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LEMENT0SREVISTA Dj: MATEMÁTICA
KPARA LA ENSEÑANZA MEDIA l
fAño I Número 1Julio - Agosto 1963
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í'; ■Nuestros propósitos\
Semblanzas: Julio Rey Pastor
Temas de Nuestro tiempo: La revolución en la matemá
ticapor Marshall H. STONE
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Génesis y desarrollo de un movimiento renovador
Panorama:
Orientación Sugestiones para el curso de geometría intuitiva
por Luis A. SANTALO'
Sistemas de numeración
Bibliografía - Miscelánea - Noticias - Correo
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I
LIBIA DEL COLEGIO S.A.1
ELEMENTOSDesde 1830 cd servicio de la cultura argentina|
1Revista de Matemática para la Enseñanza Media
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Introducción al cálculo de probabilidades La EstadísticaExposé moderne des Mathématiques élé-
mentaires
55.—SEn el próximo número: S 40.—
S 1.190.—Planteo y ejecución de una reforma:! Éstas y otras muchas obras de la especialidad so
encuentran en nuestra Sección de Libros Técnicos.La revolución en la matemática (Continuación) 1
tAspectos de la reforma en EE. TJU.
Transformaciones geométricas planas
LIBRERIA DEL COLEGIO1I
ALSINA Y BOLIVAR BUENOS AIRESRegistro Prop. Intelectual Número (en trámite)
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ELEMENTOSREVISTA DE MATEMÁTICA
PARA LA ENSEÑANZA MEDIA
390 versátil...un compacto yElectrónico de Procesamiento de DatosSistema
Año I Julio - Agosto 1963 Número 1.Jí'
I\
Nuestros PropósitosA mi no me lia derrotado nadie... y aunque asi hubiera
sido, la derrota sólo habría conseguido hacerme más fuerte, optimista* más idealista; porque los únicos derrotados en este mundo son los que no creen en nada, los que no conciben un ideal, los que no ven más camino que el de su Casa o negocio, y se desesperan y reniegan de si mismos, de su patria y de su dios, si lo tienen, cada vez que le sale mal algún cálculo financiero o político de la matemática de su egoísmo.
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390...
390...Nos presentamos ante nuestros colegas, los profesores de matemá
tica de las escuelas medias argentinas, y abrimos estas páginas a su curiosidad e interés, convencidos de llenar una necesidad cada vez más apremiante en ese ámbito docente. Lo hacemos al promediar este año lectivo de 1963 que, con justicia, se ha puesto bajo la advocación de Joaquín V. González, el místico visionario cuya fe en la ciencia compartimos. Como él, pensamos que la ciencia “enseña el sentido de la verdad y de la justa medida de las cosas” y que como educadores debemos “formar por el amor y por la ciencia la fuente inagotable de energías de la Patria31
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390..,
I
En los países de gran desarrollo científico se ha producido un importante movimiento que cobró gran impulso en los últimos años, tendiente a lograr una renovación total de la enseñanza de la matemática en todos los niveles, desde la escuela primaria a la universidad. Pue-
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RESISTENCIA
* 4"c,,lí?r25&Z SEMBLANZASallí es donde se las necesidades actuales.
Esta “revolución en la matemática", de qne habla Sime en otro lunar, na ha trascendido a las escuelas secundarias de muchos países, y el nuestro no puede quedar al margen. Las experiencias que so están difundiendo en tal sentido no deben dejarnos indiferentes.
liatones de la más distinta índole —tiempo., distancia, medios- han convergido para impedir que el profesor secunda) io se mantenga actualizado en cuanto se refiere a novedades científicas y didácticas. Por ello, nos proponemos llevar a nuestros colegas toda la información de que seamos capaces y estamos seguros de que sabrán apreciar mies- iros esfuerzos en ese terreno. Además, superando nuestro modesto aporte personal, contamos con la valiosa colaboración de prestigiosos matemáticos nacionales y extranjeros, los que han de dar a la revista la categoría intelectual que corresponde.
Julio Pastor
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Sabemos que su nombre encabezará dignamente esta galería de figuras destacadas en el campo matemático. Lo perdimos a don Julio Rey Pastor presencia corporal el 21 de febrero de 1962; su huella fecunda hace te su presencia espiritual. Desde 1917, cuan/do tenía apenas veintinueve años y era ya nada más ni nada menos que Rey Pastor, estuvo vinculado a nuestros medios docentes y científicos. En esas cuatro décadas produjo valiosa obra escrita y dictó cátedra inigualable, promoviendo estudios e investigaciones en un terreno casi virgen.
"Maestro en el arte de enseñar, en el de comprender y en el de luchar y estimar —ha dicho de él Puig Adam—, su producción didáctica es modelo de arquitectura funcional; en ella parece como si las verdades enunciadas y demostradas, aún conocidas, adquirieran a través de su exposición, nueva luz, sea por la armónica estructura, sea por la novedad audaz de las demostraciones". Los que nos honramos con haber sido sus alumnos en el Instituto, sabemos bien que ese juicio refleja cabalmente al maestro que era Rey Pastor en el aula, cuando su exposición, siempre matizada por la ironía que le brillaba en los ojos, asombraba igualmente por la claridad científica y la facundia verbal.
Se había doctorado en España en 1909 y perfeccionado posteriormente en Alemania; cuando en 1914 publica sus admirados "Fundamentos de Geometría
Esta labor inicial crecerá, no lo dudamos, estimulada por nuestros lectores, cuya comunicación frecuente comprometemos. Porque sonamos con una revista que sea realmente un símbolo de mutila colaboración en pro de una escuela siempre mejorada, espiritual, intelectual y, por qué no, materialmente. Por ello, aquí se podrán plantear dudas, resolver problemas, suscitar entusiasmos. Si en todas las latitudes se dama hoy por una urgente y drástica renovación en los contenidos y métodos de enseñanza, debemos meditar esa exigencia y capacitarnos para enfrentarla.
como
permanen-
Con estos propósitos iniciamos nuestra tarea que es la de lodos.LOS EDITORES
B
Proyectiva Superior", su figura de matemático adquiere contornos universales. En 1916 aparece su "Introducción a la Matemática Superior", espléndida muestra de su amplia versación y de su notable capacidad de síntesis elegante y expresiva. Rey Pastor reeditó esta obra en 1951, rehaciéndola casi totalmente; pocas veces hemos tenido entre manos un trabajo suyo que mejor lo mostrara como conocedor y como expositor.
A partir de 1917, cuando en su visita inicial pronunciara memorables diserta-
... Acerquémonos, pues, aprendamos nos, y por eso estimamos, para tratar de alean- zar el ideal común. Cuidémonos de imponer dios uniformes a todos; esto es irrealizable, y por otra parte no es de desear. La uniformidad es la muerte, porque es la puerta cerrada a todo progreso, y además toda sujeción es estéril y odiosa.
a conocer.
me-
<JIENRI POIRCARÉ “Últimos pensamientos”
Esposa - Calpe Arg., B. Aires, 1946
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la realizó E. Tenadas, amigo entrañable, en el primero de los tomos que en su homenaje publicara en 1945, el Instituto de Matemática de la Universidad del Litoral.
Rey Pastor había nacido en Logroño, España, el 14 de agosto de 1888, y aunque estuvo siempre ligado a su suelo natal, anaigó en nuestra Patria, donde se lo admiró como erudito y se lo apreció como hombre. Ocupó por muchos años cátedras universitarias en Buenos Aires y también en La Plata y Cuyo; fue profesor inolvidable del Instituto Superior del Profesorado de la Capital. Su influencia renovadora en la enseñanza de la matemática trascendió del ámbito superior al ciclo medio y perdura a través de las generaciones de egresados que participaron de sus clases.
TEMAS DE NUESTRO TIEMPOsuceden obras y mas obrasciones, sede su copiosa producción entre nosotros. Podríamos citar tratados ejemplares como Análisis Algebraico, Lecciones de Algebra y Teoría de Funciones, libros de carácter didáctico como sus textos para el bachillerato y su Cálculo Infinitesimal, memorias estupendas como la de "Los últimos teoremas de Poincare , apuntes de sus innumerables cursos como el más reciente sobre Teoría de los Conjuntos Abstractos, trabajos sobre epistemología e historia de las ciencias,
contribución a la Historia de la Nación Argentina, en el volumen II, sobre ciencia y técnica en el Descubrimiento. Su amplia erudición rivalizaba con su dominio del lenguaje, y muchas de sus páginas son realmente antologicas. Una valoración objetiva y responsable de su labor, aquí y allá, hasta 1944,
La Revolución
Matemáticalaen
(o
MARSHALL H. STONE (Universidad de Chicago - E.E. U.U.)como su
Estamos en medio de una crisis intelectual que tiene profundas implicaciones para la educación en todas partes del mundo. Esta crisis ha surgido junto con el desarrollo de la ciencia y es la consecuencia directa de la adopción, por el hombre, de modos científicos de pensar y de actuar. No disiparemos sus tensiones hasta que aceptemos la ciencia como parte integral y fundamento básico de nuestra cultura, no sólo en el nivel material sino también en las esferas tangentes de la vida intelectual y la educación. Tan súbitamente se ha desarrollado esta crisis y tan lejos se han extendido sus efectos, que nos vemos forzados a reconocer en ella los síntomas característicos de un cambio fundamental en la cultura humana. Aun cuando la imaginación es inadecuada para pintar la sociedad transformada que emergerá finalmente de los cambios que comenzaron recientemente, podemos, no obstante, ver con alguna claridad que en unas pocas generaciones más cada aspecto de la vida del hombre se habrá alterado radicalmente. Ya podemos reconocer cuán profundamente está influyendo la formación progresiva de hábitos científicos de pensar y de actuar, en la relación del hombre con su universo. Todo —su relación con el medio físico, su relación con el tiempo y el espacio, sus relaciones consigo mismo y con la sociedad en que vive y, debemos agregarlo, su relación con el dominio espiritual— se está viendo y tratando bajo nuevos aspectos porque el hombre halló en la ciencia un nuevo
instrumento para percibir y entender las condiciones de su existencia.
Los cambios así forjados por la ciencia ya han dejado atrás a la lenta evolución de nuestros sistemas educativos. A medida que un mundo nuevo lucha para nacer, nos damos cuenta con bastante inquietud que, de repente, estamos obligados a hacer un esfuerzo muy decisivo para llevar la educación al nivel de nuestros tiempos y orientarla, lo mejor que podamos, hacia un futuro muy diferente de todo lo que nos era familiar en el pasado. La situación requiere que polvamos a pensar teda nuestra concepción de la educación, dispuestos a buscar la verdad acerca de nosotros mismos y del universo en que vivimos y con el fin de incorporarla a lo que enseñamos v a nuestra manera de enseñarlo.
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m
ENTRE DOS SIGLOSconstrucciones progresivas que nunca pierden de vista lo real, incluso cuando parecen separarse, como en las geometrías no euclidianas, las multidimensio- nales o los cuaternios. Por lo contrario, lo característico de nuestro tiempo son las construcciones arbitrarias, los postulados arbitrarios y las funciones arbitrarias, suma de arbitrariedades que horrorizaba a Poincaré. Si él y Hilbert pueden tomarse como figuras máximas representativas del final de su siglo, hay una diferencia profunda entre ambos. Poincaré cierra con su genial obra esa centuria, señalando rumbos para perfeccionar su obra, mientras que Hilbert abre las puertas al nuevo siglo.
La Matemática del presente siglo, esencialmente sistemática y abstracta, queda encuadrada en dos grandes marcos: Algebra abstracta y Espacios abstractos, es decir, lo discreto, de esencia aritmético-algebraica, y lo continuo, o sea lo geométrico, dualidad que tiene sus lejanas raíces en las mentalidades india y griega. Mirando mucho más cerca, la moderna Algebra (que en gran parte es Aritmética) nació en las mentes abstractas de Galois, Grassmann, Hamil- ton, Cayley, Dedekind, Kronecker ..., mientras que los más importantes espacios abstractos fueron codificados por Hilbert y su discípulo Schmidt, con el modelo de la Geometría vectorial tesiana, y con toda amplitud por Fréchet, siguiendo la pauta que para los conjuntos de puntos trazó Cantor.
La Matemática del siglo XIX va de lo concreto a lo abstracto; hija de la Filosofía natural de las dos centurias precedentes, se eleva gradualmente por
DESARROLLO DE LA MATEMATICA EN EL SIGLO XX
Como parte de la tarea de rever y revisar las ideas fundamentales de nuestras prácticas educativas, es esencial examinar la tranquila revolución que ha ocurrido en la matemática en nuestro tiempo y apreciar su enorme potenciali-
car-
N
I. REY PASTOR "La Matemática Superior"
Ed. Iberoamericana; Bs. Aires, Madrid 1951
(1) Traducción, autorizada por el autor, del articulo publicado en la revista "Liberal Education" EE. UU. Volumen XLVII, Número II, Mayo 1961. páginas 304 - 327.
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fusa y vagamente, está implícita en la expresión de que los pensamientos se originan en el cerebro. El descubrimiento de que esto es así puede, sin exageración, emplearse para señalar uno de los avances intelectuales de mayor significación en la historia de la humanidad, comparable, en cuanto concierne a la matemática, sólo con otro gran descubrimiento —el reconocimiento por los griegos de que los hechos empíricos de la geometría caen dentro de configuraciones lógicas, las que pueden ser amalgamadas de modo que toda ella aparezca como una estructura lógica coherente basada en un limitado número de axio- .
No están desconectadas de esta
dad para provocar avances fundamentales en todos los campos en que actúan la razón y el pensamiento científico. No es tan importante para el matemático recordar aquí que, durante unos dos milenios y medio, la matemática ha mantenido un prominente lugar en la educación —y, adviértaselo, entre las humanidades—, como delinear clara y llamativamente la extraordinaria evolución ocurrida en ella durante el siglo XX y en sus conexiones con otras disciplinas, y explicar por qué esto nos impulsa ahora, tan tremendamente, a modernizar nuestra enseñanza de esta asignatura, y aun a darle un lugar nuevo y más importante en el esquema educativo. Lo que deben captar todos aquellos que se interesen por educación, es que nuestra concepción de la naturaleza de la matemática ha sufrido un cambio revolucionario, nuestro conocimiento técnico de esta disciplina se ha agrandado vastamente, y nuestra dependencia de ella para el progreso científico y tecnológico se ha incrementado enormemente. En verdad, cada día se hace más y más claro que la matemática tiene que ser considerada como la piedra angular de todo el pensamiento científico y, por lo tanto, de la intrinca- damente articulada sociedad tecnológica que estamos activamente empeñados en construir. Podemos prever un momento, en un futuro no muy distante, en que se alcanzará una completa identificación de ciencia, lógica y matemática; lo que ya ha ocurrido en el caso de la física matemática, particularmente en la teoría cuántica del campo, indica qué ocurrirá en las otras ramas de la ciencia cuando ellas exploren más profundamente las complejas relaciones que tratan de entender.
Aunque desde 1900 se han producido varios cambios importantes en nuestra concepción de la matemática o en nuestros puntos de vista sobre ella, lo que constituye verdaderamente una revolución en las ideas, es el descubrimiento de que la matemática es totalmente independiente del mundo físico. Para expresarlo con un poco más de precisión: ahora se comprende que la matemática no tiene necesariamente otras conexiones con el mundo físico fuera de la que,
También advertimos que la tendencia hacia la abstracción debe continuar inevitablemente, reforzada por el éxito que ya tiene acreditado. Siguiendo ese rumbo y dirigiendo cada vez más su atención al discernimiento y estudio de configuraciones abstractas, los matemáticos se han vuelto cada vez más conocedores de la antítesis fundamental entre el aspecto estructural de la matemática y el aspecto estrictamente instrumental, que tan a menudo parece tener importancia principalísima para las aplicaciones y con tanta frecuencia es la principal preocupación de los profesores de la asignatura. Un entendimiento y una apreciación más profundos de esta antítesis se ha alcanzado hace poco a través de algunos estudios notables de lógica moderna que han descubierto limitaciones inherentes a lo que se puede lograr por la manipulación puramente mecánica del cálculo simbólico. Es totalmente obvio que estas nuevas ideas y progresos, que en suma constituyen una genuino revolución en la matemática, plantean difíciles problemas prácticos para el educador. Sólo el incorporar a los programas de matemáticas los elementos esenciales de nuestro nuevo conocimiento, ya es una tarea formidable; pero la necesidad de presentar a la matemática como materia abstracta se ha planteado y, la reconciliación de sus aspectos antitéticos acrecen en mucho las dificultades vinculadas con la elevación de la instrucción matemática hasta el nivel exigido por nuestros tiempos. En consecuencia, necesitamos examinar con particular detalle los diversos factores que sólo pudieron ser mencionados brevemente en estas observaciones introductorias.
asegurar que la matemática es abstracta —"no sabemos de qué estamos hablando"— y que la noción de verdad matemática es puramente formal "ni sabemos si lo que decimos es verdad", en cualquier sentido real. Aunque la descripción de Russell subraya la independencia de la matemática, respecto del mundo de los fenómenos, falla al definir su contenido. Un matemático moderno preferiría la caracterización positiva de su disciplina como el estudio de sistemas abstractos generales, cada uno de los cuales es un edificio construido por elementos abstractos especificados, y estructurado por la presencia de relaciones arbitrarias, pero inequivocamente especificadas, entre ellas. El estudio de tales sistemas matemáticos significaría para él no sólo el examen de las propiedades intrínsecas de sistemas individuales, sino también la comparación de las estructuras de sistemas diferentes. Sostendría que ni esos sistemas ni los medios provistos por la lógica para estudiar sus propiedades estructurales, tienen ninguna conexión directa, inmediata o necesaria con el mundo físico. Al mismo tiempo, reconocería que tales sistemas matemáticos pueden ser a menudo muy útiles como modelos de porciones de realidad, dando así las bases para un análisis matemático teórico de relaciones observadas en el mundo de los fenómenos. También reconocería que esta clase de conexión accidental y hasta cierto punto arbitraria entre alguna parte de la realidad y cierto sistema matemático, ha conducido a menudo al descubrimiento de caracteres abstractos del último, que podrían eventualmente constituirse en el objeto de las demostraciones matemáticas abstractas.
Naturalmente, esta idea de la matemática, que difiere tan radicalmente de la sostenida por los antiguos griegos o por todos los matemáticos anteriores al siglo XIX, no fue formulada de golpe, sino que se ha desarrollado poco a poco a través de un largo período de tiempo. El descubrimiento del cual surgió nuestra idea corriente de la matemática como una disciplina totalmente abstracta, estrictamente lógica y enteramente independiente, fue el de la geometría plana
mas.profunda penetración moderna en la naturaleza de la matemática ciertas otras realizaciones del siglo XX. Así, se han podido determinar con bastante precisión las conexiones entre la matemática y la lógica, y definir el alcance de la matemática en términos tan generales y tan simples que parecen proporcionar una respuesta casi final a la pregunta "¿qué es la matemática?" Se ha podido ver cómo sus diferentes ramas están unidas
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en un todo imponente y se han podido reforzar los vínculos técnicos que las enlazan dentro del marco de una definición general. Hemos logrado acercarnos a una nueva posición más ventajosa, desde la cual somos capaces de apreciar los notables avances técnicos logrados en los últimos sesenta años, que son meramente como el preludio de mayores conquistas en el futuro. Cuando nos detenemos a comparar la matemática de hoy con la de fines de siglo XIX, podemos asombrarnos al notar cuán rápido ha crecido nuestro conocimiento matemático en cantidad y en complejidad, pero tampoco dejaremos de observar cuán íntimamente ha estado relacionado este desarrollo con el énfasis sobre la abstracción y con el creciente interés por la percepción y el análisis de configuraciones matemáticas generales. En realidad, con un examen más detenido, vemos que esta nueva orientación, hecha posible sólo por el divorcio entre la matemática y. sus aplicaciones, ha sido la verdadera fuente de su tremenda vitalidad y crecimiento en el siglo actual.
LA NATURALEZA ABSTRACTA DE LA MATEMATICA
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El filósofo Bertrand Russell ha descrip- to la naturaleza abstracta de la matemática en el epigrama: "La matemática es la disciplina en la cual no sabemos de qué estamos hablando ni si lo que decimos es verdad". Esta es su forma de
v’con-
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Nos referimos particularmente al tra- miento simbólico de la lógica por Boole, Schroeder y Peano, a la creación de las teorías de los conjuntos y de los núme-
trasfinitos por Cantor, y al análisis lógico del sistema de los números reales por Dedekind y Frege. Así como los griegos tuvieron que desarrollar la lógica con el fin de explorar las implicaciones que relacionan los hechos empíricos de la geometría, los matemáticos del siglo XIX tuvieron que profundizar aun más en la lógica para poder tratar la nueva matemática de su tiempo con suficiente exactitud y precisión. Fueron de ese modo conducidos a realizar muchos progresos técnicos y ampliaciones dentro de la naciente lógica y a comprender el alcance y la naturaleza del concepto de función. En realidad, puede decirse desde un punto de vista técnico, que la clase de ciertas tendencias características de la matemática moderna reside en el interés creciente por este concepto bajo uno u otro de los muchos nombres que so le atribuyen (v.g. función, operador, transformación, aplicación).
Con una pequeña simplificación más, puede decirse que lo que debía agregarse a la lógica de las proposiciones y a la teoría de los conjuntos de Aristóteles y los lógicos escolásticos, con el fin de poner la lógica a la altura de las exigencias de la nueva matemática, era el análisis de este concepto, tal como fue logrado por los lógicos y matemáticos ya mencionados. Russell y Whitehead mostraron primero cómo toda la matemática podría expresarse en términos de la lógica formal, ampliada con los conceptos de conjunto y función. En este sentido, la matemática puede considerarse como una parte de la lógica. Por otra parte, la plena realización del sueño de Leibniz, de reducir la lógica a un cálculo simbólico, se logró mediante etapas sucesivas asociadas a los nombres de Boole, Peano, Russell, Whitehead y algunos otros investigadores posteriores. Como consecuencia, ahora podemos reconocer que la lógica formal, considerada como el estudio de operaciones con símbolos apropiados, debe ubicarse en el álgebra como un capítulo especial; aparece entonces como una parte de la matemática. La
fusión asi alcanzada entre matemática y lógica refuerza la conclusión de que la matemática es una disciplina formal completamente abstracta, v origina interesantes cuestiones como la de cuánto puede lograrse por manipulación mecánica de sistemas simbólicos y cuánto debe depender de la comprensión directa o intuitiva de sus configuraciones estructurales.^ Está claro, por supuesto, que la matemática puede compararse a unjuego ■ ° bien a una variedad infinita de juegos en los cuales las piezas y vimientos no tienen significado intrínseco, y el interes absorbente radica en percibir y utilizar las configuraciones del juego permitidas por las reglas. Cuando la matemática se examina así, las cuestio-
ya consignadas plantean el problema de determinar si es posible o no, reducir la realización de uno u otro de esos juegos a un procedimiento automático prescripto, sin dejar lugar para el empleo del juicio y la inspiración. Así, la distinción entre los aspectos instrumental y estructural de la matemática, adquiere un significado más agudo y una importancia mayor en virtud de la identificación de la matemática y la lógica.
no euclidiana por los dos Bolyai, Gauss y Lobachevski, a principios del siglo XIX. Gauss trató rápidamente de decidir en forma experimental si la geometría del espacio requiere un modelo euclidiano o lobachevskiano; pero concluyó que no podía decidir la cuestión sin hacer mediciones de mayor exactitud que las que él podía lograr. Así, dos sistemas matemáticos internamente consistentes, pero mutuamente incompatibles, estaban disponibles para describir la geometría física. Era imposible imaginar que uno de ellos pudiera tener, en detrimento del otro, alguna conexión necesaria con el mundo físico. Era igualmente imposible, al menos en ese tiempo, elegir entre ellos sobre bases físicas. El subsiguiente desarrollo de muchas otras clases de geometría absrtacta aceleró el surgimiento de la idea moderna que aquí hemos des- cripto. Impulsos posteriores en la misma dirección, provinieron del lado del álgebra, donde gradualmente se hizo evidente que la matemática no debe tratar con un único sistema numérico, sino más bien con una infinidad de tales sistemas, que compartan muchos caracteres comunes, pero que al mismo tiempo tengan sus peculiaridades individuales. Un tercer factor contribuyente fue el desarrollo de nuevas técnicas y conceptos en la lógica, durante la última mitad del siglo XIX y la primera parte del XX, como resultado de lo cual se hizo posible aclarar la relación entre la matemática y la lógica, y justificar la moderna definición de la matemática que se ha dado aquí.
ca. álgebras, sistemas ordenados y espacios topológicos. Por otra parte, se han descubierto numerosos procesos, algunos muy complejos, para sintetizar nuevos sistemas a partir de sistemas dados y usarlos para obtener información sobre éstos. Además, muchos de los sistemas familiares —como por ejemplo los sistemas numéricos del análisis— pueden ser caracterizados por la conjunción de sencillas propiedades algebraicas y topológicas u ordinales. Por eso, en cierto sentido, las partes de la matemática más conocidas son las muy relacionadas con ciertos temas principales muy familiares, y las parte todavía no exploradas pueden ser, muy probablemente, de naturaleza bastante distinta de las que examinamos ahora con comodidad.
En conclusión: aun cuando no tenemos derecho para suponer que las investigaciones matemáticas del futuro usarán necesariamente técnicas o descubrirán fenómenos generalmente semejantes a los conocidos en el momento actual, podemos esperar que la nueva matemática, diversificada como se quiera, sea abarcada en la unidad que establece la definición aquí ofrecida. En realidad, esta definición es tan amplia y admite un grado de abstracción tan grande que difícilmente se puedan hacer retroceder los límites que fija a la matemática. Así, tenemos buenas razones para creer que eventuales modificaciones en nuestra concepción básica de la naturaleza de la matemática deben basarse en nuevos progresos de la lógica, progresos que envuelvan nuevas técnicas y nuevos puntos de vista, los cuales provendrán de nuestra más vasta experiencia como matemáticos.
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LA UNIDAD DE LA MATEMATICA
La caracterización de la matemática como el estudio de sistemas que comprenden ciertos elementos abstractos y ciertas relaciones establecidas entre ellos, muestra muy claramente su unidad esencial. Sin embargo, no puede sugerir adecuadamente las últimas conexiones estructurales que han sido halladas entre sus diferentes ramas, como resultado de modernas investigaciones. Durante los últimos cincuenta o sesenta años se ha hecho mucho para identificar y comparar los sistemas matemáticos que tratan el álgebra, la teoría de números, la geometría y el análisis. El éxito ha sido sorprendente en dos aspectos. Por un lado, la posibilidad de analizar en detalle los sistemas matemáticos que conocemos ha sido explotada hasta el punto de que todos ellos se consideran como derivados de tres tipos simples de sistemas:
LA MATEMATICA Y LA LOGICA
Hemos alcanzado, en verdad, el punto en que podemos realmente identificar a la matemática con la lógica. Las razones principales en que se basa esta identificación fueron establecidas con minucioso detalle por Russell y Whitehead en su monumental tratado "Principia Mathema- tica", publicado en 1-911. Esta notable obra puede considerarse como la culminación de una serie de brillantes contribuciones del siglo XIX al estudio de las conexiones entre la matemática y la lógi-
ABSTRACCION Y APLICACION
Parece ser una mera paradoja que cuando la matemática ha sido llevada casi hasta su más alto grado de abstracción, sus aplicaciones han comenzado a multiplicarse y a proliferar de manera extraordinaria. No hay duda de aue uno de los más llamativos rasgos de la vida intelectual del siglo XX es la penetración
*3>
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bable que esta apariencia cambie a medida que puedan desarrollarse técnicas más poderosas y ampliarse el alcance de las aplicaciones. Por supuesto, sería muy natural predecir que se tenderá en general, a una reorganización matemática cada vez más intrincada en todas las ramas de la ciencia, aún en aquéllas en que todavía nada pode-
discernir más allá de las primeras
PANORAMAde la matemática en el círculo siempre creciente de las disciplinas científicas, no sólo de las ciencias naturales, sino también de las que se dedican al estudio de la conducta humana. A medida que esta penetración permite comenzar tender situaciones que habían desafiado previamente al tratamiento teórico, tene-
nuestra primera idea clara de cuán lejos v cuán profundamente está destinada a llegar la influencia de la matemática. Todo un nuevo mundo de pensamiento y comprensión se abre ante nosotros, del cuál sólo la matemática es la clave. Sin embargo, lejos de ser paradójica, esta conjunción de dos corrientes aparentemente opuestas en su desarrollo, puede considerarse justamente como el signo de una verdad esencial acerca de la matemática misma.
Porque sólo en la amplitud con que la matemática se libera de los lazos que en el pasado la sujetaban a aspectos particulares de la realidad, es que puede llegar a ser el instrumento extremadamente flexible y poderoso que necesitamos para abrir caminos en áreas que hasta ahora están fuera de nuestro alcance. Los ejemplos que sustentan este argumento son ya numerosos, y no hay duda de que pueden ser reforzados por muchos otros en la segunda mitad de este siglo. Podemos mencionar el moderno desarrollo de una elaborada teoría matemática de la genética, la reciente creación de una teoría de juegos con aplicaciones a la economía y a una variedad de otras situaciones caracterizadas por competiciones, y la aun más reciente formulación de una teoría matemática de las comunicaciones con aplicaciones a la ingeniería y a la lingüística. Comparada con la matemática requerida en las partes más difíciles de la física teórica, como por ejemplo la teoría cuántica del campo, la matemática que se emplea en algunas de las aplicaciones más nuevas, puede a menudo parecer simple y aún inocente. Es muy pro-
a en-
Génesis y Desarrollo de
un Movimiento Renovadormos
mosformulaciones de unos pocos principios matemáticos rudimentarios. Si fuéramos a pintar un cuadro exacto de lo que está pasando en las matemáticas de nuestro tiempo, no podríamos limitarnos a estas generalidades, pues deberíamos tratar de tener en cuenta los importan- La Unión Matemática Internacional
(IMU), consciente de los graves problemas derivados de la necesidad cada mayor de más y mejores matemáticos, creó la Comisión Internacional de Enseñanza Matemática (CIEM), entendiendo que sólo una adecuada formación de los jóvenes en el nivel secundario y universitario, que pusiese en evidencia la importancia de la matemática en el mundo actual, conseguiría despertar su entusiasmo hacia el estudio de esta disciplina.
En sus reuniones de octubre de 1952 y principios de 1953, la CIEM encaró un plan de acción para- realizar un estudio preliminar destinado a servir de base para la discusión en el Congreso de Amsterdam, en 1954. Consideró que, para tener éxito, era necesario que en cada país miembro de la IMU, la comisión nacional respectiva designara una subcomisión de enseñanza. Su tarea primera fue abocarse al estudio del tema: "El papel del matemático en la vida contemporánea", y satisfacer la encuesta sobre los programas de matemática para estudiantes entre 16 a 21 años, y los resultados de la enseñanza. Luego del Congreso de Amsterdam, el programa de trabajo se extendió a la consideración de la enseñanza para todo el ciclo secundario.
Así nació la Subcomisión Argentina; su actuación sólo comenzó en 1956; pero, a partir de 1959, con la consideración del programa propuesto para el Congreso de Estocolmo, su trabajo se regularizó. Este programa fue el siguiente:
"Estudio de los distintos tipos de exámenes, especialmente los de admisión a la Universidad"."Estudio de los temas y aplicaciones de "matemática moderna" que pueden incluirse en los programas de la escuela secundaria".
3. "Estudio comparativo de los métodos de enseñanza usados para vincular la aritmética al álgebra".
El segundo tópico desplazó al primero en cuanto a importancia y se pidió a las subcomisiones nacionales que prepararan sendos informes sobre él, con el objeto de reunirlos todos en el que se presentaría a dicho Congreso.
Las conferencias internacionales se sucedieron. Merece destacarse, por su fundamental importancia y la gravitación que tuvo en todo el trabajo posterior, el Seminario de Royaumont (Francia), reunido entre noviembre y diciembre de 1959 con el auspicio de la Organización Europea de Cooperación Económica (OECE). En él se resolvió constituir un grupo de matemáücos y profesores para preparar de inmediato un programa que se sugeriría a los diversos países, poniendo énfasis en su espíritu y en la forma en que había de ser enseñado. Otras importantes reuniones fueron la 2° Conferencia sobre Educación Matemática de Sudasia, celebrada en Bombay, en enero de 1960; el Seminario de Aar- hus (Dinamarca), a principios de junio de 1960, donde se trató especialmente la enseñanza de la geometría; la Reunión de Belgrado, en septiembre de 1960, que preparó el programa de la OECE.
A mediados de 1960 también se comenzó a encarar la organización de la
l.tes adelantos técnicos logrados en el siglo XX. En ningún período de la historia se ha visto una actividad matemática tan intensa y fructífera como la que se ha desarrollado en la primera mitad del presente siglo. Además esta actividad está actualmente creciendo en forma muy rápida y seguramente proseguirá haciéndolo.
vez 2.$
En los últimos tres o cuatro años, de acuerdo con la cantidad de las publicaciones, parece haberse duplicado el número de matemáticos activos. Aunque esta simple estadística podría tergiversarse con facilidad para dar una versión falsa de la situación, hay otra fuerte evidencia de que la matemática está experimentando un crecimiento literalmente explosivo. Mucho más significativo que cualquier otra cosa es la rapidez creciente con que importantes ideas y técnicas nuevas se están introduciendo en la matemática. A pesar de que es tarea difícil hacer algo más que mencionar la naturaleza de los tremendos progresos técnicos que se están realizando corrientemente, eso es lo aue ahora nos proponemos acometer, aunque con una inevitable sensación de insuficiencia.
(Continuará)
■
— 10 — — 11 —
V
fue la última visita del Dr. Marshall H. Stone, presidente de la IMU; en las, nu-
-----i reuniones que aquí celebro seconcretó un plan cuyas etapas principales fueron:
"Preparación de un proyecto de programa para su inmediata experimentación en pequeña escala"."Preparación de libros de texto adecuados para permitir esa experimentación y asegurar el mayor éxito posible"."Examen y revisión de los programas y textos a la luz de los resultados de los cursos dictados"."Obtención del apoyo de las autoridades para implantar progresivamente los nuevos programas en todas las escuelas secundarias". "Creación de cursos de verano para profesores con el objeto de familiarizarlos con las
tendencias en materia de enseñanza
TERCER AÑONúmeros enteros y racionales; núme
ros reales presentados por sucesiones. Geometría analítica lineal plana. Sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales en dos dimensiones. Vectores. Combinaciones lineales. Matrices.
Trigonometría elemental: manejo de las funciones circulares.
CUARTO AÑONúmeros complejos. Polinomios,
reglas de cálculo, fórmula del binomio. Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado. Funciones elementales. Funciones dadas por gráficos, tablas, etc., y con dominios diversos.
Probabilidad y estadística elementales. Valor medio, dispersión, curva normal. Idea de correlación y error.
QUINTO AÑOGeometría deductiva. Geometría analí
tica de cónicas. Geometría analítica lineal del espacio. Teoría de la divisibilidad para números y polinomios, factores, raíces; determinación de las raíces racionales de polinomios.
Aritmética comercial.
SEXTO AÑO (para los establecimientos donde se curse).Análisis: Límites y continuidad de fun
ciones. Derivadas; su cálculo. Integrales definidas e indefinidas; su cálculo. Aplicaciones.
Con el objeto de exponer los alcances de este programa, se desarrolló en 1962 un cursillo para profesores, en el Colegio Nacional de Buenos Aires. El Dr. Santaló estuvo a cargo del curso de geometría para primer año y los Dres. Cora R. de Sadovsky y Oscar Varsavs- ky, del de álgebra para segundo año. Se comenzó también la redacción de material bibliográfico.
Además, por iniciativa del Instituto Superior del Profesorado, el Dr. Santaló dictó, en julio de 1962, tres conferencias
1? Conferencia Internacional sobre Enseñanza de la Matemática. El Ing. José Babini, presidente de Subcomisión Argentina, fue invitado a formar parte del Comité Organizador. La conferencia se realizó en Bogotá, en diciembre de 1961. Los delegados argentinos fueron, además del Ing. Babini, los Dres. Alberto González Domínguez y Luis A. Santaló. Es de destacar que el Dr. González Domínguez tuvo a su cargo el discurso de apertura y el Dr. Santaló una de las conferencias sobre "La formación de los profesores de matemática".
En agosto de 1962 se realizó el Congreso de Estocolmo de la IMU en el que, en particular, la CIEM consideró el siguiente temario, modificación del anterior, ya mencionado:
1. "Estudio de los temas y aplicaciones de "matemática moderna" que pueden incluirse en los programas de la escuela secundaria". "Preparación de docentes de matemática para las escuelas primarias y secundarias".
3. "Enseñanza de aritmética y álgebra para alumnos hasta la edad de 14 años".
Paralelamente con el conocimiento de la realización de estas reuniones, la Subcomisión Argentina trató de despertar interés en el país por los temas que así preocupan a los matemáticos y profesores de todo el mundo. Durante 1960 y 1961 se dictaron conferencias en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Buenos Aires, con el fin de hacer conocer los esfuerzos hechos en diversos países, tendientes a modernizar la enseñanza de la matemática en el nivel secundario. También se preparó un infor-
' me general para el Congreso de Bogotá, sobre la enseñanza matemática en nuestro país.
A principios de 1962 se realizó el primer Curso de Perfeccionamiento para Profesores de Matemática, organizado por el Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (C'ONICET). Fue una buena oportunidad para divulgar las tendencias más modernas y en especial lo realizado en el Congreso de * Bogotá, ya que entre los profesores que lo dictaron se encontraban los tres delegados argentinos al mismo.
Otro hecho de singular importancia y gravitación en el movimiento argentino
sobre las nuevas tendencias en la enseñanza de la geometría.
Al organizarse el segundo Curso de Perfeccionamiento, patrocinado por el CONICET, se contempló la conveniencia e imprescindible necesidad, de considerar en él todo el material contenido en el programa. Se realizó este curso en Salta, en enero de 1963; fue dirigido por el Dr. Santaló, con una asistencia de cerca de 70 profesores secundarios.
El programa sintético ya no era suficiente, sobre todo si, como se presumía, 1963 sería el año del comienzo .de su experimentación en algunas clases-piloto. Por ello, el Dr. Santaló desarrolló con detalles y sugestiones el programa de geometría para primer añoO) y el Dr. Varsavsky, los programas restantes, especialmente el de segundo año.
Ha sido significativamente alentador para la Subcomisión Argentina (2) el eco encontrado en el Ministerio de Educación y Justicia de la Nación que a través de su Dirección General de Enseñanza Secundaria, ha hecho llegar esta inquietud a todos los departamentos de Matemática de los establecimientos de dependencia y ha permitido el ensayo experimental en seis cursos de primer año de la Capital Federal y el Gran Buenos Aires.
Hoy, el fruto de la labor de varios años parece consolidarse; la influencia que este movimiento puede tener para una más eficaz enseñanza de la matemática en nuestras escuelas secundarias es muy grande, ya que él quiere responder a las cada vez más imperiosas necesidades del desarrollo científico y técnico que se está produciendo en el mundo en que vivimos.
merosas
l.
2.
3.
sus4.
5.
1nuevasde la matemálica y con los nuevos programas por aplicarse"."Introducción de cursos modernos en la carrera del profesorado". I6.
Este plan se puso en marcha de inmediato. El proyecto de programa fue redactado por profesores del Departamento de Matemática de la citada Facultad de Ciencias; su texto es el siguiente:PRIMER AÑO
2.
Geometría intuitiva: Figuras planas, propiedades. Areas. Figuras del espacio, propiedades. Areas. Volúmenes. Semejanza. Teorema de Pitágoras. Transformaciones geométricas planas. Traslaciones, rotaciones, simetrías, homotecias.
Elementos de trigonometría en el triángulo rectángulo. Tablas. Sistemas de coordenadas ortogonales. Representaciones. Introducción de números negativos.SEGUNDO AÑO
Algebra: Deducción; verdades lógicas, premisas, conclusiones. Algebra de proposiciones; conjunción y disyunción; conjuntos finitos, subconjuntos, relaciones, funciones; relaciones de equivalencia; operaciones con conjuntos; estructuras algebraicas finitas; operaciones, tablas, ejemplos y contraejemplos de mutatividad, asociatividad, etc. Variables, ecuaciones e inecuaciones, operaciones inversas. Relaciones de orden.
El número natural; principio de inducción completa; operaciones y sus propiedades. Cambios de base. Enumeraciones; combinatoria.
(1) Véase en este mismo número el artículo del Dr. Luis A. Santaló.
(2) Actualmente presidida por el Ing. José Babini e integrada por los Dres. Alberto González Domínguez, Cora Ratto de Sadovsky, Luis A. Santaló y Oscar Varsavsky y el Ing. Andrés Valeiras.
con-
iJ
— 12 — 13 —
puesto que si pasaran dos, tendríamos un triángulo con dos ángulos
4. Polígonos. Polígonos convexos. Suma de ángulos interiores. Cuadriláteros. Trapecios. Paralelogramos.
Insistir sobre la idea de "convexidad". Un conjunto de puntos se dice convexo si el segmento determinado por dos de sus puntos, pertenece íntegramente al conjunto. Aplicarlo a ángulos, polígonos y a cualquier figura del plano y del espacio.
Demostrar las propiedades usuales de las diagonales de los paralelogramos, con sus propiedades recíprocas.
Conviene ir introduciendo el concepto de condición " necesaria y suficiente", equivalente a "si y solamente sí" Ejemplos: 1. Para que un triángulo sea rectángulo es "necesario" que tenga dos ángulos agudos (pero no suficiente). 2. Para que un triángulo sea acután- gulo es "suficiente" que sea equilátero (pero no es necesario). 3. Para que un paralelogramo sea cuadrado es "necesario y no suficiente" que tenga las diagonales iguales y perpendiculares (se puede también enunciar: un paralelo- gramo es un cuadrado "sí, y solamente sí", sus diagonales son iguales y perpendiculares).
5. Circunferencia. Medida de ángulos inscriptos. Polígonos regularas. Longitud de la circunferencia. Longitud del arco correspondiente a un ángulo central dado.
Para la longitud de la circunferencia se parte del hecho "experimental", que el alumno hará con círculos de cartón o cilindros de madera, de que el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámerto es constante e igual, por definición, al número "pi". La idea de longitud de una curva es intuitiva, igual a la longiutd de un hilo que se adapta a la misma. Aprovechar la última parte para repasar problemas de regla de tres, directa e inversa.
6. Areas. Area del rectángulo. Paralelogramo. Triángulo y trapecio. Figuras equivalentes. Teorema de Pitagoras. Area del círculo.
ORIENTACION Puede partirse del siguiente postulado: "El área de un rectángulo es igual al producto de las longitudes de la base y la altura", que se justificará para el caso de base y altura conmensurables.El área del círculo puede darse sin justificación, o bien justificándola a partir del área de los polígonos regulares.
El teorema de Pitágoras se demuestra por equivalencia de los cuadrados construidos sobre la hipotenusa y los catetos. Se indicará cómo puede calcularse la diagonal de un paralelepípedo recto y la altura de una pirámide regular dadas la base y la arista lateral.
Se harán muchos ejercicios de áreas, que servirán para practicar operaciones con decimales y fracciones y también el sistema métrico decimal. lunto con el teorema de Pitágoras se repasará o dará la raíz cuadrada para números no mayores de cuatro cifras y se enseñará a utilizar tablas de cuadrados y raíces cuadradas.
Puede ser útil dar las fórmulas que dan valores enteros para los lados de un triángulo rectángulo y hacer construir las tablas correspondientes.
7. Poliedros. Pirámides. Prismas. Los cinco poliedros regulares. Enunciado del teorema de Euler. Areas y volúmenes de poliedros. Cilindros y conos: áreas y volúmenes. Esfera: área y volumen.
Conviene la construcción de poliedros en cartulina, plastilina o jabón. El enunciado del teorema de Euler (vértices más caras menos aristas igual a dos) se comprobará con los distintos poliedros disponibles. Conviene observar que para poliedros de distinta conexión que la esfera (por ejemplo, un anillo poliedral) deja de ser cierto. Los volúmenes pueden darse sin demostración. Muchos ejercicios numéricos de áreas y volúmenes.
8. Teorema de Tales. Triángulos semejantes. Relaciones de equivalencia. Definiciones de seno, coseno y tangente de un ángulo menor de 90°: uso de tablas de valores naturales. Figuras semejantes: escalas y mapas.
El teorema de Tales se puede demostrar para segmentos conmensurables de
rectos.
Sugestiones para el curso de
Geometría Intuitiva (primer año)
LUIS A. S ANTALO(Universidad de Buenos Aires)
!trucción de manera única con ciertos datos. Bastan los tres casos clásicos.
Las construcciones de la bisectriz de ángulo y de la mediatriz de un seg
mento se justificarán por la igualdad de triángulos. Trazado de bisectrices, medianas, alturas y mediatrices de un triángulo, observando que pasan por un mismo punto, lo que se demostrará para bisectrices y mediatrices.
3. Rectas paralelas. Postulado de Euclides. Rectas paralelas cortadas por una secante. Suma de los ángulos de un triángulo.
Como enunciado del postulado de Euclides se toma: "Por un punto exterior a una recta pasa una y una sola paralela a dicha recta".
Aunque no se trata de construir una geometría axiomática, este enunciado es interesante como formación histórica y útil para muchos razonamientos.
Tomar como intuitivo que ángulos correspondientes son iguales. El recíproco, con ayuda del postulado de Euclides, es un ejemplo de "demostración por el absurdo".
La suma de los ángulos de un triángulo, con ayuda del postulado de Euclides, se demuestra de la manera habitual. Hacer muchos ejercicios al respecto. Otro ejemplo de demostración por el absurdo: "Por un punto exterior a una recta pasa una sola perpendicular a la misma",
1. Segmentos y ángulos: Su medida. Clases de ángulos. Rectas perpendiculares.
unPara la medida de segmentos puede ser conveniente establecer el siguiente postulado: "Fijada una unidad de medida, a cada par de puntos de una recta corresponde un número, llamado distancia entre ellos, o medida del segmento que ellos determinan.
La unidad para segmentos es el metro (repaso del sistema métrico).
Para ángulos, se define el grado sexagesimal como la 180 ava parte de un ángulo llano.
La igualdad de segmentos o de ángulos se define por la igualdad de sus medidas o por superposición.
Se harán ejercicios geométricos de construcción y medición de ángulos dados, con el transportador, y ejercicios aritméticos de suma y diferencia de ángulos; cálculo de complementos y suplementos. Demostrar que los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
2. Triángulos. Construcción y casos de igualdad. Construcción con regla y compás de la bisectriz de un ángulo y de la mediatriz de un segmento. Construcción de las bisectrices. Medianas. Alturas y mediatrices de un triángulo: Círculos inscripto y circunscripto.
Los casos de igualdad de triángulos aparecen al ver que es posible la cons-
— 15 —— 14 —
I
ción de seno, coseno y tangente, entre 0? y 909. Se indica luego el convenio de abscisas y ordenadas negativas. Ejemplos. (2)
(1) Véase en este mismo número el proyecto de la Subcomisión Argentina de la CIEM.
(2) Si bien el programa de primer año es de geometría. debe ser considerado como el elemento de enlace entre la escuela primaria y los cursos posteriores : servirá para afirmar los conocimientos adquiridos en la primera y para introducir al estudio del álgebra. Tiene gran importancia para el éxito de todo el proyecto; por ello se enumeran los fines que se le deben asignar según el trabajo "Programación de la enseñanza de la matemática y de las ciencias" del profesor Andrés Valeiras, presentado a la "Conferencia de la UN sobre la aplicación de la ciencia y la tecnología en beneficio de las naciones menos
Dichos fines son los siguientes:a) Aprendizaje de los elementos necesarios de
geometría métrica euclidiana.b) Ejercilación numérica intensiva, de modo que
los alumnos dominen las técnicas de cálculo adquiridas en la escuela elemental.
c) Crear el hábito del lenguaje correcto y del uso adecuado del simbolismo lógico matemático.
d) Análisis de las propiedades de las operaciones aritméticas mediante ejemplos simples de operaciones geométricas.
e) Introducción al concepto de vector. Suma y resta de vectores y producto por un número.
f) Introducción al concepto de función mediante el estudio de transformaciones y funciones trigonométricas.
g) Aprovechando las representaciones gráficas, introducir el estudio de los números negativos y las operaciones de suma y resta con ellos.
h) A pesar del carácter intuitivo, acostumbrar al alumno a realizar demostraciones cortas como ejercicios, de modo que insensiblemente sientan la posibilidad de establecer propiedades a partir de otras conocidas, usando razonamientos lógicos y establezcan su necesidad en ciertos casos a través de ejemplos y contra-ejemplos cuidadosamente seleccionados. (Notas de los editores).
la manera habitual, o bien por equivalencia de triángulos evitando el caso inconmesurable, que ya fue admitido para el área del rectángulo.
La idea de proporcionalidad es muy importante. Repasar ejemplos aritméticos; propiedades de las proporciones.
La semejanza de triángulos puede servir para introducir el concepto de "relación de equivalencia", como generalización de la equivalencia para áreas. Ya se disponen de otros casos (congruencia, paralelismo) para ejemplificar. Dar ejemplos de relaciones que no sean de equivalencia (perpendicularidad, mayor, parentesco).
El seno, el coseno y la tangente se definen para los ángulos de un triángulo rectángulo. Por semejanza se demuestra que dependen sólo del ángulo.
Al dar escalas y mapas conviene ejercitar con ejemplos concretos (plano de la clase, de la escuela o de una parte de la ciudad). Aplicaciones de la semejanza a la medición de distancias inaccesibles. Puede, como ejemplo, demostrarse nuevamente el teorema de Pitágo- ras por semejanza de triángulos.
9. Representaciones gráficas. Abscisas y ordenadas. Números negativos.
Se representan gráficamente muchas funciones conocidas: longitud de la circunferencia en función del radio, área del círculo en función del radio, área del trapecio en el que varía una base o la altura, hipotenusa al variar un cateto,... Se hace la gráfica para valores enteros y se hacen prácticas de interpolación para valores intermedios.
Usar papel cuadriculado. Representa-
Sistemas de Numeración <*)
i
desarrolladas", Ginebra, 1963. !
Desde las épocas más remotas, el hombre tuvo necesidad de contar y para ello cada pueblo adoptó un sistema de numeración. Todo sistema implica un conjunto de cifras, o símbolos numéricos, y de reglas de combinación de los mismos. En la evolución de la humanidad, los sistemas aditivos, como el romano, han cedido su lugar a los sistemas po- sicionales, como el decimal.
Un sistema posicional se caracteriza por el doble valor de los símbolos usados: el absoluto o intrínseco de cada cifra, y el posicional o relativo, variable con su ubicación en la expresión de] número que se considere. Este último depende del número elegido como base del sistema, de tal manera que los distintos lugares ocupados por dichos símbolos de derecha a izquierda, en la expresión de un número, representan las sucesivas potencias de la base elegida, a partir de la potencia cero.
En otros términos, un número cualquiera P = a b c... i j k, en el cual abe ... i j k son los valores absolutos de sus cifras en el sistema de base n, representa el polinomio
P=anh l+bnh'a+cnh'3+.. .+in2-}-in+k (l)
expresión que muestra que las cifras deben ser menores que n, lo que hace necesario, para cada sistema, un número de cifras igual a la base.
Si bien la elección de la base es totalmente arbitraria, razones antropomórfi- cas han conducido a nuestro habitual
sistema decimal (n=10); pero es sabido que también se trabaja, aunque en forma limitada, con el sexagesimal (n=60). El moderno desarrollo de las computadoras automáticas ha puesto de actualidad el sistema binario (n=2), ya preconizado por Leibniz, y últimamente los de base 8 y 16.
El empleo de distintos sistemas de numeración conduce a dos importantes problemas:
1) Efectuar operaciones en un sistema dado;
2) Pasar de un sistema a otro.
OPERACIONES EN UN SISTEMA DE BASE n
Para concretar la exposición, adoptamos como base el número 6. Representaremos al 0 y a los cinco primeros números naturales con los símbolos usuales del sistema decimal. Nos proponemos construir las tablas de sumar y multiplicar en este sistema.
La expresión de los 62 primeros números en este sistema es la siguiente:
HOY
En “High School Malhema lies” de la Universidad de Illinois se lee:
V m V n 3 i 3 j : m.c.cl. (m.n) = mi + nj (*) En esta sección de ELEMENTOS, que hemos denominado Orientación, además de incluir colaboraciones especiales como la precedente del Dr. Santaló, procuraremos desarrollar temas de aplicación en la enseñanza.
Nos atendremos especialmente a los requerimientos de nuestros lectores; en esta oportunidad hemos creído adecuado ocuparnos del tema del epígrafe, por estimarlo de mucha actualidad.
expresión que puede “traducirse” así: para todo par de números enteros, existe un par de números enteros i y j tales que el máximo común divisor de los
m y n,
primeros es de la forma mi + nj.El libro mencionado es el texto que usan, en muchas escuelas secundarias
teamericanas, los estudiantes de 15 a 17 años.ñor-
— 16 — — 17 —
í"i
Luego, los coeficientes de la expresión polinomica de P, en el sistema de base n, son los restos .de las divisiones de P y sus cocientes sucesivos, por la nueva base n, hasta llegar a un cociente a<n, que será la primera cifra de P nuevo sistema. Resulta así:
P = abc ... ijk
| 10 | 6 | 10 I 6 I 10 1 619 I 31 I 25 I 41 1 31 5120 32 26 42 : 32 5221 33 27 43 33 53
28 44 34 5429 45 35 5530 50 36 | 100
que también se puede determinar empleando la conocida disposición para el cálculo del valor numérico de un polinomio.
Base! 10 | 6 ' 10 i 6 j 10 | 6i 1 1 7 11 13 21,2 2 8 12 14 22
3 3 9 13 15 234 10 14 16 245 11 15 17 25
10 , 12 20 18 30
;22 ¡ 34¡ 4 5
I 6l en el35
40SISTEMA BINARIO
Las dos cifras necesarias para este sistema pueden representarse por 0 y 1. Las tablas de sumar y de multiplicar se reducen a
2324 ! I
truyen en la forma habitual en el sistema decimal. Para el sistema de base seis que hemos considerado son las siguientes:
Las leyes de las operaciones aritméticas son independientes de la base elegida; por eso, las tablas de sumar y de multiplicar, necesarias para realizar las cuatro operaciones elementales, se cons-
Como ejemplo, obtendremos la, , expresión del numero 165291 (10 en el sistema de base 12. Para ello usaremos las diez cifras decimales
0+ 1 0 1Xy representaremos con
r y s al 10 y al 11, respectivamente. 0 0 1 0 o o1 1 10 1 o 13 4 50 1 25 X0 12 3 4+ Resulta así:
165291 |__123 13774 | 12
10=r
0 0 03 4 5
10 12 14 13 20 23 20 24 32 23 32 41
0 0 00 1 20 2 40 3 100 4 120 5 ' 14
i050 0 12 3 41 2 3 4 52 3 4 5 103 4 5 10 11 1 124™ "5" 10" 11 12 5 10 11 12 13
Por ejemplo, los números 27 (i0 y 35 (10 se expresan respectivamente como 11011(2 y 100011 (2. Su suma y su producto son:
11012112
1147 |__1233 i4 7 95 12134
11011 + 100011
limo
11011 X 100011
11011 11011
11011000 1110110001
que se traducen en el sistema decimal
111110 {2=25+2«+2;i+22+21=62 1110110001 (2=20+2s+27+25+-*+20=945
514 ll=s 754 X 2 = 12Ejemplos: 3 + 4 = 11
Luego: 165291 (10 = 7s7r3 (12
P = (anh'2+bnh 3+cnu~,+... +in+j) n+k
o sea: P = An + k (>*). llamando A al polinomio entre paréntesis.
Como k<n, la expresión (2) indica que A es el coeficiente entero de P por n y k el resto.
Utilizando estas tablas se efectúan las operaciones siguientes: Tratemos, en cambio de expresar en for
ma decimal el número r032 (12. Empleando la expresión polinomica se tiene:
r 0 32 (12 = r. 123 + 0.12- + 3.12 + 2 = 19008 + 36 + 2 = 19046
103 32012051 435425
23223023
Análogamente resulta:
A = (anu*3+bnh’4+cnh’5+... +i) n+j
o sea: A = Bn+j,y como también j < n, resulta B cociente entero de A por n y j el resto.
Prosiguiendo, resultará finalmente
K = an + b.
5324 | 150024 ' 301
20325X
1423 5410
AYER5523
CAMBIO DE BASE En Ars Magna (Niiremberg, 1545) de Girolamo Cardano (1501-1576) se lee:
Este problema consiste en determinar la expresión de un número en un sistema cuando se conoce su expresión en otro de base distinta, vale decir, en determinar los coeficientes de la expresión polinomica de dicho número con la nueva base.
Supongamos al número P expresado en un cierto sistema; en otro sistema, de base n, este número tendrá la expresión polinomica 0/ que puede también expresarse así:
qdratv aeqtur 4 rebus p: 32
Esquemáticamente:Puede ser “traducido” a nuestro lenguaje matemático actual mediante la muy
simple expresión:P nk A | n
j B | n i C~
x* = 4x + 32
(Tomado de “A source Book in Mathematics” de D. Smilh, Dover, N. Y., 1929). Este ejemplo da idea de las dijicultades que debieron vencer los matemáticos de hace varios siglos por ¡alta de una notación adecuada para plantear y resolver sus1 problemas.
K nb a
— 19 —— 18 —
I
dirigida la colGccion. Los artículos Fréchet y Eyraud, agrupados en el primero de los capítulos citados, son muy accesibles y se complementan entre sí’ ademas, los interesantes trabajos de Got y Dubreil incluyen muchas notas históricas. El mismo Fréchet abre el capítulo siguiente con una introducción elemental
especialidad, los espacios abstractos, a partir del espacio tridimensional. También en su especialidad, la de las curiosidades matemáticas, Sainte-Lagüe conduce al lector en alucinante viaje por la cuarta dimensión. Valiron y Montel bezan con sendos trabajos el capítulo dedicado al concepto de función; el del primero, referido a funciones analíticas, extenso y documentado; el del segundo, sobre familias de funciones, más conden- sado, pero no menos valioso. El aporte de Denjoy, con que se cierra el capítulo, está consagrado al trasfinito; tiene cado acento filosófico y nos parece un tanto desubicado en este lugar de la obra. La síntesis de Lentin acerca del concepto de "grupo" se lee sin esfuerzo y con provecho. Por su parte, Fortet comenta lúcidamente los puntos de vista sobre los fundamentos del cálculo de probabilidades, cuyo conocimiento, como acota Le Lionnais, no debería ignorar el hombre culto actual.
de enderezado a imaginar en ese momento (1946) su portentoso futuro. Sin entrar a señalar en detalle los distintos artículos de "La epopeya matemática", no se debe omitir la mención del que Dieudonné dedica a Hilbert, "encarnación del ideal matemático" de su generación.
Las conexiones del pensamiento matemático con las otras actividades y creaciones humanas, se encuentran comentadas en la última parte. A Boíl y Reinhart se debe un estudio —anticipo de su conocido opúsculo—, sobre nociones de lógica moderna, en el que insisten en su discutida tesis: la matemática no es más que una prolongación, importante y extensa como se quiera, de la lógica renovada. Impresionan por su densidad conceptual y documentación reconocida los enfoques sobre las relaciones con la física actual debidos a de Broglie, Janet y Kahan; seduce por el cariño evidente y la frescura expresiva el trabajo del compilador, muestrario profuso de la "belleza de la matemática"; atraen por su amenidad humanizada las inusitadas y autorizadas revelaciones de Le Corbusier; sorprende la inclusión del empalagoso y presuntuoso artículo de Laberenne. Brunschvicg cierra dignamente esta digna muestra de la fecundidad y laboriosidad de matemáticos, pensadores y técnicos franceses mancomunados, cuyo comentario completo requiere, sin duda, mucho más espacio que el que hoy le dedicamos; de cualquier modo, siempre será más proficua su lectura directa.
Bibliografía
a su
encado axiomático habría estado plenamente justificado" de no haberse superado aquella postura de los comienzos. En el mismo capítulo, Lautman vuelve a tratar la idea de "estructura", pero desde su punto de vista, recordando la famosa tesis (1936) de G. Birkhoíf y J. von Neumann acerca de la identidad lógico- estructural de la mecánica clásica y el álgebra de Boole, y de la mecánica cuántica y la geometría proyectiva.
F. LE LIONNAIS y colaboradores, Las grandes corrientes del pensamiento matemático. Ed. Eudeba; Bs. As., 1962. I
!Esta compilación de artículos sobre
temas de matemática, o vinculados con ella —aparecida en Francia en 1-948— consta de tres partes: una dedicada a su descripción ("El templo matemático"), otra a su pasado, presente y futuro ("La epopeya matemática"), y una tercera a su repercusión sobre el espíritu humano, la filosofía, la ciencia natural, el arte, la técnica y la civilización ("Las influencias"). Le Lionnais conduce al lector, a través de sus quinientas y tantas páginas, con comentarios adecuados, introduciéndolo en cada asunto desarrollado y ubicándolo en la trama de la colección. Los nombres de los colaboradores son toda una garantía de la seriedad y el valor de los trabajos presentados.
En la primera parte. Le Lionnais aborda el problema de la concepción actual de la matemática y enfrenta las "estratificaciones tradicionales" de las disciplinas clásicas "más o menos independientes", con los "cortes verticales de las estructuras modernas". A Bourbaki, "matemático policéfalo", se debe un esclare- cedor artículo que, como bien lo dice el recopilador, "podría servir de manifiesto a su escuela". Su noción de "estructura matemática" está allí caracterizada con toda precisión; también se distingue claramente entre la axiomática primitiva y la actual, mostrando que el conocido "reproche de esterilidad dirigido al méto-
mar-
. . . el álgebra bailó locamente ALDOÜS EÜXLEY
En la segunda parte, los trabajos de Germain y Godeaux se encadenan ajustadamente, dando una visión panorámica de la evolución de la matemática, y se proyectan en el lírico aporte de Weil
PROGRAMACION LINEALIlustración de una familia de curvas lomada del■ libro comentado.
Un agricultor dispone de 100 hectáreas de tierra, de 160 hombres-día de de obra y de 1.100 dólares para invertir. Ha decidido dedicarse a dos
un hombre-día xy asegura 40 dólares demanocultivos dijerentes: el primero exige • j mbeneficio por hectárea; el segundo requiere 4 hombres-día y rinde 1ZU dolares, también por hectárea. Además, requieren, respectivamente, inversiones de 10 y 20 dólares por hectárea. Se trata de determinar la superficie que deberá dedicar a cada cultivo para obtener el rendimiento máximo.
(Expuesto por A. W. Tucker en el Seminario de Royaumont).
Ya en el terreno de lo tradicional, los artículos se encuadran en cinco capítulos: Número, Espacio, Función, Grupo y Probabilidad, clasificación más comprensible para el lector medio a quien va
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8. Durante este mes de julio se realiza en Buenos Aires con el auspicio del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas, una exposición del "Palais de la Découverte" de París. Concebido como muestra transitoria para la Exposición Mundial de 1937, se convirtió en permanente a partir de 1938 por decisión del gobierno francés.
La muestra presentada en nuestra ciudad comprende aspectos parciales de las secciones de Matemática, Física, Química, Biología y Medicina,
derna, a cargo de la Dra. María Angélica Ferrari.
11. El Depto. de Matemática de la Fac. de Ciencias de Buenos Aires ha organizado sendos cursos de Geometría y Algebra, para perfeccionamiento de profesores, a cargo de los Dres. Santaló y Ratto de Sadovsky, respectivamente, que se desarrollarán de agosto a noviembre, en el local de la Escuela Normal NT9 4, de ésta.
Noticias
que secomplementan con exhibiciones de televisión en colores. 12. En el local de la Escuela Normal
N9 9 se desarrollará, a partir del 7 de agosto, el curso organizado por la Liga del Profesorado Diplomado. Se dictarán "Temas de matemática moderna adaptados a los posibles programas de enseñanza secundaria" y estarán a cargo de la licenciada Srta. L. Iglesias, con la colaboración de la licenciada Srta. E. Quastler.
5. En el Congreso de Estocolmo (1962), el informe sobre la primera cuestión del temario "¿Qué temas y aplicaciones de la matemática moderna pueden incluirse en los programas de las escuelas secundarias?" fue presentado por el doctor John G. Kemeny del Darhmonth College, EE. UU. Resume los datos de los informes presentados por 21 subcomisiones nacionales de la Comisión Internacional de Enseñanza Matemática.
1. UNESCO ha publicado en la serie "Estudios y documentos de educación" sendos repertorios internacionales de revistas pedagógicas (1957), de asociaciones de enseñanza (1959) y de editores escolares (1962).
9. El Instituto de Investigaciones y Estudios Pedagógicos de Buenos Aires, repitiendo su experiencia de 1962, ha vuelto a contar con el licenciado H. A. Merklem para el desarrollo de de perfeccionamiento, que este saron sobre Algebra lineal y Geometría Axiomática.
El mismo Instituto ha publicado en edición mimeografiada los apuntes de álgebra lineal del curso de 1962, cuya lectura ha de ser sumamente provechosa para los interesados.
cursos año ver-
2. Ocho profesores secundarios optaron a becas para asistir a los Cursos de Verano para Profesores de Ciencias que patrocina la "National Science Foundation" de Estados Unidos de Norte América. Dos de los interesados son de Capital Federal y los restantes de Tucumán, La Plata, San Juan, Resistencia y dos de Salta. Seis de los candidatos son profesores de matemática, uno de química y uno de biología.
3. La Unión Panamericana ha becado para asistir a uno de los Cursos de Verano patrocinado por la N. S. F. de EE. UU. al ingeniero civil Ernesto Rivkin, profesor de matemática de la Escuela Normal "Juan Bautista Alberdi" de Tucumán.
13. Siguiendo la obra desarrollada durante 1961 y 1962, en el Departamento de Matemática de la Universidad del. Sur, se dictarán, para profesores secundarios, a partir de agosto, los siguientes cursos: Curso pre-universitario de matemática, a cargo del Ing. José M. Arango, Historia de la matemática elemental y Coloquios sobre temas de matemática, ambos a cargo del Dr. Eduardo H. del Busto.
6. El nuevo programa de Geometría intuitiva para primer año está siendo experimentado en diversos lugares del país. En la Capital Federal y en el Gran Buenos Aires, se lo hace en una división de cada uno de los siguientes establecimientos: Escuela Normal N9 4, Escuela Normal de Lomas de Zamora, Colegio Nacional N9 2, "D. F. Sarmiento", sección Comercial; Colegio Nacional de Adrogué, Escuela Nacional de Comercio de Temperley.
Asimismo, la experimentación también se realiza en el Colegio Nacional de La Plata, Escuela Industrial de Rosario, Escuela Industrial de Santa Fe y Escuela Industrial de San Juan, todas ellas dependientes de Universidades Nacionales.
10. En la Sección de Matemática y Física del curso de Profesorado de la Escuela Normal de Profesores N9 1, se está dictando un curso de Algebra mo-
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PENSO ALGUNA VEZ QUE ...4. El doctor Oscar Varsavsky dicta los jueves a las 18 en el Colegio Nacional de Buenos Aires, un curso de Algebra para profesores, cuyo fin es precisar los contenidos y orientación a dar a la enseñanza del curso de álgebra de 29 año de los colegios secundarios, según los nuevos programas en experimentación.
. . . el producto del máximo común divisor por el mínimo común múltiplo de dos números es igual al producto de esos números.
... /o suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de los cuatro lados. (Esta propiedad puede genera- ¡•'zarse al espacio).
. . . toda ecuación de segundo grado, a;2 + 2 bx + c = 0, puede resolverse fácilmente transformándola en Xs = m donde X = x + b.
La demostración de estas propiedades puede ser un interesante ejercicio para alumnos secundarios.
7. En el Instituto Superior del Profesorado se han dictado desde mayo último, cursos para graduados sobre "Introducción a la teoría de los conjuntos" y "Elementos de álgebra abstracta", a cargo de los profesores Srtas. C. Repetto y H. Rabufetti y Sres. R. P. Hernández y A. Rojo.
El primer jueves de cada mes, la reunión se dedica a considerar la marcha de la enseñanza de geometría en el primer año de los cursos-piloto.
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“le. Te0na d° ™culo »«■“ de uia
Vo!' ní- Anfa Ífnit05ÍTI dG VatiaS variables- Aplicaciones. 642 págs..............
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sencilla, textos elementales y claros. La revista que... nos anuncian, creo que servirá para esos fines".
Como respuesta a nuestra circular del 19 de junio, anunciadora de la aparición de ELEMENTOS, hemos recibido muchas expresiones de aliento cordial que obligan a nuestro agradecimiento y comprometen nuestro esfuerzo.
En esta sección de la Revista, donde mantendremos esa "comunicación frecuente " que reclamamos en el Editorial de este primer número, y en homenaje de nuestros amigos del interior, reproducimos hoy algunos párrafos de una simpática esquela que hemos recibido de la Dirección del Colegio La Salle, de Argüello: "Por Córdoba estamos en ayunas a ese respecto. Hemos asistido hace unos días a una conferencia donde nos delinearon algunos proyectos de reforma. .. Encontramos interesantes las novedades y pedimos aclaraciones... Lo principal para empezar es bibliografía
f
Colegio Nacional de Concordia: Remitimos vuestra nota al Instituto Superior del Profesorado, con sede actual en Avda. de Mayo 1396, Capital Federal. En cuanto a la posibilidad de esos cursillos estimamos que por ahora es remota. Pretendemos suplir el vacío con ELEMENTOS.
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Escuela Nacional de Comercio de Corrientes: Esperamos más datos sobre los cursos de matemática moderna.
Madre Thelma Arroyabe y Prof. Néstor A. Gabasa: Agradecemos mucho vuestras informaciones. PUBLEX
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Publex S. A. C. e I.DE LA MATEMATICA EGIPCIA
Representantes exclusivosLos antiguos egipcios no conocían las hoy comunes tablas de multiplicar.
Sólo sabían duplicar un número, y el conocimiento intuitivo de la. propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma les permitía calcular el producto de dos números sin tener que emplear la memoria. Por ejemplo, hallar el producto de 17 por 9 procedían, por duplicaciones, de la siguiente
1 2 4 8 16 9 18 36 72 144
La suma 144 + 9 = 153 de la segunda jila correspondiente a la 16 + 1 = 17 de la primera es el producto buscado.
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