EECS 556 – Image Processing– W 09

2D SPACE SIGNALS/SYSTEMS

2D discrete‐space signals and systems

n,m are integers

We are going to study properties of these signals and their transformations

LSI (linear shift invariant) systems

An LSI system is completely specified by its impulse response.

sifting property of the delta function

superposition

Discrete convolution

2D Discrete‐Signal Fourier SeriesIf g[n,m] is periodic with period (N,M):

with

2D discrete‐space Fourier transform

2D discrete‐space Fourier transform (DSFT) of a 2D discrete‐space signal g[n,m] :

Inverse 2D DSFT:

Valid if g[n,m] has:  finite energy or absolutely summable

Convergence

If g absolutely summable:

then

If g is square summable(energy signal):

DSFT is periodic2D DSFT is periodic with period (2pi, 2pi):

Properties

Multiplication: [what’s FT in continous space? ]

(2pi ) periodic convolution

Notice

•Transpose

•Reflection property

•Rotational symmetry propertyIf g[n,m] has 2‐ 4‐ or 8‐fold rotational symmetry, then so does its 2D DSFT.

Properties

PropertiesShift:

Convolution:

Delta function:

Example: DSFT of moving average filter

],[],[91],)[(

,lnkmhlkfnmhf

lk−−=∗ ∑

111

111

111

h

Complex exponential

‐

repeated periodically with horizontal period 2 pi and vertical period 2 pi

Special case:

Periodic signalsIf g[n,m] is periodic with period (N,M):

Sampling revisitedRelationship between spectra of original and sampled signals

This expressions holds regardless of whether the CS signal ga(x, y) is band‐limited!

ga (x,y) gd [n,m]

Magnitude and Phase

2D DSFT is generally complex

• Encode image using magnitude and phase [image encoding]• How to retrieve phase from magnitude [image restoration]• Reconstruct signal from just magnitude or phase

impossible unless….

☺

inverse FT:

inverse FT:

inverse FT:

Why this is so bad? 

Inverse transform of

Autocorrelation of g!

Later in this course we will explore iterative techniques for extracting original image from phase of image spectrum 

LSI systems in Frequency‐domain 

• A LSI system is characterized completely by its frequency response

Good news:•BIBO stable iff its impulse response h[n,m] is absolutely summable•DSFT always exists for absolutely summable signals•H(wx, wy) always exists for stable LSI systems

Intro to Filter Design

Crucial in pre‐processing tasks such as•Noise removal (low pass filtering)•Enhancing (high pass filtering)

How to design a low‐pass filter in 2D?Let’s give a look at this 1D filter:

h[n] = [1/4   1/2    1/4]

Frequency response of this filter?

Designing a 1D low pass filter

h[n] = [1/4   1/2    1/4]

Designing a 1D low pass filter

h[n] = [1/4   1/2    1/4]

Since:

pi‐pi

unit delay or shift associated with this filter! 

It does actas a low pass filter!

Designing a 2D low pass filter

• In 2D:   h[n] = [1/4   1/2    1/4]

• How about this?

Designing a 2D low pass filter

Designing a 2D low pass filter

• H is real (due to Hermitian symmetry of h[n,m])

~ constantno shift!

‐ pi ‐ pi

Designing a 2D low pass filter

It doesn’t kill frequencies at pi  or ‐pi 

Designing a 2D low pass filter

Not a good 2D low pass filter:We would like a lowpass design that is zero along the edge of the ± pi ,± pi  box

],[],[91],)[(

,lnkmhlkfnmhf

lk−−=∗ ∑

111

111

111

h

Designing a 2D low pass filter

Not that good after all….

Designing a 2D low pass filter

Let’s try his:

Notice: this is separable

Designing a 2D low pass filter

Let’s try his:

Notice: this is separable

Let’s look see at 45o slice: 

This filter design is not circularly symmetric!

Rotation invarianceCS: rotation invariant if rotating any input image causes the output image to rotate by the same amount

What should we expect after filtering with 

Designing a 2D low pass filter

Let’s try again!This time we start from the frequency domain

In 1D we liked 

2D filter with the following circularly symmetric frequency response

Designing a 2D low pass filter

•This  is not FIR but IIR 

•There is no analytical solution for the inverse 2D DSFT of this spectrum 

•Trick: use matlab to get h[n,m]

‐ design H in the frequency domain‐ use ifft2.m to estimate h (numerical solution)

Designing a 2D low pass filterIf we don’t care about having a FIR filter, then let’s look at the ideal low pass filter:

(2pi, 2pi)

Let’s compute h[n,m]…

We can use the sampling theorem: h[n,m]  is sampled from some ha(x, y)

We follow 3 steps:

1. Let’s find the spectrum of ha

(2pi, 2pi)

2. Compute inverse FT of Ha

3. Compute inverse FT of Ha

Polar coordinates