Lena Alfredsson Kajsa Bråting Patrik Erixon Hans Heikne ... · Grafisk form och omslag: Graffoto AB och Åsa Lundbom ... Blandade övningar kapitel 1–2 Blandade övningar kapitel

Lena Alfredsson

Kajsa Bråting

Patrik Erixon

Hans Heikne

Kurs 5 Blå lärobok

Natur & Kultur

5000Matematik

M5000 Kurs 5 Bla.indb 1 2013-07-11 15:34

NATUR & KULTUR

Box 27 323, 102 54 StockholmKundtjänst: Tel 08-453 85 00, [email protected]: Tel 08-453 86 00, [email protected]

Order och distribution: Förlagssystem, Box 30 195, 104 25 StockholmTel 08-657 95 00, [email protected]

Projektledare: Irene BondeTextredaktör: Mats Karlsson/Devella HBBildredaktör: Erica HögsbornGrafisk form och omslag: Graffoto AB och Åsa LundbomLayout: Måns Björkman/Typ & Design och

Mats Karlsson/Devella HBSättning: Mats Karlsson/Devella HB

Kopieringsförbud!

Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering är förbjuden, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt avtal med Bonus Presskopia och den mycket begränsade rätten till kopiering för privat bruk. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

© 2013 Lena Alfredsson, Jonas Björk, Lars-Eric Björk, Hans Brolin, Kajsa Bråting, Patrik Erixon, Hans Heikne, Anna Palbom och Natur & Kultur, Stockholm

Tryckt i Lettland 2013Första utgåvans första tryckning

ISBN 978-91-27-42633-7

M5000 Kurs 5 Bla.indb 2 2013-07-11 15:34

FÖRORD 3

Välkommen till Matematik 5000Matematik 5000 är en läroboksserie för gymnasie- skolan och vuxenutbildningen. Den är inriktad på färdigheter, förståelse, kommunikation och problemlösning och erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning.

Matematik 5000 ger eleverna goda förutsättning-ar att utveckla de förmågor och nå de kunskaps-mål som beskrivs i den nya ämnesplanen.

Denna bok, Kurs 5 Blå lärobok, riktar sig främst till elever som studerar på teknikprogrammet eller naturvetenskapsprogrammet.

Hur är boken upplagd?• Teoriavsnitten utgår ofta från konkreta exempel

som framställs och förklaras på ett sätt som ger eleverna möjlighet att förstå och upptäcka matematiken.

Teorin avslutas med flera lösta exempel som belyser det viktigaste. Därefter kommer övningsuppgifter i tre nivåer, a, b och c, i stigande svårighetsgrad.

• Aktiviteterna ger stora möjligheter att variera undervisningen. De finns i fyra olika kategorier: Upptäck, Undersök, Diskutera och Laborera. De flesta är avsedda för arbete i grupp. I varje kapitel finns dessutom en kort Inledande aktivi-tet som introducerar delar av kapitlets innehåll.

• I Teman finns teori och uppgifter anpassade till naturvetenskapsprogrammet och teknik-programmet och i Historik, med tillhörande uppgifter, sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.

• På många sidor blandas uppgifter av standard-karaktär, uppgifter anpassade främst till teknik- och naturvetenskapsprogrammet och uppgifter som kräver matematisk problemlösning.

Varje kapitel avslutas med:• En Aktivitet som uppmuntrar till kommunika-

tion: Sant eller falskt?

• En kort Sammanfattning av kapitlet.

• Kan du det här? och Diagnos som tillsammans ger eleverna en god möjlighet till egen kunskaps- kontroll. I Kan du det här? kan eleverna i par eller smågrupper värdera sina kunskaper om matematiska begrepp och strategier och i Diagnos kan de enskilt testa sina grund- läggande kunskaper.

• Om en elev behöver repetera delar av kapitlet finns Repetitionsuppgifter i slutet av boken. Repetitionsuppgifterna är texten till de lösta uppgifterna i bokens teoriavsnitt.

• Två olika varianter av Blandade övningar av-slutar varje kapitel. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel. Blandade övningar består av tre delar: Utan räknare, Med räknare och Utredande uppgifter.

I Svarsdelen finns ledtrådar och lösningar till många uppgifter.

Till läroboken finns en lärarhandledning med kommentarer, ytterligare aktiviteter och övnings-uppgifter samt en provbank.

Med Matematik 5000 inbjuder vi lärare och elev-er till en variation av arbetssätt och arbetsformer och erbjuder många olika möjligheter för eleverna att utveckla sina matematiska förmågor.

Mer information om läromedlet och digitalt material finns på www.nok.se/matematik5000

Lycka till med matematiken! önskar Hans, Kajsa, Lena och Patrik

M5000 Kurs 5 Bla.indb 3 2013-07-11 15:34

4 INNEHÅLL

Innehåll1. Diskret matematik I 6 Centralt innehåll 6 Inledande aktivitet: Hur många? 7

1.1 Kombinatorik 8 Lådprincipen 8 Multiplikations- och additionsprincipen 11 Permutationer 15 Kombinationer 19 Kommer du ihåg sannolikhetslära? 23 Kombinatorik och sannolikhetslära 26 Tema: Poker och Yatzy 28 Binomialsatsen 30 Historik: Pascals triangel 32

1.2 Mängdlära 35 Mängder – Grundbegrepp 35 Mängdoperatorer 39 Venndiagram 41 Aktivitet: Undersök – Kan du rita utan att lyfta pennan? 45

1.3 Grafteori 46 Inledning 46 Historik: Fyrfärgsproblemet 49 Några klassiska problem 50 Träd 54

Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 57 Sammanfattning 1 58 Kan du det här? 1 60 Diagnos 1 61 Blandade övningar kapitel 1 62

2. Diskret matematik II 66 Centralt innehåll 66 Inledande aktivitet: Hittar du mönstret? 67

2.1 Talteori 68 Delbarhet och primtal 68 Gemensamma och icke gemensamma faktorer 71 Aktivitet: Upptäck – Räkna med rester 74 Kongruens och moduloräkning 75 Historik: Diofantiska ekvationer och Fermats stora sats 79 Talsystem med olika baser 80 Tema: RSA-kryptering 82

2.2 Talföljder 84 Inledning 84 Aktivitet: Undersök – Sierpińskis triangel 87 Rekursionsformler 88 Aritmetiska talföljder 90 Geometriska talföljder 92 Aktivitet: Undersök – Hur högt blir trädet? 95 Ekonomiska, natur- och samhällsvetenskapliga tillämpningar 96 Aktivitet: Laborera – Hur högt studsar bollen? 101 Historik: Fibonaccis talföljd 102

2.3 Induktionsbevis 103

Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 108 Sammanfattning 2 109 Kan du det här? 2 110 Diagnos 2 111 Blandade övningar kapitel 2 112 Blandade övningar kapitel 1–2 114

M5000 Kurs 5 Bla.indb 4 2013-07-11 15:34

INNEHÅLL 5

3. Derivator och integraler 118 Centralt innehåll 118 Inledande aktivitet: Finn grafen 119

3.1 Derivator 120 Repetition 120 Några bevis 126 Tangenter och linjär approximation 128 Förändringshastigheter och derivator 130 Aktivitet: Laborera – Ballongen 136

3.2 Extremvärden 137 Tillämpningar och problemlösning 137 Historik: Den första läroboken 144

3.3 Integraler 145 Primitiva funktioner, integraler och areaberäkningar 145 Geometriska sannolikheter 150 Partiell integration 151 Volymberäkning med skivmetoden 154 Historik: Kepler och vintunnornas geometri 157 Volymberäkning med cylindriska skal 158 Generaliserade integraler 160


4. Differentialekvationer 174 Centralt innehåll 174 Inledande aktivitet: Bestäm en funktion 175

4.1 Inledning 176 Grundläggande begrepp 176 Historik: Newton 179 Differentialekvationer och primitiva funktioner 180 Verifiering av en lösning 182

4.2 Differentialekvationer av första ordningen 184 Differentialekvationen y ¢ + ay = 0 184 Den inhomogena ekvationen y ¢ + ay = f ( x) 188 Aktivitet: Upptäck – Riktningsfält 191 Riktningsfält 192 Historik: Euler och hans stegmetod 196

4.3 Matematiska modeller med differentialekvationer 198 Enkla förändringsmodeller 198 Blandningsproblem 200 Avsvalning 202 Fritt fall med luftmotstånd 203 Tillväxt med begränsningar 204 Lösning med digitala verktyg 206


5. Omfångsrika problemsituationer 224

Repetitionsuppgifter 237

Svar, ledtrådar och lösningar 242

Register 283

M5000 Kurs 5 Bla.indb 5 2013-07-11 15:34

I kapitel 3 ska vi arbeta med area, omkrets och volym, skala och likformighet samt trigonometri.

DISKRET MATEMATIK I1Centralt innehåll

✱ Begreppen permutation och kombination.

✱ Metoder för beräkningar av antalet kombinationer och permutationer.

✱ Begreppet mängd, operationer på mängder, mängdlärans notationer och Venndiagram.

✱ Begreppet graf, olika typer av grafer och dess egenskaper samt några kända grafteoretiska problem.

✱ Strategier för matematisk problemlösning.

✱ Matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria.

M5000 Kurs 5 Bla.indb 6 2013-07-11 15:34

111

15343274

77711275

4789

4789

4758

49

8947

8947

5849

55

4823

9867

8567

2388

7674

4

HUR MÅNGA?Diskret matematik är en gren av matematiken som sysslar med objekt som är åtskilda från varandra och som går att räkna upp.

Inledande aktivitet

1 a) Hur många tresiffriga tal kan bildas av sifforna 1,2 och 3 om varje siffra bara får förekomma en gång? Skriv upp alla talen.

b) Hur många tvåsiffriga tal kan bildas av siffrorna 4 och 7 om varje siffra får förekomma flera gånger? Skriv upp alla talen.

c) Du ska bilda en summa av ett av de tresiffriga och ett av de tvåsiffriga talen i uppgift a) och b). Hur många olika summor kan du få?

2 a) Hur många tresiffriga tal kan bildas av sifforna 1, 2 och 3 om varje siffra får förekomma flera gånger?

b) Hur många tresiffriga tal kan bildas av sifforna 8, 9 och 0 om varje siffra får förekomma flera gånger?

3 a) Hur många fyrsiffriga tal finns det?

b) Hur många fyrsiffriga tal finns det som är delbara med 11?

M5000 Kurs 5 Bla.indb 7 2013-07-11 15:34

8 1.1 KOMBINATORIK

1.1 Kombinatorik

Lådprincipen

kombinatorik Kombinatorik är den gren av matematiken som handlar om hur vi kan välja ut, ordna och kombinera olika föremål. Frågorna ”Hur många…” och ”På hur många sätt…” är vanliga.

Vi visar några generella verktyg som kan användas för att lösa kombinatoriska problem.

Exempel Om en brevbärare ska lägga 6 brev i 5 brevlådor, så måste åtminstone en brevlåda innehålla två eller flera brev. Detta är ett exempel på lådprincipen.

Om brevbäraren istället har 16 brev att lägga i de 5 lådorna så kommer åtminstone en brevlåda att innehålla 4 eller flera brev.

Motivering:

16 = 5 ∙ 3 + 1 (3 brev i varje låda och ytterligare 1 brev)

Lådprincipen

I detta kapitel betecknar n och k positiva heltal.

Det är förvånande att denna enkla princip kan användas för att lösa så många olika problem. Som problemlösare ska du försöka identifiera vad som är ”låda” respektive ”föremål”. Tyvärr är detta inte alltid så lätt!

lådprincipen

Om n + 1 föremål ska placeras i n lådor, så måste åtminstone en låda innehålla två eller fler av föremålen.

Om n ∙ k + 1 föremål ska placeras i n lådor, så måste åtminstone en låda innehålla k + 1 eller fler av föremålen.

M5000 Kurs 5 Bla.indb 8 2013-07-11 15:34

1.1 KOMBINATORIK 9

1101

1102

1103

Visa att i en grupp på 13 personer har minst två personer födelsedag i samma månad.

Lådor: Årets 12 månader Föremål: De 13 födelsedagarnaPlacera de 13 födelsedagarna i de 12 månaderna. Enligt lådprincipen innehåller då åtminstone en månad två eller flera födelsedagar.

Visa att om fem punkter placeras i en liksidig triangel med sidan 6 cm, så finns det minst två punkter vars avstånd är högst 3 cm.

Triangeln delas i fyra kongruenta liksidiga deltrianglar med sidan 3 cm.Lådor: De fyra deltrianglarna (n = 4)Föremål: De fem punkterna (n + 1 = 5)

Placera de fem punkterna i de fyra deltrianglarna.

Enligt lådprincipen innehåller då minst en triangel två eller fler punkter. Avståndet mellan två sådana punkter är högst 3 cm.

T ex T ex

6 cm 6 cm

Storstockholm har 1 510 000 invånare. Vi antar att en människa har färre än 500 000 hårstrån på huvudet. Visa att åtminstone 4 av dessa invånare har exakt samma antal hårstrån.

Lådor: 500 000 st, dvs 0, 1, 2, . . ., 499 999 hårstrånFöremål: 1 510 000 stockholmare

Eftersom 1 510 000 > 500 000 ∙ 3 + 1 så säger lådprincipen att åtminstone en låda innehåller minst 3 + 1 föremål. Det innebär att minst 4 stockholmare har samma antal hårstrån på huvudet.

M5000 Kurs 5 Bla.indb 9 2013-07-11 15:34

10 1.1 KOMBINATORIK

1104 I en låda ligger enfärgade, osorterade strumpor i färgerna svart, vit, blå och grå.

Hur många strumpor måste man ta urlådan för att vara säker på att få ett par av samma färg?

1105 Visa att det i en klass på 32 elever finns åtminstone två som har födelsedag på samma datum i någon månad.

1106 Visa att om fem punkter placeras i en kvadrat med sidan 2 cm, så finns det två punkter vars avstånd är högst √2 cm.

1107 Till en nordisk skolkonferens kom det sammanlagt 31 elever från Sverige, Norge, Danmark, Finland och Island.

a) Vilket tal är n (antalet ”lådor”)?

b) Visa att något land representeras av minst 7 elever.

1108 EU-parlamentet består av 754 personer från 27 olika stater.

Visa att minst 28 personer kommer från samma stat.

1109

I en skål ligger 8 röda och 5 blå kulor.

Hur många kulor måste du slumpvis ta upp för att säkert få två av

a) samma färg

b) olika färg

c) varje färg?

1110 En musiker övar 110 timmar under en period på 12 dagar.

Visa att hon övar sammanlagt åtminstone 19 timmar under två på varandra följande dagar. (Hon övar i hela timmar.)

1111 En låda innehåller 50 tröjor i fyra olika färger.

Förklara varför det är

a) minst 13 tröjor av samma färg

b) minst 14 tröjor av samma färg om man vet att det finns exakt 8 röda tröjor.

1112 År 2010 fanns 7,2 miljoner invånare i Sverige, som var 20 år eller äldre. Av dessa hade 47 % en månadsinkomst före skatt som var mindre än 20 000 kr.

Visa att det år 2010 fanns åtminstone 160 svenskar som hade exakt på kronan samma månadsinkomst.

1113 Enligt SCB hade Sverige 9 551 781 invånare den 30 november 2012. Det finns en dag på året (även skottår)då åtminstone x svenska invånare har födelsedag.

Bestäm x.

1114 Visa att om 10 punkter placeras i en liksidig triangel med sidan 6 cm, så finns det två punkter vars avstånd är högst 2 cm.

1115 I ett rum finns det n gifta par.

Hur många av dessa 2n personer måste väljas ut för att man ska vara säker på att få minst ett gift par? Motivera.

1.1 KOMBINATORIK

M5000 Kurs 5 Bla.indb 10 2013-07-11 15:34

1.1 KOMBINATORIK 11

Multiplikations- och additionsprincipen

Exempel 1 När Alma ska träna har hon följande kläder att välja på:

◗ linne, kortärmad tröja eller långärmad tröja

◗ korta byxor, knälånga byxor eller långa byxor

◗ löparskor eller inomhusskor.

Vi visar med ett träddiagram på hur många olika sätt hon kan klä sig.

Diagrammet visar att Alma kan klä sig på 18 olika sätt. Utan träddiagram kan vi tänka att hon har tre val att göra: 3 olika tröjor, 3 olika byxor och 2 olika skor. Detta ger beräkningen 3 ∙ 3 ∙ 2 = 18.

multiplikationsprincipen Den regel inom kombinatoriken som ger det totala antalet möjliga kombinationer när flera val görs oberoende av varandra kallas multiplikationsprincipen.

Multiplikationsprincipen

löp inom löp inom löp inom löp inom löp inom löp inom löp inom löp inom löp inom

korta

linne kort lång Tröja

Byxor

Skor

knä långa korta knä långa korta knä långa

Om ett första val kan ske på p sätt och ett andra val kan göras på q sätt, så kan de båda valen utförda efter varandra göras på p ∙ q sätt.

En förutsättning för detta är att det första valet inte påverkar det andra valet.

M5000 Kurs 5 Bla.indb 11 2013-07-11 15:34

12 1.1 KOMBINATORIK

Exempel 2 På en restaurang kan man välja förrätt och huvudrätt eller huvudrätt och efterrätt för 200 kr.

Erik undrar på hur många sätt man kan välja två rätter.

Multiplikationsprincipen ger att:

Förrätt + Huvudrätt kan väljas på 2 ∙ 3 = 6 olika sätt.

Huvudrätt + Efterrätt kan väljas på 3 ∙ 3 = 9 olika sätt.

Sammanlagt finns det alltså 6 + 9 = 15 olika sätt att välja 2 rätter på restaurangen.

Allmänt gäller:

Additionsprincipen

1116

Om man ska välja 1 föremål från en mängd med p olika föremål eller från en mängd med q olika föremål, så kan detta ske på p + q olika sätt.

Obs! En förutsättning är att mängderna inte har något föremål gemensamt.

När William ska köpa en surfplatta står han inför tre val trots att han har bestäm vilket märke kan ska köpa. Det finns tre olika skärmstorlekar och liten eller stor hårddisk. Båda hårddiskarna finns till alla skärmar och surfplattorna finns i färgerna svart, rött, grönt, blått eller vitt.Hur många olika surfplattor har William att välja på?

Han står inför tre valsituationer där antalet valmöjligheter är 3, 2 respektive 5. Inget val påverkar det andra.Antalet varianter av surfplattor är 3 ∙ 2 ∙ 5 = 30.

På en restaurang kan man välja förrätt

Förrätt + Huvudrätt kan väljas på 2 ∙ 3 = 6 olika sätt.

MENYFörrätt: Soppa SalladHuvudrätt: Fisk Kött VegetarisktEfterrätt: Glass Tårta PajVälj förrätt och huvudrätt eller huvudrätt och efterrätt för 200 kr

M5000 Kurs 5 Bla.indb 12 2013-07-11 15:35

1.1 KOMBINATORIK 13

1117

1118 I en klass går det 11 pojkar och 15 flickor. På hur många sätt kan man välja

a) en elevrepresentant

b) två elevrepresentanter, en pojke och en flicka?

1119 Lukas som ska köpa en cykel ställs inför flera val.

◗ Herr eller damcykel?

◗ Vilket av fem märken?

◗ Mountainbike, streetcykel eller racer?

◗ 3, 5, 7, 18 eller 21 växlar?

◗ Pakethållare eller inte?

◗ Vilken av fyra färger?

Lukas leker med tanken på att alla varianter kan kombineras med varandra.

Hur många cyklar har han då att välja på?

1120 När man spelar på V75 ska man välja vilken häst som vinner i sju olika lopp. Vid ett tillfälle startade 9, 10, 9, 9, 11, 10 respektive 10 hästar i de olika loppen.

På hur många olika sätt kan man skriva en V75-rad till den spelomgången?

Conrad ska välja en karamell ur vardera skålen.a) På hur många sätt kan detta ske? b) På hur många sätt kan detta ske om han vill ha minst en röd karamell?

a) Multiplikationsprincipen ger 4 ∙ 5 = 20 sätt.

b) Den runda röda kan kombineras med de 5 fyrkantiga karamellerna, vilket ger 5 sätt. Den fyrkantiga röda kan kombineras med de 4 runda karamellerna, vilket ger 4 sätt. Här måste vi minska med 1 sätt eftersom ”två röda” ingår i båda fallen ovan. Additionsprincipen ger 5 + 4 – 1 = 8 sätt.

1121 Hur många fyrsiffriga pinkoder finns det?

1122 Lubna ska låna ljudböcker på biblioteket. Hon väljer mellan fem deckare, tre själv-biografier och fyra fantasyböcker.

På hur många sätt kan hon välja

a) en bok

b) tre böcker med en i varje genre

c) två böcker i olika genrer?

1123 Sex personer är med i utlottningen av två lika stora vinster. Det är herr och fru Alm, herr och fru Olsson samt herr och fru Raciz.

På hur många sätt kan de två vinsterna fördelas om åtminstone en av personerna i familjen Alm vinner?

1124 Hur många olika svenska bilregistrerings-skyltar för bilar kan man göra enligt modellen ”först 3 bokstäver och sedan 3 siffror”?

Bokstäverna I, Q, V, Å, Ä och Ö används inte.

M5000 Kurs 5 Bla.indb 13 2013-07-11 15:35

14 1.1 KOMBINATORIK

1125 En kokbok innehåller 50 förrätter, 100 huvudrätter och 50 efterrätter.

På hur många sätt kan man ur boken komponera en två- eller trerättersmiddag som innehåller en huvudrätt?

1126 En myra kryper kortaste vägen från A till B längs kubens kantlinjer.

Hur många vägar kan myran krypa?

1127 I en av två parallellklasser går 17 killar och 9 tjejer. I den andra klassen går 13 killar och 15 tjejer. En elev från vardera klassen ska utses till elevrepresentanter.

På hur många olika sätt kan detta ske om

a) båda representanterna ska vara killar

b) en kille och en tjej ska utses

c) åtminstone en tjej ska utses?

1128 Evy har gjort en tipspromenad med 16 frågor som ska besvaras med 1, X eller 2.

Hon påstår att

a) det finns fler än 16 miljoner olika möjligheter att skriva en sådan tipsrad. Stämmer det?

b) det bara finns 17 tipsrader med minst 15 rätt. Stämmer det?

Motivera dina svar.

1129 Ett binärt tal skrivs med enbart nollor och ettor. T ex 5310 = 110101två

Hur många binära tal med sex eller färre siffror finns det?

A

B

1130 I sin garderob har Kim

◗ 1 röd, 1 blå, 1 vit och 1 grön skjorta

◗ 2 par blå jeans, ett par grå finbyxor och ett par chinos

◗ 1 par stumpor vardera av färgerna röd, blå, svart och vit

◗ 1 par boots, 1 par sneakers och ett par svarta lackskor.

På hur många sätt kan han klä sig, om

a) alla skjortor, byxor, strumpor och skor kan användas tillsammans

b) bootsen bara kan användas till jeans eller chinos

c) han bara kan ha svarta strumpor till lackskorna och alltid vit skjorta till finbyxorna?

På fredag ska Kim på födelsedagsfest till sin faster som fyller 34 år.

d) Vad tycker du han ska ha på sig?

1131 Visa att ett val bland p föremål följt av ett val bland q föremål alltid leder till fler valmöjligheter, än ett val bland p + q föremål, förutsatt att p ≥ 2 och q > 2.

1132 Hur många binära tal mindre än 256 börjar och/eller slutar med två ettor?

M5000 Kurs 5 Bla.indb 14 2013-07-11 15:35

1.1 KOMBINATORIK 15

Permutationer

Exempel 1 Johannes har en spellista som innehåller 10 favoritlåtar. Om han trycker ”shuffle” (blandning) spelas varje låt en gång i slumpartad ordning.

permutation Varje sådant ordnat urval utan upprepning kallas en permutation. Varje låt på listan spelas endast en gång.

På hur många olika sätt kan listans låtar spelas?

När den första låten ska väljas finns det 10 valmöjligheter. Den andra låten kan sedan väljas på 9 sätt och den tredje på 8 sätt osv.

Antalet möjliga sätt blir då enligt multiplikationsprincipen10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 3 628 800

Antalet permutationer av 10 föremål (element) kan skrivas 10!10! = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

n -fakultet Produkten av alla heltal från 1 till n kallas n-fakultet och betecknas n!

Allmänt gäller:

Exempel 2 Om endast 3 låtar ska väljas från listan med 10 låtar kan detta göras på 10 ∙ 9 ∙ 8 = 720 olika sätt.

Antalet permutationer (ordnade urval) av 3 låtar bland 10 låtar kan skrivas

P(10, 3) = 10 ∙ 9 ∙ 8 = 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7!7!

= 10!7!

= 10!(10 ‒ 3)!

Antalet permutationer

av n element

Antalet permutationer av n element är n ! = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 där n är ett positivt heltal.

Vi förlänger med 7!

M5000 Kurs 5 Bla.indb 15 2013-07-11 15:35

16 1.1 KOMBINATORIK

Allmänt gäller:

Två specialfall:

Om vi väljer n element av n får vi

P(n, n) = n!(n ‒ n)!

= n!0!

= n! om vi definierar 0! = 1

Om vi väljer 0 element av n får vi

P(n, 0) = n!n!

= 1 med tolkningen: ”noll element kan väljas på ett sätt”.

1133

Antalet permutationer

av k element bland n

Antalet permutationer av k element bland n givna element är

P ( n, k ) = n ∙ (n – 1) ∙ … ∙ (n – k + 1) = n !(n − k)!

Elementen väljs endast en gång och med hänsyn till ordningen.

Julia ska sätta upp förstoringar av tre fotografier i sitt rum. De ska hänga på rad. a) Utgå från det tre fotona A, B och C och gör en lista över de olika permutationerna.b) Hur många permutationer finns det?c) Julia lägger till fem foton och har nu åtta att välja på. På hur många sätt kan då tre foton hängas upp?

a) A B C B A C C B A A C B B C A C A B

b) Antalet permutationer av 3 element är 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 Svar: Det finns 6 permutationer.

c) Antalet permutationer av 3 element bland 8 är

P (8, 3) = 8 ∙ 7 ∙ 6 = 336 eller P (8, 3) = 8!(8 ‒ 3)!

= 8!5!

= 336 Svar: På 336 olika sätt.

A B C

M5000 Kurs 5 Bla.indb 16 2013-07-11 15:35

1.1 KOMBINATORIK 17

På många räknare finns verktyg för beräkning av n! och P (n, k).

T ex 9 nPr 4 ger att P (9, 4) = 126

1134

1135

Hur många olika ”ord” kan man bilda av bokstäverna i ordeta) KEMIb) MATTE

a) Fyra bokstäver kan ordnas på 4! = 24 olika sätt. (De flesta orden saknar dock betydelse.)b) Fem bokstäver kan ordnas på 5! = 120 olika sätt. Eftersom det finns två T i ordet MATTE kommer flera av de 120 orden att vara lika. Två bokstäver kan ordnas på 2! = 2 sätt så antalet olika ord ges av

5!2!

= 1202

= 60

Svar: a) 24 ord b) 60 ord

Tolka och beräknaa) P (6, 6) b) P (8, 5) c) P (8, 1) d) P (8, 0)

a) P (6, 6) är antalet permutationer (ordnade urval) av 6 element. P (6, 6) = 6! = 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720b) P (8, 5) är antalet permutationer när man väljer 5 element av 8. P (8, 5) = 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 = 6 720 eller P (8, 5) = 8!

(8 – 5)! = 8!

3! = 6 720

c) P (8, 1) är antalet sätt att välja 1 element bland 8. P (8, 1) = 8

d) P (8, 0) är ”antalet sätt att välja 0 element bland 8”. P (8, 0) = 1

M5000 Kurs 5 Bla.indb 17 2013-07-11 15:35

18 1.1 KOMBINATORIK

1136 Sju personer ska skriva sitt namn på en lista.

På hur många sätt kan listan se ut om man tar hänsyn till namnens inbördes ordning?

1137 Beräkna utan räknare

a) 4! c) 2! ∙ 3!

b) 11!(11 ‒ 2)!

d) 100!(100 ‒ 1)!

1138 I styrelsen till en idrottsförening ska man välja ordförande, sekreterare och kassör.

På hur många sätt kan dessa väljas om styrelsen består av

a) 6 personer

b) 12 personer?

1139 Beräkna och tolka

a) P (9, 3) c) P (15, 1)

b) P (4 ,4) d) P (100, 0)

1140 En vanlig kortlek innehåller 52 olika kort.

På hur många sätt kan man dra fem kort om man tar hänsyn till ordningen och

a) lägger tillbaka kortet efter varje dragning

b) inte lägger tillbaka korten?

1141 Hur många tresiffriga tal

a) finns det

b) med endast jämna siffror finns det

c) med endast udda siffror finns det, om varje siffra endast får förekomma en gång?

1142 a) Teckna och beräkna antalet permutationer av tre element bland fem.

b) Förklara vad du beräknat i a).

1143 Hur många fyrsiffriga koder finns det med

a) siffrorna 0, 6, 8, 9

b) olika siffror

c) siffrorna 3, 5, 5, 9

1144 a) Hur många olika ”ord” kan man bilda av bokstäverna i ordet BANAN?

b) Hur många av orden i uppgift a) börjar med AN?

1145 Tolv damer och tolv herrar kommer till en danskurs.

a) Först hälsar alla på varandra genom att ta i hand. Hur många handskakningar innebär detta?

b) Sedan bildas danspar av en dam och en herre. Hur många olika danspar kan bildas?

1146 a) Bestäm värdet på k utan räknare då 5 ∙ 9! + 5 ∙ 8! = k ∙ 8!b) Visa att a ∙ n! + a(n + 1)! kan skrivas a ∙ n!(n + 2).

1147 I ett klassrum med 30 bänkar och 30 elever säger läraren:

”Vi prövar en ny placering varje dag.”

Hur många läsår dröjer det innan alla tänkbara placeringar är prövade? (Vi antar att ett läsår har 200 dagar.)

1148 Ett spelbolag har ett spel, där det gäller att bland åtta deltagare i en tävling tippa de n första i rätt ordning.

Hur stort måste n minsta vara, om antalet olika tipsrader ska bli mer än 1 000?

1149 Visa att P (n, n) = P (n, n – 1) genom att

a) förenkla båda uttrycken

b) använda multiplikationsprincipen.

M5000 Kurs 5 Bla.indb 18 2013-07-11 15:35

1.1 KOMBINATORIK 19

Kombinationer

Exempel 1 Vi återvänder till exemplet med Julias fotografier (se uppgift 1133). Den här gången ska hon välja ut tre fotografier av totalt fyra. Vi skriver upp permutationerna av tre av fotografierna A, B, C och D:

ABC ABD ACD BCD

ACB ADB ADC BDC

BAC BAD CAD CBD

BCA BDA CDA CDB

CAB DAB DAC DBC

CBA DBA DCA DCB

I den första kolumnen finns alla permutationer av A, B och C, i den andra alla permutationer av A, B och D, i den tredje alla permutationer av A, C och D och i den sista alla permutationer av B, C och D.

Men nu är vi inte längre intresserade av i vilken ordning fotografierna ska hänga på väggen. Vi är bara intresserade av vilka tre fotografier Julia väljer ut. Varje kolumn motsvarar då en av Julias valmöljigheter.

I varje kolumn finns 3! = 6 permutationer av de tre fotografierna överst i kolumnen. Antalet val får vi om vi delar det totala antalet permutationer (24) med 6.

Antal permutationer av 3 element bland 4Antal sätt att ordna 3 element

= P(4, 3)3!

=

=

4!(4 – 3)!

3!= 4!

3!(4 – 3)! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4

1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 1 = 4

kombination Varje urval, utan hänsyn till ordningen, kallas en kombination.

Antalet kombinationer av 3 element av 4 betecknas C (4, 3) eller ( 4 )3

som läses ” 4 över 3”.

Allmänt gäller:

Antalet kombinationer

Antalet kombinationer av k element bland n element är

C ( n, k ) = ( n )k = n !k !(n − k)!

Elementen väljs utan hänsyn till ordningen.

M5000 Kurs 5 Bla.indb 19 2013-07-11 15:35

20 1.1 KOMBINATORIK

Exempel 2 Hur tolkar vi och hur beräknar vi ( 8 )3?

( 8 )3= 8!

3!(8 – 3)! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8

1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 8 ∙ 7 ∙ 6

1 ∙ 2 ∙ 3 = 56

Varje gång vi väljer 3 element bland 8 så blir 5 element kvar. Antalet sätt att välja 3 element bland 8 är alltså lika många som att välja 5 element bland 8.

( 8 )5= 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4

1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 56

Symmetri

1150

Tre faktorer i både täljare och nämnare.

På många räknare finns ett verktyg för ( n )kT ex 8 nCr 3 ger att ( 8 )3

= 56

Talen ( n )k har den viktiga symmetriegenskapen ( n )k = ( n )n – k

Beräkna

a) ( 20 )3 b) ( 15 )13

c) P(30,4)4!

d) P(5,5)5!

a) ( 20 )3 = 20 ∙ 19 ∙ 181 ∙ 2 ∙ 3

= 1 140

b) ( 15 )13 = ( 15 )2 = 15 ∙ 141 ∙ 2

= 105

c) P(30,4)4!

= ( 30 )4 = 30 ∙ 29 ∙ 28 ∙ 271 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4

= 27 405

d) P(5,5)5!

= ( 5 )5 = 1

Vi utnyttjar symmetrin.

M5000 Kurs 5 Bla.indb 20 2013-07-11 15:35

1.1 KOMBINATORIK 21

1151

1152

Agnes har 30 pocketböcker i sin bokhylla. 10 av dem är på engelska och resten är på svenska. Hon ska låna ut sex böcker till en kompis som vill ha två engelska böcker. På hur många sätt kan Agnes välja böckerna hon ska låna ut?

Multiplikationsprincipen ger antalet urval med 4 svenska och 2 engelska böcker.

( 20 )4 ∙ ( 10 )2 = 20 ∙ 19 ∙ 18 ∙ 171 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4

∙ 10 ∙ 91 ∙ 2

= 218 025

Svar: Det finns 218 025 urval med 4 svenska och 2 engelska böcker.

Svenska Engelska

Antal pocketböcker 20 10

Antal att låna ut 4 2

Antal sätt ( 20 )4 ( 10 )2

Poker spelas med en vanlig kortlek som har 13 valörer i 4 färger (spader , hjärter , ruter och klöver ).En pokerhand har fem kort.a) Hur många pokerhänder finns det?b) Hur många pokerhänder innehåller minst ett hjärterkort?

a) Vi söker antalet kombinationer (oordnade urval) av 5 kort bland 52.

( 52 )5 = 52 ∙ 51 ∙ 50 ∙ 49 ∙ 481 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5

= 2 598 960

Svar: Det finns 2 598 960 olika pokerhänder.

b) Vi börjar med att beräkna antalet pokerhänder som inte innehåller något hjärterkort alls. Antalet kort som inte är hjärter är 52 – 13 = 39 Vi söker antalet kombinationer av 5 kort bland 39.

( 39 )5 = 39 ∙ 38 ∙ 37 ∙ 36 ∙ 351 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5

= 575 757

Antalet händer med minst ett hjärter = = Totala antalet händer – Antalet händer utan hjärter =

= ( 52 )5 – ( 39 )5 = 2 598 960 – 575 757 = 2 023 203

Svar: Det finns 2 023 203 olika pokerhänder som innehåller minst ett hjärterkort.

M5000 Kurs 5 Bla.indb 21 2013-07-11 15:35

22 1.1 KOMBINATORIK

1153 Beräkna

a) ( 10 )3 b) ( 10 )7 c) ( 25 )4


a) ( 100 )99 b) ( 20 )18 c) ( 10 )0

1155 I en skål ligger fyra kulor med olika färger.

På hur många sätt kan man dra två kulor ur skålen

a) om ingen hänsyn tas till ordningen

b) om hänsyn tas till ordningen?

1156 En person är ledig två dagar varje vecka.

Hur många olika sätt finns det att ordna ledigheten om han inte vill vara ledig både lördag och söndag?

1157 Lasse ska göra en bukett. Han har 15 olika blommor att välja bland.

På hur många sätt kan han välja blommor till buketten om den ska bestå av

a) 10 blommor

b) 5 blommor

c) Kommentera resultatet i a) och b).

1158 Ett test består av två delar med totalt 24 frågor. Del A innehåller 8 frågor och del B 16 frågor. För att få godkänt krävs att totalt minst 10 frågor är rätt, varav minst 4 rätt på del A.

På hur många sätt kan man få precis 10 rätt och bli godkänd?

1159 Lena ska bjuda 7 personer till en fest. Hon väljer bland 12 kompisar, där Nils och Erik ingår. Hon vet att det inte är lyckat att bjuda dem på samma fest.

På hur många sätt kan hon göra sitt val om hon tar hänsyn till detta?

1160 På Manhattan i New York är gatorna i kvarteren parallella. Anta att du ska gå från korsningen 5th Avenue och 35th Street till Chrysler building.

På hur många sätt kan du då gå den kortaste vägen?

1161 Ett innebandylag med 23 ungdomar och tre tränare har fått tio biljetter till en A-lagsmatch. De undrar på hur många sätt de kan lotta ut de tio biljetterna om minst en tränare ska med.

Erik föreslår beräkningen: C(3, 1) ∙ C(25, 9)

Filip föreslår beräkningen: C(26, 10) – C(23, 10).

Förklara hur Erik respektive Filip kan ha tänkt. Har någon av dem tänkt rätt?

1162 Linn bakar tio cupcakes som kan dekoreras på fyra olika sätt.

På hur många sätt kan dekorationerna fördelas?

5th

Ave

nue

Mad

ison

Ave

nue

Par

k Ave

nue

Lexi

ngto

n Ave

nue

3rd

Ave

nue

42nd Street

41st Street

40th Street

39th Street

38th Street

37th Street

36th Street

35th Street

34th Street

Chrysler building

You

M5000 Kurs 5 Bla.indb 22 2013-07-11 15:35

1.1 KOMBINATORIK 23

Kommer du ihåg sannolikhetslära?Vi repeterar och definierar några begrepp inom sannolikhetsläran.

utfall Ett utfall är ett möjligt resultat av ett slumpmässigt försök.

händelse En mängd av de möjliga utfallen kallas en händelse.

utfallsrum Mängden av alla utfall som är möjliga i ett försök kallas utfallsrum.

slumpförsök Ett slumpförsök är en händelse som har minst två möjliga utfall och där det i förväg är omöjligt att säga vilket som kommer att inträffa.

sannolikhet Sannolikheten för en händelse är det tal mot vilket den relativa frekvensen närmar sig då antalet försök växer. Sannolikheten för en händelse H skrivs P ( H ) och 0 ≤ P ( H ) ≤ 1. I situationer där man beskriver chanser och risker anges sannolikheten ofta i procent.

likformig Om ett försök har en likformig sannolikhetsfördelning betyder detta att alla sannolikhetsfördelning utfallen som är möjliga har samma sannolikhet. I ett sådant försök kan

sannolikheten för en händelse H beräknas exakt

P (H) = antalet gynnsamma utfallantalet möjliga utfall

Exempel 1

Vi tar på måfå en kula ur skålen. Hur stor är sannolikheten för händelsen att kulan är svart?

Utfallsrummet är de 10 kulorna i skålen, dvs antalet möjliga utfall är 10.De gynsamma utfallen är händelsen att kulan är svart, dvs antalet gynsamma utfall är 7.

P (svart) = 710

= 0,7

Antag att vi vill ta flera kulor ur skålen, utan att lägga tillbaka någon kula.Hur ska vi tänka då?

Denna nya situation är ett exempel på en beroende händelse. Sannolikheten för de olika utfallen när vi tar den andra kulan beror på utfallet då vi tog den första kulan.

beroende Händelser där den ena händelsens sannolikhet påverkas av om den händelser andra händelsen har inträffat eller inte kallas beroende händelser.

M5000 Kurs 5 Bla.indb 23 2013-07-11 15:35

24 1.1 KOMBINATORIK

Exempel 2 Vi tar på måfå två kulor ur skålen.

Hur stor är sannolikheten att vi får en svart och en blå kula?

Vi redovisar flerstegsförsöket i ett träddiagram.

Två grenar i diagrammet ger en svart och en blå kula. I ett träddiagram är sannolikheten för en gren produkten av sannolikheterna längs grenen.P (en svart och en blå) = P (svart, blå) + P (blå, svart) =

710

∙ 39

+ 310

∙ 79

= 730

+ 730

= 1430

= 715

Vid problemlösning kan det ibland vara en bra metod att beräkna sannolikheten för komplementhändelsen till den efterfrågade händelsen.

komplement- Komplementhändelsen (med avseende på en given händelse) är mängden händelse av de utfall som inte ingår i den givna.

Exempel 3 Vi tar på måfå fyra kulor ur skålen.

Hur stor är sannolikheten att åtminstone en kula är blå?

Händelsen A: ”åtminstone en blå kula”, består av utfallen en blå, två blå och tre blå kulor. Här är det enklast att beräkna P ( A) = 1 – P (B)där B är komplementhändelsen ”alla fyra kulorna är svarta”.

P (B) = P (fyra svarta) = P (svart, svart, svart, svart) = 710

∙ 69

∙ 58

∙ 47

= 16

P ( A) = P (åtminstonde en blå) = 1 – P (B) = 1 – 16

= 56

kula 1

kula 2

310

710

29

79

39

69

M5000 Kurs 5 Bla.indb 24 2013-07-11 15:35

1.1 KOMBINATORIK 25

1163 Ett lyckohjul har omkretsen indelad i 64 lika stora delar, numrerade från 1 till 64.

Hur stor är sannolikheten att vinna om man får en vinst för alla tal delbara med

a) 5 b) 7 c) 13 ?

1164 Erik skjuter mot ett mål. Sannolikheten för träff i första skottet är 0,6.

Vid träff i första skottet blir Erik lugn och sannolikheten för träff i andra skottet är därför 0,7. Vid bom i första skottet blir Erik nervös och sannolikheten för träff i andra skottet är därför 0,5.

Rita ett träddiagram och beräkna sannolikheten att Erik med två skott

a) träffar båda

b) missar båda

c) får en träff.

1165 Du tar på måfå två kulor ur skålen. Hur stor är sannolikheten att

a) den andra kulan är röd om den första var röd?

b) du får två röda kulor?

c) du får en kula av varje färg?

1166 Antag att du spelar kort med en vanlig kortlek. När en av dina motspelare drar ett kort ur leken råkar du se att kortet är rött och att det är en knekt, en dam eller en kung.

Hur bedömer du sannolikheten att kortet är hjärter dam?

1167 En trädgårdsmästare sätter 120 tulpanlökar. Av dessa ska 70 ge röda tulpaner och ha grobarheten 90 %. Resten av lökarna ska ge gula tulpaner med grobarheten 80 %.

Vad är sannolikheten att en

a) slumpvis vald lök gror

b) lök som gror, ger en gul tulpan?

1168

Arbetslösheten i en kommun redovisas i tabellen.

Vad är sannolikheten att en slumpvis vald invånare är arbetslös?

1169 Jenny tar slumpvis fyra kulor utan återläggning ur skålen.

Beräkna sannolikheten att åtminståne en kula är

a) gul b) blå

1170 Om en äldre person får en viss bakterie-infektion är sannolikheten för dödsfall 0,10. På ett sjukhus fick tre äldre patienter denna infektion.

Vad är sannolikheten att

a) alla tre överlever

b) en av de tre avlider

c) minst en avlider?

1171 Sannolikheten att det ska regna en slumpvis vald dag i juli månad på en viss plats är 0,2.

Var ligger felet i följande slutsats?

”Sannolikheten att det ska regna två dagar i följd i juli på denna plats är 0,2 ∙ 0,2 = 0,04”.

1172

Ta på måfå en kula ur skål 1 och lägg den i skål 2. Ta sedan på måfå en kula ur skål 2 och lägg den i skål 3. Ta till slut på måfå en kula ur skål 3.

Vad är sannolikheten att denna sista kula är blå?

OmrådeAndel av invånarna

Varav arbetslösa

A 0,35 2,7 %

B 0,65 9,4 %

skål 1 skål 2 skål 3

M5000 Kurs 5 Bla.indb 25 2013-07-11 15:35

26 1.1 KOMBINATORIK

Kombinatorik och sannolikhetsläraI detta avsnitt beräknar vi antalet möjliga och antalet gynsamma utfall med hjälp av våra kunskaper i kombinatorik.

1173

På en hylla finns åtta matematikböcker, fyra blå och fyra gröna. Vi väljer på måfå fem böcker från hyllan. Vad är sannolikheten att två är blå och tre är gröna?

Bland åtta böcker kan man välja fem på ( 8 )5 sätt.

Antal möjliga utfall är ( 8 )5 = 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 · 41 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5

= 8 ∙ 7 = 56

Bland fyra blå böcker kan man välja två på ( 4 )2 sätt.

Bland fyra gröna böcker kan man välja tre på ( 4 )3 sätt.

Antal gynsamma utfall är ( 4 )2 ∙ ( 4 )3 = 4 ∙ 31 ∙ 2

∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 1 ∙ 2 ∙ 3

= 24

Sannolikheten = antal gynnsamma utfallantal möjliga utfall

P (2 blå och 3 gröna) = 2456

= 37

Svar: Sannolikheten för två blå och tre gröna böcker är 3/7.

M5000 Kurs 5 Bla.indb 26 2013-07-11 15:35

1.1 KOMBINATORIK 27

1174 I en påse finns det nio burkar läsk, fem med apelsinsmak och fyra med colasmak.

A C A A C C A C A

Du tar på måfå upp sex burkar ur påsen.

Beräkna sannolikheten att du får

a) fyra med apelsinsmak och två med colasmak

b) tre burkar av varje.

1175 Ur en vanlig kortlek tar Anja 18 svarta kort och lägger i en hög. Sedan tar hon två röda kort och lägger in i högen. Efter att ha blandat korten tar Anja upp två kort ur högen.

Hur stor är sannolikheten att hon får upp just de båda röda korten?

1176 I sin plånbok har Emil 4 sedlar med valören 500 kr och 5 sedlar med valören 100 kr.

När Emil ska betala 1 300 kr tar han på måfå upp 5 sedlar ur plånboken.

Visa att Emil har nästan 50 % chans att ta upp rätt belopp.

1177 På ett fat ligger 21 vita, 32 rosa och 17 gröna godisbilar. Du tar slumpvis 3 bilar från fatet.


a) alla 3 är rosa

b) 2 är rosa och en är vit

c) alla 3 har olika färg

d) minst en är vit?

1178 Effekten av en ny medicin undersöktes i 10 olika tester. I 6 av testerna ansågs medicinen ha en positiv effekt. Antag att man slumpvis väljer ut 3 av testerna.


a) alla visar positiv effekt

b) 2 visar positiv effekt

c) minst ett visar positiv effekt?

1179 En Lottorad består av 7 valda nummer av 35 möjliga. Hur stor (eller liten?) är chansen att en lottorad har

a) 7 rätt b) 6 rätt c) 3 rätt?

1180 Elevrådet på en skola består av fyra pojkar och fem flickor. Vid ett tillfälle valde man genom lottning ut två elevrådsmedlemmar som skulle diskutera en fråga med skolledningen.

När en pojke och en flicka från elevrådet kom till mötet sa rektorn:

”Vilken tur att det blev en pojke och en flicka vid lottningen.”

Eleverna svarade då:

”Det var inte bara tur, det var det mest sannolika.”

Undersök om eleverna hade rätt.

1181 I var och en av fem burar finns en svart och två vita möss. Man tar slumpvis en mus från varje bur.

Beräkna sannolikheten för att minst en av dem är

a) svart b) vit

1182 En pokerhand innehåller fem kort från en vanlig kortlek med 52 kort.

Vad är sannolikheten att en pokerhand har

a) minst ett ess

b) två par (t ex två ess och två sjuor)

c) fyrtal?

M5000 Kurs 5 Bla.indb 27 2013-07-11 15:35

Tema

Poker och YatzyPoker spelas med en vanlig kortlek som har 52 kort. I kortleken finns 4 färger (hjärter, ruter, spader och klöver) och varje färg finns i 13 valörer.En pokerhand består av fem kort.

Exempel 1 Två par i poker betyder 2 kort av en valör och 2 kort av en annan valör, samt 1 kort av en tredje valör. Hur många pokerhänder med två par finns det?

Först ska vi välja 2 valörer av 13. Det kan göras på ( 13 )2 sätt.

Sedan ska vi välja 2 färger av 4 för den ena valören.

Det kan göras på ( 4 )2sätt.

Därefter ska vi välja 2 färger av 4 för den andra valören.

Det kan göras på ( 4 )2sätt.

Det sista kortet kan väljas på 4 ∙ 11 = 44 olika sätt eftersom 2 valörer inte får väljas.

Antalet pokerhänder med två par är ( 13 ) 2 ∙ ( 4 )2

∙ ( 4 )2∙ 44 = 123 552

Yatzy är ett tärningsspel, där man kastar fem vanliga tärningar. I spelet får man kasta tre gånger, men vi ska undersöka utfallen vid ett kast. Vi kallar det ett yatzykast.

Ett par i Yatzy betyder 2 tärningar med samma valör (samma antal prickar) och 3 tärningar med andra valörer. De tre tärningar som inte ingår i paret måste ha olika valörer, annars får man ett två par eller en kåk.Hur många yatzykast med ett par finns det?

Först ska vi välja 1 valör av 6. Det kan göras på 6 sätt.

Sen ska vi välja 2 tärningar av 5. Det kan göras på ( 5 )2sätt.

De tre sista tärningarna måste ha olika valörer. De kan väljas på P(5, 3) sätt.

Antalet yatzykast med ett par är 6 ∙ ( 5 )2∙ P(5,3) = 3 600.

Exempel 2

28 1.1 KOMBINATORIK

M5000 Kurs 5 Bla.indb 28 2013-07-11 15:35

I spelstaden Las Vegas spelas det mycket poker, kanske också Yatzy.I spelstaden Las Vegas spelas det mycket poker, kanske också Yatzy.

4 Hur många pokerhänder har kåk, dvs 3 kort i en valör och 2 kort i en annan valör?

5 Beräkna sannolikheten att du i en pokerhand får

a) ett par d) fyrtal g) färg

b) två par e) stege i färg h) kåk.

c) triss f) stege

Stämmer sannolikheterna med händernas rangordning i poker?

6 Hur många utfall finns det vid ett yatzykast?

7 Hur många av utfallen vid ett yatzykast har

a) fyrtal, dvs 4 tärningar visar lika

b) tretal, dvs 3 tärningar visar lika

c) två par, dvs 2 tärningar visar en valör och 2 tärningar en annan valör och den sista tärningen en tredje valör

d) kåk, dvs 3 tärningar i en valör och 2 tärningar i en annan valör

e) stege, dvs 5 tärningar som visar 1 – 5 eller 5 tärningar som visar 2 – 6

f) yatzy, dvs alla tärningarna visar lika?

8 Hur stor är sannolikheten att du i ett yatzykast fåra) ett par d) fyrtal g) yatzy?

b) två par e) kåk

c) tretal f) stege

När man beräknar antalet pokerhänder/yatzykast med t ex ett par, ska de händer/kast som är bättre (t ex två par) inte inkluderas i antalet.

1 Hur många olika pokerhänder finns det?

2 Hur många pokerhänder har

a) ett par, dvs 2 kort i en valör och 3 kort av andra valörer

b) tretal (triss), dvs 3 kort i en valör och 2 kort i andra valörer

c) fyrtal, dvs 4 kort i en valör och 1 kort i en annan valör.

3 Hur många pokerhänder har

a) stege i färg (straight flush), dvs 5 kort i rad i samma färg, där ess kan vara både 1 och 14

b) stege, dvs 5 kort i rad, men inte i samma färg

c) färg, dvs 5 kort i samma färg?

1.1 KOMBINATORIK 29

M5000 Kurs 5 Bla.indb 29 2013-07-11 15:35

30 1.1 KOMBINATORIK

Binomialsatsen

binom Ett binom är ett polynom som består av endast två termer.

Vi ska studera utvecklingar av ett binom a + b upphöjt till ett naturligt tal n. Utvecklingarna av (a + b)n för n = 0, 1, 2, 3 och 4 visas nedan. Resultatet på en rad får vi genom att multiplicera föregående rad med (a + b).

(a + b)0 = 1(a + b)1 = a + b(a + b)2 = a2 +2ab + b2

(a + b)3 = a3 +3a2 b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4

Du kanske ser ett mönster? Hur bör t ex utvecklingen av (a + b)5 se ut? Enligt utvecklingarna ovan bör (a + b)5

◗ innehålla 6 termer◗ börja med a5 och sluta med b5

◗ ha termer där summan av exponenterna är 5.

(a + b)5 = a5 +__ a4 b + __a3 b2 + __a2 b3 + __ab4 +__ b5

Hur får vi de utelämnade koefficienterna? Vi kan räkna hur många gånger de olika termerna (före förenkling) förekommer i

(a + b)5 = (a + b) ∙ (a + b) ∙ (a + b) ∙ (a + b) ∙ (a + b)

◗ Termen a5 får vi när vi multiplicerar ett a från varje parentes. Det kan bara ske på ett sätt.

◗ Termen a4 b får vi när vi multiplicerar fyra a och ett b från de fem parenteserna. Det kan göras på fem sätt: aaaab aaaba aabaa abaaa baaaa. Att välja fyra a från fem parenteser kan göras på lika många sätt som man kan välja ett b från fem parenteser.

Det kan göras på ( 5 )4= ( 5 )1

= 5 sätt.

◗ Termen a3b2 får vi när vi multiplicerar tre a och två b från de fem parenteserna.

Det kan göras på ( 5 )3= ( 5 )2

= 10 sätt.

M5000 Kurs 5 Bla.indb 30 2013-07-11 15:35

1.1 KOMBINATORIK 31

Koefficienterna till utvecklingen ges av antalet sätt att välja b.

(a + b)5 = ( 5 )0a5 + ( 5 )1 a4 b + ( 5 )2

a3 b2 + ( 5 )3a2 b3 + ( 5 )4

ab4 + ( 5 )5b5

(a + b)5 = a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5

Utvecklingen av (a + b)n redovisas i binomialsatsen.

Binomialsatsen

Koefficienterna ( n )0 , ( n )1 osv i utvecklingen kallas binomialkoefficienter.

binomialkoefficient En binomialkoefficient är ett tal av formen ( n )k = n!k!(n – k)!

där n och k är naturliga tal och 0 ≤ k ≤ n.

För att underlätta binomialutveckligar har man samlat det enklaste Pascals triangel biniomialkoefficienterna i en tabell, som kallas Pascals triangel.

Lägg märke till att varje tal i Pascals triangel är summan av de båda närmaste talen i raden ovanför, vilket beskrivs med Pascals formel.

Pascals formel

Pascals formel kan ses som ett specialfall av additionsprincipen:Antalet kombinationer (oordnade urval) av k föremål bland n är summan av de kombinationer där ett visst föremål ingår och de kombinationer där föremålet inte ingår.

(a + b)n = ( n )0 an + ( n )1 an – 1b + ... + ( n )k an – kb k + ... + ( n )n b n

( n )k = ( n − 1 )k + ( n − 1 )k − 1 1 ≤ k ≤ n − 1

( 1 )1

( 0 )0

( 2 )2

( 3 )3

( 4 )4

( 5 )5

( 1 )0

( 2 )1

( 3 )2

( 4 )3

( 5 )4

( 2 )0

( 3 )1

( 4 )2

( 5 )3

( 3 )0

( 4 )1

( 5 )2

( 4 )0

( 5 )1( 5 )0

1

11

121

1331

144 61

1551 10 10

M5000 Kurs 5 Bla.indb 31 2013-07-11 15:35

32 1.1 KOMBINATORIK32 1.1 KOMBINATORIK

Vi bevisar Pascals formel ( n )k = ( n – 1 )k

+ ( n – 1 )k – 1 1 ≤ k ≤ n – 1

genom att utgå från högerledet HL = ( n – 1 )k + ( n – 1 )k – 1

=

= (n – 1)!k!(n – 1 – k)!

+ (n – 1)!(k – 1)!(n – 1 – (k – 1))!

= (n – 1)!k!(n – 1 – k)!

+ (n – 1)!(k – 1)!(n – k)!

=

= (n – k)(n – 1)!k!(n – k – 1!(n – k))

+ k ∙ (n – 1)!(k – 1)! ∙ k(n – k)!

= (n – k)(n – 1)!k!(n – k)!

+ k(n – 1)!k!(n – k)!

=

= n(n – 1)! – k(n – 1)! + k(n – 1)!k!(n – k)!

= n(n – 1)!k!(n – k)!

= n!k!(n – k)!

= ( n )k = VL

Historik

Pascals triangel

Blaise Pascal (1623 – 1662) var en fransk matematiker, fysiker och filosof. I matematiska skrifter beskrev han teorier om bl a geometri, sannolikhetslära, talföljder och serier. Pascal konstruerade även en räknemaskin och gjorde grundläggande fysikaliska försök där han mätte tryck med kvicksilverbarometrar. Hans namn Pascal står som måttenhet för tryck.

Triangelformade tabeller över binomial-koefficinterna var kända inom indisk, arabisk, persisk och kinesisk matematik för över tusen år sedan. Blaise Pascal var dock den förste som undersökte och bevisade dess egenskaper. Tabellen brukar därför kallas Pascals triangel.

M5000 Kurs 5 Bla.indb 32 2013-07-11 15:35

1.1 KOMBINATORIK 33

1183

1184

1185

Bestäm de tre första termerna i utvecklingen av (x + y)6 med hjälp av a) Pascals triangel b) binomialsatsen

a) Koefficienterna för utvecklingen är enligt Pascals triangel 1 6 15 20 15 6 1 (x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + …..

b) Första termen = ( 6 )0 x6 = x6

Andra termen = ( 6 )1 x5y = 6x5y

Tredje termen = ( 6 )2 x4y2 = 6 ∙ 51 ∙ 2

x4y2 = 15x4y2

Bestäm med binomialsatsen de tre första termerna i utvecklingen av (a – 2b)12

(a – 2b)12 = (a + (–2b))12

Första termen = a12

Andra termen = ( 12 )1 a11(–2b)1 = 12a11(–2b) = –24a11b

Tredje termen = ( 12 )2 a10(–2b)2 = 66a10 ∙ 4b2 = 264a10b2

Bland de fem bokstäverna A, B, C, D och E ska olika kombinationer med fyra olika bokstäver väljas ut.

Detta kan ske på ( 5 )4 = 5 sätt.

a) I hur många av dessa urval ingår bokstaven A?b) I hur många urval saknas bokstaven A?

a) Tillsammans med A ska tre av de fyra övriga bokstäverna

väljas. Antal kombinationer där A ingår = ( 4 )3 = 4.

b) Saknas A måste de övriga fyra bokstäverna ingå.

Antal kombinationer där A saknas = ( 4 )4 = 1.

Vi ser att resultatet stämmer med Pascals formel:

( 5 )4 = ( 4 )4 + ( 4 )3

M5000 Kurs 5 Bla.indb 33 2013-07-11 15:35

34 1.1 KOMBINATORIK


a) ( 10 ) 2 b) ( 10 ) 0

c) ( 10 ) 1 d) ( 10 ) 9

1187 Utveckla med hjälp av Pascals triangel

a) (x + y)3 b) (x + y)4

1188 Bestäm de tre första termerna i utvecklingen av

a) (x + 3y)5 b) (x – 3y)5

1189 Bestäm tredje och fjärde termen i utvecklingen av

a) (x – y)7 b) (2a + 3b)10

1190 Martin har en anställning där han arbetar tre dagar varje vecka.

a) På hur många sätt kan tre av veckans sju dagar väljas ut?

b) I hur många av urvalen ingår lördag?

c) I hur många av urvalen saknas lördag?

1191 EU består av 27 medlemsländer. Till ett möte ska en representant från fem olika medlemsländer bjudas in.

a) På hur många sätt kan de fem länderna väljas ut?

b) I hur många urval ingår Sverige?

c) I hur många urval saknas Sverige?

1192 Rad n = 8 i Pascals triangel ser ut så här:

1 8 28 56 70 56 28 8 1

a) Hur ser nästa rad i Pascals triangel ut?

b) I utvecklingen av (a + b)10 finns två termer med koefficienten 120. Vilka termer är det?

1193 Bestäm koefficienten för

a) x 4 y7 i utvecklingen av (x + y)11

b) x 4 y 3 i utvecklingen av (x – 3y)7

1194 Undersök om termen 80x3y2 ingår i utvecklingen av följande uttryck.

a) (2x – y)5 b) (2x + y)5 c) (x + 2y)5

1195 Visa att

a) n ∙ (n – 1)! = n!

b) ( n ) 3= ( n – 1 ) 3

+ ( n – 1 ) 2

1196 Formulera en uppgift med kombinatorik som handlar om årets månader i en vardaglig situation och som uppfyller likheten

( 12 ) 4 = ( 11 ) 4

+ ( 11 ) 3

1197 Visa att

( k ) k+ ( k + 1 ) k

+ ... + ( n ) k= ( n + 1 ) k + 1

Frankrike

Tysk-land

DanmarkIrland

Sverige

Finland

Storbritannien

PortugalSpanien

0 500 km

Italien

Malta

Grekland

Cypern

ÖsterrikeLuxemburg

Belgien

Nederländerna Polen

Tjeckien Slovakien

SlovenienRumänien

Ungern

Estland

Lettland

Litauen

Bulgarien

N

S

V Ö

M5000 Kurs 5 Bla.indb 34 2013-07-11 15:35

1.2 MÄNGDLÄRA 35

1.2 Mängdlära

Mängder – GrundbegreppNär vi i dagligt tal säger ”en grupp demonstranter”, ”heltal”, ”spelarna i ett fotbollslag” eller ”trianglar”, så är det olika exempel på vad som i matematiken kallas mängder.

mängd En mängd är en uppsättning objekt som kallas mängdens element element. Objekten kan vara konkreta föremål eller abstrakta begrepp.

En mängd får inte innehålla samma element flera gånger.

Mängder brukar anges med stora bokstäver och elementen med små. tillhör, ∈ Att ett element a tillhör en mängd M skrivs a ∈ M. tillhör inte, ∉ Att ett element b inte tillhör mängden M skrivs b ∉ M.

En mängd i matematiken måste vara så väldefinierad att det är möjligt att avgöra om ett element tillhör mängden eller inte.

Exempel 1 Mängder kan beskrivas på flera olika sätt.Ett sätt är att beskriva mängden med en bild eller i vanlig text t ex:”P är mängden av alla heltal större än 3 och mindre än 9.”

Ett annat sätt att beskriva mängden är genom uppräkning inom mängdklamrar: P = {4, 5, 6, 7, 8}Det spelar ingen roll i vilken ordning elementen skrivs.

Ett tredje sätt är en beskrivning med mängdbyggaren, t ex P = {n|n är ett heltal och 3 < n < 9}som utläses ”P är mängden av alla heltal n större än 3 och mindre än 9”.

En mängd som innehåller alla element som kan komma ifråga i en viss grundmängd situation kallas en grundmängd. Om vi t ex arbetar med heltal, så är det

lämpligt att som grundmängd välja de hela talen Z. Med hjälp av en grundmängd kan vi uttrycka oss mer matematiskt när vi definierar nya mängder, tex mängden P i exempel 1 kan skrivas P = {n|n ∈ Z, 3 < n < 9}

tom mängd Den mängd som inte innehåller några element kallas den tomma mängden och betecknas ∅.

Mängden D = {x|x2 = 5 och x ∈ Z} saknar element, eftersom det inte finns någon heltalslösning till ekvationen x2 = 5. Vi kan skriva D = ∅.

P

5

684

7

M5000 Kurs 5 Bla.indb 35 2013-07-11 15:35

36 1.2 MÄNGDLÄRA

Exempel 2 Låt A = {2, 5, 7}, B = {5, 7, 2} och C = {2, 5}

Då gäller attA = B eftersom elementen får räknas upp i vilken ordning som helst.

delmängd C ⊆ A vilket utläses ”C är en delmängd av A” (alla element i C finns i A).C ⊂ A vilket utläses ”C är en äkta delmängd av A” (alla element i C finns i A, men mängderna är inte lika).

Exempel 3 Vilka är delmängderna till mängden M = {1, 2, 3}?

Antalet element i en delmängd till M kan vara 0, 1, 2 eller 3.

0 element kan väljas på ( 3 )0sätt. Detta ger delmängden ∅.

1 element kan väljas på ( 3 )1sätt. Delmängderna är {1}, {2}, {3}.

2 element kan väljas på ( 3 )2sätt. Delmängderna är {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.

3 element kan väljas på ( 3 )3sätt. Delmängden är {1, 2, 3} .

Antalet delmängder är 1 + 3 + 3 + 1 = 8

Att antalet delmängder är 8 kan vi även inse på följande sätt:För varje element i M finns två möjligheter. Det tillhör eller det tillhör inte någon delmängd. Eftersom M har 3 element är antalet delmängder 23 = 8.

Antal delmängder

Observera att varje mängd är en delmängd av sig själv och att den tomma mängden ∅ är en delmängd till varje mängd.

Vissa talmängder som används ofta har standardbeteckningar.

De naturliga talen N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

De hela talen Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

De rationella talen Q = {Alla tal a /b, där a och b ∈ Z och b ≠ 0}

De reella talen R = {Alla rationella och irrationella tal}

De komplexa talen C = {Alla tal a + ib där a och b ∈ R och i är den imaginära enheten}

En mängd med n element har totalt 2n delmängder.

M5000 Kurs 5 Bla.indb 36 2013-07-11 15:35

1.2 MÄNGDLÄRA 37

Observera att de naturliga talen N ingår som en delmängd i de hela talen Z och att Z ingår som en delmängd av Q osv. De reella talen R ingår som en delmängd i de komplexa talen C.

Vi kan alltså skrivaN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

1201

N

0 1

7 Z –1

–13

–8

Q

7/9 2

–2/3

R C

π

2i

Låt A = {x|x är ett positivt heltal och x < 5}

a) Räkna upp elementen i A.b) Hur många delmängder med två element har A? Räkna upp dem.c) Hur många delmängder har A totalt?

a) De positiva heltalen är 1, 2, 3, 4, 5, 6… Vi ska välja de heltal som är mindre än 5. A = {1, 2, 3, 4}

b) Vi ska (utan hänsyn till ordning) välja 2 element bland 4.

Antalet kombinationer är ( 4 )2 = 4 ∙ 31 ∙ 2

= 6.

Delmängderna är {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3,}, {2, 4}, {3, 4}.

c) Det totala antalet delmängder är 24 = 16.

1202 Vilka beskrivningar ger väldefinierade mängder?

A Alla månader med 31 dagar.

B Alla rika personer i Sverige.

C Alla heltal större än 12.

D Alla rektanglar med omkretsen 24 cm.

1203 Sant eller falskt? Motivera.

a) 5/6 ∈ R.b) –5/6 ∈ Z.c) Både 5 och 5i ingår i mängden C.d) √8 ingår i mängderna R, Q, Z och N.

M5000 Kurs 5 Bla.indb 37 2013-07-11 15:35

38 1.2 MÄNGDLÄRA

1204 Sätt symbolen ∈ eller ∉ istället för . Motivera.

a) 7 {2, 5, 9, 17}

b) –5 {x|x ∈ Z}

c) 91 {x|x är ett primtal}

d) 6 {x|x är en faktor i 128}

e) 36 {3, 6, 9, 12, 15, ...}

f) 0 ∅

1205 Beskriv mängden med ord

a) A = {1, 4, 9, 16, 25}

b) B = {a, b, c, d, e, f}

c) C = {Stockholm, Malmö, Göteborg}

d) D = {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49}

1206 Räkna upp elementen i mängden

a) alla positiva, udda heltal mindre än 12

b) de tre största primtalen mindre än 20

c) {n|n ∈ Z, – 4 < n < 4}

d) {x|(x – 2)(2x – 1)(2x + 1) = 0}

e) alla tvåsiffriga tal med siffersumman åtta.

1207 Skriv med mängdbyggaren {x|...}

a)

b) A = {5, 10, 15, 20, 25, ...}

1208 Låt M = {Carl, David, Eva, Fanny}

Hur många delmängder till M har

a) 3 element b) 2 element?

1209 Skriv mängden som en lista inom mängdklamrar.

a) Mängden A består av alla jämna heltal större än 100.

b) Mängden B består av alla lösningar till ekvationen x3 = 4x.

B

1 2 3 4 5 6

1210 Hur många delmängder har

a) {a, b, c, d, e,}

b) {x|x ∈ N, 2 < x < 10}

1211 Två mängder är givna

A = {Alla positiva, udda heltal mindre än 10}

B = {alla positiva, jämna heltal mindre än 10}

Är det sant att A har dubbelt så många delmängder som B? Motivera ditt svar.

1212 Hur många mängder X uppfyller

a) X ⊆ {a, b, c}

b) {1, 2} ⊆ X ⊆{1, 2, 3, 4, 5, 6}

1213 En mängd innehåller n element.

För vilket värde på n är antalet delmängder med 4 element 6 gånger så stort som antalet delmängder med 2 element?

1214 a) Beräkna summan av talen på några olika rader i Pascals triangel. Ser du något mönster?

b) Visa att summan av talen på rad n i Pascals triangel är

( n )0+ ( n )1

+ ... + ( n )n= 2n

M5000 Kurs 5 Bla.indb 38 2013-07-11 15:35

1.2 MÄNGDLÄRA 39

Mängdoperatorer

Vi visar fyra viktiga och vanliga sätt att utföra operationer på mängder.

1. Vi bildar en mängd av alla element som ingår både i A och i B. snittet Den nya mängden kallas snittet eller skärningsmängden av A och B.

Vi skriver A ∩ B = {2, 8}

2. Vi bildar en mängd av alla element som ingår i A eller B eller i båda. unionen Den nya mängden kallas unionen eller föreningsmängden av A och B.

Vi skriver A ∪ B = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Lägg märke till att elementen 2 och 8, som finns i båda mängderna, inte upprepas och att vi får skriva talen i vilken ordning vi vill.

3. Vi bildar en mängd av alla element som ingår i A men inte i B. mängddifferens Den nya mängden kallas mängddifferensen av A och B.

Vi skriver A \ B = {4, 6, 9} Lägg märke till att B \ A = {5, 7}

4. Vi låter grundmängden G = {x|x är ett positivt heltal, x < 13}. Vi bildar en mängd av alla element som ingår i G men inte i A.

komplementet Vi kallar den nya mängden för komplementet till A med avseende på G. Vi skriver A = G \ A = {1, 3, 5, 7, 10, 11, 12} I många fall är grundmängden så självklar att den inte behöver skrivas ut, t ex när det framgår av sammanhanget att grundmängden är N eller Z.

Sammanfattning

A

2 6

8

4

9

A = {2, 4, 6, 8, 9} B = {2, 5, 7, 8}

B

2

78

5

1. Snittet A ∩ B = {x |x ∈ A och x ∈ B}

2. Unionen A ∪ B = {x |x ∈ A och/eller x ∈ B}

3. Mängddifferensen A \ B = {x |x ∈ A och x ∉ B}

4. Komplementmängden till A är A = {x |x ∈ G och x ∉ A}

M5000 Kurs 5 Bla.indb 39 2013-07-11 15:35

40 1.2 MÄNGDLÄRA

1215

1216 Låt A = {a, b, c, d}, B = {b, d, f, h} och C = {a, c, e}. Bestäm mängderna

a) A ∩ B c) A ∪ C e) A \ B

b) B ∩ C d) C ∪ C f) B \ A

1217 Låt grundmängden G = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ange följande mängder om A = {0, 2, 4, 6} och B = {2, 3, 5}.

a) A ∩ B c) (A ∩ B)

b) A ∪ B d) A ∩ B

1218 Bestäm komplementet till A med avseende på grundmängden G = {1, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 15, 21, 45}

a) A = {3, 7, 15, 21}

b) A = {x|x ∈ G och är ett primtal}

c) A = {x|x ∈ G och x är delbart med 3}

d) A = {x|x ∈ G och 3x ∈ G}

1219 Låt grundmängden vara postiva heltal samt

P = {x|x primtal}

A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}

T = {3, 6, 9, 12, 15, ...}

Ange mängderna

a) A c) P ∩ A

b) P ∩ T d) A ∩ T

1220 Låt A = {likbenta trianglar}, B = {liksidiga trianglar} C = {rätvinkliga trianglar}

Är det sant att C ⊂ A\ B? Motivera.

Låt A = {3, 5, 7, 9} och B = {2, 4, 5, 7, 8} och bestäm elementen i mängden S = (A ∪ B) \( A ∩ B).

A ∪ B= {2, 3, 4, 5, 7, 8, 9} och A ∩ B= {5, 7}S = (A ∪ B) \ (A ∩ B) = {alla element i A ∪ B som inte ingår i A ∩ B}S = {2, 3, 4, 8, 9}

1221 S = {x|x är en svensk medborgare}

T = {x|x är en tjej}

G = {x|x går i gymnasiet}

A = {x|x är 18 år}

Beskriv mängden i ord

a) S ∩ T ∩ G ∩ A d) A \ T

b) T ∩ (G ∪ A) e) S ∪ (T ∩ A)

c) T ∩ G ∩ A f) T ∪ G ∪ A

1222 Vad blir mängden P ∩ (Q ∪ R) lika med, om

a) P ⊂ R

b) R = ∅c) Q = R?

1223 Sätt A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {1, 3, 5, 7, 9, 11} och C = {2, 4, 6, 8} samt bestäm mängderna

a) (A ∩ B) ∪ C

b) (B ∪ C) ∩ (A ∪ C)

c) (A ∩ B) ∪ (C ∩ ∅)

1224 Låt A och B vara delmängder av grund-mängden G = {1, 2, 3, ..., 9, 10}. Med |A| menar vi antalet element i mängden A.

Undersök om det finns mängder A och B sådana att

a) | A| = 4, |B| = 6 och | A ∩ B| = 3

b) | A| = 4, |B| = 5 och | A ∪ B| = 5

c) | A| = 7, |B| = 5 och | A ∩ B| = 1

d) | A| = 7, |B| = 5 och | A ∪ B| = 4

M5000 Kurs 5 Bla.indb 40 2013-07-11 15:35

1.2 MÄNGDLÄRA 41

VenndiagramSambandet mellan två eller tre mängder kan tydligt visas i ett sk Venndiagram. För fler än tre mängder blir diagrammet svårläst. Den brittiske logikern John Venn (1834 – 1923) har gett namn åt diagrammet.

Exempel 1 Figuren visar Grundmängden G = {månghörningar}Delmängden A = {trianglar}Delmängden B = {rektanglar}.

Mängderna A och B har inget gemensamt element och kallas disjunkta mängder disjunkta.

I Venndiagrammet ser vi att mängderna inte överlappar varandra. På mängdlärans språk kan vi säga att snittet är tomt och skriva A ∩ B = ∅.

Exempel 2 Figuren visar Grundmängden G = {positiva heltal}Delmängden A = {ensiffriga tal}Delmängden B = {primtal}.

Mängderna A och B har gemensamma element.

I Venndiagrammet ser vi att mängderna överlappar varandra. Den färgade delen är snittmängden A ∩ B. A ∩ B = {ensiffriga primtal} = {2, 3, 5, 7}.

De vanligaste mängdoperationerna visas i Venndiagram så här:

A BG

A BG

A B A B

A ∩ B A ∪ B

A A B

A A \ B

M5000 Kurs 5 Bla.indb 41 2013-07-11 15:35

Ibland kan vi använda Venndiagram för att svara på frågan ”Hur många?”

Exempel 3 I ett basketlag med 15 spelare kan 11 spela anfall och 8 kan spela försvar. Hur många kan spela både anfall och försvar?A = {alla som kan spela anfall}B = {alla som kan spela försvar}

antal element, IM I För antalet element i mängden M inför vi beteckningen |M|.Då är | A| = 11, |B| = 8 och | A ∪ B| = 15

Vi vet att mängderna inte är disjunkta eftersom | A| + |B| >15 Mängderna A och B måste ha gemensamma element.

Ett Venndiagram visar hur vi får | A ∩ B|.

Hela antalet = antalet i A + antalet i B – antalet som ingår i både A och B

| A ∪ B| = | A| + |B| – | A ∩ B|15 = 11 + 8 – | A ∩ B|| A ∩ B| = 4

4 spelare kan spela både anfall och försvar.

inklusion – exklusion Detta sätt att räkna kallas principen om inklusion och exklusion. Vi tar med (inkluderar) elementen i A och B men tar bort (exkluderar) de element som hör till både A och B.

A B

A ∩ B

42 1.2 MÄNGDLÄRA

M5000 Kurs 5 Bla.indb 42 2013-07-11 15:35

1.2 MÄNGDLÄRA 43

1225 Vid en gymnasieskola kan eleverna på naturvetenskaps-programmet välja att läsa en eller flera av kurserna matematik 5, kemi 2 och fysik 2. 90 elever valde matematik, 82 kemi och 80 fysik. 30 elever valde matematik och kemi, 36 matematik och fysik, 34 kemi och fysik och 14 valde alla tre kurserna.

a) Hur många valde bara matematik?b) Hur många valde bara kemi?c) Hur många valde bara fysik?d) Hur många av de 200 eleverna valde inte någon kurs?

Vi ritar ett Venndiagram med följande tre mängder:M = {alla elever som valde matematik}K = {alla elever som valde kemi}F = {alla elever som valde fysik}

Fyll i antalen i de olika områdena i figuren så här:

Steg 1: Fyll först i det antal som valde alla tre kurserna.Steg 2: Utnyttja sedan antalen i M ∩ K, M ∩ F och K ∩ F.Steg 3: Utnyttja antalen i hela M, K och F.

Steg 1 Steg 2 Steg 3

Figuren i steg 3 ger nu direkt

a) 38 elever valde bara matematik.b) 32 elever valde bara kemi.c) 24 elever valde bara fysik.d) I diagrammet i steg 3 ser vi att 38 + 16 + 14 + 22 + 24 + 20 + 32 = 166 elever valde en eller flera kurser. Antalet elever som inte valde någon av kurserna: 200 – 166 =34

KM

F

14

KM

F

1422

16

20

KM

F

1422

16

20

38 32

24

KM

F

M5000 Kurs 5 Bla.indb 43 2013-07-11 15:35

44 1.2 MÄNGDLÄRA

1226 Rita av Venndiagrammet och skugga A ∩ B.

a) c)

b) d)

1227 Rita av Venndiagrammet och skugga

a) A ∩ B ∩ C c) ( A ∪ B) ∩ C

b) ( A ∪ B ∪ C) d) ( A ∪ B ∩ C).

1228 Mängden A innehåller 15 element, mängden B 12 element och snittet A ∩ B innehåller 8 element.

Hur många element finns det i A ∪ B?

1229 Av 100 kontrollerade föremål hade 13 färgfel och 10 måttfel. 7 hade både färgfel och måttfel.

Rita ett Venndiagram. Hur många av de 100 föremålen

a) hade endast färgfel

b) hade endast ett fel

c) var felaktiga

d) var felfria?

1230 Beskriv med symboler den färgade delen av Venndiagrammet.

a) b)

A B A B

B A

BA

C

BA

C

B

C

A

BA

1231 Till en miljökonferens kom 50 gymnasie-elever. På konferensen kunde de bl a höra föredrag om vindkraft, luftföroreningar och regnskogar. Av eleverna gick 21 på föredrag om vindkraft, 22 om luftföroreningar och 19 om regnskogar. 7 gick både på vindkraft och luftföroreningar, 8 på både vindkraft och regnskogar samt 4 på både luftföroreningar och regnskogar. 3 elever gick på alla tre föredragen.

Hur många elever hörde

a) fördrag bara om regnskogar

b) inget av fördragen?

1232 I Venndiagrammet är G = {alla fyrhörningar} B = {alla rektanglar}.

Ange den mängd som bör innehålla

a) parallellogram c) parallelltrapetser

b) kvadrater d) romber.

Motivera.

1233 I figuren är grundmängden C de komplexa talen. Q är de rationella talen och Z är de hela talen.

Beskriv med mängder, mängdoperationer och symboler var i figuren talet ska placeras

a) 9/3 b) 51/3 c) –2,5

Motivera.

Z

C

Q

BA

C D

G

M5000 Kurs 5 Bla.indb 44 2013-07-11 15:35

1.2 MÄNGDLÄRA 45

Materiel: Kopia av denna sida.

1

a) Undersök vilka av figurerna du kan rita utan att lyfta pennan. Du ska börja och sluta i samma punkt och du ska passera varje sträcka precis en gång.

b) Studera de figurer du kunde rita respektive inte kunde rita utan att lyfta pennan.

Försök att formulera en regel.

Ledtråd: Räkna antalet sträckor från punkterna.

UNDERSÖKAktivitet

Kan du rita utan att lyfta pennan?

2 A

B

Undersök om du kan rita figurerna utan att lyfta pennan. Du ska börja och sluta i samma punkt och du ska passera varje punkt precis en gång, men du behöver inte passera alla sträckor.

M5000 Kurs 5 Bla.indb 45 2013-07-11 15:35

46 1.3 GRAFTEORI

1.3 Grafteori

InledningGrafteori är ett område inom den diskreta matematiken. Här har ordet graf en annan betydelse än vad vi sedan tidigare är vana vid. I diskret matematik är en graf en struktur av hörn som är sammanbundna med kanter. Grafen intill har 4 hörn och 5 kanter.

Exempel 1 Köningsbergs broarRedan för ca 250 år sedan visade Leonard Euler (1707 – 1783) lösningen på ett välkänt graf- teoretiskt problem.I Köningsberg (nuvarande Kaliningrad) fanns då sju broar mellan två öar och fastlandet.

Kan man göra en promenad där man börjar och slutar på samma ställe och på promenaden går över varje bro exakt en gång?

Vi ritar först en schematisk bild. Därefter överför vi denna till en graf där fastlandet och öarna är 4 hörn och broarna är 7 kanter.

Problemet kan nu formuleras:

Kan man rita hela grafen och passera varje kant en gång och komma tillbaka till startpunkten – utan att lyfta pennan?Euler visade redan på 1700-talet att svaret är nej!Han kom fram till att en liknande promenad endast är möjlig om grafen är sammanhängande och om det utgår ett jämnt antal kanter från varje hörn. En sådan promenad kallas en Eulerkrets eller Eulerslinga.

Eftersom grafteori är ett relativt nytt område inom matematiken kan begrepp och definitioner variera i litteraturen.

A B

C

D

A B

C

D

M5000 Kurs 5 Bla.indb 46 2013-07-11 15:35

1.3 GRAFTEORI 47

Exempel 2 Vi definierar ytterligare några begrepp.

Grafen intill har 5 hörn och 8 kanter. Kanter som korsar varandra har ingen förbindelse med varandra. Det är bara i hörnen man kan gå från en kant till en annan.

väg En väg passerar inte samma kant mer än en gång. Den är inte sluten.

T ex vägen A – B – C – D – B.

krets En krets passerar inte samma kant, mer än en gång. Den är sluten.

Tex kretsen B – C – D – B – E – A – B.

Eulerkrets För en Eulerkrets gäller att alla kanter måste passeras.

I grafen kan vi rita Eulerkretsen A – B – C – D – E – B– A.

stig En stig passerar inte samma kant eller samma hörn mer än en gång. Den är inte sluten.

T ex stigen A – B – C – E – D.

cykel En cykel passerar inte samma kant eller samma hörn mer än en gång. Den är sluten.

Tex cykeln B – C – D – E – B .

A

B

CD

E

A

B

CD

E

A

B

CD

E

A

B

CD

E

A

B

CD

E

A

B

CD

E

M5000 Kurs 5 Bla.indb 47 2013-07-11 15:36

48 1.3 GRAFTEORI

1301

1302

Vilket/vilka av begreppen väg, stig, krets eller cykel beskriver promenaden i grafen? Motivera.

a) b) c) d)

a) Väg och stig. Motivering: Den är inte sluten och passerar inte samma hörn eller kant flera gånger.

b) En väg. Motivering: Den är inte sluten och passerar samma hörn, men inte samma kant flera gånger.

Rita en Eulerkrets i grafen.

En Eulerkrets är sluten och går genom samtliga hörn. Den kan passera samma hörn flera gånger, men varje kant får bara passeras en gång.

1303 Hur många hörn och hur många kanter har grafen?

a) b)

1304 Vilket/vilka av begreppen väg, stig, krets eller cykel beskriver promenaden i grafen?

a) c)

b) d)

1305 Rita av figurerna och rita en Eulerkrets i grafen om det är möjligt.

a) c)

b) d)

c) En krets. Motivering: Den är sluten och passerar samma hörn, men inte samma kant flera gånger.

d) Krets och cykel. Motivering: Den är sluten och passerar inte samma hörn eller kant flera gånger.

M5000 Kurs 5 Bla.indb 48 2013-07-11 15:36

1.3 GRAFTEORI 49

1306 Grafen är en modell av Köningsbergs broar (se sid 46).

A B

C

D

a) Undersök om det finns någon bro man kan ta bort som gör att det finns en Eulerkrets i grafen.

b) Ge ett exempel på hur man kan lägga till en eller flera broar som gör att det finns en Eulerkrets i grafen.

c) Förklara hur man utan att rita kan avgöra om det finns en Eulerkrets i grafen.

Historik

Fyrfärgsproblemet

Hur många färger krävs för att färglägga varje tänkbar karta så att inga angränsande länder har samma färg?Två länder är angränsande om de har engemensam gräns, men inte bara i en punkt.

Många har försökt konstruera en karta som kräver fem färger. Ingen har lyckats.Sommaren år 1976 löstes fyrfärgsproblemet av två matematiker, Kenneth Appel och Wolfgang Haken, vid universitetet i Illinois, USA. Deras bevis blev en besvikelse för många matematiker. Efter 1 200 timmars datorkörning med 10 miljarder olika logiska beslut kom de fram till sitt resultat: fyra färger är tillräckligt!Deras bevis upptog nästan 200 sidor i en tidskrift. Inledningsvis visade de med lådprincipens hjälp att varje plan karta kan färgläggas med sex eller färre färger.

Till sist krävde deras bevisteknik så omfattande undersökningar av ett stort antal enskilda fall att endast en dator kunde klara av det.

Fyrfärgsproblemet är ett exempel på de många diskreta problem som är lätta att förstå men mycket svåra att bevisa. Om det finns ett kort bevis för fyrfärgsproblemet vet vi inte ...

AB

C

D

M5000 Kurs 5 Bla.indb 49 2013-07-11 15:36

50 1.3 GRAFTEORI50 1.3 GRAFTEORI

Några klassiska problem

Exempel 1 HamiltoncykelnI mitten av 1800-talet presenterade den irländske matematikern William Hamilton (1805 – 1865) en leksak (ett spel) som innehöll frågan: ”Kan man i en graf hitta en sluten stig (en cykel) som går genom alla hörn utan att passera något hörn mer än en gång?”

I grafen ovan finns en cykel som går genom alla hörn exakt en gång.

Hamiltoncykel En sådan cykel har fått namnet Hamiltoncykel.I grafen till höger är det inte möjligt att hitta en Hamiltoncykel.Vad krävs för att en graf ska ha en Hamiltoncykel? Frågan är mycket svår att besvara och än så länge finns inget fullständigt svar.

Exempel 2 En handelsresandes problemTänk dig att en försäljare som bor i Lidköping ska åka till Götene, Skara och Skövde. I vilken ordning ska han besöka städerna för att få så kort resväg som möjligt?

M5000 Kurs 5 Bla.indb 50 2013-07-11 15:36

1.3 GRAFTEORI 51

Detta är ett klassiskt problem som brukar kallas en handelsresandes problem.

Vi ritar en graf, där hörnen är de fyra städerna och kanterna är sträckorna mellan städerna.

Vi skriver upp alla tänkbara resvägar från Lidköping och deras längd.Lid – Ska – Göt – Skö – Lid 131 kmLid – Ska – Skö – Göt – Lid 115 kmLid – Göt – Ska – Skö – Lid 118 kmLid – Göt – Skö – Ska – Lid 115 kmLid – Skö – Göt – Ska – Lid 131 kmLid – Skö – Ska – Göt – Lid 118 km

Vi ser att det finns sex resvägar och tre olika reslängder. Antalet växer snabbt om antalet hörn (städer) blir fler. Vid n städer är antalet resvägar (n – 1)(n – 2) ∙ … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = (n – 1)!

Antalet resvägar

Varje resväg kan göras i två riktningar, där reslängden är densamma.Antalet reslängder är (n – 1)!/2.När hörnen (städerna) är många tar det lång tid att beräkna längden av alla resvägar även för en dator.

Finns det någon metod att hitta den kortaste vägen utan att beräkna alla?Svaret är att det finns ingen metod som alltid fungerar. Ofta använder man ”närmaste granne-metoden” som ger en kort resväg, men inte säkert den kortaste.

I vårt exempel ger denna metod:◗ Närmaste granne till Lidköping är Götene eller Skara. Vi väljer Götene, 24 km.◗ Närmaste granne till Götene är Skara, 18 km.◗ Närmaste granne till Skara är Lidköping, men vi måste till Skövde, 27 km.◗ Närmsta vägen tillbaka är 49 km.

24 km + 18 km + 27 km + 49 km = 118 km

Lidköping

SkövdeSkara

Götene

24 km

24 km

18 km

27 km

49 km

40 km

Antalet slutna resvägar mellan n hörn då alla hörn har möjlig förbindelse med varandra är (n – 1)!

M5000 Kurs 5 Bla.indb 51 2013-07-11 15:36

52 1.3 GRAFTEORI

Den handelsresandes problem kan överföras till många situationer. Ett antal moment ska utföras och problemet är i vilken ordning de ska göras för att minimera tex sträckan, tiden eller kostnaden.

1307

Rita en Hamiltoncykel i grafen. Lösning:

1308

a) Cykeln i grafen är inte en Hamiltoncykel. Förklara varför.

b) Rita av grafen och rita en Hamiltoncykel i grafen.

1309

Beräkna sträckan som

a) resvägen A – B – C – D – A ger

b) resvägen ”närmaste granne-metoden” ger om man startar i A.

A

B

C

D

14

12

24

16

18

18

1310 En artist ska ut på turné i Sverige. Hon börjar turnen i sin hemstad och ska sedan besöka nio städer till.

Vi förutsätter att hon åker närmaste vägen mellan alla städer.

a) Hur många möjliga resvägar finns för turnen?

b) Hur många olika reslängder finns för turnen?

c) Spelningen i en stad blir inställd innan turnen startar. Hur påverkar det antalet resvägar?

1311 Den relativa kostnaden för att transportera varor mellan knutpunkterna A, B, C, D och E visas i grafen.

Bestäm med ”närmaste granne-metoden” den lägsta kostnaden för en transport från A via alla punkter tillbaka till A.

A B

C

D

E

22

28

2238

40 30

55 17

40

42

1313 Chris som bor i Canberra i Australien har tänkt resa runt till Tokyo, Peking och Calcutta. Han tycker inte om att flyga så han vill att den sammanlagda flygtiden ska bli så kort som möjligt.

a) Rita en graf som visar städerna som hörn och flygtiderna som kanter.

b) Beräkna den sammanlagda flygtiden för två olika resvägar.

c) Vilken resväg ska han välja? Motivera.

Flygesor Flygtid

Canberra ⇔ Calcutta 25 h

Calcutta ⇔ Peking 9 h

Tokyo ⇔ Canberra 24 h

Peking ⇔ Tokyo 8 h

Canberra ⇔ Peking 18 h

Calcutta ⇔ Tokyo 16 h

M5000 Kurs 5 Bla.indb 52 2013-07-11 15:36

1.3 GRAFTEORI 53

1312 Rita av grafen och rita en Hamiltoncykel i grafen om det är möjligt.

a) c)

b) d)

1313 Chris som bor i Canberra i Australien har tänkt resa runt till Tokyo, Peking och Calcutta. Han tycker inte om att flyga så han vill att den sammanlagda flygtiden ska bli så kort som möjligt.

a) Rita en graf som visar städerna som hörn och flygtiderna som kanter.

b) Beräkna den sammanlagda flygtiden för två olika resvägar.

c) Vilken resväg ska han välja? Motivera.

Flygesor Flygtid

Canberra ⇔ Calcutta 25 h

Calcutta ⇔ Peking 9 h

Tokyo ⇔ Canberra 24 h

Peking ⇔ Tokyo 8 h

Canberra ⇔ Peking 18 h

Calcutta ⇔ Tokyo 16 h

M5000 Kurs 5 Bla.indb 53 2013-07-11 15:36

54 1.3 GRAFTEORI

Träd Exempel 1 Nya el-ledningar ska dras mellan fem byar. På hur många sätt kan

detta göras?

Figurerna visar två sätt att sammanbinda de fem byarna.

En sammanhängande graf utan cykler kallas för ett träd.I vårt exempel ingår alla hörnen i grafen, dvs grafen ”spänner över”

uppspännande träd alla hörn och kallas då ett uppspännande träd.

Vi börjar med att studera antalet sätt att skapa förbindelse mellan tre byar.

Vi ser att det finns 3 sätt när antalet byar är tre.

Antalet sätt växer snabbt då antalet byar ökar. Det finns 16 sätt att sammanbinda fyra byar utan cykler och i vårt inledande exempel med fem byar är antalet sätt 125.

Den engelske matematikern Arthur Cayley (1821 – 1895) kom fram till:

Antalet sätt

Exempel 2 Minimalt uppspännande trädFiguren visar de planerade kostnaderna (i miljoner kr) för att sammanbinda varje par av byar med ledningar.

Antalet sätt att sammanbinda n hörn (utan cykler) är n n − 2

A − B 15

A − C 18

A − D 8

A − E 11

B − C 9

B − D 14

B − E 15

C − D 17

C − E 18

D − E 12A B

C

D

E

M5000 Kurs 5 Bla.indb 54 2013-07-11 15:36

1.3 GRAFTEORI 55

Vi visar en metod som minimerar kostnaden för att sammanbinda kantens vikt byarna. Värdena i tabellen brukar kallas kanternas vikter.

Vi börjar med att dra den ledning som kostar minst (lägst vikt), dvs mellan A och D (8 miljoner kr).

Sedan drar vi den ledning som kostar näst minst, dvs mellan B och C (9 miljoner kr).

Vi fortsätter att dra den billigaste ledningen, så länge den inte bildar en sluten krets med de tidigare ledningarna. Vi fortsätter alltså med AE (11 miljoner kr) och till sist BD (14 miljoner kr).

Obs! Ledningen DE (12 miljoner kr) dras inte, eftersom då bildas en sluten krets.

Den minsta kostnaden för att sammanbinda byarna är (8 + 9 + 11 + 14) miljoner kr = 42 miljoner kronor.

Den här metoden ger alltid den minsta kostnaden (lägsta vikten). Detta bevisades år 1956 av den amerikanske matematikern

Kruskals algoritm Joseph Kruskal. Metoden kallas för Kruskals algoritm.

Kruskals algoritm kan användas i många sammanhang vid t ex olika typer av ledningsdragning.

1314

a) Utgå från figuren och rita ett minimalt uppspännande träd.b) Beräkna den sammanlagda vikten av kanterna i trädet du ritat.

a) Ett uppspännande träd går genom alla hörn utan att bilda en sluten krets. Trädet bildas av kanten med lägsta vikten 3, sen kanten 5 (inte kanten 6 eftersom då bildas en sluten krets) och till sist kanten 8.b) 3 + 5 + 8 = 16

12

6

5

3

9

8

5

3

8

M5000 Kurs 5 Bla.indb 55 2013-07-11 15:36

56 1.3 GRAFTEORI56

1315 a) Bestäm antalet hörn och kanter i följande träd.

A

B

C

b) Rita ett träd med fyra hörn och bestäm antalet kanter.

c) Rita ett träd med fyra kanter och bestäm antalet hörn.

d) Skriv en formel för sambandet mellan antalet hörn och kanter i ett träd.

1316

a) Rita de möjliga uppspännande träden och beräkna kanternas sammanlagda vikt för varje träd.

b) Vilket träd kallas minimalt upp- spännande träd?

1317 Rita och beräkna vikten av ett minimalt uppspännande träd till figuren.

a) b)

1318 Bestäm n om antalet sätt att sammanbinda n städer utan cykler är större än 1 miljon.

3

8

5

64

5

1

3

2

34

1

2

6

5

a) Bestäm antalet hörn och kanter i

b) Rita ett träd med fyra hörn och bestäm

c) Rita ett träd med fyra kanter och bestäm

d) Skriv en formel för sambandet mellan antalet hörn och kanter i ett träd.

a) Rita de möjliga uppspännande träden och beräkna kanternas sammanlagda

b) Vilket träd kallas minimalt upp-

Rita och beräkna vikten av ett minimalt

3

1

2

1319 Inom kemin använder man träd för att göra modeller av t ex alkaner.

Alkaner är kemiska föreningar som endast består av kol- och väteatomer. I modellen är varje hörn en kolatom och varje kant är en bindning mellan två kolatomer.

En kolatom kan binda en, två, tre eller maximalt fyra andra kolatomer.

Namn Formel Strukturformel

Metan CH4

Etan C2H6

Propan C3H8

Butan C4H10

För alkaner med fyra kolatomer eller fler kan strukturen för samma ämne se olika ut. Det olika strukturerna kallas för isomerer.

Observera att t ex ochinte är isomerer, utan samma molekyl.

a) Av pentan C5H12 finns det tre isomerer. Rita trädstukturen för dessa.

b) Av hexan C6H14 finns det fem isomerer. Rita trädstukturen för dessa.

c) Hur många strukturisomerer finns det av heptan C7H16?

M5000 Kurs 5 Bla.indb 56 2013-07-11 15:36

1 DISKRET MATEMATIK I 57

Aktivitet DISKUTERA

9 Om 80 % av medlemmarna i en motions-förening går på gym och 70 % går på gruppträning, så går hälften av medlemmarna på både gym och gruppträning.

10 Om A ∪ B = 18, |A ∩ B|= 7 och |B \ A| = 5 så gäller |A\ B |= 11.

11 6 personer kan sätta sig på 6! sätt kring ett bord med 6 platser.

12

Du tar slumpvis kulor ur skålen.

Du måste ta fler kulor för att vara säker på att få två av samma färg än två av olika färg.

Diskutera i par eller grupp. Sant eller falskt? Motivera svaret!

1 Antalet permutationer för ett givet urval är alltid större än antalet kombinationer.

2 A ∩ B och A ∪ B kan aldrig vara lika i en sluten graf.

3 Om antalet kanter från ett hörn i en sluten graf är udda finns det ingen Eulerslinga i grafen.

4 ( 7 )3betyder antalet sätt man kan välja

3 element av 7 med hänsyn till i vilken ordning de väljs.

5 I en skål ligger fem kulor, 2 gula och 3 blå. Sannolikheten att få 2 gula om man, utan att titta, tar 2 kulor är lika stor som sannolikheten att få 3 blå om man tar 3 kulor.

6 n(n – 1)! kan skrivas n!

7 Utvecklingen av (a + b)n ger efter förenkling bl a termerna nbn och (n – 1)an – 1

8

Antalet resvägar som börjar och slutar i A och passerar alla hörn en gång är ca 40 000.

A

Sant eller falskt?

M5000 Kurs 5 Bla.indb 57 2013-07-11 15:36

58 1 DISKRET MATEMATIK I

Sammanfattning 1

Kombinatorik

LådprincipenOm n + 1 föremål ska placeras i n lådor, så måste åtminstone en låda innehållatvå eller fler av föremålen.

Om n · k + 1 föremål ska placeras i n lådor, så måste åtminstone en låda innehållak + 1 eller fler av föremålen.

MultiplikationsprincipenOm ett första val kan ske på p sätt och ett andra val kan göras på q sätt, så kan de båda valen göras på p · q sätt.

Det första valet får inte påverka det andra valet.

AdditionsprincipenOm man ska välja 1 föremål från en grupp med p olika föremål eller från en grupp med q olika föremål, så kan detta ske på p + q sätt.

PermutationerAntalet permutationer (ordnade urval) av n element är n! (n-fakultet).

Exempel:5 personer kan bilda en kö på 5! olika sätt. 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

Antalet permutationer (ordnade urval) av k element bland n element är

P (n, k) = n!(n – k)!

Exempel:3 personer av 8 kan väljas med hänsyn till

ordningen på P (8, 3) = 8!(8 – 3)!

olika sätt.

P (8, 3) = 8!5!

= 8 · 7 · 6 = 336

KombinationerAntalet kombinationer (oordnade urval) av k element bland n element är

( n )k= n!

k!(n – k)!

Exempel:3 personer av 8 kan väljas utan hänsyn till

ordningen på ( 8 )3olika sätt.

( 8 )3= 8!

3!(8 – 3)! = 8!

3! · 5! = 8 · 7 · 6

1 · 2 · 3 = 56

Glöm inte symmetriegenskapen:

( 8 )3=( 8 )8 – 3

=( 8 )5

SannolikheterVid likformig sannolikhetsfördelning gäller

P (H) = antalet gynnsamma utfall

antalet möjliga utfall

Binomialsatsen

(a + b)n = ( n )0an + ( n )1 an – 1 b + ... + ( n )k

an – k b k +

... + ( n )nb n

Talen ( n )k kallas binomialkoefficienter.

Pascals formel

( n )k = ( n – 1 ) k

+ ( n – 1 )k – 1 1 ≤ k ≤ n – 1

Exempel:I en skål ligger fem kulor, en röd och fyra blå.

Antalet sätt att välja fyra kulor: ( 5 )4= 5.

Antalet sätt då en röd ingår: ( 4 )3= 4.

Antalet sätt då en röd inte ingår: ( 4 )4 = 1.

Kontroll med Pascals formel: ( 5 )4= ( 4 )4

+ ( 4 )3

M5000 Kurs 5 Bla.indb 58 2013-07-11 15:36

Mängdlära

MängderEn mängd är en samling objekt (element).En mängd kan beskrivas på olika sätt:

Z är mängden av de hela talen.

Z = {..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

Z = {x|x är ett heltal}

A ⊆ B betyder att A är en delmängd av B. A ⊂ B betyder att A är en äkta delmängd av B.(A och B är inte lika).

Grundmängden G är den mängd som innehåller alla element som kan komma i fråga i en viss situation.

Den tomma mängden ∅ saknar element och är en delmängd av varje mängd.

En mängd med n element har totalt 2n delmängder.

Mängdoperationer och Venndiagram

1 Snittet A ∩ B = {x|x ∈ A och x ∈ B}2 Unionen A ∪ B = {x|x ∈ A och/eller x ∈ B}3 Mängddifferensen A \ B = {x|x ∈ A och x ∉ B}4 Komplementmängden till A A = {x|x ∈ G och x ∉ A}

Inkludera och exkluderaExempel : Mängden A innehåller 17 element, mängden B 12 och snittet till mängderna A och B 10 element dvs |A| = 17 |B| = 12 och |A ∩ B| = 10Då är antalet element i unionenA ∪ B = 17 + 12 – 10 = 19Vi inkluderar (tar med) elementen i A och B ochexkluderar (tar bort) elementen i A ∩ B.

Grafteori

En krets är en sluten väg, dvs den passerar inte samma kant flera gånger. En Eulerkrets passerar alla kanter i grafen.En cykel är sluten stig, dvs den passerar inte samma kant och inte samma hörn flera gånger.En Hamiltoncykel passerar alla hörn i grafen.

En handelsresandes problemAntalet resvägar mellan n hörn i en graf, där alla hörn är sammanbundna med varandra och man startar och slutar på samma ställe, är (n – 1)! Antalet reslängder är (n – 1)!/2.En av de kortaste resvägarna hittar man med ”närmaste granne metoden”.

TrädSammanhängande grafer utan cykler kallasför träd. Om trädet når till alla hörn kallas det ett uppspännande träd.Antalet sätt att sammanbinda n hörn (utan cykler) är n n−2.

Kruskals algoritmKruskals algoritm ger lägsta kostaden / vikten för ett uppspännande träd i en graf.Algoritmen: Börja med kanten med lägst vikt och fortsätt sedan med den som nu har lägst vikt osv. Hoppa över de kanter som bildar en sluten krets. Sluta när alla hörn är sammanbundna.Summera vikterna på kanterna i grafen.


A B A B

A ∩ B A ∪ B

AA B

AA \ B

M5000 Kurs 5 Bla.indb 59 2013-07-11 15:36

60 1 ALGEBRA OCH LINJÄRA MODELLER

Kan du det här? 1

MomentBegrepp som du ska kunna använda och beskriva

Du ska ha strategier för att kunna

Kombinatorik Permutation

Kombination

”n över k” ( n )kn-fakultet n!

Utfall och slumpförsök

Beroende händelse och komplementhändelse

Binomialsatsen och binomialkoefficient

•använda lådprincipen, multiplikations-principen och additionsprincipen

•beräkna antalet permutationer respektive kombinationer för olika urval

•beräkna sannolikheter vid likformig sannolikhetsfördelning

•lösa kombinatoriska problem.

Mängdlära Mängd och element

Grundmängd, tom mängd och delmängd

Snittet, unionen, mängddifferensen och komplementet

Venndiagram

•ange om ett element tillhör en väldefinierad mängd

•kunna beskriva en mängd på olika sätt•beräkna antalet delmängder av en given

mängd•avgöra vilka element som tillhör

snittet, unionen, mängddifferensen och komplementet

•använda principen om inklusion och exklusion för enklare tillämpningar.

Grafteori Graf, hörn och kant

Köningsbergs broar

Väg, stig, krets och cykel

Eulerkrets

Hamiltoncykel

Den handelsresandes problem

Träd och uppspännande träd

Kruskals algoritm

•känna till några klassiska grafteoretiska problem och lösningen på dessa (om det finns någon)

•rita och beräkna totala vikten av ett minimalt uppspännande träd.


M5000 Kurs 5 Bla.indb 60 2013-07-11 15:36

1 ALGEBRA OCH LINJÄRA MODELLER 61

Diagnos 1

Kombinatorik

1 I en skål ligger tre röda och sju gröna äpplen.

Hur många måste du slumpvis ta för att säkert få två av

a) samma färg b) olika färg?

2 Isik kommer ihåg att första siffran i hans fyrsiffriga pinkod är 2.

Hur många sådana pinkoder finns det om

a) han vet att alla siffror i pinkoden är olika

b) han inte kommer ihåg mer än att första siffran är en tvåa?


a) 4! · 2! c) C(5, 2)

b) P(5, 2) d) ( 101 ) 99

4 På en arbetsplats ingår alla åtta anställda i en utlottning av tre vinster. Varje person kan bara få en vinst.

På hur många sätt kan vinsterna fördelas om

a) alla vinster är likadana

b) det finns en 1:a, en 2:a och en 3:e vinst?

5 Klas ska köpa läsk och snacks till en fest. Han ska välja tre av fem läsksorter och två sorters snacks av popcorn, chips, ostbågar eller nötter.

På hur många olika sätt kan han välja sitt inköp?

6 Utveckla

a) (1 + a)6

b) (2x – y)5

Mängdlära

7 Sant eller falskt?

a) 7 ∈ {x|x primtal och x < 10}

b) {1, 2, 3} ⊆ {1, 2}

c) Mängden {4, 6} har fyra delmängder.

d) {x|x2 + 9 = 0 och x ∈ R} = ∅

8 Låt A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 5, 6} och C = {5, 6, 7}. Grundmängden G = {x|0 < x < 10 och x ∈ Z}

Bestäma) A ∩ B c) B \C

b) B ∪ C d) (A ∪ B) ∩ C

9 Beskriv med symboler det skuggade området.

10 I en undersökning deltog 500 personer varav 310 kvinnor. Av dessa 310 var 110 under 25 år. 60 personer var män som var 25 år eller äldre.

a) Hur många var under 25 år i undersökningen?

b) Mängden män och mängden kvinnor är disjunkta. Vad betyder det?

Grafteori

11 Vad menas med en Eulerkrets?

12 a) Hur många vägar måste minst dras för att sammanbinda sex städer?

b) Hur många vägar måste dras om sex städer ska ha direktförbindelse med varandra?

BA

C


Om du behöver repetera kan du fortsätta med Repetitionsuppgifter på sid 237.

M5000 Kurs 5 Bla.indb 61 2013-07-11 15:36


Blandade övningar kapitel 1

Del I Utan räknare

1 I en godispåse ligger 10 röda, 10 gröna och 10 gula karameller av samma typ. Du tar, utan att titta, karameller ur påsen.

Hur många måste du ta för att vara säker på att få minst 5 av samma färg?

2 Låt A = {a, b, c}, B = {b, c, d, e, f} och C = {a, c, d, g}. Bestäm

a) A ∪ B d) B ∩ C

b) B \C e) A ∩ B ∩ C

c) A ∩ C f) |A ∪ B ∪ C|

3 Beskriv med symboler den färgade delen av Venndiagrammet.

a) b)

4 Har grafen en

a) Hamiltoncykel

b) Eulerkrets?

Motivera.

5 I skolcafeterian kan man köpa ett mellanmål för 25 kr. Man får då antingen en dryck och en smörgås eller en dryck, en yoghurt och en frukt.

Det finns te, kaffe eller saft, tre olika smörgåsar, fyra yoghurtsmaker och äpple eller banan att välja på.

På hur många sätt kan man välja sitt mellanmål för 25 kr?

A B A B

6 I en låda med åtta nya batterier har det hamnat två gamla som ska slängas. Du tar tre batterier ur lådan.

Hur många sådana urval

a) är möjliga

b) innehåller bara nya batterier

c) innehåller minst ett gammalt batteri?

7 Utveckla

a) ( n ) 3 c) ( n )n – 2

b) ( n + 1 ) 2 d) ( n + 1 ) n – 1

8 Hur många permutationer kan man göra av de fyra symbolerna, om de ska placeras på rad?

a) � � � � c) � � � �

b) � � � � d) � � � �

9 Varför är alla fakulteter utom 1! jämna tal?

10 Visa att

a) m2 = 2 ( m ) 2 + ( m ) 1

b) ( 2n ) n = 2 ( 2n – 1 ) n – 1 för alla n ≥ 1.

11 A och B är mängder.

a) Beskriv innebörden av mängddifferensen (A ∪ B)\(A ∩ B) med ord.

b) Vad innebär (A ∪ B)\(A ∩ B) = ∅?

12 Går det att hitta mängder A, B och C som uppfyller

A ∪ C = B ∪ C, A\C = B \C och A ≠ B


M5000 Kurs 5 Bla.indb 62 2013-07-11 15:36

1 ALGEBRA OCH LINJÄRA MODELLER 631 DISKRET MATEMATIK I 63

Del II Med räknare

13 En träningsgrupp i fotboll består av 20 utespelare och en målvakt.

På hur många sätt kan ett 11-mannalag väljas ut om man inte tar hänsyn till att de tio utespelarna helst vill spela på vissa positioner?

14 Hedvig kastar 4 tärningar.

Hur stor är sannolikheten att hon får

a) åtminstone en sexa

b) exakt tre sexor?

15 En undersökning inför en friluftsdag, i årskurs 4, visar elevernas val.

65 % vill åka skidor

55 % vill åka skridskor

25 % vill åka både skidor + och skridskor.

a) Rita ett Venndiagram som presenterar undersökningen.

b) Hur många procent av eleverna vill varken åka skidor eller skridskor?

16 a) Visa att ( 9 ) 3= ( 9 ) 6

b) Beskriv en vardaglig situation där

( 9 ) 3och ( 9 ) 6

är lika.

17 Utveckla

a) (3x2 – y3)2 c) (x – y)4

b) (a + 2b)3 d) (z2 + 3u)5

18 Utveckla och förenkla uttrycket (x + h)6 – x6

h

19 Rita och beräkna totala vikten av ett minimalt uppspännande träd som sammanbinder A – F.

20

G = {alla trianglar}

A = {likbenta trianglar}

a) Var bör de liksidiga trianglarna finnas?

b) Var bör de rätvinkliga trianglarna finnas?

c) Vilka trianglar är det färgade omådet?

Motivera dina svar.

A

D

BF

CE

4

13

127

10

9

8

5

3

1

6

2

11

15

14

BA

C

G

M5000 Kurs 5 Bla.indb 63 2013-07-11 15:37


21 Människans DNA består av en 1,5 m lång spiral med miljarder baspar (”stegpinnar”) med beteckningarna AT, TA, CG och GC. Bokstäverna A, T, C och G står för adenin, tymin, cytosin och guanin. I DNA-spiralen finns ca 30 000 gener insprängda.

Ordningen mellan basparen, tagna i grupper om tre, talar om vilket protein som ska byggas. Så ger t ex sekvensen TAC TTG TTT CAC ett visst protein.

a) Hur många”ord” med tre bokstäver kan skrivas med det genetiska alfabetet A, T, C och G?

b) Hur många av orden med tre bokstäver innehåller exakt ett A?

c) En gen som beskriver hur ett visst protein ska byggas innehåller 200 ord med tre bokstäver. På hur många sätt kan en sådan gen vara uppbyggd?

22 En familj på fem personer cyklar efter varandra på en smal landsväg.

a) På hur många sätt kan familjemedlemmarna placera sig?

b) På hur många sätt kan de placera sig om det yngsta barnet ska cykla näst först eller i mitten?

23 I en klass med 28 elever är 13 flickor.

a) På hur många sätt kan två flickor och två pojkar väljas ut till en tävling?

b) Hur stor är sannolikheten att det blir just två flickor och två pojkar om fyra elever slumpmässigt väljs ut ur klassen?

24 Hörnen i figuren är sammanbundna till ett träd.

a) På hur många sätt kan hörnen i figuren sammanbindas utan att cykler bildas?

b) Rita små figurer som visar samtliga sätt att sammanbinda hörnen.

25 Skriv talen 1, 2, 3, 4, 5 och 6 på lappar och välj fyra av lapparna.

Visa att minst ett par av dessa lappar ger summan 7.

26 De 29 eleverna i en gymnasieklass fick efter sommarlovet ange om de jobbat, pluggat respektive rest utomlands på lovet.

13 elever hade jobbat, 11 hade varit utomlands och 9 hade pluggat. 3 hade rest och pluggat, 4 hade jobbat och pluggat och 5 hade jobbat och rest. En elev hade gjort alla tre sakerna.

Hur många av eleverna hade varken jobbat, pluggat eller rest?

27 I den förenklade utvecklingen av (x + 2y)13 finns en term k · x2y11.

Bestäm talet k.


M5000 Kurs 5 Bla.indb 64 2013-07-11 15:37

1 ALGEBRA OCH LINJÄRA MODELLER 651 DISKRET MATEMATIK I 65

28 På stryktipset innebär en rad att man tippar resultatet i 13 fotbollsmatcher. Man väljer 1, X eller 2 (hemmavinst, oavgjort eller bortavinst) för varje match.

Hur många rader måste man tippa för att säkert få minst 5 rätt av 13?

29 Faktorisera

a) n! – ( n – 1)! b) ( n + 2)! – 2 · n!

30 Rita mängderna A, B och C i ett Venndiagram så att de uppfyller

A ∩ B ∩ C = ∅, B \ A = ∅ och ∅ ⊂ ( A ∩ C ).

31 Bridge spelas med en vanlig kortlek. En bridgehand har 13 kort.

a) Hur många bridgehänder finns det?

b) Hur många bridgehänder har fördelningen 4 – 3 – 3 – 3 , dvs 4 av en färg och 3 av de övriga?

c) Hur många bridgehänder innehåller minst ett hjärterkort?

32 Visa med ett Venndiagram att

a) A ∩ (B ∪ C) = ( A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

b) A ∪ (B ∩ C) = ( A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

33 Tolv länder är inbjudna till en konferens. Varje land representeras av tre personer.

Första dagen hälsar alla, utom de från samma land, på varandra en gång med att ta i hand.

Hur många handhälsningar görs denna dag?

34 Visa att i en decimalutveckling av ett bråk,

t ex 57

= 0,714 285 714 285 …

kommer en grupp av decimaler att upprepas.

35 Varje lördag säljer Jönssons bageri nybakade rågbullar, sesambullar, tekakor, gifflar och surdegsbullar.

På hur många sätt kan man köpa ett dussin (12 st) av det nybakade brödet?

36 Till en golftävling kommer 18 personer. Första dagen ska de spela tillsammans tre och tre.

a) På hur många sätt kan grupperna (3-bollarna) arrangeras?

b) Den största sponsorn kräver att de 4 bäst rankade spelarna inte ska spela tillsammans. På hur många sätt kan grupperna arrangeras om man tar hänsyn till detta?

M5000 Kurs 5 Bla.indb 65 2013-07-11 15:37

242 SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR

1

1104 5

1105 Lådor: månadens dagar (max 31)

Föremål: 32 personer

32 personer på 31 dagar betyder att åtminstone 2 personer har samma födelse- datum någon månad.

1106

Lådor: 4 kvadrater med sidan 1 cm

Föremål: 5 punkter

Minst en kvadrat får 2 eller flera punkter. Maximal- avståndet mellan dessa är lika med diagonalens längd, 2 cm.

1107 a) Lådor: n = 5 länder

b) Föremål: 31 elever 31 = 5 · 6 + 1 (6 elever från varje land och ytterligare 1 elev) Minst ett land måste vara representerat av 6 + 1 = 7 elever eller fler.

1108 Lådor: 27 stater

Föremål: 754 personer 754 > 27 · 27 + 1

Minst ett land måste vara representerat av 27 + 1 = 28 personer eller fler.

1109 a) 3 b) 9 c) 10

1110 Lådor: 6 st 2-dagars perioder

Föremål: 110 timmar 110 > 6 · 18 + 1

Under minst en 2-dagars period måste hon ha övat 18 + 1 = 19 timmar eller mer.

1111 a) Lådor: 4 färger Föremål: 50 tröjor 50 > 4 · 12 + 1

b) Lådor: 3 färger Föremål: 42 tröjor 42 > 3 · 13 + 1

1112 3 384 000 > 20 000 · 160 + 1

1113 x = 26 097 Ledtråd: 9 551 781 > x · 366 + 1

1114 Triangeln delas i 9 kongruenta deltrianglar med sidan 2 cm. Minst en triangel får 2 punkter eller fler. Avståndet mellan dem är högst 2 cm.

1115 n + 1 Motivering: Låt varje gift par svara mot en låda. Placera ut personerna i de n lådorna. Då krävs minst n + 1 personer för att säkert få ett gift par.

1118 a) 26 sätt b) 165 sätt

1119 1 200 cyklar Lösning: 2 · 5 · 3 · 5 · 2 · 4 = 1 200

1120 8 019 000 sätt

1121 10 000 pinkoder

1122 a) 12 sätt

b) 60 sätt

c) 47 sätt

1123 9 sätt Lösning: Herr Alm kan kombineras med de fem andra och Fru Alm kan kombineras med de fem andra. Herr Alm tillsammans med Fru Alm kommer med två gånger. 5 + 5 – 1 = 9

1124 12 167 000 Ledtråd: 23 bokstäver kan användas.

1125 260 00 middagar Ledtråd: Summan av antalet tvårätters och antalet trerätters middagar.

1126 6 vägar Lösning: 3 · 2 · 1 = 6

1127 a) 221 sätt

b) 372 sätt

c) 507 sätt Ledtråd: Beräkna det totala antalet sätt att utse två represen- tanter och minska det med antalet sätt att utse två killar.

1128 a) Ja. Motivering: Det finns 316 = 43 046 721 sätt.

b) Nej. Motivering: Det finns 33 tipsrader (16 ∙ 2 + 1) med minst 15 rätt.

1129 64 tal

1130 a) 192 sätt

b) 176 sätt Ledtråd: Minska med antalet sätt då bootsen används till finbyxor.

c) 166 sätt Lösning: 192 – 1 · 1 · 4 · 4 – 1 · 1 · 4 · 3 + 2 = = 166

1131 Visa att pq > p + q om p ≥ 2 och q > 2 och båda är heltal.

pq > p + q ⇔ pq – p > q

⇔ p(q – 1) > q ⇔ p > qq – 1

Eftersom qq – 1

> 33 – 1

= 1,5

gäller att p > 1,5 alltså för p ≥ 2.

2 cm

2 cm

SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGARSvaren står med svart text. Ledtrådar och lösningar med blå text.

M5000 Kurs 5 Bla.indb 242 2013-07-11 15:44

SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR 243

1132 49 Lösning: Binära tal med högst 7 siffror är mindre än 256. 25 = 32 tal börjar med två ettor och 25 = 32 tal slutar med två ettor. De tal som både börjar och slutar med två ettor räknas alltså två gånger.

Det är 23 + 22 + 21 + 20 där 23 är antalet sjusiffriga sådana tal och 22 antalet sexsiffriga sådana tal osv. 32 + 32 – 15 = 49

1136 5 040 sätt Ledtråd: Beräkna 7!

1137 a) 24

b) 110 Ledtråd: Förkorta med 9!

c) 12

d) 100

1138 a) 120 sätt Lösning: 6 · 5 · 4 = 120

b) 1 320 sätt

1139 a) P (9, 3 ) = 504 är antalet sätt att välja 3 element av 9 med hänsyn till ordningen.

b) P (4, 4) = 24 är antalet permutationer av 4 element.

c) P (15, 1) = 15 är antalet sätt att välja 1 element av 15.

d) P (100, 0) = 1 är ”antalet sätt att välja 0 element av 100”.

1140 a) 380 204 032 Lösning: 525 = 380 204 032

b) 311 875 200 Lösning: 52 · 51 · 50 · 49 · 48 = = 311 875 200

1141 a) 900 b) 100 c) 60

1142 a) P (5, 3) = 5 · 4 · 3 = 60

b) Det finns 60 sätt att välja 3 element bland 5 med hänsyn till ordningen.

1143 a) 24 b) 10 000 c) 12

1144 a) 30 ord b) 6 ord

1145 a) 276 handskakningar

b) 144 danspar

1146 a) k = 50

b) a · n! + a(n + 1)! = = a · n! + a · n!(n + 1) = = a · n! + a · n! · n + a · n! = = a · n!(n + 2) VSV

1147 1,3 · 1030 läsår

1148 n = 4 Motivering: P (8, 3) = 336 och P (8, 4) = 1 680

1149 a) P (n, n) = n! P (n, n – 1) = n!

(n – (n – 1))! = n!

b) P (n, n) = P (n, n – 1) · 1

1153 a) 120 Lösning:

103( ( = 10 · 9 · 8

1 · 2 · 3 = 120

b) 120 Ledtråd:

107( ( = 10

3( ( c) 12 650

1154 a) 100 Ledtråd: Använd symmetrin.

b) 190

c) 1

1155 a) 6 b) 12

1156 20 sätt Lösning:

72( ( – 1

1157 a) 3 003 sätt

b) 3 003 sätt

c) Antalet sätt att välja 10 blommor bland 15 är lika många som antalet sätt att välja 5 blommor bland 15. När man väljer 10 blir 5 kvar.

1158 560 560 sätt Ledtråd: Beräkna

84( ( · 16

6( (1159 540 sätt Ledtråd: Beräkna antalet sätt att välja 7 personer av 12 och minska med det antal där både Nils och Sally ingår.

1160 103( ( = 120 sätt

Ledtråd: Välj ut 3 av 10 förflyttningar som ska vara åt höger på kartan.

1161 Filip har rätt.

Filips beräkning: Det totala antalet urval minskat med antalet urval utan någon tränare. C (26, 10) – C (23, 10) = = 4 167 669

Erik har fel.

Eriks beräkning: Han börjar med att välja en tränare och väljer sedan 9 av de 25 övriga personerna. C (3, 1) · C (25, 9) = 6 128 925 Erik får för många sätt eftersom han använder multiplikationsprincipen felaktigt. Den förutsätter att det första valet ej påverkar det andra valet.

1162 286 sätt Förklaring: Vi placerar ett streck mellan kakor med olika dekorationer. Det krävs 3 streck för att skilja de fyra dekorationerna åt. Vi får en rad med 13 symboler, 10 kakor och 3 streck.

3 streck fördelas på 13 platser

på 133( ( = 286 olika sätt.

1163 a) 1264

= 316

b) 964

c) 464 = 1

16

M5000 Kurs 5 Bla.indb 243 2013-07-11 15:44


1164 a) 0,42

b) 0,2

c) 0,38 Lösning: 0,6 · 0,3 + 0,4 · 0,5 = 0,38

1165 a) 14

b) 110 c) 3

5

1166 16

Ledtråd: Det finns 6 möjliga utfall.

1167 a) 86 % (0,858…)

b) 40/103 ≈ 0,39

1168 7,1 % (0,070 55)

1169 a) 0,93 Ledtråd: Beräkna komplement- händelsen.

b) 1

1170 a) 0,73 (0,729)

b) 0,24 (0,243)

c) 0,27

1171 Händelserna är inte obereonde. Sannolikheten för regn ökar, om det regnade dagen innan.

1172 1/6 (0,166…)

1174 a) 0,36 Ledtråd: Antalet möjliga utfall: 9

6( ( Antalet gynnsamma utfall:

54( ( · 4

2( ( b) 10/21 ≈ 0,48

1175 1190

≈ 0,005

1176 Antalet gynnsamma utfallAntalet möjliga utfall

=

=

42( ( 5

3( (95( (·

= 60126

≈ 0,48

Nästan 50 % chans.

1177 a) 0,09 (0,0906…)

b) 0,19 (0,1902…)

c) 0,21 (0,2086…)

d) 0,66 (0,6634…)

1178 a) 0,17 (0,1666…)

b) 0,5

c) 0,97 (0,9666…)

1179 a) 16 724 520 ≈ 0,000 000 15

b) 1966 724 520 ≈ 0,000 029

c) 716 6256 724 520 ≈ 0,107

1180 Ja, eleverna har rätt. Motivering: En flicka och en pojke kan väljas på 5 · 4 = 20 sätt. Två elever kan väljas på

92( ( = 36 sätt.

Sannolikheten för en flicka och en pojke är det mest sannolika

eftersom 2036 = 5

9 > 50 %.

1181 a) 0,87 (0,868 3…)

b) 0,996 (0,995 8…)

1182 a) 0,34 (0,341 1…)

b) 0,048 (0,047 5…) Ledtråd: Antalet gynnsamma utfall är

132( ( 4

2( ( 42( ( 44

1( (· · · =

= 123 552

c) 0,000 24 Ledtråd: Antalet gynnsamma utfall är 624.

Tema Poker och Yatzy

1 2 598 960

2 a) 1 098 240 Lösning: 1 valör av 13. 2 färger av 4. 3 andra valörer av 12 som kan ha 4 olika färger

131( ( 4

2( ( 123( (· · · 43

b) 54 912 Lösning: 1 valör av 13. 3 färger av 4. 2 andra valörer av 12 som kan ha 4 olika färger

131( ( 4

3( ( 122( (· · · 42

c) 624 Lösning: 1 valör av 13. 4 färger av 4. 1 kort med annan valör

131( ( 4

4( ( 481( (· ·

3 a) 40 Lösning: 10 stegar i 4 färger. 10 · 4

b) 10 200 Lösning: 10 stegar och varje kort kan väljas i fyra färger. Antalet minskas med färg- stegarna. 10 · 45 – 40

c) 5 108 Lösning: 4 färger gånger 5 valörer i samma färg minskat med stegarna i färg.

135(( ( (4 · – 10

4 3 744 Lösning: 1 av 13 valörer till paret. 1 av 12 valörer till trissen. 2 av 4 färger i en valör. 3 av 4 färger i en valör.

131( ( 12

1( ( 42( ( 4

3( (· · ·

M5000 Kurs 5 Bla.indb 244 2013-07-11 15:44


5 a) 1 098 2402 598 960 ≈ 0,423

b) 123 5522 598 960 ≈ 0,048

c) 54 9122 598 960 ≈ 0,021

d) 6242 598 960 ≈ 0,000 24

e) 402 598 960 ≈ 0,000 015

f) 10 2002 598 960 ≈ 0,0039

g) 5 1082 598 960 ≈ 0,0020

h) 3 7442 598 960 ≈ 0,0014

Rangordning efter sannolikhet: •Stegeifärg(straightflushinkl royal straight flush) •Fyrtal •Kåk •Färg •Stege •Triss •Tvåpar •Ettpar Denna rangordning gäller i poker.

6 7 776 Lösning: 65

7 a) 150 Lösning: 1 valör av 6. 4 tärningar av 5. 1 tärning av annan valör.

61( ( 5

4( (· · 5

b) 1 200 Lösning: 1 valör av 6. 3 tärningar av 5. 2 tärningar av annan valör, men inte samma.

61( ( 5

3( (· · 5 · 4

c) 1 800 Lösning: 2 valörer av 6. 4 tärningar av 5. Permutation av 4 tärningar. där de visar lika 2 och 2. 1 tärning av annan valör.

62( ( 5 4!

4 2! · 2!( (· · · 4

d) 300 Lösning: 1 valör av 6 till paret. 1 valör av 5 till trissen. 3 tärningar av 5 till trissen (de andra till paret).

61( ( 5

1 3( (· · 5( (

e) 240 Lösning: 5! + 5!

f) 6

8 a) 3 6007 776 ≈ 0,463

b) 1 8007 776 ≈ 0,231

c) 1 5007 776 ≈ 0,193

d) 1507 776 ≈ 0,019

e) 3007 776 ≈ 0,039

f) 2407 776 ≈ 0,031

g) 67 776 ≈ 0,000 77

1186 a) 45 c) 10

b) 1 d) 10

1187 a) (x + y)3 = = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

b) (x + y)4 = = x4+ 4x3y + 6x2y2+ 4xy3+ y4

1188 a) x5, 15x4y och 90x3y2

Ledtråd: Andra termen: 5x4 · 3y Tredje termen: 10x3 · (3y)2

b) x3, –15x4y och 90x3y2

1189 a) 21x5y2 och –35x4y3

b) 103 680a8b2 och 414 720a7b3

Ledtråd: Tredje termen: 45(2a)8 · (3b)2

Fjärde termen: 120(2a)7 · (3b)3

1190 a) 73( ( = 35

b) 62( ( = 15

c) 63( ( = 20

1191 a) 275( ( = 80 730

b) 264( ( = 14 950

c) 265( ( = 65 780

1192 a) 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 Ledtråd: Varje tal är summan av de båda närmaste talen i raden ovanför.

b) 120a7b3 och 120a3b7

1193 a) 117( ( = 11

4( ( = 330

b) – 945 Ledtråd:

73( ( · x4 · (–3y)3

1194 a) Ja. Motivering:

52( ( · (2x)3 · (–y)2 = 80x3y2

b) Ja. Motivering:

52( ( · (2x)3 · y2 = 80x3y2

c) Nej.

1195 a) (n – 1)! = 1 · 2 · 3 · … · (n – 1)n · (n – 1)! = 1 · 2 · 3 · … · (n – 1) · n = n!

b) HL =

= n − 13( ( + n − 1

2( ( =

= (n – 1)(n – 2)(n − 3)1 · 2 · 3

+ (n – 1)(n – 2)1 · 2

=

= (n – 1)(n – 2)(n − 3)6

+ 3(n – 1)(n – 2)3 · 2

=

=

= n(n – 1)(n − 2)6

= n3( ( = VL

=n(n – 1)(n – 2) − 3(n − 1)(n – 2) + 3(n − 1)(n − 2)6

M5000 Kurs 5 Bla.indb 245 2013-07-11 15:44


1196 Adam planerar att arbeta 4 månader nästa år. Visa att summan av antalet urval där juli ingår och antalet där juli inte ingår är lika med antalet sätt som 4 månader av 12 kan väljas ut.

1197 Ledtråd: Tillämpa Pascals formel upprepade gånger på n + 1

k + 1( (1202 A, C och D ger väldefinierade mängder, men inte B eftersom begreppet rik inte är väl- definierat.

1203 a) Sant. Motivering: 5/6 ∈ Q och Q ⊂ R

b) Falskt. Motivering: Mängden Z innehåller bara de hela talen.

c) Sant. Motivering: 5 ∈ N och N ⊂ C och 5i ∈ C.

d) Falskt. Motivering: 8 tillhör R, men inte mängderna Q, Z och N.

1204 a) ∉ Motivering: 7 ingår inte i mängden.

b) ∈ Motivering: – 5 är ett heltal.

c) ∉ Motivering: 91 är delbart med 7 och 13 och är alltså inget primtal.

d) ∉ Motivering: 128 är inte delbart med 6.

e) ∈ Motivering: Mängden består av de positiva heltalen som är delbara med 3.

f) ∉ Motivering: 0 ingår inte i den tomma mängden eftersom den inte innehåller några element.

1205 a) A är mängden av de 5 första kvadrattalen.

b) B är mängden av de 6 första bokstäverna i alfabetet.

c) C är mängden av Sveriges tre största städer.

d) D är mängden av de 7 minsta positiva heltalen som är delbara med 7.

1206 a) {1, 3, 5, 7, 9, 11}

b) {13, 17, 19}

c) {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}

d) {–0,5 ; 0,5 ; 2}

e) {17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80}

1207 a) B = {x|x ∈ N och 0 < x < 7}

b) A = {x|x = 5(n + 1) och n ∈ N}

1208 a) 4 delmängder. Motivering: 3 element bland 4 kan väljas

på 43( ( = 4 sätt.

b) 6 delmängder. Motivering: 2 element bland 4 kan väljas

på 42( ( = 6 sätt.

1209 a) A = {102, 104, 106, 108, ...}

b) B = {–2, 0, 2}

1210 a) 25 = 32 b) 27 = 128

1211 Ja. Motivering: Mängden A består av 5 element och har 25= 32 delmängder. Mängden B består av 4 element och har 24= 16 delmängder.

1212 a) 8 mängder. b) 16 mängder. Motivering: X är alla mängder som innehåller 1, 2 och någon delmängd av {3, 4, 5, 6}.

1213 n = 9 Ledtråd: Förenkla och lös ekvationen

n4( (= 6 · n

2( (1214 a) Summan på rad n = 2 är 4 n = 3 är 8 n = 4 är 16 Summan på rad n är 2n.

b) n0( (är antalet delmängder

med 0 element.

n1( (är antalet delmängder

med 1 element.

osv

nn( (är antalet delmängder

med n element.

VL = summan av antalet delmängder till en mängd med n element = 2n = HL.

1216 a) {b, d}

b) ∅

c) {a, b, c, d, e}

d) {a, c, e}

e) {a, c}

f) {f, h}

1217 a) {2}

b) {0, 2, 3, 4, 5, 6}

c) {0, 1, 3, 4, 5, 6}

d) {3, 5} Ledtråd: A ={1, 3, 5}

1218 a) A ={1, 5, 8, 10, 11, 45}

b) A ={8, 10, 15, 21, 45}

c) A ={1, 5, 7, 8, 10, 11}

d) A ={3, 8, 10, 11, 21, 45}

1219 a) A ={2, 4, 6, 8, ...}

b) P ∩ T = {3}

c) P ∩ A = {2}

d) A ∩ T = {6, 12, 18, 24, ...}

M5000 Kurs 5 Bla.indb 246 2013-07-11 15:44


1220 Nej, det är inte sant. Motivering: Det finns rätvinkliga trianglar som inte är likbenta.

1221 a) Alla 18-åriga svenska tjejer som går i gymnasiet.

b) Alla tjejer som går i gymnasiet och/eller är 18 år.

c) Alla 18-åriga killar som går i gymnasiet.

d) Alla 18-åriga killar.

e) Alla som är svenska medborgare och/eller är 18-åriga tjejer.

f) Alla som är är tjejer och/eller går i gymnasiet och /eller är 18 år.

1222 a) P

b) P ∩ Q

c) P ∩ Q (P ∩ R)

1223 a) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

b) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

c) {1, 3, 5, 7}

1224 a) Ja. Motivering: Tre element ska ingå i både A och B. T ex {1, 2, 3, 4} och {2, 3, 4, 5, 6, 7}

b) Ja. Motivering: Om mängden A är en delmängd av mängden B. T ex {1, 2, 3, 4} och {1, 2, 3, 4, 5}

c) Nej. Motivering: Grundmängden måste innehålla minst 11 element eftersom 1 element ska ingå i både A och B, 4 element ska ingå i endast B och 6 element ska ingå i endast A.

d) Nej. Motivering: | A| = 3 och | B| = 5 Unionen mellan dessa mängder kan inte innehålla mindre än 5 element.

1226 a)

b)

c)

d)

1227 a)

b)

c)

d)

1228 19 element Lösning: 15 + 12 – 8 = 19

1229

a) 6 c) 16

b) 9 d) 84

1230 a) A ∩ (B ∪ C)

b) A\(B ∪ C)

1231 a) 10 elever b) 4 elever

1232 a) Mängden A Motivering: Kvadrater,rektanglaroch romber är delmängder av mängden parallellogrammer.

b) Mängden B ∩ C Motivering: Kvadratertillhörmängden rektanglar (två par parallella sidor och räta vinklar) och kvadrater tillhör mängden romber (alla sidor lika långa).

c) Mängden D Motivering: Parallelltrapetser har inga gemensamma element med de övriga om de definieras som fyrhörningar med exakt ett par parallella sidor.

d) Mängden C Motivering: Romber tillhör mängden parallellogrammer men inte mängden rektanglar.

1233 a) 9/3 ∈ Z Motivering: 9/3 = 3

b) 51/3 ∈ C \Q Motivering: 51/3 är inte ett rationellt tal som kan skrivas a/b.

c) – 2,5 ∈ Q\ Z Motivering: – 2,5 tillhör de rationella talen, men inte de hela talen.

1303 a) 3 hörn och 5 kanter.

b) 6 hörn och 7 kanter.

1304 a) Väg och stig. Motivering: Den är inte sluten och passerar inte samma hörn eller kant flera gånger.

b)Kretsochcykel. Motivering: Den är sluten och passerar inte samma hörn eller kant flera gånger.

A B

B A

A B

BA

BA

C

BA

C

BA

C

BA

C

100

6 7 3

Färgfel Måttfel

M5000 Kurs 5 Bla.indb 247 2013-07-11 15:44


c) Väg. Motivering: Den är inte sluten och passerar samma hörn, men inte samma kant flera gånger.

d)Krets. Motivering: Den är sluten och passerar samma hörn, men inte samma kant flera gånger.

1305 a) c)

b) d) Det finns ingen Euler- krets i grafen.

1306 a) T ex ta bort bron mellan A och B.

b) T ex lägga till en bro mellan A och C samt lägga till en bro mellan B och D.

c) Det finns en Eulerkrets om grafen är sammanhängande och det utgår ett jämnt antal kanter från varje hörn.

1308 a) Det är inte en Hamiltoncykel eftersom cykeln inte går genom alla hörn.

b)

1309 a) 66 b) 64

1310 a) (10 – 1)! = 362 880

b) 181 440

c) Antalet resvägar minskar till en niondel av 362 880.

1311 143 Lösning: 22 + 17 + 22 + 42 + 40 = 143

1312 a)

b) Det finns ingen Hamilton- cykel i grafen.

c)

d) Det finns ingen Hamilton- cykel i grafen.

1313 a)

b) 25 + 9 + 8 + 24 = 66 25 + 16 + 8 + 18 = 67

c) Det spelar nästan inte någon roll vilken resväg han väljer. Flygtiden är ungefär densamma. Motivering: Det finns (4 – 1)! = 6 resvägar men bara 3 reslängder (total flygtid). Den tredje reslängden är 18 + 9 + 16 + 24 = 67

1315 a) A: 2 hörn och 1 kant. B: 7 hörn och 6 kanter. C: 6 hörn och 5 kanter.

b) T ex:

3 kanter

c) T ex:

5 hörn

d) Antalet hörn = = antalet kanter + 1.

1316 a)

3 + 5 = 8

8 + 5 = 13

3 + 8 = 11

b) Trädet med lägst vikt, dvs 8.

1317 a) Vikten är 6.

b) Vikten är 7.

1318 n > 8 Motivering: n = 8 ger 86 = 262 144 sätt n = 9 ger 97 = 4 782 969 sätt

1319 a)

b)

Canberra Calcutta

Peking Tokyo

25

16

8

18

2

4

9

1

3

2

4

1

2

M5000 Kurs 5 Bla.indb 248 2013-07-11 15:45


c) 9 stycken.

Diagnos 1

1 a) 3 b) 8

2 a) 504 Lösning: 9 · 8 · 7 = 504

b) 1 000

3 a) 48

b) 20

c) 10

d) 5 050 Ledtråd:

10199( ( = 101

2( ( 4 a) 56 Ledtråd:

83( (

b) 336

5 60 Ledtråd:

53( (· 4

2( ( 6 a) 1 + 6a + 15a2 + 20a3 + + 15a4 + 6a5 + a6

b) 32x5 – 80x4y + 80x3y2 – 40x2y3 + 10xy4 – y5

7 a) Sant. Motivering: 7 är ett primtal mindre än 10.

b) Falskt. Motivering: Delmängden kan inte inne- hålla fler element än mängden.

c) Sant. Motivering: En mängd med 2 element har 22 delmängder.

d) Sant. Motivering: Ekvationen saknar reella lösningar.

8 a) A ∩ B = {4}

b) B ∪ C = {4, 5, 6, 7} c) B \C = {1, 2, 3, 8, 9}

d) (A ∪ B) ∩ C = {5, 6}

9 A\(B ∪ C)

10 a) 240

b) Mängderna har inget gemensamt element.

11 En promenad i en graf som börjar och slutar på samma ställe och passerar alla kanter precis en gång.

12 a) 5 vägar

b) 15 vägar Lösning: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15

Blandade övningar kapitel 1

1 13

2 a) A ∪ B = {a, b, c, d, e, f}

b) B \ C = {b, e, f}

c) A ∩ C = {a, c}

d) B ∩ C = {c, d}

e) A ∩ B ∩ C = {c}

f) |A ∪ B ∪ C| = 7

3 a) B \ A

b) (A ∪ B)

4 a) Ja. Motivering: Det finns en promenad som börjar och slutar i samma hörn och passerar alla hörn precis en gång.

b) Nej. Motivering: Det finns ingen promenad som börjar och slutar i samma hörn och passerar alla kanter precis en gång.

5 33 sätt Lösning: 3 · 3 + 3 · 4 · 2 = 33

6 a) 103( (= 120 urval

b) 83( ( = 56 urval

c) 64 urval

7 a) n3( (= n(n – 1)(n − 2)

6

b) n + 12( (= (n + 1)n

2

c) nn – 2( ( = n(n – 1)

2

d) n + 1n – 1( (= (n + 1)n

2

8 a) 4! = 24

b) 4!2!

= 12

c) 4!2! · 2!

= 6

d) 4

9 Alla n! > 1! innehåller faktorn 2.

M5000 Kurs 5 Bla.indb 249 2013-07-11 15:45


10 a) HL = 2 m2( (+

m1( (=

= 2 · m(m – 1)2

+ m =

= m2 – m + m = m2 = VL

b) Pascals formel ger

2nn( ( = 2n – 1

n( ( + 2n – 1n – 1 ( (

Symmetriegenskapen hos nk( (

kan uttryckas som

2n – 1n( ( = 2n – 1

n – 1 ( ( för n ≥ 1.

Alltså är 2nn( ( =

= 2n – 1n – 1 ( ( + 2n – 1

n – 1 ( ( = 2 2n – 1n – 1 ( (

för n ≥ 1.

11 a) Alla element som tillhör antingen A eller B, men inte både A och B.

b) Om (A ∪ B)\(A ∩ B) = ∅ innebär detta att A och B är lika.

12 Ja, t ex A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3} och C = {3, 4, 5, 6}

13 2010( ( = 184 756

14 a) 52 % (0,5177…)

b) 5/324 ≈ 0,015

15 a)

40 % 25 % 30 %

BA

A = {alla som vill åka skidor} B = {alla som vill åka skridskor}

b) 5 %

16 a) 93( (= 9 · 8 · 7

1 · 2 · 3 =

= 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 41 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6

= 96( (

b) I en grupp på nio personer ska man välja tre personer som får göra en resa. Det kan göras på

93( (= 84 sätt. Det finns lika

många sätt 96( ( = 84 att välja de

sex personer som inte får resa.

17 a) 9x4 – 6x2y3 + y6

b) a3 + 6a2b + 12ab2 + 8b3

c) x4 – 4x3y + 6x2y2 – 4xy3 + y4

d) z10 + 15z8u + 90z6u2 + + 270z4u3 + 405z2u4 + 243u5

18 6x5 + 15x4h + 20x3h2 + 15x2h3 + + 6xh4 + h5

19

Total vikt = 18

20 a) Mängden B. Motivering: De liksidiga trianglarna är en delmängd av de likbenta trianglarna A.

b) Mängden C. Motivering: De rätvinkliga trianglarna har gemensamma element med mängden likbenta trianglar, A, men är inte en delmängd av A.

c) De likbenta och rätvinkliga trianglarna. Motivering: Det färgade området är snittet av likbenta trianglar, A, och rätvinkliga trianglar, C.

21 a) 43 = 64

b) 31( (· 32 = 27

c) 64200

22 a) 5! = 120

b) 48 Lösning: 4! + 4! = 48

23 a) 8 190 Lösning:

132( ( · 15

2( ( = 8 190

b) 0,4

24 a) 16 Lösning: 44 – 2 = 42 = 16

b)

25 Det finns tre talpar med summan 7. Om vi tar 4 tal får vi åtminstone ett sådant par.

26 7 elever Lösning:

Totalt 29 – 22 = 7

27 159 744

28 3 rader Motivering: Korrekttipsradmåsteinnehålla minst 5 stycken 1:or, X eller 2:or. Tippar man en rad med 13 stycken 1:or, en rad med 13 stycken X och en rad med 13 stycken 2:or, har en av raderna minst 5 rätt.

29 a) (n – 1)!(n – 1)

b) n!(n2 + 3n)

30

B A

C

A

D

BF

CE

75

3

1

2

R

12

4

J

P

4

3

3

5

M5000 Kurs 5 Bla.indb 250 2013-07-11 15:45


31 a) 5213( ( ≈ 6,35 · 1011

b) 41( ( · 13

4( ( · 3 · 133( ( =

= 2 453 880

c) 5213( ( – 39

13( ( ≈ 6,27 · 1011

32 Båda leden ger samma Venndiagram.

a)

b)

33 594 handhälsningar

34 Anta att vi är intresserade av att veta om någon grupp av n decimaler kommer att upprepa sig. En grupp med n decimaler kan bildas på 10n olika sätt. En decimalutveckling med x decimaler innehåller x – n + 1 grupper med n decimaler. Enligt lådprincipen kommer därför minst en grupp med n siffror att upprepa sig när x – n + 1 > 10n, dvs om vi decimalutvecklar med fler än 10n + n – 1 decimaler.

35 1 820 sätt Förklaring: Vi placerar ett streck mellan de olika bullarna. Det krävs 4 streck för att skilja de fem bullsorterna åt. Vi får en rad med 16 symboler, 12 bullar och 4 streck.

4 streck fördelas på 16 platser

på 164( ( = 1 820 olika sätt.

36 a) 190 590 400 sätt

b) 5 045 040 sätt

2

2103 a) Sant. Motivering: 710 slutar på noll och är därför delbart med 5.

b) Sant. Motivering: 216 slutar på 16 som är delbart med 4.

c) Falskt. Motivering: 402 är delbart med 3 eftersom siffersumma är 6 och alltså delbar med 3.

d) Falskt. Motivering: 202 är ett jämnt tal, men siffersumman är inte delbar med 3.

2104 a) Nej. 21 = 3 ∙ 7

b) Ja, 23 är ett primtal.

c) Nej. 52 = 2 ∙ 2 ∙ 13

d) Nej. 87 = 3 ∙ 29

2105

2106 a) Ja. Motivering: A innehåller alla faktorer i 15 (= 3 ∙ 5).

b) Nej Motivering: A innehåller bara en av faktorerna i 16 (= 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2).

2107 a) 2 091 = 3 ∙ 17 ∙ 41

b) 6 045 = 3 ∙ 5 ∙ 13 ∙ 31

2108 a) Ja, 2n – 1 är udda. Motivering: 2n är ett jämnt tal om n är ett heltal, alltså är 2n – 1 udda.

b) Ja, 2n – 2 är jämnt.

c) Nej, det kan inte avgöras. Motivering: Om n är jämnt så är n – 1 udda. Om n är udda så är n – 1 jämnt.

d) Nej, det kan inte avgöras.

2109 Lösning: Det finns flera möjliga svar eftersom 105 = 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7. T ex: Två barn 7 år och 15 år eller tre barn 3 år, 5 år och 7 år eller fyra barn 1 år, 3 år, 5 år och 7 år.

Kommentar: En ung mamma gör att 5 år och 21 år eller 3 år och 35 år är mindre sannolika.

2110 T ex 7 och 14 Ledtråd: Talet måste innehålla 7 som en faktor.

2111 Lösning:

m2 – 18

= (8k + 1)2 – 18

=

= 64k2 + 16k +1 – 18

=

= 8k2 + 2k = 2(4k2 + k) vilket är jämnt eftersom (4k2 + k) är ett heltal.

2112 8 712 585 st Lösning: Ett tal A med n siffror kan skrivas A = a ∙ 10n där 0,1 ≤ a < 1.

A = a ·10 n = a ∙ 10n = = a ∙ 100,5n

vilket är ett tal vars heltalsdel har hälften så många siffror om n är jämnt. 17 425 170/2 = 8 712 585

2113 a) Lösning: a delbart med 4 ger att 1 200 + a = 4 ∙ 300 + 4k = = 4(300 + k) vilket är delbart med 4.

b) Ledtråd: Visa att, om k = 2n + 1, så är 3k delbart med 3 men inte med 2.

BA

C

B

C

A

150

15 10

3 5 2 5

M5000 Kurs 5 Bla.indb 251 2013-07-11 15:45

284 REGISTER

sammansatt tal 68sannolikhet 23sannolikhetslära 23, 26SGD 71SGF 71Sierpińskis triangel 87slumpförsök 23skalmetoden 158skivmetoden 154snitt 39stig 47största gemensamma delare 71största gemensamma faktor 71största värde 137summatecken 90

talföljd 84 aritmetisk 90 Fibonaccis 102 geometrisk 92talsystem 80 binärt 80 hexadecimalt 80 oktalt 80talteori 68

tangent 128terrasspunkt 137tillhör 35tillhör inte 35tillväxt med begränsningar 204tom mängd 35träd 54träddiagram 24

union 39uppspännande träd 54utfall 23utfallsrum 23utvecklas form 80

Venndiagram 41verifiering av en lösning 182volymberäkning 154 skalmetoden 158 skivmetoden 154väg 47växande funktion 122

Yatzy 28

Personer:Appel, Kenneth 49Brahe, Tycho 157Euler, Leonard 46Gauss, Carl Friedrich 79Haken ,Wolfgang 49l’ Hospital, Guillaume François A. 144Kepler, Johannes 157Leibniz, Gottried Wilhelm 144Newton, Sir Isaac 144, 179Fibonacci, Leonardo 102Wiles, Andrew 79

KÄLLFÖRTECKNING TILL BILDERSiffrorna anger sida och bildens placering på sidan

Foton:Alfredsson, Lena 16:1-3, Bonde, Irene 136Heikne, Hans 10, 18, 26, 27, 50, 106, 126, 142, 161, 166, 170, 176:2, 181, 201, 202, 218

IBL Bildbyrå AB, Stockholm Abbey, Michael 205 Abreu, César Lucas 12 AGE photostock 96 Ardea 208 Bibikov, Walter 222 Brignell, Chris 217 Buettner, Jens 149 China Photo Press 199 Coppola, Iris 15 Derby, Erin 130-131 Dinodia 51:4 Easy Photostock 11, 14 Eriksson, Per- Olov 195 Escudero, Patrick 72 Eugen 209 Eyevine 42 Fleck, Elfride 215

Grill, Tom 103 Image Source 97 Jianzhu 100 Kalium 51:1 Korach, Mujo 132 Levene, David 115 Lilja, Torbjörn 176:1 Maslennikov, André 227 Masterton, Ian 51:2 Mathieson, Greg 83 Melba 219 Militsova, Olga 65:2 Nature Picture Library 174-175 Norenlind, Nils- Johan 187 Pasieka, Alfred 56 Photo Researchers 101 Preis, Miriam 117 Rex Features 116, 216, Schederin, Roger 124 Sience Photo Library 6-7, 32, 57, 78, 108,118-119, 144:1-2, 157:1-2, 162, 178, 179, 200, 210 Topic Photo Library 51:3, 168 Valkonen, Jorma 82, 86 Victoria and Albert Museum 98

Ward, A 73 Whalberg, Per 125 Xinhua 135:2Nordic Photos Bildbyrå Andersson, Mikael 133 Wildcard Images 134Kungliga Vetenskapsakademin 197Scanpix Bildbyrå Edwartz, Lasse 135:1Shutterstock Adriyanov, Ilya 123 Deng, Songquang 29 JDS 66-67 Nmid 64 Orr, Paul 112 Sashkin 80 Urrra 189 Wierinnk, Ivonne 22 Zadorozhnyi, Viktor 224-225

Illustrationer:Johan Hesselstrand 8, 46, 133, 143

Matematiska illustrationer:Mats Karlsson

M5000 Kurs 5 Bla.indb 284 2013-07-11 15:46

Documents

Lena Alfredsson Kajsa Bråting Patrik Erixon Hans Heikne ... · Grafisk form och omslag: Graffoto AB och Åsa Lundbom ... Blandade övningar kapitel 1–2 Blandade övningar kapitel