Les polyèdres réguliersboitamath.free.fr/FAC/agregation/geometrie_espace.pdf · HX KEt %F W et d’un atome de carbone placé en _. La mesure de l’angle EG_ W, est donc l’angle

Les polyèdres réguliers

Benjamin Barras

25 février 2002

Table des matières

Avertissement ii

1 Classification des polyèdres réguliers 11.1 Théorème d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Tétraèdre régulier 42.1 Aire et volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4 Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Octaèdre régulier 103.1 Aire et volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.4 Polyèdre dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.5 Une construction remarquable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Hexaèdre régulier ou cube 174.1 Aire et volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2 Coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.3 Polyèdre dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Dodécaèdre régulier et icosaèdre régulier 215.1 Coordonnées du dodécaèdre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2 Aire et volume du dodécaèdre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.3 Angles du dodécaèdre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.4 Polyèdre dual du dodécaèdre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.5 Aire et volume de l’icosaèdre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.6 Angles de l’icosaèdre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.7 Polyèdre dual de l’icosaèdre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

A Aire d’un triangle et volume d’une pyramide 32

B Planches 36

Bibliographie 41

i

www.�

es- � athematiques.net

Avertissement

Le but de ce document, est de calculer quelques propriétés intéressantes des polyèdres réguliers. On trouve dans toutbon formulaire les formules des aires et des volumes concernant ces derniers, mais à ma connaissance on ne trouvepas de démonstrations concernant ces formules. J’ai donc pris soin de mettre un maximum de clarté et de détails dansles calculs et les démonstrations présentés dans ce document. De plus, j’ai fait grand usage de la géométrie d’Euclide,qui reste et restera la base de tout apprentissage en géométrie et qui fait encore et toujours honneur à l’esprit humain.En faisant une rapide recherche sur le Web, on trouve également beaucoup de documents qui donnent les formulesutiles pour les polyèdres réguliers. Mais beaucoup contiennent des erreurs grossières soit dans l’aire, soit dans levolume. J’ai pris soins de contrôler mes formules avec plusieurs sources différentes et de plus, les calculs sont souventeffectués de plusieurs manières différentes pour aboutir aux mêmes résultats.

J’en profite ici, pour remercier le Prof.Alain Robert (Université de Neuchâtel) qui est l’initiateur de ce document,rédigé le 26 octobre 1995 dans sa première version. Je dois bien avouer que ce document m’a donné beaucoup detravail, mais aussi beaucoup de satisfaction.

Benjamin Barras

web : icwww.epfl.ch/~barrasmail : [email protected]

ii Benjamin Barras

Chapitre 1

Classification des polyèdres réguliers

Le mot polyèdre est formé de deux racines grecques : polus qui signifie nombreux et edra qui se traduit par faceou base.

Définition 1 Un polyèdre est un solide dont la frontière est formée de plans ou de portions de plan.

Les portions de plan qui comprennent ainsi entre elles le polyèdre, sont les faces. Chaque face, étant limitée parintersections avec les faces voisines, est un polygone. Les côtés de ce polygone sont les arêtes du polyèdre. On appellesommet d’un polyèdre tout sommet d’une quelconque de ses faces.

Définition 2 Un polyèdre est convexe si son intérieur est convexe, ou de manière équivalente, si le polyèdreest entièrement situé du même côté de chaque plan qui contient l’une de ses faces.

Définition 3 Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés, et tous les angles sont égaux.

Définition 4 Un polyèdre régulier est un polyèdre convexe dont toutes les faces sont des polygones régu-liers et identiques. De plus, chacun de ses sommets possèdent le même nombre de faces et d’arêtes.

Théorème 5 Il n’existe que cinq polyèdres réguliers.

Démonstration : Soient � le nombre des côtés de chaque face d’un polyèdre régulier, � le nombre des arêtes quise rencontrent en chaque sommet. Chaque angle d’une face quelconque est donné par�� En effet, on a (fig 1.1) � �� et

1

www.�


��

Mais, la somme des � angles groupés autour d’un sommet est plus petite que quatre angles droits, qui forment un plan.Chacun d’eux eux est inférieur à

� �� donc� � �� d’où

�� Les nombres � et � sont tous deux au moins égaux à 3. Il en résulte que les seuls cas possibles sont �� "! � ! � � #! �� ! � � #! �%$ � � $&� ! �Il reste encore à prouver qu’ils existent bel et bien. C’est ce qui va nous occuper durant les pages qui suivent. '(

2 Benjamin Barras

www.�


1.1 Théorème d’Euler

Notons ) le nombre de faces, * le nombre d’arêtes et + le nombre de sommets. Alors pour tout polyèdre convexe,on a ) � * � + ,�Dans le cas des polyèdres réguliers, chaque face possède � arêtes, de sorte que � � ) est l’ensemble des arêtes desfaces et comme chaque arête rencontre exactement deux faces, on a� � ) -�� *et comme � est le nombre des arêtes qui se rencontrent en chaque sommet, et que chaque arête relie deux sommets,on a également � � ) � � +A l’aide du théorème d’Euler, on obtient alors �� *� � * � �� *� .�et donc �� /�* � �� et nous retrouvons l’inégalité du théorème précédent. Reprenons notre calcul,

) � * � + .�0 ) � � � )� � � � )� ) �� d’où l’on tire ) � � �� On peut maintenant entreprendre la classification des polyèdres réguliers.Le tétraèdre (m,n) = (3,3)

) � �12��3 � 1 � , * 4� � )� 5� �� ,1 , + 6� � )� 7� �! �L’ octaèdre (m,n) = (3,4)

) � � �82� � � � 1 ,8 , * � �� , + � �� .1L’ hexaèdre (m,n) = (4,3) ou cube

) � �12� � � � 8 ,1 , * � �� , + � �! .8L’ icosaèdre (m,n) = (3,5)

) �:9� 92� �;$ � 1 -�<9 , * 1:9� ,!�9 , + 1�9$ � �Le dodécaèdre (m,n) = (5,3)

) � �12� �=$ � � 9 � � , * 1:9� ,!�9 , + 1�9! -�<9ce qui termine notre classification.

3 Benjamin Barras

Chapitre 2

Tétraèdre régulier

On a calculé ) � , et � >! nous dit que notre polyèdre est formé de 4 triangles équilatéraux identiques. On adessiné un tétraèdre (fig 2.1), il faut encore montrer que le tétraèdre régulier existe bel et bien.

Pour cela, commençons par étudier un triangle équilatéral (fig 2.2).

Dans ce triangle, * est le côté, ? la hauteur. ?@�%?BA"�C?DA A sont les médiatrices respectives des côtés EGF��CHIEJ�KHLF . ? et ?BA4

www.�


se coupent en un point M , on a donc M0E MNF et M0E M0H puisque ? et ? A sont des médiatrices, ce qui entraîneMNF M0H et prouve que ? A A passe bien par le point M . Calculons la hauteur ? , Pythagore nous donne

?DO � * � � O *PO d’où ?DO !� � *QO et ? SR !� � *Appelons T � ? le segment HIM , Thalès nous donne alors? * VUO � *T � ? et donc T � ?DO 5�� *QO , T �!2� * O �D* O� �!C’est un résultat connu, qui nous dit que le point M se situe au 2/3 de la hauteur en partant depuis un sommet.Maintenant, on tire une droite passant par le point M et perpendiculaire au plan dans lequel se trouve le triangle. SoitW

un point sur cette droite, comme M0E MNF M0H T � ? on aura bien sûr E W H W F W . Il ne nous restedonc plus qu’a nous arranger pour que E W * et l’on aura le tétraèdre régulier que l’on souhaitait. On calcule alors,EXM O � M W O E W O * O et donc

M W O * O �Y T � ? � O * O �-� �Z!2� * O32� � �! � * OAppelons [ le segment M W , soit [ 7\ O\ ] � * , [ représente en fait la hauteur de la pyramide régulière que constituenotre tétraèdre régulier (fig 2.3).

La médiatrice de E W passant par ^ coupe [ en un point _ (fig 2.4),qui n’est rien d’autre que le centre de la sphèrecirconscrite au tétraèdre. En effet, par construction on a _2E _0F _2H et la médiatrice nous donne _2E _ W .Thalès nous donne également, _ WUO � * `*[ , _ W a�� * O �7R !R �� * 4* � R !�� R �Notons _ W ,b , et calculons le rapport R/H b[ S* � R !�� R � �aR !R �� * !�et donc le point _ se situe au 3/4 de la hauteur [ en partant du sommet

W. Le segment _2M Uc � [ ed ] -f n’est

rien d’autre que le rayon de la sphère inscrite. Le tétraèdre régulier est un polyèdre assez remarquable, on peut en direbeaucoup de choses, et c’est pour cela qu’on va y consacrer encore quelques pages.

5 Benjamin Barras

www.�


2.1 Aire et volume

L’aire totale sera l’aire d’une seule face multipliée par le nombre de faces, soit

H � �g�� base�hauteur

� �g�� * � ? � �g�� * � R !2� *� R !L� *QOet comme * �� R �R ! �hb , H 8R ! �=b O

Pour le volume, on sait (voir annexes) que le volume d’une pyramide est U] � base�hauteur, soit

i 7�! �DH � � [ 7�! �jR !2� * O� �BR �� *R ! SR �� * ] ou

i eR �� 82�h�� R �!2� R ! �=b ] 832� R ! �Zb ]

2.2 Coordonnées

On va chercher les coordonnées des sommets HX�KEJ�CF�� W , dans la base canonique deb ]

, centrée en _ . D’aprèsnos calculs précédents, et pour l’orientation choisie, on aW k #9 � 9 � b � lb-�: #9 � 9 �h� �

E k �� ?! � 9 � � b ! � ,b.�� R �! � 9 � � �! �car

?b eR !2� *� � �� R �* � R ! R �Pour les coordonnées de F , il faut faire une rotation de � �<9nm du point E . Faire tourner un point d’un angle

�dans

un plan, revient à multiplier ce point, vu comme nombre complexe dans ce même plan, par le nombre complexeo .p=qsrt.u�v + � � �w � + w � � � . Or dans notre cas, on a

� OCx] et donc o ] lp;q OKx � . On doit donc trouver la bonneracine du polynôme y ] � � -9 . Comme y ] � � k y � � � �� y O � y � � � z y � � � � M y � , z est donc racinede P(X), on trouve alors o UO �� {w � R ! � . On multiplie donc

b.� OZ| \ O] par z, cela nous donne

F .b,�: ��}R �! � R �R ! � �~�! � ,b,�� }R �! � R 1! � �~�! �H .b,�: ��}R �! � �}R �R ! � �~�! � ,b.�: ��}R �! � �}R 1! � �~�! �

Ces valeurs vont nous permettre de démontrer très facilement, d’autres propriétés du tétraèdre régulier.

6 Benjamin Barras

www.�


2.3 Angles

On va calculer l’angle EG_ W (fig 2.5), pour cela on connaît _ W , _2E soit

_ W .b,�P #9 � 9 �h� � et _2E ,b.�� R �! � 9 � �~�! �on utilise alors la formule �Z�� EG_ W � � _ W �C_2E �� _2E � � � _ W � b O �: �� U] �b.�hb �~�!ce qui nous donne EG_ WS� � 9:3 m �<8 A � 1 A A .

La molécule de méthane est constituée de quatre atomes d’hydrogène placés aux sommets HX�KEt�%F�� W et d’un atomede carbone placé en _ . La mesure de l’angle EG_ W , est donc l’angle déterminé par deux liaisons de valence C-H decette molécule. Soit E A le point d’intersection des médiatrices du triangle HLF W , EXE A est donc la hauteur du tétraèdreet l’on a vu que _2E A d ] . Et donc,

_2E A � �! � _2E soit _2E A ,b,�� R �3 � 9 � �3 �Soit ^ , le point milieu du segment F2H , l’angle E�^ W est le même que l’angle

W _2E A que l’on calcul avec�Z�� W _2E A � � _2E A �C_ W �� _2E A � � � _ W � b O � U�d ] �=b a�!ce qui nous donne

W _2E A �.� 9 m ! � A �:� A A ce que l’on pouvait déjà voir sur la figure, car EG_ W � W _2E A � 8:9 m .

7 Benjamin Barras

www.�


2.4 Dual

On a vu que _2E A >� U] � _2E , traçons de même les points H A �KE A �CF A qui se trouvent respectivement en� U] � _2H ,� U] � _0F ,

� U] � _ W (fig 2.6).

C’est une homothétie de centre _ et de rapport� U] , ce qui nous donne un nouveau tétraèdre régulier de sommetsH A �CE A �CF A � W A et d’arête * A ��] , ce dernier est appelé polyèdre dual. Et ce n’est pas terminé, soit ^ le milieu du

segment F2H , et � le milieu du segment EGF , � le milieu du segment HIE . On a donc,

_0^ _0F � �� F2H (2.1) b,�: ��}R �! � R 1! � �~�! � � �� Zb-�: #9 � � �L� R 1! � 9 � (2.2) b,�: ��}R �! � 9 � � �! � (2.3)

On trouve de même, _2� .b,�P =R �1 � �}R 11 � � �! � et _2� .b,�: ;R �1 � R 11 � � �! �Soit _0^ A >� _0^ , montrons alors que ^ A est le point se trouvant au milieu du segment E W . En effet,

_0^ A _2E � �� E W (2.4) b.�: �� R �! � 9 � �~�! � � �� hb.�� L� R �! � 9 � � ! � (2.5) b.�: =R �! � 9 � �! � >� _0^ (2.6)

8 Benjamin Barras

www.�


Cela nous donne,

Par Thalès, on a �� et donc ^ A � A � A W �O . Le polyèdre ^ A � A � A W possède 4 faces régulièreset identiques, de plus chaque sommet possède 3 arêtes, ce n’est donc rien d’autre qu’un tétraèdre régulier, d’arête

�O .Il en est de même pour les polyèdres EX��^ A �K��F0^�� A �%^��HI� A qui sont également des tétraèdres réguliers. Lepolyèdre ��^�� A ^ A �� A au centre, possède 8 faces régulières et identiques et chaque sommet possède 4 arêtes. C’estdonc un octaèdre régulier, d’arête

�O . Son volume est donc

i A i � � � i 8 i � ce qui nous donnei A eR �� * ]

et si l’on pose * A � O donc * -�� * A on obtient

i A �R �� : "�0� * A � ] SR �! �: * A � ]Ceci termine notre étude sur le tétraèdre régulier.

9 Benjamin Barras

Chapitre 3

Octaèdre régulier

L’octaèdre régulier est composé de huit triangles équilatéraux tous identiques. Pour le construire, on commencepar construire un carré de côté * , soit

Le point _ est le point d’intersection des deux diagonales, on a

H�F O * O � * O .�� * O donc HLF R �� * et _2H 7�� HLF *R �Sur la droite perpendiculaire au plan qui contient notre carré, et passant par _ , on y ajoute deux sommets �t�K� à unedistance que l’on calcule comme suit,

_2H O � _2� O HL� O * O d’où l’on tire _2� O * O � �� * O �� * O soit

_2� *R � _2H et pour _2�� on prend _2� � _2��Notre polyèdre est bien composé de huit triangles équilatéraux tous identiques. Chaque sommet compte quatre arêteset quatre faces, ce qui nous permet d’affirmer qu’il est bien régulier et termine ainsi notre construction.

10

www.�


3.1 Aire et volume

L’aire de l’octaèdre régulier est

H � �� * � ? ,82�@�� * � R !2� *� -�� R !2� *QOavec ? , hauteur du triangle équilatéral de côté * que l’on a déjà calculé précédemment. Pour le volume,i ,��! � base

�hauteur

,��g�! � *PO �{*R � eR �! � * ]Et bien sûr, notre octaèdre est inscrit dans une sphère de rayon

bdont le centre est le point _ . Pour

b, on ab� _2H _2� *R �

L’aire et le volume en fonction deb

deviennent,

H � � R !2�Zb O eti 8! �Zb ]

11 Benjamin Barras

www.�


3.2 Coordonnées

Dans la base canonique deb ]

, centrée en _ et pour notre choix, on obtientH k #b � 9 � 9 � , E k #9 � b � 9 � , F > ��b � 9 � 9 �W > "9 � ��b � 9 � , � k #9 � 9 � b � , � #9 � 9 � ��b �Soit ^ le point milieu du segment HIE , cherchons alors un point M sur le segment ^�� tel que _2M soit perpendiculaireà ^�� . On a ^�� _2� � _0^ > "9 � 9 � b � � �� #b � b � 9 � .b,�� Z� �

_2M _0^ � T � ^�� 7�� #b � b � 9 � � T �=b,�: ��~�� ~�� Z� � a�� Zb.�� T �Z� � T � � T �_2M � ^�� a�� =b O �� T � � � T � � � ��T � 7�� Zb O �P #1 T �¡� � .9

d’où T �! et donc _2M b ! �P ��Z�:�h� �Le point M est alors le point d’intersection des médiatrices du triangle HIEX� .� _2M � bR ! *R 1 ,fest le rayon de la sphère inscrite centrée en _ .

3.3 Angles

Calculons l’angle �X^�� , et soit M A la projection verticale de M sur HLEX� , alors�Z�� X^�� MN_��C_2M A �� MN_ � � � _2M A � b O �� U� �d£¢] >�~�!avec _2M A 6d ] �� Z�� d’où �X^�� 9:3 m �<8 A � 1 A A .

12 Benjamin Barras

www.�


3.4 Polyèdre dual

Prenons pour chaque face le point ¤ A intersection des médiatrices, on obtient ainsi huit points qui deviennent leshuit sommets du polyèdre dual. On relie ces derniers selon la figure 3.3, on obtient alors un cube.

Vérifions que l’on a bien MN¥ M0M A , soit

M0M A _2M A � _2M b ! �: ��Z�� b ! �P �:�h�:�h� � b ! �� #9 � 9 � �I� � et

MN¥ _0¥ � _2M b ! �� :�Z��Z� � � b ! �� :�h�:�h� � b ! �: ��I� � 9 � 9 �donc

� MN¥ � � M0M A � �Par symétrie, on devait nécessairement avoir l’égalité.

13 Benjamin Barras

www.�


3.5 Une construction remarquable

Soit H A un point qui part de H et qui arrive en E , et soit E A un point qui part de F et qui arrive en E , et pour finir� A un point qui part de E et arrive en � . Ces trois points partent en même temps et avancent à la même vitesse. Si l’onsuit ces trois points, qui forment un triangle H A E A � A , on sent bien intuitivement qu’il existe un lieu tel que H A E A � Asoit un triangle équilatéral.

Déterminons ce lieu,HIE _2E � _2H > ��b � b � 9 � , _2H A _2H � T � HIE ,b,�� T �KT � 9 �F2E _2E � _0F k #b � b � 9 � , _2E A _0F � T � F2E ,b,�P T � ��T � 9 �EX� _2� � _2E > "9 � ��b � b � , _2� A _2E � T � EX� ,b,�� "9 �h� � T �KT �et donc H A E A _2E A � _2H A .b,�P "� T �¡� � 9 � 9 � et de mêmeH A � A .b,�� T � �:�h� �¦� T ��T �et l’on veut

� H A E A � � H A � A � � E A � A � . Alors,� H A E A � O lb O �� "� T �¡� � O � H A � A � O lb O �:§¨ T � � � O � � �¦� T � O � T O�©nous donne ��T O ��8 T � � ,1 T O ��1 T � � soit T O � T � � l9 . Comme

9«ª T ª � , on obtient

T 7�� R $ �Ce nombre est bien connu, car �;¬;T .®7�� P � � R $ �est le nombre d’or. Soit ¯ A tel que _2¯ A _2� � T � �NH , alors le triangle H A � A ¯ A est équilatéral, il suffit de faire unerotation du triangle HIEX� autour de M (point d’intersection des médiatrices du triangle HLEX� ) pour s’en convaincre.

14 Benjamin Barras

www.�


Notre nouveau polyèdre comporte une face par face de l’octaèdre et une face par arête de l’octaèdre. On a ainsi vingtfaces composées de triangles équilatéraux identiques. De plus, cinq arêtes et cinq faces se rencontrent en chaquesommet. On obtient alors un icosaèdre régulier. Nous avons pour les coordonnées de chaque sommet,H A �CE A �CF A � W A b.�� T �KT � 9 � � b.�: T � �:��T � 9 � � bl�P T � �� T � 9 � � bl�� T � � T � 9 �

� A �K� A �K° A �K[ A b,�P #9 �Z� � T ��T � � b,�: "9 �KT � �:�KT � � bl�� "9 ��T � �:� � T � � bl�P #9 �Z� � T � � T �¯ A �Z± A �K² A �C� A b,�P T � 9 �Z� � T � � b-�: T � 9 �KT � � � � b.�� T � 9 �KT � � � � b,�P �� T � 9 �Z� � T �

avec T UO �³ �� R $ � . On remarquera que l’on passe de H AD´ � Aj´ ¯ A par permutation circulaire des coordonnées.

15 Benjamin Barras

www.�


Calculons l’aire et le volume de l’icosaèdre régulier. On a alors,H A E A .b,�� "� T �¡� � 9 � 9 � donc� H A E A � ,��=b,�� T � * A

H ,�<92�� * A �jR !2� * A� $ � R !2� * A OLe volume est composé de 20 pyramides de hauteur

� _2M � , avec

_2M b ! �: ��Z��Z� � et donc� _2M � bR ! on a alors

i �! � H � bR ! �! � $ � R !2� * A O � * AR !2�=��: � � T � $! � * A ]!2� R $ $ �P #! � R $ �� * A ]Le rayon de la sphère inscrite à l’icosaèdre estf A � _2M � bR ! �R ! � *QA��: � � T � �R ! � *PA!2� R $ eR !2�� #! � R $ �� * Aet le rayon de la sphère circonscrite est,b A O � _2H A � O .b O �� K � � T � O � T O � * A O � � � T � O � T O� �� T � Ocomme

� � T � T O on a alors,b A O 6* A O� �: � � �T O � 4* A O� �� O � 6* A O� �� =$ � R $� �et finalement

b A � * A� � µ $ � R $�

16 Benjamin Barras

Chapitre 4

Hexaèdre régulier ou cube

Le cube est le polyèdre régulier qui nous est le plus familier, il compte 6 faces et sa construction ne demande pasgrand commentaire.

17

www.�


4.1 Aire et volume

Pour l’aire on a H ,12� * O et le volumei * ] . Le rayon de la sphère circonscrite estb O > �� * � O � �� * � O � �� * � O !� � * O

et donc b-�R !� � *Ce qui nous donne pour l’aire et le volume,

H ,82�hb O eti 8!2� R ! �Zb ]

Le rayon de la sphère inscrite est tout simplement fNa�� *

4.2 Coordonnées

Pour les coordonnées du cube, dans la base canonique deb ]

, et pour notre choix, on aHN�CEt�%F�� W * �: UO � UO � UO � ��* �: �� UO � UO � UO � �/* �� UO � � UO � UO � �/* �� UO � � UO � UO ��K��C°«�K[ * �: UO � UO � � UO � ��* �: �� UO � UO � � UO � �/* �� UO � � UO � � UO � �/* �� UO � � UO � � UO �ou en fonction de

b, on aura par exemple H ¶d\ ] �P ��Z�:�h� � .

18 Benjamin Barras

www.�


4.3 Polyèdre dual

Plus intéressante est la construction de son dual. On place un sommet à chaque intersection des deux diagonalesd’une face, et on relie ces sommets entre eux de la manière suivante,

Notre nouveau polyèdre possède huit faces toutes identiques, chaque sommet compte quatre faces et quatre arêtes, c’estdonc un octaèdre régulier. Calculons les coordonnées du point M A , intersection des médiatrices du triangle H A E A � A .Avec H A * �P UO � 9 � 9 � , E A * �� #9 � UO � 9 � et � A * �: #9 � 9 � UO � cela nous donne,

_0^ A _2H A � �� H A E A * �� :�� 9 � 9 � � �� * �� ~�� 9 � * �� <�� 9 �^ A � A * �: "9 � 9 � �� * �: <�� 9 � * �� ~�� ~�� _2M A _0^ A � �! � ^ A � A * �� :�� 9 � � �! � * �: ��~�� ~�� a�! � * �P <�� On voit donc que _2MNA U] � _2H , cela signifie, que le point MNA est sur la droite joignant _ à H , ce qui méritait quandmême un calcul. De plus,

H A E A * �: #9 � �� 9 � � * �� <�� 9 � 9 � * �� ~�� 9 �� H A E A � *R � * A� _2M A � �! � * �jR !� a�! � R �� * A �BR !� ·* AR 1 ,f Ab A � _2� A � 4*� S* A � R �� ·* AR �avecf A , b A les rayons de la sphère inscrite et circonscrite de l’octaèdre régulier.

19 Benjamin Barras

www.�


Calculons encore l’aire H A et le volumei A de nouveau polyèdre. Avec

� ^ A � A � * A �B\ ]O on obtient,

H A 82� �� h¸ *n+ p�� ?D*P¹Dº p ¹ f2,82� �� * A � * A �BR !� .�� R !2� * A Oi A ��g�! �h¸ *n+ p�� ?D*P¹Dº p ¹ f2.��! � * A O �@�� * 5�! � * A O � R �� * A SR �! � * A ]

On peut également inscrire un tétraèdre régulier dans un cube, cela nous donne la figure suivante,

On se convainc très facilement que notre nouveau polyèdre est bien un tétraèdre régulier. On obtient également quatretétraèdres

HI�N�0[~�CHIE�F2��KHLF W [~�CF2�0°0[ � qui eux ne sont pas réguliers. On peut noter que les coordonnées d’untétraèdre peuvent s’exprimer de manière très simple. Calculons le volume de notre tétraèdre régulier,i A A * ] � � � i v¼»� HL�N�0[ � * ] � � ��! �D* O� � * 5�! � * ]avec * A A R �� * , cela nous donne i A A 7�! � * ] a�! � * A A ] � �� R � eR �� * A A ]Ce qui termine notre étude sur le cube.

20 Benjamin Barras

Chapitre 5

Dodécaèdre régulier et icosaèdre régulier

Le dodécaèdre régulier est composé de douze pentagones réguliers et identiques, nous commencerons notre étudepar un pentagone régulier.

21

www.�


Soit ½ une racine cinquième primitive de l’unité, donc racine dey�¾ � � y � � � �P y c � y ] � y O � y � � � k y � � � � M y �comme ½ est une racine primitive, ½ est racine de M y � , alors½ � ½ c � ½IO � ½ ] � � .9 et ½ ¾ �posons ¿ ½ � ½ c et À ½ O � ½ ] on a alors les relations¿ � À >� � et ¿ � À ½ ] � ½ c � ½ � ½IO �� ¿��KÀ sont alors racines du polynôme y O � y � � et donc,

¿ �� P �� R $ � et À � �� P � � R $ � �IContinuons, ½ � ½ c ¿ et ½ � ½ c ½ ¾ � ce qui veut dire que ½ est racine du polynôme Á O � ¿ � Á � � et donc

½ 7�� P ¿ �.Â ¿ O � � � a�� : <�� P �� R $ � �¡w ��Ã �� : $ � R $ �K�Maintenant, ½ O � ½ ] À et ½ O � ½ ] ½ ¾ � ce qui veut dire que ½ O est racine du polynôme Á O � À � Á � � et donc

½IO a�� : À � Â À O � � � a�� : ��~�� : � � R $ � �¡w � Ã �� : $ � R $ �K�Tous ces calculs nous donnent les valeurs deu�v + � � Uc �P �� R $ � �Ä+ w � � � UO ��Å UO �� $ � R $ �u�v + Æ� � Uc �P � � R $ � �Ç+ w � #� � UO � Å UO �� $ � R $ �Nous passons maintenant au calcul de ?�� ¸ � u �C¤ . Soit,¸È-�� * �=u�v + Æ� � * �h et

u��hu�v + #� � ? �� hJ�hu �� * � O � ? O .u O �� * O � �� = O �hu O d’où

u O �: � �¡ O � * Oet comme

O �¡t� � l9 , on a � �¡ O � �: "� � � ,8 � � �hJ�¦��; O �¦ ] ,8 � !2�;t�¦!2�h O $et donc

u O � � $ � * O O � �$ � * O soitu� Â O � �R $ � *

Et finalement, ¤ * � + w � � � * � UO � Â O � � . Ce qui termine nos calculs sur le pentagone régulier.

22 Benjamin Barras

www.�


Faisons maintenant la construction du dodécaèdre régulier en utilisant la méthode classique d’Euclide. On commencepar construire un pentagone régulier de côté * (fig. 5.2), ensuite on construit un petit toit dont la base est un carré decôté¸

(fig. 5.3), et l’on colle six de ces petits toits sur un cube d’arête¸

(fig. 5.4).

23 Benjamin Barras

www.�


Calculons la hauteur ? A du petit toit (fig. 5.5),

�� ;¸ � O � �� "¸�� * �K� O � ? A O *QO avec¸È * �h� � ? A O ,!2� * O �¦�� * O �= O � �� * O �h® �I�� * O �: � O �¦ � � !2� * O * O

et donc ? A UO � * . Vérifions maintenant que les pentes coïncident, c’est-à-dire

É VUO � *UO �h¸ ** �= .J� �et pour l’autre pente, É A UO �: "¸�� * �UO � * 4* �: "J� � �* .J� �Cela prouve que la construction est bien correcte.

Il nous est facile maintenant de calculer le rayonb

de la sphère circonscrite au dodécaèdre, en effetb O > :�� =¸ � O � :�� h¸ � O � :�� h¸ � Oet donc b-a�� R !2�hJ� * SR ! � R �;$� � *car le centre _ de la sphère et du cube coïncident.

24 Benjamin Barras

www.�


5.1 Coordonnées du dodécaèdre

Nous allons calculer les coordonnées de chacun des points, afin de nous faciliter la tâche par la suite. On prend,comme d’habitude la base canonique de

b ], et centrée en _ , cela nous donne en posant � d\ ]HN�%F��K��C[ � �� :�h�:�Z� � �C� �� :� � �:�h� � �C� �: �� Z�:�h� � �K� �� Z� �¥«�CÊ � i ��y � �� :�h�:� � � � �C� �P �:� � �:� � � � �C� �� :�h�:� � � � �C� �P �� :� � � �

Calculons les coordonnées de E ,

E <�� *B� 9 � �� =¸ � �� * � k <�� *B� 9 � �� * �� " � � ��et comme

bË UO � R !2�;t� * on obtient

* ��hbR !2�h ,�� "J� � �donc E � �: "}� �:� 9 � O � � � � �� t� �:� 9 � � ce qui nous donne,Et�C°«� b �CÌ � �P "J� �� 9 � � �C� �P � �¡ � 9 � � �K� �P � �¡ � 9 � �I � �K� �P "J� �� 9 � �I �Í �%ÎÈ�KÁ��%Ï � �P #9 � � J� � � �C� �P #9 � �Z� �¡ � �K� �P #9 � �I �Z� �¡ � �K� �P #9 � �I � t� � ��t� W �C¯��Z± � �P " � J� �:� 9 � �C� �P " �Z� �¡ � 9 � �K� �P ��I �Z� �¡ � 9 � �K� �P ��I � J� �:� 9 �et voilà notre dodécaèdre complètement déterminé, ou presque.

25 Benjamin Barras

www.�


5.2 Aire et volume du dodécaèdre

Pour calculer le volume, on aura besoin de calculer les coordonnées du point M qui est le point milieu de la faceHIE�F W � . Soit ^ , le point milieu du segmentW � , alors

_0^ _ W � �� W � � �� " �h� �¦ � 9 � � � �� #9 � t� �� 9 � � �� 9 � 9 �^�E _2E � _0^ � �P "J� �� 9 � � � � �: � � 9 � 9 � � �: �� 9 � �Calculons le rapport ? � u? � � u? � � � � � �� t� � � -��hJ� � R $ce qui nous donne

_2M _0^ � �R $ � ^�E � �: "J� �R $ � 9 � R $ � �R $ �� " � �:� 9 � � bR �;$ �: " � �� 9 � �De plus

� _2M � /fÐ [ est le rayon de la sphère inscrite au dodécaèdre et c’est également la hauteur [ de lapyramide à base polygonale qui nous servira à calculer le volume du dodécaèdre régulier.� _2M � lfN [ bR �=$ � Â " � � � O � O bR �;$ �ht� Â O � � bR �;$ � Å $ � �� R $avec O , � � , et comme

bË UO � R !2�hJ� * on a

[ *�� R $ �h O � Â O � � *�� R $ � Â � � � � O �� " � � � *�� R $ � Â #!� � � � �: � � � � *�� R $ � Â �:� � � *�L� R � 9 � Å � $ � �� R $Calcul de l’aire,

H � �L� $ �� * � ? ,!�9�� * �B* �;�� Â O � �� R $ l!2� R $ � *QO �;�� Â O � � !2� R $ � *QO � Â " � � � �� .!2� R $ � *QO � Â � � !Xl!2� *QO � Å � $ � � 9L� R $H !2� R $ � � �Zb O!2�h O �=t� Â O � � R $ � � �hb O � Â ��¦ � �P " � � � R $ � � �hb O � Â !2�¡}-��Zb O � Å $ 92� � 9�� R $

26 Benjamin Barras

www.�


Calcul du volume, i �! � H � [ �! �Z!2� R $ � *PO �;t� Â O � � � *�� R $ �; O � Â O � � * ]� �h ] �� O � � � 6* ]� �P "�: � � � �: � � � � S* ]� �� * ]� �: �;$ � � � R $ �i �! � H � [ �! � R $ � � �=b O � � � Â O � � � bR �=$ �;�� Â O � � � �Zb ]!2� R ! �: � O � � � 7� �Zb ]!2� R ! �� " � � � ��Zb ]!2� R ! �: $ � R $ �Ce qui termine nos calculs sur l’aire et le volume.

5.3 Angles du dodécaèdre

On a calculé _2M d\ U ¾ �n " � �� 9 � � ce qui nous donne pour le point opposé _2M A d\ U ¾ �& " � �� 9 � �I � etl’angle entre deux faces est donc��P� #Ñ � � MN_��C_2M A �� MN_ � � � _2M A � �N � � � � O � O O �: � � O � �It� !2�¦$ � �� $ >�}R $$ce qui nous donne

ÑÓÒ �:� 1 m !�! A $¼� A A .

27 Benjamin Barras

www.�


5.4 Polyèdre dual du dodécaèdre

On prend les points centraux de chacune des faces comme sommets de notre nouvelle construction, et on reliechaque sommet adjacent par une arête, cela nous donne

Notre polyèdre dual est formé de vingt faces et douze arêtes. Les faces sont des triangles équilatéraux tous identiques,et chaque sommet compte cinq faces et cinq arêtes. On obtient donc, un icosaèdre régulier. On calcul les coordonnéesde chaque sommets du dual, en partant du point M calculé précédemment et par symétrie, on obtient tous les autressommets. Cela nous donne, en posant ² d\ U ¾H A �KE A �CF A � W A ² �P " � �� 9 � � �C² �P ��IJ� �� 9 � � �C² �P ��It� �� 9 � �I � �K² �P " � �� 9 � �I �� A �K� A �K° A �C[ A ² �P #9 � � � � � �C² �P #9 � � �It� � � �K² �P #9 � �I � �It� � � �K² �P #9 � �I � � � �¯ A ��± A �K² A �K� A ² �P " � � �:� 9 � �C² �P " � �IJ� �:� 9 � �C² �P ��I � �It� �� 9 � �K² �P ��I � � �� 9 �

28 Benjamin Barras

www.�


5.5 Aire et volume de l’icosaèdre

Faisons d’abord quelques calculs,H A W A _ W A � _2H A ² �: " � �:� 9 � �I � � ² �: " � �:� 9 � � ² �� #9 � 9 � �I�: �� H A W A � ² ��Ô * A est la longueur de l’arête de l’icosaèdre. Soit M A le point d’intersection des médiatrices dutriangle H A [ A ± A , alorsH A [ A _2[ A � _2H A ² �: #9 � �I � � � � � ² �� " � �� 9 � � ² �� It� �:� �I �h� �_ A ^ A _2H A � �� H A [ A ² �: " � �:� 9 � � � �� ² �: ��It� �:� �I �h� � ² �� :�� ~��

^ A ± A _G± A � _0^ A ² �� " � �It� �:� 9 � � ² �P <�� ~�� ² �� :�� J�z�� ~�� J� �� I��Õ�� _2M A _0^ A � �! � ^ A ± A ² �� :�� ~�� ² �g�! �: <�� t�Õ�� ~�� t� �:� �I��Õ�� ² ��! �: ��: � �� I�� :� �� R $!2� R $ �� Z� �

On voit que la droite passant par les points _ et F , passe par M A . Le rayonb A de la sphère circonscrite à l’icosaèdre

estf, le rayon de la sphère inscrite au dodécaèdre. Et le rayon

f A de la sphère inscrite à l’icosaèdre est� _2M A � . On va

calculer ces deux rayons en fonction de * A , l’arête de l’icosaèdre. La hauteur [ A de la pyramide H A [ A ± A _ est

[ A f A � _2M A � lb,� � � R $!2� R $ * A � R �=$�: � � � R $!2� R $ * A � �� R ! �� "J� � � �: "�� * A � ��L� R ! �P � � � ! � R $� � R ! � * Ab A [ bR �=$ �;�� Â O � � 5�� * A � Â O � � �� * A � Ã �� $ � R $ �On retrouve bien les valeurs déjà calculées, lors de l’étude de l’octaèdre régulier. Passons au calcul de l’aire et duvolume, H A �<9��g�� * A � ? A � 92� * A �� R !2� * A $ � R !2� * A Oi A �! � H A � [ A �! � $ � R !�� * A O � ! � R $� � R ! � * A $ � ! � R $� � � * A ]

29 Benjamin Barras

www.�


On retrouve également les valeurs calculées précédemment.

H A $ � R !2� * A O $ � R !2� b O�=$ � � �= O �R ! �� #! � R $ � �=b Oi A $ � ! � R $� � � * A ] $ � ! � R $� � � b A ]�=$ � R �;$ �Z82�= ] �� ! � R $32� R �;$ �Zb A ] �: "�� .��:� � $ � R $32� R �;$ �hb A ]Remarque : On a beaucoup travaillé avec des polynôme en

, or on a vu que l’on a toujours pu ramener un polynôme

en

de degré � �� , en un polynôme en

de degré 1 ou 0, cela est dû au fait que le polynôme O �Ô}� � est un

polynôme irréductible sur ¥ et de ce fait, on peut construire l’extension de corps ¥ " � qui est de degré 2 et dont unebase est Ö�� × .

5.6 Angles de l’icosaèdre

On va calculer l’angle d’inclinaison de deux faces de l’icosaèdre, comme le point M est sur la droite qui relie _ àF , on a �Z�� #Ñ A � � _2EJ�CF0_ �� _2E � � � F0_ � #b O ¬ ! � � � "J� �:� 9 � � � �� Z�:� � � � �b O � �¦��! �}R $!ce qui nous donne

ÑÓÒ � !�8Pm �� A �<! A A .

30 Benjamin Barras

www.�


5.7 Polyèdre dual de l’icosaèdre

Le dual de l’icosaèdre se construit toujours de la même façon. On prend comme nouveau sommet, pour une facedonnée, le point M qui est le point d’intersection de ses médiatrices. Comme on l’a déjà vu, si l’on prolonge la droite_2M , elle passe par un sommet du dodécaèdre, ceci pour chacune des faces. Ce qui veut dire que le dual de l’icosaèdreest un dodécaèdre. En effet, notre construction nous montre que l’on a une homothétie de centre _ et de rapport� � R $!L� R $ ]!2� R $Cela nous donne,

31 Benjamin Barras

Annexe A

Aire d’un triangle et volume d’unepyramide

Avant de commencer nos calculs, on aura besoin de deux formules. Soit,Ê � � � � ! � �¨� � � � � � UO � � �� Ê A � O � � O � ! O � �� O U] � � �� : � � UO �Démonstration : On fait le calcul suivant, ¿ � � � O ¿ O � � ¿ � � � ¿ � � � ] ¿ ] � ! ¿ O � ! ¿ � �

� O � � � ] �� O � O � �� ] � ] � !2� � O � !�� ! O � O � ��h� � � � ! ] � ] � !2�h� O � !��=� � ��¨� � ��¨�� O � � � � O � �& � � � � � �Ø� � ] � � � � ] � !� � � � � O � !D � � � � � �on fait la somme dans chacun des membres de droite et de gauche, en simplifiant, il nous reste� O �� Ê � � �a� ] !2� Ê A � !2� Ê � �ce qui nous donne, Ê a�� : � � � �et cela nous permet de calculer l’autre somme,!2� Ê A � �� O � � � �¦!2�@�� : � � � � soit Ê A 7�! � � �� z�� et termine notre démonstration.

32

www.�


Maintenant, on peut passer au calcul de l’aire d’un triangle quelconque, soit le triangle HL^ W de la figure HX�� .

On divise le segment M W [ en � parties égales, on aura alors

M A W .Ù��M W� et doncH A ^ AH�^ 6M A WM W Ù� d’où H A ^ A -ÙG�DHL^�

L’aire des rectangles intérieurs au triangle HL^ W vaut donc,

H A � �BHL^� �D[ � � ��DHL^� ��[ � � �¨� � � � � � ��H�^� �B[ � H�^ � [� O �P � � � � �¨� � � � � �� H�^ � [� O �g�� : � � � � H�^ � [� �P � �e�� et l’aire des rectangles extérieurs au triangle H�^ W est,

H A A � ��H�^� �D[ � � ��DH�^� �D[ � � �¨� � � �BHL^� �D[ � HL^ � [� O �: � � � � �¨� � � � HL^ � [� O � �� P � � � � HL^ � [� �: � � �� On a alors la relation, H A � H w f;pQ HL^ W �� H A Aet comme on peut prendre � aussi grand que l’on veut, on obtient

H w f¼pQ H�^ W � 7�� HL^ � [ 7�� =¸ *n+ pI� ?D*�¹Bº p ¹ f33 Benjamin Barras

www.�


On peut maintenant calculer le volume d’une pyramide, dont la base est un triangle quelconque.

Soit celui de la figure A.2, on divise le segment M W [ en � parties égales, on aura alors

M A W -ÙX� [ � et donc H A E A -ÙG� HIE� et ? A .ÙG� ?�où ? est la hauteur du triangle HLEGF passant par F , et ? A celle celle du triangle H A E A F A passant par F A . Ces relationss’obtiennent facilement si l’on voit que le triangle H A E A F A s’obtient par une homothétie du triangle HIE�F de centre

Wet de rapport

Ù ¬;� . Donc,

H w f¼pQ H A E A F A � 7�� ? A � H A E A a�� ? � HIE �: Ù� � O H w f¼pQ HLEGF � �� Ù� � OMaintenant, si l’on fait la somme des prismes droits à l’intérieur de la pyramide, en notant H H w f¼pQ HIE�F � , onobtient i A &�� O � H �D[ � � �� O � H ��[ � � �¨� � �� O � H �D[ � H �g[� ] �P � � � � �¨� � � � � � O � H �g[� ] �g�! � � �� : � �z�� H � [! �: � � !�� O �

34 Benjamin Barras

www.�


et si l’on fait la somme des prismes droits à l’extérieur de la pyramide, on obtienti A A n�� O � H ��[ � � �� O � H ��[ � � �¨� � �� O � H �B[ � H � [� ] �� @O � H ��[� ] ��! � � �� H � [! �� !�� O �On a alors la relation, i A � i v¼»� HIE�F W �� i A Aet comme on peut prendre � aussi grand que l’on veut, on obtienti v¼»� HIEGF W � 4H � [! a�! �h¸ *n+ p�� ?�*P¹Bº p ¹ fSi la base est un polygone quelconque, on peut découper notre polygone de façon à n’obtenir plus que des triangles(fig. A.3).

De cette manière, on applique notre formule pour chacun des triangles, et comme ils ont tous la même hauteur, onobtiendra également i 7�! �� H U � H O � �� HLÚ � � [ 7�! �=¸ *Q+ pI� ?�*P¹Bº p ¹ f

35 Benjamin Barras

Annexe B

Planches

36

www.�


37 Benjamin Barras

www.�


38 Benjamin Barras

www.�


39 Benjamin Barras

www.�


40 Benjamin Barras

Bibliographie

[1] Leçons de géométrie élémentaire 1&2. Jacques Hadamard. Ed. J.Gabay.

[2] Les mathématiques dans l’occident médiéval. Jean de Siebenthal. Ed. Terre haute.

[3] Géométrie plane. André Delessert. Ed A.Delcourt&Cie.

[4] Introduction à la géométrie de l’espace. André Delessert. Ed. L.E.P.

[5] Géométrie. Oscar Burlet. Ed. L.E.P.

[6] Géométrie de l’espace et du plan. Yvone et René Sortais. Ed. Hermann.

[7] Le livre des polyèdres. Roger le Masne. Ed. chez l’auteur.

[8] Cours de géométrie analytique, différentielle et représentative. Jean de Siebenthal. Cahiers de l’EPFL.

[9] Le nombre d’or. Claude-Jacques Willard. Ed. Magnard.

[10] Géométrie 1&2. Marcel Berger. Ed. Nathan.

[11] La géométrie élémentaire. André Delachet. Ed. Puf.

[12] Théorie des corps. Jean-Claude Carrega. Ed. Hermann.

[13] Équations algébriques et théorie de Galois. Claude Mutafian. Ed. Vuibert.

41

Documents

Les polyèdres réguliersboitamath.free.fr/FAC/agregation/geometrie_espace.pdf · HX KEt %F W et d’un atome de carbone placé en _. La mesure de l’angle EG_ W, est donc l’angle