Fourierrækker

Lad!f!være

en!funktion

med!periode

2!.!f’s

Fourierrække

er

!f (x) : c0 ! (an

n"1

#

$ cosnx ! bn sinnx)

c0 "12%

f (x)dx&%

%

'

an "1%

f (x)cosnxdx&%

%

'

bn "1%

f (x)sinnxdx&%

%

'

Klassen

af

funktioner,!som

kan

fremstilles

på

denne

form!er

ret!omfattende.

Eksempler

f (x) "1 for & %

2 ( x (%2

0 for & % ( x ( & %2

%2 ( x ( %

)*+

,+

f (x) - 12 !

2sin( n%2 )n%$ cosnx

f (x) " x2 for x .[&% ,% ]

f (x) : % 2

3!

(&1)n

n2n"1

#

$ cosnx

"&!&- xxxxf 3sin2sinsin)( 31

21

f (x) " 12 (x & 2n% ) x .](2n &1)%,(2n !1)%[

f (x) " 0 for x " (2n !1)%

Fourier"udvikling af!f(x)=x

10

5

2

1

%% ((&" xforxxf )(

nxn

xfn

n

sin)1(2)(1

1

$#

"

!&-

Cantor’s Theory of Real Numbers

Georg Cantor(1845 –

1918)

Convergence Fourier Series

Real Numbers

/01n1/n 2 n1/m : an!m & an ( 0

Further Constructions

The!domain!C!– constructed!from!B!"

does!not!contain!any!new!objectsC!=!B!

Finite Series of Constructions

Number, Value and Limit of Kind "

Within!the!system!L!of!numbers!of!kind!! the!algebraic!equationF(l,l’,…,l("))!=!0

makes

sense.!It!can!be!translated!into!relations!between!systems!of!series!of!

rational!numbers.

The Real Line

0 a1 a2an

b

B

The Real Line

0A

The Axiom of Completeness

A point on the real line is then called a number of kind ! when it is determined by a series of kind !.

Point Sets

Limit Points

a is a limit point of P #

There are infinitely many points from P in every neighbourhood of a

Bolzano-Weierstrass’s

Theorem

Cantor states Bolzano-Weierstrass’s

theorem which says that every bounded infinite

set of points on the real

line has a limit point.

0 a1 a2an

b

B

Point sets of !’th kind

As examples Cantor mentions that the 1’st derived set of the rational points in [0,1] is the real interval [0,1], and that

{1,1/2,1/3,…,1/n,…}’

= {0}

A point set P is of kind $% P($) is finite.

Point Set of Kind !A point of kind $ may determine a point set of kind $

Uendelige!serier!af!afledede

#

#

#

#

"

$

3333 nnnn

n

n

P

P

PP

PP

PPP

!#!!#!#

#!#

#!#

#

&&

"

"

11

10

)'(

'''

1

)(

4 54 54 5

4 5

4 54 5 4 5

#

#

#

"

"

#

#

%

6

6

6

666

66666

(

!"!

"7"!"

7"!

""""

n

n

nnn

Ø

,,2,1,01,2,1,0

1

2,1,031,02

010

…

MængderUnter

einer

“Menge”

verstehen

wir

jede

Zusammenfassung

M von

bestimmten

wohlunterschiedenen

Objekten

m unsrer

Anschauung

oder unseres

Denkens

(welche

die “Elemente”

von M genannt

werden) zu

einem

Ganzen.(G. Cantor: Beiträge

zur

Begründung

der

transfiniten

Mengenlehre, Math. Annalen, Bd. 46, 1895)

4 54 54 5 4 54 5222

32

),(

,

5

)(

ryxyxC

QtalnaturligtetqtalheltetptalrationelteterrrQ

PprimtaletermmP

mEmM

qp

"!"

.""

."

"

Ækvipotens: To mængder M og N er ækvipotente, hvis, og kun hvis, der findes en en-en-

korrespondance

mellem elementerne i de to mængder

Ækvipotens1 2 3 4 5 6 …

2 4 6 8 10 12 …x

y

Mængden

af

de naturlige

tal

N er

ækvipotent

med mængden

af

de hele

tal

Z, som

er

ækvipotent

med mængden

af

de rationelle

tal

Q.

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-1 0 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

Endelige!og!tællelige!mængder

Endelig: En mængde A er endelig, såfremt der findes et naturligt tal n, så

A er ækvipotent

med Nn

={0,1,…,n-1}

Tællelig: En mængde A er tællelig, såfremt A enten er endelig eller ækvipotent

med mængden af de naturlige tal N.

Uendelig: En mængde A er uendelig, såfremt A ikke er endelig.

N (de naturlife

tal), Z (de hele tal) og Q (de rationelle tal) er uendelige men tællelige mængder.

R (de reelle tal) er en uendelig men ikke tællelig mængde.

Mængden af uendelige binære følger er ikke

tællelig

"

"

"

"

33323130

23222120

13121110

03020100

aaaaaaaaaaaaaaaaa0

=

a1

=

a2

=

a3

=...

4 51,0.ija

bn

=1-ann

Følgen (bn

) kan ikke være med I nummereringen (an

),

Idet

bn

= 1-ann

8

ann

Mængden

af

de!reelle

tal

er

ikke

tællelige

C0 = [0,1]

Cn+1

= Fjærn

den miderste

tredjedel I alle intervallerne i Cn

, dvs.

erstat alle intervaller [a,b] i Cn

med følgende to intervaller

V[a,b] = [a,a+1/3(b-a)]

H[a,b] = [a+2/3(b-a),b]

Svarenden

til

en binær

følge

c, definer følgen

(Fc0

, Fc1

, Fc2

, …) af lukkede

intervaller

,*)

""

"

"

! 1)(0)(

]1,0[

1,

0,

nchvisHFnchvisVF

F

F

cn

cnnc

c

Mængden

af

de!reelle

tal

er

ikke

tællelige

2

$#

"

"0

,)(n

ncFcf

Funktionen f fra mængden af binære følger ind i de reelle tal defineres ved

Cantors mængde

defineres

som

$#

"

"0n

nCC

Funktionen f er en en-en-korrespondance

mellem mængden af binære følger og Cantors

mængde.

Da C er en delmængde af R og C er ækvipotent

med mængden af binære følger, som ikke er tællelig, kan R heller ikke være tællelig.

Det!reelle!talsystem

Transcendente

tal

Beregnelige

reelle

tal

Algebraiske

tal

Rationelle

tal

Hele

tal

Naturlige

tal

Transcendente

tal

= Relle

tal

der

ikke

er

algabraiske

Mængden

af

beregnelige

tal

er

tællelig

Mængden

af

transcendente

tal

er

ikke

tællelig

%, 9

og

e

er

transcendente

tal )log(lim

1

1 nn

kkn&" $

"#:

9