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LEZIONE 4 STATO TENSIONALE NEL TERRENO

Per definire il concetto di TENSIONE e quello di DEFORMAZIONE e’ stato

necessario “confondere” la vera natura del terreno con quella di un mezzo

CONTINUO EQUIVALENTE.

Per analizzare e comprendere a fondo la risposta del terreno ad uno stato tensionale,

comprendere cioe’ il suo comportamento meccanico (deformazione e resistenza), e’

necessario ritornare a valutarlo come mezzo MULTIFASE, costituito quindi da uno

SCHELETRO SOLIDO con VUOTI INTERGRANULARI riempiti completamente

di acqua (terreno saturo), in parte da acqua ed in parte d’aria (terreno non saturo), o

totalmente d’aria (terreno asciutto).

I carichi trasmessi al terreno, ad esempio,

dalle fondazioni di un edificio si

ridistribuiscono in parte nello scheletro

solido ed in parte come pressione indotta

nel fluido interstiziale.

Quindi, nel caso dei terreni, si pone il

problema di stabilire quale sia la

combinazione dello stato tensionale nello

scheletro solido e della pressione del fluido interstiziale.

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TENSIONE GEOSTATICA

Lo stato tensionale esistente in un punto del terreno ad una data profondita’ z,

dipende dal peso proprio del terreno, dell’acqua e dai carichi esterni (fondazioni, ad

es.) ad esso applicati.

Le tensioni dovute solamente al peso proprio del terreno sovrastante l’elemento

considerato sono dette TENSIONI GEOSTATICHE.

Considerando un caso semplice anche se diffuso di un deposito sufficientemente

esteso, con piano campagna (p.c.) orizzontale e con trascurabili variazioni della

natura del terreno in direzione orizzontale, si puo’ affermare che:

− Non esistono tensioni tangenziali τ sui piani orizzontale e verticale;

− La TENSIONE VERTICALE σz e quella ORIZZONTALE σh sono

TENSIONI PRINCIPALI.

La tensione verticale σz agente su un elemento di terreno posto ad una profondita’ z

dal p.c. e’ pari a:

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TENSIONE VERTICALE TOTALE zv ⋅= γσ

Dove γ: peso dell’unita’ di volume totale (grani solidi e acqua)

Nel caso di un terreno stratificato:

iiv z∑ ∆⋅= γσ

γ ≅ 20 kN/m3 per terreni saturi

γ ≅ 16 kN/m3 per terreni saturi

La tensione orizzontale si trattera’ in seguito.

Esempio

p.c. Per z1 = 2 m

kPazdv 3125.151 =⋅=⋅= γσ

Per z1 = 6 m

kPazdv 5.103)36(1935.153 =−⋅+⋅=∆⋅+⋅= γγσ

Sabbia e ghiaia γd = 15.5 kN/m3

Sabbia γ = 19 kN/m3

6 m

3 m 2 m

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PRESSIONI INTERSTIZIALI La pressione dell’acqua contenuta negli spazi interparticellari, o PRESSIONE

INTERSTIZIALE u, e’ proporzionale all’altezza di risalita dell’acqua hw, all’interno

di un tubo piezometrico:

ww hu ⋅= γ

Esempio

Calcolare u a z = 6 m ⇒ kPahu ww 30)36(10 =−⋅=⋅= γ

Quanto vale la pressione interstiziale u nella regione di terreno compresa tra la

superficie piezometrica ed il piano campagna?

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Nella zona immediatamente al di sopra della superficie piezometrica il terreno resta

SATURO a causa della RISALITA CAPILLARE dell’acqua negli spazi

intergranulari (pori).

In questa zona le pressioni interstiziali sono negative e pari a :

cw hu ⋅−= γ

L’altezza di risalita hc della zona satura al di sopra della falda (zona di risalita

capillare) dipende essenzialmente dalla dimensione degli spazi intergranulari.

Al DIMINUIRE della dimensione dei grani, e quindi dei pori, AUMENTA il

fenomeno di risalita.

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L’esistenza di pressioni negative di capillarita’ induce nel terreno una sorta di

COESIONE APPARENTE. Le altezze di risalita per capillarita’ sono riportate nella tabella a seguire (da Lame e

Washburn, 1946; Hansbo, 1975)

Granulometria prevalente hcr [m]

GHIAIA 0.05 – 0.3

SABBIA GROSSA 0.03 – 0.8

SABBIA MEDIA 0.12 – 2.40

SABBIA FINE 0.3 – 3.50

LIMO 1.5 - 12

ARGILLA ≥ 10

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TENSIONI EFFICACI

Il comportamento meccanico dei terreni (deformazione e resistenza) NON dipende

SOLO dalle variazioni dello stato TENSIONALE TOTALE.

Anche variazioni delle pressioni interstiziali possono comportare la rottura del

terreno o l’aumento della sua deformazione. In realta’ il comportamento meccanico dei terreni dipende UNICAMENTE

dall’aliquota di tensione esercitata sulla FASE SOLIDA. La relazione che regola la ripartizione delle tensioni totali fra lo scheletro solido ed

il fluido interstiziale e’ nota come PRINCIPIO DEGLI SFORZI EFFICACI, e fu

introdotto dal Terzaghi nel 1936 come segue:

“ Tutti gli effetti misurabili di una variazione dello stato di tensione, come la compressione, la distorsione e la variazione di resistenza al taglio, sono dovuti esclusivamente a variazioni delle tensioni efficaci. La tensione efficace e’ pari alla differenza tra la tensione totale e la pressione interstiziale σ’ = σ – u”

Le tensioni in un punto possono essere determinate dalla conoscenza delle

TENSIONI TOTALI PRINCIPALI σ1, σ2, σ3.

Se lo spazio intergranulare e’ riempito con acqua avente pressione u, le tensioni

totali possono scomporsi in due parti:

− PRESSIONE NEUTRA u, agente sull’acqua e sui grani in ogni direzione con

uguale intensita’;

− TENSIONE EFFICACE σ’, che ha sede nella fase SOLIDA ed e’ pari a

u−= σσ ' differenza tra la tensione totale s e la pressione interstiziale u (detta anche pressione neutra)

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Dal momento che le tensioni efficaci e le tensioni totali sono diverse tra loro (a

meno di pressioni interstiziali nulle, u=0) e’ assolutamente necessario indicarle con

simboli diversi.

σ, τ TENSIONI TOTALI σ’, τ’ TENSIONI EFFICACI Deve sempre essere ben chiaro se le analisi che si stanno effettuando sono in termini

di tensioni totali o efficaci.

Se sono note le condizioni di falda e, quindi, il valore della pressione dell’acqua u0

e’ possibile determinare il valore della tensione verticale efficace 'vσ

uvv −= σσ '

Esempio

p.c. Dalle espressioni viste e’ possibile osservare che le tensioni efficaci variano sia

cambiando le pressioni neutre u, sia cambiando le tensioni totali σ. ⇒ gli effetti

sono “misurabili” nel terreno.

Nel caso in cui la variazione delle tensioni totali ∆σ corrisponda esattamente con la

variazione di pressione interstiziale ∆u, la tensione efficace rimane INVARIATA.

⇒ gli effetti sono del tutto trascurabili

Sabbia e ghiaia γd = 15.5 kN/m3

Sabbia γ = 19 kN/m3

6 m

3 m 2 m

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Il principio degli sforzi efficaci, applicato alle tensioni verticali, e’ valido anche per

quelle orizzontali in quanto la pressione neutra u agisce in ogni direzione con uguale

intensita’.

σv , u ⇒ uvv −= σσ '

σh , u ⇒ uhh −= σσ '

Nell’ipotesi che σh < σv si ha σh = σ3 e σv = σ1 ed i cerchi di Mohr sono costruiti

come sotto:

σv

σv

σh σh

z

p.c.

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I due cerchi hanno lo stesso diametro (sono soltanto traslati di una quantita’ pari alla

pressione neutra u).

'

'

ττσσ

=−= unn

TENSIONE ORIZZONTALE EFFICACE σ’h

La determinazione della tensione orizzontale efficace σ’h , contrariamente a quanto

visto per quella verticale σ’v , costituisce uno dei problemi piu’ complessi della

“Meccanica delle terre”, in quanto il suo valore e’ strettamente legato alla STORIA

TENSIONALE del deposito.

Per STORIA TENSIONALE si intende l’entita’ e durata, in precisa sequenza, delle

tensioni cui e’ stato assoggettato un deposito dalla fase di formazione fino alla

situazione attuale.

Il rapporto tra la tensione orizzontale σ’h e quella verticale σ’v e’ detto

COEFFICIENTE DI TENSIONE LATERALE K:

'

'

v

hKσσ

=

Tale definizione e’ valida anche quando non si e’ in campo geostatica (carichi

applicati da fondazioni, muri di sostegno, ecc.)

Il valore di K, in caso di tensioni geostatiche, puo’ variare in un intervallo ampio di

valori, in relazione alle vicende subite dal terreno.

Durante la fase di deposizione, un elemento di terreno ad una generica profondita’,

e’ soggetto all’incremento sia delle tensioni verticali, sia di quelle orizzontali.

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In tali condizioni, il rapporto tra σ’h e σ’v e’ detto COEFFICIENTE DI SPINTA A

RIPOSO K0. '

0'

00 vh K σσ ⋅=

Tale stato originario, pero’, viene generalemente alterato da altri fenomeni quali,

variazione del livello di falda, erosioni, cementazione chimica, movimenti tettonici,

che possono variare tale rapporto.

In relazione alla STORIA TENSIONALE subita da un deposito, che ne influenza il

comportamento e lo stato tensionale geostatica – K0 - , i terreni possono essere

suddivisi in:

1. TERRENI NORMALCONSOLIDATI

2. TERRENI SOVRACONSOLIDATI

Durante la formazione di un terreno sedimentario,

la tensione totale, in un punto di quota assegnata,

continua a crescere all’aumentare dell’altezza

dello strato di terreno al di sopra del punto stesso.

Le caratteristiche del terreno nel punto P (il suo

grado di addensamento, ecc.) variano

continuamente durante la formazione del

deposito.

La rimozione di terreni sovrastanti (ad esempio

per erosione) provoca una riduzione di tensione

nel punto considerato.

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Un terreno soggetto alla tensione di intensita’ pari alla MASSIMA a cui e’ stato

assoggettato nel passato e’ detto NORMALCONSOLIDATO.

Un terreno soggetto ad una tensione di intensita’ MINORE di quella massima alla

quale e’ stato assoggettato e detto SOVRACONSOLIDATO. In tal caso il rapporto

tra la tensione massima “passata” e quella attuale e’ detto GRADO DI

PRECONSOLIDAZIONE OCR (inglese: Over Consolidation Ratio):

'

'

v

pOCRσσ

=

Per terreni NORMALCONSOLIDATI (NC) il valore di K0 dipende solo dalla

natura del terreno. Si possono usare formule empiriche:

− Terreni coesivi ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′+′−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′+=

φφφ

sin1sin1sin

321)(0 NCK

o Semplificata ( )φ′−= sin1)(0 NCK

Dove φ’ e’ l’angolo di resistenza al taglio

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− Terreni non coesivi

Terreni SOVRACONSOLIDATI (OC) il valore di K0 si ricava da quello riferito allo

stesso terreno NC e dal grado di preconsolidazione: αOCRKK NCOC ⋅= )(0)(0

− per terreni coesivi α = 0.46 ± 0.06

− per terreni non coesivi

Per terreni molto SOVRACONSOLIDATI il valore di K0 puo’ anche essere

superiore a 1.

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Esercizio

Data la sezione geotecnica riportata a seguire determinare:

1. L’andamento con la profondita’ della tensione verticale totale, efficace e della

pressione neutra;

2. L’effetto di un innalzamento della falda di 3 e 5 m.

γd = 15.5 kN/m3 G + S g = 19.5 kN/m3

γ = 19 kN/m3 S

γ = 20 kN/m3

3 m

5 m

8 m

0

A

B

C

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Domanda 1)

Nel punto 0: tensioni totali, efficaci e p.n. sono nulle.

Nel punto A: pressione neutra nulla u = 0 ⇒ σv’ = σv

kPazAdVV AA5.4635.15' =⋅=⋅== γσσ

Nel punto B kPazu ww 50510 =⋅=⋅= γ

kPaziiVB5.14151935.15 =⋅+⋅=⋅= ∑γσ

kPauBB vV 5.91505.141' =−=−= σσ

Nel punto C kPazu ww 130)85(10 =+⋅=⋅= γ

kPaziiVC5.30182051935.15 =⋅+⋅+⋅=⋅= ∑γσ

kPauCC vV 5.1711305.301' =−=−= σσ

Domanda 2) Falda a p.c. (+ 3m)

Nel punto 0: tensioni totali, efficaci e p.n. sono nulle.

Nel punto A kPazu ww 30310 =⋅=⋅= γ

kPaAV 5.5835.193 =⋅=⋅= γσ

kPauAA vV 5.28305.58' =−=−= σσ

Nel punto B kPazu ww 80)53(10 =+⋅=⋅= γ

kPaziiVB5.15351935.19 =⋅+⋅=⋅= ∑γσ

kPauBB vV 5.73805.153' =−=−= σσ

Nel punto C kPazu ww 160)853(10 =++⋅=⋅= γ

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kPaziiVC5.31382051935.19 =⋅+⋅+⋅=⋅= ∑γσ

kPauCC vV 5.1531605.313' =−=−= σσ

Falda a + 5m

Nel punto 0 kPazu ww 20210 =⋅=⋅= γ

kPaV 2021020

=⋅=⋅= γσ

kPauvV 0202000

' =−=−= σσ

Nel punto A kPazu ww 50510 =⋅=⋅= γ

kPaAV 5.7835.192103 =⋅+⋅=⋅= γσ

kPauAA vV 5.28505.78' =−=−= σσ

Nel punto B kPazu ww 1001010 =⋅=⋅= γ

kPaziiVB5.17351935.19210 =⋅+⋅+⋅=⋅= ∑γσ

kPauBB vV 5.731005.173' =−=−= σσ

Nel punto C kPazu ww 1801810 =⋅=⋅= γ

kPaziiVC5.33382051935.19210 =⋅+⋅+⋅+⋅=⋅= ∑γσ

kPauCC vV 5.1531805.333' =−=−= σσ

⇒ La pressione neutra aumenta della stessa quantita’ delle tensioni totali

⇒ Le tensioni efficaci rimangono INVARIATE