LE PARADOXE DEBANACH TARSKI

Teseo Schneider

Université de Neuchâtel

2

Table des matières

1 Introduction 5

1.1 Breve explication de l’axiome du choix . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Exemple illustratif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Biographie de Banach et de Tarski . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Alfred Tarski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Stefan Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Le paradoxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Le paradoxe 11

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Équidécomposabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.2 Exemple bidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Décomposition d’un group libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Enoncé du théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5 Décomposition de presque toute la surface de la sphère . . . . 17

2.6 Absorbtion du dernier bout de la sphère . . . . . . . . . . . . 19

2.7 Forme forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 TABLE DES MATIÈRES

3 Considerations sur la preuve 23

3.1 Rapport avec l’axiome du choix . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Consistance mathématique du theoreme . . . . . . . . . . . . 23

4 Conclusion 25

Chapitre 1

Introduction

1.1 Breve explication de l’axiome du choix

L’axiome du choix est un axiome supplémentaire de la théorie des en-

sembles de Zermelo Fränkel.

Sa formulation est :

∀x(x 6= ∅ ∧ a ⊆ P (x) − {∅} ∧ a 6= ∅ ⇒ ∃c(c : a → x ∧ ∀z ∈ a(c(z) ∈ z)))

L’axiome affirme qu’à partir d’une famille non vide d’ensembles on peut

construire une collection qui contient un élément de chaque ensemble de la

famille.

Il a posé beaucoup de problèmes en mathématique parce qu’il permet de

bâtir des ensembles complètement différents de ceux qu’on peut construire à

partir des autres axiomes : ces ensembles (les fonctions de choix) ne sont pas

construits à partir d’une propriété particulaire de ses objets.

La grande justification est de nature technique : beaucoup de théorèmes

sont démontrables (comme le paradoxe de Banach Tarski) seulement à partir

6 Introduction

de cet axiome (certains sont aussi équivalents).

1.1.1 Exemple illustratif

Un exemple qui n’a rien à voir avec les mathématiques mais qui montre

bien la nécessité de disposer d’un tel axiome est le suivant :

On a une famille infinie de pair de chaussures, "ensemble" formé d’une chaus-

sure droite et une gauche. On aimerait construire un ensemble qui contient

toutes les chaussures droites. On voit tout de suite qu’il est assez facile d’écrire

une formule qui nous permet de prendre une chaussure parmi l’ensemble "pair

de chaussures".

Le problème surgit si on substitue l’ensemble des paires de chaussures par

l’ensemble des paires de chaussettes, car les chaussettes ne sont pas distin-

guables. Cela implique qu’on ne dispose pas de critères, de "règle" effective

pour définir le choix à effectuer : sans l’axiome de choix on ne pourrait pas

construire une collection donnée par une chaussette dans chaque "ensemble"

de la famille.

1.2 Biographie de Banach et de Tarski

1.2.1 Alfred Tarski

Il naît le 14 février 1902 a Varsovie, dans une famille juif : Teitelbaum.

Grâce a sa famille il reçoit une excellente éducation dans la Schola Mazowiecki

où il commence a montrer ses passions pur les mathématiques.

En 1915 l’université de Varsovie est à nouveaux ouverte et devient vite

un des grands centre de Mathématique européens ; c’est pour ça que Alfred

1.2 Biographie de Banach et de Tarski 7

Teitelbaum, en 1918, s’inscrit pour étudier la biologie. Dans sa formation

de biologiste il lui arrive de suivre un cours de logique de Lesniewski qui

le convint à se dédier aux mathématiques ; il continue donc sa formation

comme mathématicien et il aura l’occasion de rencontrer beaucoup de grands

mathématiciens.

En 1923 à cause d’un grand mouvement de nationalisme polonais il décide

de se convertir et devenir catholique ; ça a comme conséquence le changement

du nom.

Dans la même année il commence à s’intéresser à la théorie des ensembles

et il y dédie sa thèse de doctorat ; c’est aussi dans cette année qu’il publie

avec Banach le texte qui contient le fameux paradoxe.

Entre 1922 et 1925 Tarski obtient un poste à l’Institut Pédagogique de

Varsovie ; il réussira ensuite à devenir professeur de logique et de mathéma-

tiques à l’université de Varsovie. Malheureusement il n’arrive pas à trouver

un poste à plein temps et alors il complète son horaire en enseignant les

mathématiques aux lycées. En juin 1929 il se marie avec Maria Witkowska.

En 1935 il publie son travail plus important : Concept de vérité dans les

langages des sciences déductives.

En 1939, après avoir cherché un poste à l’université de Lvov, Tarski part

pour les états unis invité par Willard Van Orman Quine et enseigne à l’uni-

versité de Harvard.

Apres avoir enseigné dans plusieurs université américaines il obtient un

poste fixe à l’université de Berkeley en 1942.

En 1945 il obtient le passeport américain. Dans ses derniers années il

continue quand même à voyager : en 1950 il donne des cours à l’University

8 Introduction

College de Londres et en 1955 il enseigne à l’Institut Henri Poincaré de Paris.

En 1983, âgée de 81 ans, il meurt à Berkeley en Californie.

1.2.2 Stefan Banach

Stefan Banach est né le 30 mars 1892 à Ostrowsko près de Cracovie, alors

territoire de l’Empire Autrichien. Abandonné dans sa plus tendre enfance il

est élevé par sa grand mère.

En 1902 il fait ses études primaires et secondaires à Cracovie où il com-

mence à être passionné par les problèmes mathématiques. Ne pensant pas à

une carrière comme mathématicien, en 1910 il s’inscrit à la faculté d’ingé-

nierie à l’université de Lvov en Pologne ; à cause de sa situation economique

il doit financer ses études en donnant des cours privés, c’est pour ça qu’en

1914 il réussit à peine sa formation.

Pendant la guerre, à cause d’un problème a l’oeil, il est réformé et travaille

à la construction de routes et suit des leçons de mathématiques à l’Université

de Cracovie.

Le grand tournant de sa vie arrive en 1916 où Hugo Dyonizy Steinhaus,

en traversant un parc de Cracovie, entend par hasard prononcer les mots

"mesure de Lebesgue" ; c’est ainsi qu’il fait la connaissance de deux jeunes

mathématiciens Otto Nikodym et Stefan Banach. C’a été le début d’une

fructueuse collaboration.

En 1919, à l’initiative de Steinhaus, ils créent la Société de Mathématiques

de Cracovie, transformée en 1920 en Société de Mathématiques de Pologne.

Banach y fait de nombreuses communications. En 1920, il devient assistant de

Lomnicki à l’Université Technique de Lvov et en 1922 passe son habilitation.

1.3 Le paradoxe 9

Il est nommé professeur en 1924.

En 1929, avec Steinhaus, il crée la revue Studia Mathematica consacrée

à l’analyse fonctionnelle. En 1931 commence une série de publications sous

le titre de Mathematical Monographs ; la direction est assurée par Banach et

Steinhaus à Lvov ainsi que par Kuratowski, Mazurkiewicz, et Sierpinski à

Varsovie. Le premier volume est Théorie des opérations linéaires de Banach

qui est considéré l’une de ses plus influentes oeuvres.

La seconde guerre fut une période de difficultés avec les occupations so-

viétiques puis nazis. En 1941 pour survivre il est oblige de nourrir avec son

sang des poux utilisées pour une recherche sur la fièvre typhoïde faite par

Rudolf Weigl. Aussi à cause de ça sa santé dégénère et il tombe malade de

cancer aux poumons.

Finalement en 1944 les russes réussissent à reconquérir Lvov mais c’est

juste trop tard pour être rapatrié ; c’est ainsi qu’il meurt en 1945 en Pologne.

1.3 Le paradoxe

La formulation plus directe et intuitive est :

Proposition. Il est possible de diviser une boule en 10 parties et ensuite

recomposer, sans les deformer, ces parties pour former deux boules identiques

à la première.

Une formulation plus technique pourrait être :

Proposition. Il est possible de couper une boule de R3 en un nombre fini

de morceaux et de rassembler ces morceaux que avec des tranlations et des

10 Introduction

rotations pour former deux boules identiques à la première, à une isométrie

près.

En fait il montre qu’ils existent des morceaux non mesurables, sans quoi

on obtiendrait une contradiction (la longueur, la surface où le volume sont

lie à la mesure).

Il remet en cause notre notion intuitive de volume et donc l’existence de

parties de R3 pour lesquelles la notion de mesure (et donc de volume) n’a pas

de sens. Cela peut paraître aussi "paradoxal" que d’affirmer que l’intervalle

[0, 1] contient "autant" de nombres que R tout entier (il y a une bijection

entre les deux espaces).

La démonstration de ce paradoxe utilise l’axiome du choix, qui a été et est

toujours contesté par certains mathématiciens. Par ailleurs, toute tentative

d’exhiber des ensembles non mesurables utilise cet axiome.

Chapitre 2

Le paradoxe

2.1 Introduction

En regardant la formulation du paradoxe posée dans le chapitre précèdent

on remarque toute de suite que, avant d’entrer dans les détails propres de la

démonstration, il faut expliciter des notions comme "couper", "boules", etc.

Pour ça il faut commencer à définir quelques notions :

Définition. L’ensemble B3 = {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 < 1} ⊆ R

3 est appelle

la boule unité ouverte.

Définition. L’ensemble S2 = {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 = 1} ⊆ R3 est appelé

la surface de la boule unité.

Définition. Soient A et B deux ensembles tels que A∩B = ∅ ; on appellera

l’union disjointe de A et B, noté AtB, A∪B (la définition est identique à

l’union classique mais elle affirme que l’intersection des deux ensembles est

vide).

12 Le paradoxe

2.2 Équidécomposabilité

2.2.1 Définition

La notion de équidécomposabilité est naturelle pour quelqu’un habitué à

une figure géométrique comme l’ensemble de ses propres points1.

Définition. Soient A et B deux sous-ensembles de Rn on dit qu’ils sont

équidécomposables, noté A ∼ B, s’il existe une famille finie {An}0<n<N et

il existe une famille d’isométries directes (rotationelles et translationelles)

{Φn}0<n<N avec Φn : Rn → Rn tels que :

A = A1 t A2 t · · · t AN et B = Φ1(A1) t Φ2(A2) t · · · t ΦN (AN)

2.2.2 Exemple bidimensionnel

Il suffit de penser au rectangle [0, 2] × [0, 1] ⊆ R2 ; intuitivement on peut

le couper en deux carrés ([0, 1]× [0, 1] et [1, 2]× [0, 1]) un fois un. Le problème

est que le rectangle n’est pas équidécomposable en ces deux carrés (L’union

de ces deux carrés n’est pas vide : il reste la droite {1} × [0, 1]).

Il faut maintenant rappeler la définition d’infini de Dedekind :

Définition. Un ensemble est infini s’il est en bijection avec l’une de ses

parties.

Le problème est devenu maintenant de prouver que [0, 1]× [0, 1] ∼ [0, 1]×

[0, 1[ ; c’est-à-dire "absorber" le segment {1} × [0, 1] dans la décomposition.

Pour ce faire, il faut utiliser les rotations.

1Ce concept est relativement récent, appartenant au XV IIeme siècle ; dans l’axiomati-

sation d’Euclide, la droite et le point sont deux entités séparées.

2.2 Équidécomposabilité 13

Proposition. Le semi group {Φn : n ∈ N} est isomorphe à N, avec Φ :

R2 → R2 une rotation de centre (1

2, 1

2) et d’angle φ pas multiple de π.

Démonstration. En fait Φm = Φn implique que Φm−n = Id ; ce qui veut dire

que Φm−n doit être multiple de 2π. Par choix de l’angle, il n’existe pas de k

tel que π = kφ, donc Φm−n ne peut pas être multiple de 2π.

On considère maintenant le segment S = {1

2}×]0, 1

3] et l’ensemble T =

⋃

n∈NΦn(S). Parce que sur S il n’y a pas de points fixes de Φ, on a que

Φ(T ) = T \ S, et en itérant on obtient Φ3(T ) = T \ (S ∪ Φ(S) ∪ Φ2(S)).

Donc en divisant le segment {1} × [0, 1[ en trois segments isométriques à

S, on a que :

[0, 1]×[0, 1] = [0, 1]×[0, 1]\TtT = [0, 1[×[0, 1]\Tt{1}×[0, 1[t(1, 1)tStΦ3(T )

∼ [0, 1[×[0, 1] \ T t {(1, 1)} t S t Φ(S) t Φ2(S) t Φ3(T )

= [0, 1[×[0, 1] \ T t {(1, 1)} t T

∼ [0, 1[×[0, 1] t {(1, 1)}

De ce résultat on voit qu’il reste seulement le point (1, 1) qui peut être

réabsorbé de façon analogue au segment.

Ce concept est normalement utilisé en géométrie euclidienne bidimension-

nelle pour démontrer les formules des aires des polygones : deux figures sont

équidécomposables si et seulement si elles ont la même aire.

Ce résultat géométrique est apparemment en complète opposition avec le

théorème de Banach Tarski ; mais en R3, par exemple, on a des théorèmes

opposées comme celui de Dehn.

14 Le paradoxe

Proposition. Un tétraèdre et un cube qui ont le même volume ne sont pas

équidécomposables.

Je ne vais pas démontrer ce théorème, car il n’y a pas d’utilité par rapport

au sujet principal, je note seulement que la démonstration nécessite l’axiome

du choix ; la démonstration se base sur l’existence de fonctions additives2 non

linéaires : l’idée est trouver une fonction F qui à chaque polyèdre associe un

réel et tel que si B et C équidécomposent A alors F (A) = F (B) + F (C),

si on trouve cette fonction et elle a deux valeurs distinctes sur le cube et le

tétraèdre le théorème est démontré.

2.3 Décomposition d’un group libre

La démonstration du théorème de Banach Tarski se base sur l’existence

d’un sous-groupe libre génère par deux rotation de R3.

Définition. Soient φ et θ deux rotations de l’espace centrées en l’origine,

soit G l’ensemble de toutes les rotation engendrées par φ et θ (toutes le com-

positions de deux rotations).

Si les seules compositions de rotations qui donnent l’identité contiennent

une rotation et son inverse l’une après l’autre alors G est appelé le group

libre sur φ et θ.

On note une propriété utile et intéressante d’un group libre : chaque

rotation s’écrit de manière unique comme composition des deux rotations

(toujours sous la contrainte de ne pas écrire une rotation et son inverse l’une

2Une fonction f est additive si et seulement si f(x + y) = f(x) + f(y).

2.3 Décomposition d’un group libre 15

après l’autre)3.

Maintenant il s’agit d’expliciter ce groupe libre : si on prend deux rota-

tions au tour des axes x et z d’angle arccos 1

3on engendre le groupe libre ; la

notation matricielle des deux rotations est :

φ =

1

3−2

√2

30

2√

2

3

1

30

0 0 1

θ =

1 0 0

0 1

3−2

√2

3

0 2√

2

3

1

3

On appellera alors G ce groupe libre, une image possible est :

Fig. 2.1 – Une possible image graphique de G

De l’image on voit que G est fractal et auto similaire, on pourra donc le dé-

3Une curiosité : en R2 il n’existe pas de group libre, on a toujours φθ = θφ, mais pour

n > 2 il est toujours possible d’en trouver.

16 Le paradoxe

composer en "copies de lui-même". On appellera {Gx : x ∈ {φ, θ, φ−1, θ−1}}

l’ensemble des éléments de G qui commencent par x.

On a alors clairement : G = {e} t Gφ t Gθ t Gφ−1 t Gθ−1 .

On cherche alors de voir ce que φGφ−1 ; il suffit de prendre la branche qui

lie Gφ−1 à e et la lier à φ. On obtiens alors l’ensemble des composition qui ne

commencent pas par φ ; de là on peut donc décomposer G = Gφ t φGφ−1 et

analogiquement pour θ.

A la fin on a trouvé que G "contient" quatre "morceaux", φ, θ, φ−1, θ−1,

qui peuvent être recomposées, en utilisant des rotations, en deux copies de

G.

Maintenant on a posé et explicité toutes le définitions préliminaires et on

peut donc énoncer le théorème.

2.4 Enoncé du théorème

La boule ouverte B3 est équidécomposable à deux copies d’elle même :

B3 ∼ (B3 t B3)4.

4On remarque tout de suite qu’il y a un abus de langage : B3 ne peut pas être en union

disjointe avec soi-même ; ici on considère que l’union de B3 se fait avec une translation d’elle

même pour avoir l’intersection vide. En fait formellement il faudrait dire : soit Φ : R3 → R3

une translation de norme plus grande que 1, alors B3 ∼ (B3 t Φ(B3)).

2.5 Décomposition de presque toute la surface de la sphère 17

2.5 Décomposition de presque toute la surface

de la sphère

On veut maintenant exploiter ce group libre pour obtenir une décompo-

sition de S2. Pour commencer on considère l’ensemble dénombrable D′ ⊆ S2

de toutes les intersection de S2 avec les axes de rotation des éléments de

G5. On défini aussi D = G(D′), dénombrable pour la même raison que D′,

l’ensemble des images de D′ par toutes les éléments G.

Proposition. Avec ces définitions on a que : soit g ∈ G une rotation, alors

pour tout x ∈ S2 \ D on a que g(x) ∈ S

2 \ D

Démonstration. Etant g une rotation on a tout de suite que g(x) ∈ S2, il

reste donc à voir qu’il n’appartient pas à D.

On suppose par l’absurde que g(x) ∈ D, il existe donc un z ∈ D′ et un

h ∈ G avec g(x) = h(z), ce qui implique que x = g−1h(z) et donc x ∈ D qui

contredit l’hypothèse de la proposition.

Avec cette petite proposition on peut poser une nouvelle définition :

Définition. Soit x ∈ S2 \D on appelle l’orbite de x, noté Orb x, l’ensemble

{g(x) : g ∈ G}.

De cette définition on voit tout de suite que si deux points x et y appar-

tiennent à la même orbite, Orb y = Orb y, s’il existe g ∈ G avec g(x) = y.

Proposition. L’ensemble des orbites est une partition de S2 \ D

5Etant G dénombrable D′ l’est aussi.

18 Le paradoxe

Démonstration. Par l’axiome du choix on peut trouver un ensemble M ⊂

(S2\D) qui contient un seul point pour chaque orbite ; donc pour tout x ∈ M

et pour tout g ∈ G on a que g(x) /∈ M , de plus toute orbite intersecte M6.

Pour terminer la décomposition de S2 il reste à vérifier que les partitions

soient disjointes, pour faire cela il faut poser avant une définition.

Définition. Soit g ∈ G une rotation ; l’ensemble g(M) est l’ensemble de

touts les point de M tourné selon g, l’image de M par g.

Proposition. Soient h et g deux rotation différentes de G alors g(M) ∩

h(M) = ∅.

Démonstration. On suppose par l’absurde qu’il existent x, y ∈ M avec g(x) =

h(y) ; on a alors deux cas :

– Si x = y on aura que x = h−1g(x), mais c’est impossible parce que ça

voudrait dire que x est sur l’axe de rotation de h−1g et donc x ∈ D qui

implique x /∈ M ⊂ S2 \ D.

– Si y 6= x on aura que x = h−1g(y) qui implique directement que x et y

seraient sur la même orbite qui contredit l’hypothèse x, y ∈ M .

Maintenant il ne reste que tirer les conclusions et poser une dernière

définition.

Définition. Si H ⊆ G est un sous-ensemble de G on définit H(M) =⋃

h∈H g(M).

6Pour tout y ∈ S2 \ D ils existent x ∈ M et g ∈ G avec y = g(x).

2.6 Absorbtion du dernier bout de la sphère 19

Donc on a que G(M) = S2\D et par la décomposition de G vu au chapitre

précédent on peut définir les ensembles suivants :

A1 = Gφ(M) , A2 = Gφ−1(M) , A3 = Gθ(M) , A4 = Gθ−1(M)

qui sont deux à deux disjoints et tels que :

A1 t φA2 = S2 \ D , A3 t θA4 = S

2 \ D

On a donc obtenu une copie de S2 \ D en deux copies de lui même ; il

ne reste donc qu’expliciter le résultat dans une forme élégante, mais pour ce

faire il faut poser une autre définition.

Définition. On dit que A � B si A est équidécomposable à un sous-ensemble

de B, s’il existe B′ sous-ensemble de B tel que A ∼ B′ ⊂ B.

Le résultat est alors :

S2 \ D t τ(S2 \ D) � S

2 \ D Où τ est une translation

Pour conclure la décomposition paradoxale de S2 \ D il faut poser un

théorème qu’on ne va pas démontrer.

Proposition. Si A � B et B � A alors A ∼ B.

2.6 Absorbtion du dernier bout de la sphère

On est maintenant arrive à cette décomposition paradoxale :

S2 \ D t τ(S2 \ D) ∼ S

2 \ D Où τ est une translation

20 Le paradoxe

On remarque qu’on a exactement le même problème qu’on a eu avec le

rectangle : il faut réabsorber l’ensemble D qui est dénombrable donc ça ne

va pas poser de problèmes.

Vu que D est dénombrable il existe une rotation γ telle que γn ∩ γm = ∅.

On peut maintenant fixer un axe de rotation et considérer l’ensemble X des

angles entre deux points quelconques de D.

On pose maintenant T = tk∈Nγk(D), on a tout de suite que T = D t

tk∈Nγk+1(D) = T t γ(T ), et donc T ∼ T \ D.

Avec ce résultat on peut donc conclure la décomposition de S2 :

S2 \ D = S

2 \ T t T \ D ∼ S2 \ T t T = S

2

On a donc maintenant la décomposition paradoxale de toute la surface

sphérique ; pour conclure la démonstration du théorème il suffit de décom-

poser B3 en l’ensemble des petits cônes avec comme base les morceaux de

décomposition de S2 et comme sommet l’origine ; avec cette astuce on obtient

la décomposition de B3 \ {0}. A nouveaux il ne reste qu’à absorber l’origine.

Pour ce dernier pas il suffit de considérer une rotation ξ tel que ξn(0) 6=

ξm(0) et considérer l’orbite O = tn∈Nξn(0). Comme avant on obtient T ∼

T \ {0} et donc on obtient facilement la décomposition B3 ∼ B3 \ {0}.

Pour conclure on a donc que :

B3

∼ B3 t τ(B3) Avec τ une translation

qui démontre le théorème de Banach Tarski.

2.7 Forme forte 21

2.7 Forme forte

Maintenant il est très facile de généraliser le théorème de Banach Tarski

en une forme forte.

Proposition. Soient A et B deux ensemble bornés de R3 avec une partie

non vide alors A ∼ B.

Démonstration. Avec la forme faible on a démontré la décomposition de la

sphère mais en itérant le processus on obtient que : B3 ∼ B3 t · · · t B3. Par

le fait que A et B aillent une partie non vide, il existe une boule Bε telle que

Bε ∈ A et Bε ∈ B.

En plus les ensembles sont bornés donc on peut les recouvrir avec un

nombre fini de Bε et donc :

– B � Bε t · · · t Bε ∼ Bε qui implique que B ∼ Bε

– A � Bε t · · · t Bε ∼ Bε qui implique que A ∼ Bε

A partir de ces deux résultats on peut conclure que A ∼ B.

22 Le paradoxe

Chapitre 3

Considerations sur la preuve

3.1 Rapport avec l’axiome du choix

3.2 Consistance mathématique du theoreme

24 Considerations sur la preuve

Chapitre 4

Conclusion

26 Conclusion

Bibliographie

[1] Carl W. Lee. The banach-tarski paradox : How to disassemble a ball the

size of a pea and reassemble it into a ball the size of the sun. 1962.

[2] Emanuele Paolini. Il paradosso di banach tarski. 2001.

[3] Alexandre Reissman. Le paradoxe de banach-tarski. 1994.

[4] Alfred Tarski Stefan Banach. Sur la décomposition des ensembles de

points en parties respectivement congruentes. 1923.

[5] Francis Edward Su. The banach-tarski paradox. 1990.