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Les nombres complexesSaison 1 - Ăpisode 1
Les nombres complexesSaison 1 - Ăpisode 1
1. DĂ©finition et vocabulaire
ThéorÚme
Il existe un ensemble notĂ© â appelĂ© ensemble des nombres complexes qui possĂšde les propriĂ©tĂ©s
suivantes :
I. Forme algĂ©brique et reprĂ©sentation dâun nombre complexe
Exemples
âą Les nombres â1 ; 0 ;3
4; 2 sont des nombres rĂ©els donc ce sont aussi des Ă©lĂ©ments de â.
âą Ă lâaide du nombre đ et de la multiplication : âđ ; 2đ ; đ 2. . . sont aussi dans â .
âą Avec les additions, les nombres suivants sont aussi dans â : â1 + đ ; 2 + 2đ
âą il est muni dâune addition et dâune multiplication qui ont les mĂȘmes propriĂ©tĂ©s que dans â,
lâensemble des nombres rĂ©els.
âą il contient un nombre tel que
âą â contient lâensemble des nombres rĂ©els ;
đ đ = âđ ;
DĂ©finition
Tout nombre complexe peut sâĂ©crire sous la forme : đ§ = đ + đđ avec đ, đ â â.
Remarques
âą Lorsque Im(đ§) = 0,
âą đ est appelĂ©e partie rĂ©elle de đ§, notĂ©e đ đ(đ§).
âą đ est appelĂ©e partie imaginaire de đ§, notĂ©e đŒđ(đ§).
Cette écriture est appelée
âą Lorsque Re(đ§) = 0,
Méthode 1 - Réduire un complexe à sa forme algébrique
Exercice dâapplication
Soient đ§1 = 1 + 2đ , đ§2 = â1 + đ, des nombres complexes.
DĂ©terminer les parties rĂ©elles et imaginaires des complexes : đ§3 = đ§1 Ă đ§2 , đ§4 = đ§12.
forme algĂ©brique de đ§ :
đ§ = đ est rĂ©el.
đ§ = đđ est appelĂ© imaginaire pur.
Livre SĂ©samath page 249
ThéorÚme
Soient đ§1 = đ1 + đđ1 et đ§2 = đ2 + đđ2 deux nombres complexes :
DĂ©monstration
Soient đ§1 = đ1 + đđ1 et đ§2 = đ2 + đđ2 deux complexes tels que đ§1 = đ§2.
đ§1 = đ§2 â đ1 + đđ1 = đ2 + đđ2 â đ1 â đ2 = đ(đ2 â đ1) (1)
Raisonnons par lâabsurde : si đ2 â đ1 alorsđ1âđ2
đ2âđ1= đ.
đ1âđ2
đ2âđ1Ă©tant un rĂ©el, on aboutit Ă une contradiction.
Donc đ1 = đ2 et on dĂ©duit alors de (1) que đ1 â đ2 = 0 donc đ1 = đ2.
La réciproque est claire.
Exemple
Soit đ§ = 2đ„ â 1 + đ(3 â đŠ), đ„ â â et đŠ â â, un complexe.
On a đ§ = 0 si et seulement si
Lâ Ă©criture algĂ©brique dâun nombre complexe est unique.
áđ1 = đ2đ1 = đ2
đ§1 = đ§2 âș
2đ„ â 1 = 0 et 3 â đŠ = 0 câest-Ă -dire đ„ =1
2et đŠ = 3.
DĂ©finition
Tout nombre complexe đ§ = đ + đđ avec đ, đ â â peut ĂȘtre reprĂ©sentĂ© dans ce
repĂšre par :
2. Représentation graphique des complexes
Le plan est muni dâun repĂšre orthonormĂ© direct : O ;đđ , đđ = đ ; đą , ÔŠđŁ .
Remarques
âą Les complexes đ = đ â â sont les nombres rĂ©els et sont reprĂ©sentĂ©s sur lâaxe des abscisses.
âą Les complexes đ = đđ, đ â â sont les imaginaires purs et sont reprĂ©sentĂ©s sur lâaxe des ordonnĂ©es.
⹠Le plan est alors appelé plan complexe.
On dit que đ§ = đ + đđ est lâaffixe du point đ et du vecteur đđ.
On note souvent đ(đ§) ou đ(đ + đđ) et đđ(đ§) ou đđ(đ + đđ).
âą un unique point : đ đ ; đ , appelĂ©
âą un unique vecteur : đđ đ ; đ appelĂ©
image ponctuelle de đ§ = đ + đđ.
image vectorielle de đ§ = đ + đđ.
Exemple
Dans le plan complexe, on a reprĂ©sentĂ© ci-contre les points dâaffixe đ§ tels que
âą âđ(đ§) = 2
âą âđ(đ§) = 3
âą âđ(đ§) = âm(đ§).
II. Addition, multiplication par un réel et géométrie
DĂ©monstration
La premiĂšre rĂšgle est en rĂ©alitĂ© une dĂ©finition de lâaddition des nombres complexes et la seconde une
consĂ©quence directe de la formule des coordonnĂ©es de la somme des deux vecteurs đ€1 đ1 ; đ1 et đ€2(đ2 ; đ2).
On se place dans le repĂšre orthonormĂ© đ ; đą , ÔŠđŁ .
1. Addition
ThéorÚme
âą Si đ§1 = đ1 + đđ1 et đ§2 = đ2 + đđ2 alors
âą Si đ§1 est lâaffixe de đ€1 et đ§2 celle de đ€2 alors
Remarque
Dans la pratique, on se passe aisément de la formule en calculant avec les rÚgles habituelles puisque :
đđ + đđ = (đđ + đđ) + đ(đđ + đđ).
đđ + đđ est lâaffixe de đđ +đđ .
đ1 + đđ1 + đ2 + đđ2(đ1 + đđ1) + (đ2 + đđ2) = = đ1 + đ2 + đ(đ1 + đ2).
2. OpposĂ© dâun nombre complexe
ThéorÚme
âą LâopposĂ© du nombre complexe đ§ = đ + đđ est :
âą đ§ est lâaffixe du point đ.
LâopposĂ© de đ§ notĂ© âđ§ est lâaffixe du symĂ©trique de đ par rapport Ă lâorigine.
âą si đ§ est lâaffixe de đ€ alors âđ§ est lâaffixe de âđ€.
DĂ©monstration
âą On vĂ©rifie que đ§ + (âđ§) = 0. En effet, đ§ + (âđ§) = đ + đđ + ((âđ) + đ(âđ)) = 0.
âą Les points đ et đ dâaffixes respectives đ§ et âđ§ ont pour coordonnĂ©es (đ ; đ) et (âđ ;âđ).
La formule des coordonnĂ©es du milieu donne đ+ âđ
2;đ+ âđ
2: le milieu des deux points est bien
lâorigine du repĂšre đ(0 ; 0).
âą La preuve rĂ©sulte directement des coordonnĂ©es de lâopposĂ© dâun vecteur dans un repĂšre.
âđ§ = (âđ) + (âđ)đ = âđ â đđ.
3. Soustraction
MĂ©thode 2 â Utiliser les nombres compexes en gĂ©omĂ©trie
La méthode générale consiste à :
1. Transformer les données géométriques du texte ou les questions en terme de vecteurs puis de nombres complexes.
2. Utiliser les rÚgles de calcul pour résoudre le problÚme.
Exercice dâapplication
On considĂšre trois points đŽ, đ”, đ¶ dâaffixes :
đŽ = â3 + 2đ , đ” = 1 + đ et đ¶ = 3 â 4đ.1. DĂ©terminer lâaffixe du point đ· pour que đŽđ”đ¶đ· soit un parallĂ©logramme.
2. Déterminer les coordonnées du centre de ce parallélogramme.
ThéorÚme
âą Si đ§1 = đ1 + đđ1 et đ§2 = đ2 + đđ2 alors
âą Si đ€1 et đ€2 sont dâaffixes respectives đ§1 et đ§2 alors đ€1 â đ€2 est dâaffixe đ§1 â đ§2.
âą Si đŽ et đ” sont dâaffixes đ§đŽ et đ§đ” alors đ§đ” â đ§đŽ est lâaffixe de đŽđ”.
DĂ©monstration
Elle résulte des définitions et des formules des coordonnées de vecteurs dans les repÚres.
đ§1 + (âđ§2) = (đ1 â đ2) + đ(đ1 â đ2). đ§1 â đ§2 =
4. Multiplication dâun complexe par un rĂ©el
Exemple
Soit đŽ, đ” deux points du plan dâaffixe đ§đŽ = 3 â đ et đ§đ” = â2 + 3đ.
Le vecteur 2đŽđ” a pour affixe :
ThéorÚme
Soit đ§ â â, đ â â et đ€ dâaffixe đ§.
Le complexe đđ§ est lâaffixe du vecteur đđ€.
2(đ§đ” â đ§đŽ) = 2(â5 + 4đ) = â10 + 8đ.
Exercices SĂ©samath page 249
III. Inverse et quotient de nombres complexes
On prouve la seconde partie de la dĂ©finition. Soit đ dâaffixe đ§ = đ + đđ et đ dâaffixe đ§ = đ â đđ.
En termes de coordonnĂ©es on a đ đ ; đ et đ đ ;âđ . Donc :
âą dâune part, le milieu de [đđ] a pour coordonnĂ©es đ ; 0 et appartient donc Ă lâaxe des rĂ©els ;
âą dâautre part, on a đđ 0 ; 2đ , et donc đđ. đą = 0.
Donc, soit đ = đ et dans ce cas đ = 0, ce qui signifie que les deux points sont confondus sur lâaxe des rĂ©els; soit
đ â đ et les deux constatations prĂ©cĂ©dentes montrent que lâaxe des rĂ©els est la mĂ©diatrice du segment [đđ].
Dans les deux cas cela prouve le résultat.
1. ConjuguĂ© dâun nombre complexe
DĂ©finition
âą Le conjuguĂ© dâun nombre complexe đ§ = đ + đđ est le complexe
âą Si đ§ est lâaffixe de đ, Ò§đ§ est lâaffixe du symĂ©trique de đ par rapport Ă lâaxe des rĂ©els.
DĂ©monstration
đ â đđ, notĂ© Ò§đ§.
ThéorÚme
1. đ§ + Ò§đ§ = ; đ§ â Ò§đ§ =
2. đ§ est rĂ©el si et seulement si
3. đ§ est imaginaire pur si et seulement si
2 đ đ đ§ 2 Ă đ Ă đŒđ đ§ .
đ§ = đ§.
đ§ = âđ§.
DĂ©monstration
1. On Ă©crit đ§ sous sa forme algĂ©brique đ§ = đ + đđ et on a donc đ§ = đ â đđ. On en dĂ©duit :
đ§ + đ§ = đ + đđ + đ â đđ = 2đ = 2đ đ đ§ .
La seconde partie se prouve de la mĂȘme façon.
2. On a đ§ = đ§ âș đ§ â đ§ = 0 âș 2đđŒđ đ§ = 0 ce qui Ă©quivaut Ă đ§ â â.
3. MĂȘme mĂ©thode quâau 2).
Soit đ§ â 0. đ§ Ă đ§ = (đ + đđ)(đ â đđ) = đ2 â (đđ)2 = đ2 + đ2 est un rĂ©el positif non nul.
Il admet donc un inverse dans â que lâon note1
đ§Ăđ§.
On a donc (đ§ Ă đ§) Ă1
đ§Ăđ§= 1 et donc đ§ Ă đ§ Ă
1
đ§Ăđ§= 1.
Le nombre complexe đ§ admet donc un inverse dans qui est đ§ Ă1
đ§Ăđ§et on en dĂ©duit facilement la forme algĂ©brique.
2. Inverse dâun nombre complexe
ThéorÚme
Pour tout nombre complexe đ§ non nul, il existe un nombre complexe đ§âČ tel que đ§đ§âČ = 1.
Ce nombre sâappelle lâinverse de đ§, notĂ©1
đ§et il est tel que :
Si đ§ = đ + đđ â 0 alors la forme algĂ©brique de1
đ§est :
1
đ§=
đ§
đ§ Ă đ§.
1
đ§=
đ
đ2 + đ2+ đ
âđ
đ2 + đ2.
DĂ©monstration
Exemple
Dans la pratique, on effectue une multiplication par le conjugué du dénominateur pour se ramener à un
dénominateur réel.
1. đ§ = 2i.
=(2â3i)
(2+3i)(2â3i)=
2â3i
4+9=
2
13â
3
13đ.
1
đ§=
1
2i=
â2i
2đĂ(â2i)=
â2i
4= â
1
2đ.On a
2. đ§ =1
2+3i
MĂ©thode 3 â Calculer et utiliser le quotient des nombres complexes
Exercice dâapplication
RĂ©soudre lâĂ©quation : (1 + đ)đ§ â 2 = 3 + 2i.
Correction :
On procĂšde comme pour les nombres rĂ©els en isolant lâinconnue đ§ :
(1 + đ)đ§ â 2 = 3 + 2i âș (1 + đ)đ§ = 5 + 2i âș đ§ =5 + 2i
1 + đ=(5 + 2i)(1 â đ)
(1 + đ)(1 â đ)=7 â 3i
2
Lâunique solution est donc le nombre complexe : đ§ =7
2â
3
2đ.
3. Quotient dâun nombre complexe
DĂ©finition
Soient đ§1 et đ§2 â 0 deux nombres complexes.
On dĂ©finit leur quotient par :đ§1đ§2
= đ§1 Ă1
đ§2
4. Opérations avec les conjugués des nombres complexes
ThéorÚme
Soient đ§1 et đ§2 deux nombres complexes.
đ§1 Ă đ§2
đ§1 + đ§2
1) đ§1 =
đ§1đ, đ entier naturel.
đ§1đ§2
, đ§2â 0.đ§1
2) đ§1 + đ§2 =
3) đ§1 Ă đ§2 =
4)đ§1đ§2
=
5) đ§1đ =
DĂ©monstration
DĂ©monstration
âą On prouve la troisiĂšme Ă©galitĂ©, les deux premiĂšres se faisant de la mĂȘme maniĂšre dans un contexte plus simple.
On Ă©crit les complexes đ§1 et đ§2 sous forme algĂ©brique : đ§1 = đ1 + đđ1 et đ§2 = đ2 + đđ2.
On a alors : đ§1 Ă đ§2 = (đ1đ2 â đ1đ2) + đ(đ1đ2 + đ2đ1) = (đ1đ2 â đ1đ2) â đ(đ1đ2 + đ2đ1).
Dâautre part :
đ§1 Ă đ§2 = (đ1 â đđ1)(đ2 â đđ2)
= (đ1đ2 + đ1đ2đ2) â đ(đ1đ2 + đ2đ1)
= (đ1đ2 â đ1đ2) â đ(đ1đ2 + đ2đ1)
Ce qui donne bien lâĂ©galitĂ© cherchĂ©e.
âą Pour lâĂ©galitĂ© 4) : đ§2 Ăđ§1
đ§2= đ§2 Ă
đ§1
đ§2= đ§1 dâaprĂšs la propriĂ©tĂ© 3). Donc en redivisant par đ§2 â 0 on obtient bien le
résultat du 5).
âą LâĂ©galitĂ© 5) se dĂ©montre par rĂ©currence (voir exercice exo-preuve-puissance-conjugue).
Exemple
DĂ©montrons que đ = (1 + i)5 + (1 â đ)5 est un nombre rĂ©el.
On a (1 + đ)5 = (1 + đ)5 = (1 â đ)5.
Donc đ = đ§ + đ§ = 2đ đ đ§ avec đ§ = (1 + đ)5.
đ est donc bien un nombre rĂ©el.
IV.Ăquations du second degrĂ©
ThéorÚme
Pour tout nombre rĂ©el non nul đ, lâĂ©quation đ§2 = đ admet deux racines dans :
âą Si đ > 0, les racines sont
âą Si đ < 0, les racines sont
Exemples
Les solutions de : đ§2 = 16 sont
Les solutions de đ§2 = â5 dans â sont đ 5 et âđ 5 (alors que cette Ă©quation nâa aucune solution dans â)
đ et â đ.
đ |đ| et âđ |đ|.
4 et â4.
ThéorÚme
Soit đđ§2 + đđ§ + đ = 0, đ â ââ, đ â â et đ â â.
Î = đ2 â 4đđ le discriminant de cette Ă©quation.
đđ =âđ
đđ
âą Î < 0, lâĂ©quation a deux solution dans â qui sont conjuguĂ©es :
âą Si Î = 0, lâĂ©quation a une unique solution dans â :
âą Si Î > 0, lâĂ©quation a deux solutions dans â : đđ =âđ â đ
đđđđ đđ =
âđ + đ
đđ.
đđ =âđ â đ âđ
đđđđ đđ =
âđ + đ âđ
đđ
Remarque
âȘ Toute expression đ(đ§) = đđ§2 + đđ§ + đ, đ â ââ, đ â â et đ â â, se factorise dans â et :
đ(đ§) = đđ§2 + đđ§ + đ = đ(đ§ â đ§1)(đ§ â đ§2).
âȘ đ(đ§) = đđ§2 + đđ§ + đ = đ đ§2 +đ
đđ§ +
đ
đ= đ đ§2 â đđ§ + đ avec :
đ = đ§1 + đ§2 = âđ
đet đ = đ§1 Ă đ§2 =
đ
đ.