Upload
sinan
View
250
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 1/61
BÖLÜM 6
LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 2/61
Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) ya da
[f(t)] olarak gösterilir.
Burada tanımlanan s;
6.2. Laplace Dönüşümü Tanı
mı
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 6/61
Bilindiğine göre;
6.3. Laplace Dönüşümün Özellikleri1. Doğ rusallık
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 7/61
6.3. Laplace Dönüşümün Özellikleri2. Ölçeklendirme
a bir sabit ve a>0 ise ; x= at ve dx=a.dt olduğuna göre;
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 8/61
3. Zamanda Öteleme
f(t) fonksiyonun Laplace dönüşümü F[s] ise;
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 9/61
Eğer; x=t‐a olarak tanımlarsak, dx=dt ve t=x+a olur.
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 10/61
ÖRNEĞİN;
Olduğu biliniyor.
?
Özelliği kullanılarak;
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 11/61
4. Frekansta Kaydırma
f(t) fonksiyonun Laplace dönüşümü F[s] ise;
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 12/61
4. Diferansiyelini Almak
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 14/61
ÖRNEĞİN;
ise
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 15/61
5. İntegralini Almak
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 16/61
ÖRNEĞİN; f(t)=u(t) iken laplace alınırsa F[s]=1/s olur.
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 17/61
6. Frekans Düzleminde Türevini Almak
f(t) fonksiyonun Laplace dönüşümü F[s] ise;
s‐ düzleminde türevi alınırsa;
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 18/61
ÖRNEĞİN;
Bilindiğine göre;
7. Zamanda Periyodiklik
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 19/61
Her bir terimin Laplace Dönüşümü alınırsa;
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 20/61
8. Başlangıç ve Son Değ erler
Başlangıç değeri için;
ÖRNEĞİN;
Olduğu biliniyor
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 21/61
Son değeri için;
ÖRNEĞİN;
Olduğu biliniyor
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 22/61
ÖRNEĞİN;
NOT: SAYFA 656 daki Tablolar incelenecek!!!!!
Dikkat Sonuç hatalı!!!!
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 23/61
ÖRNEK: Aşağıdaki fonksiyonun Laplace Dönüşümünü
elde ediniz.
ÇÖZÜM: Her bir ifadenin ayrı ayrı laplace dönüşümü alınıp, toplanır.
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 24/61
ÖRNEK: Aşağıdaki fonksiyonun Laplace Dönüşümünü
elde ediniz.
ÇÖZÜM: Olduğu biliniyor ise;
Frekansta türevini alma özelliği kullanılır.
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 25/61
ÖRNEK: Yandaki grafiği veren
fonksiyonun Laplace dönüşümünü bulunuz.
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 26/61
ÖRNEK: Yandaki grafiği veren
fonksiyonun Laplace dönüşümünü bulunuz.
Fonksiyonun periyodu T=2
Laplace Dönüşümü uygulanır
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 27/61
Özelliği kullanılarak;
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 28/61
ÖRNEK: Aşağıda Laplace Dönüşümü verilen fonksiyonun
başlangıç ve son değerlerini elde ediniz.
Başlangıç değeri için;
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 29/61
Son değeri için önce teoremin uygulanabilir olup olmadığına bakılmalıdır.Bunun için kutupların bulunduğu yerler tespit edilir.Kutupları s=‐3 ile s=‐4± j3 de; yani s‐düzleminin sol yarısında yer alır. Teoremuygulanabilir!
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 31/61
6.4. Ters Laplace Dönüşümleri
Elimizde bulunan s‐düzlemindeki fonksiyon pay ve payda olarak ifade edilebilir.
Ters Laplace dönüşümü elde edebilmek için;1. Fonksiyonun pay ve paydası çarpanlara ayrılır,2. Her bir terimin Ters‐laplace bulunur.
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 32/61
6.4. 1. Basit Kutuplar
Denklemin kutupları
Denklemde N(s)’in derecesinin D(s) den az olduğu kabul edilerek;
1. Kutuptaki sabiti bulmak için;
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 33/61
değeri için
Herhangi bir
değeri için
Sonuç itibari ile F(s) fonksiyonunun ters laplace dönüşümü;
6.4. 1. Basit Kutuplar
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 34/61
6.4. 2. Tekrarlanan Kutuplar
F(s) fonksiyonunun n‐ tane tekrarlanan kutbunun olduğunu varsayalım;
değeri için
değeri
için
değeri için
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 35/61
6.4. 2. Tekrarlanan Kutuplar
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 36/61
6.4. 2. Kompleks Kutuplar
kompleks kutupları içeren
kompleks kutbu olmayan
Kompleks kutbu olmayan kısmı için basit veya tekrarlanan kutuplardaki gibi işlem yapılır;
Kompleks kutbu olanlar için ise kendi kutup değeri haricinde özel değerler verilerek bulunur.
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 37/61
ÖRNEK: Aşağıdaki fonksiyonun ters laplace ifadesini bulunuz.
ÇÖZÜM: Ters Laplace ifadesi her bir terimin ayrı ayrı dönüşümüm alınarak bulunabilir.
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 38/61
ÖRNEK: Aşağıdaki fonksiyonun ters laplace ifadesini bulunuz.
ÇÖZÜM: Öncelikli olarak çarpanlara ayırarak fonksiyon ayrıştırılır. Bu fonksiyon basit kutup ifadelerine sahiptir.
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 40/61
2. YOL:
s' in kuvvetlerine göre denklem katsayılarını eşitlersek;
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 41/61
ÖRNEK: Aşağıdaki verilen V(S) fonksiyonundan v(t) ifadesini bulunuz.
ÇÖZÜM: Bir önceki örneğin tersine bu fonksiyon tekrarlanan
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 42/61
ÇÖZÜM: Bir önceki örneğin tersine bu fonksiyon tekrarlanan
kutup ifadelerine sahiptir.
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 44/61
2. YOL: Denklemin her iki taraf ı
İle çarpılır.
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 45/61
ÖRNEK: Aşağıdaki verilen H(S) fonksiyonundan h(t) ifadesini bulunuz.
ÇÖZÜM: Bu örnekte fonksiyon kompleks kutba sahiptir. (s=‐4±3j)
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 46/61
1. YOL:
B ve C için bu yönteme devam edilebilir ama kompleks köklerden kaynaklanan kompleks işlemler meydana gelir. Bu işlemlerden kaçınmak
için, H(s) fonksiyonuna kutup değerleri hariç özel s değerleri (s=0 ve s=1) verilir.
Kompleks olmayan
Kompleks
2. YOL: Denklemin her iki taraf ı
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 47/61
İle çarpılır.
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 48/61
Ters Laplace Dönüşümü yapılırsa;
6.5. Devre Uygulamaları
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 49/61
6.5. Devre Uygulamaları
Laplace dönüşümünü devrelere uygulamak için;1. Devre zaman düzleminden s‐ düzlemine çevrilir.2. Devre uygun bir devre analiz yöntemi ile çözülür (Düğüm gerilimleri,
K.A.K, süperpozisyon v.b.)3. Çıkan sonuç ters laplace dönüşümü yapılarak zaman düzlemine
çevrilir.
Devre elemanları nasıl s‐düzlemine çevrilir?
Zaman düzleminde direnç için akım‐gerilim ilişkisi;
Laplace dön. alındığında;
Endüktör için;
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 50/61
Laplace dön. alı
ndı
ğı
nda;
Kapasite için;
Laplace dön. alındığında;
veya
veya
Eğer başlangıç değerleri sıf ır kabul edilirse;
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 51/61
ğ ş g ç ğ
ÖRNEK: Şekildeki devre için başlangıç koşullarının sıf ır olduğu kabul edilerek (t) gerilimini bulunuz.
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 53/61
ÖRNEK: Şekildeki devre için 0 5 ise (t) gerilimini bulunuz.
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 54/61
Denklem düzenlenip 10 ile çarpılırsa;
K.A.K. uygulanırsa;
Denklemi kutuplarına göre çarpanlarına ayıralım;
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 55/61
ÖRNEK: Şekildeki devrede anahtar akonumundan b konumuna t=0’da
geçmektedir. t>0 için i(t) ifadesini bulunuz.
Endüktörün başlangıç akım değeri
Çevre analizini yaparsak;
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 56/61
Kutuplarına göre çarpanlarına ayrılır.
Son değeri;
6.6. Transfer Fonksiyonu
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 57/61
Eğer;
veya
Bu durumdaki cevaba birim dürtü cevabı
denir;
ÖRNEK: Devrenin çıkışı;
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 58/61
Girişi;
Sistemin transfer fonksiyonunu ve birim dürtü yanıtını bulunuz.
ÇÖZÜM: Önce x(t) ve y(t) ifadelerinin Laplace dönüşümleri bulunur.
h(t)’yi elde edebilmek için bir takım değişiklikler yapılır.
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 59/61
ÖRNEK: Yandaki devrenin transfer fonksiyonunu H(s)=
/
bulunuz.
1. YOL: Akım bölmeden;
2. YOL: Ladder (merdiven) yöntemi uygulanabilir. =1V olarak kabul edelim Bu durumda ;
7/27/2019 Laplace Dönüşümleri
http://slidepdf.com/reader/full/laplace-doenuesuemleri 60/61
=1V olarak kabul edelim. Bu durumda ;
2+1/2s empedansının üzerindeki gerilim;
gerilimi s+4 empedansı üzerindeki gerilimle aynıdır.