Errores en las medidasToda medida debe de ir seguida por la unidad, obligatoriamente del Sistema Internacional de Unidades de medida.Reglas para expresar una medida y su errorCuando un fsico mide algo debe tener gran cuidado para no producir una perturbacin en el sistema que est bajo observacin. Por ejemplo, cuando medimos la temperatura de un cuerpo, lo ponemos en contacto con un termmetro. Pero cuando los ponemos juntos, algo de energa o "calor" se intercambia entre el cuerpo y el termmetro, dando como resultado un pequeo cambio en la temperatura del cuerpo que deseamos medir. As, el instrumento de medida afecta de algn modo a la cantidad que desebamos medirAdems, todas las medidas est afectadas en algn grado por un error experimental debido a las imperfecciones inevitables del instrumento de medida, o las limitaciones impuestas por nuestros sentidos que deben de registrar la informacin.Todo resultado experimental o medida hecha en el laboratorio debe de ir acompaada del valor estimado del error de la medida y a continuacin, las unidades empleadas.Por ejemplo, al medir una cierta distancia hemos obtenido2972 mm.De este modo, entendemos que la medida de dicha magnitud est en alguna parte entre 295 mm y 299 mm. En realidad, la expresin anterior no significa que se estsegurode que el valor verdadero est entre los lmites indicados, sino que hay ciertaprobabilidadde que est ah.Una medida de una velocidad expresada de la forma6051.7830 m/ses completamente ridcula, ya que la cifra de las centenas puede ser tan pequea como 2 o tan grande como 8. Las cifras que vienen a continuacin 1, 7 y 8 carecen de significado y deben de ser redondeadas. La expresin correcta es605030 m/sUna medida de 92.81 con un error de 0.3, se expresa92.80.3Con un error de 3, se expresa933Con un error de 30 se expresa9030Los errores se deben dar solamente con una nica cifra significativa.nicamente, en casos excepcionales, se pueden dar una cifra y media (la segunda cifra 5 0).La ltima cifra significativa en el valor de una magnitud fsica y en su error, expresados en las mismas unidades, deben de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas, decenas, unidades, dcimas, centsimas). Expresiones incorrectas por la regla 2245672928 m23.4630.165 cm345.203.10 mm Expresiones incorrectas por la regla 3.245673000 cm430.06 m345.23 m Expresiones correctas240003000 m23.50.2 cm3453 m43.000.06 mMedidas directasUn experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendr, en general, el mismo resultado, no slo por causas imponderables como variaciones imprevistas de las condiciones de medida: temperatura, presin, humedad, etc., sino tambin, por las variaciones en las condiciones de observacin del experimentador.Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa realizamos varias medidas con el fin de corregir los errores aleatorios, los resultados obtenidos sonx1, x2, ... xnse adopta como mejor estimacin del valor verdadero, el valor medio, que viene dado por=x1+x2+...xnn=1nxinEl valor medio, se aproximar tanto ms al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor sea el nmero de medidas, ya que los errores aleatorios de cada medida se va compensando unos con otros. Sin embargo, en la prctica, no debe pasarse de un cierto nmero de medidas. En general, es suficiente con 10, e incluso podra bastar 4 5.Cuando la sensibilidad del mtodo o de los aparatos utilizados es pequea comparada con la magnitud de los errores aleatorios, puede ocurrir que la repeticin de la medida nos lleve siempre al mismo resultado; en este caso, est claro que el valor medio coincidir con el valor medido en una sola medida, y no se obtiene nada nuevo en la repeticin de la medida y del clculo del valor medio, por lo quesolamente ser necesario en este caso hacer una sola medida.De acuerdo con la teora de Gauss de los errores, que supone que estos se producen por causas aleatorias, se toma como la mejor estimacin del error, el llamadoerror cuadrticodefinido porx=1n(xi)2n(n1)El resultado del experimento se expresa comoxy la unidad de medidaLa identificacin del error de un valor experimental con el error cuadrtico obtenido denmedidas directas consecutivas, solamente es vlido en el caso de que el error cuadrtico sea mayor que el error instrumental, es decir, que aqul que viene definido por la resolucin del aparato de medida.Es evidente, por ejemplo, tomando el caso ms extremo, que si el resultado de lasnmedidas ha sido el mismo, el error cuadrtico, de acuerdo con la formula ser cero, pero eso no quiere decir que el error de la medida sea nulo. Sino, que el error instrumental es tan grande, que no permite observar diferencias entre las diferentes medidas, y por tanto, el error instrumental ser el error de la medida.Ejemplos:El siguiente applet se puede utilizar para calcular el valor medio de una serie de medidas y el error cuadrtico. Se introduce cada una de las medidas en el control rea de texto del applet, y se pulsa RETORNO, de este modo las medidas aparecen en una columna. A continuacin, se pulsa el botn tituladoCalcular. El botn tituladoBorrarlimpia el rea de texto y lo prepara para la introduccin de otra serie de medidas.Si al hacer una medida de la intensidad con un ampermetro cuya divisin o cifra significativa ms pequea es 0.01 A, la lectura es 0.64 A, y esta lectura es constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes), tomaremos 0.64 como el valor de la medida y 0.01 A como su error. La medida se expresar as0.640.01 ASupongamos que hemos medido un determinado tiempo,t, cuatro veces, y disponemos de un cronmetro que permite conocer hasta las dcimas de segundo. Los resultados han sido: 6.3, 6.2, 6.4 y 6.2 s. De acuerdo a lo dicho anteriormente, tomaremos como valor medido el valor medio:=6.3+6.2+6.4+6.24=6.275sEl error cuadrtico sert=(6.36.275)2+(6.26.275)2+(6.46.275)2+(6.26.275)243Este error se expresa con una sola cifra significativa, (regla 2), t=0.05 s. Pero el error cuadrtico es menor que el error instrumental, que es 0.1 s, por lo que debemos tomar este ltimo como el error de la medida, y redondear en consecuencia el valor medio, (regla 3) por lo que el resultado final de la medida est=6.30.1 sConsideremos un ejemplo similar al anterior, pero en que los valores obtenidos para el tiempo estn ms dispersos: 5.5, 5.7, 6.2 y 6.5 s. Se encuentra que el valor medio es 5.975, y el error cuadrtico 0.2286737. El error cuadrtico es en esta caso mayor que el error instrumental, por lo que debemos tomarlo como el error de la medida. Siguiendo la regla 2, lo debemos redondear a 0.2 (una sola cifra significativa). Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el mismo nmero de decimales), expresamos la medida finalmente comot=6.00.2 sError absoluto y error relativoLos errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores absolutos. El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medio. Es decire=xdondese toma en valor absoluto, de forma queees siempre positivo.El error relativo es un ndice de la precisin de la medida. Es normal que la medida directa o indirecta de una magnitud fsica con aparatos convencionales tenga un error relativo del orden del uno por ciento o mayor. Errores relativos menores son posibles, pero no son normales en un laboratorio escolar.Medidas indirectasEn muchos casos, el valor experimental de una magnitud se obtiene, de acuerdo a una determinada expresin matemtica, a partir de la medida de otras magnitudes de las que depende. Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir de los errores de las magnitudes medidas directamente.Funciones de una sola variableSi se desea calcular el ndice de refraccinnde un vidrio midiendo el ngulo crtico, tenemos quen=1/sen. Si medimos el nguloes fcil calcular el ndice de refraccin n. Pero si conocemos el error de la medida del ngulo, necesitamos conocer el error del ndice de refraccin.Sea una funciny=y(x). Como se aprecia en la figura, si el error xes pequeo. El error yse calcula del siguiente modo

y=tanxPero tanes la pendiente de la recta tangente a al curva en el punto de abscisax

Como la pendiente puede ser positiva, si la funcin es creciente o negativa si la funcin es decreciente, en general tendremos quey=|f'()|xSeay=cosxSeax=203 ,y=cos20=0.9397El error x=0.05 rady=|sin20|0.05=0.02y=0.940.02Un ejemplo importante y frecuente en el laboratorio sobre las medidas indirectas es el siguiente: Supongamos que queremos medir el periodoPde un oscilador, es decir, el tiempo que tarda en efectuar una oscilacin completa, y disponemos de un cronmetro que aprecia las dcimas de segundo, 0.1 s. Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones, por ejemplo 4.6 s, dividiendo este tiempo entre 10 resultaP=0.46 s, que es el periodo "medio".P=t10P=t10Obtenemos para el errorP=0.01 s.Por tanto, la medida la podemos expresar comoP=0.460.01 sEs evidente, que podemos aumentar indefinidamente la resolucin instrumental para medirPaumentando el nmero de periodos que incluimos en la medida directa det. El lmite est en nuestra paciencia y la creciente probabilidad de cometer errores cuando contamos el nmero de oscilaciones. Por otra parte, el oscilador no se mantiene con la misma amplitud indefinidamente, sino que se para al cabo de un cierto tiempo.Funcin de varias variablesLa magnitudyviene determinada por la medida de varias magnitudesp, q, r, etc., con la que est ligada por la funciny=f(p, q, r ...).El error de la magnitudyviene dado por la siguiente expresin.y=(p)2+(q)2+(r)2+...Casos ms frecuentesz=x+yz=x2+y2z=xyz=x2+y2z=xyz=(xx)2+(yy)2z=xyz=(xx)2+(yy)2La medida de los lados de un rectngulo son 1.530.06 cm, y 10.20.1 cm, respectivamente. Hallar el rea del rectngulo y el error de la medida indirecta.El rea esz=1.5310.2=15.606 cm2El error relativo del reaz/zse obtiene aplicando la frmula del producto de dos magnitudes.zz=(0.061.53)2+(0.110.2)2=0.0404422504z=(1.5310.2)0.0404422504=0.63083El error absoluto con una sola cifra significativa es 0.6. De acuerdo con la regla 3, la medida del rea junto con el error y la unidad se escribir como15.60.6 cm2Funciones de dos variablesQueremos calcular la aceleracin de la gravedadg, midiendo el periodoPde un pndulo de longitudlEl periodo de un pnduloP=2lgg=42lP2La expresin del error gde la variable dependientegg=(421P2l)2+(422P3P)2=42lP2(ll)2+(2PP)2gg=(ll)2+(2PP)2Supongamos que medimos el periodoPy la longitudldel pnduloP=1.3960.004 sl=92.950.1 cmCalculamos la aceleracin de la gravedad y el errorg=979.035 cm/s2g=4.28Expresamos correctamente la medida y el error deg9794 cm/s2Ley de Snell de la refraccinn=sinisinrClculo del error en la medida del ndice de refraccinn.nn=(1tanii)2+(1tanrr)2Seai=201 yr=131 Se calcula el ndice de refraccin y el errorn=1.52n=0.136Expresamos correctamente la medida y el error denn=1.50.1Movimiento rectilneoEn esta pgina se comienza el estudio del movimiento rectilneo. Se debe destacar el concepto de velocidad instantnea, y el clculo del desplazamiento entre dos instantes cuando se conoce un registro de la velocidad del mvil entre dichos instantes. El movimiento de cada de los cuerpos como ejemplo de movimiento uniformemente acelerado.Magnitudes cinemticasSe denomina movimiento rectilneo, aqul cuya trayectoria es una lnea recta.

En la recta situamos un origen O, donde estar un observador que medir la posicin del mvilxen el instantet. Las posiciones sern positivas si el mvil est a la derecha del origen y negativas si est a la izquierda del origen.PosicinLa posicinxdel mvil se puede relacionar con el tiempotmediante una funcinx=f(t).

DesplazamientoSupongamos ahora que en el tiempot, el mvil se encuentra en posicinx, ms tarde, en el instantet'el mvil se encontrar en la posicinx'. Decimos que mvil se ha desplazadox=x'-xen el intervalo de tiempot=t'-t, medido desde el instantetal instantet'.VelocidadLa velocidad media entre los instantestyt'est definida por=x'xt't=xtPara determinar la velocidad en el instantet, debemos hacer el intervalo de tiempottan pequeo como sea posible, en el lmite cuandottiende a cero.v=limt0xt=dxdtPero dicho lmite, es la definicin de derivada dexcon respecto del tiempot.Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente ejercicioEjercicioUna partcula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posicin en cualquier instantetest dada porx=5t2+1, dondexse expresa en metros yten segundos.Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre: 2 y 3 s. 2 y 2.1 s. 2 y 2.01 s. 2 y 2.001 s. 2 y 2.0001 s. Calcula la velocidad en el instantet=2 s.En el instantet=2 s,x=21 m

t (s)x (m)x=x'-xt=t'-tm/s

34625125>

2.123.052.050.120.5

2.0121.20050.20050.0120.05

2.00121.0200050.0200050.00120.005

2.000121.002000050.002000050.000120.0005

...............

020

Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo t0, la velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instantet=2 s es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero.Calculamos la velocidad en cualquier instantet La posicin del mvil en el instantetesx=5t2+1 La posicin del mvil en el instantet+tes x'=5(t+t)2+1=5t2+10tt+5t2+1 El desplazamiento esx=x'-x=10tt+5t2 La velocidad media es=10tt+5t2t=10t+5tLa velocidad en el instantetes el lmite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cerov=limt0=limt0(10t+5t)=10tm/sLa velocidad en un instantetse puede calcular directamente, hallando la derivada de la posicinxrespecto del tiempo.x=5t2+1mv=dxdt=10tm/sEn el instantet=2 s,v=20 m/sAceleracin

En general, la velocidad de un cuerpo es una funcin del tiempo. Supongamos que en un instantetla velocidad del mvil esv, y en el instantet'la velocidad del mvil esv'. Se denomina aceleracin media entre los instantestyt'al cociente entre el cambio de velocidadv=v'-vy el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio,t=t'-t.=v'vt't=vtLa aceleracin en el instantetes el lmite de la aceleracin media cuando el intervalottiende a cero, que es la definicin de la derivada dev.a=limt0vt=dvdtEjemplo:Un cuerpo se mueve a lo largo de una lnea rectax=2t3-4t2+5 m. Hallar la expresin de La velocidad La aceleracin del mvil en funcin del tiempo.v=dxdt=6t28tm/sa=dvdt=128m/s2Dada la velocidad del mvil hallar el desplazamientoSi conocemos un registro de la velocidad podemos calcular el desplazamientox-x0del mvil entre los instantest0yt, mediante la integral definida.xx0=t0tvdtEl productov dtrepresenta el desplazamiento del mvil entre los instantestyt+dt, o en el intervalodt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos infinitesimales entre los instantest0yt.En la figura, se muestra una grfica de la velocidad en funcin del tiempo, el rea en color azul mide el desplazamiento total del mvil entre los instantest0yt, el segmento en color azul marcado en la trayectoria recta.Hallamos la posicinxdel mvil en el instantet, sumando la posicin inicialx0al desplazamiento, calculado mediante la medida del rea bajo la curvav-to mediante clculo de la integral definida en la frmula anterior.Ejemplo:Un cuerpo se mueve a lo largo de una lnea recta de acuerdo a la leyv=t3-4t2+5 m/s. Si en el instantet0=2 s. est situado enx0=4 m del origen. Calcular la posicinxdel mvil en cualquier instante.x4=2t(t34t2+5)dtx=14t443t3+5t+23mDada la aceleracin del mvil hallar el cambio de velocidadDel mismo modo, que hemos calculado el desplazamiento del mvil entre los instantest0yt, a partir de un registro de la velocidadven funcin del tiempot, podemos calcular el cambio de velocidadv-v0que experimenta el mvil entre dichos instantes, a partir de un registro de la aceleracin en funcin del tiempo.vv0=t0tadtEn la figura, el cambio de velocidadv-v0es el rea bajo la curvaa-t, o el valor numrico de la integral definida en la frmula anterior.Conociendo el cambio de velocidadv-v0, y el valor inicialv0en el instantet0, podemos calcular la velocidadven el instantet.Ejemplo:La aceleracin de un cuerpo que se mueve a lo largo de una lnea recta viene dada por la expresin.a=4-t2m/s2. Sabiendo que en el instantet0=3 s, la velocidad del mvil valev0=2 m/s. Determinar la expresin de la velocidad del mvil en cualquier instantev2=3t(4t2)dtv=4t13t31m/sResumiendo, las frmulas empleadas para resolver problemas de movimiento rectilneo sonv=dxdtxx0=t0tvdta=dvdtvv0=t0tadt

Movimiento rectilneo uniformeUn movimiento rectilneo uniforme es aqul cuya velocidad es constante, por tanto, la aceleracin es cero. La posicinxdel mvil en el instantetlo podemos calcular integrandoxx0=v(tt0)o grficamente, en la representacin deven funcin det.Habitualmente, el instante inicialt0se toma como cero, por lo que las ecuaciones del movimiento uniforme resultana=0v=ctex=x0+vtMovimiento rectilneo uniformemente aceleradoUn movimiento uniformemente acelerado es aqul cuya aceleracin es constante. Dada la aceleracin podemos obtener el cambio de velocidadv-v0entre los instantest0yt, mediante integracin, o grficamente.vv0=a(tt0)Dada la velocidad en funcin del tiempo, obtenemos el desplazamientox-x0del mvil entre los instantest0yt, grficamente (rea de un rectngulo + rea de un tringulo), o integrandoxx0=v0(tt0)+12a(tt0)2Habitualmente, el instante inicialt0se toma como cero, quedando las frmulas del movimiento rectilneo uniformemente acelerado, las siguientes.a=ctev=v0+atx=x0+v0t+12at2Despejando el tiempoten la segunda ecuacin y sustituyndola en la tercera, relacionamos la velocidadvcon el desplazamientox-x0v2=v20+2a(xx0)Interpretacin geomtrica de la derivadaEl siguiente applet, nos puede ayudar a entender el concepto de derivada y la interpretacin geomtrica de la derivadav=limt0xt=dxdtSe elige la funcin a representar en el control de seleccin tituladoFuncin,entre las siguientes:x=16t373t2+172tx=13t+5x=8sin(10t)Se pulsa el botn tituladoNuevoSe observa la representacin de la funcin elegidaCon el puntero del ratn se mueve el cuadrado de color azul, para seleccionar una abscisat0.Se elige el aumento, 10, 100, 1000 en el control de seleccin tituladoAumento Cuando se elige 100 1000, la representacin grfica de la funcin es casi un segmento rectilneo. Se mide su pendiente con ayuda de la rejilla trazada sobre la representacin grfica Se calcula la derivada de la funcin en el punto de abscisat0elegido Se comprueba si coinciden la medida de la pendiente y el valor de la derivada ent0.Ejemplo:Elegimos la primera funcin y el puntot0=3.009Elegimos ampliacin 1000. La pendiente de la recta vale -1, y se muestra en la figura.

La derivada de dicha funcin esdxdt=12t2143t+172parat0=3.0 la derivada tiene vale -1.0Integral definidaDada la velocidad del mvil en funcin del tiempo, vamos a calcular el desplazamiento del mvil entre los instantest0yt. En los casos en los que la velocidad es constante o vara linealmente con el tiempo, el desplazamiento se calcula fcilmenteSiv=35 m/s, el desplazamiento del mvil entre los instantest0=0 yt=10 s es x=3510=350 mSiv=6t,el desplazamiento del mvil entre los instantest0=0 yt=10 s es el rea del tringulo de color azul claro x=(6010)/2=300 mSiv=-8t+60. el desplazamiento del mvil entre los instantest0=0 yt=10 s es la suma de las reas de dos tringulos: el de la izquierda tiene un rea de (7.560)/2=225 el de la derecha tiene un rea de (-202.5)/2=-25.El desplazamiento es el rea total x=225+(-25)=200 mEn otros casos, podemos calcular el desplazamiento aproximado, siguiendo el procedimiento que se muestra en la figura

En el instanteti-1la velocidad del mvil esvi-1, en el instantetila velocidad del mvil esvi. La velocidad media en el intervalo de tiempo ti=ti-ti-1comprendido entreti-1yties=v(ti)+v(ti1)2El desplazamiento del mvil durante el intervalo de tiempo ti=ti-ti-1comprendido entreti-1yties aproximadamente el rea del rectngulo ti. El desplazamiento totalx-x0entre el instante inicialt0, y el instante finalt=tnes, aproximadamentexx0i=1ntidondenes el nmero de intervalosSiv=-t2+14t+21 (m/s) y tomamosn=10 intervalos iguales, entre el instantet0=0 yt=10 s el desplazamiento aproximado valex-x027.7+39.8+49.8+57.7+63.7+67.7+69.7+69.8+67.8+63.8=577.5 mCuando el nmero de intervalos en los que se ha dividido un intervalo dado (t0,t) es muy grande ti0. En el lmite, el desplazamiento se expresa comoxx0=t0tvdtSiv=-t2+14t+21 (m/s), el desplazamiento entre el instantet0=0 yt=10 s valexx0=010(t2+14t+21)dt=t33+7t2+21t100=17303mActividadesSe elige la funcin a representar en el control de seleccin tituladoFuncin, entre las siguientes:v=-t2+14t+21v=-8t+60v=35v=2t2-12t-12Se pulsa el botn tituladoNuevoSe arrastra el puntero del ratn el pequeo cuadrado de color azul, y se pulsa el botn tituladorea.Se arrastra hacia la derecha el el pequeo cuadrado de color azul, y se vuelve a pulsar el botn tituladoreay as sucesivamente, hasta un mximo de 15 veces.Se representa y se calcula el rea tide cada rectngulo que se suma al rea calculada previamente.