Ley de Poiseuille

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ – FACULTAD

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DEDICATORIA

A todos aquellos que ayudaron directa o indirectamente a realizar esta monografía. A los maestros por su gran apoyo y por habernos transmitido los conocimientos obtenidos.


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ÍNDIC

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INTRODUCCION..................................................................................................................................

LEY DE POISEUILLE.............................................................................................................................

FLUJO LAMINAR Y FLUJO TURBULENTO.........................................................................................

Régimen Laminar o de Poiseuille:..............................................................................................

Régimen Turbulento o de Venturi:.............................................................................................

FLUJO DE LÍQUIDO A TRAVES DE UN TUBO....................................................................................

Perfil de Velocidades de un Fluido Ideal.....................................................................................

Perfil de Velocidades de un Fluido Viscoso................................................................................

DEDUCCION DE LA LEY DE POISEUILLE...........................................................................................

INTEGRACIÓN PARA LA LEY DE POSEUILLE.....................................................................................

APLICACIONES DE LA LEY DE POSEUILLE........................................................................................

DISTRIBUCION DE VELOCIDADES..................................................................................................

CAPA LÍMITE.............................................................................................................................

CONCLUSIONES................................................................................................................................

Bibliografía.......................................................................................................................................


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INTRODUCCION

El presente trabajo monográfico, titulado “Ley de Poiseuille y Distribución de Velocidades en un Fluido”, tiene como objetivo, entregar una lista de las formulas propuestas para dichos temas usados en Dinámica de Fluidos.


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Para la realización de esta monografía se acudió a fuentes importantes como las bibliográficas y electrónicas. La finalidad de esta breve introducción es despertar el interés en la lectura que se efectuara, esperando ser de agrado completo.

LEY DE POISEUILLE

La ley de Poiseuille (también conocida como ley de Hagen-Poiseuille después de los experimentos llevados a cabo por Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen (1797-1884) en 1839) es la


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ley que permite determinar el flujo laminar estacionario ΦV de un líquido incompresible y uniformemente viscoso (también denominado fluido newtoniano) a través de un tubo cilíndrico de sección circular constante. Esta ecuación fue derivada experimentalmente en 1838, formulada y publicada en 1840 y 1846 por Jean Louis Marie Poiseuille (1797-1869).

FLUJO LAMINAR Y FLUJO TURBULENTO

Régimen Laminar o de Poiseuille:El flujo tiene un movimiento ordenado, en el que las partículas del fluido se mueven en líneas paralelas (en capas), sin que se produzca mezcla de materia entre las distintas capas.

En flujo laminar, prácticamente no existe mezcla del fluido entre las capas.

Régimen Turbulento o de Venturi: El flujo tiene un movimiento caótico, desordenado con mezcla intensiva entre las distintas capas.

En flujo turbulento, existe mucha mezcla, debido a que la velocidad en cada punto no es constante. Dicha velocidad presenta una fluctuación en el tiempo, produciendo una alta disipación de energía.


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FLUJO DE LÍQUIDO A TRAVES DE UN TUBOPerfil de Velocidades de un Fluido IdealEn un fluido ideal que circula n régimen estacionario por el interior de un conducto la velocidad es la misma para todas las partículas de la misma sección transversal. El perfil de velocidades es el que se muestra en la figura.

Perfil de Velocidades de un Fluido ViscosoEn un fluido viscoso que circula por el inerior de un conducto la velocidd en los puntos de cada sección transversal es diferente. Cuando la velocidad no rebasa un cierto limite el movimiento se realiza por capas superpuestas que no se entremezclan, siguiendo las líneas de corriente caminos aproximadamente paralelos a las paredes. Se dice entonces que el fluido sigue un régimen laminar y el perfil típico de velocidades es el de la figura que se muestra a continuación:

DEDUCCION DE LA LEY DE POISEUILLELa deducción de la Ley de Poiseuille se basa en el efecto de la viscosidad, la tercera Ley de Newton y la presión. Supongamos 2 capas de líquido en contacto, las cuales se mueven a diferente velocidad en dirección de x. la capa de arriba se mueve más rápido y es jalada en dirección negativa por la capa de abajo, mientras que, el líquido en la capa de abajo es jaado en dirección positiva por el líquido de arriba. La fuerza experimentada por cada capa es proporcional al área de contacto expresada por A, multiplicada por la diferencial de velocidad

en dirección del flujo , y por una constante de proporcionalidad . La fuerza que experimenta la capa superior obedece a la siguiente expresión:

Donde el signo negativo indica que el liquido de abajo esta ejerciendo una fuerza en contra del movimiento de la capa de arriba que tiene una mayor velocidad. Ppor la tercera Ley de Newton sabemos que la fuerza de la capa inferior es igual y opuesta a la fuerza del liquido superior. En esta euacion asumimos que el área de contacto es lo suficientemente extensa


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como para ignorar los efectos de las esquinas, es decir, su comportamiento es el de un fluido Newtoniano.

Cuando un fluido se mueve en un tubo de sección circular⇒ su velocidad de flujo es diferente en distintos puntos de una misma sección transversal

La capa más externa se adhiere a las paredes del tubo y su velocidad es cero. La pared del tubo ejerce un arrastre sobre esta capa que a su vez arrastra hacia atrás a la adyacente, etc. Para velocidades no muy grandes el flujo es laminar con una velocidad que es máxima en el centro del tubo y disminuye hasta anularse en las paredes. El flujo es análogo a una serie de tubos o capas coaxiales que se deslizan unas sobre otras, estando la capa o tubo más externo en reposo.

Consideremos uno de estos tubos de radio r y longitud L.

⇒ La fuerza ejercida en los extremos 1 y 2 del tubo es y donde P1 > P2 son las presiones en los puntos 1 y 2. La fuerza neta (las fuerzas en los extremos tienen sentidos contrarios) es

Como el elemento de tubo no tiene aceleración dicha fuerza ha de equilibrarse la fuerza de retardo viscoso en la superficie de este elemento que viene dado por la expresión:

Pero dado que la velocidad no varía unifórmemente con la distancia radial debemos sustituir v/l por −dv/dr, donde el signo menos indica que la velocidad decrece en la dirección radial desde el centro del tubo ⇒Pues el área sobre la que actúa la fuerza viscosa es S = 2πrL, de donde tenemos

Que demuestra que la velocidad decrece cada vez más rápidamente a medida que nos alejamos del centro del tubo (r = 0) y nos aproximamos a la pared del conducto (r = R).


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Integrando entre un radio r donde la velocidad es v y la pared del conducto donde v = 0 se tiene

……………()Que no es más que la ecuación de una parábola en r.

⇒ La velocidad máxima ocurre en r = 0 (centro del conducto) y es proporcional al cuadrado del radio del conducto y a la variación de presión por unidad de longitud (gradiente de presión).

Esta ecuación se puede utilizar para determinar el flujo total por unidad de tiempo del fluido a través del conducto. El volumen de fluido que atraviesa los extremos del elemento de tubo entre r y r + dr en dt es dV = dSdx = dS vdt , donde dS = 2πrdr de donde usando () se tiene:

Integrando desde r = 0 a r = R se tiene

De donde el volumen total de flujo por unidad de tiempo , dV/dt es

Relación que se conoce como Ley de Poiseuille:

La diferencia entre el flujo de un fluido no viscoso (ideal) y uno viscoso se ilustra en el dibujo cuando el fluido va atravesando un tubo de sección transversal variable, donde la altura del fluido en los tubos verticales es proporcional a la presión manométrica. En el caso de un fluido viscoso hay un gradiente de presión proporcional a la viscosidad y a dv/dr e inversamente proporcional al radio del tubo.


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INTEGRACIÓN PARA LA LEY DE POSEUILLEPara obtener el volumen total que circula a través del tubo, se requiere de sumar las contribuciones de cada lámina. Para calcular el flujo a través de cada lámina, se multiplica la velocidad por el área de la lámina:

Finalmente, se integra esta ecuación sobre toda la lámina, a través del radio (variable r) para obtener la formula conocida como la Ley de Hagen-Pouseuille:

APLICACIONES DE LA LEY DE POSEUILLE

Dispositivo experimental para medir la viscosidad de un fluido. Utiliza un tubo cilíndrico a través del que se deja circular el fluido, a partir de la medida del caudal, φ, durante la experiencia, y conocidas los parámetros geométricos (R- radio del tubo, - L- longitud del mismo) e hidrodinámicos (P1 y P2), del dispositivo, se puede determinar la viscosidad, η, utilizando la ley de Poiseuille.

A partir de la ley de Hagen- Poiseuille, podemos definir el parámetro denominado resistencia al flujo, RF.Para mantener el caudal,φ, de sangre circulando a través del sistema circulatorio hay que realizar un trabajo mecánico exterior, W, generado por el músculo cardiaco proporcional al caudal y la diferencia de presión.

DISTRIBUCION DE VELOCIDADES


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Determinaremos ahora el caudal o gasto Q en una tubería cilíndrica de radio R, en condiciones de flujo laminar. A través de la tubería de sección constante fluye un líquido (homogéneo e incompresible) de viscosidad ν y las presiones en dos puntos 1 y 2 separados una distancia L son respectivamente p1 y p2.Si consideramos régimen estacionario, al ser v = v(t) no hay aceleración en la dirección axial y la suma de fuerzas en esta dirección es cero. Observando el equilibrio de fuerzas en un cilindro imaginario de radio r (distancia al eje del cilindro) y longitud L dirigido según el eje mostrado en la figura, que forma un ángulo θ con la horizontal se tiene, en la dirección axial.

Como la masa m es SL y Lsen=z se tiene:

Podemos expresar la diferencia de presiones en función de la perdida de carga , que teniendo en cuenta que al ser y que da

Como la sección de la tubería es constante, la pérdida de carga _h12 es igual a la variación de

la altura piezométrica entre los dos puntos, , por lo que podemos escribir también

Sustituyendo en la ecuación anterior se van los términos en z y se obtiene la DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES CORTANTES

Si el régimen del flujo no fuera laminar habría dos componentes de la tensión cortante, la mostrada arriba y además una originada en la mezcla de fluido. En régimen laminar solo aparece esta y aplicando a este lujo la Ley de Newton.

Donde vmax es la velocidad máxima sobre el eje, quedando

Si tenemos en cuenta que para r = R (es decir sobre la pared) debe cumplirse v = 0 se tiene


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Quedando la ley de distribución de velocidades para un fluido newtoniano en régimen estacionario y laminar en la forma parabólica

Coincidiendo el eje de la parábola con el eje de la tubería.

El gasto o caudal a través de una sección elemental dS en la cual la velocidad es constante viene dado por dQ= vdS, siendo el caudal total la integral de los caudales elementales

Si comparamos con la expresión anterior para la velocidad máxima se observa que

y si tenemos además en cuenta que la velocidad media está relacionada con el caudal a través de y que la sección es precisamente se tiene de forma inmediata que

Para esta distribución de velocidades parabólica.

CAPA LÍMITELa teoría de capa límite ideada al comienzo del pasado siglo por Prandtl revolucionó la aeronáutica y toda la Mecánica de Fluidos, hasta el punto de que se considera a Prandtl como el fundador de la Mecánica de Fluidos moderna.


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Esta teoría tiene una especial aplicación en fluidos poco viscosos, como el aire y el agua, y por tanto es una teoría fundamental en la aeronáutica y en la ingeniería naval.

En un cuerpo sólido sumergido en una corriente fluida, por ejemplo, el ala de un avión en una corriente de aire, se puede estudiar la distribución de velocidades a lo largo de una normal a la superficie en un punto. Si se utiliza un instrumento de medida de velocidad cerca de ese punto, se obtendrá un valor de velocidad a nivel “macroscópico”. Sin embargo, se sabe que a causa de la viscosidad, la velocidad en cualquier punto de la superficie del sólido es 0.

Si se analizar de forma “microscópica” la velocidad, se puede obtener una de las siguientes distribuciones de velocidad en un espesor muy pequeño (capa límite)

Si el fluido fuera ideal, la teoría de la hidrodinámica proporcionaría una distribución de velocidades como la de la curva “a”.

Si los efectos de la viscosidad son muy apreciables (número de Reynolds bajo), la distribución de velocidades es parabólica y se representa por la curva “b”.

Si los efectos de la viscosidad son muy poco apreciables (números de Reynolds altos), la distribución de la velocidad es logarítmica y se representa por la curva “d”.

Para un régimen intermedio (Reynolds en zona crítica), el perfil de velocidades sería un caso intermedio entre las curvas “b” y “d” (Curva “c”)

La curva “d” sólo se diferencia de la curva “a” en una zona muy pequeña en la normal al contorno en un punto cualquiera. Esa zona se denomina capa límite.

Esa zona de capa límite: Tiene un espesor muy pequeño, del orden de micras o milímetros según los casos. En ella tienen gran importancia los efectos de la viscosidad y el rozamiento, a pesar de

que la viscosidad sea baja, ya que los gradientes de velocidad son muy elevados. Fuera de esa zona un fluido poco viscoso (como el agua o aire) se comporta como un

fluido ideal.


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Fuera de la capa límite, se pueden aplicar todos los métodos matemáticas (ecuaciones de Euler o de Navier-Stokes) para caracterizar el campo de velocidades y presiones en las inmediaciones de las paredes sólidas.

En el estudio de la capa límite hay que tener en cuenta varias consideraciones:a) Aunque la perturbación producida por la fricción se propaga a todo el fluido, se admite

que la propagación queda limitada a una zona de espesor finito, δ , en sentido normal al contorno.

b) La forma de la curva de distribución de velocidades en las distintas secciones a lo largo de la capa límite se puede expresar, en general, mediante las siguientes ecuaciones:

Régimen laminar

Régimen turbulento

Para fluidos que circulan entre dos paredes próximas, el ensanchamiento progresivo de la capa límite de cada contorno determina que éstas se unan, a una cierta distancia de la entrada, despareciendo la zona en que el movimiento podía ser asimilable al de un fluido ideal, para realizarse todo él bien en régimen laminar, o bien en régimen turbulento, según el valor del número de Reynolds.


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CONCLUSIONES

La resistencia a la circulación de u fluido en un tubo es inversamente proporcional a r 4, si se divide por la mitad el radio del tubo, la caída de presión aumenta en un factor de 16, odicho de otra forma, se necesita una presión 16 veces mayor para impulsar el fluido a través del tubo con el mismo flujo. Este mismo mecanismo es el que utilizan los animales de sangre caliente para controlar la temperatura pues el flujo en la sangre en venas y arterias puede controlarse con pequeñas variaciones del diámetro de las mismas.

Un ejemplo de la aplicación de la Ley de Poiseuille, es que si por alguna razón se reduce el diámetro de los vasos sanguíneos, o bien el flujo disminuye mucho o bien la presión sanguínea debe subir para mantener el mismo flujo de volumen .

Debido a la ley de Poiseuille reducimos el extremo de una manguera cuando queremos aumentar la presión de riego.

El cociente (P1−P2 ¿/L recibe el nombre de perdida de carga por unidad de longitud, y representa la disminución de presión conforme el fluido circula por la tubería.

El volumen de flujo por unidad de tiempo es inversamente proporcional a la viscosidad La Ley también tiene relación con los circuitos eléctricos, la electricidad fue

originalmente entendida como una clase de fluido. Esta analogía hidráulica es todavía útil en el ámbito académico con fines didácticos.

La ley de Poiseuille corresponde con la ley de Ohm para los circuitos eléctricos, donde la caída de presión Δp* es reemplazada por el voltaje V y el caudal ΦV por la corriente eléctrica I. De acuerdo con esto el término 8η l/πr4 es un sustituto adecuado para la resistencia eléctrica R.

Bibliografía

Acústica, Fluidos y Termodinamica; Aungusto Belendez

Apuntes de Mecanica de Fluidos, Agustin Martin Domingo.

https://www.google.com/?hl=es&gws_rd=ssl#hl=es&q=geometria-del-universo+

Fisica, Serway. R. A.

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