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Lecture 4
コンピュータその41
求根アルゴリズム
Gnuplot
xの範囲
Gnuplotの使い方
2
1. 端末を開き，gnuplotを打つ． 2. set term x11 を打つ． 3. plot [-5:5] sin(x) を打つ． 4. plot [-5:5] sin(x) linecolor 2 グラフの線の色を変える
linuxのみ
1� cos(x)
x
2
Catastrophic cancellation
x の範囲
原点の付近ではどうなっているだろうか？
0.
3
1. 端末を開き，gnuplotを打つ．
2. plot [-5:5](1-cos(x))/(x*x) 3. x の範囲を小さくして繰り返す
これをどう直せるのか？
a-b:a=x.xxxxxxxxxxx1 yyyy...
b=x.xxxxxxxxxxx0 zzzz... =)
=0.00000000001 ????
x.xxxxxxxxxxx1x.xxxxxxxxxxx0-
4
Catastrophic cancellation
5
1. emacs compute_file.c2. 3. cc compute_file.c4. ./a.exe > data.dat5. gnuplot6. set term x117. plot ‘data.dat’ with lines
1.データファイルをプロットしてみましょう
f(x)f(x⇤) = 0
Idea
例
Root-finding algorithms (求根アルゴリズム)
与えられた一次元の関数 に対しての
f(x)
6
となる点を求める．
f(x) = x
2 � x� 1
f(x) = tanh(x)� 3
注意事項（Observations）二つの根の場合
根無しの場合
実験からのデータはどうするのか？
7
アルゴリズム的なアプローチ
•初期値:
• の関係
•終了基準（stopping criteria）
x0
{x0, x1, ...}
何が必要か？
xn+1, xn, ...
8
1. |xn+1 � xn| < tol?
2. |f(xn+1)� f(xn)| < tol?
3. Both?
✏✏
xn+1xn
f(xn)
f(xn+1)
アルゴリズム的なアプローチアルゴリズム的なアプローチ1. |xn+1 � xn| < tol?✏ 2. |f(xn+1)� f(xn)| < tol?✏
xn+1 xn
f(xn)f(xn+1)
|f(xn+1)� f(xn)| < ✏
|f(xn+1)� f(xn)| � ✏
|xn+1 � xn| � ✏
|xn+1 � xn| < ✏
基本的な手法 (standard methods)
• Bisection (二分法)
–単純で使いやすい反復法の一つ
• Newton’s Method (ニュートン法)
–関数の微分が必要
–２次収束する (非常に早く解に収束)
• Secant Method （セカント法）
–微分の代用としてセカント(secant)の線を使う
–超線形収束する (Converges super-linearly)
10
(二分法) Bisection Method
•中間値の定理 (intermediate value theorem)
f(x)
9x⇤ s.t. f(x⇤) = 0
11
f(x)Step 1
+
-
(二分法) Bisection Method
12
左辺は他の解があるが，それらを必要としない．
中間値の定理により，右辺の間にはf(x)＝０となる点があるので，この区間に着目する．
+
-
-
Step 2
(二分法) Bisection Method
13
+
-
-
ここ！
Step 3
繰り返す
Step 4
+-
(二分法) Bisection Method
14
p2
|ak � bk| =�12
�k |a0 � b0|
|ak � bk||f(ak)� f(bk)|
二分法を用いて の値を近似せよ．2.
また，各反復回数ごとに以下の誤差も表示せよ．
i.
ii.
Note:
15
Exercise
fa f(a)
m a+ (b� a)/2;fm f(m)if fafm > 0 then
for i = 1 to MAX do
a m
elseb m
end
fa fm
return m
二分法の疑似コード （Pseudo code）
end16
0 = f(x⇤) = f(xk) + (x⇤ � xk)f0(xk) +
(x⇤ � xk)2
2f
00(⇠k),
x
⇤ = xk � f(xk)
f
0(xk).
(for some ⇠k between xk and x
⇤)
x
⇤ = xk � f(xk)
f
0(xk)� (x⇤ � xk)2
2(f 0(xk))f
00(⇠k)
(k = 1, 2, ...)xk+1 = xk � f(xk)
f
0(xk)
ニュートン法 (Newton’s Method)
テイラー展開:
従って，
ニュートン法の近似
繰り返す:
17
(x1, f(x1))
(x2 = x1 � f(x1)/f 0(x1), 0)
f(x)
x
x1
ニュートン法 (Newton’s Method)
18
(x3 = x2 � f(x2)/f 0(x2), 0)
x2
(x2, f(x2)) (x1, f(x1))
f(x)
x
x1
zoom in
ニュートン法 (Newton’s Method)
19
• 必ずしも収束するとは言えない．
• 関数の微分を計算する事が不可欠である．
• 微分によって飛ぶ事がある．
ニュートン法の問題点
x0x0
例
20
f(x) = arctan(x)
f(x) = sin(x)
Exercise
xk+1 = xk � f(xk)
f
0(xk)
3. ニュートン法のCプログラムを書きなさい．
ただし， とする．また，プログラムの出力を以下のように表示せよ．
Remember:
21
f(x) = x
2
f(x) = x
3+ x
2+ x+ 1 + cos(10x)
f(x) = x
3 � x� 3, x0 = 0
問題点4. 下記の関数に対するニュートン法の性質を 調べなさい．
(slow convergence)
22
(a cycle)
