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lgebra I Prof: Haroldo Cornejo Olivar

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BIBLIOGRAFA Zill y Dewar lgebra y Trigonometra Mc. Graw Hill 2 Edic. R. Barnett Algebra y Trigonometra Mc. Graw Hill R. Barnett Preclculo Mc. Graw Hill4 Edic. Robledo A. Lecciones de Algebra Elemental Moderna Editorial Inocenti, Villanueva Lecciones de Trigonometra Editorial Limusa

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Elementos de lgica Prof: Haroldo Cornejo Olivar

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Objetivos generales Presentar intuitivamente los principios del razonamiento lgico e introducir los conceptos de teorema y demostracin matemtica en mbitos variados; particularmente en: la lgica simblica (o modelo de los enunciados), la teora de conjunto (o modelo cualitativo del universo), y en los conjuntos numricos conocidos.

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INTRODUCCION La matemtica estudia las propiedades de ciertos objetos, tales como nmeros, operaciones, conjuntos, etc. Es necesario por lo tanto contar con un lenguaje apropiado para expresar estas propiedades de manera precisa. Desarrollaremos aqu un lenguaje que cumpla estos requisitos, al cul llamaremos lenguaje matemtico.

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LENGUAJE MATEMATICO El lenguaje matemtico est formado por una parte del lenguaje natural, al cul se le agregan variables y smbolos lgicos que permiten una interpretacin precisa de cada frase.

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Proposiciones. Llamaremos proposiciones a aquellas frases del lenguaje natural, las cuales podamos afirmar que son verdaderas o falsas. Ejemplos de proposiciones: Dos es par Tres es mayor que diez Tres ms cuatro es nueve

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Se usan letras minsculas p, q, r, s,...etc., para denotar proposiciones simples o atmicas. Una proposicin es simple o atmica, si ninguna parte de ella es a su vez una proposicin. Ejemplos de proposiciones simples o atmicas: Dos es un nmero par". "Tres es mayor que cuatro". "Tres ms cinco es mayor que cuatro".

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La propiedad fundamental de una proposicin, es que ella puede ser verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez. El valor de verdad de una proposicin simple depende exclusivamente del enunciado de la proposicin. Dos es un nmero par". "Tres es mayor que cuatro". "Tres ms cinco es mayor que cuatro". Es verdadero. Es Falso. Es verdadero.

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Algunos enunciados o proposiciones son compuestos, es decir, estn formados de proposiciones simples y de conectivos que los unen. 2 es un nmero entero y es positivo Si llueve, el piso se moja Si es un entero, entonces es real Si estudio y hago los ejercicios, entonces apruebo y paso de curso

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El valor de verdad de una proposicin compuesta depende completamente del valor de verdad de cada proposicin simple y del modo como se les rene o conecta para formar la proposicin compuesta.

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Conectivos Negacin. Es aquel conectivo que niega la proposicin, y normalmente se utiliza anteponiendo no, o anteponiendo la frase es falso que. Simblicamente la negacin se puede representar en lenguaje matemtico, de tres formas diferentes: I.- Anteponiendo el smbolo. p significa no p. II.- Sobreponindole una barra p III.- Anteponiendo el smbolo. p significa no p.

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Conjuncin. Es aquel conectivo que une dos proposiciones, incluyndolas obligatoriamente a ambas. Se utiliza y como conectivo de conjuncin. "dos es par y tres es impar Simblicamente la conjuncin y se representa en lenguaje matemtico con el smbolo y

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Disyuncin. Es aquel conectivo que une dos proposiciones ofreciendo una alternativa entre una proposicin o la otra, as como tambin ofrece la posibilidad que sean ambas. "dos es mayor que siete o siete es mayor que dos". La proposicin est compuesta por las proposiciones simples "dos es mayor que siete" junto con " siete es mayor que dos", conectadas por la palabra "o, que constituye el conectivo de disyuncin, y su smbolo es

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DISYUNCIN EXCLUYENTE Es la disyuncin pero que su valor de verdad acepta una sola proposicin como verdadera. No pueden ocurrir las dos proposiciones al mismo tiempo. Ejemplo: Me caso con Rosita o con Doris Hoy a las 3 voy al Parque Arauco o al Alto Las Condes. Su notacin es: p q

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Implicacin o Condicional Es aqul conectivo en el que se establece una condicin para que se cumpla la otra proposicin. normalmente se establece como: Si se cumple p, entonces se cumple q p q

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Bicondicional o doble implicancia. Es aquel conectivo de la forma: se cumple p si y solamente si se cumple q. Esto significa que tambin se cumple la situacin inversa, es decir que como se cumple q, tambin se cumple p p q.

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p p Valores de verdad de la negacin: V F VF

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pq p q Valores de verdad de la conjuncin: V F V F F V F V V F F F

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pq p q Valores de verdad de la disyuncin: V F V V F FF V V V V F

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pqp q Valores de verdad Disyuncin excluyente V F V V F FF V F V V F

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pq p q Valores de verdad de la implicancia: F V V V FV FF V F V V

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pq p q Valores de verdad de la bicondicional: F VV V FV FF V F F V

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Verdad lgica o Tautologa. Son aquellas proposiciones que siempre son verdad, sin importar los valores de verdad de las proposiciones que la componen.

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pq p q(p q) p Consideremos la proposicin ((p q) p) F VV V FV FF V F F F V V V V

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Contingencia Son aquellas proposiciones que pueden ser verdad o falso, dependiendo de los valores de verdad de las proposiciones que le componen.

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Contradicciones. Son aquellas proposiciones que siempre son falsas, sin importar los valores de verdad de las proposiciones que la componen.

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lgebra de proposiciones pqq VVVFVV VFFFFF FVVVVV FFVVFV

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Verdades lgicas usuales. Ley de Idempotencia p p p Ley Asociativa (p q ) r p (q r) Ley Conmutativa p q q p

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Ley Distributiva Ley de Identidad p F p V p F Leyes de DeMorgan (p q) (p r) (a b) + (a c) a (b + c ) p (q r) (p q) (p r) F p V p Implicancia

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Ley de Absorci n p (p q) p Leyes del Complemento

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Utilizando las equivalencias lgicas Implicancia Negacin DeMorgan

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Utilizando las equivalencias lgicas Implicancia distribucin Fqq () V q F q () q q F q

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((p q) p) q ((p q) (q r)) (p r) (p q) ( q) (p q) (p q) (q p) ((p q) (q r) (r p)) ((p q) (q r)) ((p q) ( q)) q ((p q) (r q)) ((p q) q) ((p (q r)) ((p q) (p r)) ((p r) q)) (p (r q)) Proposiciones lgicamente verdaderas

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Modus Ponendo Ponens p (p q) q Si llueve la calle se moja. Llovi, entonces la calle se moj Si el impuesto a la bencina baja, gastamos menos dinero en transportarnos. El impuesto baj, entonces gasto menos dinero. El condicional o implicacin es aquella operacin que establece entre dos enunciados una relacin de causa- efecto. La regla ponendo ponens significa, afirmando afirmo y en un condicional establece, que si el antecedente (primer trmino, en este caso p) se afirma, necesariamente se afirma el consecuente (segundo trmino, en este caso q).

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Modus Tollendo Tollens (p q) q p Tollendo tollens significa negando, niego, y se refiere a una propiedad inversa de los condicionales, a los que nos referamos en primer lugar. Si de un condicional, aparece como premisa el consecuente negado (el efecto), eso nos conduce a negar el antecedente (la causa), puesto que si un efecto no se da, su causa no ha podido darse. Si aumenta el I.V.A. los precios suben. Los precios no han subido, por lo tanto el I.V.A. no ha aumentado.

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MODUS TOLLENDO PONENS (TP) si uno de los miembros de una disyuncin es negado, el otro miembro queda automticamente afirmado, ya que uno de los trminos de la eleccin ha sido descartado. Si ( p q ) q p Fue al cine o de compras. No fue de compras, entonces fue al cine