Las Desigualdades con Valor Absoluto€¦ · Web view3.2 valor absoluto en el conjunto de los nÚmeros reales Sean R; R y supongamos que ; se llama distancia entre y , al número

Tel.: 958-5804

República de PanamáMinisterio de Educación

DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y TÉCNICA

Instituto Profesional y Técnico de VeraguasNombre del Alumno(a): ________________________________________ Grupo: 12º ______Sección: Bachiller Industrial Especialidad: __________________________________

3.0 OBJETIVOS ESPECÍFICOS Resolver desigualdades con valor absoluto (o inecuaciones con módulo) y expresar la

solución en notación de intervalo y gráficamente.

Resolver sistemas de desigualdades simultáneas con una incógnita y expresar la

solución en notación de intervalo y gráficamente.

3.1 INTRODUCCIÓNEntre las desigualdades más importantes que se presentan en las Matemáticas Avanzadas, se

encuentran las que contienen valores absolutos.

Dos de las propiedades importantes de un número real son: su signo y su magnitud.

Geométricamente en la recta numérica real, el signo nos dice la ubicación, a la derecha o a la

izquierda del origen, y la magnitud es la distancia desde el origen al punto. Para trabajar la

propiedad de magnitud, se debe introducir el concepto de valor absoluto1.

3.2 VALOR ABSOLUTO EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALESSean R; R y supongamos que ; se llama distancia entre y , al número no

negativo

1 El concepto de valor absoluto de un número se emplea en algunas definiciones importantes del Cálculo.Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.

1

UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 3

Las Desigualdades con Valor Absoluto y Las Desigualdades

Simultáneas

Notemos que la distancia entre dos números reales diferentes entre sí es un número positivo,

pues el menor se resta del mayor.

Veamos los siguientes ejemplos:

1. La distancia entre y es , pues



Supongamos que se desea calcular la distancia entre 0 y un número real cualquiera. A esta

distancia la denotaremos por y que se lee: valor absoluto de equis.

Así: indica la distancia entre y

Por ejemplos:1) es decir 2) es decir

3) es decir 4) es decir

En general, R1) Si ; tenemos ; es decir si entonces

2) Si ; tenemos ; es decir si entonces

3) Si ; tenemos ; es decir si entonces

Así tenemos la siguiente definición:

Por ejemplos:1) 2)

3) 4)

Observación: El valor absoluto de un número es un número positivo o cero, pero nunca es un

número negativo.

El conjunto de soluciones de una desigualdad que contienen valor absoluto , se puede

obtener utilizando la definición de valor absoluto:

Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.

2

Definición: Para cada número real , definimos su valor absoluto, y lo representamos

por de la manera siguiente:

Otra definición alterna de valor absoluto es . Esta definición, en muchos problemas

simplifica notablemente el proceso de búsqueda del conjunto de soluciones de las desigualdades

con valores absolutos.

Por ejemplos: 1) 2)

3.3 PROPIEDADES DE LOS VALORES ABSOLUTOSSea R+; (Es decir, sea un número real positivo), entonces:

Las propiedades y son válidas si cambiamos el signo ó por los signos ó ,

respectivamente, así:

3.4 RESOLVIENDO INECUACONES CON VALORES ABSOLUTOSEn general, para resolver desigualdades con valor absoluto debemos utilizar las propiedades y métodos aprendidos anteriormente (suma, resta, multiplicación y división). Básicamente, el

conjunto solución de una desigualdad con valor absoluto debe ser calculado utilizando dos

posibilidades (por definición de valor absoluto) que cumplan con lo establecido, ejemplo: Si

, donde , entonces en el conjunto solución se incluyen todas las coordenadas en la línea que

son mayores de unidades del origen.

Ejemplo 1: Resuelva la siguiente desigualdad y grafique su solución:

Solución: Veamos las dos posibilidades:

La solución y su gráfica serán:




3

La solución y su gráfica serán:



La solución son dos puntos aislados en la recta real: y la gráfica es:

3.5 PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES CON VALORES ABSOLUTOS

1) Solución:

La solución es la unión de dos intervalos infinitos, así: ,

aunque también podemos dar la respuesta así: y gráfica es:

2) Solución:


4

La solución es un intervalo abierto, así: , aunque también podemos dar

la respuesta así: y gráfica es:

3) Solución:

La solución son dos puntos aislados en la recta real: y la gráfica es:

4) Solución:

La solución es la unión de dos intervalos infinitos, así: . Es

decir, la solución es: , y la gráfica es:

5)

Solución:

La solución es un intervalo cerrado: , También la respuesta se puede

dejar así: y la gráfica es:

6)

Solución:


5

La solución es un intervalo cerrado: , También la respuesta se

puede dejar así: y la gráfica es:

PRÁCTICA N°1TEMA: LAS DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO

I. Dada las siguientes expresiones de desigualdades con valor absoluto, escriba la

desigualdad, según su enunciado. Por ejemplo: “El valor absoluto de equis menos tres, es

menor o igual que un cuarto”, es:

1) “El valor absoluto de ye más dos, es mayor que cuatro”, es:

2) “El valor absoluto de equis al cuadrado más nueve, es menor o igual que cero”, es:

3) “El valor absoluto de equis sobre diez, es mayor o igual que cero”, es: II. Halle el conjunto de solución de las siguientes ecuaciones con valor absoluto:

1) 4) 7)

2) 5) 8)

3) 6) 9)

III Resuelve las siguientes desigualdades con valor absoluto y expresar los resultados en notación de

intervalo, y hacer la gráfica:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

9) 10) 11) 12)

13) 14) 15) 16)

17) 18) 19) 20)

21) 22) 23) 24)

25) 26) 27) 28)

29) 30) 31) 32)


6

33) 34) 35) 36)

3.6 DESIGUALDADES O INECUACONES SIMULTÁNEASDos o más desigualdades se dice que son desigualdades simultáneas si tienen soluciones

comunes.

Un sistema de desigualdades es un conjunto de dos o más desigualdades simultáneas que

contienen la misma variable.

3.7 SOLUCIÓN DE DESIGUALDADES O INECUACONES SIMULTÁNEASLa solución de desigualdades simultáneas está dada por la intersección de sus conjuntos

soluciones.

La solución de un sistema de desigualdades es el intervalo2 de valores que hacen ciertas a

todas las desigualdades del sistema simultáneo.

3.8 PROBLEMAS RESUELTOS DESIGUALDADES SIMULTÁNEASObtenga el intervalo solución de los siguientes sistemas de desigualdades:

Ejemplo 1: y

Solución: Lo primero que obtenemos es el intervalo de solución para cada una de las

desigualdades y después los intersecamos:

El intervalo de solución del sistema está comprendido entre y , ya que en ese intervalo se

verifica las dos desigualdades, es decir, todo valor de

evidentemente es menor que ,

entonces el intervalo solución será: y su gráfica es:

2 El intervalo solución del sistema es la intersección de los intervalos de cada una de las desigualdades.Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.

7

Ejemplo 2: y

Solución: Primero que obtenemos es el intervalo de solución para cada una de las

desigualdades y después los intersecamos:

El intervalo de solución del sistema está comprendido entre y incluyendo el , ya que

en ese intervalo se verifican las dos desigualdades, entonces el intervalo solución será:

y su gráfica es:

Ejemplo 3: y

Solución:


8

El intervalo de solución del sistema es el conjunto de valores donde al mismo tiempo se verifican

las dos desigualdades, es decir, la solución es todos los valores de pero es decir, que la

solución está entre , entonces el intervalo solución será: y su gráfica es:

Ejemplo 4: y

Solución:

El intervalo de solución del sistema está comprendido entre y , ya que en ese intervalo se

verifican las dos desigualdades, entonces la solución será: y su gráfica es:


9

Ejemplo 5: y

Solución:

El intervalo de solución del sistema está comprendido entre y incluyendo el , entonces el

intervalo solución será: y su gráfica es:

Ejemplo 6: y

Solución:


10


las dos desigualdades, es decir, está comprendido entre y incluyendo el , entonces el

intervalo solución será: y su gráfica es:

Ejemplo 7: y

Solución:


11


las dos desigualdades, es decir, la solución común a ambas desigualdades es el conjunto que

pertenece al mismo tiempo a y a es decir, que la solución está entre ,

entonces el intervalo solución será: y su gráfica es:

PRÁCTICA N°2I. Dadas los siguientes sistemas de desigualdades, obtenga el intervalo solución de cada una

de ellas e indique la solución del sistema, en notación de intervalo y grafíquelo:

1) y 2) y

3) y 4) y

5) y 6) y

7) y 8) y

9) y 10) y

11) y 12) y

II. Hallar la solución de los siguientes sistemas de desigualdades y represéntelo:

1) y 2) y

3) y 4) y

5) y 6) y

7) y 8) y


12


13

Documents

Las Desigualdades con Valor Absoluto€¦ · Web view3.2 valor absoluto en el conjunto de los nÚmeros reales Sean R; R y supongamos que ; se llama distancia entre y , al número