Lezione3DistribuzionidiProbabilitNotevoli

DistribuzionidiProbabilit

Visonofamiglieparametrichedidiversedistribuzionipar=colarmenteimportan=nelleapplicazionidellasta=s=ca

Alcunediquestedistribuzioni(gaussiana,poissoniana,ecc)sonocomunissimeneifenomenifisici

Sihannodistribuzionisiadiscretechecon=nue

2

DistribuzioneBinomialeConsideriamounesperimentochepuaveresoloduerisuta=(ad

esempiotesta,crocenellanciodiunamone=na).Questavariabilediscreta.

Siap(costante)laprobabilitdiavereleventoAeq=1plaprobabilitchesiverifichileventoB.Ripe=amoNvoltelesperimento.QuallaprobabilitdiaverenvolteleventoA?

Laprobabilitcheipriminesperimen=diamocomerisultatoApariapnqNn.Manonsonointeressatosoloalcasocheiprimintenta=vimi

dianoleventoA.Quindidevoconsiderarequan=sonoicasiincuihoneven=Aindipendentementedallordineincuisirealizzano.

Ilnumerodiques=casi

DistribuzioneBinomiale

LaprobabilitdiaverenvolteAeNnvolteB,doven=0,1,2,,NlavariabilecasualeeNepsonoparametridelladistribuzione,datada:

ValorediaspeWazionedin:

Varianzadin:

EsempidiDistribuzioneBinomiale

NumeroNdiesperimen=costanteediversivaloridellaprobabilitp

n n

n n

f(n;N,p)

f(n,N,p)

f(n;N,p)

f(n,N,p)

EsempidiDistribuzioneBinomiale

NumeroNdiesperimen=variabileeiden=covaloredellaprobabilitp

f(n;N,p)

f(n;N,p)

f(n;N,p)

f(n;N,p)

n n

n n

EsempidiDistribuzioneBinomialeLancio5volteunamone=naesianilnumerodivoltechehotesta.Dareladistribuzionediprobabilitdinecalcolareilvaloremedioelavarianza.

LadistribuzionebinomialeconN=5ep=0.5.Quindi

Perogninabbiamo

ValoremedioNp=2.5,varianzaNpq=1.25

EsempidiDistribuzioneBinomialeUnostrumentomusicalehauntempodidurata(inore)chehaunapdfdatada:

Quallaprobabilitchesu100strumen=simili8durinopidi2ore?

Laprobabilitcheunostrumentoduripidi2ore:

Laprobabilitche8durinopidi2ore:

EsempiodiDistribuzionebinomiale

Compro20bulbidigiacintodicui10aspeWa=dicolorerossoe10dicoloreblu.Quandocresconoscoproche16sonoblu.Quallaprobabilitchepossasuccederequesto?

======

Ladistribuzionebinomiale.Laprobabilitdiavere16opigiacin=bluugualeallaprobabilitdiaverequaWroomenogiacin=rossi.Questaprobabilit0.0059

DistribuzioneMul=nomialeQuestaunageneralizzazionedelladistribuzionebinomialealcasodin=pidirisultato.Esempio:risultatodiunapar=tadicalcio(1,0,2).

Sianomipossibilirisulta=epilaprobabilitchesirealizziliesimorisultato.Valelacondizionedinormalizzazione:

LaprobabiliinNesperimen=diaveren1risulta=di=po1,n2risulta=di=po2,enmrisulta=di=pom:

QuestadistribuzionedeWamul=nomiale.n1,,nmsonolevariabilicasualimentreNep1,pmsonoiparametridelladistribuzione

IlvalorediaspeWazioneelavarianzaperilrisultatoiesimoE[ni]=NpiV[ni]=Npiqi=Npi(1pi)

DistribuzionediPoissonSeinundistribuzionebinomialeilnumerodiesperimen=NmoltograndeeselaprobabilitpdioWenereunpar=colarevaloredellavariabilemoltopiccolo(eventoraro)matalecheilvalorediaspeWazionedelnumerodisuccessisiaunnumerofinito,alloraladistribuzionebinomialediventa:

QuestadistribuzionedeWadiPoisson.nlavariabilecasualeeilparametro.

Vediamoconunesempiocomesipassadalladistribuzionebinomialeaquellapoissoniana.Prendiamounintervalloditempo[0,T]edividiamoloinNsoWointervallidilunghezzaT/N

Siap=T/Nlaprobabilitcheleventosiverifichiinunodiques=intervalli(numerorealeposi=vo).Sianilnumerodivoltechesirealizzalevento.U=lizzandoladistribuzionebinomialesiha:

DistribuzionediPoisson

chepossiamoriscriverecosi:

FacendoaumentareNpossiamoapprossimare:

Ponendopoi=T(=Npcostante),abbiamo:

DistribuzionediPoisson

nlavariabiledistribuitapoissonianamentementreilparametrodelladistribuzione.

IlvalorediaspeWazionedin:

Lavarianzadin:

VediamooracomeappaionodistribuzionipoissonianecondiversivaloridiaspeWazione

DistribuzionediPoisson

n n

n n

f(n;N,p)

f(n;N,p)

f(n;N,p)

f(n;N,p)

DistribuzionipoissonianecondiversivaloridiaspeWazione

f(n;N,p)

n n

f(n;N,p)

DistribuzionediPoisson

Inquestadistribuzionebinomiale(asinistra)Np=2.Confrontarequestadistribuzioneconquellapoissoniana(adestra)con=2.

ConNmoltograndeepmoltopiccoloinmodocheNpres=unnumerodieven=finitoeosservabile,alloraladistribuzionebinomialediventaquelladiPoisson.

LadistribuzionepoissonianatraquellepiadoWatenelladescrizionedifenomeninaturali(comeneidecadimen=radioahvi,ecc)

n n

f(n;N,p)

f(n;)

DistribuzioneGaussiana

Perragionichevedremopresto,ladistribuzionegaussianalapiimportanteelapiusatainFisicaenellaSta=s=caingenerale.

p.d.f.diunagaussianaconxvariabilecasuale,e2dueparametri

ValorediaspeWazionedix:

Varianzadix:

Ladistrib.gaussiana(deWaanchenormale)haunaformaacampanasimmetr.aWornoallassex=conduepun=diflessoinx=einx=+

indicatacosiN(,2).Quando=0e=1sihagaussianastandardN(0,1)esiscrive:

DistribuzioneGaussianaLac.d.f.dellagaussianastandarddefinitada:deWaanchefunzionedeglierrori.Noncalcolabileesplicitamente.calcolatainmodoapprossimato(calcolonumerico)edtabulata(vedicalcolatorista=s=ci).

SeunavariabileYhadistribuzionegaussianaN(,2),alloralavariabileX=(Y)/seguaunadistribuzionegaussianastandardN(0,1).

Lecorrisponden=c.d.f.sonougualiF(y)=(x).Ivaloridi(x)ediquan=lix=1(x)sonotabula=.

Quindidataunagenericafunzionegaussianalasuac.d.f.edisuoiquan=lisioWengonodaquellidelladistribuzionegaussianastandard.

Questequan=tsioWengonodatavole(maoggipicomodooWenerliinreteconuncalcolatoresta=s=co).

Gaussiane

Gaussianastandard,gaussianacon=3e=1.5egaussianacon=e=2(inrosso)

Leduelineever=calisonoadistanzadi1dalvalorevalorecentrale.Lareacompresatraquesteduelineeil68.27%dellareatotalesoWesadallacurvagaussiana.

x

x

f(x;,)

f(x;,)

Esempio1UnavariabilecasualeXhaunap.d.f.gaussianaconvaloremedio5evarianza4.Calcolarelaprobabilitpchelavariabileassumaunvaloreminoredi2.

Lavariabile(X5)/2haunap.d.f.gaussianastandardequindi:

Siverificafacilmentecheunintervallocentrale[,+]soWendeil68.27%dellareasoWesadallagaussiana;entro2lareasoWesail95.45%,il99%entro3.

Entro1.645soWesail90%dellareatotale;entro1.960soWesoil95%mentreentro2.576soWesoil99%dellarea.Quisistannoconsiderandosempreintervallicentrali(aWornoalvaloremedio).

Unavariabilehadistribuzionegaussianaconmediaugualea10evarianzaugualea100.Calcolarelaprobabilitche8x16:

GaussianacomeLimitedellaPoissoniana

PervaloridiaspeWazione>10ladistribuzionepoissonianaapprossimatabenedaunagaussianadivaloremedio=evarianza2=

Infiguraalladistribuzionediprobabilitpoissonianacon=25sovrappostaunagaussianacon=25evarianza2=25.

f(x;25,25)

f(n;25)

n

EsercizioInunazonadelCanadacisonoinmedia2alciperlago.1)Qualepotrebbeessereladistribuzionedelnumerodialciperlago?2)Setrovo5alciinunlagoquallaprobabilitchecisiaaccadutopercaso?3)Sesiapprossimaladistribuzioneconunagaussiana,quallaprobabilitditrovareinunlago5opialci?4)Cosadirestesedichiarassicheciavvenutodopoavervisitatoaltri19laghi======1)Ladistribuzionepoissonianaconmedia2

2)f(alci=5)=e225/5!=0.0361Probabilitditrovare5opialciinunlago:f(alci5)=1f(alci4)=0.0526

3)LadistribuzionepotrebbeessereapprossimatadaunagaussianaN(2,2).Inquestocasolaprobabilitdiosservare5opialci:

Approssimazionenonbuona.Valoremediotroppobasso!

Esercizio

4)Dopo20laghilaprobabilitditrovare5opialcidatada:

f=1(10.0526)20=0.66

dove10.0526rappresentalaprobabilitdinontrovare5opialciinunlago.Dopo20laghielevoallapotenzadi20.

DiconseguenzanonmimeraviglioaffaWodiavertrovatopidi5alcidopoven=laghi.

GaussianacomeLimitedellaBinomiale

PeNgrandeetenendopeqcostan=,alloraladistribuzionebinomialetendeadunagaussianadivaloremedioNpevarianzaNpq

LabinomialeinfiguraconN=30ep=0.5benapprossimatadaunagaussianaconvaloremedioNp=15evarianzaNpq=7.5

n

f(n;30

,0.5)

DiistribuzoneGaussianaMul=dimensionale

Supponiamodiaverenvariabilix=(x1,,xn),ognunadistribuitagaussianamenteesia=(1,2,,n)ilveWoredeivalorimedi.IdueveWorixesonoveWoricolonna.

Ingeneralelenvariabilinonsonoscorrelatepercuinellap.d.f.bisognatenercontodelleloroeventualecorrelazione:

doveiveWorixTeTsonoiveWoririgadeicorrisponden=veWoricolonnaxementreVlamatricedeglierrori(matricedicovarianza)

DistribuzioneBinormaleLadistribuzionegaussianaaduedimensionideWageneralmentebinormale.Lamatricedeglierroriinquestocasosiscrivecos:

Questamatricesipuinver=reseesolose1(=1significacheleduevariabilisonocorrelateal100%).

Selamatricesipuinver=reallora:

Lap.d.f.binormalesiscrivecos:

DistribuzioneBinormale

Sidiconolineedicontorno(odilivello)lelineechesioWengonoponendoadunvalorecostanteilvaloredellesponentenellap.d.f.Servonoavisualizzarelap.d.f.

Questalequazionediunaellisse.

Seilvalorecostantedelparametropresougualea1/2,alloralellissecentratasuivalorexey.Letangen=allellisseintersecanogliassicartesianineipun=xxeyy

Sefissiamounvaloredix,ladistribuzioneinyunagaussianaconmediaugualeay+y(xx)/xedeviazionestandardugualeay(12)

DistribuzioneUniforme

Serveadescrivereunavariabilechehaprobabilitdirealizzarsicostanteinuncertointervalloezeroallesterno:

ValorediaspeWazione

Varianza

No=amochesea=0eb=1alloralac.d.f.G(x)delladistribuzioneuniformedellavariabilecasualex:

DistribuzioneEsponenzialeQuestadistribuzionedellavariabilecasualeX(0x

DistribuzioneEsponenziale

Distribuzione2

Ladistribuzione2dellavariabilecasualeZ(0z

Distribuzione2Ladistribuzione2par=colarmenteimportanteinsta=s=caemoltocomuneinFisica.

SesihannoNvariabilicasualiXituWedistribuitegaussianamenteconvaloremedioievarianza2i,alloralafunzione:

distribuitasecondounadistribuzionedel2conNgradidilibert.

Questadistribuzionepar=colarmenteimportanteneitestdibontdelfit.

Applicazione:nellasommadiprobabilitdiPoissoncomodousarela

relazione:

conf2eF2p.d.f.ec.d.f.del2

Esempio Supponiamocheinunfasciodipar=celleilnumerodipar=celleperimpulsoabbiaunadistribuzionepoissonianaconvalorediaspeWazione16.

Quallaprobabilitcheunimpulsoabbiaunnumerodipar=cellecompreso

tra12e20?

LadistribuzionediPoissoninquestocaso:

Laprobabilitrichiestaquindi:

chepossiamocalcolarecos:

Distribuzione2

Distribuzione2

DistribuzionediCauchyQuestadistribuzione,deWaancheBreitWigneroancheLorentziana,dellavariabilecasualeX(0x0.Infisicasubnucleareusatanelladescrizionedirisonanzechedecadonoinaltrepar=cellepileggere.

GliintegralichedefinisconoilvalorediaspeWazioneelavarianzadiquestadistribuzionesonodivergen=.

Datolintegraledif(x)estesodaa+sidicevaloreprincipalediCauchy

U=lizzandoivaloridiCauchy,alegatoaltassodidecadimentodellapar=cella(a=/2)ebinterpretabilecomevaloremediox0.(x0esonolamassaelalarghezzadellarisonanza,rispehvamente)

DistribuzionediCauchy

DistribuzionetdiStudent

Distribuzionedinotevolerilevanzainsta=s=ca.

SiaZunavariabilecasualecheseguaunadistribuzionegaussianaedUunaltravariabilecasuale,indipendentedaZ,cheseguaunadistribuzione2conngradidilibert,alloralavariabilecasuale

segueladistribuzione

deWadistribuzionetdiStudentconngradidilibert.unacurvasimmetrica(media=0)

DistribuzionetdiStudent

DistribuzionetdiStudent

LeggedeiGrandiNumeriDataunaseriedinmisure(campionedidimensionen)diunavariabilecasuleXpossoestrarreinformazionisuquestavariabiledaquestocampione,peresempiolamedia(aritme=ca)xnecc.

PerilcalcolodellamediadellavariabileXdovreiconosceretuhipossibilivaloridiX(popolazione),teoricamenteinfinita.

Problema:Apar=redallamediaxn,chechiamiamomediacampionaria,possofaredelleinferenzesta=s=chesullamedia(vera)?

Si,possofarlograzieallalegge(debole)deigrandinumeri:

Sipudeterminareuninteroposi?vontalecheprendendouncampionecasualedidimensionemaggioreougualeadndiunavariabilecasualeX,distribuitaconvalorediaspeEazione,lamediacampionariaxndifferiscadaperunaquan?tpiccolaapiacere.

Questaleggehaunruolofondamentalenellinferenzasta=s=ca

TeoremaLimiteCentrale

Questoteoremamoltoimportante

SiabbianonvariabilicasualiXi(suppostecon=nueedindipenden=)conmediaievarianzai2.Ilteoremalimitecentralestabiliscechelavariabilecasualepergrandintendeadesseredistribuitasecondounagaussianaconvaloremedioevarianza

NotatebenecheNONhaalcunaimportanzalanaturadelledistribuzionidellevariabiliXi.LeffeWocumula=vodimoltevariabili(comunquedistribuite)portaadunadistribuzionegaussiana.Pensateallerroredimisuracasualedovutoatan=ssimieffehindipenden=chesisommanoincoerentemente.

AWenzionenellapra=caallusodiquestoteorema.Conuncampionefinito(elimitato)dimisurecisonosituazioniincuiladistribuzionetuWaltrochegaussiana.Cisonociocodenongaussiane.

TraWazionedieffehnongaussianiponespessoproblemidelica=.