Laplace 변환

1. Laplace 변환 및 특성

정의: ℒ

∞

∞

lim→∞

Ex1)

ℒ

∞

∙ lim→∞

lim→∞

∞

lim→∞

← 인 경우

Ex2)

ℒ

∞

lim→∞

lim→∞

∞

← 인 경우

Ex3)

ℒ

←인 경우

(1) 선형성(linearity)

ℒ ℒ ℒ

Ex1) cosh

ℒcosh ℒ

ℒ

동일하게 ℒsinh

Ex2) cos sin

cos sin

ℒ ℒcos ℒsin ←ℒ

∴ℒ cos ℒsin

(2) 변수에 따른 변환

ℒ

←ℒ

pf) ℒ

∞

∞

←

Ex) ℒ →ℒ

ℒ

(3) 이동성질

ℒ ←ℒ

pf) ℒ

∞

∞

(4) 의 Laplace 변환

ℒ

; ≥

pf) ℒ

∞

∞

∞

lim→∞

∞

lim→∞

ℒ ←번∞

∞정리적용

ℒ

계속 적용하면

ℒ

ℒ

ℒ

⋯

⋯

ℒ

(5) 의 Laplace 변환

ℒ

←ℒ

pf)

∞

∞

∞

∞

ℒ

위 결과를 다시 적용하면

ℒ

ℒ

이를 일반화시키면

ℒ

Ex) ℒ ℒℒ

ℒ

ℒ

Ex) ℒsin ℒsin

Ex)

ℒ ℒ ℒ ℒℒ

Ex) coscos

ℒ ℒℒcosℒcos

Ex) sin

ℒ ℒsin

2. Laplace 변환을 이용한 미분방정식의 해법

(1) 도함수의 Laplace 변환

(i) ℒ ′ pf) ℒ ′

∞

′

∞

∞

ℒ

(ii) ℒ ℒ ′

⋯

pf) ℒ ″ ℒ ′′ ℒ ′ ′ ℒ ′ ℒ ′

ℒ ″′ ℒ ′′′ ℒ ′′ ′′ ℒ ′ ′

⋮

ℒ ℒ ′

⋯

(2) 역변환

ℒ

Ex) ℒ

ℒ

←ℒ

Ex) ℒ

ℒ

sin

←ℒsin

Ex)

ℒ ℒ

ℒ

ℒ

cossin←ℒsin

ℒ cos

Ex) ℒ

×

∴ →

×

∴ →

×

∴

ℒ

ℒ

ℒ

ℒ

(3) 미분방정식의 예

Ex) ″′ ′

ℒ″ℒ′ ℒ ℒ ′

초기조건을 이용하면

∴

→

∴

ℒ

ℒ

ℒ

ℒ

Ex) ′ sin

ℒ′ ℒ ℒsin

초기조건을 이용하면

∴

→

항: →

상수항: →

∴

ℒ ℒ ℒ

ℒ

cossin

Ex) ′′ cos ′

ℒ′′ℒ ℒcos ′

초기조건을 이용하면

∴

ℒ ℒ

ℒ

sin sin

←ℒ ℒ

sin ℒsin

ℒ

sin

Ex) ′′′ ′

ℒ′′ℒ′ ℒ ℒ ′

초기조건을 이용하면

∴

ℒ ℒ

ℒ

←ℒ

Ex) ′′′ ′

ℒ′′ℒ′ ℒ ℒ ′

초기조건을 이용하면

∴

: →

항: →

: →

∴

ℒ

ℒ

ℒ

ℒ

cos

sin

Ex) 계수에 변수 포함

″′ ′

ℒ′ ℒ′

′

ℒ′′ ℒ′′

′∴ ′ ′

초기조건을 이용하면

∴ ′

Integrating factor;

ln

위 미분방정식에 이 factor를 곱하면

′ →′ → ′′

→∴

ℒ ℒ ℒ

′ 를 이용하면

Ex) 스프링 시스템

초기조건 ↓

↑

(1) →ℒ″ ℒℒ ′

초기조건을 이용하면

(2) →ℒ″ℒℒ ′

초기조건을 이용하면

× × 를 하면

ℒ

sin sin

ℒ

sin sin

Ex2) Coupled oscillator

(1)

초기조건

Laplace 변환을 하면

(2)

위 식에서

라고 두면

(3)

위 두식을 더하고 빼면

(4)

이다. 따라서

(5)

위식을 역 Laplace변환을 하면

cos cos

(6)

을 얻을 수 있다. 위 두식을 더하고 빼면

cos cos

cos cos

을 구할 수 있다.

(다른 방법) 식 1에서

라고 두면

두 식을 더하고 빼면

을 구할 수 있다. 라고 두면

→ cossin

→ cossin

을 얻는다. 두 식을 더하고 빼면

cossincossin cossincossin

초기조건을 대입하여 상수를 결정한다.

Ex) 회로에의 적용

→

를 이용하면

(1)에서

(2)에서

(3)에서 ℒ′ ℒ ℒ

(4)에서 ℒ′ ℒℒ

(5)에서

(6)에서

× ×에서

→

∴

ℒ

ℒ

→∞에서

←

(오랜 시간 후엔 인덕터는 도선)

(모든 전압이 저항에 떨어짐)

(축전기는 완전히 충전)