при выборе независимых контуров, то следует изобразить

на графе цепи дерево и затем путём добавления к нему связей получить набор независимых

6

контуров. Число независимых контуров, таким образом, определяется по топологическойформуле

1+−= gpn , где (1.1)n – число независимых контуров;p – число ветвей;g – число узлов.

а) Расчетная схема усилителя переменного сигнала.б) Граф схемы.

Рис. 1.7.При изображении графа было принято объединить ветви резисторов R1, R2 в одну

ветвь и ветви дерева изобразить жирными линиями. В цепи имеются четыре независимыхконтура: 41471 =+−=+−= gpn .

Основные законы электрических цепей.Закон Ома. Для участка электрической цепи (проводника), не содержащего

источников электродвижущей силы, устанавливает связь между силой тока в проводнике иразностью потенциалов (напряжением) на его концах: сила тока прямо пропорциональнанапряжению и обратно пропорциональна сопротивлению проводника.

uR

i 1= .

Законы Кирхгофа. Они были установлены опытным путём немецким физиком Г. Р.Кирхгофом в 1847 г. Законы Кирхгофа позволяют рассчитывать любые электрические цепипостоянного и квазистационарного тока.

Согласно первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма сил токов в точкеразветвления проводников (узле) равна нулю

0=∑ I . (1.2)Согласно второму закону Кирхгофа, алгебраическая сумма падений напряжений на

отдельных участках контура, произвольно выделенного в сложной разветвленной цепи,равна алгебраической сумме электродвижущих сил в этом контуре

∑ ∑= EU . (1.3)Поскольку источник эдс всегда можно представить его напряжением, то

употребляется также иная формулировка второго закона Кирхгофа:алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках контура,

произвольно выделенного в сложной разветвленной цепи, равна 0, т. е.∑ = 0U . (1.4)

На основе уравнений Кирхгофа получим интегро-дифференциальные уравнения длянахождения токов в ветвях схемы на рис. 1.7. а.

Узел 0: 076421 =+++− iiiii ;Узел 1: 021 =−− бiii ;Узел 2: 054 =++− бб iiii β ;

7

Узел 3: 0765 =+−− бiiii β ;

Контур I: )(21211 teiRuri C =++ ; )()0(1

12121

011 teiRudti

Cri C

t

=+++ ∫ ;

Контур II: 04212 =++− iriRiR эбб ;

Контур III: 0154 =++− Lkэ uiRir ; 06154 =++− idtdLiRir kэ ;

Контур IV: 0)( 72

2

11 =− i

ww

Ru HL ; 0)( 72

2

161 =− i

wwRi

dtdL H .

Среди полученных уравнений независимыми будут четыре уравнения по второмузакону Кирхгофа и три уравнения по первому закону Кирхгофа. Одно из уравнений попервому закону Кирхгофа может быть получено из уравнений для других узлов и поэтомуне является независимым.

021 =−− бiii ,054 =++− бб iiii β ,

0765 =+−− бiiii β ,

)()0(1

12121

011 teiRudti

Cri C

t

=+++ ∫ , (1.5.)

04212 =++− iriRiR эбб ,

06154 =++− idtdLiRir kэ ,

0)( 72

2

161 =− i

wwRi

dtdL H .

Решая совместно семь независимых уравнений, находим токи ветвей.Обобщённый закон Ома (закон Ома для участка цепи с эдс). Для участка цепи с эдс

ток может быть найден по формуле (1.5)

0=++− абeR uuu , 0=++− абueRi ,

R

eui аб += .

В общем случае

∑∑+=R

eui аб (1.5)

Правило. Чтобы определить ток на участке цепи с эдс необходимо:1) Из потенциала точки, от которой “уходит” ток, вычесть потенциал точки куда он

“входит”.2) К полученной разнице прибавить эдс, если она направлена по току или вычесть эдс,

если она направлена против тока.3) Полученный результат разделить на суммарное сопротивление участка.

8

ЛЕКЦИЯ 2

АНАЛИЗ УСТАНОВИВШЕГОСЯ СИНУСОИДАЛЬНОГО РЕЖИМА ЦЕПИ.Если в цепи действуют источники синусоидальной формы одной частоты и нас

интересует только установившийся режим, то решение системы интегро-дифференциальныхуравнений Кирхгофа относительно токов ветвей может быть сведено к решению системыалгебраических уравнений. Такое упрощение анализа цепи возможно за счёт свойствалинейности.

Интерес к установившемуся режиму цепей синусоидального тока обусловлен рядомпричин. Во – первых, вращающиеся электрические машины электрических станцийвырабатывают напряжение синусоидальной формы.

Рис. 2.1. Модель генератора переменного напряжения.Во – вторых, элементы линейных цепей не искажают сигналы синусоидальной

формы. Покажем это, но сначала охарактеризуем синусоидальную величину.Кривая значения, которой изменяются по синусоидальному закону, может быть

получена, как проекция конца вектора вращающегося с постоянной частотой на равномернодвижущуюся под ним плоскость рис. 2.2.

mU - амплитуда синусоидальной функции;ϕω +t - фаза синусоидальной функции [рад], [град];

ϕ - начальная фаза синусоидальной функции [рад], [град];t – независимая переменная (время) [c];

fπω 2= - угловая (круговая частота) [срад ] или [

сград ];

Tf 1= - циклическая частота [Гц]; Т – период [c];

Рис. 2.2.В электроснабжении напряжение принято характеризовать величиной его

действующего значения. Частота во всей энергосистеме страны относительно постоянна ипримерно равна f=50 Гц (T=0.02c=20мс). Под действующим значением понимается величинавычисляемая по формуле

9

dtuT

UTt

t

21∫+

= .

Для синусоидального сигнала величина действующего значения в 2 раз меньше егоамплитудного значения.

=+= ∫+

dttSinUT

UTt

tm

2))((1 ϕω

.2

))22(21()22(1(

211

0

22 m

Tt

t

Ttt

t

mTt

tm

UdttCosdt

TU

dttCosUT

=+−=+− ∫ ∫∫+ ++

444 3444 21

ϕωϕω

Для измерения действующего значения тока и напряжения используют, например,стрелочные амперметры и вольтметры с электромагнитной системой измерительногомеханизма.

Отклик элементов R, L, C на синусоидальное воздействие.Ri

u

Пусть на зажимах резистора будет задан ток)( im tSinIi ϕω += , тогда его реакцией будет напряжение

)( imR tSinIRu ϕω +⋅= . R – активное сопротивление.

Li

u

Пусть на зажимах катушки будет задан ток)( jmL tSinIi ϕω += , тогда её реакцией будет напряжение

=++=++

=+=+

==

)2

()2

(

)()(

πϕωπϕωω

ϕωωϕω

imLim

imim

L

tSinIXtSinLI

tCosLIdt

tSinIdLidtdLu

).2

( πϕω ++= im tSinU LX L ω= - реактивное индуктивное

сопротивление,Сi

u

Пусть на зажимах конденсатора будет задано напряжение)( umC tSinUu ϕω += , тогда его реакцией будет ток

== udtdCiC =+=

+ )()(um

um tCosCUdt

tSinUdC ϕωωϕω

=++=++ )2

(1)2

( πϕωπϕωω umC

um tSinUX

tSinCU

)2

( πϕω ++ um tSinI . C

X C ω1

= - реактивное ёмкостное

сопротивление.Вывод. Элементы линейной цепи обладают свойством поддерживать синусоидальный

режим. Для амплитуд и действующих значений синусоидальных токов и напряженийвыполняется соотношение аналогичное закону Ома:

mRm RIU = , RIU R = ,

mLLm IXU = , IXU LL = ,

mCCm IXU = , IXU CC = .

10

Этот вывод позволяет нам для анализа установившегося режима цеписинусоидального тока свести систему интегро-дифференциальных уравнений, полученныхпо законам Кирхгофа, к системе алгебраических уравнений.

Рис. 2.3.

=+−

=+++

=+−−

∫

0

,)0(1

,0

322

220

111

0321

idtdLiR

eiRudtiC

iR

iiii

C

t

,

Пусть )()( tSinUte m ω= , )()( 0ϕω += tSinItio mo и 0)0( =Cu , тогда

=+++−=+++−+

=+++−+−+

0)()()()()()(0)()()()(

33222

22211111

00332211

ϕωϕωωϕωϕωϕω

ϕωϕωϕωϕω

tCosIXtSinIRtSinUtSinIRtCosIXtSinIR

tSinItSinItSinItSinI

mLm

mmmCm

mmmm

.

Для двух моментов времени kTt =1 и TkTt α±=2 , где )25.0..0(=α и...,3,2,1,0=k ,∞ получаем систему уравнений для неизвестных амплитуд и начальных фаз

токов ветвей. Пусть k=0, а 25.0=α , тогда

=−−=+++

=+−−

=+−=+−

=+−−

0)()()()()(

0)()()()(

0)()(0)()()(

0)()()()(

33222

22211111

00332211

33222

22211111

00332211

ϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

SinIXCosIRUCosIRSinIXCosIR

CosICosICosICosI

CosIXSinIRSinIRCosIXSinIR

SinISinISinISinI

mLm

mmmCm

mmmm

mLm

mmCm

mmmm

Эту систему алгебраических уравнений в принципе можно решить относительношести неизвестных, но на практике такой способ анализа не имеет применения из–засложности решения системы нелинейных уравнений большого порядка. За изобретениеболее удобного способа анализа установившегося режима цепей синусоидального тока мыобязаны американскому инженеру немецкого происхождения Чарлз П. Штейнметцу (1865-1923). В 1893 году он предложил так называемый комплексный метод расчётасинусоидальных режимов, который даёт математическую модель цепи в виде системылинейных алгебраических уравнений, но об этом методе в следующей лекции.

11

ЛЕКЦИЯ 3

КОМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД РАСЧЁТА СИНУСОИДАЛЬНЫХ РЕЖИМОВ.

Определение установившегося режима цепи синусоидального тока, как было показанов предыдущей лекции, заключается в нахождении амплитуд и начальных фаз токов ветвейсхемы. Действительно, синусоидальные функции одной частоты отличаются друг от другапо двум параметрам: амплитуде и фазе.

Рассмотрим два вектора на комплексной плоскости рис. 3.1.

А, В – модуль векторов A& и B& .aϕ , bϕ - аргумент векторов A& и B& .

Рис. 3.1.

Комплексное число задаёт вектор наплоскости.

βϕϕ jbCS BeBjbbB =∠=+=&

αϕϕ jaCS AeAjaaA =∠=+=&

)(,

)(,

22

22

S

CaCS

S

CbCS

aaArctgaaA

bbArctgbbB

=+=

=+=

ϕ

ϕ

)(),()(),(

aSaC

bSbC

SinAaCosAaSinBbCosBb

ϕϕϕϕ

⋅=⋅=⋅=⋅=

Отличие этих векторов друг от друга то же определяется двумя параметрами либомодулем и аргументом, либо величиной проекции на действительную и мнимую осикомплексной плоскости. Используя эту аналогию, можно отобразить синусоидальнуювеличину на комплексную плоскость в виде вектора. Оригинал Изображение

ϕωϕω ∠= →+ mmm UjUtSinU )()( & - комплекс амплитудного значения,или

ϕωϕω ∠= →+⋅ UjUtSinU )()(2 & - комплекс действующего значения.Посмотрим, к каким изменениям на комплексной плоскости приводят операции над

оригиналами во временной области.Сложению синусоидальных функций в области действительного переменного t,

соответствует операция сложения векторов.)( 111 ϕω += tSinUu m

)( 222 ϕω += tSinUu m

2121 UUuu && +→+)()()()( 2221221121 CCSSCSCS uujuujuujuuUU +++=+++=+ &&

Смещение во времени оригинала приводит к повороту вектора)(2)(1 ϕω +⋅= tSinUtu

)()( 012 ttutu +=ϕϕ jUeUUu =∠=→ 11

&

).( 0

)(122

0

tUeUUu tj

ωϕ

ω

+∠==→ &&

αje - вектор поворота.Умножению оригинала на константу приводит к умножению вектора на константу.

12

)( ϕω += tSinUu m

Uu &×→× ααИзображение элементов R, L, C в комплексной области.

Отобразим ток и напряжение на элементах R, L, С на комплексную плоскость,воспользуемся законом Ома в комплексной форме и получим схемное изображениеэлементов R, L, С в комплексной области.

Оригинал ИзображениеR

Ri

Ru

)( ϕω += tSinIi RmR

)()( ϕωϕω +=+= tSinUtSinRIu RmRmR

RRI&

RU&

ϕjRR eII =&

ϕjRR eRIU =&

=RU& Z RR I&

Z RI

U

R

RR ==

&

&

Z RR= - активное комплексноесопротивление

LLi

Lu)( ϕω += tSinIi mL

LL idtdLu =

)2

()( πϕωωϕω ++=+

=

tSinLItSinU

u

LmLm

L

LjXLI&

LU&ϕj

LL eII =&

)()(

)2

()(

)2

(

))2

()2

(( ϕϕ

πϕ

πϕ

ωππω

ω

ω

jL

jL

jjL

j

LL

eLIjjSinCoseLI

ЭйлераформулепоeeLI

eLIU

=+

=

==+&

=LU& Z LL I&

LL

LL jxLj

IUZ === ω&

&

Z =L Ljx -комплексное индуктивноесопротивление

13

СCi

Cu)( ϕω += tSinUu mL

CC udtdCi =

)2

()( πϕωωϕω ++⋅=+ tSinUCtSinI CmCm

CjX−CI&

CU&ϕj

CC eUU =&

ϕϕ

πϕ

πϕ

ωππω

ω

ω

jC

jC

jjC

j

CC

eCUjjSinCoseCU

ЭйлераформулепоeeCU

eCUI

=+

=

==+

))2

()2

((

)2

()(

)2

(&

=CU& Z CC I&

Z C CjC

jC

C

C jxeCUj

eUI

U−=== ϕ

ϕ

ω&

&

Zс Cjx−= -комплексное ёмкостноесопротивление.

Используя комплексные схемы замещения элементов R, L, C, отобразим схему на рис.2.3. в комплексную область и составим для неё систему уравнений по законам Кирхгофа.

→

;0

,)0(1

,0

322

220

111

0321

=+−

=+++

=+−−

∫

idtdLiR

eiRudtiC

iR

iiii

C

t→

;0

,)(

,0

322

22111

0321

=+−

=+−+

=+−−

IjxIR

EIRIjxIR

IIII

L

C

&&

&&&&

&&&&

Вывод: Для расчета установившихся токов в ветвях цепи синусоидального токанеобходимо построить комплексную схему замещения цепи (отобразить исходную схему вкомплексную область), составить систему линейных алгебраических уравненийотносительно комплексов токов, рассчитать их и затем перейти во временную область поформуле обратного комплексного преобразования

)(2 ϕωϕ +⋅ →∠= tSinUUU& .

Алгебраические операции над комплексными числами.При решении системы уравнений потребуется выполнять алгебраические операции

над комплексными числами. Вспомним соответствующий раздел высшей математики.Сложение (вычитание) комплексов осуществляется в алгебраической форме записи

чисел.

14

)()( 212121

222

111

SSCC

SC

SC

uujuuUU

juuU

juuU

+±+=±

+=

+=

&&

&

&

Умножение (деление) комплексов проще осуществляется в показательной илиполярной форме записи чисел.

22

*

2122

22

21212121

2222

2211

22

11

2

1

2

1)(

2

1

2

1

21)(

2121

22222

11111

)()(

))(())((

)(

)(

UUU

uuuuuujuuuu

juujuujuujuu

juujuu

UU

UUe

UU

UU

UUeUUUU

UeUjuuU

UeUjuuU

SC

CSSCSSCC

SCSC

SCSC

SC

SC

j

j

jSC

jSC

&

&

&

&

&

&&

&

&

=+

+++=

=−+−+

=++

=

−∠==

+∠×=×=×

∠==+=

∠==+=

−

+

βα

βα

β

α

βα

βα

β

α

−*

2U комплексно-сопряженное число)(

222

*

2β−=−= j

SC eUjuuUПереход от показательной формы записи к алгебраической

)(),(,

αα

α

USinuUCosuгдеjuuUe

SС

SCj

==+=

Переход от алгебраической формы записи к показательной

<<+

><−

<>−

>>

=+=

=+

00),(

00),(

00),(

00),(

,

,

22

SCC

S

SCC

S

SCC

S

SCC

S

SC

jSC

uиuприuu

Arctg

uиuприuu

Arctg

uиuприuu

Arctg

uиuприuu

Arctg

uuU

гдеUejuu

π

πα

α

Пример 3.1.

0

0

0

135

45

290

2101010

2101010

111

j

j

jj

ej

ej

jj

jee

=+−

=+

−=

==π

Пример 3.2.

15

Дано:

вE

aI

ОмxОмxRR

L

C

,0100

,4511

10

0

00

21

∠=

∠=

====

&

&

Найти ?3 −I&

;0

,)(

,0

322

22111

0321

=+−

=+−+

=+−−

IjxIR

EIRIjxIR

IIII

L

C

&&

&&&&

&&&&

Решение:

;01010

,10010)1010(

,451

32

21

0321

=+−

=+−

∠−=−−

IjI

IIj

III

&&

&&

&&&

Выразим из третьего уравнения ток 2I& и подставим его в первое уравнение. Сложимвторое с третье уравнением, выразим из полученной суммы ток 1I& и его подставим в первоеуравнение. Вычислим ток 3I& .

;2

125

2125

21010100

101010100

;

313545

3))45(90())45(0(

453

02

1

32

00

0000

0

0

Iee

Iee

eIje

jII

IjI

jj

jj

j

j

&

&

&&&

&&

−=

=−=

=−

=−−

=

=

−−−−

−

0333

13545

0321

4512

125

45100

∠−=−−−

∠−=−−

IIjIee

III

jj &&&

&&&

)2

12

1()21

21()1(5 333 jIIjIjj +−=−−+−−+ &&&

).252(4

522

)23

21(

)52

1(2

15

)52

1(2

15)23

21(

3

3

+−+=−−

−−+−−=

−−+−−=−−

jj

jI

jIj

&

&

Анализ синусоидального режима пассивного двухполюсника комплекснымметодом.

Расчет цепей можно выполнить с помощью решения уравнений Кирхгофа, а можно спомощью геометрических построений над векторами электрических величин накомплексной плоскости. Такие построения возможны с использованием эквивалентногопреобразования векторов типа параллельный перенос, при котором ни фазовые, ниамплитудные соотношения векторов не меняются.

Последовательное соединение элементов RL.

16

по второму закону Кирхгофа

напряженияаясоставляющреактивная

L

напряженияаясоставляющактивная

R UUU &&& +=

по закону Ома

IZIjxRIjxIR

UUU

RLLL

LR

&&&&

&&&

=+=+

=+=

)()(22 R

xjArctg

Lj

RLRL

L

exReZZ +== ϕ

Построим векторную диаграмму напряжений. Пусть вектор тока по направлениюсовпадает с действительной осью комплексной плоскости

00jIeI =& , тогда положениевекторов напряжений будет определяться следующим образом рис. 3.2. Вектор напряженияна резисторе IR & совпадает с направлением вектора тока. Вектор напряжения наиндуктивности IxeIjx L

jL

&& 090= опережает вектор тока на 090 . Положение вектора входногонапряжения определяется по правилу сложения векторов (рис. 3.3).

Рис. 3.2. Рис. 3.3. Треугольник напряжений,получен путём параллельного

переноса вектора LU& .Разделим стороны треугольника напряжений на величину модуля вектора тока и

получим, так называемый, треугольник сопротивлений рис. 3.4.

Рис. 3.4. Треугольниксопротивлений.

22LRL xRz += - полное сопротивление, т.е.

модуль комплексного сопротивленияZ двухполюсника ;

)(ϕzCosR = – активная составляющаякомплексного сопротивления;

)(ϕzSinxL = - реактивная составляющаякомплексного сопротивления;ϕ - угол двухполюсника. Для индуктивных, т.е.RL двухполюсников эта величина больше нуля.

Параллельное соединение элементов RL.

17

попервому закону Кирхгофа

токааясоставляющреактивная

L

токааясоставляющактивная

R III &&& +=

по закону Ома

=−=

=−=+=

=+=

UjBG

Ux

jR

UjxR

jxU

RUI

LL

L

&

&&

&&&

)(

)11()11(

=Y URL&

Y)(22 G

BjArctg

Lj

RLRL

L

eBGeY−

⋅+== ϕ

Y RL - комплексная проводимость;

RG 1= - активная составляющая проводимости;

LL x

B 1= - реактивная составляющая проводимости;

Построим векторную диаграмму токов. Пусть направление вектора напряжения U&будет совпадать с направлением действительной оси комплексной плоскости, тогдаположение векторов токов будет определяться следующим образом рис. 3.5. Вектор тока врезисторе UGI R

&& = совпадает с направлением вектора напряжения. Вектор тока в

индуктивности UBeUjBI Lj

LL&&& 090−=−= отстает от вектора напряжения на 090 . Положение

вектора входного тока определяется по правилу сложения векторов. Если сторонытреугольника токов разделить на модуль вектора напряжения, то получим треугольникпроводимостей рис. 3.6.

Рис. 3.5. Треугольник токов Рис. 3.6. Треугольник проводимостей

Эквивалентные схемы замещения пассивного двухполюсника.

18

Пусть имеется некоторый двухполюсник, схема и величины элементов которогонеизвестны рис. 3.7. Режим этого двухполюсника наблюдается на экране осциллографа, т.е.известны амплитуда напряжения u(t), амплитуда тока i(t) и фазовый сдвиг ϕ .

Рис. 3.7.Задача. Для известного синусоидального режима двухполюсника ( ϕ,, IU && ) найти схемузамещения (т.е. способ соединения элементов) и их параметры. Такая задача называетсяидентификацией содержимого “черного ящика”.

Решение:

Поскольку напряжение опережает ток на угол ϕ , то значит, данный двухполюсникимеет индуктивный характер, т.е. составлен из элементов R, L. По имеющейся информацииможно построить две схемные модели этого двухполюсника. Первая модель предполагаетпоследовательное соединение R и L, а вторая – параллельное соединение.

1. Определяем параметры последовательной схемы замещения двухполюсника.

находим полное сопротивление

Z ϕϕϕ

jjj

j

zeeI

UIe

UeI

U==== 0&

&

IUz =

находим активную составляющую сопротивления)(ϕCoszRпос ⋅=

находим реактивную составляющую сопротивления)(ϕSinzxпос ⋅=

2. Определяем параметры параллельной схемы замещения двухполюсника.

19

находим полную проводимость

Y ϕϕ

jj Ye

UeI

UI −===&

&

UIY =

находим активную составляющую проводимости)(ϕCosYG ⋅=

GRпар

1=

находим реактивную составляющую проводимости)(ϕSinYB ⋅=

Bxпар

1=

Обе эти схемные модели эквивалентны, соответствуют наблюдаемому режиму имогут быть использованы для исследования данного двухполюсника. При имеющихсяданных нет возможности выбрать последовательную или параллельную схемудвухполюсника, как более адекватную. Какая схема будет точнее соответствовать реальномудвухполюснику в других условиях нам неизвестно.

Установим взаимную связь между параметрами этих двух моделей, т.е. для заданныхпараметров параллельной схемы замещения вычислим параметры последовательной схемы

),(),,( парпарпоспарпарпос xRfxxRfR ==и наоборот, для заданных параметров последовательной схемы замещения вычислим

параметры параллельной схемы).,(),,( поспоспарпоспоспар xRfxxRfR ==

Пусть дано парR и парx , найти посR и посx . Так как схемы эквивалентны, то ихсопротивления равны друг другу.

Z =пос Z пар

Z /1=пар Y пар jBG −=

1

Z =пос jBG −1 =

2222 YBj

YG

BGjBG

+=++

=

22

2

222 )/1()/1(/1

парпар

парпар

парпар

парпос xR

xRxR

RYGR

+=

+==

22

2

222 )/1()/1(/1

парпар

парпар

парпар

парпос xR

xRxR

xYBx

+=

+==

Пусть дано посR и посx , найти парR и парx . Так как схемы эквивалентны, то ихпроводимости равны друг другу.

Y =пар Y пос

Y /1=пос Z поспоспос jxR +

=1

20

Y =парпоспос jxR +

1 =

222222поспос

пос

поспос

пос

поспос

поспос

xRxj

xRR

xRjxR

+−

+=

+−

=

2222поспос

пос

поспос

пос

xRxj

xRRjBG

+−

+=−

=−парпар x

jR

112222поспос

пос

поспос

пос

xRxj

xRR

+−

+

пос

поспоспар

пос

поспоспар

xxRx

RxRR

22

22

+=

+=

Последовательное соединение элементов RLC.

по второму закону Кирхгофа

напряженияаясоставляющреактивная

CL

напряженияаясоставляющактивная

R UUUU &&&& ++=

по закону Ома

=−+=−+

=++=

IxxjRIjxIjxIR

UUUU

CLCL

CLR

&&&&

&&&&

))((IjXR

ниясопротивлеаясоставляющреактивнаяниясопротивле

аясоставляющактивная&)( + =Z IRLC

&

Z)(22 )( R

xxjArctg

CLj

RLCRLC

CL

exxReZ−

−+== ϕ

Построим векторную диаграмму напряжений. Пусть вектор тока по направлениюсовпадает с действительной осью комплексной плоскости

00jIeI =& , тогда положениевекторов напряжений будет определяться следующим образом рис. 3.8. В зависимости отсоотношения величин сопротивлений конденсатора и катушки комплексное сопротивлениедвухполюсника Z RLC может иметь либо ёмкостной, либо индуктивный характер.

21

0

,

>

>>

ϕCLCL xxUU &&

индуктивный характерсопротивлениядвухполюсника

0

,

<

<<

ϕCLCL xxUU &&

ёмкостной характерсопротивлениядвухполюсника

0

,

=

==

ϕCLCL xxUU &&

резистивный характерсопротивлениядвухполюсника

Рис. 3.8Параллельное соединение элементов RLС.

по первому закону Кирхгофа

токасоставляаяреактивная

CL

токааясоставляющактивная

R IIII &&&& ++=

по закону Ома

=−

++=−

++= UjxjxRjx

UjxU

RUI

CLCL

&&&&

& )111(

Uxx

jR

типроводимосаясоставляющреактивная

CLтипроводимос

аясоставляющактивная

&))11(1( −− =−= UjBG &)( Y URLC&

Y)(22 G

BjArctgjRLCRLC eBGeY

−⋅+== ϕ

Построим векторную диаграмму токов. Пусть вектор напряжения по направлениюсовпадает с действительной осью комплексной плоскости рис. 3.9.

0,, <<> ϕCLCL xxII &&

индуктивный характерпроводимостидвухполюсника

0,, >>< ϕCLCL xxII &&

ёмкостной характерпроводимостидвухполюсника

0,, === ϕCLCL xxII &&

резистивный характерпроводимостидвухполюсника

Рис. 3.9.

22

Вывод. Любой участок цепи, не содержащий источников (пассивный двухполюсник),можно моделировать последовательной или параллельной схемой соединения активного R иреактивного сопротивлений X.

ЛЕКЦИЯ 4

МОЩНОСТЬ В ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА.

Протекание тока в цепи сопровождается преобразованием электрической энергии втепловую энергию или энергию света. Такое безвозвратное преобразование происходит врезистивном элементе R. Реактивные же элементы L и C способны накапливать энергиюмагнитного и электрического полей соответственно.

tRiwR ∆= 2 - закон Джоуля - Ленца (1842 г.) определяет количество теплоты Rw ,выделяемой в проводнике при прохождении через него электрического тока.

2

2LiwL = - энергия магнитного поля, созданного током индуктивного элемента.

2

2CuwC = - энергия электрического поля, созданного электрическими зарядами.

Поддержание процессов преобразования и накопления энергии возможно присовершении работы силами неэлектрического происхождения.

udqdA = -элементарная работа по переносу элементарного заряда в электрическом поле [Дж].

uidtdqu

dtdAp === -

мгновенная мощность [Вт].

Мощность источников энергии

iEuipген ⋅==источник ЭДС генерирует мощность

0>генp , если i>0,источник ЭДС потребляет мощность

0<генp , если i<0.

Iouuipген ⋅==источник тока генерирует мощность

0>генp , если 0>u ( бa ϕϕ > ),источник тока потребляет мощность

0<генp , если 0<u ( бa ϕϕ < ).

23

Если разветвлённую цепь постоянного тока произвольно разбить на две части, то вобщем случае получим последовательное соединение двух активных двухполюсников А1 иА2.

Пусть в результате расчета токов в этой цепи направление тока i совпало свыбранным направлением отсчёта положительной величины, т.е. i>0, тогда можно говоритьо направлении передачи мощности от А1 к А2 (A1 - источник, а A2 – приёмник мощности).Если же ток получится отрицательным, то направление передачи мощности будет от А2 кА1.

Рассмотрим синусоидальный режим двухполюсника, которому соответствуютнапряжение )( um tSinUu ϕω += и ток )( im tSinIi ϕω += .

Мгновенная мощность двухполюсника

iuiu

iuiuiu

iuu

iuu

iu

iu

iu

iu

iu

iu

iu

iu

iu

iu

iumm

гдеtCosCocUISintCosCostCosCocUI

SinCostSinSintCosCosSintSinCostCos

CocUISinSintCos

CosSintSinSinCostSin

CosCostCosUISinSintCos

CostSinSintCosSintCosCostSin

CosCostSinUI

tSintSinUItSintSinIUuip

ϕϕϕϕϕωϕϕϕωϕϕωϕϕ

ϕϕωϕωϕϕωϕω

ϕϕϕϕω

ϕϕωϕϕω

ϕϕωϕϕω

ϕωϕωϕωϕω

ϕϕω

ϕωϕωϕωϕω

−=++−⋅==+++−−⋅=

=+++−+

+−⋅==+

++

+−⋅==

++

+⋅

=++⋅=++==

)),2()(())()2()()2()((

))())()2()()2(()())()2()()2((

)(())()()2(1(

)()()2()()()2(

)()()2(1(())()()(

)()()()()()()()(

)()()((2

)()(2)()(

2

2

Мгновенная мощность синусоидального режима двухполюсника есть гармоническаяфункция, колеблющаяся с двойной частотой, смещённая на постоянную составляющую. Наинтервалах времени, когда 0>p , энергия поступает от источника в приёмник. На

24

интервалах времени, когда 0<p , накопленная в реактивных элементах энергия частичновозвращается в источник. Энергетика цепи переменного тока состоит изпреобразовательного и обменного процессов. Уровень преобразовательного процессахарактеризует величина активной мощности P. Энергия, связанная с активной мощностьюнеобратимо теряется источниками цепи и превращается в другие виды энергии (тепловую,механическую, световую и др.)

Активная мощность двухполюсникаСреднее за период значение мгновенной мощность - активная мощность.

)())2()((11

00

ϕϕϕωϕ CosUIdttCosCosUIT

uidtT

P iu

TT

⋅=++−⋅== ∫∫ , [Вт] - Ватт

Активная мощность элементов RLCR

Ri

Ru

)( imR tSinIi ϕω += ,)( imR tSinIRu ϕω +⋅= ,

0=−= iu ϕϕϕ ,

RURIUICosUIPR

22)0( ===⋅= .

LLi

Lu

)( imL tSinIi ϕω += ,

)2

( πϕω ++= imLL tSinIXu ,

LX L ω= ,

2πϕϕϕ =−= iu ,

0)2

( =⋅=πCosUIPL .

СCi

Cu

)( umC tSinUu ϕω += ,

)2

(1 πϕω ++= umC

C tSinUX

i ,

CX C ω

1= ,

2πϕϕϕ −=−= iu ,

0)2

( =−⋅=πCosUIPC .

25

Полная мощность в цепи синусоидального тока.Габариты, масса и, в конечном счёте, цена устройства зависят от величины тока и

напряжения, для которых проектируется устройство. От величины тока зависит диаметрпроводников, а от величины напряжения площадь поперечного сечения стальныхмагнитопроводов. Вводим величину, равную произведению действующих значений тока инапряжения, которая называется полная мощность S. Иногда для неё можно встретитьдругое название – габаритная мощность.

UIS = , [ВА] – вольт - ампер.

Полные мощности элементов RLCR

Ri

RuR

URIUISR

22 === .

LLi

LuL

LL XUIXUIS

22 === .

СCi

Cu CCC X

UIXUIS2

2 === .

Реактивная мощность в цепи синусоидального тока.Также искусственно, как и для полной мощности, вводим понятие реактивной

мощности Q. Эта величина характеризует интенсивность обменного процесса в цепипеременного тока.

BUXIQ 22 =⋅=)(ϕSinZX ⋅= , )(ϕSinYB ⋅= , где

iu ϕϕϕ −=

=⋅=⋅⋅= )()( 22 ϕϕ SinYUSinZIQ )()( ϕϕ SinSSinUI ⋅=⋅ [BAр] – вольт-амперреактивный

В зависимости от характера двухполюсника (индуктивный, ёмкостной) имеет месторазличный знак реактивной мощности.

LLi

Lu

LLL X

UIXUISinUIQ2

20 )90( ===⋅= .

0>ϕ напряжение опережает ток на 090 .Индуктивность потребляет реактивную мощность.

СCi

CuC

CC XUIXUISinUIQ

220 )90( −=−=−=−⋅= .

0<ϕ напряжение отстаёт от тока на 090 .Ёмкость генерирует реактивную мощность.

26

Комплексная мощность.

Уменьшим масштаб по осям комплексной плоскости в I раз и превратим, тем самым,треугольник напряжений двухполюсника в треугольник мощностей.

−~S комплексная мощность, [ВА] – вольт-ампер. Знак ~ (тильда) указывает на особый

статус этой комплексной величины, т.е. операция обратного комплексного преобразованиенад ней с целью получить мгновенную мощность двухполюсника будет некорректной.

22~

)()( jXIRIIjUIUSinjUICosUIjQPUISS xR +=+=⋅+⋅=+=∠=∠= ϕϕϕϕ*~

)()( IUUIIUUIS iuiu&=−∠=−∠∠=∠= ϕϕϕϕϕ

−*I комплексно-сопряженный ток, )(

*

iII ϕ−∠= .

2**~

IZIIZIUS =⋅== &&

или2

**~UYUYUIUS =⋅== &&

Комплексная мощность источников

jQPIUIES абген +===**~

&& -мощность, генерируемая источником эдс. Если активнаямощность P>0, источник эдс генерирует (теряет) энергию, а двухполюсник А потребляетэнергию. Иначе, если P<0, то источник эдс потреблят энергию, а двухполюсник А теряетэнергию.

Баланс мощности.В электрических цепях соблюдается закон сохранения энергии. Это выражается в

балансе мощности. Для цепи имеет место равенство комплексных мощностей источников иприёмников.

∑∑ = прист SS~~

,следовательно

∑∑ = прист PP и

∑∑ = прист QQ .

Измерение активной мощности.Измерить активную мощность можно с помощью ваттметра. Ваттметр (W) -

электрический прибор для измерения активной мощности в цепях постоянного илипеременного тока. Работа ваттметра основана на взаимодействии двух обмоток — токовой и

27

напряжения, включаемых последовательно с нагрузкой и параллельно ей. Один из концовобмоток ваттметра помечен звёздочкой – это генераторный зажим. Чтобы измеритьмощность в заданном направлении (от источника к приёмнику), необходимо генераторныезажимы обеих обмоток ориентировать в сторону источника мощности.

)(}Re{*

ϕCosUIIUPПW ⋅=== &

Дано:ОмxxR CL 10===

AjIВE o ,10,100 == &&

Найти:1. Показание ваттметра.2. Проверить выполнение баланса мощности.

Решение:1. По законам Кирхгофа составим систему уравнений относительно токов и

вычислим их.

20,1020

2

1

=

−=

IAjI

&

&

2. Показание ваттметра

}Re{*

WWW IUП =

AjIIW ,020202 +=== &&

ВjjIjxRU LW ,20020020)1010()( 2 +=+=+= &&

ВтjjIUП WWW 4000)}020)(200200Re{(}Re{*

=−+==3. Баланс мощности.

OWист IUIES*

1

*~&& +=∑

BjjIjxRU LW ,20020020)1010()( 2 +=+=+= &&

BAjjjjjjIUIES OWист

,100040002000200010002000)100)(200200()1020(100

*1

*~

−=+−+

=−+++=+=∑ &&

.,1000400040004000500020102010)1020(10)( 22222

22

1

~

BAjjjjIjxRIjxS LCпр

−=++−

=⋅+⋅++−=++−=∑

Баланс мощности выполняется

∑∑ = прист SS~~

.jj 1000400010004000 −=− .

ЛЕКЦИЯ 5.

МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ.

Какова задача анализа цепи? Задача анализа – нахождение токов в ветвях схемы.Законы Кирхгофа дают систему независимых уравнений относительно токов в ветвях схемы.

28

Число этих уравнений, тем самым, равно числу ветвей схемы. Такое число уравнений для ихсовместного решения относительно велико, поэтому уравнения по законам Кирхгофа дляанализа сложных цепей на практике не используются. С целью снижения числа совместнорешаемых уравнений были разработаны методы анализа цепей. Основными среди нихявляются метод контурных токов (МКТ) и метод узловых потенциалов (МУП). Понижениечисла уравнений, решаемых совместно, в этих методах достигается путём введенияпромежуточных переменных. В МКТ промежуточными переменными являются контурныетоки, а уравнения для независимых контуров составляются по второму закону Кирхгофа. ВМУП промежуточными переменными являются потенциалы узлов, а уравнениясоставляются для узлов по первому закону Кирхгофа. На заключительном этапе методоввычисляются токи в ветвях по промежуточным переменным, найденным из решениясистемы уравнений.

Метод контурных токов. Алгоритм расчета.

1. Задаёмся направлением отсчета положительной величины токов в ветвях.2. Выбираем независимые контуры и задаёмся в них направлением контурных токов

2211, II && .3. Ток источника тока OI& замыкаем по любому замкнутому пути.4. Для каждого контура составляем уравнение, в котором согласно второму закону

Кирхгофа алгебраическая сумма падений напряжений на элементах контура равна нулю.Знак величины падения напряжения на элементе определяется по отношению кнаправлению контурного тока.

.0:

,)(:

022223222112

22211211111

=++++−

=−+−+

IjxIjxIRIRIRконтурВторой

EIRIRIjxIRконтурПервый

LL

C

&&&&&

&&&&&

−=+++−

=−+−

.)(

,)(

02232112

2221121

IjxIjxRRIR

EIRIRjxR

LL

C

&&&

&&&

5. Решаем полученную систему уравнений относительно контурных токов.6. Вычисляем реальные токи в ветвях схемы как комбинацию контурных токов

.

,

,,

0224

223

22112

111

III

II

IIIII

&&&

&&

&&&

&&

+=

−=

−=

=

В общем случае структура контурного уравнения будет такой

.

,.

0

,.

,.

токаконтурногоемнаправлениссовпадаетнетока

источникатокаенаправлениеслиплюсомсберётсясуммевСлагаемое

токаисточниковтоковотконтураэлементахнанапряженияпаденийСумма

ojk

токаконтурногоемнаправлениссовпадаетенаправлениеё

еслиплюсомсберётсяЭдсконтуревэдсCумма

k

енаправлениодноимеютIиIесли

плюсомсберётсясуммевСлагаемоеконтуров

смежныхтоковотконтураэлементахнанапряженияпаденийСумма

klkl

токаконтурногоотконтураниисопротивлемсобственнона

напряжнияпадениеkkkk IZEIZIZ

klkk

∑∑∑ ±+±=±+ &&&&

&&

29

Метод узловых потенциалов. Алгоритм расчета.

1. Задаёмся направлением отсчета положительной величины токов в ветвях.2. Узлы схемы обозначаем, например, буквами а, b, c.3. Выбираем один из узлов в качестве базового и принимаем его потенциал равным 0. Пусть

базовым узлом будет узел b.4. Для остальных узлов составляем уравнения, в которых по первому закону Кирхгофа

сумма токов входящих в узел равна нулю

0121

021

0421

11)111(

0)()()(

0:

IjxR

EjxjxRjxR

IjxRjxR

E

IIIIаУзел

CLC

LCa

L

caba

C

ab

&&&&

&&&&&&&&

&&&&

+−

=−++−

=+−

−−

−−

+−

=+−−

ϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

03

03

043

)11(1

0)()(0:

IjxRjx

IjxR

IIIcУзел

LC

La

L

cacb

&&&

&&&&&

&&&

−=++−

=−−

+−

=−+

ϕϕ

ϕϕϕϕ

−=++−

+−

=−++−

03

0121

)11(1

11)111(

IjxRjx

IjxR

EjxjxRjxR

LC

La

CLC

LCa

&&&

&&&&

ϕϕ

ϕϕ

5. Решаем полученную систему уравнений относительно потенциалов узлов.6. Вычисляем токи в ветвях схемы по обобщённому закону Ома.

.,

,,

43

3

22

11

L

cac

a

c

a

jxI

RI

RI

jxRE

I

ϕϕϕ

ϕϕ

−=

−=

=−+−

=

&&

&&

&

В общем случае структура узлового уравнения будет такой

.,

.,

.,

.

,,

.

,,

.,

,

узелввходиттокеслиплюсомсберётсясуммев

СлагаемойузлукыхподключённтокаисточниковтоковСумма

oj

узлукнаправленаонаеслиплюсзнакомсоберётсяЭдсузломмсобственныс

узелысмежныехсоединяющиветвейтьпроводимос

наумноженныхэдсСуммаksks

узломмсобственнысузелысмежныехсоединяющи

ветвейтьпроводимоснаумноженныхузловсмежныхвпотенциалоСумма

kss

немукыхподключённветвей

тейпроводимоссуммунаумноженныйузла

гособственнопотенциалksk IYEYY ∑∑∑ ±+±=− &&ϕϕ

При выборе метода расчета токов нужно определить количество совместно решаемыхуравнений. Если граф схемы имеет много контуров и мало узлов, выбор, очевидно, за МУП,иначе, если много узлов, но мало контуров, то выбор за МКТ.

30

Метод наложения.

Этот метод основан на принципе суперпозиции, который справедлив для систем илиполей, описываемых линейными уравнениями; важен в механике, теории колебаний и волн,теории физических полей. Согласно принципу суперпозиции результирующий эффект отнескольких независимых воздействий, представляет собой сумму эффектов, вызываемыхкаждым воздействием в отдельности.

Вычислим методом наложения ток 1I& . В данном случае, искомый ток находится какалгебраическая сумма результатов независимого действия источников, т.е.

токаисточникадействиярезультат

Io

эдсисточниковтрехдействиярезультат

E III 111&&& −=

1. Находим первое слагаемое, т.е. результат действия источников эдс. В расчетнойсхеме источник тока имеет нулевое действие (устранён), а так как его внутреннеесопротивление равно ∞ Ом, то его можно не показывать на этой схеме.

ZEEE

I E321

1

&&&& −+

= - по з. Ома, где L

LC jxRR

jxRRjxRZ

+++

+−=32

321

)(

2. Находим второе слагаемое, т.е. результат действия источника тока. В расчетнойсхеме источник эдс имеет нулевое действие, а так как его внутреннее сопротивление равнонулю, то он заменяется закороткой.

C

LC

C

LIo jxRR

R

jxjxRR

jxRRR

jxII−+

×+

−+−

+×=

12

2

12

123

01 )(&& - по правилу чужого

сопротивления, применённому два раза. В результате получим

−

+++

+−

−+=

L

LC jxRR

jxRRjxR

EEEI

32

321

3211 )(

&&&&

CL

C

C

L

jxRRR

jxjxRR

jxRRR

jxI−+

×+

−+−

+×

12

2

12

123

0 )(& , А.

31

Метод эквивалентного генератора.Существует теорема Тевенена об активном двухполюснике:Активный двухполюсник A1, рассматриваемый относительно своих зажимов,

эквивалентен генератору с двумя параметрами:1. эдс эквE& , равной напряжению холостого хода;2. внутреннему сопротивлению эквZ , равному входному сопротивлению

пассивного двухполюсника П1, полученного из исходного активного двухполюсникапутём устранения его источников.

ДоказательствоЕсли последовательно с активным двухполюсником включить встречно два источника

эдс, то они будут компенсировать действие друг друга и режим цепи не изменится.

Режим цепи может быть определён методом наложения. Найдем результат действияисточников двухполюсника А1 и эдс, равной ,ххU& направленной против тока I& .

0,0,0 ===++− IUUUU хххх&&&&& . Следовательно эта составляющая может быть

исключена из расчёта режима. Найдём результат действия источников двухполюсника A2 иэдс, равной ,ххU& направленной по току I& .

Итак, режим цепи не изменяется, если активный двухполюсник А1 будет заменён наэквивалентный генератор (ЭГ), состоящий из последовательного соединения эдс, равнойнапряжению холостого хода ххU& и его внутреннего сопротивления эквZ .

Метод эквивалентного генератора, как метод расчёта тока в одной ветви, уступает поэффективности и МКТ и МУП. При нахождении напряжения холостого хода ЭГ ветвьнагрузки устраняется. При этом порядок системы совместно решаемых уравнений снижаетсяне значительно и, как правило, требуется применение МКТ или МУП для вычислениянапряжения холостого хода или тока короткого замыкания. Заметным преимуществом метод

32

ЭГ обладает в задаче, когда требуется производить анализ режима цепи в одной части, вкоторой нет изменения параметров, а в другой параметры изменяются с целью достигнутьзаданных свойств режима. В этом случае замена фиксированной части схемы эквивалентнымгенератором упрощает расчёты.

Экспериментальное определение параметров ЭГ.

кз

ххэкв I

UZ

&

&=

Эквивалентные схемы ЭГ

Задача. Рассчитайте ток на выходе схемы Бушеро. Какова зависимость величины токаI& от сопротивления нагрузки Z ?

CL xx = .

Условие отбора максимальной активной мощности в нагрузку.Какой должна быть нагрузка активного двухполюсника, чтобы она получила

максимальную активную мощность?

2rIP = - потребляемая нагрузкой активная мощность.

)()()()()( 22

ϕϕϕ

ϕ−∠=

∠+++

∠=

+++=

+= e

эквэкв

еэкв

эквэкв

экв

экв

экв Ixxrr

Exxjrr

EZZ

EI

&&&

22

2

)()( xxrrrE

Pэквэкв

экв

+++= .

Первое условие – равенство модулей и противоположность характера реактивныхсоставляющих комплексных сопротивлений нагрузки и эквивалентного генератора, т. е.

xxэкв −= .При выполнении первого условия мощность будет зависеть только от активного

33

сопротивления нагрузки r, т. е. 2

2

)()(

rrrE

rPэкв

экв

+= . Найдем экстремум этой зависимости из

условия

0)( =rPdrd

3

2

3

22

3

2

2

2

2

2

)()(

)(2)(

)(2

)()()(

rrrrE

rrrErrE

rrrE

rrE

rrrE

drdrP

drd

экв

эквэкв

экв

эквэквэкв

экв

экв

экв

экв

экв

экв

+−

=+−+

=+

−+

=+

=

0)( =rPdrd , если эквrr = .

Второе условие – равенство активных частей сопротивлений ЭГ и его нагрузкиэквrr = . Первое и второе условия можно объединить в одно

rrr

E

rrr

E

EIr

IErI

PP

кпдэквэкв

экв

экв

эквэквист

Н

+=

+====

2

экв

эквмах r

EP

4

2

=

Принцип взаимности.Этот принцип устанавливает связь:

а) между токами в двух ветвях пассивной цепи, при действии в них источника эдс.б) между напряжениями в двух ветвях пассивной цепи, при действии в них источника тока.

mk ii =При переносе эдс из ветви к в ветвь m, вкоторой протекал ток mi , её действиеприведёт к появлению в ветви к тока ki ,равного току mi в ветви m до переноса.

mk uu =При переносе источника тока из ветвик в ветвь m, в разрыве которой былонапряжение mu , его действие приведётк появлению в разрыве ветви кнапряжения ku , равного напряжению

mu в ветви m до переноса.

34

Задача. Рассчитайте ток на выходе схемы Бушеро. Обратите внимание на изящностьрешения с использованием принципа взаимности.

CL xx = . Решение: достаточно одного действия AjxEI

L

,&

& = .

Принцип компенсации.Если к двум точкам цепи, между которымидействует напряжение U, подключитьисточник эдс E=U, то режим цепи неизменится.

Если в ветвь с током I включить источниктока J=I, то режим цепи также не изменится.

Преобразование схем.В результате преобразования получается схема эквивалентная исходной схеме, т.е.

режим в результате преобразования не изменяется. Целью преобразования схемы являетсяполучение новой схемы, для которой анализ осуществляется наиболее просто. В основепреобразований лежит принцип эквивалентности линейных схем: если две системысодержат n элементов, то для их эквивалентности необходимо равенство nпроизвольных режимов.

Преобразование звезда-треугольник.

Если обе эти схемы эквивалентны, то имеет место равенство сопротивлений измеряемых поотношению к одноимённым зажимам.

cbabac

cbabacca RRR

RRRRR+++

=+)(

cbabac

cbacabba RRR

RRRRR+++

=+)(

cbabac

caabcbcb RRR

RRRRR+++

=+)(

Из решения этой системы трёх уравнений можно выразить параметры одной схемы, черезпараметры другой и наоборот.

35

bcacab

acbcc

bcacab

bcabb

bcacab

acaba

RRRRRR

RRRRRR

RRRRRR

++=

++=

++=

b

cacaac

a

cbcbbc

c

babaab

RRRRRR

RRRRRR

RRRRRR

++=

++=

++=

Пример. См. практическое занятие №1.Преобразование источников.

Для эквивалентных последовательной и параллельной схем источников должно иметьместо равенство двух режимов.

Последовательная схема источника Параллельная схема источникавнхх EU && = - режим холостого хода,

вн

внкз Z

EI

&& = - режим короткого замыкания,

внвнвн IZE && = - формула преобразования.

внвнхх IZU && = - режим холостого хода,

внкз II && = - режим короткого замыкания,

вн

внвн Z

EI

&& = - формула преобразования.

Пример.

Ajjjjj

jIПА +=+−+

=+−+∠−+

== 120

)2020(404010101010

452204040 0

.

Устранение узла у ветви с источником эдс.При составлении уравнения в МУП для узла, к которому подключается ветвь с

источником эдс, возникает проблема деления на ноль. Для избежания этой проблемысоставляют эквивалентную схему, в которой эдс переносится за узел.

36

ЛЕКЦИЯ 6.

ЯВЛЕНИЕ РЕЗОНАНСА В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ.Резонанс – это режим участка цепи, при котором его сопротивление чисто активное.

Ток и напряжение совпадают по фазе, обмен энергией с внешним источником отсутствует,вся потребляемая мощность чисто активная.

Причиной резонанса является различная зависимость величин сопротивленийреактивных элементов в цепи синусоидального тока от частоты. Достигнуть резонанса, еслион желателен, или устранить его, если он вреден, можно путём изменения частоты ω илипараметров элементов L, C.

Различают два вида резонансов. В последовательной цепи имеет место резонанснапряжений, а в параллельной – резонанс токов.

Резонанс напряжений

RI

UZ ==&

&

Резонанс токов

RG

UIY 1

===&

&

Из условия равенства реактивных сопротивлений получим значение резонанснойчастоты

1,1

1

−=

=

=

cLC

CL

xx

рез

резрез

CL

ω

ωω

37

Покажем связь собственной частоты колебаний с резонансной частотой вынужденныхколебаний. Если заряженный конденсатор замкнуть на дроссель, то при достаточно маломактивном сопротивлении R, будет иметь место колебательный вид процесса разряда.Колебания в цепи без источников называются свободными колебаниями. Частота этихколебаний называется собственной частотой свω , т.е. определяется только параметрамицепи. При уменьшении потерь в колебательном контуре, т.е. 0→R частота свободныхколебаний, стремится к резонансной частоте рсв ωω → .

142.141500.1

11 −=×

== смкФГнLCрω

2)2

(1L

RLCcв −=ω ,

LCрcвR

1lim0

==→

ωω .

Частотные характеристики цепи.Частотные характеристики цепи показывают зависимость параметров цепи или

действующих в них электрических величин от частоты. Частотная характеристика - этокомплексная величина: её модуль называется амплитудно-частотной характеристикой(АЧХ), а аргумент – фазо-частотной характеристикой (ФЧХ).

uUU ϕω ∠=)(& , )()()( ωϕωω iII ∠=&

2222

)1()()()(

CLR

UxxR

UZ

UICL

ωω

ωω

−+=

−+== - АЧХ

)

1

()(R

CL

Arctgiω

ωωϕ

−= - ФЧХ

38

Резонансные или избирательные свойства цепи характеризуют добротность D иполоса пропускания колебательного контура. Добротность показывает, во сколько раззапасённая в колебательном контуре энергия больше чем потери энергии в нём за период.Практически достигают добротность 200-500.

CRRL

RIxI

RIxI

PQ

PQD

рез

резCLCL

ωω 1

2

2

2

2

======

CL

RD 1= .

Диапазон частот, в пределах которого зависимость амплитуды колебаний от ихчастоты достаточно слаба, чтобы обеспечить передачу сигнала без существенного искаженияназывается полосой пропускания. Иначе, в пределах полосы пропускания величина

изменяется не более чем в (2

11− ) раз.

39

Покажем связь величины полосы пропускания с величиной добротностиколебательного контура.

22222 )()(1)1(11)1()(

ωω

ωωω

ωω

ωω

ωp

p

p

p

RL

I

CL

R

RU

CLR

UI−+

=−+

=−+

=

2*

*222 )1(1)()(1)(

ωω

ωω

ωωω

ω−+

=

−+

=D

I

RL

II p

p

p

p

p .

2)(

)1(1 2*

*2 ==−+ωω

ωII

D p

2)1(1 2*

*2 =−+ω

ωD

*2**

* 1)1( ωωω

ω ±=−±=− DDD

011 *2* =−ωωD

m

011 *2* =−− ωωD

14

121

2* +±=

DDω

Из двух корней выбираем 14

121

2* ++=

DDBω

011 *2* =−+ ωωD

14

121

2* +±−=

DDω

Из двух корней выбираем 14

121

2* ++−=

DDHω

Пример. В параллельной RC – RL цепи определить условия резонанса токов.

Решение:1. Вычисляем проводимость данного участка цепи

).(

)(

11

'1

'2

'2

'1

221

222

222

222

1

1

221

222

1

1

21

BBjGG

xRx

xRxj

xRR

xRR

xRjxR

xRjxR

jxRjxRY

C

C

L

L

LC

C

L

C

C

LC

−−+=

=+

−+

−+

++

=

=+−

+++

=

=+

+−

=

40

2. Условие резонанса токов - равенство нулю реактивной составляющей комплекснойпроводимости участка цепи, т.е. 0'

1'2 =− BB .

0221

222

=+

−+ C

C

L

L

xRx

xRx

0)1)(()( 2

122

2

=+

−+ RC

CLR

L

p

p

p

p

ωω

ωω

)1)(()( 21

222 +

=+ RC

CLR

L

p

p

p

p

ωω

ωω

))(()1)(( 222

21 LRCRCL pp ωω +=+

LCRLCRCL pp −=− 22

221 )()( ωω

221

222

)( CLCRLLCR

p −−

=ω

CLR

CLR

LCLCRLCLCR

p

−

−±=

−−

±=2

1

22

21

22 1

)(ω

Отсюда следует условие резонанса токов

<−<−

>−>−

00

00

21

22

21

22

CLRи

CLR

CLRи

CLR

.

Резонанс в сложной цепи.Если на участке цепи имеется параллельное и последовательное соединение

реактивных элементов, то при определённых условиях возможен либо резонанс тока, либорезонанс напряжений.

Пример. Определим условия резонанса токов и напряжений.

Векторная диаграмма в режимерезонанса токов.

Векторная диаграмма в режимерезонанса напряжений.

Решение:Определяем условие резонанса токов. Найдём проводимость параллельного участка

цепи

41

jBGx

jxR

jxRjxjxR

YCL

L

CL

−=++−

=−

++

=111

22

22

2

22

2LxR

RG+

= , CL

L

xxRxB 1

22

22 −

+= .

Условие резонанса токов - равенство нулю реактивной составляющей комплекснойпроводимости участка цепи, т.е. 0=B .

22

22

22

2

2

222

22

22

22

22

22

1

0

0)(

01

CLCRL

LR

CL

LRCL

xRxx

xxRxB

pT

pT

LCL

CL

L

−=−=

=−−

=+−

=−+

=

ω

ω

Определяем условие резонанса напряжений. Найдём сопротивление цепи

ЭЭ

CL

CLCLCCCLCLL

CL

CLCCLL

CL

CCLL

CL

CLL

jXRxxR

xxxxRxjRxxxRxxjx

xxRxxjRRjxxxjx

xxjRRjxxxjx

xxjRjxjxRjxZ

+=

=−+

−+−−−+=

=−+

−−×−+=

=−+

−+=

−+−+

+=

22

222

222

1

22

222

1

2

21

2

21

)())(()(

)())(()(

)()())((

22

222

2

1

22

222

)()(

)()(

CL

CLCLCLЭ

CL

CCLCLЭ

xxRxxxxRxxX

xxRRxxxRxxR

−+−+

−=

−+−−

=

Условием резонанса напряжений является равенство нулю реактивной составляющейкомплексного сопротивления, т.е. 0=ЭX .

0)(

)(2

22

222

1 =−+

−+−

CL

CLCLCL xxR

xxxxRxx

0)()( 2222

212

1 =−−−−+ CLCLCCLLL xxxxRxxxxRx

CL

CLLCLCL

xxxxxxxxxR

−−−−

=1

221222 )()(

42

ЛЕКЦИЯ 7.

ЦЕПИ С ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТЬЮ

Индуктивный элемент при протекании в нём электрического тока создаёт магнитноеполе, которое распространяется в окружающем пространстве. Направление магнитногопотока определяется правилом буравчика с правой нарезкой. Некоторая часть магнитногопотока может оказаться сцепленной с другим проводящим контуром, в котором согласнозакону электромагнитной индукции (Фарадей, 29.08.1831) будет наводиться эдс взаимнойиндукции. Направление эдс взаимной индукции определяется правилом Ленца (1833 г.).

Этот пример иллюстрирует связь наводящеготока i(t) и наведённого напряжения )(2 tu .

Способность проводника создавать (возбуждать) магнитное поле характеризуетсявебер-амперной характеристикой 1111 iL=ψ . В случаи линейной среды намагничиванияпараметром этой характеристики является индуктивность. Вводим понятие взаимнойиндуктивности. Способность проводника создавать магнитное поле, которое проникает вдругой контур, характеризуется взаимной индуктивностью. Взаимная индуктивность М – этокоэффициент пропорциональности между величиной наводимого потокосцепления инаводящего тока

121212221 iMФwФw общ ===ψ .Отметим, что согласно принципу взаимности, эта способность у обоих элементоводинаковая, т.е. 2112 MMM == . Используя взаимную индуктивность можно определитьнаводимое напряжение так

)()()( 1212 tidtdMt

dtdtu == ψ .

Как сильно связаны индуктивные элементы, показывает коэффициент связи свk . Онравен среднему геометрическому (среднему пропорциональному) от отношения наводящейчасти потока к всему потоку для обоих индуктивных элементов, т.е.

212211

212121

2211

1221

222

121

111

212

22

12

11

21

LLM

iLiLiMiM

ФwФw

ФwФw

ФФ

ФФkсв =

××

==×=×=ψψψψ , где

индекс, например, у величины 12Ф означает, что рассматривается часть магнитного потокавторого контура, проникающая в первый контур. Отметим, что коэффициент связи всегдаменьше единицы

121

<=LL

Mkсв .

Рассмотрим два индуктивных элемента 1L и 2L , имеющих взаимную индуктивностьМ. Пусть токи этих элементов 1i и 2i известны, тогда определим напряжения 1u и 2u . Для

43

обозначения магнитной связи на схемах используют двойную стрелочку с указаниемвеличины взаимной индуктивности.

кциивзаимоиндунапряжение

иисамоиндукцнапряжение

idtdMi

dtdL

dtd

dtd

dtdu 211

211111 −=−==

ψψψ

кциивзаимоиндунапряжение

иисамоиндукцнапряжение

idtdMi

dtdL

dtd

dtd

dtdu 122

122222 −=−==

ψψψ

Напряжение на индуктивном элементе состоит из двух слагаемых. Первое –напряжение самоиндукции, а второе – напряжение взаимоиндукции. Знак напряжениявзаимоиндукции определяется по правилу Ленца при наличии маркировки одноимённыхзажимов. Начало или конец обмоток должны быть помечены точкой, звёздочкой и пр. Вотношении одноимённых зажимов можно утверждать, что при одинаковом направлениисобственного и наводящего токов, собственный и наводимый магнитные потоки тоже имеютодинаковое направление, т.е. складываются.

Изобразим в рассматриваемом примере индуцированную (наводимую) эдс в видезависимого источника напряжения, направление которого согласно правилу Ленца таково,что ток, им вызываемый, должен быть направлен по отношению к одноимённому зажимуиначе, чем наводящий ток.

Сформулируем правило определения знака наводимого напряжения.

44

Если наводящий ток по отношению к одноимённому зажиму первогоиндуктивного элемента направлен иначе чем обход контура по отношению кодноименному зажиму второго индуктивного элемента, то наводимое напряжение вуравнении по второму закону Кирхгофа берётся со знаком “минус”, иначе,если по отношению к одноимённым зажимам и наводящий ток, и обход контуранаправлены одинаково, то наводимое напряжение берётся со знаком “плюс”.

Рассмотрим последовательное соединение индуктивно связанных элементов,используя для этого комплексный метод. В зависимости от направления тока по отношениюк одноимённым зажимам различают схемы согласного и встречного включения индуктивносвязанных элементов.

Согласное включение

IxxxjrrIjxIjxrIjxIjxrU

M

MM

&

&&&&&

))2(()()(

2121

2211

++++=

=+++++=

Если ток в отношении одноимённых зажимовимеет одно направление, то такоепоследовательное соединение называетсясогласным.

Встречное включение

Ixxxjrr

IjxIjxrIjxIjxrU

M

MM

&

&&&&&

))2(()()(

2121

2211

−+++=

=−++−+=

Если ток в отношении одноимённых зажимовимеет противоположное направление, тотакое последовательное соединениеназывается встречным.

221

221 )2()( Mсог xxxrrz ++++=

221

221 )2()( Mвст xxxrrz −+++=

согвст zz < .Используя различие величин сопротивлений при встречном и согласном включении

можно сделать маркировку концов обмоток, т.е. обозначить одноимённые зажимы. Исследуяобе катушки отдельно, а также при встречном и согласном их включении, можно определитьвеличину взаимной индуктивности.

)(8)2()2(

))2()(()2()(

212

212

21

221

221

221

221

22

xxxxxxxxx

xxxrrxxxrrzz

MMM

MMвстсог

+=−+−++=

=−+++−++++=−

)(8 21

22

xxzzx встсог

M +−

=

)(8 21

22

xxzzM встсог

+−

=ω

Расчёт цепей с взаимной индукцией.Для расчёта цепей с взаимной индуктивностью применяют метод контурных токов

или уравнения по законам Кирхгофа. Метод узловых потенциалов, уступает вэффективности, поскольку нельзя просто выразить наводимую эдс только через потенциалы

45

узлов. Применение метода эквивалентного генератора возможно при условии, что в качественагрузки выделяется ветвь не имеющая магнитных связей с элементами ЭГ. Методэквивалентного преобразования заключается в осуществлении гальванической развязки, т.е.построение такой эквивалентной схемы, в которой индуктивная связь заменена нагальваническую. После выполнения этой процедуры можно уже применять и метод узловыхпотенциалов.

Пример. Составить систему уравнений для вычисления токов ветвей цепи с взаимнойиндуктивностью. Будем использовать для решения задачи метод контурных токов и законыКирхгофа.

Метод контурных токов

=++−

−=−−+++−

=−+−++−

0)(

)(

)(

3332222111

211333222142111

12233312211111

IjxRIjxIjx

EIjxIjxIRjxjxIR

EIjxIjxIRIRjxjx

LMM

MMLL

MMLC

&&&

&&&&&

&&&&&

33422311222111 ,,, IIIIIIIII &&&&&&&&& −=−=−== .Уравнения по законам Кирхгофа

=++

=+++

−=−+−+

=+−−+−

0

0)(

)(

)(

321

4323211

2134211342

133412111

III

IjxRIjxIjx

EIjxIjxIRIjxjx

EIjxIjxIRIjxjx

LMM

MMLL

MMLC

&&&

&&&

&&&&&

&&&&&

Развязка индуктивной связи.Если два индуктивно связанных элемента имеют общий узел, то возможна развязка их

индуктивной связи. Возможны два способа соединения элементов. Пусть одноимённыезажимы подключаются к общему узлу, тогда эквивалентная схема будет такой

Покажем, что эти схемы эквивалентны, т.е. при равенстве токов будут равны инапряжения на зажимах.

46

Исходная схема Эквивалентная схемаПо второму з. Кирхгофа

dtdiM

dtdiLu

dtdiM

dtdiLu

21113

21113 0

+=

=−−

По второму з. Кирхгофа

dtdiM

dtdiL

dtdiM

dtdiM

dtdiM

dtdiL

dtdi

MdtdiMLu

dtdiML

dtdi

Mu

211

21111

31113

11

313

)(

0)(

+

=++−=+−=

=−−−

Если в узле соединяются разноимённые зажимы индуктивно связанных элементов, тоэквивалентная схема будет такой

Самостоятельно убедитесь в её эквивалентности исходной схеме.Пример. Избавимся от индуктивной связи. Для этого соединим проводником,

например, разноимённые зажимы индуктивно связанных элементов. В схемной модели этоможно делать, так как при этом не появилось нового контура, и режим цепи не будетизменён.

Решение:

47

Линейный трансформатор

Линейный трансформатор состоит из двух или более, индуктивно связанных катушек(обмоток). Свойство линейности достигается употреблением не ферромагнитных материаловмагнитопровода. Линейный трансформатор имеет ещё другое название - воздушныйтрансформатор, т.е. магнитопроводом для его магнитного потока является воздушноепространство между обмотками. Магнитная проницаемость воздуха близка к единице и независит от величины напряженности магнитного поля. Линейный трансформатор находитприменение в измерительных устройствах, в устройствах радиосвязи на больших частотах.

Составим систему уравнений Кирхгофа для первичной и вторичной обмотоктрансформатора.

=−++

=−++−

0

0

122222

211111

dtdiM

dtdiLiRu

dtdiM

dtdiLiRu

Для синусоидального режима

=−++

=−++−

00

122222

211111

IjxIjxIRUIjxIjxIRU

ML

ML

&&&&

&&&&

Построим векторную диаграмму, приняв активно индуктивный характер нагрузки:1. задаёмся положением векторов тока вторичной обмотки 2I& и напряжения 2U& .2. откладываем вектора напряжений на вторичной обмотке 22IR & и 22IjxL

& .3. вектор индуцированной эдс получаем по второму закону Кирхгофа для контура

вторичной обмотки 222221 IjxIRUIjx LM&&&& ++= .

4. откладываем вектор тока первичной обмотки 1I& .5. откладываем вектора напряжений на первичной обмотке 11IR &− и 11IjxL

&− .6. откладываем вектор индуцированной эдс 2IjxM

& .7. вектор входной эдс получаем по второму закону Кирхгофа для контура первичной

обмотки 211111 IjxIjxIRU ML&&&& −+= .

48

Сопротивление первичной обмотки в режиме холостого хода отличается от входногосопротивления в режиме нагрузки на величину вносимого сопротивления. Определимвносимое сопротивление, т.е. сопротивление, вносимое в первичную обмотку из вторичнойобмотки. Для этого разрешим систему уравнений трансформатора относительно токапервичной обмотки и по закону Ома вычислим входное сопротивление

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

11

11

22

22

22

22

22

22

1122

2

1

11

внLвн

L

ниясопроитвлевносимогоаясоставляющреактивная

HLH

HLM

иясопроивленвносимогоаясоставляющактивная

HLH

HM

LHLH

M

xxjRRjxR

xxrRxxxj

xxrRrRx

jxRxxjrR

xI

UZ

+++==++

++++

+−

++++

=

=+++++

==&

&

22

22

22

22

22

22

)()()(

)()()(

HLH

HLMвн

HLH

HMвн

xxrRxxxx

xxrRrRx

R

++++

−=

++++

=

Идеальный трансформатор.На начальных этапах проектирования инженеру требуется простая модель, чтобы

получить качественные соотношения. Вместо дифференциальных уравнений для этогонеобходимо иметь алгебраические уравнения, которые могут дать связь электрическихпараметров устройства с конструктивными параметрами. Использование таких связейпозволит быстро получать начальные приближения в процессе расчёта параметровустройства, проектируемого в направлении заданных свойств (высокий кпд, минимальнаямасса, стоимость и пр.) с использованием более сложных моделей и соотношений.Например, у идеального трансформатора токи и напряжения связаны через коэффициенттрансформации n:

1

2

wwn =

12 unu ⋅=

121 in

i =Схемное обозначение идеального трансформатора

49

В реальном трансформаторе величины связаны многим сложнее, т.к. приходитсяучитывать величины сопротивлений обмоток, не идеальность магнитной связи обмоток,наличие тока намагничивания, нелинейность намагничивания материала магнитопровода.Технология изготовления трансформаторов отражает стремление достигнуть свойствидеального трансформатора. Так, например, если взять большой диаметр проводов обмоток,тороидальный сердечник из ферромагнитного материала с большой магнитнойпроницаемостью, аккуратно и плотно сделать обмотку, то можно в пределе добитьсяидеальной трансформации напряжения. Посмотрим, как упрощаются при этом уравнениятрансформатора.

=−+

=++−

0

0

2222

1111

dtdiRu

dtdiRu

ψ

ψ

=−+

=++−

0

0

22222

11111

dtdФ

wiRu

dtdФwiRu

Поток каждой обмотки состоит из потока рассеяния SФ и потока OФ общего дляобоих обмоток.

=+

−+

=+

++−

0)(

0)(

22222

11111

dtФФd

wiRu

dtФФd

wiRu

SO

SO

Пусть будет выполняться условие сверхпроводимости обмоток, т.е. 01 →R , 02 →R иусловие идеальной магнитной связи обмоток, т.е. 1→свk , тогда

=−

=+−

0

0

22

11

dtdФ

wu

dtdФ

wu

O

O

.

От сюда

112

12 unu

wwu ⋅== .

Трансформатор, для которого выполняются условия 01 →R , 02 →R и 1→свkназывается совершенным трансформатором. Совершенный трансформатор являетсяидеальным трансформатором напряжения. Построим его схемную модель. Для этого будемиспользовать равенство потоков первичной и вторичной обмоток.

11 ψdtdu =

)( 2111 MiiLdtdu −=

2111 MiiL −=ψ

21

11

1

1

11 i

wMi

wL

wФ −==

ψ

22 ψdtdu =

)( 1222 MiiLdtdu +−=

1222 MiiL +−=ψ

12

22

2

2

22 i

wMi

wL

wФ +−==

ψ

50

OФФФ == 21 .Следовательно,

21

1

wM

wL

= и nww

LM

==1

2

1

,

а также

12

2

wM

wL

= и nw

wLM 1

2

1

2

== .

Рассмотрим уравнение первичной обмотки2111 MiiL −=ψ

2121

11

1 niiiLMi

L−=−=

ψ

µψ iL

=1

1 - ток намагничивания,

µLL =1 -индуктивность намагничивания

21 niii += µ

Мы получили уравнение по первому закону Кирхгофа для схемной моделисовершенного трансформатора

С применением модели совершенного трансформатора мы уже имели дело в первойлекции, когда строили схему замещения транзисторного усилителя по переменному сигналу.

Для идеальной трансформации тока необходимо, чтобы индуктивностьнамагничивания была бесконечно большой, т.е. ∞→µL .

Идеальный трансформатор является безынерционным элементом, следовательномгновенные мощности его первичной и вторичной обмоток равны.

51

21 pp =

2211 iuiu =Это можно использовать, чтобы показать, как вторичная цепь может быть приведена к

первичной.

2211 iuiu =

2

212

22211 niRRiiRiiu ==⋅=

21

11

1n

RiuR ==

Сопротивление нагрузкиприведённое к виткампервичной обмотки

2

1n

RR =′

2211 iuiu =

21111

22

11

ni

dtdiL

ni

dtnidL

idtdiLiu

=

==

dtdi

nLu 1

21 =

Индуктивность нагрузкиприведённая к виткампервичной обмотки

2nLL =′

2211 iuiu =

112

11

22

11

udt

duCnnudt

dnuC

udt

duCiu

=

==

dtduCni 12

1 =

Ёмкость нагрузкиприведённая к виткампервичной обмотки

2CnC =′

Вывод: трансформатор может быть использован, как трансформатор напряжения илитока, а также в качестве устройства согласования. Согласование высокоомного выходаисточника сигнала с нагрузкой может потребоваться с целью передачи максимальноймощности. Путём изменения соотношения витков обмоток можно достигнуть равенства

RRвых ′= и, тем самым, удовлетворить условию передачи максимальной мощности.

52

ЛЕКЦИЯ 8

ТРЁХФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ.Тему трёхфазных цепей необходимо предварить сообщением о топографических

диаграммах. Топографическая диаграмма (топограмма) – это графическое изображениекомплексных потенциалов точек схемы, в котором каждой точке схемы соответствует точкана комплексной плоскости. Топограмма содержит информацию о топологии схемы ипозволяет определить напряжение между любыми двумя точками схемы.

Пример. Построить по имеющейся векторной диаграмме напряженийтопографическую диаграмму неразветвлённой цепи. Используя построенную топограмму,найти напряжение между точками а и с.

Решение:1. Выберем точку b в качестве базовой и примем её потенциал равным нулю, тогда

положение точки b на комплексной плоскости будет совпадать с началом еёкоординат.

2. Вычисляем потенциал точки а.

C

ba

jxI

−−

=ϕϕ &&& , aCb Ijx ϕϕ &&& =−

3. Вычисляем потенциал точки с.

RI cb ϕϕ &&& −= , cb IR ϕϕ &&& =−

4. Вычисляем потенциал точки d.

L

dc

jxI

ϕϕ &&& −= , dLc Ijx ϕϕ &&& =−

5. Строим топограмму.

6. Для определения напряжения между точками а и c необходимо построить разницувекторов aϕ& - Cϕ& .

caacU ϕϕ &&& −=или

caca U ϕϕ &&& +=Внимание! Согласно правилу вычитания векторов направление вектора напряжения

на топограмме будет противоположным тому, которое принято для положительнойвеличины напряжения на схеме.

53

Трёхфазная цепь – это электрическая цепь переменного тока, в которой действуюттри синусоидальных напряжения одинаковой частоты, сдвинутые по фазе друг относительнодруга на 120°. Трехфазные цепи экономичнее однофазных, дают существенно меньшиепульсации тока после выпрямления, позволяют простыми средствами получатьвращающееся магнитное поле в электродвигателях.

Доливо-добровольский Михаил Осипович (1861/62-1919), российский электротехник,создатель техники трехфазного переменного тока. Работал в Германии. Доказалоптимальность системы трехфазного тока, создал (1888-89) трехфазный асинхронныйдвигатель, осуществил (1891) первую электропередачу трехфазного тока.

Трёхфазные источники.

Источниками трехфазного напряжения являются вращающиеся электрическиемашины: синхронные или асинхронные генераторы. Принцип действия генератора основанна явлении электромагнитной индукции. Магнитное поле ротора с равномерной скоростьювращается и наводит в симметрично расположенных обмотках напряжения, которые могутбыть изображены системой симметричных векторов.

На рисунке показана схема соединения выводов обмоток генератора трехфазногонапряжения в звезду, топографическая диаграмма и совмещенные с ней векторныедиаграммы а) фазных и б) линейных напряжений.

Комплексы фазных напряжений

)23

21(120

)23

21(120

0

0

0

0

jUUU

jUUU

UU

ФФФC

ФФФB

ФФA

+−=∠=

−−=−∠=

∠=

&

&

&Комплексы линейных напряжений

)21

23(150

90

)21

23(30

0

0

0

jUUU

jUUU

jUUU

ЛЛCA

ЛЛBC

ЛЛAB

+−=∠=

−=−∠=

+=∠=

&

&

&

Вторым способом соединения обмоток источника трёхфазного напряжения являетсясоединение треугольником.

54

Для схемы соединения в треугольник имеет место равенствомодулей фазного и линейного напряжения, т.е. ФЛ UU = .Для схемы соединения обмоток источника в звезду модулилинейного и фазного напряжений связаны соотношением

ФЛ UU 3= . Покажем это с помощью, построенной вышетопограммы.

Рассмотрим треугольник NAB. По теореме косинусов определим сторону AB, т.е. ЛU .)120(2 0222 CosNBNANBNAAB ⋅⋅−+=

20222 3)120(2 ФФФФФL UCosUUUUU =⋅⋅−+=

ФЛ UU 3=

Нагрузка трёхфазной цепи.Основные схемы соединения нагрузки – это звезда (с нейтральным проводником или

без нейтрального проводника) и треугольник.

Соединение нагрузки взвезду без нейтрального

проводника Соединение нагрузки взвезду с нейтральным

проводником

Соединение нагрузки втреугольник.

Когда комплексные сопротивления всех трех фаз равны CBA ZZZ == , нагрузкуназывают симметричной. Для симметричной нагрузки анализ режима цепи может бытьупрощен путем сведения к расчету однофазной схемы, но об этом позже.

Анализ режима трёхфазной цепи.Пример 1. Расчет токов в цепи с нагрузкой соединенной в треугольник.

Дано:ОмxxR CL 38===

ВUФ 220=

Найти:Линейные токи CBA III &&& ,, и токи элементов

нагрузки .,, CABCAB III &&&

55

Решение:Токи CABCAB III &&& ,, могут быть найдены по закону Ома поскольку известны

напряжения на элементах нагрузки. При соединении в треугольник к элементам нагрузкиприкладываются линейные напряжения.

Ajjx

UIC

ABAB ,12010))90(30(10

9038303220

38303220 000

0

00

∠=−−∠=−∠∠

=−

∠=

−=

&&

Ajjx

UI

L

BCBC ,18010)9090(10

9038903220

38903220 000

0

00

−∠=−−∠=∠

−∠=

−∠==

&&

AjR

UI CA

CA ,150100381503220

0381503220 0

0

00

∠=∠∠

=+∠

==&

&

Линейные токи находим по первому закону Кирхгофа для узлов А, В, С.

)2

132

13(10)21

23(10)

23

21(101501012010 00 −

+−

=+−−+−=∠−∠=−= jjjIII CAABA&&&

)23

21(10)

23

21(10101201018010 00 jjIII ABBCB −−=+−−−=∠−−∠=−= &&&

)21

232(10)10()

21

23(101801015010 00 jjIII BCCAC +

−=−−+−=−∠−∠=−= &&&

Изобразим полученное решение с помощью топографической диаграммы исовмещенными с ней векторными диаграммами фазных напряжений и токов.

Пример 2. Расчет токов нагрузки соединенной в звезду с нейтральным проводником.

Дано:ОмxxR CL 22===

ВUФ 220=

Найти:Линейные токи CBA III &&& ,, .

56

Решение:Наличие нейтрального проводника приводит к выравниванию потенциалов точек N и

n . Следовательно, напряжения на элементах нагрузки нам известны и они равны фазнымэдс.

AR

UI фA

A ,1022

022022

0220 00

=∠

=∠

==&

&

Ajjx

UIL

ФBB ,21010)90120(10

9022120220

22120220 000

0

00

−∠=−−∠=∠−∠

=−∠

==&

&

Ajjx

UI

C

ФCC ,21010

90221203220

22120220 0

0

00

∠=−∠∠

=−∠

=−

=&

&

Вычислим ток нейтрального проводника с помощью первого закона Кирхгофа

)31(10)21

23(10)

21

23(1010

210102101010 00

−=−−++−+=

=∠+−∠+=++=

jj

IIII CBAN&&&&

Пример 3. Расчет токов нагрузки соединенной в звезду без нейтрального проводника.

Дано:ОмxxR CL 22===

ВUФ 220=

Найти:Линейные токи CBA III &&& ,, .

Решение:Отсутствие нейтрального проводника и несимметричность нагрузки приводит к

смещению нейтрали. Термином смещение нейтрали обозначают напряжение nNU& линия,которого соединяет точки n и N на топографической диаграмме. Зададимся потенциаломточки N, равным нулю, вычислим методом узловых потенциалов смещения нейтрали,построим топограмму и совмещённую с ней векторную диаграмму токов.

CC

LBA

CLn jx

Ejx

ER

EjxjxR −

++=−

++111)111( &&&&ϕ

CBA

xxRПри

CL

CC

LBA

n EjEjE

jxjxR

jxE

jxE

RE

CL&&&

&&&

& +−=

−++

−++

===

111

111

ϕ

)31())23

21()

23

21(1( −=+−+−−−=+−= ФФCBAn UjjjjUEjEjE &&&&ϕ

)31(0 −==−=−= ФnnNnnN UU ϕϕϕϕ &&&&&

57

Зная потенциал точки n, можно уже вычислить линейные токи

31022

))31(1(220))31(1(=

−−=

−−=

−=

RU

RI ФnA

Aϕϕ &&&

))323(

23(10

22

)31)23

21((220

22)31(220120220 0

+−−−=+−−−

=−−−∠

=−

= jj

j

jjxI

L

nBB

ϕϕ &&&

))323(

23(10

22

)31)23

21((220

22)31(220120220 0

+−+−=−

+−+−=

−−−∠

=−−

= jj

j

jjxI

C

nCC

ϕϕ &&&

Пример 4. Расчет линейных токов в симметричной трехфазной цепи.

ZZZZ CBA ===и

∆=== ZZZZ CABCAB

58

Решение:Задача дополнительно усложнена параллельным включением нагрузки в звезду и в

треугольник. С целью привести нагрузку к одному виду избавимся от треугольника путёмиспользования преобразования треугольник-звезда. Для равных сопротивлений формулапреобразования упрощается

∆′′′ === ZZZZ nCnBnA 31 .

Пусть потенциал точки N равен нулю, тогда потенциалы точек n и n′ могут бытьрассчитаны по методу узловых потенциалов. Самостоятельно убедитесь в том, что длясимметричной нагрузки они будут равны нулю. Если потенциалы точек равны, то их можнона модели соединить проводником без изменения режима. Это позволит изобразить схему ввиде, более удобным для расчета, т.е. совокупностью трёх независимых однофазных схем.

Однофазная схема замещения симметричнойтрехфазной цепи.

∆

∆

′

′

′

′ ⋅+

=

+

=

+

=ZZZZU

ZZZZ

E

ZZZZ

EI Ф

nAA

nAA

A

nAA

nAA

AA

3&&&

Для расчета токов фаз В и С нет необходимости рассматривать однофазные схемы иделать вычисления, так как токи BI& и CI& будут отличаться от тока фазы А, только фазами.

0

0

120

120

1

1j

AC

jAB

eII

eII

⋅=

⋅= −

&&

&&

Мощность трёхфазной цепиМощность трёхфазной цепи, очевидно, следует определить как сумму мощностей всех

её трех фаз, т.е.CBAхф PPPP ++=3 .

59

Согласно закону сохранения энергии, в цепи выполняется баланс мощностей.Следовательно, мощность трёхфазной цепи может быть, в равной мере точно, определенакак сумма мощностей, потребляемых по каждой фазе, или же, как сумма мощностей,генерируемых каждой фазной эдс.

прCпрBпрAхф PPPP ++=3 или истCистBистAхф PPPP ++=3 .Вычислим активную мощность в цепи, рассматриваемой в примере 3 предыдущего

раздела. Воспользуемся уже вычисленными значениями линейных токов и смещениянейтрали.

Втjj

jj

IIIPPPP CnCBnBAnAпрCпрBпрAхф

,6600006600))}323(

23(10))31(

23

21(220Re{(

))}323(

23(10))31(

23

21(220Re{(}310))31(1(220Re{(

})Re{(})Re{(})Re{(***

3

=++=+−−−⋅−−+−+

++−+−⋅−−−−+⋅−−

=−+−+−=++= ϕϕϕϕϕϕ &&&&&&

Втjj

jj

IEIEIEPPPP CCBBAAистCистBистAхф

,66007.13947.13945.3810))}323(

23(10)

23

21(220Re{(

))}323(

23(10)

23

21(220Re{(}310220Re{(

}Re{}Re{}Re{***

3

=++=+−+⋅+−+

++−+−⋅−−+⋅

=++=++= &&&

Вывод. В не симметричной трехфазной цепи без нейтрального проводника мощностьфазной эдс, в общем случае, не будет равняться мощности нагрузки в этой фазе, т.е.

прАистA PP ≠ , прBистB PP ≠ , прCистC PP ≠ .Рассмотрим мгновенную мощность в симметричной трехфазной цепи.

)(3)(3

)]2402(21)(

21[2

)]2402(21)(

21[2

)](21)(

21[2

)120(2)120(2

)120(2)120(2

)(2)(2

0

0

00

00

3

ϕϕϕ

ϕϕωϕϕ

ϕϕωϕϕ

ϕϕωϕϕ

ϕωϕω

ϕωϕω

ϕωϕω

CosIUCosIU

tCosCosIU

tCosCosIU

tCosCosIU

tSinItSinU

tSinItSinU

tSinItSinU

iuiuiupppp

ФФiuФФ

iuiuФФ

iuiuФФ

iuiuФФ

iФuФ

iФuФ

iФuФ

CCBBAACBAxф

⋅=−⋅=

=+++−−+

+++−−−+

+++−−=

=++⋅+++

+−+⋅−++

++⋅+=

=++=++=

Получается, что мгновенная мощность симметричной трехфазной цепи не зависит отвремени. Следовательно, активная мощность P равная, среднему за период значению отмгновенной мощности, равна p .

Активная мощность )(3)(33 133 ϕϕ CosIUCosIUPPp ЛЛФФфхфхф =⋅=== , где

ФЛФЛ IIUU == ,3

Реактивная мощность )(3)(33 13 ϕϕ SinIUSinIUQQ ЛЛФФфxф === .

Полная мощность 23

233 xфxфxф QPS += .

60

Измерение мощности в трехфазных цепях.

Если в цепи есть нейтральный проводник, то потребляемую мощность можно найтикак сумму трёх ваттметров.

3213 WWWxф ПППP ++=

В случаи отсутствия нейтрального проводника создают искусственную нейтраль, т.е.точку с нулевым потенциалом. Значения резисторов следует выбирать из условия WRR <<( −WR сопротивление обмотки напряжения ваттметра). Если сопротивления R будутсоизмеримыми с сопротивлениями ваттметров, которые могут сильно отличаться друг отдруга, то потенциал точки О будет смещен относительно нейтрали и к ваттметрам не будутприкладываться фазные напряжения. С другой стороны, слишком маленькие значениясопротивлений R могут привести к неоправданным потерям энергии.

3213 WWWxф ПППP ++=

Иногда не требуется знать, как распределяется потребляемая мощность по фазам,тогда мощность трехфазной цепи можно измерить двумя ваттметрами. Такая схеманазывается схемой Арона.

213 WWxф ППP +=Покажем справедливость данного метода

=−+−=

=+=+=

])()Re[(

]Re[]Re[**

**

213

bcbaca

bbcaacWWxф

IUUIUU

IUIUППP

&&&&

&&

61

...,]Re[

)](Re[

]Re[

***

****

****

дтчPPPIUIUIU

IIUIUIU

IUIUIUIU

фcфbфа

ccbbaa

bacbbaa

bcbbacaa

++==++=

=−−++=

=−+−=

&&&

&&&

&&&&

С помощью одного ваттметра можно измерить мощность в симметричной трехфазнойцепи. Покажем связь показания ваттметра с величиной мощности в симметричнойтрехфазной цепи, используя для этого топографическую диаграмму.

.23,32

,23)(5.1

]5.1Re[]Re[

,05.1

131

1

**

0

WфхфWф

фaaф

aфaWW

фW

ПPPПP

PCosIU

IUIUП

ВUU

===

⋅==

===

∠=

ϕ

&

&

С помощью одного ваттметра можно также измерить реактивную мощность всимметричной трехфазной цепи. Покажем связь показания ваттметра с величиной

62

реактивной мощности в симметричной трехфазной цепи, используя для этоготопографическую диаграмму.

WФxф

WФ

фФФ

ФФABCW

ПQQ

ПQ

QSinIU

CosIUIUП

333

1

3)(3

)90(3]Re[

13

1

1

0*

==

=

=⋅=

=−⋅==

ϕ

ϕ&

ЛЕКЦИЯ 9

ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКАСуществует несколько видов постановки задачи анализа электрической цепи,

например, требуется найти токи в ветвях схемы или найти реакцию цепи на входноевоздействие. Вторая задача решается с использованием передаточной функции.

ВЫХjВЫХВХВЫХ eUUjWU ϕω == && )( , где

)()()( ωϕωω jeAjW = - передаточная функция;−)(ωA амплитудно-частотная характеристика (АЧХ);

−)(ωϕ фазо-частотная характеристика (ФЧХ);При действии на входе синусоидального сигнала реакция линейной цепи будет также

синусоидальной. Модуль и аргумент выходного сигнала можно рассчитать по АЧХ и ФЧХчетырёхполюсника.

)()(

ωϕϕϕω+=⋅=

ВХВЫХ

ВХВЫХ UAU

63

При действии на входе несинусоидального сигнала реакция цепи по форме будетотличаться и как следствие станет невозможным получить линейную связь величин.

Анализ установившегося режима цепи несинусоидального тока может быть сделаннесколькими способами, например, численным методом или частотным методом.

Частотный метод анализа установившегося режима цепи несинусоидальноготока.

Метод основан на спектральном представлении несинусоидального сигнала.Математическим аппаратом, лежащем в основе спектрального представления сигналаявляется ряды Фурье.

гармоникивысшие

kkmk

гармоникаосновнаяилипервая

m

гармониканулевая

tkSinUtSinUUtu ∑∞

=

++++=2

11110 )()()( ϕωϕω -амплитудно-фазовая форма ряда Фурье

∑∑∞

=

∞

=

++=1

11

10 )()()(k

Ckk

Sk tkСosAtkSinAUtu ωω - тригонометрическая форма ряда Фурье.

∫+

=Tt

t

dttuT

U )(10 - среднее за период значение сигнала;

dttkSintuT

AT

Sk ∫=0

1 )()(2 ω - синусный коэффициент ряда Фурье;

dttkCostuT

AT

Ck ∫=0

1 )()(2 ω - косинусный коэффициент ряда Фурье;

22CkSkmk AAU +=

)(Sk

Ckk A

AArctg=ϕ

64

Аппроксимация сигналаусеченным рядом Фурье

На практике для анализа цепей применение бесконечногоряда невозможно с вычислительной точки зрения. Поэтомуисходный сигнал аппроксимируют усеченным рядомФурье. Минимальное количество гармоническихсоставляющих удерживаемых в ряде может бытьопределено, например, на основе следующего критерия

UUU *−

>ε , где

1<<ε ,

∫+

=Tt

tdttu

TU )(1 2 -действующее значение исходного сигнала,

∑=

+=n

kkUUU

1

220

* - действующее значение суммы гармонических составляющих.

Алгоритм частотного метода анализа.1. Рассчитаем спектр входного несинусоидального сигнала;2. Вычислим АЧХ и ФЧХ передаточной функции;3. Вычислим реакцию цепи по методу наложения как сумму реакций на каждую

гармоническую составляющую спектра входного сигнала.Пример. Определить реакцию простейшей RC-цепи на последовательность

прямоугольных импульсов.

Решение:1. Спектр входного сигнала.

Нулевая гармоника 2

11 2

000

m

T

m

T

mU

dtUT

dtUT

U === ∫∫Коэффициенты при синусных составляющих тригонометрического ряда Фурье

...7,5,3,1

201

1

2

01

2))1(1()]1()([

])([12)(2

=

=−−=−−−=

=−== ∫

k

mkmm

Tm

T

mSk

kU

kU

kCoskU

tkCoskT

UdttkSinU

TA

πππ

π

ωω

ω

Коэффициенты при косинусных составляющих тригонометрического ряда Фурье

0]0)([

])([12)(2

201

1

2

01

=−=

=== ∫

ππ

ωω

ω

kSinkU

tkSinkT

UdttkCosU

TA

m

Tm

T

mCk

Итак,)700(4547.0)500(6366.0)300(0610.1)100(1830.35.2)( tSintSintSintSintuВХ ππππ ++++≈ ,В

65

2. Передаточная функция RC - цепи.

)(11

)1(1)1(

)(RCjU

Cj

CjR

U

UC

jI

UUjW

ВХ

ВХ

ВХ

ВХ

ВХ

ВЫХ

ω

ωωωω

+=

−−

=−

==&

&

&

&

&

&

АЧХ- 22 )(11

)(1)(1)()(

RCRCRCjAjW

ωωωωω

+=

+−

==

ФЧХ- )()()(arg RCArctgjW ωωϕω −==

3. Спектр выходного сигнала.k Амплитудный

спектрвходногосигнала

Частотныйспектрвходногосигнала

АЧХ

)(ωA

ФЧХ

)(ωϕ ,рад

Амплитудныйспектр выходного

сигнала

Частотныйспектр

выходногосигнала

0 2.5000 0 1.0000 - 2.5000 -1 3.1830 0 0.9540 -0.3043 3.0367 -0.30433 1.0610 0 0.7277 -0.7557 0.7721 -0.75575 0.6366 0 0.5370 -1.004 0.3418 -1.0047 0.4547 0 0.4139 -1.1440 0.1882 -1.1440

Ответ: +−+−+≈ )7557.0300(7721.0)3043.0100(0367.35.2)( tSintSintuВЫХ ππ)1440.1700(1882.0)004.1500(3418.0 −+−+ tSintSin ππ

66

Измерение в цепях несинусоидального тока.Для измерения действующего значения несинусоидального сигнала используют

электромагнитные приборы. В основе принципа действия его механизма лежитвзаимодействие магнитного поля измеряемого тока в неподвижном проводнике с полемодного или нескольких подвижных постоянных магнитов. Обозначаются такие приборыспециальным знаком

Для измерения среднего значения несинусоидального сигнала используютмагнитоэлектрические приборы. В основе принципа действия его механизма лежитвзаимодействие магнитного поля неподвижного постоянного магнита с магнитным полемизмеряемого тока, протекающего по подвижному проводнику. Обозначаются такие приборыспециальным знаком

В цифровых приборах измеряется не действующее значение сигнала, а действующеезначение переменной составляющей. Обозначается такой измеритель аббревиатурой RMS(Root-Mean-Square value - среднеквадратичное значение). Таким образом, чтобы цифровымприбором измерить действующее значение нужно сначала измерить среднее значение 0U ,затем действующее значение переменной составляющей ~U , а затем вычислитьдействующее значение по формуле

2~

20 UUU +=

Мощность в цепи несинусоидального тока.Рассмотрим двухполюсник на входе, которого действуют ток )(ti и напряжение )(tu .

Спектры этих величин тоже известны.

Полная мощность ∑∑∞

=

∞

=

==0

2

0

2

kk

kk IUUIS

Активная мощность ∑∞

=∞ −+=++++=

100210 )(...

kikukkk CosIUIUPPPPP ϕϕ

Реактивная мощность ∑∞

=∞ −=++++=

1210 )(...

kikukkk SinIUQQQQQ ϕϕ

В отличии от линейных цепей синусоидального тока связь этих величин будет иной,22 QPS +> .

Поэтому вводят понятие мощности искажения, которая дополняет это неравенство доравенства

222 TQPS ++= , гдеТ – мощность искажения, [ВА].

67

Пример. Вычислить мощность искажения на входе однополупериодноговыпрямителя.

Решение:1. Вычислим действующее значение входного тока.

== ∫T

H

mвх dttSin

RU

TI

0

22 )()(1 ω

AR

USin

RU

dttCosTR

UdttSin

RU

T

H

m

H

m

T

H

m

T

H

m

0.5102

1002

)0)2((41

41()(

)2(1(211)()()(1

2

2

0

22

0

22

=⋅

==−−=

=−== ∫∫

ππ

ωω

2. Вычисляем полную мощность на входе выпрямителя

BAR

UR

UUIUS

H

m

H

mmвхвх ,5.353

1022100

2222

22

=⋅

==⋅==

3. Вычисляем мощность нагрузки

BтR

UR

UUIUIUP

H

m

H

mmвхHHHH ,250

104100

422

22

=⋅

=====

4. Вычисляем мощность искажения

ВАT

T

TQPS

,2502505.353

02505.35322

222

222

=−=

++=

++=

Мощность искажения возникает в цепях, где формы кривых тока и напряжения несовпадают.

68

Вопросы по курсу ТОЭ, ч-1 для групп ЭТ-41(42)-02.

1. Основные понятия и определения теории электрических цепей.Электрический ток и напряжение.Положительные направления тока и напряжения.Энергия и мощность электрического тока.Электрическая цепь и электрическая схема.Идеализированные элементы электрических цепей:резистор, катушка индуктивности, взаимная индуктивность, конденсатор,источник э.д.с., источник тока.

2. Закон Ома для участка цепи, содержащей э.д.с.3. Законы Кирхгофа.

4. Электрические цепи синусоидального тока. Характеристикасинусоидальной величины. Действующее значения электрической величины.

5. Элементы R, L, С в цепи синусоидального тока. Треугольниксопротивлений. Треугольник проводимостей.

6. Мощность в цепи синусоидального тока.7. Комплексный метод расчета электрических цепей. Изображение

синусоидальной величины с помощью вращающегося вектора.8. Комплексное изображение электрических величин и идеализированных

элементов электрических цепей. Комплексные сопротивление и проводимость.10. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме.11. Векторные диаграммы токов и напряжений. Топографическая диаграмма

напряжений (потенциальная диаграмма).12. Комплексная форма записи мощности.13. Баланс мощностей.14. Методы расчета электрических цепей:Расчет цепей по законам Ома и Кирхгофа.Метод преобразований схем.Метод наложения.Метод контурных токов.Метод узловых потенциалов.Метод эквивалентного генератора.Теорема взаимности. Принцип компенсации.15. Резонанс в электрических цепях.16. Частотные характеристики последовательного RLС-контура.17. Резонанс в сложных цепях.18. Условие передачи максимальной активной мощности от источника к

приемнику.19. Индуктивно связанные электрические цепи:Одноименные зажимы индуктивно связанных катушек.Коэффициент связи.Комплексное представление взаимной индуктивности.Согласное и встречное включение катушек индуктивности.Развязка индуктивных связей.Расчет цепей, содержащих индуктивно-связанные катушки.21. Трансформатор:Уравнения, схема замещения, векторная диаграмма.Входное сопротивление трансформатора.Совершенный трансформатор.Идеальный трансформатор22. Трехфазные цепи:Схемы соединения источника.Схемы соединения нагрузки.Расчет симметричных трехфазных цепей.Расчет несимметричных трехфазных цепей.Расчет мощности трехфазной цепи. Измерение мощности.23. Цепи периодического несинусоидального тока.Применение ряда Фурье к расчету периодического несинусоидального тока.Действующее и среднее значение периодической

несинусоидальной функции.Мощность в цепи периодического несинусоидального тока.