Lezione 5 - 6) Propagazione delle onde sismiche a scala globale – Localizzazione ipocentrale e reti sismiche.

Propagazione delle onde sismiche a scala globale

Come già detto i sismogrammi sono caratterizzati da arrivi di molte fasi sismiche. Tali arrivi sono associati ad onde di volume dirette, rifratte e riflesse e ad onde superficiali. Il quadro che ne risulta può essere estremamente complesso.

Nel caso del terremoto di Sumatra del dicembre 2004 si possono vedere treni di onde superficiali che compiono più di un giro dell’intera superficie terrestre.

Le fasi che viaggiano all’interno della terra sono caratterizzate dlla lettera che ne specifica il tipo (P,S,R,L). Per le onde di volume tale lettyera è maiuscola se la fase è generata dalla sorgente con angolo di take off minore di 90° (verso il basso) altrimenti la lettera sarà minuscola. Ad ogni interfaccia si genererà una nuova onda (trasmessa, riflessa, convertita o meno) a cui sarà associata un’altra lettera che ne specifica le caratteristiche nel nuovo tratto di percorso.

Ad esempio se registriamo un’onda p che parte verso l’alto ed è riflessa, sempre come onda p dalla superficie chiameremo tale fase pP, la stessa fase convertita in onda s dalla superficie sarà indicata con la sigla pS

Le onde riflesse dalla discontinuità nucleo mantello sono indicate con la lettera c, le onde che attraversano il nucleo esterno fluido sono indicate con K, le onde riflesse dalla discontinuità nucleo esterno – nucleo interno sono indicate con i, quelle che attraversano il nucleo interno con I.

Si possono registrare onde riflesse in modo multiplo dalla superficie, in questo caso le fasi saranno indicate con un numero di lettere pari al numero di riflessioni subite meno una.

Oltre un angolo di 90-100 gradi le onde P dirette sono schermate dal nucleo e non riescono ad emergere in superficie, per cui i primi arrivi sono legati allo onde PKP che attraversano il nucleo esterno.

A scale locale o regionale si possono individuare le onde P rifratte dall MOHO che vengono indicate con Pn per differenziarle delle onde dirette dette Pg. La distanza per cui le onde Pn arrivano prima delle onde Pg è in Italia di circa 90-100 chilometri.

Localizzazione ipocentrale e reti sismiche.

Localizzazione a singola stazione: Si effettua la composizione vettoriale delle tre componenti del segnale in tre dimensioni. La direzione dell’evento sarà data dalla proiezione sul piano orizzontale del particle motion.

Se il moto del primo impulso P è verso l’alto la direzione dell’evento sarà quella del quadrante opposto al primo impulso; se il moto del primo impulso P è verso il basso la direzione dell’evento sarà quella del quadrante del primo impulso.

A questo punto basterà tracciare indietro il raggio per un tempo pari al tempo di viaggio.

Il tempo di viaggio si ricava come differenza tra il tempo di arrivo P ed il tempo origine.Il tempo origine si ricava dal diagramma di Wadati, infatti se plottiamo la differenza tra

i tempi di arrivo P ed S a più stazioni essi si disporranno su una retta visto che tale differenza cresce linearmente con la distanza evento-stazione.

Estrapolando tale retta fino ad incontrare l’asse delle ascisse ci saremmo riportati all’epicentro ove i tempi P ed s sono nulli e uguali. Tale intercetta sull’asse x fornirà il valore del tempo origine dell’evento.

Disponendo degli arrivi delle onde S si può utilizzare una tecnica approssimata per il calcolo della distanza ipocentrale, e quindi del tempo di viaggio, basata sulla osservazione che il rapporto Vp/Vs in mezzi rigidi a basso contenuto di fluidi si mantiene abbastanza costante. Sotto questa ipotesi partendo dalle velocità all’interno della terra date dalle formule:

sp VV ,2

e considerando che il rapporto Vp/Vs è di circa 1.7 si può calcolare la differenza tra i tempi di arrivo delle onde P ed S in un mezzo omogeneo come segue:

7.0

7.0

7.17.1

,

pps

pps

pps

sp

p

Vttd

V

dtt

tV

d

V

dt

V

dt

Prendendo un valore ragionevole per la crosta terreste di Vp=5-6 km/s si ricava che d può essere ottenuta moltiplicando la differenza dei tempi di arrivo S e P per un fattore compreso tra 7 ed 8.

Metodo dei cerchi

Metodi iterativi

Coordinate reali: X=0, Y=5, T=1 Modello omogeneo con velocità V=1km/sTravel times osservate: T1=6, T2=12.18, T3=16, T4=12.18

Prima iterazione, epicentro di prova: x=0, y=0, t=0Travel times calcolate: t1=10, t2=10, t3=10, t4=10Differenze calcolati - osservati: dt1=4, dt2=-2.18, dt3=-6, t4=-2.18Differenza media: dm=-1.59

0.00 100.00 200.00 300.00

-6.00

-4.00

-2.00

0.00

2.00

4.00Per quanto riguarda il tempo si se

dm è negativo sarà necessario aumentare i tempi di arrivo delle fasi calcolate spostando in avanti il tempo origine di prova dell’evento. Si dovrà sottrarre quindi dal tempo origine il valore dm.

Dal punto di vista spaziale devo spostare l’epicentro di prova nella direzione di massimo errore, allontanandolo dalla stazione visto che l’errore è negativo. L’entità dello spostamento sarà data dalla differenza di tempo moltiplicata per la velocità.

Le nuove coordinate di prova saranno quindi date da: X=0, y=6, t=1.59

Utilizzo le nuove coordinate come coordinate di prova per effettuare una nuova iterazione

Inversione di matrici, autovalori ed autovettori

Data una matrice quadrata A, definiamo inversa di A, che indichiamo con A-1 una matrice tale che: AA-1 =I Dove I è la martrice identità che ha termini uguali ad 1 sulla diagonale principale e uguali a zero altrove.

1000

0.....00

0010

0.....01

I

La condizione per cui A-1 esiste e che il determinate di A sia diverso da zero. L’inversa di A si trova a partire da una nuova matrice B detta aggiunta di A definita come una matrice che abbia come elementi bi,j i determinati dei minori relativi di A, cioè i determinanti delle matrici che si ottengono eliminando da A la riga i e la colonna j. Una volta calcolata B si ottiene:

A

BA

T

det1

Supponiamo ad esempio di misurare l’altezza di un oggetto che si muove di moto rettilineo uniforme nei due punti di coordinate x=1 ed x=2 e di ottenere i seguenti risultati:

x=1 y=2 x=2 y=3

Noto, o supposto tale, il modello che regola il moto osservato vogliamo trovarne i parametri caratteristici, nel nostro caso il coefficiente angolare ed il termine noto della retta percorsa dal corpo che osserviamo. Possiamo scrivere il seguente sistema di equazioni:

32

21

ba

ba

Nel nostro caso a e b sono i parametri del modello e sono rappresentabili con un vettore m, 2 e 3 sono i risultati sperimentali rappresentabili con il vettore d ed i coefficienti moltiplicativi di a e b sono gli elementi di una matrice G che lega il modello ai risultati sperimentali. Possiamo formulare il problema e risolverlo nel seguente modo:

dGm

dGm1

Il nostro problema è quindi risolto calcolando la matrice inversa di G e moltiplicandola per il vettore d.

Questo approccio è alla base della teoria dell’inversione e si applica a problemi che possano essere espressi in forma di matrici quadrate. Naturalmente non sempre la soluzione esiste in quanto la matrice in versa esiste se e solo se il determinante della matrice di partenza è diverso da zero. Passiamo a risolvere il problema posto nell’esempio precedente, il sistema di equazioni può essere scritto nel seguente modo:

dGmaequivalecheb

a

3

2

12

11

il determinante di G è uguale a -1, la matrice aggiunta di G si calcola a partire dalla trasposta ed ha come elemento i,j il determinante del minore della trasposta di G ottenuto eliminando la riga i e la colonna j. Per cui si ottiene:

10

01

12

11

12

11

12

11)( 11 GGG

GadjG

Determinata l’inversa di G la soluzione si ottiene dalla relazione:

1

1

3

2

12

111dGm

Data una matrice quadrata A si può cercare un numero ed un vettore Z tali che AZ= Z. Nel caso di una matrice 3x3 si ha :

a a a

a a a

a a a

z

z

z

z

z

z

a z a z a z

a z a z a z

a z a z a z

z

z

z

a z a z a z

a z a z a z

a z a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1

2

3

1

2

3

11 1 12 2 13 3

21 1 22 21 23 3

31 1 32 2 33 3

1

2

3

11 1 12 2 13 3

21 1 22 21 23 3

31 1 32

( )

( )

z a z2 33 3

0

0

0

( )

La relazione sopra scritta è un sistema di 3 3equazioni in tre incognite omogeneo che ammetta soluzione se il determinante è uguale a zero. Sviluppando tale determinante si ottiene una equazione di terzo grado che risolta da i valori di l (autovalori) e Z (autovettori) che soddisfano l’ipotesi di partenza. Il discorso può naturalmente essere esteso a matrici nxn.

Utilizzando la notazione che sarà adottata nei processi di inversione possiamo scrivere un problema agli autovalori nel seuente modo:

0det0 IGseuzioniammettesoldIGdGd

0

...

.....

.....

..

..

,1,

,22,21,2

,2,11,1

nnn

n

nn

gg

ggg

ggg

Risolvendo di ottiene una equazione di grado n in , gli autovalori del problema che possonoessere scritti in forma di matrice:

n

.00

....

000

0.0

2

1

Ad ogni autovalore è associato un autovettore u, gli autovettori possono essere espressi in forma di matrice:

U

uuu

uuu

uuu

nnnn

n

nn

.

....

.

.

21

222

12

21

11

Definendo una matrice V tale che:

1UV T

Si può dimostrare che:

TVUG 1

E’ quindi possibile invertire una matrice utilizzando i suoi autovalori ed autovettori. Si può dimostrare che gli autovettori sono ortogonali e definiscono quindi un nuovo sistema di rieferimento ruotato in cuo la matrice diventa diagonale. L’utilizzo degli autovalori permette di capire meglio la soluzione di una inversione, infatti se gli autovalori sono tutti distinti e diversi da zero i parametri del modello sono determinati con buona precisione, se al contrario, uno o più autovalori tendono a zero, i parametri del modello corrispondenti non saranno ben determinati. Una analisi della matrice degli autovalori da quindi buone indicazione su qauli msono i parametri meglio risolti min un processo di inversione.

L'osservabile fisico di cui si dispone per risolvere il problema della localizzazione ipocentrale è il tempo di arrivo dei primi arrivi delle onde P e delle onde S alle stazioni sismiche. Conoscendo un modello di velocità che approssimi convenientemente la propagazione delle onde possiamo ipotizzare dal punto di vista matematico una serie di equazioni, per ogni stazione di misura e per ogni fase letta, del tipo:

osservatoprevisto iji tvxft ),~( 1)

dove X .rappresenta la localizzazione dell'evento.

Disponendo di n stazioni possiamo descrivere osservatoit come la iesima componente di un

vettore d = (tl t2 , ......, tn ) .

La variabile jx~ rappresenta i parametri del modello ed ha m componenti, quattro nel

nostro caso. L'equazione 1) può essere scritta come una serie di equazioni in forma matriciale :

F(m) = d 2)

dove F è un operatore che usa gli elementi del modello per ottenere il vettore risultato.

Applicando alla 2) un operatore F -1 potremmo ottenere direttamente m a partire dai dati osservati d, il problema posto in questi termini si chiama problema inverso ed è un argomento fondamentale in sismologia e geofisica.

Tecniche numeriche usate dai programmi di localizzazione ipocentrale

RISOLUZIONE DEL PROBLEMA INVERSO PER UN MODELLO OMOGENEO

Dato un modello omogeneo di terreno caratterizzato da velocità v, coordinate ipocentrali (x,y,z) e coordinate della iesima stazione (x i, y i,zi) indicando rispettivamente con t e ti il tempo origine dell'evento ed il tempo di arrivo alla stazione iesima si ottiene :

v

zzyyxxtt iii

i

20

20

20 )()()(

3)

in cui è un elemento del vettore noto d e (x,y,Z, /) sono gli elementi del vettore incognito m. Il sistema di equazioni 3) può essere scritto in forma vettoriale nel seguente modo :

F(x,y,z,t) = d 4)

Anche in questo caso semplice di modello omogeneo il problema è non lineare e non può essere risolto utilizzando tecniche lineari di soluzione di sistemi di equazioni. E' necessario quindi linearizzare il problema e migliorare iterativamente la stima di m a partire da un suo valore iniziale di prova.

Si inizia ipotizzando una soluzione di prova m0 sulla base della quale si calcolano i tempi di

arrivo d0. Successivamente si modificano i valori di m0 esprimendone le variazioni tramite uno

sviluppo in serie di Taylor, secondo la relazione :

001jjj dmmm 5)

Nel nostro caso si parte da coordinate ipocentrali di prova m0 e se ne determinano gli

incrementi )(),(),(),( 010010010010 ttdtzzdzyydyxxdx Partendo dalla 4) si

ottiene quindi la seguente relazione :

),,,( 00000

00

00

00

00

tzyxFddtt

Fdz

z

Fdy

y

Fdx

x

Fii

6)

Quest'ultima relazione è lineare e può essere riscritta come segue :

mGdm

dGdm

m

ddd

j

iji

jj

j

ii

,

La procedura descritta può essere ripetuta andando via via a correggere i valori di prova fino ad ottenere valori di ddi trascurabili.

Fin qui siamo riusciti a linearizzare il problema esprimendolo sotto forma di un sistema di equazioni lineari. In un caso reale le imprecisioni nella conoscenza del modello e le imprecisioni nelle letture dei tempi di arrivo fa si che un sistema di quattro equazioni in quattro incognite non consente di risolvere in maniera esatta il problema della localizzazione, bisogna quindi avvalersi di sistemi con più equazioni che incognite che non permetteranno di trovare la soluzione esatta ma la soluzione che minimizza gli scarti tra i tempi di arrivo calcolati e quelli osservati. In particolare possiamo introdurre una funzione di errore che tiene conto di queste circostanze e cercare di minimizzare tale funzione nel senso dei minimi quadrati. Definiamo quindi la funzione di "misfit" E ed il suo quadrato secondo la seguente relazione :

n

i

m

jjjii mGdEGmdE

1

2

1,

2

poniamo quindi uguali a zero le derivate del quadrato della funzione di misfit rispetto ai parametri del modello:

n

iki

m

jjjii

kk

GmGdm

EE

m

E

1,

1,

2

022

che può essere riscritta :

n

1ik,i

m

1jjj,i

n

1ik,ii GmGGd

La relazione ora ricavata può essere scritta in forma matriciale nel seguente modo:

GmGdG TT E’ da notare che il termine che moltiplica m è una matrice quadrata 4x4 che puo’ quindi essere invertita per ottenere m:

dGGGm TT1

II prodotto tra matrici che appare nel secondo termine della seconda relazione si chiama inversa generalizzata e fornisce la soluzione migliore nel senso dei minimi quadrati

LOCALIZZAZIONE RELATIVA DI EVENTI SISMICI

Ipotizziamo di avere una serie di eventi provenienti da una zona sorgente molto ristretta. Tali eventi saranno caratterizzati da forme d'onda molto simili avendo sia meccanismo di sorgente, che propagazione che effetti di sito molto simili. In queste condizioni se si dispone di un evento particolarmente ben localizzato si possono localizzare tutti gli altri eventi della sequenza rispetto a tale evento che viene chiamato evento "master". La tecnica usata si basa sulle seguenti procedure.

Indichiamo con t0, x0, y0, z0 le coordinate dell'evento master. I tempi origine dell'evento master e di un qualsiasi altro evento della sequenza alla stazione iesima si possono esprimere nel seguente modo :

dove t sono i tempi di arrivo alla stazione iesima per l'evento master e per l'evento da rilocalizzare ed F le travel time che dipendono solo dalla posizione degli eventi.

),,(

),,(

111111

000000

zyxFtT

zyxFtT

ii

ii

La differenza tra i tempi origine dei due eventi è data da :

),,(),,( 000011110101 zyxFzyxFttTTT iiii Esprimendo la travel time per l'evento da localizzare come sviluppo in serie di Taylor della travel time dell'evento master si ottiene :

),,()()()(),,( 0000010

010

010

000001 zyxFxxx

Fxx

x

Fxx

x

FzyxFttT i

iiiiii

Da cui si ottiene :

)()()( 010

010

010

01 zzz

Fyy

y

Fxx

x

FttT iii

ii

Si è quindi in grado di esprimere il problema della localizzazione relativa in termini di differenze tra le coordinate dell'evento master e quelle dell'evento da rilocalizzare. Il problema è lineare e, disponendo di un numero di equazioni superiore al numero delle incognite, si può risolvere ai minimi quadrati utilizzando l'inversa generalizzata descritta precedentemente

Le Reti Sismiche

Una rete sismica è rappresentata da una serie di strumenti di misura, sismometri disposti

sul territorio e dotati di una base comune di tempi. Le geometria della rete è guidata dagli

obiettivi che ci si prefigge e sarà tanto più estesa quanto più estesa sarà l’area epicentrale

Che si vuole investigare. La registrazione può avvenire in locale oppure in modo

centralizzato. Una rete sismica deve essere in grado di individuare l’accadimento di un

evento ad ogni singola stazione, deve cioè associare un trigger al segnale per indicare che

ad un certo istante di tempo il segnale stesso ha superato una soglia prefissata.

Per accertarsi che tale evento sia realmente unterremoto e non un disturbo ad una singola

stazione la rete deve cercare alrti trigger a stazioni limitrofe e dichiarare l’evento se ci

sono almenno 4 trigger in una finestra di tempo abbastanza breve.

La qualità delle localizzazioni di una rete dipende pesantemente dalla geometria delle

stazioni, una norma generale è che gli eventi devono ricadere all’interno delle stazioni e che

la distanza tra le stazioni sia confrontabile con le distanze minime tra evento e stazione.

La grandeza che indica la copertura azimuthale di una rete si chiame GAP e consente di

avere una stima immediata della qualità delle localizzazioni.

La Rete Sismica Nazionale

Centralizzata