Lectura inecuaciones No Lineales

7/23/2019 Lectura inecuaciones No Lineales

http://slidepdf.com/reader/full/lectura-inecuaciones-no-lineales 1/7

1

Politécnico

Grancolom

biano

en

alianza

con

W

h

itne

International

Universit

S

stem

Módulo de MatemáticasNidia Mercedes Jaimes Gómez

UNIDAD DOS4. Inecuaciones no lineales

“No hay nada repartido mas equitativo

en el mundo que la razón:todo el mundo está convencido

de tener suficiente”.

René Descartes

Introducción

Palabras ClaveConjunto solución, desigualdad, inecuación cuadrática, inecuación racional, menor que,mayor que.

Unidad 2

En matemáticas, la ley de la tricotomía es unapropiedad en la que todos los elementos de unconjunto ordenado son comparables entre sí.

Dados dos elementos a, b, se cumple solo unade las siguientes relaciones: a igual b, a mayorque b, ó, a menor que b.



2

Politécnico

Grancolom

biano

en

alianza

con

W

h

itne

International

Universit

S

stem


4.1 Desarrollo Temático

4.1.1 Inecuaciones cuadráticas

Forma general:

a x2 + bx + c < 0 , a x2 + bx + c > 0, a x2 + b x + c 0, a x2 + bx + c 0 ;

donde x es la variable y a,b, c son reales, a ≠ 0

El procedimiento expuesto para inecuaciones lineales es aplicable encualquier tipo de inecuación, veamos el siguiente ejemplo:

Solucionar 3m2 - 5m 2

Solución:

3m2 - 5m 2 equivalente a:

3m2 - 5m – 2 0

Resolvamos la ecuación cuadrática asociada a la inecuación, es decir: 3m2 - 5m – 2 = 0

)3(2

2)(3)(45)(5)(m

2

6-

24255m

6-15m



3

Politécnico

Grancolom

biano

en

alianza

con

W

h

itne

International

Universit

S

stem


6

4m1,m

Luego el conjunto solución de la ecuación es:

3

21,

Ubiquemos estos números en la recta numérica para determinar la soluciónde la inecuación cuadrática planteada:

Estos números definen tres intervalos, pero nos interesa elegir aquellos cuyoselementos numéricos hacen cierta la desigualdad 3m2 - 5m – 2 0

Elijamos cualquier número en el primer intervalo definido, es decir unnúmero menor que-1, puede ser -2. Al evaluarlo en 3m2 + 2m -10 0, queda:

¿ 3(-2)2 – 5(-2) – 2 0 ?

¿ 3(4) + 10 – 2 0 ?

¿ 12 + 8 0 ?. Efectivamente 2 0, luego el intervalo 1, esparte de la solución

Consideramos ahora un real entre -1 y -2/3 , puede ser -0.8

¿ 3(-0.8)2 – 5(-0.8) – 2 0 ?

¿ 3(0.64) + 4 – 2 0 ?

¿ 0.08 0 ?. NO satisface, luego el intervalo entre -1 y -2/3 NO es parte

de la solución.

Finalmente consideremos un real mayor que -2/3. Puede ser cero:



4

Politécnico

Grancolom

biano

en

alianza

con

W

h

itne

International

Universit

S

stem


¿ 3(0)2 – 5(0) – 2 0 ?

¿ – 2 0 ? : Efectivamente la desigualdad es correcta. Luego concluimosque el conjunto solución de la inecuación: 3m2 - 5m 2 es el intervalo:

,321,

NOTA: El corchete [ ] en intervalos se emplea para indicar que el extremo

relacionado pertenece a la solución. Como la relación inicial es “ “, lasolución de la ecuación forma parte de la solución general.

Es decir -1 y -2/3 satisfacen la inecuación planteada.

4.1.2 Inecuaciones racionales

Solucionar 21x

3x

Siguiendo el método usado en los ejemplos anteriores, es necesario

solucionar la ecuación asociada: 21x

3x

, teniendo en cuenta que en las

expresiones racionales el denominador NO puede ser cero .

Para el caso x – 1 ≠ 0, es decir x ≠ 1

Solución:

21x

3x

,



5

Politécnico

Grancolom

biano

en

alianza

con

W

h

itne

International

Universit

S

stem


1x23x

3x = 2x – 2

3x – 2x = – 2

x = – 2

Ubicamos en la recta numérica tanto la solución de la ecuación como larestricción del denominador.

Quedan definidos tres intervalos, sobre los que consideramos valores para

ser evaluados en la inecuación 21x

3x

Consideramos cualquier valor en el intervalo 2, , puede ser x = - 3,

que al evaluar en la expresión queda una desigualdad verdadera.Consideramos ahora un valor en el intervalo ( - 2, 1 ) , puede ser x = 0, alevaluarlo en la expresión queda una desigualdad falsa.

Finalmente consideramos un real en el intervalo ,1 , puede ser x = 2. Al

evaluarlo en la expresión queda una desigualdad verdadera.

La solución de la inecuación 21x

3x

, es entonces el intervalo:

),1(2,



6

Politécnico

Grancolom

biano

en

alianza

con

W

h

itne

International

Universit

S

stem


EJERCICIO 15

1.

Encontrar el intervalo solución, si es posible.

a) 052x3x b) 415x

34x

c) 2x4x3x d) 8

3

2

1

12x

3

2) Determinar los valores reales que puede asumir la variable x, para quecada una de las siguientes expresiones sea negativa (menor que cero).

a) 54xx2 b) 45x

6x

c) 413

25 x

d)

3

14

321

x x

e) 3

210

2

10

3

10

4

x

4.2 Síntesis

Las inecuaciones cuadráticas o racionales se solucionan a partir de lasecuaciones asociadas y aplicando correctamente la ley de la tricotomía.



7

Politécnico

Grancolom

biano

en

alianza

con

W

h

itne

International

Universit

S

stem


La solución de una inecuación consistente siempre es un intervalo.

Documents

Lectura inecuaciones No Lineales