Lecciones de Calculo Variacional

7/27/2019 Lecciones de Calculo Variacional

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Calculo de variaciones

Luis O. Silva

UniversidadNacionalAutonoma deMexico

Cd. Universitaria2008


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c Luis O. Silva 4 de febrero de 2009Typesetting LATEX 2


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Indice general

1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. Notacion y nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53. Supremo, nfimo, maximo y mnimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64. Convexidad de conjuntos y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5. Minimizacion de funciones convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116. Espacios de funciones y funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147. Funcionales convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198. Minimizacion de funcionales convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . 349. Minimizacion de funcionales convexos bajo condiciones convexas . . 4110. Extremos locales de funciones reales de variable real . . . . . . . . . 4211. Espacios normados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4212. Continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4413. Compacidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1. Introduccion

1.1. El calculo de variaciones o calculo variacional es una rama clasica y funda-mental de las matematicas. No es una exageracion afirmar que el desarrollo de estarama de las matematicas ha ido a la par con el desarrollo de los conceptos centralesdel analisis matematico y sus aplicaciones. En lo que respecta a las aplicaciones,muchos de los conceptos centrales de la fsica teorica estan en estrecha relacion conel calculo variacional.

1.2. Las races del calculo variacional se extienden a tiempos anteriores a la Grecia

clasica. Uno de los problemas mas antiguos del calculo variacional, y de las ma-tematicas en general, es el problema isoperimetrico. Este problema esta relacionadocon la legendaria Dido fundadora de la ciudad fenicia de Cartago (buena parte dela leyenda de Dido se encuentra en la Eneida de Virgilio, aunque por otras fuentesse sabe que fue un personaje historico). Cuenta la leyenda que Dido y un grupo deseguidores llegaron a las costas de lo que ahora es Tunez y solicitaron un pedazode tierra a los habitantes locales. Dido pidio la tierra que pueda se encerrada por

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4 Introduccion

la piel de un toro. Desde luego la peticion no pareca muy ambiciosa as que le fueesto concedido. Dido corto la piel en tiras muy delgadas formando as un cuerdamuy larga. Utilizo entonces esta cuerda para rodear un extension de tierra en la

costa que paso a convertirse en la ciudad de Cartago. Independientemente de laveracidad de la leyenda no es difcil aceptar que el problema de abarcar la mayorarea posible dada una cuerda de longitud fija aparecio hace mucho tiempo en lahistoria. El filosofo Zenodoros (200 a.n.e.) planteo de manera precisa este y otrosproblemas matematicos relacionados con encontrar figuras optimas, que hoy po-demos considerar problemas clasicos del calculo variacional. Hay otros problemasclasicos que son parte del calculo de variaciones que fueron planteados y estudiadospor Aristoteles y Pappus.

1.3. Hasta aqu hemos hablado de problemas de calculo variacional, pero no hemosdefinido esta rama de las matematicas. De hecho no lo haremos ahora sino quepostergaremos la definicion del calculo de variaciones hasta el paragrafo lll. Estono nos impide notar que en los problemas de c alculo de variaciones siempre serequiere encontrar curvas, figuras, procesos, optimos.

1.4. Se le atribuye a Pierre de Fermat, matematico frances del siglo XVII, el prin-cipio fsico de tiempo mnimo, el cual establece que la trayectoria que toma la luzentre dos puntos es la trayectoria que puede ser recorrida en el menor tiempo. Esteprincipio esta relacionado con el principio de distancia mnima de Heron de Ale-

jandra, filosofo griego del siglo I (la luz sigue la trayectoria entre dos puntos queresulta ser la mas corta). En 1662, Fermat utilizo su principio de tiempo mnimo pa-ra deducir la ya entonces conocida ley de Snell que describe la refracci on de la luz alpasar de un medio a otro. Es a partir de este momento que se empiezan a utilizarmetodos analticos para la resolucion de problemas de optimizacion (anterior-mente estos problemas se haban abordado por metodos puramente geometricos).El tratemiento de Fermat de este problema es considerado por varios historiadoresdel calculo variacional como el comienzo del mismo, precisamente por el uso detecnicas analticas similares a las que se usaran mas tarde en el analisis matemati-co. Es interesante mencionar que estas tecnicas jugaron un papel importante en el

desarrollo del calculo unos anos despues.

1.5. En 1685 Newton resuelve problemas sobre el contorno optimo que debetener una cuerpo moviendose en un fluido para tener la menor resistencia. Losresultados de este trabajo de Newton fueron obtenidos en base a las herramientasanalticas que el mismo haba desarrollado anos antes.


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Notacion y nomenclatura 5

1.6. En 1696 Johann Bernoulli publica un desafo para los matematicos de sutiempo: el llamado problema de la Braquistocrona (vease lll). Varios matematicosdieron respuesta al desafo. Entre las respuestas destacadas se encuentran la desu hermano Jakob, la de Newton (publicada de manera anonima) y la de Leibniz.Jakob Bernoulli ocupa un metodo similar al de Fermat, pero mas refinado, paradar respuesta al problema. El desarrollo y generalizacion de estos metodos porEuler y despues Lagrange lleva a un metodo sistematico para estudiar este tipode problemas y con esto propiamente al calculo de variaciones. Fue precisamenteEuler quien acuno el termino.

1.7. Johann Bernoulli tambien estudio geodesicas en varias superficies. Este esotro problema clasico del calculo variacional. La geodesica es la curva mas cortasobre cierta superficie que une a dos puntos de esa superficie.

1.8. Durante el siglo XIX los trabajos de Euler y Lagrange son formalizados ygeneralizados para conformar lo que es el calculo de variaciones hoy en da. Es dedestacarse las contribuciones de Weierstrass en la formalizacion de la teora.

1.9. Como mencionamos en los Paragrafos 1.1 y 1.4, el desarrollo del calculo va-riacional esta relacionado con el desarrollo de la fsica. Esto es as por el marcoconceptual en el que se han desarrollado las ideas sobre el comportamiento dela realidad. Con innegable influencia religiosa el pensamiento fsico ha consideradoque los procesos naturales se desarrollan de manera optima. Durante la evolucionde los procesos algo se minimiza o maximiza (Dios o la naturaleza deben ser per-fectos). As las leyes de la fsica deben ser el producto de principios variacionales.Es as como surgen la mecanica analtica y la mecanica hamiltoniana y de ah laformalizacion de la mecanica cuantica. Es tambien notable que la Teora Generalde la Relatividad tambien esta relacionada con el calculo de variaciones.

2. Notacion y nomenclatura

2.1. A lo largo de estas notas trataremos de mantener una notacion y una no-

menclatura uniformes. Describiremos aqu breve y parcialmente la notacion y lanomenclatura utilizadas. Esta seccion no es exhaustiva en el sentido de que granparte de la notacion y nomenclatura de este texto no estaran aqu descritas, sinoque se daran a medida que se introduzcan nuevos conceptos.

2.2. Los conjuntos en general seran denotados por letras mayusculas caligraficas.Para el conjunto de los numeros reales y naturales utilizaremos R y N como es usual.


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Supremo, nfimo, maximo y mnimo 7

3.4. Definicion. El conjunto de las cotas superiores de A R, denotado A+ sedefine como

A+ := {c+ R : x A, x c+} .

Tambien tenemos A que es el conjunto de cotas inferiores de A

A := {c R : x A, x c} .

3.5. Claramente, A+ y A son subconjuntos de R. Si A+ = , entonces A noesta acotado superiormente y si A = , entonces A no esta acotado inferiormente.Si sucede que A = R, o que A+ = R entonces A es el conjunto vaco.

3.6. Definicion. El supremo de un subconjunto no vaco A de R se denota sup A,

o bien supxA{x}, y se define como

sup A :=

cs,

cs A+

, x0 A : cs < x0

+ A+ = .

Analogamente el nfimo de un subconjunto A no vaco de R se denota nfA, o biennfxA{x}, y se define como

nf A := ci, ci A

, x0 A : ci + > x0

A = .

3.7. Notese que la condicion que aparece en la definicion del supremo

cs A+ : , x0 A : cs < x0

es en realidad equivalente a

cs A+ : , cs A

+ .

De manera similar se puede reformular la condicion analoga para ci en la definiciondel nfimo.

3.8. Supongamos que c0 = nfxA{x} entonces siempre se cumple que c0 = supxA{x}. As cualquier afirmacion sobre las propiedades del nfimo o delsupremo tiene su correspondiente afirmacion sobre las propiedades de su contra-


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8 Convexidad de conjuntos y funciones

parte.

3.9. Teorema. Sea A un subconjunto no vaco de R acotado superiormente, en-tonces existe cs R tal que cs = sup A.

3.10. Corolario. De 3.8 y del Teorema 3.9 sigue que si A = esta acotado infe-riormente, entonces existe ci R tal que ci = nfA.

3.11. Corolario. Del Teorema 3.9 y del Corolario 3.10 se sigue que para todosubconjunto no vaco de R existe el nfimo y el supremo.

3.12. Desde luego que el nfimo y el supremo de un conjunto dado no necesa-

riamente pertenecen a ese conjunto. Por ejemplo, para un conjunto no acotadosuperiormente (inferiormente) el supremo (nfimo) no pertenece al conjunto. Encontraste considere los siguientes conceptos:

3.13. Definicion. El maximo elemento del subconjunto no vaco A de R se denotamax A, o bien maxxA{x}, y se define de la siguiente manera

max A := xmax A x A, xmax x .

Similarmente se define el mnimo elemento del conjunto no vaco A, denotado

mn A, o bien mnxA{x}:

mn A := xmin A x A, xmin x .

3.14. Claramente no todo subconjunto no vaco de R tiene maximo o mnimo.Si existe el maximo de A, entonces max A = sup A. Si existe el mnimo de A,entonces mn A = nfA.

4. Convexidad de conjuntos y funciones

4.1. Definicion. Sea L un espacio lineal y G uno de sus subconjuntos no vacos.Decimos que G es convexo si y solo si para cualesquiera , G resulta que

t+ (1 t) G t (0, 1) .

4.2. Cuando L = Rd con d N, el subconjunto Ges convexo si junto con cualquierpar de puntos de G se contiene en G al conjunto de puntos que forman el segmento


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Convexidad de conjuntos y funciones 9

recto que une a esos dos puntos.

4.3. Definicion. La funcion f es convexa si y solo si esta definida en un conjuntoconvexo G, toma valores reales y satisface

f(t+ (1 t)) tf() + (1 t)f() t (0, 1) (4.1)

para cualesquiera , G. La funcion se dice estrictamente convexa si la igualdaden (4.1) para cierto t (0, 1) tiene lugar solo cuando = . Esto ultimo se puedeparafrasear de la siguiente forma: f es estrictamente convexa si y solo si paracualesquiera , G tales que = se cumple que

f(t+ (1 t)) < tf() + (1 t)f() t (0, 1) .

4.4. La condicion de que una funcion sea convexa es equivalente a que su epigraficosea un conjunto convexo. Esto se puede visualizar cuando el espacio lineal L dondeesta contenido G = dom(f) resulta ser Rd con d N.

4.5. Definicion. Sea G un subconjunto de Rd con d N. Decimos que la funcionreal f esta en C(G) = C0(G) si y solo si dom(f) = G, ran(f) R y f es continuaen todo su dominio de definicion. En otras palabras C(G) es el conjunto de todaslas funciones reales continuas definidas en G.

4.6. Si G = G entonces claramente

C(G) G C(G),

donde f C(G) G si f = g G con g C(G). Esto es as ya que en este caso C(G)puede entenderse como las funciones en C(G) que pueden extenderse continuamentea G.

4.7. Para el conjunto C(G) cuando G = [a, b] se va a utilizar la notacion C[a, b].Mientras que cuando G = (a, b) utilizaremos la notacion C(a, b).

4.8. Definicion. Sea G Rd con d N. Decimos que la funcion vectorial f : G R

m, m > 1, esta en C(G,Rm) = C0(G,Rm) si y solo si f es una funcion continuaen todo su dominio de definicion.

4.9. Sea G Rd y sea f una funcion real definida en G. Si d = 1, la derivada def en el punto x0 G se denotara

ddx

f(x0) o f(x0) segun sea conveniente. Por otra


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10 Convexidad de conjuntos y funciones

parte, cuando d > 1, utilizaremos para el gradiente de f evaluado en x0 la notacionx

f(x0). Notese quex

f(x0) Rd.

4.10. Sea f una funcion real definida en G R y sea G el subconjunto de Gdonde existe la derivada de f. Si a cada elemento x G le asociamos el valor dela derivada en ese punto, obtendremos una funcion real definida en G. Esa funciongeneralmente se denota como d

dxf o bien f. Analogamente se define la funcion

vectorial xf.

4.11. Definicion. Sean a y b cualesquiera elementos del espacio lineal Rd cond > 1. Ademas, sea {ek}dk=1 la base canonica

1 en Rd. De modo que

a =d

k=1

akek , b =d

k=1

bkek .

Esto es otra forma de escribir que

a = (a1, . . . , ad) , b = (b1, . . . , bd) .

Definamos el producto interno en Rd como sigue:

a, b =d

k=1akbk ,

De esta forma el espacio lineal Rd pasa a ser el espacio euclidiano Rd.

4.12. Definicion. Sea f una funcion vectorial tal que dom(f) Rd y ran(f) Rn,donde d N, n > 1. Diremos que fk es la componente de f a lo largo del elementoek de la base canonica de R

n cuando

fk() = f(), ek dom(f) .

De esta forma

f() =

nk=1

fk()ek dom(f) .

4.13. Definicion. Sea G Rd.

1Cuando al elemento a de Rd se le representa a = (a1, . . . , ad), entonces e1 = (1, 0, . . . , 0),e2 = (0, 1, . . . , 0), etc.


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Minimizacion de funciones convexas 11

a) Cuando d = 1, decimos que la funcion real f esta en Cm+1(G) si y solo si ddx

f

esta en Cm(G). Analogamente la funcion vectorial f esta en Cm+1(G,Rn) si ysolo si d

dx

f esta en Cm(G,Rn).

b) Sea d > 1 y sea la funcion vectorial f tal que ran(f) Rn. Ademas sea fkla componente de f a lo largo del elemento ek de la base canonica de R

n.Decimos que f esta en Cm+1(G,Rn) si y solo si xfk esta en C

m(G,Rd) paratodo k = 1, . . . , n.

c) Cuando d > 1, decimos que la funcion real f esta en Cm+1(G) si y solo si x

f

esta en Cm(G,Rd).

4.14. Por induccion, en base a las definiciones 4.5, 4.8 y 4.13, para cualquierG Rd con d N podemos definir los conjuntos Cn(G) y Cn(G,Rm) con cualquiern N {0} y cualquier m > 1.

5. Minimizacion de funciones convexas

5.1. Definicion. Sea G un subconjunto no vaco de Rd con d N y sea f unafuncion real definida en G. Diremos que f es diferenciable en 0 G si y solo siexiste la derivada, o el gradiente (cuando G sea un subconjunto de Rd con d > 1),en 0.

5.2. Teorema. (Criterio de convexidad) Sea G un intervalo abierto o cerrado deleje real y sea f una funcion real definida en G y diferenciable en todos los puntosde G. La funcion f resulta ser convexa si y solo si

f(c2) f(c1) +

d

dxf(c1)

(c2 c1) c1, c2 G (5.1)

Demostracion.

Primero demostraremos que (4.1), con = c1 y = c2, implica (5.1). Sin perdergeneralidad podemos considerar que c1 < c2. Restemos f(c1) a ambos lados de (4.1),con = c1 y = c2 y dividimos la desigualdad completa por tc1 +(1 t)c2 c1 > 0.Asi, tenemos

f(tc1 + (1 t)c2) f(c1)

(1 t)(c2 c1)

(1 t)(f(c2) f(c1))

(1 t)(c2 c1).


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12 Minimizacion de funciones convexas

Ahora tomamos el lmite en ambos lados de la desigualdad cuando t 1, obte-niendo as

d

dx f(c1)

f(c2) f(c1)

c2 c1 .

Vamos ahora a la afirmacion conversa, a saber, cuando (5.1) implica (4.1), con = c1 y = c2. Sea c0 = tc1 + (1 t)c2 con t [0, 1], de (5.1) obtenemos

f(c1) f(c0)

d

dxf(c0)

(c1 c0) (5.2)

f(c2) f(c0)

d

dxf(c0)

(c2 c0) . (5.3)

Multiplicamos la desigualdad (5.2) por t y la desigualdad (5.3) por 1 t. Despues

de sumar ambas desigualdades y simplificar terminos llegamos a (4.1), con = c1y = c2.

5.3. Teorema. (Criterio de convexidad) Sea G un subconjunto convexo de Rd cond > 1 y sea f una funcion real definida en G y diferenciable en todos los puntos deG. La funcion f resulta ser convexa si y solo si

f(c2) f(c1) +

xf(c1), (c2 c1)

c1, c2 G (5.4)

(vease la notacion introducida en 4.9)

5.4. La demostracion de esta afirmacion es totalmente analoga a la del Teorema5.2 y la dejamos como ejercicio al lector.

5.5. Claramente, el conjunto C1(G) esta contenido en el conjunto de funcionesreales definidas en G y diferenciables en todos los puntos de G. Por esta razon,en las condiciones de los Teoremas 5.2 y 5.3, podemos sustituir la condicion dediferenciabilidad por la condicion de que la funcion este en C1(G).

5.6. Es facil ver que ademas de los Teoremas 5.2 y 5.3 tenemos los correspondien-tes criterios de convexidad estricta. Enunciemos el criterio de convexidad estrictacorrespondiente al Teorema 5.2:

Sea Gun intervalo abierto o cerrado del eje real y sea f una funcion real definidaen Gy diferenciable en todos los puntos de G. La funcion f resulta ser estrictamente


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Minimizacion de funciones convexas 13

convexa si y solo si

f(c2) > f(c1) + ddxf(c1) (c2 c1) c1, c2 G, c1 = c2 . (5.5)5.7. Definicion. Sea f una funcion real definida en un subconjunto de Rd cond N. Decimos que 0 dom(f) minimiza a f cuando

f(0) = mn ran(f) (5.6)

Equivalentemente, en ocasiones diremos que 0 es un mnimo global de la funcion f.Cuando 0 sea el unico elemento de dom(f) para el que se satisface (5.6), diremos

que 0 minimiza a f de manera unica.

5.8. Decir que f(0) = mn ran(f) es, de acuerdo a la Definicion 3.13, equivalentea decir que 0 dom(f) es tal que

dom(f) f() f(0) . (5.7)

0 minimiza a f de manera unica si la igualdad en la desigualdad anterior tienelugar solo si = 0. Esto ultimo tambien lo podemos escribir as: 0 minimiza a fde manera unica cuando 0 dom(f) es tal que

dom(f) : = 0 f() > f(0) .

5.9. Definicion. Sea f una funcion real definida en un subconjunto de Rd cond N. Decimos que 0 dom(f) maximiza a f cuando

f(0) = max ran(f) (5.8)

Equivalentemente, en ocasiones diremos que 0 es un maximo global de la funcionf. Cuando 0 sea el unico elemento de dom(f) para el que se satisface (5.8), diremos

que 0 maximiza a f de manera unica.

5.10. Definicion. Sean , funciones (reales o vectoriales) tales que dom() =dom(). La funcion + (suma de funciones y ) se define como sigue:

( + )() := () + () dom() .


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14 Espacios de funciones y funcionales

Tambien se define la funcion a (multiplicacion de la funcion por el escalar a)de la siguiente forma para cualquier a R:

(a)() := a() dom() .

5.11. Debido a los comentarios de los paragrafos 3.8 y 3.14 se verifica directa-mente que 0 maximiza a f siempre que 0 minimice a f. Esto tambien siguedirectamente de (5.7).

5.12. Definicion. Sea f una funcion real definida en un subconjunto de Rd cond N. 0 dom(f) es un punto estacionario de f cuando f es diferenciable en 0y el valor de la derivada (en su caso el gradiente) en 0 es cero.

5.13. Teorema. Sea f una funcion convexa definida en un subconjunto de Rd cond N y diferenciable en su dominio de definicion. Si 0 es un punto estacionariode f, entonces 0 minimiza a f. Cuando f no es solo convexa, sino estrictamenteconvexa, entonces el punto estacionario 0 minimiza a f de manera unica.

Demostracion.

Como f es convexa, entonces dom(f) es convexo y ya que f es diferenciableen su dominio de definicion podemos usar los Teoremas 5.2 o 5.3. Como 0 es unpunto estacionario de f, entonces de (5.1), o en su caso de (5.4) (cuando d > 1),se sigue que

f() f(0) dom(f).

Si f es estrictamente convexa, entonces, debido a los Comentarios 5.6 y 5.8, obte-nemos de manera analoga la segunda afirmacion del teorema.

6. Espacios de funciones y funcionales

6.1. Teorema. Con las operaciones de suma de funciones y multiplicacion de unafuncion por un escalar dadas en la Definicion 5.10 los conjuntos Cn(G) y Cn(G,Rm)(n N {0}, m > 1) de la Definicion 4.13 son espacios lineales.

6.2. Teorema. Los espacios lineales Cn(G) y Cn(G,Rm) (n N {0}, m > 1) sonespacios de dimension infinita.


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Espacios de funciones y funcionales 15

Demostracion.

Demostraremos esta afirmacion para el espacio C[a, b]. Es facil ver como ex-

tender la demostracion al caso general. Recordamos que un espacio lineal es dedimension infinita si contiene un conjunto infinito de elementos linealmente inde-pendientes. Para demostrar que este es el caso consideremos el conjunto Pn[a, b] depolinomios de grado n o menor definidos en [a, b]. Claramente dim Pn[a, b] = n loque significa que Pn[a, b] tiene n elementos linealmente independientes. La demos-tracion se concluye al observar que Pn[a, b] C[a, b] para todo n N.

6.3. Hay una diferencia fundamental entre los espacios lineales de dimension infi-nita, como por ejemplo los espacios de funciones Cn(G) (n N {0}, y los espacioslineales de dimension finita, como por ejemplo los espacios Rd (d N). La natu-

raleza de los elementos del espacio no es tan importante, lo que es determinanteaqu es si la dimension es o no finita. Esto quedara claro mas adelante.

6.4. Es facil ver que los conjuntos Cn(G) y Cn(G,Rm) (n N {0}, m > 1) dela Definicion 4.13 satisfacen:

Cn+1(G) Cn(G) , Cn+1(G,Rm) Cn(G,Rm)

Por lo tanto para cada espacio Cn(G), o bien Cn(G,Rm) (n N {0}, m > 1),existe una cadena de subespacios.

6.5. (Ejemplos de subespacios de espacios lineales de funciones).

1. El espacio de funciones {y C[a, b] : y(a) = 0, y(b) = 0} es un subespacio deC[a, b].

2. El espacio de funciones {y C(G) : y G 0} es un subespacio de C(G).

3. El espacio de funciones {y C1[a, b] : y(a) = 0, y(b) = 0} es un subespaciode C1[a, b] y C[a, b].

4. Sean c1, c2 R tales que |c1|+ |c2| > 0. El conjunto de funciones {y C[a, b] :y

(a

) =c1

, y(

b) =

c2}

noes un espacio lineal.

6.6. Definicion. (Funcional) Vamos a llamar funcional a cualquier funcion defini-da en un subconjunto de un espacio lineal de funciones y que toma valores reales.

6.7. En general la definicion de funcional es mas amplia. Nosotros trabajaremosunicamente con funcionales como se han definido arriba.


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6.8. Notacion. A lo largo de este texto todos los funcionales seran denotados porletras goticas mayusculas.

6.9. (Ejemplos de funcionales).

1. Consideremos una funcion cualquiera y en C[a, b] y la integralba

sin3 x + y2(x)

dx .

Claramente el integrando es una funcion en C[a, b] y por lo tanto la integralnos da un numero real. A cada y C[a, b] le corresponde un numero real.As podemos definir el funcional J tal que dom(J) = C[a, b] y tal que a cada

elemento de su dominio le asocia el valor de la integral de arriba, as

J(y) =

ba

sin3 x + y2(x)

dx .

2. Consideremos la integral ba

1 + [y(x)]2 dx

cuando y C1[a, b]. El integrando vuelve a caer en C[a, b] y por lo tanto la

integral nos da un numero real. As podemos considerar el funcional J tal quedom(J) = C1[a, b] y tal que

J(y) =

ba

1 + [y(x)]2 dx .

3. Fijemos c0 en [a, b]. Definamos el funcional J tal que dom(J) = C[a, b] y talque

J(y) = y(c0) .

Claramente J asocia un numero real a cada funcion en C[a, b] .

4. Ahora consideremos la integralba

y(x), y(x)dx ,

donde y C1([a, b],Rn), n N. El integrando y(x), y(x) es una funcionen C[a, b], por lo que la integral existe y nos da siempre un n umero real.


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Espacios de funciones y funcionales 17

Definamos el funcional J con

dom(J) = {y C1([a, b],Rn) : y(a) = c}

y tal que

J(y) =

ba

y(x), y(x)dx

6.10. Abajo, en el Ejemplo 1 del paragrafo 6.12 se utilizara un resultado clasico deWeierstrass que se enuncia abajo en el Teorema 6.11. Recurriremos a este resultadoen multiples ocasiones a lo largo del texto. Tambien mas adelante demostraremosuna afirmacion mas general que contiene al Teorema 6.11 como caso particular.Vease ...

6.11. Teorema. Si y C[a.b], entonces existen max ran(y) y mn ran(y). Se di-ce entonces que la funcion y alcanza su maximo y su mnimo en el dominio dedefinicion.

6.12. (Ejemplos de funcionales).

1. La integral

b

a 1 + [y(x)]2

y(x)dx (6.1)

no esta definida para toda funcion de C1[a, b]. Sin embargo, al considerar quela funcion y esta en el conjunto

D :=

y C1[a, b] : y(x) > 0 x (a, b]

ba

dxy(x)

< +

,

es facil ver que, debido a la condicion de que y(x) > 0 para x (a, b], laintegral (6.1) se ha convertido en una integral que, para las funciones y Dtales que y(a) = 0, es impropia con singularidad en a. Como el integrando es

positivo en (a, b], para demostrar la existencia de la integral impropia, bastacon acotar superiormente la integral

ba+

1 + [y(x)]2

y(x)dx

para todo > 0. Ahora, como y C1[a, b] C[a, b], haciendo uso del Teorema


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6.11 tenemos

ba+1 + [y(x)]2y(x) dx < maxx[a,b]1 + [y(x)]2 ba dxy(x) < + .

Lo que demuestra que podemos definir el funcional J tal que dom(J) = D ytal que

J(y) =

ba

1 + [y(x)]2

y(x)dx

Notese que D no es un espacio lineal.

2. Consideremos la integral ba

1 + y(x) dx .

Aqu tampoco podemos tomar cualquier funcion de C1[a, b] porque el valorde la integral podra salirse de los reales. El siguiente funcional esta biendefinido:

dom(J) =

y C1[a, b] : y(x) 1 x [a, b]

y

J(y) = ba1 + y(x) dx .

En este caso tambien tenemos que el funcional no esta definido en un espaciolineal.

6.13. Siempre que se de un funcional debe especificarse su dominio. Dos funciona-les son diferentes si tienen dominio diferente y, de hecho, mas adelante veremos quelas propiedades del funcional pueden cambiar drasticamente al cambiar su dominiode definicion.

6.14. Definicion. Decimos que el funcional G es restriccion de J si y solo sidom(G) dom(J) y para toda y dom(G)

G(y) = J(y) .

Dado un funcional J y un conjunto D dom(J) siempre se puede definir la res-triccion G de J tal que dom(G) = D. Entonces diremos que hemos restringido J al


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Funcionales convexos 19

conjunto D y utilizaremos la notacion

G = J D .

6.15. Definicion. De manera analoga a la Definicion 5.10 introducimos operacio-nes de funcionales. Sean J y G funcionales con dominio de definicion comun. Elfuncional J + G se define

(J + G)(y) := J(y) + G(y) y dom(J) .

Asimismo el funcional aJ se define

(aJ)(y) := aJ(y) y dom(J) .

7. Funcionales convexos

7.1. Definicion. (Derivada de Gateaux) Sea J un funcional definido en un sub-conjunto del espacio lineal de funciones M y sean y0 dom(J) y h M. Elfuncional J tiene derivada de Gateaux en y0 a lo largo de la direccion h si

a) : |t| < y0 + th dom(J).

b) lmt0J(y0 + th) J(y0)

t

El valor del lmite del inciso b) es, precisamente el valor de la derivada de Gateauxdel funcional J en y0 a lo largo de la direccion h. Utilizaremos la siguiente notacion:

J(y0, h) := lmt0

J(y0 + th) J(y0)

t.

7.2. Consideremos nuevamente al funcional J definido en un subconjunto del es-pacio lineal de funciones M y supongamos que existe la derivada de Gateaux delfuncional J en y

0a lo largo de la direccion h. Aqu, debido a que las funciones

y0 dom(J) y h M estan fijas, J(y0 + th) resulta ser una funcion real de variablereal t. Mas especficamente

J(y0 + th) : V(0) R ,

donde hemos subrayado y0 y h para acentuar el hecho de que estas son funcionesfijas. V(0) denota la vecindad delta del cero, esto es, el conjunto {t R : |t| < }.


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20 Funcionales convexos

Resulta entonces que

J(y0, h) =

d

dtJ(y0 + th) t=0

7.3. Se verifica de manera directa que la derivada de Gateaux es una operacionlineal, esto es, si los funcionales F y G tienen derivada de Gateaux en y a lo largode la direccion h, entonces

(aJ + bG)(y, h) = aJ(y, h) + bG(y, h) a, b R .

Es tambien facil mostrar que

J(y,cv) = cJ(y, v) .

7.4. El analogo de la derivada de Gateaux para una funcion f C1(Rd) es laderivada direccional. Sean x0, v Rd. De acuerdo a la definicion de derivada deGateaux estamos interesados en el lmite

lmt0

f(x0 + tv) f(x0)

t,

pero esto coincide con la definicion de derivada direccional de f en x0 a lo largo dela direccion v, lo cual normalmente se denota

vf(x0). Claramente,

v

f(x0) =d

dtf(x0 + tv) t=0

En base a esto es facil comprobar que

v

f(x0) =

xf(x0), v


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Demostracion.

Introducimos x(t) = x0 + tv, de modo que x(0) = x0. As

v

f(x0) =d

dtf(x(t)) t=0

=d

dt(f x)(t) t=0

=

xf(x),

d

dtx

t=0

=

xf(x0), v

7.5. Definicion. Fijemos n N {0} y consideremos u0, . . . , un+1, tales que u0 [a, b] y (u1, . . . , un+1) G Rn+1. Sea f una funcion de variables u0, . . . , un+1 talque f C([a, b] G). Ahora supongamos que se nos da una funcion y que este en

D = {y Cn[a, b] : ran(y) ran(dn

dxny) G} .

Para cada x [a, b] sustituimos las variables u0 por x y uk+1 pordk

dxky(x) (k =

0, . . . , n). Es claro que para cada y D siempre sucede quex , . . . ,

dn

dxny(x)

[a, b] G x [a, b] ,

de modo que para cada y D, podemos siempre definir la funcion:

f[y](x) := f(x , . . . ,dn

dxny(x)) x [a, b], .

Obviamente f[y] C[a, b]. Esto ultimo nos permite definir el funcional F condom(F) Cn[a, b] tal que

F(y) := ba

f[y](x)dx = ba

f(x , . . . , dndxn

y(x))dx .

A cada funcion f le corresponde un funcional F.

7.6. (Ejemplos de funcionales definidos a partir de funciones por medio de laDefinicion 7.5)


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1. En la Definicion 7.5, considerese n = 0 y la funcion f(u0, u1) = u0u1. Sea[a, b] cualquier intervalo finito del eje real. Claramente f C([a, b] R).Sustituimos u0 por x y u1 por

d0

dx0 y(x) = y(x). As, para cada y C

0[a, b] =C[a, b],

f[y](x) = f(x, y(x)) = xy(x) .

Por lo tanto podemos definir

dom(F) := {y C[a, b] : y(a) = 0, y(b) = 0}

y

F(y) :=

ba

f[y](x)dx =

ba

f(x, y(x))dx =

ba

xy(x)dx .

Desde luego como dominio de definicion de F podamos haber tomado cual-quier otro subconjunto de C[a, b].

2. En la Definicion 7.5, considerese n = 1 y la funcion f(u0, u1, u2) = u1u22 u0.

Sea [a, b] cualquier intervalo finito del eje real. Claramente f C([a, b] R2).Sustituimos u0 por x, u1 por y(x) y u2 por y(x). Para cada y C1[a, b]:

f[y](x) = f(x, y(x), y(x)) = y(x) [y(x)]

2 x .

Sea entonces

F(y) :=b

a

f[y](x)dx =b

a

f(x, y(x), y(x))dx =b

a y(x) [y(x)]2

x dxy dom(F) := {y C1[a, b] : y(a) = a0}. Cualquier otro subconjunto de C1[a.b]podra haber hecho las veces de dominio de F.

7.7. Fijemos n en la Definicion 7.5. Consideremos casos particulares de la funcionf = f(u1, . . . , un+1) cuando esta funcion no dependa de la variable uk con k n.Por ejemplo para n = 0 tenemos los siguientes casos

Caso 0.1 f(u0, u1) C([a, b] R) F(y) =

ba

f(x, y(x))dx, dom(F) C[a, b]

Caso 0.2 f(u1) C(R) F(y) =ba

f(y(x))dx, dom(F) C[a, b]

Ahora bien, cuando n = 1 tenemos las siguientes posibilidades

Caso 1.1 f(u0, u1, u2) C([a, b] R2)

F(y) =

ba

f(x, y(x), y(x))dx, dom(F) C1[a, b]


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Caso 1.2 f(u0, u2) C([a, b] R) F(y) =

ba

f(x, y(x))dx, dom(F) C1[a, b]

Caso 1.3 f(u1, u2) C(R2) F(y) =

ba

f(y(x), y(x))dx, dom(F) C1[a, b]

Caso 1.4 f(u2) C(R) F(y) =

ba

f(y(x))dx, dom(F) C1[a, b].

Hay otros casos particulares que no consideramos en este comentario. Los casos queaqu se presentan contiene la mayora de los funcionales que estudiaremos adelante.

7.8. (Ejemplos de funcionales definidos a partir de funciones por medio de la

Definicion 7.5: casos particulares)

7.9. En las proximas secciones vamos a estudiar funcionales F relacionados confunciones f como se indica en la Definicion 7.5. Frecuentemente vamos a suponerla existencia de las derivadas parciales de f con respecto a u1 y u2 en [a, b] G. Eneste conjunto estan definidas las funciones u1 f y

u2

f. Claramente si las funciones

u1f y u2 f estan en C([a, b] G), al sustituir u0 por x, u1 por y(x) y u2 por y

(x)como se indica en 7.5, obtenemos que para cada y D las funciones

u1f(x, y(x), y(x))

u2f(x, y(x), y(x)) (7.1)

estan en C[a, b].

7.10. Las funciones en (7.1) se denotaran simplemente como y

f[y] yy

f[y], res-pectivamente. De esta forma en vez de escribir

u1f(x, y(x), y(x)) escribiremos

yf[y](x)

y en lugar de

u2

f(x, y(x), y(x)) escribiremos y

f[y](x) .

Lo mismo sera cierto para derivadas de orden superior cuando estas existan. Enlugar de escribir

2

u1u2f(x, y(x), y(x)) escribiremos

2

yyf[y](x) .


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As la afirmacion del paragrafo 7.9 se puede enunciar de la siguiente forma. Paratoda y C1[a, b]

u1

f, u2

f C([a, b] R2) y

f[y],

y f[y] C[a, b] .

7.11. En el integrando de una integral con respecto a x sobre [a, b], omitiremosla variable x de cualquier funcion integrable. As por ejemplo, si g C[a, b] y

u1f C([a, b] R2), la integralb

a

u1f(x, y(x), y(x))

g(x)dx

la escribiremos ba

yf[y]

g dx .

7.12. Lema. Consideremos [a, b][c, d] R2 y las variables reales s, t tales que s [a, b] y t [c, d]. Sea f una funcion de las variables s, t, tal que f C([a, b] [c, d])y t f C([a, b] [c, d]). Ademas consideremos la funcion g con dom(g) = [c, d] talque

g(t) :=

ba

f(s, t)ds .

Entonces resulta que g C1[c, d] y

d

dtg(t) =

ba

tf(s, t)

ds .

Demostracion.

Introducimos la siguiente funcion:

h(t) :=ba

tf(s, t)ds .

Claramente h C[c, d] y tenemosdc

h(t)dt =

dc

ba

tf(s, t)ds

dt .


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Ya que t

f C([a, b] [c, d]) podemos intercambiar el orden de integracion paraobtener

dc

h(t)dt = ba

dc

t

f(s, t)dt ds=

ba

[f(s, d) f(s, c)] ds

= g(d) g(c) .

O sea que g = h.

7.13. Teorema. Consideremos el funcional F de la Definicion 7.5 con

f C([a, b] G) , G R2

O sea que

F(y) :=

ba

f(x, y(x), y(x))dx

ydom(F) {y C1[a, b] : ran(y) ran(y) G} .

Si sucede que u1

f y u2

f estan en C([a, b] G), entonces, para toda y dom(F) y

h C1[a, b] tales que se satisface el inciso a) de la Definicion 7.1, existe la derivadade Gateaux en y a lo largo de la direccion h y

F(y, h) =

ba

yf[y]

h +

y f[y]

h

dx

Demostracion

Como y y h son tales que se satisface el inciso a) de la Definicion 7.1 entoncesen una vecindad del cero V(0) esta definida la funcion de t, F(y + th). Pero estafuncion satisface

F(y + th) = ba

f(x, y(x) + th(x), y(x) + th(x))dx

=

ba

f(x, t)dxDonde para cierto evidentemente f C([a, b] V(0)). As que para que sesatisfagan las condiciones del Lema 7.12, necesitamos unicamente comprobar que


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la funcion tf este en C([a, b] V(0)). Formalmente calculamos

t f(x, t) = u1 f(x, y(x) + th(x), y(x) + th(x)) t u1(x, t)+

u2f(x, y(x) + th(x), y(x) + th(x))

tu2(x, t)

=

u1f(x, y(x) + th(x), y(x) + th(x))h(x)

+

u2f(x, y(x) + th(x), y(x) + th(x))h(x) .

La ultima expresion esta claramente en C([a, b] V(0)), por lo que las condicionesdel Lema 7.12 se satisfacen. Esto implica que la derivada d

dtF(y + th) t=0 existe y

obedeced

dtF(y + th) t=0

=

ba

u1f(x, y + th, y + th)

h +

u2f(x, y + th,y + th)

ht=0

dx

=

ba

yf[y]

h +

y f[y]

h

dx

De manera analoga se obtiene la siguiente generalizacion del teorema anterior.

7.14. Teorema. Consideremos el funcional F de la Definicion 7.5 con

f C([a, b] G) , G R1+n n N {0} .

O sea que

F(y) :=

ba

f(x , . . . ,dn

dxny(x))dx

y

dom(F) {y Cn[a, b] : ran(y) ran(dn

dxn

y) G} .

Si sucede que uk

f esta en C([a, b]R1+n) para toda k = 1, . . . , n+1, entonces, para

toda y dom(F) y h Cn[a, b] tales que se satisface el inciso a) de la Definicion7.1, existe la derivada de Gateaux en y a lo largo de la direccion h y

F(y, h) =

ba

yf[y]

h + +

y [n]f[y]

dn

dxnh

dx (7.2)


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7.15. Teorema. Fijemos n N {0}. Sea f una funcion de las variables u0,u1, . . . , un+1 tales que u0 [a, b] y (u1, . . . , un+1) Rn+1. Supongamos que f esta enC([a, b] R1+n) y

ukf esta en C([a, b] R1+n) para toda k = 1, . . . , n + 1. Consi-

deremos los funcionales F0, F1, F2, F3 generados a partir de la funcion f por mediode la Definicion 7.5 tales que

dom(F0) = Cn[a, b]

dom(F1) = {y Cn[a, b] : y(a) = c1}

dom(F2) = {y Cn[a, b] : y(b) = c2}

dom(F3) = {y Cn[a, b] : y(a) = c1, y(b) = c2} .

Definamos tambien los conjuntos

D0 = Cn[a.b]D1 = {h C

n[a, b] : y(a) = 0}

D2 = {y Cn[a, b] : y(b) = 0}

D3 = {y Cn[a, b] : y(a) = 0, y(b) = 0} .

Para cada k {0, 1, 2, 3} fija y para cualquier y dom(Fk), la derivada de GateauxFk(y, h) existe si y solo si h Dk. Ademas se cumple (7.2).

Demostracion

Debido a los Teorema 7.14 lo unico que debemos mostrar es que para cualquiery dom(Fk), se satisface el inciso a) de la Definicion 7.1 si y solo si h Dk. Estoes en realidad evidente ya que si h Dk, entonces y + th dom(Fk) para today dom(Fk) y t R. Por otra parte si h Dk, claramente y + th dom(Fk) paraningun t R y ninguna y dom(Fk).

7.16. El Teorema 7.15 contiene evidentemente los casos particulares que se men-cionan en 7.7.

7.17. Definicion. Sea J un funcional definido en un subconjunto del espacio linealde funciones M. Fijemos y0 dom(J). El conjunto de direcciones admisibles de Jen y0 es el conjunto de funciones h M para las cuales existe J(y0, h).

7.18. Considerense los funcionales F0, F1, F2, F3 del Teorema 7.15. Fijemos k {0, 1, 2, 3}. De acuerdo al Teorema 7.15 y a la Definicion 7.17, para cada y dom(Fk), el conjunto de direcciones admisibles de Fk en y es Dk.


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7.19. (Ejemplos de funcionales y su correspondiente conjunto de funciones admi-sibles)

7.20. Definicion. El funcional J es convexo si y solo si para cualquier par y1, y2 dom(J) existe J(y1, y2 y1) y se cumple

J(y2) J(y1) + J(y1, y2 y1) . (7.3)

Evidentemente, debido a lo que se afirma en 7.3, la igualdad en (7.3) tiene lugar siy1 = y2. Decimos que J es estrictamente convexo cuando la igualdad en (7.3) tienelugar solo si y1 = y2. (Recordemos que y1 = y2 significa que y1(x) = y2(x) paratoda x dom(y1) = dom(y2)).

7.21. Notese que la definicion que hemos dado para funcionales convexos no esexactamente analoga a la definicion de convexidad de funciones dada en 4.3. Enparticular, el conjunto dom(J) puede no ser convexo.

7.22. Teorema. Si J y J son funcionales convexos con dominio de definicioncomun, entonces los funcionales J + J y aJ con a 0 son funcionales convexos.Demostracion.

Sean y1, y2 dom(J). As, de acuerdo a la Definicion 6.15 y utilizando el

Comentario 7.3, tenemos

(aJ + J)(y2) (aJ + J)(y1) = a [J(y2) J(y1)] + J(y2) J(y1) aJ(y1, y2 y1) + J(y1, y2 y1)= (aJ + J)(y1, y2 y1) .

Las afirmaciones del teorema se obtienen suponiendo primero a = 1 y despuesJ = 0.7.23. Corolario. Claramente aJ+J es estrictamente convexo cuando J es estric-tamente convexo y a > 0.7.24. (Ejemplo de funcional convexo) Consideremos el funcional F asociado a lafuncion f en C([a, b]R) a traves de la Definicion 7.5, donde f(u0, u1) = sin

2 u0+u21,

es decir,

F(y) =

ba

sin2 x + y2(x)

dx .


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mos la posible convexidad de este funcional. Sean y1, y2 cualesquiera elementos dedom(F). Notese que el funcional ha sido definido de tal forma que corresponde alfuncional F0 con n = 1 del Teorema 7.15 (aqu tenemos el caso particular 1.4 delparagrafo 7.7). De esta forma, para y = y1 y h = y2 y1, existe F(y1, y2 y1) yse cumple que

F(y1, y2 y1) = 2

ba

y1(y2 y

1)dx .

As

F(y2) F(y1) =

ba

(y2)

2 (y1)2

dx

= 2

b

a

y1(y2 y

1)dx +

b

a

[y2 y1]2

dx

F(y1, y2 y1) (7.6)

Lo que nos hace concluir que F es un funcional convexo. Notese que el Lema 7.25nos hace concluir que la igualdad en la desigualdad (7.6) tiene lugar cuando y1 = y

2,

esto es y1 y2 = c, donde c es una constante arbitraria. De esta forma el funcionalno es estrictamente convexo.

7.28. (Ejemplo). Vamos ahora a considerar el funcional

F, el cual es una restric-

cion de F (cf. Definicion 6.14) al conjunto D = {y C1[a, b] : y(a) = c1 y(b) =

c2}. Aqu todo es igual al Comentario 7.27, pero, debido a las condiciones en eldominio, debe suceder que c = 0. Es as que F es estrictamente convexo.7.29. Definicion. El funcional J es lineal si dom(J) es un espacio lineal y paracualesquiera y1, y2 dom(J) y para cualesquiera c1, c2 R se cumple

J(c1y1 + c2y2) = c1J(y1) + c2J(y2) .

7.30. Obviamente para cualquier combinacion lineal en dom(J), de la formank=1 ckyk, n N, tenemos

J

n

k=1

ckyk

=

nk=1

ckJ(yk) .


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7.31. Teorema. Si el funcional J es lineal, entonces existe la derivada de GateauxJ(y, h) para cualesquiera y, h dom(J) y ademas

J(y, h) = J(h) .

Demostracion.

De manera directa se verifica esta afirmacion. En efecto

J(y, h) = lmt0

J(y + th) J(y)

t= lm

t0

tJ(h)

t= J(h) .

7.32. Corolario. Un funcional lineal es convexo, pero no estrictamente convexo.Ademas J(y, h) = 0 solo cuando h ker(J).

7.33. Si J es un funcional lineal, entonces el conjunto de direcciones admisiblescoincide con el conjunto lineal dom(J).

7.34. Lema. Sean f, g C[a, b] tales que f(x) g(x) para toda x (a, b).Entonces b

a

f dx

ba

gdx

La igualdad sucede solo si f = g.

Demostracion.

La desigualdad sigue directamente de las propiedades de la integral de Riemann.La segunda afirmacion sigue del Lema 7.25.

7.35. Teorema. Sea f C([a, b] R2) y F el funcional asociado a f por mediode la Definicion 7.5. O sea que

F(y) :=

ba

f(x, y(x), y(x))dx , dom(F) C1[a, b] .

Si sucede que u1 f,

u2 f estan en C([a, b] R2) y se cumple

f(u0, u1 + v, u2 + w) f(u0, u1, u2)

u1f(u0, u1, u2)

v +

u2f(u0, u1, u2)

w

(7.7)para todo u0 [a.b] y para todos los (u1, u2), (v, w) R

2, entonces el funcional Fes convexo.


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Demostracion.

Tomemos y1, y2 dom(F). De las condiciones del teorema, haciendo uso del

Lema 7.34, tenemos

F(y2) F(y1) =

ba

[f(x, y2(x), y2(x)) f(x, y1(x), y

1(x))] dx

ba

yf[y1]

(y2 y1)

y f[y1]

(y2 y1)

dx .

El funcional F corresponde al funcional F0 con n = 1 del Teorema 7.15. Por lotanto, para y = y1 y h = y2 y1, existe F(y1, y2 y1) y se cumple que

ba y f[y1] (y2 y1) y f[y1] (y2 y1) dx = F(y1, y2 y1) .

As,F(y2) F(y1) F(y1, y2 y1) (7.8)

7.36. Corolario. En base al Lema 7.34 se verifica directamente que si la desigual-dad (7.7) tiene lugar de manera tal que la igualdad se da s olo si v = w = 0, entoncesF es estrictamente convexo.

7.37. Corolario. Supongamos que en el Teorema 7.35

dom(F) = {y C1[a, b] : y(c) = c1 c [a, b]}

Entonces F es estrictamente convexo cuando la desigualdad (7.7) tiene lugar demanera tal que la igualdad se da solo si v = 0, o si w = 0.

Demostracion.

La igualdad en (7.7) tiene lugar solo cuando vw = 0. Esto implica que laigualdad en (7.8) sucede solo cuando (y2 y1)(y2 y1) = 0. Pero entonces

0 = (y2 y1)(y2 y1) =

1

2

(y2 y1)

2

y esto implica que y2(x)y1(x) = c2 para toda x [a, b]. Dado que por la restricciondel dominio tenemos y2(c) y1(c) = 0 concluimos que c2 = 0.


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7.38. Para los casos particulares del Comentario 7.7 tenemos las siguientes va-riantes de la desigualdad (7.7)

(7.7)-1.1 Esto es simplemente la desigualdad (7.7) para todo u0 [a.b] y paratodos los (u1, u2), (v, w) R2.

(7.7)-1.2 f(u0, u2 + w) f(u0, u2)

u2f(u0, u2)

w u0 [a.b], u2, w R

(7.7)-1.3 f(u1 + v, u2 + w) f(u1, u2)

u1f(u1, u2)

v +

u2f(u1, u2)

w

(u1, u2), (v, w) R2

(7.7)-1.4 f(u2 + w) f(u2)

u2f(u2)

w u2, w R.

7.39. Lema. Sea f C([a, b] R) tal que f esta en el Caso 1.2 del Comentario7.7. Si se cumple que

2

u22f esta en C([a, b] R) y

2

u22f > 0, entonces f satisface

(7.7)-1.2, donde la igualdad en la desigualdad ocurre solo cuando w = 0.

Demostracion.

Fijemos u0 [a, b] y definamos la funcion g(u2) = f(u0, u2). De esta formag(u2) =

2

u22f(u0, u2). Tomemos

z > z. As

g(z) g(z) = ezz

g(t)dt

= (z z)g(z) + ezz

(z t)g(t)dt> (z z)g(z)

Tomando en consideracion la definicion de la funcion g y sustituyendo z = u2 yz = u2 + w, verificamos que la desigualdad de arriba esf(u0, u2 + w) f(u0, u2) >

u2f(u0, u2)

w

7.40. Claramente tenemos la afirmacion analoga al Lema 7.39 para el caso Caso1.4 del Comentario 7.7, a saber: Sea f C(R) tal que f esta en el Caso 1.4 delComentario 7.7. Si se cumple que f esta en C(R) y f > 0, entonces f satisface(7.7)-1.4, donde la igualdad en la desigualdad ocurre solo cuando w = 0.


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34 Minimizacion de funcionales convexos

8. Minimizacion de funcionales convexos

8.1. Definicion. La funcion y0 dom(J) minimiza al funcional J cuando

J(y0) = mn ran(J) . (8.1)

Equivalentemente, en ocasiones diremos que y0 es un mnimo global del funcional J.Cuando y0 sea el unico elemento de dom(J) para el que se satisface (8.1), diremosque y0 minimiza a J de manera unica.

8.2. Definicion. La funcion y0 dom(J) maximiza al funcional J cuando

J(y0) = max ran(J) . (8.2)

Equivalentemente, en ocasiones diremos que y0 es un maximo global del funcionalJ. Cuando y0 sea el unico elemento de dom(J) para el que se satisface (8.2), diremosque y0 maximiza a J de manera unica.

8.3. Desde luego aqu tenemos comentarios analogos a 5.8, 5.11.

8.4. Definicion. Decimos que y0 es un extremo global si y solo si y0 dom(J) estal que se cumple o bien (8.1) o bien (8.2).

8.5. Teorema. Sea J un funcional convexo. Si la funcion y0 que esta en dom(J) estal que J(y0, yy0) = 0 para toda y en dom(J), entonces y0 minimiza a J. Si resultaque J no es solo convexo, sino estrictamente convexo, entonces la minimizacion seda de manera unica.

Demostracion.

La demostracion es directa.

J(y) J(y0) J(y0, y y0) = 0 .

La segunda parte de la afirmacion sigue directamente de la definicion de convexidadestricta.

8.6. (Ejemplo) Tomemos el funcional que se dio en el Comentario 7.24. De acuer-do a los resultados que obtuvimos en ese comentario y en el Comentario 7.26 elfuncional es estrictamente convexo. Otra observacion facil de hacer es la siguiente:Sea y0 = 0 (recordemos que esto significa que y0(x) = 0 para toda x [a, b]). De


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Minimizacion de funcionales convexos 35

(7.4) tenemos queF(y0, y y0) = 0 y dom(F) .

El Teorema 8.5 entonces implica que y0 = 0 minimiza al funcional de manera unica.

8.7. (Ejemplo) Consideremos el funcional G tal que

dom(G) = {y C[a, b] : y(a) = c1 y(b) = c2} ,

donde c1 = c2.

G(y) =

ba

sin2 x + y2(x)

dx .

El funcional G es una restriccion (cf. 6.14) del funcional F del Comentario 7.24.

Como en ese caso se demuestra que el G es estrictamente convexo. Sin embargoahora la minimizacion ya no es tan sencilla pues y0 = 0 no se encuentra en eldominio de definicion de G.

8.8. (Ejemplo) Es facil encontrar la funcion que minimiza al funcional F del Co-mentario 7.28. Consideremos la funcion y0 D tal que y0(x) c. Claramente, paracualquier y D (vease el Comentario 7.28), tenemos

F(y0, y y0) = 2c

ba

(y y0)dx = 2c

ba

(y y0)dx

= 2c [(y(b) y0(b)) (y(a) y0(a))] = 0

O sea que y0 debe minimizar de manera unica a H. Encontremos la forma concretade la funcion y0. Sabemos que esta funcion es un polinomio de primer orden queesta en D, esto es, y0(x) = d1x + d2. De las condiciones a la frontera: y0(a) = c1 yy0(b) = c2 directamente se obtiene que la funcion

y0(x) =c1 c1a b

(x a) + c1

minimiza al funcional de manera unica.

8.9. Teorema. Sea u0 [a, b] y (u1, u2) R2. Consideremos a la funcion f

C([a, b] R2) tal que u1 f,

u2f estan en C([a, b] R2) y al funcional F asociado a

f por medio de la Definicion 7.5 tal que dom(F) = C1[a, b]. Si y0 dom(F) es talque

d

dx

y f[y0]

=

yf[y0] , (8.3)


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entonces, para toda h C1[a, b],

F(y0, h) = y fy0(b)h(b) y fy0(a)h(a) . (8.4)(Recordemos que de acuerdo a la Notacion 7.10, para cualquier c [a, b],

y fy0(c)

es una abreviacion de y f(c, y0(c), y0(c))).

Demostracion.

Primero notese que se satisfacen las condiciones del Teorema 7.13 para y = y0y h. Entonces,

F(y0, h) =

ba

yf[y0]

(h)

y f[y0]

h

dx

=

ba

d

dx

y f[y0]

h

y f[y0]

h

dx

=

ba

d

dx

y f[y0]

h

dx

8.10. Teorema. Sea f C([a, b] R2) y F el funcional asociado a f por mediode la Definicion 7.5. Consideraremos aqu que

dom(F) = {y C1[a, b] : y(a) = c1 , y(b) = c2}

Supongamos que u1 f,

u2f estan en C([a, b] R2). Si resulta que y0 dom(F)

es tal que (8.3) tiene lugar, entonces y0 es tal que F(y0, y y0) = 0 para todoy dom(F).

8.11. La formula (8.3) expresa el hecho de que y0 satisface la siguiente ecuaciondiferencial

d

dx

y f

=

yf , (8.5)

que lleva el nombre de ecuacion de Euler-Lagrange.


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8.12. La ecuacion de Euler-Lagrange (8.5) es en general una ecuacion diferencialde segundo orden. En efecto, ya que

ddx

y f(x) = d

dx

u2f(x, y(x), y(x))

=2

u0u2f(x, y(x), y(x))

+

2

u1u2f(x, y(x), y(x))

y(x)

+

2

u22f(x, y(x), y(x))

y(x)

=2

xyf(x) +

2

yyf(x) y(x) +

2

y2

f(x) y(x) ,podemos reescribir (8.5) como sigue

2

y 2f(x)

y(x) +

2

yyf(x)

y(x) +

2

xyf(x) =

yf(x) . (8.6)

8.13. La ecuacion de Euler-Lagrange (8.5), o lo que es lo mismo (8.6), siempretiene solucion y en una vecindad de a tal que y(a) = c1. Esta solucion, sin embargo,no necesariamente satisface la condicion en b de las funciones que estan en eldominio de F. En general no sabemos cuando existe solucion de la ecuacion de

Euler-Lagrange que este en dom(F).

8.14. En los casos particulares 1.2 y 1.4 del Comentario 7.7, la funcion y0 satisfacela ecuacion de Euler-Lagrange cuando

y f y0= c , c R . (8.7)

De esta forma es evidente el siguiente corolario del Teorema 8.10.

8.15. Corolario. Sea la funcion f en C1(R) y F el funcional asociado a f pormedio de la Definicion 7.5. Aqu f esta en el Caso 1.4 del Comentario 7.7. Consi-deraremos que

dom(F) = {y C1[a, b] : y(a) = c1 , y(b) = c2}

Si tomamosy0(x) := m(x a) + c1 , (8.8)


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donde m = c2c1ba

, entonces F(y0, y y0) = 0 para cualquier y dom(F).

Demostracion.

Claramente f satisface las condiciones del Teorema 8.10 para el Caso 1.4 delComentario 7.7. La demostracion se completa al observar que debido a la eleccionde m, y0 esta en dom(F), y satisface la ecuacion de Euler-Lagrange para el Caso1.4, es decir la ecuacion (8.7).

8.16. Geodesica en una superficie cilndrica. La geodesica es la curva demnima longitud sobre una superficie dada que une dos puntos en esa superficie.El problema de encontrar la ecuacion que describe a la geodesica en una superciecilindrica se puede resolvar minimizando a un funcional.

Tomemos las coordenadas cilndricas (r,,z) en R3. Vamos a considerar la su-perficie cilndrica que resulta al fijar r = 1. Cualquier punto (x,y,z ) sobre estasuperficie se determina por dos parametros (, z), donde

x = cos

y = sin

z = z

Fijemos dos puntos en esta superficie cilndrica (1, z1)y (2, z2). Para el caso en

que 1 = 2 el problema se resuelve trivialmente, por lo que de ahora en adelanteconsideraremos 1 = 2. Sea 2 > 1. Una curva suave sobre la superficie que unea los puntos (1, z1) y (2, z2) es el conjunto de puntos

{(, z) : z = (), C1[1, 2], (1) = z1, (2) = z2} .

Claramente el elemento diferencial de longitud de esta curva es

ds =

d2 + d2 =

1 + 2d

y, por lo tanto, la longitud de la curva que une los puntos (1, z1) y (2, z2) es

L() =

21

1 + 2d (8.9)

La misma notacion nos indica que estamos en precencia de un funcional. Diferen-tes funciones , esto es, diferentes curvas, tienen diferentes longitudes y hay unfuncional que asocia a cada funcion, esto es curva, su correspondiente longitud. El


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problema de la geodesica consiste en este caso en minimizar el funcional (8.9) talque

dom(L) = { C1[1, 2] : (1) = z1, (2) = z2} .

La minimizacion de este funcional es directa. Primero verificaremos que el funcionales convexo. Notemos que el funcional L es un funcional generado por una funcionl como en la Definicion 7.5 y mas particularmente corresponde al Caso 1.4 delComentario 7.7:

l(u2) =

1 + u22 .

Claramente

l(u2) =1

(1 + u22)3/2> 0 , u2 R .

Utilizando la afirmacion del Comentario 7.40, el Teorema 7.35 y el Corolario 7.37,

llegamos a la conclusion de que el funcional es estrictamente convexo. Ahora, porel Corolario 8.15, la funcion:

0() = m( 1) + z1 , m =z2 z12 1

, (8.10)

hace que L(0, 0) = 0 para toda dom(L). Por ultimo, el Teorema 8.5 nosdice que 0 minimiza a L de manera unica.

La ecuacion (8.10) define la curva suave mas corta que une a los puntos (1, z1)y (2, z2). Si la geodesica es una curva suave, habremos resuelto el problema de lageodesica en la superficie cilndrica. En realidad esta curva si resuelve el problema,

pero una discusion sobre lo que pasa con curvas que no son suaves la dejaremospara la Section 21.

8.17. El problema de la Braquistocrona. El problema de la braquistocrona esel problema paradigmatico del calculo de variaciones.

Durante el movimiento de la masa puntual a lo largo de la curva todo el tiempose cumple que la energa cinetica es igual a la energa potencial.

mv2

2 = mgx, (8.11)

donde m es la masa, v es la magnitud de la velocidad y g la constante de aceleraciongravitatoria cerca de la superficie. Por otra parte la magnitud de la velocidad a lolargo de la curva esta dada por

v =ds

dt=

1 + y2dx

dt.


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Despejando v de (8.11) y sustituyendola en la equacion anterior, obtenemos

dt =1 + y22gx dx .De modo que el tiempo requerido para que la masa puntual, desplaz andose a lolargo de la curva definida por y, llegue al punto (a, a) habiendo partido del punto(0, 0) es

T =

a0

1 + y2

2gxdx .

Esta integral tiene una singularidad en el cero y, por lo tanto, debe considerarsecomo una integral impropia. No obstante, es facil verificar que para cualquier fun-

cion y C1

[0, a], la integral impropia converge. En efecto, ya que el integrando espositivo es suficiente comprobar que existe una constante c tal que para todo > 0a

1 + y2

2gxdx c ,

pero a

1 + y2

2gxdx max

x[0,x]

1 + y2

2g

a

dx

x1/2

= maxx[0,x]

1 + y22g

2a1/2 21/2 2a1/2 max

x[0,x]

1 + y2

2g.

Si el recorrido se hace a lo largo de otra curva, entonces el tiempo de desplazamientoes otro. Podemos entonces definir el funcional

T(y) =

a

0

1 + y2

2gxdx ,

tal quedom(T) = {y C1[0, a] : y(0) = 0, y(x) = y} .

Este funcional asocia a cada curva que une a los puntos (0, 0) y (a, a) el tiempo derecorrido de la masa puntual.


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Minimizacion de funcionales convexos bajo condiciones convexas 41

8.18. Teorema. Sea f C([a1, a2] R2) y F1 y F2 los funcionales asociados a f

por medio de la Definicion 7.5, donde

dom(Fk) = {y C1[a1, a2] : y(ak) = ck} k = 1, 2 .


u2f estan en C([a1, a2] R2). Fijemos k = 1 o k = 2. Si

resulta que y0 dom(Fk) satisface la ecuacion de Euler-Lagrange (8.3) y

0 =

y

f(a2, y0(a2), y0(a2)), cuando k = 1

y

f(a1, y0(a1), y0(a1)), cuando k = 2

entonces y0 es tal que Fk(y0, y y0) = 0 para todo y dom(Fk).

8.19. Teorema. Sea f C([a, b] R2) y F el funcional asociado a f por mediode la Definicion 7.5, donde

dom(F) = C1[a, b] .


u2f estan en C([a, b] R2). Si resulta que y0 dom(F)

satisface la ecuacion de Euler-Lagrange (8.3) y

y f(a2, y0(a), y

0(a)) =

y f(a1, y0(b), y

0(b))

entonces y0 es tal que F(y0, y y0) = 0 para todo y dom(F).

9. Minimizacion de funcionales convexos bajo condiciones

convexas

9.1. Teorema. Sean J,G1, . . . ,GN funcionales definidos en D. Si existen constan-tes 1, . . . , N y una funcion y0 en D que minimice al funcional

J +N

k=1kGk

(de manera unica), entonces y0 minimiza a J (de manera unica), dondeJ := J {yD:Gk(y)=Gk(y0), k=1,...,N}

9.2. El problema de la Catenaria.


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42 Espacios normados.

10. Extremos locales de funciones reales de variable real

10.1. Definicion. Sea f una funcion real de variable real. x0

dom(f) es unmnimo local de f si existe > 0 tal que x V(x0) dom(f) implica que f(x) f(x0).

10.2. Definicion. Sea f una funcion real de variable real. x0 dom(f) es unmaximo local de f si existe > 0 tal que x V(x0) dom(f) implica que f(x) f(x0).

10.3. Definicion. Un extremo local es un maximo o un mnimo local.

10.4. Teorema. Sea f una funcion diferenciable real de variable real. Sea x0 unpunto interior de dom(f), esto lo denotamos x0 int dom(f). Si x0 es un extremolocal de f, entonces f(x0) = 0.

10.5. El teorema anterior nos da una condicion necesaria para que x0 sea unmaximo o un mnimo local. Recordemos que para el caso de funciones convexasesto mismo era una condicion suficiente.

10.6. Si x0 no es in punto interior de dom(f), entonces f(x0) no es condicion

necesaria.

10.7. Claramente la condicion f(x0) no es sufficiente. En efecto, considere lafuncion f(x) = x3 con dom(f) = [1, 1]. La derivada de f evaluada en el puntox0 = 0 satisface la condicion, pero evidentemente no tenemos un extremo en estepunto.

10.8. En nuestra discusion anterior, el concepto de distancia entre elementos deldominio de la funcion fue fundamental. Adelante definiremos la distancia entreelementos del dominio de definicion de funcionales.

11. Espacios normados.

11.1. Definicion Un espacio lineal L es normado si para cada y L existe ununico numero real y tal que

1. y > 0 si y = 0.


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Espacios normados. 43

2. ay = |a| y.

3. y1, y2 L, se cumple que y1 + y2 y1 + y2.

Un mismo espacio lineal L puede tener varias normas diferentes definidas en el,por ejemplo 1 y 2 dando lugar a espacios normados diferentes. Para teneren cuanta esta diferencia denotaremos los correspondientes espacios normados por(L, 1) y (L, 2), respectivamente.

11.2. La norma es un caso particular de funcional.

11.3. Teorema. Todo espacio normado se convierte en un espacio metrico al de-finir la distancia entre los elementos y1 y y2 del espacio normado (L, ), comosigue

(y1, y2) := y1 y2 .

11.4. Habiendo definido la distancia entre dos elementos cualesquiera de un espa-cio normado, podemos definir vecindades y darle sentido al concepto de localidaden espacios normados.

11.5. Definicion Sea (L, ) un espacio normado y y0 L. La vecindad de y0es la bola abierta de radio centrada en y0, es decir,

V(y0) := {y L : y y0 < } .

11.6. Definicion Sea (L, ) un espacio normado y sea {yn}n=1 una sucesionde elementos de L. Decimos que la sucesion {yn}n=1 converge a y0 L (lo quedenotamos yn

ny0) si

> 0, N N : n > N yn V(y0)

11.7. (Ejemplo) El valor absoluto es una norma en R, as los numeros realesconstituyen un espacio normado. Note que el concepto de vecindad de la Definicion11.5 corresponde al usado en el Comentario 7.2 y las Definiciones 10.1 y 10.2.


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44 Continuidad.

11.8. (Ejemplos) Consideremos el espacio lineal C[a, b]. Definamos para cada y C[a.b] las siguientes normas

yp =

b

a

|y|p dx1/p

p R+

maxx[a,b]

|y(x)| p =

Se puede verificar facilmente que para cada p R {}, el funcional y ypes una norma. Notese que para los espacios C(a, b) estos mismos funcionales nopueden servir de norma.

11.9. Definicion. Sea L un espacio lineal que admite la definicion en el de lasnormas 1 y 2. Decimos que las normas 1 y 2 son equivalentes si

c1, c2 > 0 : y L c1 y1 y2 c2 y1

11.10. (Ejemplos) Consideremos el espacio lineal C1[a, b]. Definamos para caday C[a.b] las siguiente norma

yp,1 =

b

a |y|p + |y|

p

dx

1/pp R+

maxx[a,b] |y(x)| + maxx[a,b] |y

(x)| p =

Se puede verificar facilmente que para cada p R {}, el funcional y yp,1es una norma. Notese que para los espacios C1(a, b) estos mismos funcionales nopueden servir de norma. Claramente en C1[a, b], la norma ,1 es equivalente ala norma

f, donde

yf = maxx[a,b]

(|y(x)| + |y(x)|) .

11.11. Como C1[a, b] C[a, b], las normas del Comentario 11.10 son tambien nor-mas en C1[a, b], dando as lugar a diferentes espacios normados. Adelante, en variasocasiones, utilizaremos los espacios normados (C1[a, b], ) y (C

1[a, b], ,1).

12. Continuidad.


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Continuidad. 45

12.1. Definicion. Sea (L, ) un espacio normado y J un funcional tal que dom(J) L. J es continuo en y0 dom(J) cuando

> 0, : y V(y0) dom(J) J(y) V(J(y0))

En el caso en el que el funcional sea continuo en todo su dominio de definici ondiremos que el funcional es continuo.

12.2. Cuando y0 es un punto de acumulacion de dom(J), una definicion equi-valente a la anterior es la siguiente. J es continuo en y0 cuando para cualquiersucesion {yn}n=1 dom(J) tal que yn

ny0 (vease la Definicion 11.6) sucede

que J(yn) n

J(y0).

12.3. (Continuidad de la norma). En el Comentario 11.2 mencionamos que lanorma es un funcional. Ahora vamos a demostrar que ese funcional es continuo.Sea

N(y) := y

Consideremos un elemento arbitrario y0 del espacio normado, es decir del dominiode N. Entonces

|N(y) N(y0)| = |y y0| y y0 .

As, para cualquier > 0, podemos tomar como valor de cualquier real positivomenor que .

12.4. (Ejemplo) Consideremos el funcional J en el espacio normado (C[a, b], )tal que dom(J) = C[a, b] y

J(y) =

ba

sin2 x + y2(x)

dx .


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46 Continuidad.

Tenemos, para cualesquiera y, y0 dom(J),

|J(y) J(y0)| = ba y2 y20 dx

ba

y2 y20 dx=

ba

|y + y0| |y y0| dx

y y0 y + y0 (b a) . (12.1)

Ahora, si y y0 < 1, entonces

1 > y y0 y y0 .

Por lo quey + y0 y + y0 < 1 + 2 y0 .

Sustituyendo esto en (12.1), obtenemos que

|J(y) J(y0)| < (b a)(1 + 2 y0) y y0 .

Lo que demuestra que J es un funcional continuo en todo su dominio de definicion.Notese que aqu no solo depende de sino tambien del punto y0 donde estamosestudiando la continuidad.

12.5. Teorema. Sea f C[a, b] y supongamos que existe f(x) para toda x [a, b]. Entonces existe c (a, b) tal que

f(a) f(b) = (b a)f(c) .

12.6. (Otro ejemplo de continuidad) Consideremos al funcional J en el espacionormado (C[a, b], ,1 tal que dom(J) = C

1[a, b] y

J(y) = b

a g1 + (y)2dxdonde g C[a, b].

Consideremos la funcion h(u2) =

1 + u22. Entonces

|h(u2)| =|u2|1 + u22

1


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Continuidad. 47

Utilizando el Teorema 12.5, llegamos a la conclusion de que para cualesquieray, y0 dom(J)

1 + (y(x))2 1 + (y0(x))2 |y(x) y0(x)| y y0 .De esta forma

|J(y) J(y0)|

ba

|g| y y0 dx (b a) g y y0 .

Lo que demuestra que J es un funcional continuo en todo su dominio de definicion.Notese que aqu solo depende de .

12.7. Definicion. Sea J un funcional lineal en un espacio normado. Decimos queJ es un funcional acotado cuando

c : y dom(J), |J(y)| c y .

12.8. El concepto de funcional acotado se puede extender al caso en el que elfuncional no es lineal. Sin embargo el concepto no es muy util cuando el funcionalno es lineal.

12.9. (Ejemplo) Considerese el funcional J en el espacio normado (C[a, b], )

tal que dom(J

) = C[a, b] yJ(y) =

ba

gydx,

donde g C[a, b].De manera directa se verifica que el funcional es lineal. Ahora, si y dom(J),

tenemos

|J(y)|

ba

|gy| dx (b a) g y .

Lo que muestra que J es un funcional acotado.

12.10. Lema Sea (L, ) un espacio normado. Si {yk}Nk=1 es una sucesion finita deelementos de L, entonces existe c > 0 tal que para cualquier coleccion de escalares{ak}Nk=1,

Nk=1

akyk

cNk=1

|ak| .


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48 Compacidad.

12.11. Teorema Sea (L, ) un espacio normado y J un funcional lineal tal quedom(J) L. Si dim(L) < , entonces J es un funcional acotado.

12.12. Teorema Sea (L, ) un espacio normado y J un funcional lineal tal quedom(J) L. Si J es un funcional acotado, entonces es un funcional continuo.

12.13. Teorema Sea (L, ) un espacio normado y J un funcional lineal tal quedom(J) L. Si existe y0 dom(J) tal que J es continuo en y0, entonces J es unfuncional acotado.

12.14. Corolario. Sea (L, ) un espacio normado y J un funcional lineal tal quedom(J) L. Si J es continuo en un punto de su dominio, entonces es continuo en

todo su dominio de definicion.

12.15. Corolario. Sea (L, ) un espacio normado y J un funcional lineal tal quedom(J) L. El funcional J es continuo si y solo si J es un funcional acotado.

13. Compacidad.


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Bibliografa

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