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Autores:
MMMAAAEEE... MMMAAA... DDDEEE JJJEEESSSÚÚÚSSS ÁÁÁLLLVVVAAARRREEEZZZ TTTOOOSSSTTTAAADDDOOO UUURRRIIIBBBEEE
IIINNNGGG... AAALLLFFFOOONNNSSSOOO SSSAAAMMMUUUEEELLL SSSOOOTTTEEENNNOOO TTTAAAHHHUUUIIILLLAAANNN
1
Álgebra y trigonometría UAEMex
ÍÍNNDDIICCEE TTEEMMÁÁTTIICCOO
PPRREESSEENNTTAACCIIÓÓNN _________________________________________________________________________________ 1
IINNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN _________________________________________________________________________________ 2
MMEETTOODDOOLLOOGGÍÍAA ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3
CCOOMMPPEETTEENNCCIIAASS AA DDEESSAARROOLLLLAARR ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3
CCOONNCCEEPPTTOOSS BBÁÁSSIICCOOSS __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 4
DDEEFFIINNIICCIIÓÓNN DDEE TTRRIIÁÁNNGGUULLOO _________________________________________________________________________ 6
TTRRIIÁÁNNGGUULLOOSS SSEEGGÚÚNN SSUUSS LLAADDOOSS ______________________________________________________________________ 7
TTRRIIÁÁNNGGUULLOOSS SSEEGGÚÚNN SSUUSS ÁÁNNGGUULLOOSS ____________________________________________________________________ 8
RRAAZZOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS EENN UUNN TTRRIIÁÁNNGGUULLOO RREECCTTÁÁNNGGUULLOO __________________________________________________ 9
RRAAZZOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS EENN UUNNAA CCIIRRCCUUNNFFEERREENNCCIIAA ______________________________________________________ 11
RREELLAACCIIOONNEESS EENNTTRREE LLAASS RRAAZZOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS _______________________________________________________ 13
UUNNIIDDAADDEESS AANNGGUULLAARREESS ___________________________________________________________________________ 14
FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS IINNVVEERRSSAASS_______________________________________________________________ 14
VVAALLOORR DDEE LLAASS FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS ____________________________________________________________ 15
SSEENNTTIIDDOO DDEE LLAASS FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS __________________________________________________________ 17
AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS DDEE LLAA TTRRIIGGOONNOOMMEETTRRIIAA __________________________________________________________ 24
RREESSOOLLUUCCIIÓÓNN DDEE TTRRIIÁÁNNGGUULLOOSS _______________________________________________________________________ 27
TTRRIIAANNGGUULLOOSS OOBBLLIICCUUAANNGGUULLOOSS ______________________________________________________________________ 36
AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS DDEE LLAA TTRRIIGGOONNOOMMEETTRRÍÍAA _________________________________________________________________ 43
CCÁÁLLCCUULLOO DDEE LLAA DDIISSTTAANNCCIIAA EENNTTRREE DDOOSS PPUUNNTTOOSS IINNAACCCCEESSIIBBLLEESS __________________________________________________ 43
EESSTTRRAATTEEGGIIAA DDEE LLAA AALLTTUURRAA ________________________________________________________________________ 44
CCÁÁLLCCUULLOO DDEE LLAA AALLTTUURRAA YY DDEELL ÁÁRREEAA DDEE UUNN TTRRIIÁÁNNGGUULLOO OOBBLLIICCUUÁÁNNGGUULLOO ___________________________________________ 45
FFOORRMMUULLAARRIIOO BBÁÁSSIICCOO DDEE TTRRIIGGOONNOOMMEETTRRÍÍAA ______________________________________________________________ 54
Ejercicios _________________________________________________________________________________ 58
MMAASS EEJJEEMMPPLLOOSS ________________________________________________________________________________ 61
AACCTTIIVVIIDDAADDEESS DDEE MMEETTAACCOOGGNNIICCIIÓÓ ____________________________________________________________________ 68
Bibliografia _______________________________________________________________________________ 69
1
Álgebra y trigonometría UAEMex
PPRREESSEENNTTAACCIIÓÓNN
La educación superior en México para su transformación institucional
requiere un cambio de paradigma, recordando que una nueva visión traerá
como consecuencia un cambio en la acción.
La Universidad Autónoma del Estado der México debe estar al frente de estos
cambios para hacer frente a las exigencias del medio social en el que se
encuentra insertada, en forma operativa cada entidad llevan a cabo una serie
de acciones para poder mejorar la calidad de la educación que imparte, así
como de los servicios que lleva acabo, además de los mecanismos con que se
da la difusión de la cultura.
En lo referente a la calidad de la educación, en el Nivel Medio Superior se lleva
a cabo la Reforma Integral de la Educación Media Superior en México (RIEMS)
para lo cual contemplan una enseñanza centrada en el estudiantes mediante el
uso de ambientes de aprendizaje adecuados a contextos novedosos donde el
estudiante perciba la aplicación de su conocimiento.
Los presentes apuntes respecto al Modulo I de la signatura de trigonometría
sobre el tema de triángulos muestran una serie de consideraciones respecto a
los conceptos básicos, bajo un proceso matemático paso a paso para propiciar
en el estudiante su comprensión para la aplicación de su aprendizaje en
situaciones reales.
2
Álgebra y trigonometría UAEMex
IINNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN
El objetivo de una gran parte de las matemáticas es el estudio de las relaciones
que existen entre las variables, las cuales representan dimensiones y
elementos de la realidad, asimismo se estructuran en modelos matemáticos
expresados con "fórmulas" como una lista de ecuaciones en la mayoría de las
veces para memorizar, dentro del enfoque por competencias esto no es lo más
adecuado, por eso los diversos apoyos didácticos se hacen indispensables
para complementar la explicación de profesor.
Existen muchas ideas importantes en el estudio del álgebra y trigonometría, se
utilizan en repetidas ocasiones y en diferentes contextos. Con el apoyo de este
material didáctico el estudiante podrá ser capaces de aplicar dichos conceptos,
ya que su metodología lleva paso a paso al desarrollo reflexivo de cada uno de
los teoremas, leyes, y formulas, con un sentido de aplicación en contextos
reales.
Otro de los objetivos de estos apuntes es que el estudiante sea capaz de
traducir un problema planteado en lenguaje común al disciplinar matemático.
A lo largo de estos apuntes, se presentan formulas y modelos matemáticos, así
como ejercicios y problemas para que el estudiante adquiera las competencias
estipuladas en el perfil de egreso.
3
Álgebra y trigonometría UAEMex
MMEETTOODDOOLLOOGGÍÍAA
Estrategia de enseñanza: lluvia de ideas y esquemas (reflexión y análisis
sobre los dibujos representativos de los modelos matemáticos respecto
a triángulos).
Estrategia de aprendizaje: aprendizaje basado en situaciones.
Método: inductivo y deductivo
Técnica: participativa.
Medios y recurso: libro de texto, apuntes respecto al tema, videos de
apoyo, cañón y computadora.
CCOOMMPPEETTEENNCCIIAASS AA DDEESSAARRRROOLLLLAARR
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Álgebra y trigonometría UAEMex
CCOONNCCEEPPTTOOSS BBÁÁSSIICCOOSS
Trigonometría, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los
lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las
funciones trigonométricas de ángulos. Las dos ramas fundamentales de la
trigonometría son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas
en un plano, y la trigonometría esférica, que se ocupa de triángulos que forman
parte de la superficie de una esfera.
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la
navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era
determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la
Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras
aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en
casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos
periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna.
Trigonometría plana
5
Álgebra y trigonometría UAEMex
El concepto trigonométrico de ángulo es fundamental en el estudio de la
trigonometría. Un ángulo trigonométrico se genera con un radio que gira. Los
radios OA y OB (figuras 1a, 1b y 1c) se consideran inicialmente coincidentes
con OA. El radio OB gira hasta su posición final. Un ángulo y su magnitud son
positivos si se generan con un radio que gira en el sentido contrario a las
agujas del reloj, y negativo si la rotación es en el sentido de las agujas del reloj.
Dos ángulos trigonométricos son iguales si sus rotaciones son de igual
magnitud y en la misma dirección.
Una unidad de medida angular se suele definir como la longitud del arco de
circunferencia, como s en la figura 2, formado cuando los lados del ángulo
central (con vértice en el centro del círculo) cortan a la circunferencia.
Si el arco s (AB) es igual a un cuarto de la circunferencia total C, es decir, s =
3C, de manera que OA es perpendicular a OB, la unidad angular es el ángulo
recto. Si s = 1C, de manera que los tres puntos A, O y B están todos en la
misma línea recta, la unidad angular es el ángulo llano. Si s = 1/360 C, la
unidad angular es un grado. Si s = YC, de manera que la longitud del arco es
igual al radio del círculo, la unidad angular es un radián. Comparando el valor
de C en las distintas unidades, se tiene que
1 ángulo llano = 2 ángulos rectos = 180 grados = p radianes
Cada grado se subdivide en 60 partes iguales llamadas minutos, y cada minuto
se divide en 60 partes iguales llamadas segundos. Si se quiere mayor
exactitud, se utiliza la parte decimal de los segundos. Las medidas en radianes
menores que la unidad se expresan con decimales. El símbolo de grado es °, el
6
Álgebra y trigonometría UAEMex
de minuto es ´ y el de segundos es ". Las medidas en radianes se expresan o
con la abreviatura rad o sin ningún símbolo. Por tanto, 61° 28´ 42,14" = 1,073
rad = 1,073
Se sobreentiende que el último valor es en radianes.
Un ángulo trigonométrico se designa por convenio con la letra griega theta (q).
Si el ángulo q está dado en radianes, entonces se puede usar la fórmula s = rq
para calcular la longitud del arco s; si q viene dado en grados, entonces:
s = π.r. θ /180
DDEEFFIINNIICCIIÓÓNN DDEE TTRRIIÁÁNNGGUULLOO
El triángulo es un polígono de tres lados.
El triángulo está determinado por tres segmentos de recta que se denominan
lados, o por tres puntos no alineados llamados vértices.
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Álgebra y trigonometría UAEMex
Los lados de un triángulo se escriben en minúscula, con las mismas letras de
los vértices opuestos.
Los vértices de un triángulo se escriben con letras mayúsculas.
Los ángulos de un triángulo se escriben igual que los vértices.
TTRRIIÁÁNNGGUULLOOSS SSEEGGÚÚNN SSUUSS LLAADDOOSS
Triángulo equilátero
Tres lados iguales.
Triángulo isósceles
Dos lados iguales.
8
Álgebra y trigonometría UAEMex
Triángulo escaleno
Tres lados desiguales.
TTRRIIÁÁNNGGUULLOOSS SSEEGGÚÚNN SSUUSS ÁÁNNGGUULLOOSS
Triángulo acutángulo
Tres ángulos agudos
Triángulo rectángulo
Un ángulo recto
El lado mayor es la hipotenusa.
Los lados menores son los catetos.
9
Álgebra y trigonometría UAEMex
Triángulo obtusángulo
Un ángulo obtuso.
RRAAZZOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS EENN UUNN TTRRIIÁÁNNGGUULLOO RREECCTTÁÁNNGGUULLOO
Seno
El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la
hipotenusa.
Se denota por sen B.
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Álgebra y trigonometría UAEMex
Coseno
El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la
hipotenusa.
Se denota por cos B.
Tangente
La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el
cateto contiguo al ángulo.
Se denota por tg B.
Cosecante
La cosecante del ángulo B es la razón inversa del seno de B.
Se denota por cosec B.
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Álgebra y trigonometría UAEMex
Secante
La secante del ángulo B es la razón inversa del coseno de B.
Se denota por sec B.
Cotangente
La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la tangente de B.
Se denota por cotg B.
RRAAZZOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS EENN UUNNAA CCIIRRCCUUNNFFEERREENNCCIIAA
Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen
de coordenadas y su radio es la unidad.
En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro
cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.
QOP y TOS son triángulos semejantes.
QOP y T'OS′ son triángulos semejantes.
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Álgebra y trigonometría UAEMex
El seno es la ordenada.
El coseno es la abscisa.
-1 ≤ sen α ≤ 1
-1 ≤ cos α ≤ 1
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Álgebra y trigonometría UAEMex
Signo de las razones trigonométricas
Tabla de razones trigonométricas
RREELLAACCIIOONNEESS EENNTTRREE LLAASS RRAAZZOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS
cos² α + sen² α = 1
sec² α = 1 + tg² α
cosec² α = 1 + cotg² α
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Álgebra y trigonometría UAEMex
UUNNIIDDAADDEESS AANNGGUULLAARREESS
En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres
unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal,
en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad
natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad
más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en
construcción.
Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos.
En una circunferencia completa hay 2π radianes.
Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360
grados.
Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados
centesimales.
FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS IINNVVEERRSSAASS
En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un
radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele
denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las
funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así si:
y es igual al seno de x, la función inversa:
15
Álgebra y trigonometría UAEMex
x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.
si:
y es igual al coseno de x, la función inversa:
x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.
si:
y es igual al tangente de x, la función inversa:
x es el arco cuya tangente vale y, ó x es igual al arcotangente de y.
VVAALLOORR DDEE LLAASS FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS
A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:
Circunferencia en radianes. Circunferencia en Grado sexagesimal.
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Álgebra y trigonometría UAEMex
Radianes
Grados
sexag.
seno coseno tangente cosecant
e secante
cotangen
te
Para el cálculo del valor de las funciones trigonométricas se confeccionaron
tablas trigonométricas. La primera de estas tablas fue desarrollada por Johann
Müller Regiomontano en 1467, que nos permiten, conocido un ángulo, calcular
los valores de sus funciones trigonométricas. En la actualidad dado el
desarrollo de la informática, en prácticamente todos los lenguajes de
programación existen librerías de funciones que realizan estos cálculos,
incorporadas incluso en calculadoras electrónicas de bolsillo, por lo que el
empleo actual de las tablas resulta obsoleto.
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Álgebra y trigonometría UAEMex
SSEENNTTIIDDOO DDEE LLAASS FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS
Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y una
circunferencia goniométrica (circunferencia de radio la unidad) con centro en O;
el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos
como punto E.
Nótese que el punto A es el vértice del triangulo, y O es el centro de
coordenada del sistema de referencia:
a todos los efectos.
La recta r, que pasa por O y forma un ángulo sobre el eje de las x, corta a la
circunferencia en el punto B, la vertical que pasa por B, corta al eje x en C, la
vertical que pasa por E corta a la recta r en el punto D.
Por semejanza de triángulos:
Los puntos E y B están en la circunferencia de centro O, por eso la distancia
y son el radio de la circunferencia, en este caso al ser una
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Álgebra y trigonometría UAEMex
circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones
trigonométricas:
Tenemos:
La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya
expuesta.
Primer cuadrante
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Álgebra y trigonometría UAEMex
Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas,
podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo
.
Para , tenemos que B, D, y C coinciden en E, por tanto:
Si aumentamos progresivamente el valor de , las distancias y
aumentaran progresivamente, mientras que disminuirá.
Percatarse que y están limitados por la circunferencia y por tanto su
máximo valor absoluto será 1, pero no está limitado, dado que D es el
punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por E, en el
momento en el que el ángulo rad, la recta r será la vertical que pasa
por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia
será infinita.
La tangente toma valor infinito cuando rad, el seno vale 1 y el
coseno 0.
20
Álgebra y trigonometría UAEMex
Segundo cuadrante
Cuando el ángulo supera el ángulo recto, el valor del seno empieza a
disminuir según el segmento , el coseno aumenta según el segmento
pero en el sentido negativo de las x, el valor del coseno toma sentido negativo,
si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo.
La tangente para un ángulo inferior a rad se hace infinita en el sentido
positivo de las y, para el ángulo recto la recta vertical r que pasa por O y la
vertical que pasa por E no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún
valor real, cuando el ángulo supera los rad y pasa al segundo cuadrante
la prolongación de r corta a la vertical que pasa por E en el punto D real, en el
lado negativo de las y, la tangente por tanto toma valor negativo en el
21
Álgebra y trigonometría UAEMex
sentido de las y, y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo
aumenta progresivamente hasta los rad.
Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de , , disminuye
progresivamente su valor desde 1, que toma para rad, hasta que
valga 0, para rad, el coseno, , toma valor negativo y su valor varia
desde 0 para rad, hasta –1, para rad.
La tangente conserva la relación:
Incluyendo el signo de estos valores.
Tercer cuadrante
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Álgebra y trigonometría UAEMex
En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo rad a
rad, se produce un cambio de los valores del seno el coseno y la
tangente, desde los que toman para rad:
Cuando el ángulo aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor
absoluto en el sentido negativo de las y, el coseno disminuye en valor absoluto
en el lado negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo
hacia en el primer cuadrante.
A medida que el ángulo crece el punto C se acerca a O, y el segmento , el
coseno, se hace más pequeño en el lado negativo de las x.
El punto B, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por C, se
aleja del eje de las x, en el sentido negativo de las y, el seno, .
Y el punto D, intersección de la prolongación de la recta r y la vertical que pasa
por E, se aleja del eje las x en el sentido positivo de las y, con lo que la
tangente, , aumenta igual que en el primer cuadrante
Cuando el ángulo alcance rad, el punto C coincide con O y el coseno
valdrá cero, el segmento será igual al radio de la circunferencia, en el lado
negativo de las y, y el seno valdrá –1, la recta r del ángulo y la vertical que
pasa por E serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado
positivo de las y.
El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación, tanto en
valores como en signo, nótese que cuando el coseno vale cero, la tangente se
hace infinito.
23
Álgebra y trigonometría UAEMex
Cuarto cuadrante
En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo entre rad
y rad, las variables trigonométricas varían desde los valores que toman para
rad:
hasta los que toman para rad pasando al primer cuadrante, completando
una rotación:
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Álgebra y trigonometría UAEMex
como puede verse a medida que el ángulo aumenta, aumenta el coseno
en el lado positivo de las x, el seno disminuye en el lado negativo de las y,
y la tangente también disminuye en el lado negativo de las y.
Cuando , vale ó al completar una rotación completa los puntos B, C y
D, coinciden en E, haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno
uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante.
AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS DDEE LLAA TTRRIIGGOONNOOMMEETTRRIIAA
FFIIGGUURRAASS RREEDDUUCCIIBBLLEESS AA TTRRIIÁÁNNGGUULLOOSS RREECCTTÁÁNNGGUULLOOSS
La trigonometría es un instrumento de cálculo muy fecundo. Se aplica en todo
problema relacionado con ángulos o con fenómenos periódicos. La estrategia a
emplear consiste en transformar la aplicación en un triángulo rectángulo u
oblicuángulo y aplicarle las relaciones conocidas.
En este tema responderemos a las siguientes preguntas:
¿Qué otras aplicaciones inmediatas tiene la Trigonometría?
La resolución de figuras geométricas reducibles a triángulos rectángulos.
¿Cómo lo haremos?
25
Álgebra y trigonometría UAEMex
Utilizando las razones trigonométricas, y las propiedades que ligan a los lados
y los ángulos en los triángulos rectángulos y lo obtenido en la resolución de
triángulos rectángulos.
¿Por qué?
Puede utilizarse como herramienta de cálculo posterior
¿Para qué las usaremos?
Para adiestrarnos en su manejo y estar preparados para su potencial utilización
y comprobar la polivalencia de los instrumentos matemáticos.
APLICACIONES
1.- Triángulo equilátero:
Triángulo equilátero es aquel que tiene iguales sus lados y sus ángulos
Los triángulos tienen la propiedad:
A + B + C = 180
Al tener sus tres ángulos iguales se cumplirá que
3A = 180; luego cada ángulo tiene una amplitud de 60º
Los problemas relativos al triángulo equilátero se resuelven sin necesidad de
aplicar la trigonometría, solo geométricamente.
Un triángulo equilátero también llamado equiángulo es isósceles, los problemas
en que interviene aquél se resuelven trigonométricamente, aplicando lo que
sigue:
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Álgebra y trigonometría UAEMex
2.- Triángulo isósceles:
Un triángulo isósceles es aquel que tiene iguales dos lados y dos ángulos
Si llamamos A al ángulo desigual y B a los ángulos iguales, por las propiedades
de los ángulos se sabe que:
A + 2 B = 180
La altura AH relativa al lado desigual del triángulo isósceles es bisectriz del
ángulo, por tanto dividirá al triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos
iguales.
Los problemas que se nos pueden plantear son los siguientes:
1.- Dado el lado desigual a y uno de los ángulos iguales B, hallar: el ángulo
desigual, los otros lados iguales b, la altura h, la superficie S.
2.- Dado el lado desigual a y el ángulo desigual A, hallar: los ángulos iguales,
B, el otro lado b, la altura h, la superficie S.
3.- Dado el lado igual b y uno de los ángulos iguales B, hallar: el ángulo
desigual, el otro lado a, la altura h, la superficie S.
27
Álgebra y trigonometría UAEMex
4.- Dado el lado igual b el ángulo desigual A, hallar: los ángulos iguales, el
otro lado a, la altura h, la superficie S.
RREESSOOLLUUCCIIÓÓNN DDEE TTRRIIÁÁNNGGUULLOOSS
Resolver un triángulo consiste en hallar sus lados, ángulos y área.
Para resolver un triángulo rectángulo se necesita conocer dos lados del
triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto.
Dependiendo de los elementos que conozcamos, nos encontramos con cuatro
tipos de resolución de triángulos rectángulos:
1. Se conocen la hipotenusa y un cateto
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Álgebra y trigonometría UAEMex
2. Se conocen los dos catetos
3.Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo
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Álgebra y trigonometría UAEMex
4. Se conocen un cateto y un ángulo agudo
30
Álgebra y trigonometría UAEMex
Ejercicios
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m. Resolver
el triángulo.
sen B = 280/415 = 0.6747 B = arc sen 0.6747 = 42° 25′
C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′
c = a cos B c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Resolver el
triángulo.
tg B = 33/21 = 1.5714 B = 57° 32′
C = 90° - 57° 32′ = 32° 28′
a = b/sen B a = 33/0.5437 = 39.12 m
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22°. Resolver el
triángulo
C = 90° - 22° = 68°
31
Álgebra y trigonometría UAEMex
b = a sen 22° b = 45 · 0.3746 = 16.85 m
c = a cos 22° c = 45 · 0.9272 = 41.72 m
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B = 37º. Resolver el
triángulo
C = 90° - 37° = 53º
a = b/sen B a = 5.2/0.6018 = 8.64 m
c = b · cotg B c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m
Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un
ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?
Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene
como arco correspondiente uno de 70º
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Álgebra y trigonometría UAEMex
Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados
miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.
Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se
observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un
ángulo de 60°.
33
Álgebra y trigonometría UAEMex
La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los radios de la
circunferencia inscrita y circunscrita.
34
Álgebra y trigonometría UAEMex
35
Álgebra y trigonometría UAEMex
Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octógono regular inscrito en
una circunferencia de 49 centímetros de radio.
Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6
km y la de B a C 9 km. El ángulo que forman estas carreteras es 120°. ¿Cuánto
distan A y B?
36
Álgebra y trigonometría UAEMex
TTRRIIÁÁNNGGUULLOOSS OOBBLLIICCUUÁÁNNGGUULLOOSS
Para resolver triángulos oblicuángulos vamos a utilizar los teoremas del seno
y del coseno.
Dependiendo de los elementos que conozcamos, nos encontramos con cuatro
tipos de resolución de triángulos oblicuángulos:
1º. Conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él
37
Álgebra y trigonometría UAEMex
De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los
restantes elementos.
2º. Conociendo dos lados y el ángulo comprendido
38
Álgebra y trigonometría UAEMex
De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°. Calcula los
restantes elementos.
39
Álgebra y trigonometría UAEMex
3º Conociendo dos lados y un ángulo opuesto
sen B > 1. No hay solución
sen B = 1 Triángulo rectángulo
sen B < 1. Una o dos soluciones
Supongamos que tenemos a, b y A; al aplicar el teorema de los senos puede
suceder:
1. sen B > 1. No hay solución.
Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m.
40
Álgebra y trigonometría UAEMex
Como el seno de un ángulo nunca puede ser mayor que 1, el problema no tiene
solución. La figura muestra la imposibilidad de que exista el triángulo
planteado.
2. sen B = 1. Solución única: triángulo rectángulo
Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 6 m.
3. sen B < 1. Una o dos soluciones
Resuelve el triángulo de datos: A = 60°, a = 8 m y b = 4 m.
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Álgebra y trigonometría UAEMex
Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 4 m.
42
Álgebra y trigonometría UAEMex
4º. Conociendo los tres lados
Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m.
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Álgebra y trigonometría UAEMex
AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS DDEE LLAA TTRRIIGGOONNOOMMEETTRRÍÍAA
Cálculo de la distancia entre dos puntos, uno de los cuales es inaccesible
Se fija en el plano horizontal dos puntos A y C, y se mide la distancia que los
separa: b= 200 m.
Se miden con el teodolito los ángulos A y C. A= 61º 28' y C= 54º 53'.
CCÁÁLLCCUULLOO DDEE LLAA DDIISSTTAANNCCIIAA EENNTTRREE DDOOSS PPUUNNTTOOSS IINNAACCCCEESSIIBBLLEESS
Se fija en el plano horizontal dos puntos C y D, y se mide la distancia que los
separa: b= 450 m.
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Álgebra y trigonometría UAEMex
Se miden con el teodolito los ángulos C y D. C= 68º 11' y D= 80º 40'.
También se miden los ángulos BCD = 32º 36' y ADC = 43º 52'.
EESSTTRRAATTEEGGIIAA DDEE LLAA AALLTTUURRAA
La estrategia de la altura es un método para resolver triángulos oblicuángulos
que consiste en elegir convenientemente una de las alturas del triángulo, de
manera que ésta lo divida en dos triángulos rectángulos que puedan resolverse
con los datos que nos den.
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Álgebra y trigonometría UAEMex
CCÁÁLLCCUULLOO DDEE LLAA AALLTTUURRAA YY DDEELL ÁÁRREEAA DDEE UUNN TTRRIIÁÁNNGGUULLOO OOBBLLIICCUUÁÁNNGGUULLOO
Altura y área de un triángulo
La altura de un triángulo es igual al producto de
uno de sus lados laterales (que no es la base) por
el seno del ángulo que dicho lado forma con la
base.
El área de un triángulo es igual a la mitad del
producto de dos de sus lados por el seno del
ángulo que forman.
Demostración:
Altura: Consideremos un triángulo oblicuángulo ABC como el de la figura
adjunta. Si conocemos el ángulo y el lado ), podemos obtener el valor de
la altura utilizando el seno del ángulo dado.
Área: Consideremos un triángulo oblicuángulo ABC anterior. Teniendo en
cuenta el valor de la altura que hemos obtenido en la demostración anterior,
tenemos:
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Álgebra y trigonometría UAEMex
[editar]
Cálculo de las proyecciones de los lados de un triángulo sobre la base
Proyecciones sobre la base
Las proyecciones de los lados de un triángulo
sobre su base se obtienen multiplicando cada lado
por el coseno del ángulo que forma con la base.
Demostración:
Consideremos un triángulo oblicuángulo ABC como el de la figura adjunta. Si
conocemos el ángulo y el lado ), podemos obtener el valor de la
proyección sobre la base, utilizando el coseno del ángulo :
Análogamente para la proyección :
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Álgebra y trigonometría UAEMex
Método de doble observación
El método de doble observación se utiliza cuando tenemos que hallar una
altura de un objeto y tenemos como datos dos ángulos de observación desde
dos puntos que están separados una distancia también conocida. También el
dato conocido puede ser la altura y lo que tenemos que hallar es la distancia
entre los puntos de observación.
Supongamos que los dos puntos de observación
son A y B y que queremos hallar la distancia que
hay entre ellos. Supongamos conocidos los
ángulos A y B y la altura h.
Plantearemos el siguiente sistema de ecuaciones
para determinar m y n:
El problema puede variar en cuanto a los datos y a las incógnitas, pero
mantiene como técnica el aplicar la tangente a los dos ángulos observados
para plantear un sistema similar al anterior.
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Álgebra y trigonometría UAEMex
Ejemplo: Método de doble observación
Con objeto de determinar la altura de un
árbol situado en un lugar inaccesible, se
dispone un teodolito en un punto accesible
y desde el mismo se lanza una visual al
punto más alto del árbol, obteniéndose un
ángulo de inclinación de 22º 47'.
A continuación, se adelanta el teodolito una
distancia de 10 m en dirección al árbol y se
vuelve a lanzar otra visual al mismo punto,
obteniéndose, en este caso, un ángulo de
31º 19'.
Calcula la altura del árbol, considerando
que el anteojo del teodolito está a 1.5 m del
suelo.
La altura del árbol será , siendo la altura del teodolito, es decir,
. Ahora bien, en el triángulo :
Por otra parte, en el triángulo BAC:
Llamando , obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
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Álgebra y trigonometría UAEMex
Equivalente a:
Que podemos resolver por el método de igualación despejando x en ambas
ecuaciones:
Por tanto, la altura del árbol es:
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Álgebra y trigonometría UAEMex
FFOORRMMUULLAARRIIOO BBÁÁSSIICCOO DDEE TTRRIIGGOONNOOMMEETTRRÍÍAA
Fórmulas del teorema de Pitágoras
Teorema del cateto
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Álgebra y trigonometría UAEMex
Teorema de la altura
Teorema de Pitágoras
Diagonal del cuadrado
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Álgebra y trigonometría UAEMex
Diagonal del rectángulo
Lado oblicuo del trapecio rectángulo
Altura del trapecio isósceles
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Álgebra y trigonometría UAEMex
Altura del triángulo equilátero
Apotema de un polígono regular
Apotema del hexágono inscrito
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Álgebra y trigonometría UAEMex
Lado de un triángulo equilátero inscrito
Lado de un cuadrado inscrito
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Álgebra y trigonometría UAEMex
Fórmulas del teorema de Thales y semejanza de triángulos
Teorema de Thales
Si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los
segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los
segmentos correspondientes en la otra.
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Álgebra y trigonometría UAEMex
Semejanza de triángulos
Criterios de semejanza de triángulos
1Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
2 Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.
3 Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo
comprendido entre ellos igual.
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Álgebra y trigonometría UAEMex
Criterios de semejanza de triángulos rectángulos
1Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.
2Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los dos catetos
proporcionales.
3Los triángulos son semejantes si tienen proporcionales la hipotenusa y un
cateto.
Semejanza de polígonos
Dos polígonos son semejantes cuando tienen los ángulos homólogos iguales y
los lados homólogos proporcionales.
solución de triángulos rectángulos
1.
EEJJEERRCCIICCIIOOSS
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Álgebra y trigonometría UAEMex
Resolver un triángulo rectángulo conociendo
la hipotenusa y un cateto
2. Resolver un triángulo rectángulo conociendo
los dos catetos
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Álgebra y trigonometría UAEMex
3. Resolver un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa y un ángulo
agudo
4. Resolver un triángulo rectángulo conociendo un cateto y un ángulo
agudo
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Álgebra y trigonometría UAEMex
Área de un triángulo
Fórmula de Herón:
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Álgebra y trigonometría UAEMex
MMÁÁSS EEJJEEMMPPLLOOSS
Resolución de triángulos oblicuángulos
1.Resolver un triángulo conociendo
un lado y dos ángulos adyacentes a él
2.Resolver un triángulo conociendo dos lados y el ángulo comprendido
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Álgebra y trigonometría UAEMex
3.Resolver un triángulo conociendo dos lados y un ángulo opuesto
sen B > 1. No hay solución
sen B = 1 Triángulo rectángulo
sen B < 1. Una o dos soluciones
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Álgebra y trigonometría UAEMex
4.Resolver un triángulo conociendo los tres lados
Fórmulas de trigonometría
Razones trigonométricas
Seno
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Álgebra y trigonometría UAEMex
Coseno
Tangente
Cosecante
Secante
Cotangente
Identidades trigonométricas fundamentales
sen² α + cos² α = 1
sec² α = 1 + tg² α
cosec² α = 1 + cotg² α
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Álgebra y trigonometría UAEMex
Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos
Razones trigonométricas del ángulo doble
Razones trigonométricas del ángulo mitad
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Álgebra y trigonometría UAEMex
Transformaciones de sumas en productos
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Álgebra y trigonometría UAEMex
Transformaciones de productos en sumas
Teorema de los senos
Teorema del coseno
Teorema de las tangentes
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Álgebra y trigonometría UAEMex
Área de un triángulo
Fórmula de Herón:
Actividades de metacognición
1. ¿Qué aprendiste sobre el tema?
2. ¿Cómo lo aprendiste?
3. ¿Qué cosas no acabaste de entender?
4. ¿Qué te parecen las situaciones planteadas en clase?
5. ¿Te hacen pensar y te ayudan a aprender?
69
Álgebra y trigonometría UAEMex
BBIIBBLLIIOOGGRRAAFFÍÍAA
Zamora, M. y et al (2009). Matemáticas 2 Geometría y
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