Terreno Irregular

Perímetro, área y volumen

Tema 1 Las medidas

Tema 2 Medidas de longitud

Tema 3 Perímetro y área

Tema 4 Volumen y capacidad

Al estudiar esta unidad usted podrá:• Conocer las unidades de medición más comunes en el

campo.• Medir con distintos instrumentos y en diferentes

unidades de distancias y longitudes.• Calcular perímetros y áreas con diferentes unidades de

medida.• Estimar el volumen o capacidad de diferentes

recipientes.

Al aprender lo anterior usted podrá:• Describir mejor las dimensiones de terrenos o cosas.• Medir o estimar distancias o longitudes con diferentes

tipos de unidades de medida, como kilómetros,metros, centímetros, milímetros o millas.

• Calcular el perímetro o área de cualquier tipo deterreno o figura geométrica, también de diferentestipos de unidades, como hectáreas o metros cuadrados.

• Conocer algunas de las dimensiones de recipientes otanques y calcular cuánto les cabe de agua o algún otrolíquido.

Uni

dad

IIU

nida

d II

36

Números y cuentas para el campoTema 1 Las medidas

osendo tiene une terreno como el que se muestra en el croquis.

Rosendo quiere cercar su terrenocon 3 hilos de alambre de púas ypostes rústicos de madera.

¿Qué debe hacer Rosendo paracercar el terreno?

Rosendo debe comprar el material que necesitará para construir la cerca y contratara quienes le van a ayudar. Rosendo necesitará:

alambre de púas, postes rústicos, clavos, picos, palas, martillos y ayudantes.

¿Pero cuánto de cada cosa y cuántos ayudantes?

R


37

Para contestar lo anterior, Rosendo necesita medir su terreno y, según comoquiera la separación entre postes, podrá señalar cuántos debe comprar o cortar.

Según las herramientas que tenga, como picos,palas y martillos, tendrá que comprar lo quenecesite. También, dependiendo de la urgencia,deberá contratar a muchos o pocos ayudantes opeones.

Al referirse a una cantidad, conviene que todo el mundo sepa de que se trata.Para esto existen las unidades de medición. Siempre se usan para conocer“cuánto de algo”.

No se puede decir que el terreno de Rosendo mide 50 de un lado, porque nosabemos si son 50 metros ó 50 kilómetros. Siempre que se expresa una cantidadconviene señalar a qué se refiere.

38

Números y cuentas para el campo

Si se necesita conocer:

• la superficie o área de un terreno,• la superficie de un poblado o• el área de una figura,

se pueden usar las hectáreas, los kilómetros cuadrados, los metros cuadrados,los centímetros cuadrados o los milímetros cuadrados.

Si el recipiente es pequeño y vaa almacenar algún líquido, porlo regular su capacidad se mideen litros.

Muchas cosas se pueden medir.

Ejemplos

Cuando necesitamos conocer:

• la distancia de un lugar a otro,• el largo y ancho de un terreno o• el alto de una casa,

se usan la medidas de longitud,como los kilómetros, los metros,los centímetros o los milímetros.

Cuando se necesita conocer la capacidad o volumen de un recipiente grande, porlo regular se usan los metros cúbicos.


39

Los clavos que va a necesitar Rosendo para su cerca se pueden medir por su longitudo por su peso, o sea, se pueden comprar kilos de clavos, como cuando se comprankilos de carne.

También se puede medir el tiempo que va a tardar Rosendo en construir su cerca, estose puede hacer en horas de trabajo, días y meses; si se tardara mucho, hasta años.

Rosendo también puede medir “quétanto calor hace” en los días que va aconstruir la cerca.

Pero cuando lo que se va a pesar es mucho, se pueden usar las toneladas. Tantolos kilos como las toneladas son unidades de peso.

El saber medir nos ayuda a conocermejor lo que nos rodea y a comunicarnoscon nuestros semejantes.

40


Ejercicios

Actividad

Tortillas

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○

○

○

Lo mido por

Docenas Ejemplo

Haga una lista de lo que usted mide y con qué lo mide.


41

R

Tema 2 Medidas de longitud

osendo necesita que los postes de su cerca sobresalgan del piso al menos1.50 metros de altura y, además, para que no se caigan, necesitan estar enterrados40 centímetros. ¿De qué tamaño deben ser los postes de la cerca?

Los postes de Rosendo deberán medir un metrocon cincuenta centímetros (1.50 m), que debentener de altura, más los 40 centímetros que vanenterrados.

Un metro con 50 centímetros más 40 centímetroses igual a un metro con 90 centímetros.

42


Pone el cero de la cinta al inicio del poste y marca con un clavo hasta donde llegael 100.

Como el poste debe estar fuera de la tierra un metro y medio, y como la mitad de100 son 50, entonces mide otros 50 centímetros (medio metro) y vuelve a marcar.

Como el poste debe estar enterrado por lo menos 40 centímetros, entonces mideotros 40 centímetros con la cinta. Para lo anterior, pone ahora la punta de lacinta en la última marca y mide 40 centímetros más.

Observe que cuando se indican metros también se puede poner m,y cuando se indican centímetros también se puede poner cm.

Los postes para la cerca de Rosendo deberán medir por lo menos 1.90 m (un metrocon 90 centímetros).

Para poder medir el largo del poste hace lo siguiente.

Pone un poste largo en el piso y, en la cinta que viene en este libro, identifica elnúmero 100. La longitud que hay desde el cero de la cinta al 100 es un metro (m).

Para poder medir cosas de menor tamaño que un metro, la cinta estádividida en 100 partes iguales que se llaman centímetros (cm).


43

Como usted pudo observar, Rosendo utilizó su cinta de medir para conocer lalongitud de los postes que va a utilizar. Esta cinta mide un metro.

El metro puede utilizarse para medir cantidades menores que éstas, por lo quelas cintas, reglas o flexómetros están divididos en unidades de menor tamaño.

Es muy importante recordar que:

10 mm hacen 1 cm, 10 mm = 1 cm,10 cm hacen 1 dm, 10 cm = 1 dm y10 dm hacen 1 m, 10 dm = 1m.

Pero si quiere ver todo enmilímetros, esto será así:10 mm = 1 cm,100 mm = 1 dm y1,000 mm = 1 m.

1 metro = 1 m

1 m = 100 cm

Si se desean medir objetos menores a 1 centímetro, existen los milímetros (mm),que resultan de dividir a 1 centímetro en 10 partes iguales.

El centímetro se obtiene al dividir el metro en 100 partes iguales.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Compruebe lo anterior con lacinta que se encuentra junto aeste libro.

0 1

44


Para medir bien, es muy importante recordar que la unidad de longitud es elmetro (m) y que para medir distancias menores a un metro se pueden usar:

el decímetro (dm), que es la décima parte del metro;el centímetro (cm), que es la centésima parte del metro oel milímetro (mm), que es la milésima parte del metro.

Al dm, cm y mm se les llama submúltiplos del metro.

Así como el metro se puede dividir en unidades pequeñas llamadas submúltiplos,que se usan para medir piezas pequeñas o fracciones de un metro, también existenunidades más grandes que el metro, que se llaman múltiplos, éstas se usan paramedir longitudes grandes, como el terreno de Rosendo.

Decámetro (dam) = 10 metrosHectómetro (hm) = 100 metrosKilómetro (km) = 1,000 metros

Rosendo podría indicar las medidas del poste rústico en milímetros (mm),centímetros (cm) o metros (m), como se muestra a continuación:


45

A continuación, se presenta una tabla con los submúltiplos y múltiplos del metro.

Con lo anterior, el terreno de Rosendo se puede presentar con sus medidas enkilómetros o en metros.

Terreno de Rosendo con susmedidas en kilómetros.

Terreno de Rosendo con susmedidas en metros.

TABLA DE MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL METRO

Se dice

milícentídecídecá

hectókiló

metrometrometrometrometrometro

Equivalente a Símbolo

Submúltiplos

Múltiplos

mmcmdmdamhmkm

milésima parte del metrocentésima parte del metrodécima parte del metrodiez metroscien metrosmil metros

N

N

0.7 km

1 km

0.5 km

1.020 km

700 m

1,000 m

500 m

1,020 m

46


100 cmm

En el plano del terreno de Rosendo se puede observar que su lado más grandemide 1.02 km, que también se puede expresar en metros:

1,020 metros

El número 102,000 cm es muy grande para ponerlo en un plano.

Para hacer la conversión de las unidades de longitud, con relativa facilidad, se handiseñado tablas en las que se indica por lo que se debe multiplicar a la unidad quese desea convertir.

Si a alguien se le ocurriera medirlo en centímetros el número sería tan grande queno sería práctico porque como un kilómetro tiene 1,000 metros, entonces hay quemultiplicar la medida (1.02) en kilómetros por 1,000, para obtener su equivalenciaen metros:

Y como cada metro tiene 100 cm, entonces hay que multiplicar a la medida (1,020)en metros por 100, para obtener su equivalencia en centímetros:

1.020 km x = 1,020 m1,000 mkm

1,020 m x = 102,000 cm


47

TABLA PARA CONVERTIR UNIDADES DE LONGITUDEN EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

Algunos ejemplos del uso de la tabla

• Si se desea convertir 0.5 m a cm.

1. Se debe buscar la unidad que se tiene y la que se desea convertir. En estecaso, las encuentra en el renglón 11, porque tengo m y deseo obtener cm.

2. Entre las unidades que tiene y las que desea obtener se encuentra el númeropor el que se debe multiplicar; en este caso, es 100.

3. Se realiza la operación: 0.5 x 100 cm = 50 cm

Esto quiere decir que 0.5 m = 50 cm.

123456789

1011121314151617181920

Si se tienen Multiplicar por Para obtenermmmmmmcmcmcmdmdmdmmmmmmmdamhmkmkmkm

0.10.010.001100.10.01100100.11,000100100.0010.010.1101001,00010010

cmdmmmmdmmmmcmmmmcmdmkmhmdammmmdamhm

48


• Convertir 185 km a m.

1. Se busca la unidad que se tiene y la que se desea obtener. En este caso, estáen el renglón 18.

2. Se encuentra por cuánto multiplicar; en este caso, es 1,000.

3. Se realiza la operación: 185 x 1,000 m = 185,000 m

Esto quiere decir que 185 km = 185,000 m.

Ejercicios

a) 3 km = __________ m c) 4.5 m = __________ mm

b) 2 hm = __________ m d) 250 cm = __________ m

e) 2 m = __________ dm

2. Mida su estatura.

3. Mida la estatura de uno de sus familiares o amigos.

5. Mida una mesa o una cama en su casa y haga un croquis con sus medidas encentímetros.

6. ¿Qué longitud hay del piso a la parte más alta del techo de su casa?

1. Practique usted convirtiendo las siguientes cantidades.

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

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○

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○

○

○

○

○

4. Mida cuántos centímetros tiene esta hoja; delargo, de ancho, y ponga las medidas en elsiguiente croquis:

cm

cm


49

En las actividades cotidianas no sólo se utilizanmedidas en metros o sus múltiplos, también seutilizan otro tipo de medidas, como las pulgadas,que se usan para medir la tubería; o los pies,para medir las dimensiones de los tablones en unaserradero.

A continuación, se presenta una tabla de las principales unidades de longitud en elsistema inglés y sus equivalencias en el sistema métrico decimal.

Medidas de longitud del sistemainglés

Estas unidades son las del sistema inglés de medidas.

TABLA DE EQUIVALENCIAS DEL SISTEMA INGLÉS AL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

Unidades de longituden el sistema inglés Símbolo

Unidades de longitud en el sistema métrico decimal

millayardapiepulgada

miydftin

1.609 km = 1,609 m0.914 m = 91.4 cm0.305 m = 30.5 cm2.54 cm = 25.4 mm

50


Ejemplos para el uso de la tabla

Para convertir las unidades de longitud de un sistema a otro, se puede usar lasiguiente tabla.

TABLA PARA LA CONVERSIÓN DE UNIDADES

• Suponga que en la tienda del pueblo le venden una tabla de 5 pies (ft) delargo, y quiere convertir esos 5 pies (ft) a centímetros (cm).

1. Identifique el renglón en el que se encuentren la unidad que tiene y la quebusca. En este caso, es el renglón número 4, porque tengo 5 ft y deseo suequivalencia en cm.

2. En ese reglón, entre las unidades que tengo y la que necesito, encuentro elnúmero por el cual multiplicar a lo que tengo (los 5 ft) para obtener suequivalencia en cm. En este caso, debo multiplicar a los 5 ft por 30.5.

3. Se realiza la operación: 5 x 30.5 cm = 152.5 cm

Lo anterior quiere decir que la conversión de 5 pies (ft) a centímetros (cm) es152.5 cm. Esto indica que la tabla que va a comprar mide 152.5 cm.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Si se tienen Multiplique por Para obtener

millas (mi)

yardas (yd)

pies (ft)

pies (ft)

pulgadas (in)

pulgadas (in)

km

m

m

cm

cm

1.609

0.914

0.305

30.5

2.54

25.4

0.621

1.094

3.278

0.032,78

0.393,7

km

m

m

cm

cm

mm

millas

yardas

pies

pies

pulgadas


51

• Ahora suponga que usted va a trabajar el campo en San Diego y que sale deTijuana, que está a 20 millas de San Diego. ¿A cuánto equivale esa distancia enkilómetros (km)?

1. Identifique el renglón de la tabla en el que se encuentren las unidades quetiene y las que desea obtener. En este caso, es el renglón 1, porque tiene 20millas (mi) y desea conocer a cuánto equivalen en kilómetros (km).

2. Entre las dos unidades se encuentra por cuánto multiplicar. En este caso, espor 1.609.

3. Se realiza la operación: 20 x 1.609 km = 32.18 km

Lo anterior significa que 20 millas equivalen a 32.18 kilómetros, por lo que ahorasabe que de Tijuana a San Diego hay 32.18 kilómetros de distancia.

• Si Rosendo compra, en una maderería, los postes para su cerca prefabricados,y estos tienen los medidas que se indican en el siguiente croquis,

¿a cuánto equivalen estas medidas en centímetros?

1. Identifique el renglón en que se encuentren las unidades que tiene y las que deseaobtener. En este caso, tiene pies (ft) y pulgadas (in), y desea convertirlas en cm;por lo que el renglón 4 es el adecuado para los pies (ft) y el 5 para las pulgadas (in).

52


3. Se realizan las operaciones.

Primero, obtengo la equivalencia de los pies a centímetros del largo de los postes:

6 x 30.5 cm = 183 cm

Luego, obtengo la equivalencia de las pulgadas en centímetros:

5 x 2.54 cm = 12.7 cmCon lo anterior, Rosendo sabe que los postes comprados miden de largo 183 cm ysu grosor es de 12.7 cm x 12.7 cm.

Note usted que el largo es un poco menor al que necesita Rosendo (190 cm).

Ejemplo

A Don Juan lo contratan enRosarito, junto a Tijuana, paracolocar una cerca de alambreen un terreno que tiene lasdimensiones señaladas en elcroquis.

¿Cuánto debe cobrar por sutrabajo si le pagan a $40.00 layarda?

Como le van a pagar por yardas, y las medidas del terreno están en km: primero,debe convertir las medidas del terreno a yardas; luego, sumarlas; y, posteriormente,multiplicar el resultado por los 40 pesos que le pagan por yarda.

2. En el renglón 4 encuentro que para convertir los pies (ft) a centímetros (cm)tengo que multiplicar por 30.5; en el renglón 5 obtengo que para convertir laspulgadas (in) a centímetros (cm) debo multiplicar por 2.54.

2 km

0.8

km0.

8 km

1 km 1 km

1.6 k

m

Recuerde que la yarda (yd) es una medida de longitud del sistemainglés, y equivale a 0.914 m en el sistema métrico decimal.


53

Como en la tabla tiene sólo la conversión de metros a yardas, entonces debeconvertir primero los kilómetros a metros y luego, a yardas.

Por tanto, 7,876.8 yardas x 40.00 = $315,072

También podría haber sumado todos los km:

1.6 km + 2 km + 0.8 km + 1 km + 0.8 km + 1 km = 7.2 km

Estos kilómetros convertirlos a yardas:

7.2 km = 7,200 m = 7,200 x 1.094 yardas = 7,876.8 yardas

Y, por último, hacer la multiplicación de yardas por pesos:

7,876.8 yardas x 40.00 = 315,072 pesos

pesosyarda

Medidas delcroquis

Conversióna metros

Conversión a yardas,multiplicar por 1.094

Total : 7,876.8 yardas

1.6 km2 km0.8 km0.8 km1 km1 km

1.6 km = 1,600 m2 km = 2,000 m0.8 km = 800 m0.8 km = 800 m1 km = 1,000 m1 km = 1,000 m

1,600 x 1.094 yd = 1,750.4 yardas2,000 x 1.094 yd = 2,188 yardas800 x 1.094 yd = 875.2 yardas800 x 1.094 yd = 875.2 yardas1,000 x 1.094 yd = 1,094 yardas1,000 x 1.094 yd = 1,094 yardas

pesosyarda

54


Para convertir las unidades de longitud, también se puede utilizar la regla de tressi se conoce la equivalencia de la unidad que se quiere obtener. Por lo anterior,se han creado tablas de equivalencias de unidades, como las que a continuación semuestran.

TABLA DE EQUIVALENCIAS DEL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

1

2

3

4

5

6

7

TABLA DE EQUIVALENCIAS DEL SISTEMA INGLÉS DE MEDIDAS

Estas tablas nos indican la equivalencia de las unidades que están en los renglones.

km

hm

dam

m

dm

cm

mm

km hm dam m dm cm mm

1

0.1

0.01

0.001

0.000,1

10

1

0.1

0.01

0.001

100

10

1

0.1

0.01

1,000

100

10

1

0.1

0.01

0.001

100

10

1

0.1

0.01

1,000

100

10

1

0.1

10,000

1,000

100

10

1

• En la tabla del sistema métrico decimal, en el renglón 1, se encuentran lasequivalencias de un kilómetro, esto quiere decir que un kilómetro es igual: a 10hm, a 100 dam o a 1,000 m. De la misma manera, observando el renglón 4, se puededecir que un metro es igual a 0.001 km, 0.01 hm, 0.1 dam, 10 dm, 100 cm o a 1,000 mm.

• En el caso de la tabla del sistema inglés de medidas, al observar el renglón 1, sesabe que una pulgada (in) es igual a 25.4 mm, 2.54 cm ó 0.0254 m. Al observar elrenglón 3, se obtiene a cuánto equivale una yarda (yd).

Ejemplos

1

2

3

4

in

ft

yd

mi

mm cm m km25.4

305

2.54

30.5

91.4

0.0254

0.305

0.914

1,609 1.609


55

Con este tipo de tablas y la regla de tres, se pueden realizar la mayoría de lasconversiones.

• Convierta 0.5 metros a centímetros.

1. Se debe definir a cuánto equivalen las unidades que se van a convertir. En estecaso, las unidades a convertir son los metros, por lo que se debe conocer a cuántoequivale 1 metro en centímetros. En la tabla del sistema métrico decimal, en elrenglón 5, se obtiene que:

El resultado de la regla de tres es 50 cm, por lo que 0.5 m = 50 cm.

Ejemplos

0.5 m x 100 cm1 m = ? cm

2. Con la equivalencia de las unidades, se plantea la regla de tres. Se pregunta:si 1 m equivale a 100 cm, ¿a cuánto equivale 0.5 m en cm? Esto será:

Observe que los metros están bajo los metros y los cm bajo los cm.

3. Se resuelve la regla de tres, multiplicando en cruz, como se muestra acontinuación:

0.5 m x 100 cm = 1 m x ? cm

Como los m están multiplicando del lado derecho pueden pasar al lado izquierdodividiendo. Con esto se deja sola a ? cm.

1 m = 100 cm0.5 m = ? cm

1 m = 100 cm

56


• El señor Fausto tiene un rancho que está a 6 mi de Ciudad Juárez, Chihuahua.¿Qué distancia hay en km del rancho de Fausto a Ciudad Juárez?

= ? km

Al resolver la operación se tiene 9.654 km, lo anterior significa que 6 mi = 9.654km.

1. Se define la equivalencia de las unidades que se quieren convertir. En estecaso, millas (mi) a km; por lo que de la tabla del sistema inglés se obtiene (en elreglón 5) que:

1 mi = 1.609 km

2. Con la equivalencia, se plantea la regla de tres de la siguiente manera: si 1 mi esigual a 1.609 km, ¿a cuánto equivadrán 6 mi?

1 mi = 1.609 km6 mi = ? km

3. Se resuelve la regla de tres, multiplicando en cruz y dejando sola a la ? km(lo que se busca).

6 mi x 1.609 km = 1 mi x ? km

Como 1 mi está multiplicando del lado derecho puede pasar al lado izquierdodividiendo. Con eso se deja sola a la ? km.

6 mi x 1.609 km1 mi


57

• Ofelia compró, para su invernadero, un rollo de plástico que mide 54.7 yardas(yd). ¿A cuántos metros (m) equivale el rollo de plástico que compró Ofelia?

3. Se resuelve la regla de tres, multiplicando en cruz y dejando sola la ? m (que eslo que se busca).

54.7 yd x 0.914 m = 1 yd x ? m

Como 1 yd está multiplicando del lado derecho puede pasar dividiendo del ladoizquierdo.

Al resolver la operación se tiene 49.99 m, que se puede tomar como 50 m, lo quesignifica que el rollo de plástico mide 50 m.

2. Se plantea la regla de tres, especificando que si una yarda equivale a 0.914 m,¿a cuánto equivaldrán 54.7 yd?

1. Se obtiene la equivalencia de las unidades que se van a utilizar; en este caso, 1yarda (yd) = 0.914 metros (m). Lo anterior se obtuvo en el renglón 3 de la tabladel sistema inglés.

1 yd = 0.914 m54.7 yd = ? m

54.7 yd x 0.914 m1 yd = ? m

58


Ejercicios

1. ¿Cuántos centímetros tiene un clavo de 2.5 in?

2. ¿Cuál es el diámetro, en pulgadas, de un tubo de 8.89 cm?

3. En el rancho La Esperanza, se va a construir una cerca con tres hilos dealambre de púas, como se muestra en el croquis.

¿Cuántos kilómetros de alambre de púas se van a usar para construir la cerca?

Resuelva los siguientes ejercicios de conversiones.

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

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○

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○

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○

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○

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○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

8.89 cm

0.4 mi

1 mi

1 mi

2 m

i

1.6 mi

2 mi


59

Tema 3 Perímetro y área

Evaristo le venden un rancho que tiene las medidas que se muestran en elsiguiente plano.

Si le piden $1,675,000.00 por toda la propiedad, ¿en cuánto le están vendiendocada metro cuadrado?

A123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234

90 m

27 m

20 m

18 m

25 m

70 m42 m25 m13 m

Huerto

Corrales

Corralejercitador

BodegaCasa

Esta

blo

150 m

60


_____ x _____ = ______ m2

_____ x _____ = ______ m2

Esto quiere decir que cada metro cuadrado vale $124.07.

Note usted que Evaristo logró conocer en cuánto le venden cada metro cuadradodel terreno al relacionar lo que le piden por el terreno ($1,675,000) con su área(13,500 m2). Puede ser caro o barato, mucho depende de cuánto valen otrosterrenos en la zona; también depende de que tiene de construcción la casa yla bodega; o si hay riego o no.

A = 90 m x 150 mA = 13,500 m2

Posteriormente, divide los 1,675,000 pesos entre los 13,500 m2 que tiene lapropiedad, para conocer cuánto vale cada metro cuadrado (use su calculadora).

Lo primero que hace Evaristo es obtener el área de toda la propiedad. Comosabe que el área de un rectángulo se obtiene multiplicando sus dos lados, hacelo siguiente:

EstabloBodegaHuertoCorralesCasa

38 m840_____ x _____ = ______ m2

_____ x _____ = ______ m2

_____ x _____ = ______ m2

Evaristo quiere obtener el área del establo, la casa, la bodega, el huerto y loscorrales. ¿Podría usted ayudarle?

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= 124.07

150 m

90 m

Ejercicios

1,675,000 pesos13,500 m2

pesosm2

20 m70 m 90 m


61

También Evaristo puede calcular el perímetro de todo el terreno, del establo, labodega, el huerto, los corrales y la casa.

El perímetro de todo el terreno es:

P = 150 m + 90 m + 150 m + 90 m = 480 m

El perímetro del establo es:

P = 13 m + 38 m + 13 m + 38 m = 102 m

El perímetro de la bodega es:

P = 42 m + 20 m + 42 m + 20 m = 124 m

Observe usted el plano de la propiedad que le venden a Evaristo y calcule lossiguientes perímetros (P).

P = ______ + ______ + ______ + ______ = ______ m

2. El perímetro de los corrales.

3. El perímetro de la casa.

P = ______ + ______ + ______ + ______ = ______ m

P = ______ + ______ + ______ + ______ = ______ m

Recuerde que el perímetro de una figura es el cálculo de cuánto mide su contorno.

Ejercicios○

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1. El perímetro del huerto.

62


El perímetro (P) del corral ejercitador de caballos corresponde a la figura de uncírculo, o sea es la medida de toda la orilla del corral.

Pero medir su contorno con una cinta puede sercansado y lento. Para evitar medir directamentealrededor del corral, existe una fórmula; la quea continuación se presenta.

Para poder aplicar la fórmula es necesario recordar que todos los círculos tienenun centro.

En todos los círculos se puede trazaruna línea de lado a lado y que pase porel centro. Esta línea se llama diámetro(D), con ella se divide al círculo en dos.

Diámetro = D

La mitad del diámetro es una línea queva desde el centro hasta cualquierpunto de la circunferencia y se llamaradio (r).

radio = r = D12


63

Para establecer una fórmula con la que se pueda conocer el perímetro de uncírculo es importante saber que hace mucho tiempo los griegos encontraron quesiempre que se divide el perímetro (P) de un círculo entre su diámetro (D) seobtiene el mismo número: 3.1416, número al que se le ha llamado ppppp (pi) y por facilidaden este libro se tomará como 3.14.

Esto quiere decir que:

Si a esta fórmula la multiplicamos en sus dos lados por D, no se altera; observe:

D x = ppppp x D

Pero como = 1, tenemos que:

1 x P = p p p p p x D

Lo que se conoce como la fórmula delperímetro de un círculo.

Ahora el señor Evaristo calcula el perímetro del corral ejercitador de manerafácil y rápida, usando la fórmula.

P = ppppp x diámetroP = 3.14 x 25 m

Él realiza la operación:

El perímetro del corral de ejercicio de caballos es de 78.50 m.

3 . 1 4x 25

1 5 7 06 2 8 .7 8 . 5 0

PerímetroDiámetro = ppppp Perímetro = P

Diámetro = D

P = ppppp x D

PD

DD

Recuerde que ppppp = 3.14

64


Ejercicios

a) Diámetro: ________________

Circunferencia: ________________

1. Calcule el perímetro de los siguientes círculos. (Haga las operaciones con sucalculadora.)

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○

Recuerde que:P = ppppp x diámetro,donde ppppp = 3.14

b) Diámetro: ________________


c) Diámetro: ________________


d) Diámetro: ________________


e) Diámetro: ________________


D = 12 m D = 18 cm

D = 5.4 cm D = 6.4 m D = 40 m


65

Evaristo está acostumbrado a medir laspropiedades en hectáreas (ha), por lo quepregunta a su compadre Malaquías que a cuántoequivalen en hectáreas los 13,500 metroscuadrados (m2) del rancho que le venden.

= 1.35 hectáreas (ha)

Note usted que cuando se divide entre 10,000 se recorre el punto a la izquierda4 lugares porque en el 10,000 hay cuatro ceros.

= 1.3500

Si se quieren convertir 1.35 hectáreas (ha) a metros cuadrados (m2) habrá quemultiplicar a 1.35 por los 10,000 metros cuadrados (m2) que cada hectárea (ha)tiene.

1.35 ha x 10,000 = 13,500

Observe que al multiplicar por 10,000 se recorre el punto a la derecha 4 lugaresporque en el 10,000 hay 4 ceros.

Si se multiplicara por 1,000 se recorrería 3 lugares el punto a la derecha; por100, dos lugares a la derecha y por 10, sólo uno.

Si se dividiera entre 1,000 se recorrería el punto tres lugares a la izquierda; por100, dos lugares a la izquierda y por 10, sólo uno.

Malaquías le dice a Evaristo que cada 10,000 m2 es lo mismo que una hectárea, por loque para convertir los 13,500 m2 a hectáreas hay que dividirlos entre 10,000 .

Medidas en hectáreas

13,50010,000

m2

ha

m2

ha

13,500 m2

10,000

m2

ham2

ha

66


Ejemplos

• 1.38 x 1,0 0 0 = 1,3 8 0.

• 12.38 x 1 0 0 = 1,2 3 8.

• 127 x 1 0 0 = 1 2, 7 0 0.

• 437 x 1 0 = 4,3 7 0.

• 18.50 x 1 0 = 1 8 5.

1,380 ÷ 1 ,000 = 1.380

1,238 ÷ 100 = 12.38

12,700 ÷ 100 = 127.00

4,370 ÷ 10 = 437.0

185 ÷ 10 = 18.5

1. Resuelva las siguientes operaciones.

a) 327 ÷ 100 =

b) 13,727,500 ÷ 10,000 =

c) 4,275.27 ÷ 100 =

d) 35.95 ÷ 10 =

e) 1,968 ÷ 10 =

f) 642,434 ÷ 1,000 =

2. Convierta las siguientes cantidades según se indica.

a) 33.56 ha = m2

b) 7,263 m 2 = ha

c) 1,000 m2 = ha

d) 1 ha = m2

e) 250 m 2 = ha

Ejercicios○

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67

758,500 m2

10,000

Si las unidades de longitud fueran submúltiplos o múltiplos del metro, tambiénserán cuadrados; observe:

Cuando las superficies son grandes es más práctico medirlas en hectáreas y no enm2 porque se usan cantidades con menos números, observe usted cómo se puedenpresentar los datos de un terreno.

La superficie de este terreno es de:

A = L1 x L2A = 820 m x 925 m = 758,500 m2

A = 758,500 m2

También se puede presentar en hectáreas.

A = = 75.85 ha

Como usted ha podido observar, cuando se obtienen las áreas, las unidades tienenun 2 pequeño sobre la unidad (m2). Esto se debe a que el área es el producto demultiplicar una longitud (m) por otra longitud (m).

L1 = longitud en metros (m)L2 = longitud en metros (m)

mm x mm = mm2

cm x cm = cm2

dam x dam = dam2

hm x hm = hm2

km x km = km2

Múltiplos

Submúltiplos

m x m = m2

925 m

820 m

L1

L2

m2

ha

68


= = 9,000 m2

El señor Rosendo dividió su terreno como se muestra en el dibujo, desea conocercuál es el área de cada una de las partes que obtuvo.

Como Rosendo sabe que tiene forma de rectángulo, puede obtener el áreamultiplicando un lado por el otro y ésta la divide entre dos.

200 m x 90 m = 18,000 m2

18,000 m2 ÷ 2 = 9,000 m2

Lo que quiere decir que cada parte mide 9,000 m2..

En este caso, la obtención de área fue sencilla porque el terreno es un rectánguloque se divide en dos, pero si fuera sólo la mitad, o sea, un triángulo, ya no obtendríael área al multiplicar sus lados.

¿Cuál es el área de este terreno?

Observe usted que un triángulo puede ser la mitad de un rectángulo, por lo que suárea será la mitad de multiplicar los lados de ese supuesto rectángulo.

90 m x 200 m2

18,000 m2

2

200 m

90 m

200 m

90 m


69

b

h

Para recordar lo anterior, se puede llamar a la parte baja del triángulo base (b) y ala distancia desde la base hasta la parte más alta del triángulo, altura (h).

Se puede establecer la fórmula:

Conociendo la fórmula para calcular el área de los triángulos, se puede obtenercasi cualquier área.

A Rosendo le venden un terreno como el que se muestra en el croquis y le piden$180.00 por cada metro cuadrado.

Ejemplo

¿Cuánto debería pagar sidecide comprar el terreno?

b x h2A =

b

h

b

h

Acotación en m

80 90 30

10025

175

100

3020 200 45

40

60

100

50

70


Lo primero que hace Rosendo es dividir su terreno en cuadrados, rectángulos otriángulos de los que conozca sus medidas y, luego, saca el área de cada una de ellosy las suma.

Para no confundirse, pone un número a cada parte del terreno.

Acotación en m

80 90 30

10025

175

100

3020 200 45

40

60

100

50

12

3

45

6

7

9

8

80 90 30

10025

175

100

3020 200 45

40

60

100

50

Acotación en m


71

Ahora, calcula el área de cada una de las partes del terreno.

A5 = 120 m x 150 m = 18,000 m2

Parte 1. Es un rectángulo que mide 30 m x 100 m.A1 = 30 m x 100 m = 3,000 m2



Parte 4. Es un rectángulo que mide 100 m x 50 m (30 m + 20 m).A4 = 100 m x 50 m = 5,000 m2

Parte 5. Es también un rectángulo en el que uno de sus lados mide 120 m (90 m + 30 m)y el otro mide 150 m (175 m - 25 m).

Parte 6. Es un triángulo con base de 45 m y altura de 175 m.

A6 = = = 3,937.5 m2b x h2

45 m x 175 m2

72


1. Parte 7. Es un triángulo con base de 30 m y altura de 25 m.

2. Parte 8. Es otro triángulo con base de ______ m y altura de ______ m.

3. Parte 9. Es un triángulo con base de 50 m (20 m + 30 m) y altura 100 m.

Rosendo ya conoce todas las áreas de las partes en las que dividió el terreno;ahora, las suma:

A1 = 3,000 m2

A2 = 12,000 m2

A3 = 16,000 m2

A4 = 5,000 m2

A5 = 18,000 m2

A6 = 3,937.5 m2

A7 = 375 m2

A8 = 2,250 m2

A9 = 2,500 m2

AT = 63,062.5 m2

El área total del terreno es 63,062.5 m2.

Si a Rosendo le piden $180.00 por cada m2, entonces multiplica el área total(63,062.5 m2) por el costo de cada m2.

63,062.5 m2 x 180.00 = 11,351,250.00 pesos

El costo de todo el terreno es de $11,351,250.00

Ejercicios

Ayude usted a Rosendo calcular el área de las partes 7,8 y 9 del terreno que levenden.

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A7 = = m2x2

A = = m2 x2

A = = m2x2

50

pesosm2


73

Así como en el triángulo se obtuvo una fórmula para calcular su área; en el casodel círculo, para obtener la fórmula de su área, realice lo siguiente:

Primero. Imagine que el círculo está construidopor pequeñas rectas, de las cuales se extiende ungajo hasta el centro.

Segundo. Extienda las mitades del círculo de la siguiente manera.

Tercero.Haga lo mismo con laotra mitad del círculo, y pongauna mitad sobre la otra.

Mitad de arriba

Mitad de abajo= medio perímetro

Cuarto. Habrá que obtener el área de ese rectángulo, que tiene un lado dey otro de r, por lo que su área será:

pero como D = 2 r, sustituyendo tendremos:

A = p x r x r ; como r x r = r2, se tendrá:

A = área del círculoppppp = 3.14r = radio

r

ppppp x D2

L1 = ; L2 = rppppp x D2

Esta es la fórmula para obtener el área de uncírculo; en donde,

ppppp x D 2

ppppp x D 2

ppppp x D2

área del rectángulo = ppppp x D2

x r

ppppp x 2r 2A = x r ;

A = p x r2

74


Como ya se ha mencionado, en las actividades cotidianas se utilizan diferentestipos de figuras de las que constantemente se necesita calcular su área; por ello,se han deducido fórmulas para calcular el área de estas figuras.

A continuación se presentan algunas de las más comunes.

L1 = L2A = L1 x L2Cuadrado

Círculo

A =

b = baseh = altura(distancia de labase al vértice)

b = baseh = altura

b = baseh = altura

Triángulo

A = ppppp x r²D = 2 rr = D

FIGURA

A =

A =

FORMA FÓRMULA OBSERVACIONES

12

b x h2

b x h2

b x h2

h

b

L2

L1

h

b

h

b

(en los ejerciciosse toma como 3.14)

Dr

•

D = diámetror = radioppppp = 3.1416


75

Problemas

2. Romualdo tiene un invernadero con un terreno como se muestra a continuación.¿Cuál es el área del invernadero de Romualdo?

r = 15 m

3. Calcule el área del siguiente terreno.

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1. Calcule usted el área del corral para ejercicio de caballos que le venden aEvaristo. (Utilice su calculadora y la fórmula.)

Observe que el invernadero estáformado por un rectángulo y porla mitad de un círculo.

A = ppppp x r2

40 m

30 m r

Acotación en m

25 m•

40 30 40 50

50

50

50

76


En las unidades para medir el área también existen múltiplos, submúltiplos y medidasen el sistema inglés.

Para hacer conversiones de las unidades de área existen tablas de equivalencias,con las que, utilizando la regla de tres, fácilmente se convierten a diferentesunidades. Observe la siguiente tabla y su uso.

TABLA DE EQUIVALENCIAS DE UNIDADES DE ÁREA DEL SISTEMA INGLÉS AL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

La tabla se lee por renglones.

TABLA DE EQUIVALENCIAS DE UNIDADES DE ÁREA DEL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

Ejemplo

• 1 ft2 es igual ó 0.093 m2 ó 930.25 cm2.

Nombre

Múltiplos

Abreviatura Equivalencia

Submúltiplos

Unidad Principal

Kilómetro cuadrado

Hectómetrocuadrado = hectárea

Decámetro cuadrado

Decímetro cuadrado

Centímetro cuadrado

Milímetro cuadrado

dm2

cm2

mm2

= 100 cm2 = 10,000 cm2

= 100 mm2

= 0.01 cm2

Metro cuadrado

km2

hm2 =ha

dam2

= 1,000,000 m2

= 10,000 m2

= 100 m2

= 100 dm2 = 10,000 cm2

= 1,000,000 mm2m2

ft2

in2

m2

0.093

0.000645

cm2

930.25

6.45


77

Los 10,000 m2que están multiplicando en la derecha pueden pasar dividiendo a laizquierda.

Ejemplos del uso de las tablas

= 0.45 ha

Lo que indica que 4,500 m2 equivalen a 0.45 ha; son casi hectárea.

• Para conocer a cuánto equivalen 4,500 m2 (metros cuadrados) en hectáreas, serecomienda utilizar la regla de tres, siguiendo estos pasos.

1. Identifique, en la tabla, la equivalencia de las unidades que tiene y las quedesea obtener. En este, caso se tienen metros cuadrados y se quierenconvertir a hectáreas, por lo que se busca a cuánto equivale 1 ha en m2.

= ? ha

4,500 m2 x 1 ha10,000 m2

4,500 m2 x 1 ha10,000 m2

12

1 ha = 10,000 m2

2. Se plantea la regla de tres, estableciendo que si una ha es igual a 10,000 m2, acuánto equivaldrán, en ha, 4,500 m2.

1 ha = 10,000 m2

? ha = 4,500 m2

3. Se resuelve la regla de tres, multiplicando en cruz y dejando sola a lainterrogación.

4,500 m2 x 1 ha = ? ha x 10,000 m2

78


Con las equivalencias mostradas en la tabla se pueden hacer conversiones, comose muestra en los siguientes ejemplos.

¿cuál es su área en metros cuadrados, hectáreas y kilómetros cuadrados?

Como las dimensiones se encuentran en m, fácilmente podemos obtener su áreaen m2:

1,000,000 ÷ 10,000 = 1 00.0000

• Si tengo un terreno con las dimensiones que se presentan en el croquis,

Ejemplos

4 3 2 1

Por lo tanto, 1,000,000 m2 = 100 ha.

1,000 m x 1,000 m = 1,000,000 m2

A = 1,000,000 m2

En la tabla se nos indica que una hectárea (ha) es igual a 10,000 m2; para conocerel área del terreno, en hectáreas, se hace lo siguiente:

Cada ha = 10,000 m2, y el terreno tiene 1,000,000 m2; se tendrá que averiguarcuántas veces cabe una hectárea (10,000 m2) en 1,000,000 m2, para ello se divide1,000,000 ÷ 10,000, lo que implica correr el punto 4 lugares a la izquierda:

1,000 m

1,00

0 m


79

Para conocer cuántos km2 tiene el terreno es necesario establecer que si cadakm2 tiene 1,000,000 m2 y el terreno tiene 1,000,000 m2, el terreno tiene 1 km2.

También existen tablas que indican por cuánto multiplicar a la dimensión conocidapara obtener una que no se conoce.

A continuación, encontrará una tabla de este tipo.

TABLA PARA CONOCER LA EQUIVALENCIA DE UNIDADES DE ÁREAEN EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

Ejemplos del uso de la tabla• Un terreno de 1.35 ha, ¿a cuántos m2 equivale?

1. Identifique las unidades que tiene y las que quiere obtener. Tiene ha y quiereobtener m2..

2. Identifique el renglón de la tabla en el que existen las dos unidades: la que tieney la que quiere obtener. En este caso, en el renglón 4 encuentra las hectáreas (ha)que tiene, y los m2 que es lo que desea obtener.

Cuando tenga multiplique por para obtenerkm2

hakm2

ham2

m2

m2

m2

dm2

cm2

cm2

cm2

mm2

1000.01 1,000,000 10,000

0.000,0010.000,110,0000.01100

0.000,10.011000.01

hm2 = hakm2

m2

m2

km2

hm2 = hacm2

dam2

cm2

m2

dm2

mm2

cm2

12

3456

789

10

111213

80


• El rancho “El Girasol” tiene 12 km2 de área.¿A cuánto equivale esta área en m2?

1. Se tienen km2 y se quiere obtener m2.

2. En el renglón 3 localice las unidades que tiene(km2) y la que quiere obtener (m2).

3. Debe multiplicar los km2 por 1,000,000 paraobtener m2.

12 km2 = 12 x 1,000,000 m2= 12,000,000 m2

12 km2 = 12,000,000 m2

El rancho “El Girasol” tiene 12,000,000 m2

(12 millones de metros cuadrados).

2. Entre las dos unidades, encuentra que se debe multiplicar lo que tiene (m2)por 0.000,1 para obtener hectáreas.

3. Resuelva la operación: 12,000,000 m2 = 12,000,000 x 0.000,1 ha = 1,200 ha

Lo que indica que el rancho “El Girasol” mide 1,200 ha.

•Pero como no es muy común que los ranchos o las propiedades grandes se midanen m2 es preferible dar el área del rancho en hectáreas, por lo que se debenconvertir 12,000,000 m2 a hectáreas.

1. Como tiene m2 y quiere obtener hectáreas, busque en la tabla ambas unidades,por lo que en el renglón 6 se encuentran los m2 y las ha.

3. En el renglón 4, entre las dos unidades, se encuentra por cuánto debemultiplicar lo que tiene para obtener lo deseado. En este caso, debe multiplicarpor 10,000.

4. Ejecute la multiplicación:

1.35 ha = 1.35 x 10,000 m2 = 13,500 m2

Por lo tanto, 1.35 ha es igual a 13,500 m2.


81

Problemas

1. Ramiro tiene una propiedad que de superficie tiene 14,000 m2. ¿Cuánto midela propiedad de Ramiro en ha?

3. Al señor Rogelio le venden 25 hectáreas de terreno en $850,000.

4. El estado de Aguascalientes, en la República Mexicana, tiene una extensiónde 5,471 km2. ¿Cuál es la extensión de Aguascalientes en ha?

a) ¿En cuánto le están vendiendo la hectárea?b) ¿En cuánto le están vendiendo el m2?

5. En 1967, Estados Unidos le devolvió a México la región del Chamizal, quetiene una extensión de 178 ha. ¿Cuántos m2 regresó Estados Unidos a Méxicoen 1967?

2. La reserva ecológica de Huapachanga tiene 480 ha. ¿Cuánto tiene desuperficie esta reserva en km2?

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Para que Matías pueda saber cuántas vecespuede llenar una regadera con el agua quecabe en su recipiente, necesita obtener elvolumen o capacidad del tinaco y de laregadera, y luego ver cuántas veces cabe elvolumen de la regadera en el del tinaco.

atías, en su invernadero, tiene un tinaco como el que se muestra en el croquis.Si para regar utiliza regaderas que tienen 30 cm de diámetro y 30 cm de altura,¿cuántas regaderas podrá llenar con el agua del tinaco?

Tema 4 Volumen y capacidad

M


83

Para obtener el volumen de un cilindro, se debe multiplicar el área de su base(ppppp r2) por la altura (h), por lo que se puede escribir una fórmula como ésta:

Para conocer el volumen del tinaco y de la regadera, se hace lo siguiente.

El tinaco y la regadera tienen forma decilindro: tienen una base circular y unaaltura (h).

Área de la base = ppppp x r2

Altura = hVolumen = VV = ppppp x r2 x h Recuerde que el radio es la mitad del diámetro.

V = ppppp x r2 x hV = ppppp x r x r x hV = 3.14 x 0.7 m x 0.7 m x 1.6 m

V = 2.46 m3

En el caso del tinaco, el diámetro esde 1.4 m, por lo que el radio será de0.7 m y la altura (h) = 1.6 m

Aplicando la fórmula:Como también es un cilindro, aplica lafórmula V = ppppp x r2 x h

r = 0.15 mh = 0.3 mV = 3.14 x 0.15 m x 0.15 m x 0.3 mV = 0.021 m3

Ahora, Matías calcula el volumen de laregadera.

Esto quiere decir que a la regadera deMatías le cabe 0.021 m3 de agua.

Esto quiere decir que al tinaco deMatías le cabe 2.46 m3 de agua.

El volumen es el espacio que hay dentro del tinaco y de la regadera.

Recuerde que r = radio y ppppp = 3.14

84


Observe que las unidades de volumen tienen un 3 pequeño (m3), lo que se llamacúbico (m3), y se dice metros cúbicos. Esta unidad se obtiene al multiplicar 3veces la unidad metros (m).

= 117.14 regaderas

Para conocer cuántas regaderas se pueden llenar con el agua del tinaco, seránecesario dividir el volumen del tinaco (2.46 m3) entre el volumen de la regadera(0.021 m3).

Con lo anterior, Matías sabe que con su tinaco puede llenar 117 regaderas y le vaa sobrar un poquito.

Un litro es el volumen que cabe en un decímetro cúbico (dm3).

Matías se pregunta: pero si el agua la mido en litros, ¿porqué ahora me resultaque la regadera y el tinaco se miden en m3?

Volumen del tinacoVolumen de la regadera

2.46 m3

0.021 m3=

Los litros son una unidad de capacidad o volumen que por lo regular se utilizanpara medir líquidos.

m x m x m = m3


85

Imagine un cubo con 1 decímetro en cada lado:

= Un litro (lllll)

Ahora imagine un metro cúbico (un cubo con lados que miden 1 metro), ¿cuántosdecímetros cúbicos o litros le cabrán?

Como 1 metro cúbico tiene lados de1 metro y en cada metro hay 10decímetros, se tendrá que 1 metrocúbico tiene una base cuadrada conlados de 10 dm x 10 dm y altura de10 dm, por lo que su volumen en dm3

será:

10 dm x 10 dm x 10 dm = 1,000 dm3

Esto quiere decir que en 1 metro cúbico hay 1,000 dm3, y como cada dm3 = 1 lllll:

En 1 metro hay 10 decímetros y en un decímetro hay 10 centímetros.

1 m3 = 1,000 lllll

1 m = 10 dm1 dm = 10 cm

86


0.021 m3 = 0.021 x 1,000 litros = 21 litros

Lo anterior quiere decir que cada vez que se tenga la unidad m3 estaremos indicandoque hay 1,000 litros.

• En el caso de la regadera, como ésta tieneuna capacidad o volumen de 0.021 m3, paraconvertir este volumen a litros, habrá quemultiplicar por 1,000.

• Al tinaco de Matías le caben 2,460 lllll. ¿Cuálserá su capacidad en m3?Como el volumen se tiene en litros y se necesitaconvertir a m3, se deberá dividir a los litrosentre 1,000.

= 2.460 m3

• El tinaco de Matías tiene un volumen de 2.46 m3 ; en cada m3 hay 1,000 lllll. Loanterior quiere decir que cada vez que se tenga la unidad m3 estaremos indicandoque hay 1,000 litros. Para conocer a cuántos litros equivale, se multiplica el volumenen m3 por 1,000.

2.46 m3 = 2.46 x 1,000 litros = 2,460 litros

Ejemplos

Recuerde que para multiplicar por 1,000 sólo tiene que correrel punto 3 lugares a la derecha.

Recuerde que para dividir entre 1,000 el punto se recorre 3 lugares a la izquierda.

• ¿A cuántos m3 equivale el volumen de la regadera de Matías si a ésta le caben 21 lllll?Para convertir litros a m3 se debe dividir a los litros entre 1,000.

= 0.021 m3

2,460 m3

1,000

21 m3

1,000

2,460 l l l l l =

21 l l l l l =


87

a) 3 m3 = lllll

b) 0.25 l l l l l = m3

c) 2,500 lllll = m3

Ejercicios

4. Convierta los siguientes volúmenes.d) 400 lllll = m3

e) 12 m3 = lllll

f) 4.256 m3 = lllll

1. Martín tiene un tambor de 200 litros. ¿A cuánto equivale este volumen en m3?

2. Bruno construyó una represa a la que le caben 45 m3. ¿Cuántos litros cabenen la represa de Bruno?

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3. En el rancho de Adolfo hay un tanqueque mide 3 m x 2 m, de base, y tieneuna altura de 0.7 m. ¿Cuántos litrosde agua caben en el tanque?

Cubo

Para facilitar el cálculo del volumen de recipientes, existen fórmulas, como lasque se muestran a continuación.

En los recipientes que tienen su tapa y su base iguales el volumen se obtienemultiplicando el área de su base por la altura de la figura.

La base es cuadrada.

Volumen = área de la base x la altura

Área de la base: A = L x L

Altura = L

Volumen = L x L x L

V = L3

Fórmula: V = L3

88


Área de la base: A =

Volumen = x h

V = x h

Paralelogramo

Fórmula: V = L1 x L2 x h

Prisma triangular

b x a2

b x a2

Fórmula: V = x h

La base es rectangular.


Área de la base: A = L1 x L2

Altura = h

Volumen = L1 x L2 x h

V = L1 x L2 x h

Es un prisma con la base en forma detriángulo.


b x a2

b x a2


89

Fórmula: V = x h

Su base es un triángulo.

Volumen = área de la base x de la altura

Área de la base: A =

Volumen = x h

V = x h

Cilindro

Recuerde que:ppppp = 3.14 y r x r = r2

Fórmula: V = ppppp x r x r x h V = ppppp x r2 x h

También existen cuerpos o recipientes que su parte superior no es igual a su base.En estas figuras todas los puntos de su base se unen en un punto llamado vértice,el cual se encuentra a una altura (h) determinada.En estas figuras su volumen se calcula multiplicando el área de su base por latercera parte de la altura ( h = 0.333 h).

Pirámide triangular

V = x 0.333 h

b x a2

b x a2

b x a2

Tiene base circular.Volumen = área de la base x la alturaÁrea de la base: A = ppppp x r2

Altura = hVolumen = ppppp x r2 x hV = ppppp x r x r x h

13

13

13

b x a2

b x a2

13

13

90


Su base es un círculo.


Área de la base: A = ppppp x r2

Volumen = ppppp x r2 x h

V = ppppp x r2 x h

Su base es un cuadrado.


Área de la base: A = a x b

Volumen = a x b x h

V = a x b x h

Pirámide cuadrangular

Fórmula: V = a x b x h

Cono

Fórmula: V = ppppp x r x r x h

13

13

13

V = a x b x 0.333 h

13

Recuerde que:ppppp = 3.14 y r x r = r2

13

13

13

V = ppppp x r x r x 0.333 h

13


91

Problemas

3. Una bomba para agua de de HP puede manejar 13 m3 cada hora. ¿Cuántoslitros por hora maneja esta bomba?

4. En el rancho de Don Manuel hay un abrevadero como el que se muestra en eldibujo. ¿Cuántos litros de agua caben en el abrevadero?

Observe que el abrevadero esla mitad de un cilindro.

5. Si el abrevadero del rancho de don Manuel se va a llenar con un bote como elque se muestra a continuación, ¿con cuántos viajes se llenará el abrevadero?

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1. En la época de estiaje, Enrique recibe 3 m3 de agua al día. ¿Cuántos litros deagua recibe al día Enrique en la época de estiaje?

2. Ramiro va a construir una cisternacomo la que se muestra en el dibujo.¿Cuántos litros caben a la cisterna?

34

92


La esfera

2. Con su cinta métrica o con una regla obtenga su diámetro.

Suponga que mide 7.3 cm.

D = 7.3 cm.

3. Con cartón o papel periódico construya un cilindro con diámetro y alturaiguales a las del diámetro de la media naranja.

La esfera es un cuerpo que no tiene base, como los otros que se han analizado,por lo que su fórmula se puede obtener de una manera práctica, como semuestra a continuación.

1. Busque una naranja grande, pártala a la mitad y quítele los gajos, como semuestra en el dibujo.

Recuerde queD = 2r

La mitad de esta naranja representa la mitad de una esfera.


93

4. Con la media naranja llene, con azúcar o arroz, el cilindro que construyó;observe que con tres medias naranjas se llena el cilindro.

Esto quiere decir que: 3 medias naranjas = volumen del cilindro

Esta fórmula representa el volumen de media naranja, o sea, media esfera;como nosotros requerimos el de una esfera completa, multiplicamos estafórmula por 2.

Realizando las operaciones se obtiene la fórmula para calcular el volumen de unaesfera.

En este caso, h = 2r; por lo que la fórmula del volumen del cilindro queda de lasiguiente forma:

VC = ppppp x r2 x 2 rVC = 2ppppp x r3

Recuerde que el volumen del cilindro es: VC = ppppp r2 x h

Para conocer el volumen de una media naranja, se pasa el 3 que está multiplicando enel lado derecho dividiendo al lado izquierdo.

Volumen de una esfera =

Volumen de media naranja =

Fórmula: V =

=

Esto quiere decir que: 3 medias naranjas = 2ppppp x r3

2 (2ppppp x r3)3

4ppppp x r3

3

2ppppp x r3

3

94


Ejemplo

En el recipiente de Ruperto, el diámetro entre dos será el radio ( = r).

Como D = 2.35 m, r = = 1.175 m

Al aplicar la fórmula del volumen de la esfera se tiene:

V =

V =

V = = 6.79 m3

A Ruperto le regalan un recipiente quetiene la forma de la mitad de una esfera.

El volumen de la esfera completa sería 6.79 m3.

Recuerde que: ppppp = 3.14, r3 = r x r x r.

Recuerde que el radio es la mitad del diámetro.

Si Ruperto va a utilizar ese recipientecomo tanque de agua, ¿cuánta aguapodría almacenar si tiene las siguientesdimensiones?

2.35 m2

D2

4 x 3.14 x 1.175 m x 1.175 m x 1.175 m3

20.37 m3

3

4ppppp x r3

3


95

Pero como el recipiente sólo es la mitad de la esfera, el volumen obtenido sedebe dividir entre 2.

6.79 m3 ÷ 2 = 3.395 m3

El volumen del recipiente de Ruperto es de 3.395 m3.

Para convertir los m3 a litros, se debe multiplicar por 1,000.

3.395 m3 = 3.395 x 1,000 litros = 3,395 litros

Al recipiente de Ruperto con forma de media esfera, con diámetro de 2.35 m, lecaben, hasta el borde, 3.395 litros.

Problemas

1. En la estación de bombeo de la nopalera Ixcatuca, se tiene un tanque esféricopara almacenamiento de agua. Si el tanque tiene de radio 2.5 m, ¿cuánta agua,en litros, puede almacenar?

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2. Andrés usa para vaciar el aguamiel de los magueyes un guaje (vasija) conforma de media esfera, con diámetro de 0.25 m. ¿Cuánta aguamiel, en litros,puede vaciar en su guaje Andrés?

AutoevaluaciónAutoevaluación

96

Unidad II: Perímetro, área y volumen

2. El surco de zanahorias, que mide 40 metros, ¿a cuántos centímetros equivale?

Ramón necesita alambre de púas para cercar la barda de un terreno que tiene lasmedidas que se muestran en el siguiente dibujo.

a)0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

metros

b)0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

metros

c)0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

metros

d)0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

metros

1 km = 1,000 m

Instrucciones:Lea con atención la siguiente información y conteste las preguntas.

1. Chendo tiene surcos de 40 metros sembrados con hortalizas. ¿Cuál de los siguientesdibujos representa uno de los surcos de la hortaliza de Chendo?

1.2 km

600 m

97

3. ¿Cuántos metros de alambre de púas necesita para dar una vuelta a todo elcontorno?

Jerónimo vive en un rancho y necesita cercar un corral cuadrangular y un estanqueredondo como las figuras de abajo.

5. ¿Cuánto mide el contorno del corral?

4. Las siguientes figuras representan 4 tornillos de diferentes medidas. ¿Cuál de ellosmide aproximadamente 5 cm?

a) pulgada b) de pulgada c) 1 pulgada d) 2 pulgadas

Perímetro = lado + lado + lado + lado

1 pulgada = 2.54 cm

Corral

30 m

50 m

Estanque

D = 25 m

34

12

6. Si se va a cercar con cuatro vueltas de alambre el corral, ¿cuántos metros dealambre se necesitan? En centímetros:

Jerónimo quiere comprar un terreno cercano para usarlo como corral para las vacas,con las siguientes medidas y forma.

12. Jerónimo tiene que cortar una lona para cubrir por las noches el estanque de lospeces. ¿Cuántos metros cuadrados debe tener la lona para cubrir completamenteel estanque?

11. Si cada caballo necesita una superficie de 5 metros cuadrados para vivir bien,¿cuántos caballos podrán vivir bien en el corral?

10. ¿Cuánto mide la superficie del corral?

9. ¿Cuánto alambre necesita para dar 10 vueltas al contorno del estanque?En centímetros: en metros:

8. ¿Cuánto alambre necesita para dar una vuelta al contorno del estanque?

7. ¿A cuántas yardas (yd) equivale la cantidad de alambre que se necesita para cercarel corral?

98

Perímetro = ppppp x diámetro; ppppp = 3.1416

1 yarda (yd) = 0.914 metros

Área o superficie = lado x lado

Área = ppppp x radio x radio; ppppp = 3.1416

180 m

60 m

30 m

99

13. ¿Cuánto mide la superficie de la parte rectangular del terreno?

14. ¿Cuánto mide la superficie de cada una de las partes en forma de triángulo?

17. Calcule la capacidad de cada una de las cajas y escríbala en la última columna delcuadro anterior.

Alejandro compró cajas de diferentes tamaños para guardar las semillas que va asembrar en su huerto. Las medidas de las cajas que compró son las siguientes:

Forma de la base

a) Cuadrada

b) Cuadrada

c) Rectangular

d) Rectangular

AnchoMedidas

CapacidadLargo Altura

35 cm

20 cm

30 cm

40 cm

35 cm

20 cm

50 cm

60 cm

35 cm

40 cm

40 cm

20 cm

18. ¿Qué caja tiene más capacidad? Anote los datos.Forma de la base: Capacidad:Medidas: ancho: largo: altura:

19. ¿Qué caja tiene menos capacidad? Anote los datos.Forma de la base: Capacidad:Medidas: ancho: largo: altura:

15. ¿Cuánto mide la superficie total del terreno?

16. ¿Cuántas hectáreas mide todo el terreno?

20. Juan quiere comprar un tinaco para su rancho. Le ofrecen al mismo precio dostinacos que se representan con los dibujos de abajo, por lo que ha decido comprarel que tenga más capacidad. ¿Cuál comprará?

21. ¿Cuál es la capacidad de los tanques en litros?

a) Capacidad del tinaco cilíndrico:

b) Capacidad del tinaco con forma de prisma rectangular:

c) Juan compró el tinaco en forma

a) Cilíndrico:

b) Prisma rectangular:

Tinaco cilíndrico Tinaco rectangular

100

Volumen del cilindro = área de la base x alturaVolumen del prisma rectangular = lado x lado x ladoVolumen del cilindro = ppppp x radio x radio x alturappppp = 3.1416

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Terreno Irregular