Lei Parede

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Escoamentos Limitados por Paredes & as Multiplas Escalas

Em escoamentos com paredes slidas a viscosidade impe na parede a condio de nodeslizamento: a vel. do fluido na parede deve ser igual a vel. da parede! Espera-se portanto que prximo da parede o escoamento seja dominado pela viscosidade e um comprimento caracteristico seja a razo entre a visc. cinemtica e flutuao vel. : R/u Para altos Re, a espessura da camada limite, H, muito maior que a escala R/u , consequentemente o problema apresenta duas escalas.

Escoamentos Limitados por Paredes & as Multiplas Escalas

O comportamento destes perfis completamente distinto de perfis laminares Todavia eles possuem uma caracterstica em comum: uma mudana de concavidade em y/H $ 0.2 Prandtl e Von Krmm deduziram que h duas escalas que governam o escoamento e definiram trs camadas:

Escoamentos Limitados por Paredes & as Multiplas Escalas

As Camadas & Suas Escalas As trs camadas surgem devido as possveis combinaoes dos dois comprimentos caractersticos independentes: aquele controlado pela viscosidade molecular R/u e aquele pelas dimenses dos turbilhes y/HCamada Interna (Inner Layer): aquela onde as deformaes devido a viscosidade molecular dominam. O comprimento viscoso: R/u muito maior que a distncia y da parede, yu/R , alm disto, a espessura da C.L. H, muito maior que y; y/H 60 completamente rugoso -> C = 8.5-(1/O)lnk+

Lei de Parede para Superfcie Rugosa (III) Os trs regimes de rugosidade podem ser representados por uma nica relao. Para o regime completamente rugoso:

C ! 5 . 5 3 . 0 1 ln k $ 5 . 5 1 ln 0 . 3 k O O

?

A

Uma boa aproximao para a regio de transio a insero da unidade no argumento do logartmo. Assim para k+ = 0 ela coincide com parede lisa e para k+>>1 ela coincide com o regime rugoso

$ 5 .5 1 lO

0 .3 k 1

Em particular para o regime rugoso, k+ > 60 a viscosidade no mais importante e o perfil de velocidades em termos das variveis internas:1 y u ! l 8.5 O k

Diagrama de Moody e o fator de Atrito f

Exemplo: Escoamento em Dutos Circulares de Paredes Lisas-dP/dx U(y) y x y a

De posse do perfil de velocidades pode-se calcular a velocidade mdia:Q 1 a 1a U! ! Ur2Tr r | 2 Uy2(a y) y; A Ta 2 0 a 0 y! ar

conhecido que escoamentos turbulentos em tubos apresentam pouco efeito de esteira; 4$0. Portanto pode-se aplicar as correlaes obtidas para os perfis de velocidades das camadas internas e intermedirias. Considerando que na camada interna penetra muito pouco no duto, a vazo associada a ela desprezvel face a vazo total. Portanto para se determinar a vazo ir utilizar-se da lei logaritimica.

U

1 ! Ln y B O

Exemplo: Escoamento em Dutos Circulares de Paredes Lisas

Re-escrevendo a velocidade mdia em termos das variveis internas tem-se: 2 a ! U y ( a y ) dy ; v * a 2 30

U

v !

*

Xw yv * ; y ! V R

onde o limite de integrao inferior deveria ser da parede, y+=0(subcamada laminar), mas nesta regio a lei-log no se aplica, da incia-se em y+=30. sabendo-se que: Ln x dx ! x Ln x x;e x2 x Ln x dx ! 2 1 Ln x 2

Exemplo: Escoamento em Dutos Circulares de Paredes Lisas - cont.A velocidade mdia fica: Utilizando as definies:Cf ! 2 Xw V U2 2 ! f v* U1/ 2

U v*

!

1 3 Ln a B O 2O

eD

2a U ! R

av * C ! ReD f 8 R

1/ 2

Obtm-se uma relao de fatores de atrito e Reynolds: 2 Cf 1/ 2 1/ 2 1 3 Cf ! Ln ReD B 8 O 2O

Definindo o fator de Darcy: 0=4Cf e introduzindo log na base 10

chega-se a relao para o fator de atrito Prandtl (1935) 1 ! 1. 99 Log Re 0 01 / 2 1. 02

Exemplo: Escoamento em Dutos Circulares de Paredes Lisas - cont. Como na deduo da relao Prandtl desprezou a sub-camada inercial e efeitos de esteira, ele prprio ajustou as constantes: 1.99 e 1.02 para melhor se ajustarem aos dados expementais, especialmente para baixos ReD. A relao final fica:

1 ! 2. 0 og 0

eD 0

1/ 2

0. 8

Anlise Integral para Placa Plana O escoamento sobre uma placa plana em alto Re foi

extensivamente estudado. Nesta abordagem, utiliza-se o mtodo integral e o perfil de velocidades com o ajuste de Coles:

Mtodo Integral:

C f

!

2

d U d x

Perfil de velocidades,

U y v*

4$0.45 - overlap + outer layers (Coles)

1 $ Ln y O

24 B O

y 2 y 3 2 H H

Anlise Integral para Placa Planapara y=H, obtm-se uma relao entre Cf e a velocidade externa, Ue:U ve *

1 Ln H $ O

2 24 B p Cf O

1/2

C $ 2 .4 4 L n R e H f 2

1/2

7 .2

A relao acima algebricamente difcil de tratar uma vez que Cf dado implicitamente. Para 0.001