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Investigación Operativa

INECUACIONES Y SISTEMAS LINEALES CON DOS

INCÓGNITAS

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Inecuación lineal con dos incógnitas

• Inecuación lineal con dos incógnitas es la que suele expresarse mediante cualquiera de las desigualdades siguientes:

• En forma implícita: En forma explícita:

• a.x + b.y + c ≤ 0 También y ≤ m.x + n• a.x + b.y + c ≥ 0 También y ≥ m.x + n• a.x + b.y + c < 0 También y < m.x + n• a.x + b.y + c > 0 También y > m.x + n

• La solución general es el conjunto de pares (x,y) que satisface la desigualdad. La solución siempre va a ser un SEMIPLANO.

• Una solución particular es un punto cualquiera que satisface la desigualdad. Para hallar la solución de una inecuación lineal con dos incógnitas debemos recurrir al método gráfico.

• La frontera del semiplano puede o no formar parte de la solución si la inecuación contiene o no el signo de la igualdad (=).

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• Ejemplo 1

• - x + 2 y – 2 ≤ 0

• Despejada “y”:

• 2y ≤ x + 2• y ≤ (x + 2) / 2• y ≤ 0,5 .x + 1

• Dos puntos de la recta frontera:

• Tabla:• x y• 0 1• - 2 0

• Como y ≤ … la solución es el semiplano inferior.

El punto ( 0, -3 ) pertenece a la solución

El punto ( 1, 3 ) no pertenece a la solución

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• Ejemplo 2

• x + y – 4 > 0

• Despejada “y”:y > 4 - x

• Dos puntos de la recta frontera:

• Tabla:• x y• 0 4• 4 0

• Como y > … la solución es el semiplano superior

• Como no contiene el signo igual (=), la recta frontera no forma parte de la solución.

El punto ( 0, 0 ) no pertenece a la solución

El punto ( 7, 7 ) pertenece a la solución

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• Ejemplo 3

• y + 4 > 0

• Despejada “y”:y > - 4

• Dos puntos de la recta frontera

• Tabla:• x y• 0 - 4• 4 - 4

• Como y > … la solución es el semiplano superior

• Como no contiene el signo igual (=), la recta frontera no forma parte de la solución.

El punto ( 0, - 4 ) no pertenece a la solución

El punto ( - 3, 5 ) pertenece a la solución

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• Ejemplo 4

• x - 3 ≥ 0

• Despejada “x”:x ≥ 3

• Dos puntos de la recta frontera:

• Tabla:• x y• 3 0

• 3 3• Como x > … la

solución es el semiplano derecho

• Como contiene el signo igual (=), la recta frontera forma parte de la solución.

El punto ( 0, - 2 ) no pertenece a la solución

El punto ( 5, 3 ) pertenece a la solución

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Ejercicios (I)

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Ejercicios (II)

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Ejercicios (y III)

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PROBLEMAS de INECUACIONES

• Para resolver un sistema de dos inecuaciones con dos incógnitas se debe proceder de forma gráfica.

• Pero si el sistema es mixto, de una ecuación lineal y una inecuación, se podrá resolver de forma analítica: Se despeja una cualquiera de las incógnitas de la ecuación, la expresión que resulte se sustituye en la inecuación, y finalmente se resuelve la nueva inecuación resultante.

• PROBLEMA_1

• Deseamos mezclar café de 1,8 E/kg con café de 2,4 E/kg para obtener 50 kg de mezcla a un precio inferior a 2,16 E/kg. Hallar en que intervalo está el número de kg que podemos mezclar de cada uno.

• Sea x el nº de kg de café de 1,8 €/kg• Sea y el nº de kg de café de 2,4 €/kg• x + y = 50 Ecuación y = 50 – x• 1,8.x + 2,4.y ≤ 2,16.50 Inecuación

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• De la ecuación la incógnita despejada la sustituimos en la inecuación y resolvemos:• 1,8.x + 2,4.( 50 – x ) ≤ 108 1,8 x + 120 – 2,4 x ≤ 108 • - 0,6 x ≤ - 12 0,6 x ≥ 12 x ≥ 20

• Solución = { V x ε R / x ε [ 20, 50] } , { V y ε R / y ε [ 0, 30] }

• PROBLEMA_2

• Una cooperativa decide comprar el doble de camiones que de tractores, pero no desea gastar más de 144.000 euros. Si cada tractor vale 15.000 euros y cada camión 9.000 euros, ¿cuál es el número máximo de tractores que puede comprar?

• RESOLUCIÓN

• Sea x el número de camiones a comprar.• Sea y el número de tractores a comprar.• x = 2.y Ecuación.• 9000.x + 15000.y ≤ 144000 Inecuación• Sustituimos y resolvemos:• 9000.2.y + 15000.y ≤ 144000 Inecuación• 18000.y + 15000.y ≤ 144000 33000.y ≤ 144000 • y ≤ 144000 / 33000 y ≤ 4,36 Solución: y = 4 tractores, x = 8 camiones

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Sistema de inecuaciones• Sea el Sistema_1

• - x + y > 0• x + y – 4 ≥ 0

• Representamos gráficamente cada una de las rectas que van a constituir las fronteras de la solución, pertenezcan o no a dicha solución.

• Señalamos los semiplanos según el signo de las desigualdades.

• Vemos que el vértice es el punto C

• La solución es la zona común a los dos semiplanos, por encima del vértice C.

C

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• Sea el Sistema_2

• y – 4 ≤ 0• - x + y > 0• x + y – 4 ≥ 0

• Representamos gráficamente cada una de las rectas que van a constituir las fronteras de la solución, pertenezcan o no a dicha solución.

• Señalamos los semiplanos según el signo de las desigualdades.

• Vemos que los vértices son los puntos A , B y C

• La solución es la zona común a los tres semiplanos, el triángulo ABC, excepto el lado BC

A B

C

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• Sea el Sistema_3

• y – 4 ≤ 0 (1)• - x + y > 0 (2)

• Despejamos las “y”:

• y ≤ 4 (1)• y > x (2)

• Representamos las rectas • fronteras de la solución:• Tabla (1)Tabla (2)• x y x y• 0 4 0 0• 4 4 4 4

• Señalamos los semiplanos según el signo de las desigualdades.

• La solución es la zona rayada común.

El punto ( 3, 0 ) no pertenece a la solución

El punto ( 0, 4 ) pertenece a la solución

ZONA SOLUCIÓN

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• Sea el Sistema_4

• 5.x + 2.y ≤ 1200 (1)• x + 2.y ≤ 400 (2)

• Despejamos las “y”:

• y ≤ 600 – 2,5.x• y ≤ 200 – 0,5.x

• Representamos las rectas• fronteras de la solución:• Tabla (1)Tabla (2)• x y x y• 0 600 0 200• 200100 400 0

• Señalamos los semiplanos según el signo de las desigualdades.

• La solución es la zona rayada común

X

Y

ZONA SOLUCIÓN

El punto ( 100, 300 ) no pertenece a la solución

El punto ( -100, 0 ) pertenece a la solución