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Fenomenologia del Modello Standard – Prof. A. Andreazza
QCD: violazione scaling e getti
Lezione 8
Violazione dello scaling
• Le funzioni di struttura non sono esattamente costanti in funzione di Q2: – A basso x, crescono all’aumentare di Q2
– Ad alto x, dinimuiscono all’aumentare di Q2
• Aumentando il “potere risolutivo” della sonda, vedo sempre più irraggiamento e splitting di gluoni: – Equazioni di Altarelli-Parisi – Sempre più probabile trovare un quark a piccolo x, prodotto dallo
splitting di un quark a x maggiore.
• La corretta descrizione dell’evoluzione delle funzioni di struttura è uno dei maggiori successi della QCD.
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15 2
uv
uv
dv
us
us
Interazioni “anelastiche”
• Sezione d’urto per il processo elastico di interazione con un partone i con frazione di momento α:
• Possiamo scriverla nella forma:
• Nel modello a partoni la sezione d’urto totale è data dall’integrale delle sezioni d’urto elementari:
• Vogliamo vedere ora il contributo agli ordini successivi di QCD:
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15 3
p α p i
p α p
dσ eqi → eqi( )dy
=M 2
16π ss = αs
dσ eqi → eqi( )dydx
=1αM 2
16π sδ 1− x( ) =
1αdσ i s( )dydx
dσ eqi → eqi( )dydx
=M 2
16π sδ 1− x( ) x = Q2
2αpk=xα
dσ eqi → eqig( )
dσ eN → e + X( )dydx
= dα fi α( )1αdσ i s( )dydx0
1
∫i∑
QCD: identità del gruppo
• La struttura del tensore di campo e delle derivate covariante per QCD sono:
• dove: – A,B,C indici dei campi gluonici – a,b,c indice di colore dei quark
• Una possibile rappresentazione delle matrici t è data in figura.
• Valgono le segueni relazioni:
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15 4
FµνA = ∂µAν
A −∂νAµA − g f ABCAµ
BAνC#$ %&
Dµ( )ab = ∂µδab + igAµAtab
A
Tr t AtB = TRδAB, TR = 1
2
tabA tbc
A
A∑ =CFδac, CF = 4
3
f ABC f ABDA,B∑ =CAδ
CD, CA = 3
Regole di Feynman
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15 5
Splitting: cinematica
• Possiamo vedere la produzione del gluone aggiuntivo come dovuto ad uno splitting del quark iniziale in una coppia quark-gluone.
• Consideriamo questo processo nel sistema di riferimento di Breit, dove il partone ha un momento grande e lo splitting avviene a piccoli angoli di emissione θ1,θ2≪1
• Il partone iniziale ha tetramomento p:
• Supponiamo che i prodotti dello splitting prendano rispettivamente una frazione z ed 1-z dell’energia del partone iniziale:
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15 6
p
2p
1p
1θ
2θ
p2 = t p = E 0 0 E2 − t"#$
%&'
p1 = zE 1 sinθ1 0 cosθ1( )p2 = 1− z( )E 1 −sinθ2 0 cosθ2( )
• È immediato verificare che:
• dalla conservazione del momento trasverso abbiamo anche che:
t = 2z 1− z( )E2 1− cosθ( )
≈ z 1− z( )E2θ 2 θ = θ1 +θ2
θ =θ11− z
=θ2z
Splitting: q→qg
• Nel caso di emissione di un gluone da un quark, l’elemento di matrice è dato da:
• dove εC è il vettore di polarizzazione del gluone, di cui consideriamo le componenti nel piano di splitting e perperdicolari:
• Il quadrato è dato da:
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15 7
ap
Cγ2,
p
1,bp
M = −igu(p1)γγ tCu(p)εCγ
εC2 = −1 εC p2 = 0
εCin = 0 cosθ2 0 sinθ2( )εCout = 0 0 1 0( )
• Tenendo i termini al primo ordine in θ:
p ⋅ p1 = zE2(1− cosθ1) = 12 z(1− z)
2E2θ 2
M 2 = g2 tCtCC∑ Tr /p1γµ /pγν( )εCµεCν
= g2CF 4 pµ p1,ν + pν p1,µ − gµν (p ⋅ p1)( )εCµεCν
= 4g2CF 2(εC ⋅ p)(εC ⋅ p1)+ (p ⋅ p1)( )
εCin ⋅ p = −E sinθ2 = −zEθεCin ⋅ p1 = −zE cosθ2 sinθ1 + sinθ2 cosθ1( )
= −zE θ1 +θ2( ) = −zEθ
εCout ⋅ p = εCout ⋅ p1 = 0
Splitting: q→qg
• Otteniamo quindi: – polarizzazione sul piano di splitting
– polarizzazione perpendicolare al piano di splitting:
• E la somma sulle polarizzazioni:
• Notiamo che: – L’elemento di matrice è proporzionale a E2θ2 ∝ t – È preferita una polarizzazione sul piano di splitting.
Per una polarizzazione generica del gluone si ha:
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15 8
ap
Cγ2,
p
1,bp
M 2 = 4g2CFE2θ 2 2z2 + 12 z(1− z)
2( )
M 2 = 4g2CFE2θ 2 12 z(1− z)
2( )
M 2 = 4g2CFE2θ 2 2z2 + z(1− z)2( ) = 4g2CFE2θ 2z 1+ z2( )
M 2 = 4g2CFE2θ 212z 1+ z2 + 2zcos2φ( )
Splitting: elementi di matrice
• Supponiamo di aver calcolato un elemento di matrice per un processo con n particelle.
• L’elemento di matrice con n+1 particelle si può ricavare come:
• Nel nostro caso:
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15 9
Mn
Mn+1 = Mn × propagatore
× ampiezza
di splitting
Mn+12 = Mn
2 1t2
Msplitting2
Mn+12 = Mn
2 1t24g2CFE2θ 2z 1+ z2( ) = Mn
2 1t
1z(1− z)E2θ 2
4g2CFE2θ 2z 1+ z2( )
= Mn2 4g2
tCF1+ z2
1− zL’elemento di matrice assorbe un propagatore. Riduce la divergenza collineare θ→0
= Mn2 4g2
tPqq (z)
Splitting: spazio delle fasi
• Il termine di spazio delle fasi viene semplicemente modificato dall’aggiunta della particella p2:
• Trasformiamolo in funzione di t e z che usiamo nell’elemento di matrice. – Avvertenza: usare E=E1+E2 non separa le variabili di p2 da quelle di p1 che sono già
incluse in dΦn.
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15 10
dΦn+1 = dΦnd3p2
(2π )32E2= dΦn
1(2π )22
E2dE2dφ22π
d cosθ2
E2 =1− zzE1
cosθ2 = 1−12z2θ 2 = 1− 1
2z2t
z(1− z)E2
dΦn+1 = dΦn1
(2π )22dφ22π
1− zzE1 det J dtdz
J =
∂E2∂z
= −E1z2
0
∂cosθ2∂z
∂cosθ2∂t
= −z3
2(1− z)E12
#
$
%%%%%
&
'
(((((= 1− 1
2z3t
(1− z)E12
= dΦn1
4(2π )2dφ22π
dtdz
Splitting: sezione d’urto
• Mettendo insieme i risultati abbiamo che:
• La sezione d’urto inclusiva elettrone-quark diventa quindi:
• che si traduce in una sezione d’urto differenziale:
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15 11
dσ n+1 = dσ n1t4g2
4(2π )2P(z)dtdzdφ2
2π = dσ ndttαs2π
P(z)dz dφ22π
∝ |Mn+1|2dΦn+1 ∝ |Mn|2dΦn
dσ eN → X( )dydx
= dα 1αqi(α)
dσ eq
dyδ 1− x
α#$%
&'(+
αs2π
dttPqq
xα#$%
&'(∫*
+,-./x
1
∫i∑
dσ eq
dy= 4π
eq2α2
q4s 12+(1− y)2
2−mN2
sxy
"
#$
%
&'dσ eqi → X( )
dydz=dσ eq
dyδ 1− z( ) +
αs2π
dttPqq (z)∫$
%&'()
Splitting: sezione d’urto
• Integrando la δ, troviamo una correzione rispetto al modello a partoni:
• L’espressione ha delle divergenze che devono venire regolarizzate
non ne tratteremo nel corso • ma possiamo mettere in evidenza degli aspetti qualitativi:
– L’integrale su t introduce una dipendenza da Q2 se introduciamo una scala di cut-off ΛQCD: (si noti che Q2 ha solo un valore rappresentativo)
– I partoni con α>x contribuiscono mediante la funzione di splitting Pqq
– Si può reinterpretare come una dipendenza delle densità partoniche dalla scala:
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15 12
dσ eN → X( )dydx
=dσ eq
dyqi(x)+
αs2π
dtt∫ dα 1
αqi(α)Pqq
xα#$%
&'(
x
1
∫)
*++
,
-..i
∑
divergenza collineare t∝θ2→0
divergenza infrarosssa z→1
dtt= ln Q2
ΛQCD2∫
qi(x)→ qi(x,Q2 ) = qi(x)+αs2π
dtt
Λ2
Q2
∫ dα 1αqi(α)Pqq
xα$%&
'()
x
1
∫
Equazioni di Altarelli-Parisi
• Le funzioni di densità partonica “bare” q(x), non sono misurabili: – le misure sono tutte fatte ad un certo Q2
• e non sono calcolabili a priori – a basso Q2 le interazioni forti non sono calcolabili in via perturbativa – ...forse in futuro tramite calcoli su reticolo – comunque dipendenza dallo schema di regolarizzazione
• La relazione:
• si può interpretare in maniera differenziale
• Date le densità di probabilità misurate ad una certa scala, si può integrare l’equazione e determinarle ad un’altra scala.
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15 13
qi(x,Q2 ) = qi(x)+αs2π
dtt
Λ2
Q2
∫ dα 1αqi(α)Pqq
xα#$%
&'(
x
1
∫
∂qi(x, t)∂t
=αs2π1t
dα 1αqi(α, t)Pqq
xα"#$
%&'
x
1
∫ ⇒∂qi(x, t)∂ ln t
=αs2π
dα 1αqi(α, t)Pqq
xα#$%
&'(
x
1
∫
Equazioni di Altarelli-Parisi
• La forma completa delle equazioni di Altarelli-Parisi (o DGLAP equations), deve tenere conto anche delle interazioni con i gluoni:
– dove:
– e la versione regolarizzata tiene anche conto dei partoni “persi” per splitting, oltre a quelli “guadagnati”.
• Siccome le funzioni di strutture sono date da: F2(x,Q2)=2xF1(x,Q2)=xΣqeq
2q(x,Q2) si può misurare tale evoluzione!
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15 14
∂qi(x, t)∂ ln t
=αs2π
dα 1α
qi(α, t)Pqqxα"#$
%&'+ g(α, t)Pqg
xα"#$
%&'
()*
+,-x
1
∫
∂g(x, t)∂ ln t
=αs2π
dα 1α
qi(α, t)i∑ Pgq
xα#$%
&'(+ g(α, t)Pgg
xα#$%
&'(
)
*+
,
-.
x
1
∫
Pqq (z) = CF1+ z2
1− z⇒ Pgq (z) = CF
1+ (1− z)2
1− z
Pqg(z) = TR z2 + (1− z)2"# $% Pgg(z) = CA1− zz
+z
1− z+ z(1− z)"
#$%&'
Stato attuale: violazione dello scaling
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15 15
} µ
Confronto con le predizioni (NLO)
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15 16
GETTI Due parole sui
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Evidenza dei getti
• Abbiamo trattato della scoperta di getti nelle passate lezioni: – Interpretazione di e+e- in adroni come produzione di coppie quark-antiquark
Articolo 10.1: Mark I, “Evidence for jet structure in hadron production in e+e- annihilation”, Phys. Rev. Lett. 35 1609 (1975)
– Evidenza del gluone Articolo 10.3: Tasso, “Evidence for planar events in e+e- annihilation at high energies”, Phys. Rev. B86 243 (1979)
• A parole abbiamo implicato un concetto di dualità: – partone ⟷ getto
• Ma non abbiamo mai definito un getto: – Variabili globali dell’evento (sfericità, aplanarità...) – in grado di descrivere una certa collimazione del flusso di particelle
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15 18
pp
Da partoni a getti S. Kluth, Rep. Prog. Phys. 69 (2006) 1771–1846
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15 19
Da partoni a getti
• Quark e gluoni prodotti dalle interazioni “sciamano”:
– probabilità di splitting
• Vengono create coppie per “chiudere” il potenziale di colore:
• Nello stato finale esistono solo adroni. • Osservabili devono essere insensibili a questi fenomeni.
– In particolare le divergenze collineari ed infrarosse nello sciame – Variabili di evento hanno spesso questa caratteristica – Ma a volte si ha necessità di evidenziare singoli jet:
ad esempio per misurare il rate 3-jet/2-jet ∝ αs.
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15 20
∝1tαs2π
P(z)
divergenza collineare t∝θ2→0
divergenza infrarosssa z→1
non perturbativa a basso t
Vqq (r) ≈ CF αs / r +…+σ r[ ]
Regi
me
pert
urba
tivo
Re
gim
e no
n-pe
rtur
bati
vo
Jet finder
• Descrizioni operative su come raggruppare entità osservabili – particelle ricostruite – depositi di energia nel calorimetro
• per formare dei jet – identificati con i partoni dello stato iniziale
• Algoritmi arbitrari: – sia come metodi che come parametri – devono essere robusti rispetto a emissioni soffici e collineari
• “Contratto tra teorici e sperimentali” – i valori delle osservabili dipendono dall’algoritmo
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15 21
Jet finder in collisioni e+e-
• Si definisce una distanza tra due particelle dell’evento: yij
• ed una soglia: ycut
• Se il valore minimo di yij tra tutte le coppie è minore di ycut
– le particelle i e j vengono conglobate in una pseudoparticella con momento p=pi+pj
– si ricalcolano yij con le particelle rimanenti e la nuova pseudoparticella – si continua fino a quando tutte le distanze risultano maggiori di ycut
• Le pseudoparticelle rimanenti sono i jet composti dalle particelle iniziali.
• algoritmo JADE: – massa invariante delle due particelle
• algoritmo Durham: – momento trasverso di una particella rispetto all’altra
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15 22
yij = 2min Ei2,Ej2( ) 1− cosθij( ) / Eii∑( )
2
yij = 2EiEj 1− cosθij( ) / Eii∑( )2
Esempi a LEP
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15 23
Jet rates in collisioni e+e-
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15 24
diversi algoritmi
modelli di frammentazione ed adronizzazione
Jet rates in collisioni e+e-
• La frazione di eventi a 3 e 4 jet permette di determinare αs ed il vertice a 3 gluoni.
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15 25
αs
35 GeV
91 GeV
189 GeV
APPENDICE
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Splitting: g→qq
• Nel caso di splitting di un gluone in una coppia di quark, l’elemento di matrice è dato da:
• dove εA è il vettore di polarizzazione del gluone, di cui consideriamo le componenti nel piano di splitting e perperdicolari:
• Il quadrato è dato da:
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15 27
Aαp
2,cp
1,bp
M = −igu(p1)γαt Av(p2 )εAα
εAin = 0 1 0 0( )
εAout = 0 0 1 0( )
• Tenendo i termini al primo ordine in θ:
p1 ⋅ p2 = 12 t =
12 z(1− z)E
2θ 2
M 2 = g2 Tr t AtA( )Tr /p1γµ /p2γν( )εAµεAν
= g2TR4 p2,µ p1,ν + p2,ν p1,µ − gµν (p2 ⋅ p1)( )εAµεAν
= 4g2TR 2(εA ⋅ p1)(εA ⋅ p2 )+ (p1 ⋅ p2 )( )
εAin ⋅ p1 = −zE sinθ1 = −z(1− z)Eθ
εAin ⋅ p2 = (1− z)E sinθ2 = z(1− z)Eθ
εCout ⋅ p1 = εCout ⋅ p2 = 0
Splitting: g→qq
• Otteniamo quindi: – polarizzazione sul piano di splitting
– polarizzazione perpendicolare al piano di splitting:
• E la somma sulle polarizzazioni:
• Notiamo che: – L’elemento di matrice è proporzionale a E2θ2 ∝ t – Lo splitting avviene preferenzialmente sul piano perpendicolare alla
polarizzazione del gluone. Per una polarizzazione generica del gluone si ha:
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15 28
Aαp
2,cp
1,bp
M 2 = 4g2TRE2θ 2 12 z(1− z)
2( ) 1− 4z(1− z)( )
M 2 = 4g2TRE2θ 2 12 z(1− z)( )
M 2 = 4g2TRE2θ 2z(1− z) 1− 2z(1− z)( ) = 4g2TRE2θ 2z(1− z) z2 + (1− z)2( )
M 2 = 4g2TRE2θ 2z(1− z) z2 + (1− z)2 − 2z(1− z)cos2φ( )
Splitting: elemento di matrice con g→qq
• Usando la formula:
• Otteniamo
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15 29
Mn+12 = Mn
2 1t2
Msplitting2
Mn+12 = Mn
2 1t24g2TRE2θ 2z 1+ z( ) z2 + (1− z)2"# $% = Mn
2 1t24g2TR t z2 + (1− z)2( )
= Mn2 4g2
tTR z2 + (1− z)2"# $%
L’elemento di matrice assorbe un propagatore. Riduce la divergenza collineare θ→0 Non vi sono divergenze ulteriori.
= Mn2 4g2
tPqg(z)
Splitting: g→gg
• Nel caso di splitting di un gluone in due gluoni, l’elemento di matrice è dato da:
• dove gli εA,B,C sono i vettori di polarizzazione dei gluoni, e abbiamo considerato che nelle regole di Feynman i tre momenti sono considerati entranti, mentre nel nostro caso p1 e p2 sono uscenti.
• La relazione si semplifica se si tiene conto della trasversalità della polarizzazione ε·p=0:
• Il quadrato è:
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15 30
Aαp
Cγ2,
p
Bβ1,
p
M = −g f ABC (p + p1)γ gαβ + (p2 − p1)α gβγ + (−p2 − p)β gγα"# $%εαAεβ
BεγC
M 2 = 4g2 f ABC f ABC( )B, C∑ (p1εC )(εAεB )− (p1εA )(εBεC )− (p2εB )(εCεA )#$ %&
2
M = −g f ABC (p2 + 2p1)γ gαβ + (p − 2p1)α gβγ + (−2p2 − p1)β gγα"# $%εαAεβ
BεγC
= −2g f ABC (p1 ⋅εC )(εA ⋅εB )− (p1 ⋅εA )(εB ⋅εC )− (p2 ⋅εB )(εC ⋅εA )#$ %&
= 4g2CA (p1εC )(εAεB )− (p1εA )(εBεC )− (p2εB )(εCεA )"# $%2
Splitting: g→gg
• Anche in questo caso è utile analizzare le polarizzazioni dei gluoni, separando il caso di polarizzazione nel piano di splitting, o ortogonale ad esso:
• È immediato che
• e per angoli piccoli:
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15 31
Aαp
Cγ2,
p
Bβ1,
p
εAin = 0 1 0 0( )εBin = 0 cosθ1 0 −sinθ1( )εCin = 0 cosθ2 0 sinθ2( )
• Tenendo i termini al primo ordine in θ, gli unici prodotti non nulli sono: εCin ⋅ p1 = −zE sinθ1 cosθ2 + cosθ1 sinθ2( )
≈ −zEθ
εAin ⋅ p1 = −zE sinθ1 ≈ −z(1− z)Eθ
εAout = εB
out = εCout = 0 0 1 0( )
εXout ⋅εY
out = −1
εXout ⋅ pi = 0 = εXin ⋅εYout
εXin ⋅εY
in ≈ −1
εBin ⋅ p2 = −(1− z)E −sinθ1 cosθ2 − cosθ1 sinθ2( )
≈ (1− z)Eθ
Splitting: g→gg
• Mediando sulle polarizzazioni:
• Per polarizzazione generica
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15 32
εA εB εC |M|2
in in in
in in out 0
in out in 0
in out out
out in in 0
out in out
out out in
out out out 0
4g2CAE2θ 2 z − z(1− z)+ (1− z)[ ]2
= 4g2CAE2θ 2 z2 + z2(1− z)2 + (1− z)2"# $%
4g2CAE2θ 2z2(1− z)2
4g2CAE2θ 2(1− z)2
4g2CAE2θ 2z2
M 2 = 4g2CAE2θ 2 z2 + z2(1− z)2 + (1− z)2"# $%
M 2 = 4g2CAE2θ 2 z2 + 2z2(1− z)2 + (1− z)2( )cos2φ + z2 + (1− z)2( )sin2φ"# $%
Splitting: elemento di matrice con g→gg
• Usando la formula:
• Otteniamo
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15 33
Mn+12 = Mn
2 1t2
Msplitting2
Mn+12 = Mn
2 1t24g2CAE2θ 2 z2 + z2(1− z)2 + (1− z)2"# $%
= Mn2 1t
1z(1− z)E2θ 2
4g2CAE2θ 2 z2 + z2(1− z)2 + (1− z)2( )
= Mn2 4g2
tCA
z1− z
+ z(1− z)+ 1− zz
"#$
%&'
L’elemento di matrice assorbe un propagatore. Riduce la divergenza collineare θ→0 Rimangono poi le divergenze infrarosse
= Mn2 4g2
tPgg(z)