Le nombre d'orhgurgey.free.fr/IMG/pdf/Nombre_d_or.pdf · Sommaire 1. Introduction 2. G eom etrie 3. Trigonom etrie 4. Propri et es alg ebriques du nombre d’or 5. Histoire du nombre

Le nombre d’or

Clement Storne

T S4 – Lycee Xavier Marmier

1er Fevrier 2010

Clement Storne Le nombre d’or

Sommaire

1. Introduction2. Geometrie3. Trigonometrie4. Proprietes algebriques du nombre d’or5. Histoire du nombre d’or6. Manifestations du nombre d’or


Introduction

Dans l’Antiquite, mathematiciens, artistes et philosophesgrecs croient en une proportion parfaite rendant harmonieuxles etres, les constructions ou les œvres d’art qui la respectent.Cette « divine proportion » equivaut a une valeur qu’on ap-pelle depuis la Renaissance le nombre d’or et que l’on designepar la lettre grecque ϕ en hommage au sculpteur, peintre etarchitecte athenien du Ve siecle avant J. –C., Phidias, quil’utilisait abondamment dans son œuvre. Il est egalementd’usage de qualifier de « dore » tout element construit selonla proportion du nombre d’or.


Introduction

Dans l’Antiquite, mathematiciens, artistes et philosophesgrecs croient en une proportion parfaite rendant harmonieuxles etres, les constructions ou les œvres d’art qui la respectent.Cette « divine proportion » equivaut a une valeur qu’on ap-pelle depuis la Renaissance le nombre d’or et que l’on designepar la lettre grecque ϕ en hommage au sculpteur, peintre etarchitecte athenien du Ve siecle avant J. –C., Phidias, quil’utilisait abondamment dans son œuvre. Il est egalementd’usage de qualifier de « dore » tout element construit selonla proportion du nombre d’or.


Introduction

Pour les mathematiciens actuels, ϕ est la racine positive del’equation x 2−x−1 = 0, soit ϕ =

√5+12

. Une valeur approcheede ϕ est 1, 618.

De nombreuses constructions de la pyramide de Kheops auxbatiments de l’architecte Le Corbusier en passant par leParthenon (qui est inscrit dans un rectangle d’or, c’est-a-diredont le rapport entre le grand et le petit cote est egal a ϕ)respectent ces proportions.


Introduction

Pour les mathematiciens actuels, ϕ est la racine positive del’equation x 2−x−1 = 0, soit ϕ =

√5+12

. Une valeur approcheede ϕ est 1, 618.

De nombreuses constructions de la pyramide de Kheops auxbatiments de l’architecte Le Corbusier en passant par leParthenon (qui est inscrit dans un rectangle d’or, c’est-a-diredont le rapport entre le grand et le petit cote est egal a ϕ)respectent ces proportions.


Introduction750 decimales du nombre d’or

1, 6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 09179805762862135448 6227052604 6281890244 9707207204 18939113748475408807 5386891752 1266338622 2353693179 31800607667263544338 9086595939 5829056383 2266131992 82902678806752087668 9250171169 6207032221 0432162695 48626296313614438149 7587012203 4080588795 4454749246 18569536486444924104 4320771344 9470495658 4678850987 43394422125448770664 7809158846 0749988712 4007652170 57517978834166256249 4075890697 0400028121 0427621771 11777805315317141011 7046665991 4669798731 7613560067 08748071013179523689 4275219484 3530567830 0228785699 78297783478458782289 1109762500 3026961561 7002504643 38243776486102838312 6833037242 9267526311 6533924731 67111211588186385133 1620384005 2221657912 8667529465 49068113171599343235 9734949850 9040947621 3222981017 2610705961


Introduction750 decimales du nombre d’or

1, 6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 09179805762862135448 6227052604 6281890244 9707207204 18939113748475408807 5386891752 1266338622 2353693179 31800607667263544338 9086595939 5829056383 2266131992 82902678806752087668 9250171169 6207032221 0432162695 48626296313614438149 7587012203 4080588795 4454749246 18569536486444924104 4320771344 9470495658 4678850987 43394422125448770664 7809158846 0749988712 4007652170 57517978834166256249 4075890697 0400028121 0427621771 11777805315317141011 7046665991 4669798731 7613560067 08748071013179523689 4275219484 3530567830 0228785699 78297783478458782289 1109762500 3026961561 7002504643 38243776486102838312 6833037242 9267526311 6533924731 67111211588186385133 1620384005 2221657912 8667529465 49068113171599343235 9734949850 9040947621 3222981017 2610705961


GeometrieLa proportion d’or

Comme nous l’avons dit, le nombre d’or correspond a uneproportion appelee proportion d’or.

Definition de la proportion d’orDeux longueurs strictement positives a et b respectent laproportion d’or si et seulement si, le rapport de a sur b estegal au rapport de a + b sur a.C’est-a-dire a

b= a+b

a.

Autrement dit, ab

= ϕ.





b= a+b

a.

Autrement dit, ab

= ϕ.





b= a+b

a.

Autrement dit, ab

= ϕ.





b= a+b

a.

Autrement dit, ab

= ϕ.


GeometrieInterpretation graphique de la proportion d’or

O

A

B

C

a

a

b

Dire que la proportion definie par a et b est d’or revient adire que les triangles OAB et OCA sont semblables.


GeometrieInterpretation graphique de la proportion d’or

O

A

B

C

a

a

b

Dire que la proportion definie par a et b est d’or revient adire que les triangles OAB et OCA sont semblables.


GeometrieRepresenter la proportion d’or

Pour commencer, il faut tracer un segment [OA] et repererson milieu I .

O

A

I




O

A

I




O

A

I



Tracer maintenant la perpendiculaire ∆ a (OA) passant parA et reporter sur celle-ci le point I ′ tel que AI = AI ′.

O

A

I

I ′

∆



Tracer maintenant la perpendiculaire ∆ a (OA) passant parA et reporter sur celle-ci le point I ′ tel que AI = AI ′.

O

A

I

I ′

∆



Tracer la droite (OI ′) puis le cercle de centre I ′ et de rayon[I ′A]. Nommer les points d’intersection B et C .

O

I ′B

C



Tracer la droite (OI ′) puis le cercle de centre I ′ et de rayon[I ′A]. Nommer les points d’intersection B et C .

O

I ′B

C



Nous avons represente la proportion d’or.

OB

Ca

b



Nous avons represente la proportion d’or.

OB

Ca

b


GeometrieTracer un rectangle d’or

Tracer tout d’abord un carre ABCD .A B

CD



Tracer tout d’abord un carre ABCD .

A B

CD



Tracer tout d’abord un carre ABCD .A B

CD



Noter E le milieu de [AB ].

A E B

CD



Noter E le milieu de [AB ].

A E B

CD



Tracer le cercle C de centre E et de rayon [EC ].

A E B

CDC



Tracer le cercle C de centre E et de rayon [EC ].

A E B

CDC



Nommer F le point d’intersection de (AB) et de C .

A B

CDC

F



Nommer F le point d’intersection de (AB) et de C .

A B

CDC

F



Tracer la perpendiculaire ∆ a (AB) passant par F . Prolonger(CD) et nommer G le point d’intersection de ∆ et (CD).

A B

CD

F

∆

G



Tracer la perpendiculaire ∆ a (AB) passant par F . Prolonger(CD) et nommer G le point d’intersection de ∆ et (CD).

A B

CD

F

∆

G



On obtient un rectangle d’or : le rectange AFGD .

A

D

F

G



On obtient un rectangle d’or : le rectange AFGD .

A

D

F

G


GeometrieTracer une spirale d’or

Partons d’un rectangle d’or. On trace a l’interieur de celui-ciun carre.A

D

F

G

B

C



Partons d’un rectangle d’or. On trace a l’interieur de celui-ciun carre.

A

D

F

G

B

C



Partons d’un rectangle d’or. On trace a l’interieur de celui-ciun carre.A

D

F

G

B

C



On trace ensuite l’arc øAC du cercle de centre B et de rayon[AB ].

A

D

F

G

B

C



On trace ensuite l’arc øAC du cercle de centre B et de rayon[AB ].

A

D

F

G

B

C



Le rectangle BFGC est lui aussi un rectangle d’or, on va,encore une fois, faire apparaıtre un carre a l’interieur decelui-ci et tracer l’arc du cercle de centre H et de rayon [HI ].

A

D

F

G

B

C

H I



Le rectangle BFGC est lui aussi un rectangle d’or, on va,encore une fois, faire apparaıtre un carre a l’interieur decelui-ci et tracer l’arc du cercle de centre H et de rayon [HI ].

A

D

F

G

B

C

H I



On repete le processus indefiniment.

A

D

F

G



On repete le processus indefiniment.

A

D

F

G



On obtient une spirale d’or.



On obtient une spirale d’or.


GeometrieAutres constructions geometriques utilisant la proportion d’or

Le pentagone : il se construit a l’aide de la proportion d’or.La construction ne sera pas detaillee ici.









Le pentagramme : il se construit en joignant les sommetsd’un pentagone a tous les autres sommets qui ne leur sontpas consecutifs.



Le pentagramme : il se construit en joignant les sommetsd’un pentagone a tous les autres sommets qui ne leur sontpas consecutifs.



Les triangles d’or et d’argent.



Les triangles d’or et d’argent.



Proprietes des triangles d’orOn admet qu’un triangle d’or est un triangle isocele composea sa base de deux angles de 72 , soit les deux cinquiemesd’un angle plat et un angle de 36 soit le cinquieme d’unangle plat.

Proprietes des triangles d’argentOn admet qu’un triangle d’argent est un triangle isocelecompose a sa base de deux angles de 36 , soit le cinquiemed’un angle plat et un angle de 108 soit les trois cinquiemesd’un angle plat.



Proprietes des triangles d’orOn admet qu’un triangle d’or est un triangle isocele composea sa base de deux angles de 72 , soit les deux cinquiemesd’un angle plat et un angle de 36 soit le cinquieme d’unangle plat.

Proprietes des triangles d’argentOn admet qu’un triangle d’argent est un triangle isocelecompose a sa base de deux angles de 36 , soit le cinquiemed’un angle plat et un angle de 108 soit les trois cinquiemesd’un angle plat.



Proprietes generale des triangles d’or et d’argentLes deux triangles verifient la propriete P : « pouvoir etredecoupe en deux triangles isoceles inegaux et possedant aleur tour la propriete P ».


Trigonometrie

A partir des triangles d’argent et d’or, on en deduit des valeursexactes de certains angles

Considerons un triangle d’argent de base ϕ dont les cotesadjacents sont de longueur 1. Ce triangle, partage en deuxtriangles isometriques selon la hauteur issue du sommet prin-cipal, est un triangle rectangle d’hypotenuse de longueur 1.Sa base est de longueur ϕ

2car elle correspond a la demi-base

du triangle d’argent. On en deduit que cos�π5

�= ϕ

2.

A

B CD

α

En effet, cosα = ADAC

= ϕ2.


Trigonometrie





�= ϕ

2.

A

B CD

α


= ϕ2.


Trigonometrie





�= ϕ

2.

A

B CD

α


= ϕ2.


Trigonometrie





�= ϕ

2.

A

B CD

α


= ϕ2.


Trigonometrie





�= ϕ

2.

A

B CD

α


= ϕ2.


Trigonometrie

Appliquons un raisonnement analogue aux triangles d’or.

Considerons un triangle d’or de base ϕ − 1 dont les cotesadjacents sont de longueur 1. Ce triangle, lui aussi partage endeux triangles isometriques selon la hauteur issue du sommetprincipal, est un triangle rectangle d’hypotenuse de longueur 1.Son plus petit cote est de longueur ϕ−1

2car elle correspond a la

demi-base du triangle d’or. On en deduit que cos�

2π5

�= ϕ−1

2.

A

B CD

α


= ϕ−12

.


Trigonometrie





2π5

�= ϕ−1

2.

A

B CD

α


= ϕ−12

.


Trigonometrie





2π5

�= ϕ−1

2.

A

B CD

α


= ϕ−12

.


Trigonometrie





2π5

�= ϕ−1

2.

A

B CD

α


= ϕ−12

.


Trigonometrie

De la, en utilisant les formules de trigonometrie, on obtientles valeurs exactes des cosinus et sinus des multiples et sous-multiples de π

5.

cos2(x ) + sin2(x ) = 1

D’ou sin�π5

�=q

1− cos2�π5

�=q

1− ϕ2

4=q

4−ϕ2

4=

√4−ϕ2

2

Et sin�

2π5

�=q

1− cos2�

2π5

�=q

1− ϕ2−2ϕ+14

=

√−ϕ2+2ϕ+3

2


Trigonometrie

De la, en utilisant les formules de trigonometrie, on obtientles valeurs exactes des cosinus et sinus des multiples et sous-multiples de π

5.

cos2(x ) + sin2(x ) = 1

D’ou sin�π5

�=q

1− cos2�π5

�=q

1− ϕ2

4=q

4−ϕ2

4=

√4−ϕ2

2

Et sin�

2π5

�=q

1− cos2�

2π5

�=q

1− ϕ2−2ϕ+14

=

√−ϕ2+2ϕ+3

2


Trigonometrie

En utilisant la formules de l’angle moitie, on obtient lesvaleurs exactes des cosinus des sous-multiples de π

5. De la on

peut en deduire les valeurs exactes de sinus.

Formule de l’angle moitie

Pour un angle θ donne, cos�θ2

�= 1

2

√2 + 2 cos θ.

cos�π10

�= 1

2

q2 + 2 cos

�π5

�= 1

2

È2 + 2× ϕ

2= 1

2

√2 + ϕ

cos�π20

�= 1

2

q2 + 2 cos

�π10

�= 1

2

È2 +√

2 + ϕ

cos�π40

�= 1

2

q2 + 2 cos

�π20

�= 1

2

q2 +

È2 +√

2 + ϕ

cos�π80

�= 1

2

q2 + 2 cos

�π40

�= 1

2

É2 +

q2 +

È2 +√

2 + ϕ


Trigonometrie


5. De la on




�= 1

2

√2 + 2 cos θ.

cos�π10

�= 1

2

q2 + 2 cos

�π5

�= 1

2

È2 + 2× ϕ

2= 1

2

√2 + ϕ

cos�π20

�= 1

2

q2 + 2 cos

�π10

�= 1

2

È2 +√

2 + ϕ

cos�π40

�= 1

2

q2 + 2 cos

�π20

�= 1

2

q2 +

È2 +√

2 + ϕ

cos�π80

�= 1

2

q2 + 2 cos

�π40

�= 1

2

É2 +

q2 +

È2 +√

2 + ϕ


Trigonometrie


5. De la on




�= 1

2

√2 + 2 cos θ.

cos�π10

�= 1

2

q2 + 2 cos

�π5

�= 1

2

È2 + 2× ϕ

2= 1

2

√2 + ϕ

cos�π20

�= 1

2

q2 + 2 cos

�π10

�= 1

2

È2 +√

2 + ϕ

cos�π40

�= 1

2

q2 + 2 cos

�π20

�= 1

2

q2 +

È2 +√

2 + ϕ

cos�π80

�= 1

2

q2 + 2 cos

�π40

�= 1

2

É2 +

q2 +

È2 +√

2 + ϕ


Proprietes algebriques du nombre d’orFraction continue

On sait que ϕ est solution de l’equation x 2 − x − 1 = 0. Onen deduit donc ϕ− 1− 1

ϕ= 0 c’est-a-dire ϕ = 1 + 1

ϕ.

En remplacant ϕ par 1 + 1ϕ

dans le membre de droite, on

obtient ϕ = 1 + 11+ 1

ϕ

.

En reiterant ce principe, on obtient ϕ = 1 + 11+ 1

1+ 1ϕ

, puis

ϕ = 1 + 11+ 1

1+ 1

1+ 1ϕ

...

D’ou ϕ = 1 + 11+ 1

1+ 1

1+ 1

1+ 1

1+ 1...





ϕ.



obtient ϕ = 1 + 11+ 1

ϕ

.


1+ 1ϕ

, puis

ϕ = 1 + 11+ 1

1+ 1

1+ 1ϕ

...

D’ou ϕ = 1 + 11+ 1

1+ 1

1+ 1

1+ 1

1+ 1...





ϕ.



obtient ϕ = 1 + 11+ 1

ϕ

.


1+ 1ϕ

, puis

ϕ = 1 + 11+ 1

1+ 1

1+ 1ϕ

...

D’ou ϕ = 1 + 11+ 1

1+ 1

1+ 1

1+ 1

1+ 1...





ϕ.



obtient ϕ = 1 + 11+ 1

ϕ

.


1+ 1ϕ

, puis

ϕ = 1 + 11+ 1

1+ 1

1+ 1ϕ

...

D’ou ϕ = 1 + 11+ 1

1+ 1

1+ 1

1+ 1

1+ 1...





ϕ.



obtient ϕ = 1 + 11+ 1

ϕ

.


1+ 1ϕ

, puis

ϕ = 1 + 11+ 1

1+ 1

1+ 1ϕ

...

D’ou ϕ = 1 + 11+ 1

1+ 1

1+ 1

1+ 1

1+ 1...


Proprietes algebriques du nombre d’orExpression a l’aide d’un radical

En partant toujours de l’expression ϕ2−ϕ−1 = 0 c’est-a-direϕ2 = ϕ+ 1, on obtient ϕ =

√1 + ϕ.

En remplacant ϕ par√

1 + ϕ dans le membre de droite, on

obtient ϕ =È

1 +√

1 + ϕ.

En reiterant ce principe, on obtient ϕ =q

1 +È

1 +√

1 + ϕ,

puis ϕ =

É1 +

q1 +

È1 +√

1 + ϕ...

D’ou ϕ =

r1 +

É1 +

q1 +

È1 +√

1 + ....




√1 + ϕ.



obtient ϕ =È

1 +√

1 + ϕ.


1 +È

1 +√

1 + ϕ,

puis ϕ =

É1 +

q1 +

È1 +√

1 + ϕ...

D’ou ϕ =

r1 +

É1 +

q1 +

È1 +√

1 + ....




√1 + ϕ.



obtient ϕ =È

1 +√

1 + ϕ.


1 +È

1 +√

1 + ϕ,

puis ϕ =

É1 +

q1 +

È1 +√

1 + ϕ...

D’ou ϕ =

r1 +

É1 +

q1 +

È1 +√

1 + ....




√1 + ϕ.



obtient ϕ =È

1 +√

1 + ϕ.


1 +È

1 +√

1 + ϕ,

puis ϕ =

É1 +

q1 +

È1 +√

1 + ϕ...

D’ou ϕ =

r1 +

É1 +

q1 +

È1 +√

1 + ....




√1 + ϕ.



obtient ϕ =È

1 +√

1 + ϕ.


1 +È

1 +√

1 + ϕ,

puis ϕ =

É1 +

q1 +

È1 +√

1 + ϕ...

D’ou ϕ =

r1 +

É1 +

q1 +

È1 +√

1 + ....


Proprietes algebriques du nombre d’orCarre, inverse et puissance du nombre d’or

Pour calculer le carre du nombre d’or, il suffit de lui ajouter1. C’est a dire ϕ2 = ϕ+ 1.

Pour calculer l’inverse du nombre d’or, il suffit de lui retran-cher 1. C’est-a-dire 1

ϕ= ϕ− 1.

Les puissances du nombre d’or s’expriment en fonction deϕ et de 1 auxquel on applique les coefficients de la suite deFibonacci.ϕ2 = ϕ+ 1ϕ3 = ϕ2 × ϕ = ϕ(ϕ+ 1) = ϕ2 + ϕ = 2ϕ+ 1ϕ4 = ϕ3 × ϕ = ϕ(2ϕ+ 1) = 2ϕ2 + ϕ = 2(ϕ+ 1) + ϕ = 3ϕ+ 2ϕ5 = 5ϕ+ 3ϕ6 = 8ϕ+ 5ϕ7 = 13ϕ+ 8





ϕ= ϕ− 1.






ϕ= ϕ− 1.






ϕ= ϕ− 1.



Histoire du nombre d’orAntiquite

Les historiens considerent que l’histoire du nombre d’or com-mence lorsque cette valeur est l’objet d’une etude specifique.

Pour d’autres, la determination d’une figure geometriquecontenant au moins une proportion se calculant a l’aide dunombre d’or suffit. La pyramide de Kheops (vers 2520 avantJ. -C.) devient, selon cette convention, un bon candidat pourl’origine.

D’autres encore, se contentent des restes d’un monumentdont des dimensions permettent d’approximer le nombre d’or.Selon ce critere, un amas de pierres sous la mer des Bahamasest une origine plus ancienne. Ces vestiges, dont l’origine hu-maine et la datation sont incertaines sont denommes « templed’Andros ».


















Le premier texte mathematique indiscutable est celui desElements d’Euclide (vers 300 av. J.-C.). Le nombre d’or estdefini comme une proportion geometrique.

A cette epoque, l’etude du nombre d’or est essentiellementgeometrique.



Le premier texte mathematique indiscutable est celui desElements d’Euclide (vers 300 av. J.-C.). Le nombre d’or estdefini comme une proportion geometrique.

A cette epoque, l’etude du nombre d’or est essentiellementgeometrique.


Histoire du nombre d’orMoyen-Age

Les mathematiques arabes apportent un nouveau regard surce nombre, plus tard qualifie d’or. Ce n’est pas tant sesproprietes geometriques qui representent pour eux son interet,mais le fait qu’il soit solution d’equations du second degre.

Leonardo Pisano, plus connu sous le nom de Fi-bonacci, etablit la relation entre des equations dusecond degre et le nombre d’or. Son livre LiberAbaci introduit la suite qui porte maintenant sonnom, connue aux Indes depuis le VIe siecle.











Le quine, un systeme de mesure utilise par les batisseursde l’Art roman, se fonde sur un principe analogue. Il secompose de cinq unites de mesure, toutes commensurables :la paume egale a 34 lignes, la palme qui en vaut 55, l’empan89, le pied de Charlemagne 144 et la coudee royale 233. Cesunites correspondent a des nombres consecutifs de la suite deFibonacci. Une paume plus une palme est ainsi egale a unempan, une palme et un empan a un pied de Charlemagne,enfin un empan et un pied de Charlemagne a une coudeeroyale. Le rapport entre deux termes consecutifs est ϕ.


Histoire du nombre d’orRenaissance

Trois siecles plus tard, Pacioli, un moinemathematicien italien, redige un livredenomme La divine proportion, illustrepar Leonard de Vinci qui traite non pasde l’aspect mathematique du nombred’or, mais plutot des qualites mystiquesqu’on lui attribue en tant que proportionparfaite.

Cardano et Bombelli, deux mathematiciens de la Renais-sance, indiquent comment calculer le nombre d’or a l’aided’equations de second degre.











Au debut du XVIe siecle, une note manuscrite montre unerelation entre la suite de Fibonacci et le nombre d’or. Sil’on divise un terme de la suite par son precedent, on trouveune approximation du nombre d’or. Plus le terme est eleve,plus l’approximation est bonne et elle peut devenir aussiprecise que souhaitee. Ce resultat est, plus tard, retrouvepar Kepler, qui, fascine par le nombre d’or, dit de lui « Lageometrie contient deux grands tresors : l’un est le theoremede Pythagore ; l’autre est la division d’une ligne en moyenneet extreme raison. Le premier peut etre compare a une regled’or ; le second a un joyau precieux ».


Histoire du nombre d’orXIXe siecle

C’est a cette epoque que le terme de nombre d’or apparaıtemploye dans la reedition d’un livre de mathematiques ele-mentaires initialement ecrit par Ohm.

On commence durant cetteperiode a mesurer tousles grands monuments telsque le Louvre, l’Arc deTriomphe, les pyramidesegyptiennes ou encore leParthenon, voyant ainsi ap-paraıtre le nombre d’or.










Histoire du nombre d’orXXe siecle

Le XXe siecle est marque par l’uti-lisation massive du nombre d’ordans les domaines de la peintureet de l’architecture. Le Corbu-sier l’utilise notamment pour de-finir les proportions entre les dif-ferentes parties du corps humaindans Modulor.



Le XXe siecle est marque par l’uti-lisation massive du nombre d’ordans les domaines de la peintureet de l’architecture. Le Corbu-sier l’utilise notamment pour de-finir les proportions entre les dif-ferentes parties du corps humaindans Modulor.



Salvador Dali fait reference au nombre d’or et sa mythologiedans sa peinture, par exemple dans un tableau denommeLe Sacrement de la derniere Cene.



Dans Le Cirque de Seurat, les ligneshorizontales tracees dans le tableauont des grandeurs proportionnelles aϕ. Il en serait de meme pour la logedelimitee par des lignes de couleurrouge vif formant un rectangle dor.


Manifestations du nombre d’orDans le monde vegetal

On rencontre frequemment des spirale dansla disposition des graines dans les fleurs,des fruits... Dans un ananas ou une pommede pin les ecailles s’organisent en deux en-sembles de spirales. L’un qui tourne dansun sens, l’autre dans le sens inverse. Dansla fleur de tournesol, les graines sont aussireparties en spirales qui rayonnent a partirdu centre vers le bord. Ces spirales sont desspirales d’or et le nombre des spirales dansun sens et celui en sens inverse sont lestermes successifs de la suite de Fibonacci.


Manifestations du nombre d’orDans le monde vegetal

On rencontre frequemment des spirale dansla disposition des graines dans les fleurs,des fruits... Dans un ananas ou une pommede pin les ecailles s’organisent en deux en-sembles de spirales. L’un qui tourne dansun sens, l’autre dans le sens inverse. Dansla fleur de tournesol, les graines sont aussireparties en spirales qui rayonnent a partirdu centre vers le bord. Ces spirales sont desspirales d’or et le nombre des spirales dansun sens et celui en sens inverse sont lestermes successifs de la suite de Fibonacci.


Manifestations du nombre d’orDans le monde mineral

En mineralogie, il existe des cristaux dontles atomes s’organisent selon un schemapentagonal. Les proportions entre les coteset les diagonales du pentagone font inter-venir le nombre d’or. Il est aussi presentdans des structures dites quasi cristallines.Les atomes dessinent des triangles d’or quiremplissent l’espace sans pour autant pre-senter de periodicite, on obtient un pavagede Penrose.


Manifestations du nombre d’orDans le monde mineral

En mineralogie, il existe des cristaux dontles atomes s’organisent selon un schemapentagonal. Les proportions entre les coteset les diagonales du pentagone font inter-venir le nombre d’or. Il est aussi presentdans des structures dites quasi cristallines.Les atomes dessinent des triangles d’or quiremplissent l’espace sans pour autant pre-senter de periodicite, on obtient un pavagede Penrose.


Documents

Le nombre d'orhgurgey.free.fr/IMG/pdf/Nombre_d_or.pdf · Sommaire 1. Introduction 2. G eom etrie 3. Trigonom etrie 4. Propri et es alg ebriques du nombre d’or 5. Histoire du nombre