Le progressioni

aritmetica, geometrica, ecc…

Zenone di EleaFilosofoZenone di Elea è stato un filosofo greco antico presocratico della Magna Grecia e un membro della Scuola eleatica fondata da Parmenide. Aristotele lo definisce inventore della dialettica. WikipediaData di nascita: 490 a.C., Elea-Velia, AsceaData di morte: 430 a.C.

Elea (greco: Ελαία), denominata in epoca romana Velia, è un'anticapolis della Magna Grecia. L'area archeologica è attualmente localizzata nella contrada Piana di Velia, nel comune di Ascea in provincia di Salerno, all'interno del Parco nazionale del Cilento e Vallo di Diano. L'accesso al sito è da via di Porta Rosa.

IL PARADOSSO DI ZENONEAchille e la tartaruga

È stato proposto nel V sec. a.C. da

Zenone di Elea per difendere le tesi del suo

maestro Parmenide, che sosteneva che il

movimento è illusione.

Si racconta che nel V secolo a.C. il filosofo greco Zenone di Elea inventò alcuni paradossi che poi diventarono famosi. Fra questi sicuramente primeggiano il paradosso della dicotomia e di “Achille e la tartaruga”.

Achille sfida una tartaruga in una gara di velocità lungo un percorso di 1km. La tartaruga parte con 100 m. di vantaggio rispetto ad Achille che come è noto era il più veloce di tutti gli Achei. Nella realtà Achille raggiunge e supera con facilità la lenta tartaruga, ma Zenone dimostra che ciò non può accadere.Infatti, quando Achille raggiunge il punto 0 s da cui è partita la tartaruga, essa si sarà spostata nel punto 1 s ; quando Achille avrà allora raggiunto il punto 1 s , la tartaruga si sarà spostata nel punto 2 s ecc. In questo modo, anche se Achille si avvicinerà sempre più alla tartaruga, non la raggiungerà mai!Ancora una volta siamo caduti nel tranello delle somme infinite.

La progressione è la ripetizione successiva, ogni volta trasposta di un certo intervallo, di un elemento melodico e/o armonico, che prende il nome di modello; essa si può svolgere nell'ambito di una voce o, in forma imitativa, in maniera alternata tra più voci.Si parla di progressione ascendente o discendente a seconda della direzione delle trasposizioni del modello. Si parla inoltre di progressione monotonale se essa si mantiene sempre nell'ambito della medesima tonalità; di progressionemodulante se ciò non si verifica. Le ripetizioni del modello possono essere del tutto letterali, ma si parla di progressione anche nel caso di ripetizioni fiorite o variate in diversi modi. Esempio di progressione monotonale discendente, dalla Fuga BWV 860 di Johann Sebastian Bach. Considerando le note cerchiate come bassi armonici, si vede che la progressione segue un segmento del circolo delle quinte.Utilizzo della progressione[modifica | modifica wikitesto]La progressione è una forma di ripetizione, e quindi ha in primo luogo la funzione di ribadire un pensiero musicale. Essendo tuttavia una ripetizione trasposta, essa non comunica un effetto di staticità, ma fa evolvere il discorso musicale verso una tappa più o meno provvisoria.La progressione è stata impiegata assai largamente dalla musica del XVII e XVIII secolo, e anzi la sua frequenza nell'arte musicale barocca costituisce, insieme al tipico ritmo pulsivo, uno degli elementi caratteristici più marcati.La progressione ha un ruolo architettonico importante in diverse forme musicali. In particolare:•nella Fuga essa caratterizza i divertimenti, che nell'ambito della composizione di scuola sono costruiti proprio a partire da una progressione melodica imitativa formata da elementi sentiti nell'esposizione.•nella Forma sonata essa è spesso un importante ingrediente dello sviluppo, ed è impiegata il più delle volte come mezzo modulante in grado di aumentare la tensione fino a un culmine che viene risolto di solito dall'avvio della ripresa.

La sezione aurea o rapporto aureo o numero aureo o costante di Fidiao proporzione divina, nell'ambito delle arti figurative e della matematica, indica il rapporto fra due lunghezze disuguali, delle quali la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la somma delle due. In formule, se è la lunghezza maggiore e quella minore,

b:a=a:(a+b) ma è anche

a:b=b:(a-b) da cui segue che

Tale rapporto vale, approssimativamente,

Il numero phi (1,618).Deriva dalla sequenza di Fibonacci, matematico medievale, il quale aveva individuato una progressione nella quale la somma di due termini adiacenti è uguale al termine successivo e nella quale il quoziente di due numeri adiacenti tende sorprendentemente a 1,618 phi (0-1-1-2-3-5-8-13-21). Nonostante l'origine matematica di phi esso sembra avere un ruolo fondamentale in natura; i primi scienziati lo chiamarono proporzione divina. Se si divide il numero delle femmine di un qualsiasi alveare per il numero dei maschi si ottiene il numero phi; il nautilus, il mollusco che galleggia nella sua conchiglia ha il rapporto del diametro di ogni spira con la successiva di 1,618; le spirali dei semi di girasole, le spirali delle pigne, la disposizione delle foglie sui rami sono altri esempi. Platone considera la sezione aurea la chiave della fisica del cosmo:"Platone nel Timeo cerca di dare la sua spiegazione del mondo della natura, applicando il metodo dialettico, quello finalistico derivato dalle sue vedute morali, suggestioni empedoclee ed atomistiche e la concezione dei numeri-cose elaborata a partire dal pitagorismo. Dal Timeo proviene la celebre ipotesi ( di origine pitagorica) dell'esistenza di un'anima del mondo, da essa la convinzione che l'ordine della natura sia qualcosa che antecede la natura".

Gli artisti e i matematici del Rinascimento tra cui Leonardo da Vinci, Piero della Francesca, Bernardino Luini e Sandro Botticelli rimasero molto affascinati dalla sezione aurea."De divina proportione" è anche il titolo del trattato redatto dal matematico rinascimentale Luca Pacioli e illustrato da sessanta disegni di Leonardo da Vinci (1452-1519).

Questo libro è stato pubblicato nel 1509 ed influenzò notevolmente gli artisti ed architetti del tempo, ma anche delle epoche successive.

In questo trattato Pacioli ricercò nella proporzione dei numeri i principi ispiratori in architettura, scienza e natura: la regola aurea introdotta fu in seguito chiamata praxis italica. Utilizzando la sezione aurea nei suoi dipinti Leonardo inoltre scoprì che, guardando le opere, si poteva creare un sentimento di ordine.

In particolare Leonardo incorporò il rapporto aureo in tre dei suoi capolavori: La Gioconda, L'ultima cena e L'Uomo di Vitruvio.

Nella Gioconda il rapporto aureo è stato individuato:nella disposizione del quadro nelle dimensioni del viso

nell'area che va dal collo a sopra le mani in quella che va dalla scollatura dell'abito fino a sotto le mani.

Ne L'Ultima cena, Gesù, il solo personaggio veramente divino, è dipinto con le proporzioni divine, ed è racchiuso in un rettangolo aureo

Ne L'Uomo, Leonardo studia le proporzioni della sezione aurea secondo i dettami del De architectura di Vitruvio che obbediscono ai rapporti del numero aureo. Leonardo stabilì che le proporzioni umane sono perfette quando l'ombelico divide l'uomo in modo aureo.Vitruvio nel De Architectura scrive:"Il centro del corpo umano è inoltre per natura l'ombelico; infatti, se si sdraia un uomo sul dorso, mani e piedi allargati, e si punta un compasso sul suo ombelico, si toccheràtangenzialmente, descrivendo un cerchio, l'estremità delle dita delle sue mani e dei suoi piedi".

Avete mai notato che le luci al neon sulla cupola della Mole Antonelliana a Torino formano dei numeri?1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 – 21 …Si tratta della successione di Fibonacci(Matematico del tredicesimo secolo).La caratteristica dei numeri di questa successione è che la somma di due termini consecutivi è uguale al successivo:1+1=21+2=32+3=5 3+5=8 5+8=13 8+13=21 …ma non solo, il quoziente di un numero con il suo precedente tende al valore 1,618 indicato con phi. L’aspetto più sorprendente di questo numero è il suo ruolo di mattone fondamentale nella natura.

Il numero phi è presente anche nella struttura delle sonate di Mozart, nella Quinta sinfonia di Beethoven. Sembra che questo numero sia stato anche usato da Stradivari per calcolare la posizione esatta dei fori nella costruzione dei suoi famosi violini. (Dal progetto” Sezione aurea” realizzato con le colleghe di Italiano)

Leonardo Pisano detto il Fibonacci (Pisa, settembre 1170 – Pisa, 1240 circa.[1]) fu un matematico italiano.

Costruiscila tu una serie in

progressione!