Escuela de Ingeniería Civil y Ambiental

CURSO :

ANALISIS MATEMÁTICO II.

PROFESOR (A) :

MORENO DESCALZI,Julio César.

TEMA :

INTEGRALES INDEFINIDAS.

ALUMNO (S) :

CUEVA RODRÍGUEZ, Yeny Yaqueline.

Chiclayo 29 de agosto del 2015.

Universidad Santo Toribio de Mogrovejo

1) ∫(3√ y− 2

y3+1y ) dy

I=3∫ √ y dy−2∫ 1

y3dy+∫ 1

ydy

I=3y12+1

12+1

−2y−3+1

−3+1+ln+c

I=3y32

32

+2y−2

2+ln y+c

I=2 y32+ 1y2

+ ln y+c

2) ∫ (x3−2 x2)( 1x−5) dx

I=∫(x3 1x¿−2 x2

1x−5 x3+10x2)dx ¿

I=∫(x2−2x−5 x3+102¿)dx ¿

I=11 x3

3−x2−5 x

4

4+c

3) ∫Cos (ax+b )dxu=ax+b

du=adx

dvv

=dx

∫cos u dua

I=1asenu+c

I= senax+ba

+c

4) ∫( ex2 +x√ x) dx

I=12∫eX dx+∫ x1 x

12dx

I=12e X+∫ x

32 dx

I=12eX+x52

52

+c

I=12eX+2x

52

5+c

5) ∫√t (t2−1 ) dt

I=∫ t12+2dt−∫√ t dt

I=∫ t52dt−

t32

32

I=t72

72

−2t

32

3+c

I=2t

72

7−2 t

32

3+c

6) ∫ tanxdx

¿∫ sen(x )cos (x)

dx

u=cosx du=−sen ( x )dx

¿∫−1udu=−∫ 1u du

¿−ln (u )+c

¿−ln (cos ( x ) )+C

7) ∫ 2ex+e2x

exdx

∫3e xdx

¿3∫ ex dx

¿3ex+C

8) ∫ x+22√x+2

dx

u=√x+2 I=∫ u2

2u2udv

u2=x+2

2udv=dx

I=u3

3+c

I=¿¿

9) ∫ x−1√2x−√x+1

dx

¿∫ (√2√x+√ x+1 )dx

¿∫√ x+1dx+√2∫√x dx

u=x+1du=dx

¿∫√udu+√2∫ √x dx

¿ 2u3 /2

3+√2∫ √x dx

¿ 2u3 /2

3+ 23√2x3 /2+C

¿ 23

(√2 x3 /2+√ x+1x+√ x+1 )+C

10) ∫ x

a−x2dx

u=a−x2

du=−2 xdx

−dv2

=xdx

I=−12 ∫ dvu

I=∫−12ln u+c

I=∫−12ln|a−x2|+c

11) ∫ eax+b dx u=ax+b

du=adx

dvv

=dx

I=1a∫ e

ax+b+c

I=1a∫ e

udu=I=1aeu+c

Ι= eax+b

a+C

12) ∫ x

(a2−x2 )2dx

u=a2−x2

du=−2 xdx

−dv2

=xdx

I=−12 ∫ dv

u2

I=−12u−1

−1+c

I= 12u

+c

I= 1

2(a2−x2)+c

13) ∫ x .e−x2

dx

t=x2

dt=2 xdx

dt2

=xdx

I=12∫e

−tdt

I=−e−t

2+c

I=−e−t

2+c

14) ∫ xSenxdx

u=xdu=x

dv=senxdx v=−cosx

I=−x cosx+∫cosx dxI=−xcosx+sen x+c

Ι=sen ( x )−xcos ( x )+c

15) ∫ sen (3 x )cos (5x )dx

sen (α )cos (β )=12

¿

α=3 x β=5x

¿12

[sen (α+β )+sen (α+β ) ]

I=12∫ (sen 8x−sen ax )dx

I=12∫sen 8x dx−

12∫ sen2 xdx

I=12 ( 18 )cos 8 x( 12 )(12 )cos 2x+c

I=−116cos x 8 x+ 1

4cos 2x+c

Ι= 116

¿

16) ∫ e2 xcosxdxu=cosx du=−senx dx

dv=e2 xdx v= e2x

2

¿ 12e2xcos ( x )+ 1

2∫ e2x sen (x )dx

u=senx du=cosxdx

dv=e2 x v= e2 x

2

¿ 14e2x sen ( x )+1

2e2xcos (x )−1

4∫ e2 xdx

¿ 14e2x sen ( x )+1

2e2xcos (x )+C

¿ 45 ( 14 e2x sen (x )+ 1

2e2x cos ( x ))+C

¿ 15e2x ( sen ( x )+2cos ( x ) )+C

17) ∫ 12x2+36

5√3 x+2dx

¿∫( 12 x2

5√3 x+2+ 365√3 x+2 )dx

¿12∫ x25√3 x+2

dx+36∫ 15√3 x+2

dx

En:

12∫ x25√3 x+2

dx

Sustituimos: u=3x+2

d u=3dx

Luego tenemos:

¿4∫ (u−2)2

95√udu+36∫ 1

5√3 x+2dx

¿4∫ u95

9−4u

45

9+4

9 5√udu+36∫ 1

5√3 x+2dx

¿ 49∫ u9 /5du−16

9∫ u

45 du+ 16

9∫ 1

5√udu+36∫ 1

5√3 x+2dx

¿20u

45

9−80u

95

81+10u

145

63+36∫ 1

5√3 x+2dx

En:

36∫ 15√3 x+2

dx

Sustituimos: s=3x+2

d s=3dx

Luego tenemos:

¿20u

45

9−80u

95

81+10u

145

63+12∫ 1

5√sdx

¿20u

45

9−80u

95

81+10u

145

63+15 s

45+c

Sustituyendo para s=3x+2:

¿20u

45

9−80u

95

81+10u

145

63+15 (3 x+2 )

45+c

Sustituyendo para u=3x+2:

¿1063

(3x+2)145 −8081

(3 x+2 )95+1559

(3x+2 )45+c

Finalmente tenemos:

¿ 5567

(3x+2)45 (162 x2−120x+1801 )+c

18) ∫ x2 e3 xdx

¿∫e3x x2dx

u=x2du=2xdx

dv=e3 xdx v= e3 x

3

¿ 13e3x x2∫ e3x xdx

u=xdu=dx

dv=e3 x v= e3 x

3

¿−29e3x x+ 1

3e3 x x2+ 2

9∫ e3 xdx

¿ 13e3x x2−2

9e3x x2+ 2e

3x

27+C

19) ∫(lnx)2dx

u=ln2 xdu=2 lnxxdx

dv=dx v=x

¿ x ln2 ( x )−2∫ ln ( x )dx

u=ln ( x )du=dx

dv=dx v=x

¿−2xln ( x )+x ln2 ( x )+2∫1dx

¿2 x+x ln2 ( x )−2 x (ln ) ( x )+C

¿ x ( ln2 ( x )−2 ln ( x )+2 )+C

20) ∫ tan2 (2x )dx

u=2x du=2dx

¿ 12∫ tan

2 (u )du

¿ 12∫ (sec2 (u )−1 )du

¿ 12∫ sec

2 (u )du−12∫1du

¿tan (u)2

−u2+C

¿ 12

( tan (2 x )−2 x )+C

21) ∫√x+1dx

u=x+1du=dx

¿∫ (u−1 )√udu

¿∫ (u3 /2−√u )du

¿∫u3 /2du−∫ √udu

¿ 2u5 /2

5−2u

3/2

3+C

¿ 25¿

¿ 215

¿

22) ∫ xcos (2x )dx

u=xdu=dx

dv=cos (2 x )dx v=12sen (2x )

¿ 12xsen (2 x )−1

2∫ sen (2 x )dx

u=2x du=2dx

¿ 12xsen (2 x )−1

4∫ sen (u )du

¿ 14cos (2 x )+ xsen ( x )cos (x )+C

¿ 14

(2 xsen (2x )+cos (2x ) )+C

23) ∫ 4

√exdx

¿∫4 e−x /2dx

¿4∫ e−x /2dx

u=−x2du=−1

2dx

¿−8∫ eudu

¿−8eu+C

¿−8e−x /2+C

24) ∫ arctg ( x )dx

u=arctg ( x )du= 1

x2+1dx

dv=dx v=x

¿ xarctg ( x )−∫ x

x2+1dx

u=x2+1du=2xdx

¿ xarctg ( x )−12∫

1udu

¿ xarctg ( x )− ln (u )2

+C

¿ xarctg ( x )−12ln (x2+1 )+C

25) ∫ (x2+2 x+3 )cos2 xdx

¿∫¿¿

¿∫ x2cos (2x )dx+2∫ xcos (2x )dx+3∫ cos (2 x )dx

u=x2du=2xdx

dv=cos (2 x )dx v=12sen (2x )

¿ 12xcos (2 x )+ 5 sen(u)

4+ xsen (2x )+ 1

2x2 sen (2 x )−∫ sen 2xdx

¿ 12xcos (2 x )+ 5 sen(u)

4+ xsen (2x )+ 1

2x2 sen (2 x )−1

2∫ sen ( s )ds

¿cos (s)2

+5 sen (u)4

+ 12x2 sen (2x )+ 1

2xcos (2 x )+c

¿5 sen (u)4

+x2 sen ( x )cos ( x )+xsen (2x )+ 12xcos (2 x )+ 1

2cos (2 x )+c

¿ x2 sen ( x )cos ( x )+xsen (2x )+ 54sen (2x )+ 1

2xcos (2 x )+c

¿ 14

¿

26) ∫2x senxdx

u=2x du=2x ln (2 )dx

¿∫sen ( ln (u)ln (2))ln (2)

du

¿ 1ln (2)∫ sen( ln (u)ln (2))dus=ln (u )ds= 1

ln (2)∫es sen ( s

ln (2))ds

¿

es(sen( sln (2) )−

cos( sln (2))ln (2) )

(1+ 1

ln2 ) ln (2)+C

¿u¿¿

¿2x ( ln (2 ) sen ( x )−cos ( x ))

1+ln2(2)+C

27) ∫ ln (x)xdx

¿ 12∫ ln (x )

xdx

u=ln ( x )du=1xdx

¿ 12∫ udu

¿ u2

4+C

¿ln2(x )4

+C

28) ∫ √x1+x √x

dx

¿∫ 1x+1dx

u=x+1du=dx

¿∫ 1u du

¿ ln (u )+C

¿ ln ( x+1 )+C

29) ∫ senx . cosxdxu=cosx du=−senxdx

¿−∫ udu

¿−u2

2+C

¿−12cos2 ( x )+C

30) ∫ x 3√x−2dx

¿∫ 3√ x−2xdx

u=x−2du=dx

¿∫ 3√u (u+2 )du

¿∫ (u4 /3+2 3√u )du

¿∫u4 /3du+2∫ 3√udu

¿ 3u7/3

7+ 3u

4 /3

2+C

¿ 37(x−2)7 /3+ 3

2¿

¿ 314

( x−2 )4 /3 (2x+3 )+C

31) ∫ xsenx cosx dx

¿ 12∫ xsen (2 x )dx

u=xdu=dx

dv=sen (2 x )dx v=−12cos (2 x )

¿−14xcos (2 x )+ 1

4∫cos (2x )dx

¿sen (u)8

− 14xcos (2x )+C

¿ 18

( sen (2 x )−2xcos (2x ) )+C

32) ∫(x2+3x−1)e2 xdx

¿∫e2x ( x2+3 x−1 )dx

¿∫(e2 x x2+3¿e2x x−e2 x)dx¿

¿∫e2x x2dx+3∫ e2 x x−∫e2x dx

u=x2du=2xdx

dv=e2 xdx v= e2x

2

¿ 12e2x x2+e2x x−e2 x+C

¿e2x ( x22 +x−1)+C

33) ∫ ex

√ex+1dx

u=ex du=e xdx

¿∫ 1

√udu

¿2√u+c

¿2√ex+1+C

34) ∫√3 x+4 dx

u=3x+4du=3dx

¿∫√u

¿ 2u3 /2

9+C

¿ 29(3 x+4)3 /2+C

35) ∫(x2−4 x+4)4 /3dx

¿∫¿¿

u=x−2du=dx

¿∫(u¿¿2)4/3du¿

¿∫u8 /3du

¿ 3u11/3

11+C

¿ 311

(x−2)11/3+C

¿ 311

( x−2 ) ¿

II) Problemas de Aplicación

A) t=días A=cm2

A´ (t )=−43 .4 t−2 ,1≤ t ≤7

a¿∫ A ´ ( t )dt=∫−43.4 t−2dt

A ( t )=−43.4∫ t−2dtA ( t )=−43.4 t

−1

−1+c

A ( t )=43.47

+c

Pero A (1 )=39.7

→A (1 )=43.41

+C

39.7=43.4+c−3.7=c

Luego:

A ( t )=43.47

−3.7

b) A (7 )=43.47

−3.7

A (t )=2.5cm2

B) P´ (t )=4+5 t2 /3 , t=mesesLa población actual es de 10,000

P (o )=10000

∫P ´ (t )dt=∫(4+¿¿5 t 2/3)dt ¿¿

P (t )=47+5( 35 t 5/3)+CP (t )=47+35t 5 /3+c

Pero P(o)=10000 C=10 000Luego:

P (t )=47+35t 5 /3+10000P (8 )=4 (8 )+3 (8 )5/3+10000

¿10128 personas .Respuesta: La población dentro de 8 meses será 10 128 personas.

C) P´ (t )=0.51e−0.03 t

t=años P0=500

Luego:

∫P ´ (t )dt=∫ 0.51e−0.03 t dt

P ( t )= 0.51−0.03∫(−0.03)−0.03 edt

P (t )=−17e−0.03 t+C

Pero P0=500

¿−17e−0.03(o )+C=500

¿−17+C=500c=517

∴P (t )=¿−17e−0.03 t+517P(10)=−17 e−0.03(11)+517

P (10 )=504.4

Respuesta: La población dentro de 10 años será 504.

D) P ´ (t )=5¿

∫P ´ (t )dt=∫5 (t+2 t2 )dt

P ( t )=5[ t 22 + 23t 3]+C

P ( t )=52t2+ 10

3t 3+C

Pero: P (0 )=3000c=3000

Luego:

P ( t )=52t2+ 10

3t 3+3000( función población)

Para 10 días (t=10)

P (10 )=52(10¿¿2)+ 10

3(10¿¿3)+3000¿¿

P (10 )=6583.3

Respuesta: la población total de insectos a 10 días será 6583.

E) A (t )= 1

(t+1)2m

s2v (0 )=1m

s;D (o )=0m

A (t )=V ´ (t)

∫V ´ ( t )= −1(t+1)2

∫V ´ (t )dt=∫ (−1 )¿¿¿

v (t )= 1t+1

+c

Pero v(o)=1

1+c=1→c=0

Luego:

v (t )= 1t+1

Recordar: v (t )= ddt

(0 ( t ) )=D´ ( t )

D´ (t )= 1t+1

∫D´ ( t )dt=∫ 1t+1dt

D (t )=ln ( t+1 )+C

Pero: D(o)=0

ln (1 )+C=0

C=0

Luego:

0 (t )=ln ( t+1 )

Para (t=4)

D (4 )=ln5

¿1.609m

Respuesta: La distancia recorrida en 4 segundos es 1.109m.