Large cardinalsFrom Wikipedia, the free encyclopedia
Contents
1 Ackermann ordinal 11.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Additively indecomposable ordinal 22.1 Multiplicatively indecomposable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 Admissible ordinal 33.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4 Aleph number 44.1 Aleph-naught . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.2 Aleph-one . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.3 Continuum hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.4 Aleph- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.5 Aleph- for general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.6 Fixed points of omega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.7 Role of axiom of choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.10 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5 Axiom of determinacy 95.1 Types of game that are determined . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.2 Incompatibility of the axiom of determinacy with the axiom of choice . . . . . . . . . . . . . . . . 95.3 Innite logic and the axiom of determinacy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.4 Large cardinals and the axiom of determinacy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.7 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6 BachmannHoward ordinal 12
i
ii CONTENTS
6.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
7 Beth number 137.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137.2 Relation to the aleph numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147.3 Specic cardinals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.3.1 Beth null . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147.3.2 Beth one . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147.3.3 Beth two . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.3.4 Beth omega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
7.4 Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
8 Burali-Forti paradox 178.1 Stated in terms of von Neumann ordinals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178.2 Stated more generally . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178.3 Resolution of the paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9 Cantors diagonal argument 199.1 Uncountable set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9.1.1 Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209.1.2 Real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9.2 General sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229.2.1 Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229.2.2 Version for Quines New Foundations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
10 Cantors theorem 2510.1 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2610.2 A detailed explanation of the proof when X is countably innite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2610.3 Related paradoxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2710.4 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2810.5 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2810.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2810.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2810.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
11 Cardinal assignment 30
CONTENTS iii
11.1 Cardinal assignment without the axiom of choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3011.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
12 Cardinal characteristic of the continuum 3112.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3112.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
12.2.1 non(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3112.2.2 Bounding number b and dominating number d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3112.2.3 Splitting number s and reaping number r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3212.2.4 Ultralter number u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3212.2.5 Almost disjointness number a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
12.3 Cicho's diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3212.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3212.5 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
13 Cardinal function 3413.1 Cardinal functions in set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3413.2 Cardinal functions in topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
13.2.1 Basic inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3613.3 Cardinal functions in Boolean algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3613.4 Cardinal functions in algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3613.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3613.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3613.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
14 Cardinal number 3814.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3814.2 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4014.3 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4114.4 Cardinal arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
14.4.1 Successor cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4214.4.2 Cardinal addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4214.4.3 Cardinal multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4314.4.4 Cardinal exponentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
14.5 The continuum hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4414.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
