Laboratorio di Matematica con SageMathUNIVERSITÀ TELEMATICA INTERNAZIONALE UNINETTUNO 3 Introduzione •Scopo della tesi: –presentare SageMath, un programma software CAS ... Laboratorio

UNIVERSITÀ TELEMATICA INTERNAZIONALE UNINETTUNOUNIVERSITÀ TELEMATICA INTERNAZIONALE UNINETTUNO

Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea triennale in Ingegneria Informatica

Tesi di Laurea in Calcolo e Algebra Lineare

Laboratorio di Matematica con SageMath

Relatore: Prof. Domenico Finco Laureando: Agatino Grillo

Anno Accademico: 2018/19

Roma, 20/11/2019

UNIVERSITÀ TELEMATICA INTERNAZIONALE UNINETTUNO

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Indice

• Introduzione

• Cos’è SageMath?

• Laboratorio SageMath

– Calcolo

– Algebra Lineare

– Metodi matematici

• ConclusioniSpirale di Archimede

https://bit.ly/2X7gFEX


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Introduzione

• Scopo della tesi:

– presentare SageMath , un programma software CAS (Computer Algebra System), capace di rappresentare e risolvere espressioni matematiche in forma simbolica e numerica

– usare SageMath per esercitazioni di:

• Calcolo

• Algebra Lineare

• Metodi Matematici

http://www.sagemath.org/

Laboratorio di

Matematica

http://www.sagemath.org/


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• Caratteristiche di SageMath:– gratuito ed open source

– facile da usare• https://sagecell.sagemath.org/

– creato e gestito in primis da docenti e ricercatori universitari• SageDays https://wiki.sagemath.org/Workshops

– interfaccia unica che integra anche altri programmi e pacchetti open source e commerciali

• R,

• Maxima,

• Scypy,

• Numpy,

• Mathematica

• …

Cos’è SageMath?

https://sagecell.sagemath.org/

https://wiki.sagemath.org/Workshops


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var('t')

x(a,t) = 2*a*(1+cos(t))*cos(t)

y(a,t) = 2*a*(1+cos(t))*sin(t)

cardioides = parametric_plot((x(0.5,t), y(0.5,t)),

(t,0,2*pi), color='#8A4B08', legend_label='a=1/2')

cardioides += parametric_plot((x(1,t), y(1,t)),

(t,0,2*pi), color='#B45F04', legend_label='a=1')


(t,0,2*pi), color='#FF8000', legend_label='a=2')


(t,0,2*pi), color='#FE9A2E', legend_label='a=4')

cardioides.set_legend_options(loc=(1,0.8))

show(cardioides, aspect_ratio=1)

Type some Sage code below and press Evaluate.

Cos’è SageMathFacile da

usare


Equazioni parametriche


https://bit.ly/2K79K9r


6

Cos’è SageMath

@interact

def tangent_line(f =

input_box(default=sin(x

)), xbegin =

slider(0,10,1/10,0),

xend =

slider(0,10,1/10,10),

x0 = slider(0, 1,

1/100, 1/2)):

(…)

prange[1])[0]

show(fplot +

tanplot, xmin =

prange[0], xmax =

prange[1], ymax = fmax,

ymin = fmin)

Interattivo

https://bit.ly/2KaA56O /

https://bit.ly/2KaA56O



7

print ("l'integrale della

funzione"), sin(log(x)), (" è: ")

show ((sin(log(x))).integral(x))

Cos’è SageMath?

l'integrale della funzione sin(log(x)) è:

f = sin(log(x))

f.integral(x,0,pi)

table([

["il risultato di", r'$\int_{0}^{\pi}

sin(x)$', "è", f.integral(x,0,pi)],])

Tipografico

Latexcompatibile

https://bit.ly/2Q66b7k

https://bit.ly/36UFHfg

https://bit.ly/2Q66b7k

https://bit.ly/36UFHfg


8

Cos’è SageMath?

8

• algebra, analisi matematica, analisi numerica, calcolo combinatorio, geometria, teoria dei numeri

Teoria dei grafi

Calcolo vettoriale matrici

traiettorie

Analisi

Aree di specializza

zione


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• Esempio tratto dalla classe interattiva di “Calcolo e Algebra Lineare” del 13 novembre 2018

Laboratorio di matematica

show(limit (f, x=1, dir='+'))

Testo esercitazione

Si studi la funzione

tracciandone il grafico

Calcolo


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• Studio di una funzione – approccio metodologico

• Campo di esistenza• Intersezione con gli assi• Studio del segno• Limiti ai bordi del campo di esistenza• Derivata prima• Derivata seconda• Grafico della funzione

Laboratorio di matematicaCalcolo


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Testoesercitazione

Imponiamo che il denominatore siadiverso da zero:

CodiceSageMath

solve((abs(3*x-2)-1)== 0, x, to_poly_solve=True)

Risultato [x == (1/3), x == 1]

• Campo di esistenza: si tratta di una funzione fratta per cui il denominatore non può assumere valore zero

1

2


12


Testoesercitazione

Si deve risolvere:

CodiceSageMath

f=arctan(1)show(f)

Risultato

• Intersezione con gli assi

4,0

41

1arctan

1|2|

0|1|arctan

1|203|

0|102|arctan

1

2


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Testoesercitazione

Si deve risolvere:

CodiceSageMath

eq1= (abs(2*x+1)-x) >= 0eq2= x >= -1/2show(solve([eq1,eq2],x))

Risultato

• Studio del segno

01|23|

|12|

x

xx


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• Limiti ai bordi del campo di esistenza

Limite per x che tende a 1 di f(x) da destra

f=arctan((abs(2*x+1)-x)/ (abs(3*x-2)-1))show(limit (f, x=1, dir='+'))

Testo Codice SageMath Risultato

Limite per x che tende a 1 di f(x) da sinistra

f=arctan((abs(2*x+1)-x)/ (abs(3*x-2)-1))show(limit (f, x=1, dir=‘-'))


Limite per x che tende a 1/3 di f(x) da destra

f=arctan((abs(2*x+1)-x)/ (abs(3*x-2)-1))show(limit (f, x=1/3, dir='+'))

Limite per x che tende a ∞ di f(x) da destra

f=arctan((abs(2*x+1)-x)/ (abs(3*x-2)-1))show(limit (f, x=+oo))


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• Limiti ai bordi del campo di esistenza:

Limite per x che tende a ∞ di f(x) da sinistra

f=arctan((abs(2*x+1)-x)/ (abs(3*x-2)-1))show(limit (f, x=-oo))


abbiamo 2 asintoti orizzontali e nessun asintoto verticale


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• Derivata prima

Testoesercitazione

Per calcolare la derivata primaapriamo il modulo

f1=arctan((x+1)/(3*x-3))show(simplify((derivative (f1))))

Codice SageMath Risultato


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• Derivata prima

f3=arctan((3*x+1)/(-3*x+1))show(simplify((derivative (f3))))


f2=arctan((x+1)/(-3*x+1))show(simplify((derivative (f2))))


Nella 1° regione la funzione è sempre decrescente, nella 2° regione è sempre crescente, nella 3° sempre decrescente.

1

In x=2/3 e x=1/2 ci sono dei “punti angolosi” cioè la derivata prima ha limiti finiti a destra e sinistra ma diversi tra loro

2


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• Derivata seconda

f1=arctan((x+1)/(3*x-3))fp=derivative (f1,x)fpp=derivative (fp,x)show(fpp)


f2=arctan((x+1)/(-3*x+1))fp=derivative (f2,x)fpp=derivative (fp,x)show(fpp)

f3=arctan((3*x+1)/(-3*x+1))fp=derivative (f3,x)fpp=derivative (fp,x)show(fpp)


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• Derivata seconda

Fatte le opportune semplificazioni otteniamo:

La derivata seconda è positiva quindi la funzione è convessa per x> 2 e per x compreso tra -1/2 e 0 e ci sono dei flessi per x=-1/2 e x=2/3


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• Grafico della funzione

pt1 = point((1/3, 0), rgbcolor='red', pointsize=50, faceted=True)tex1=text("(1/3, 0)", (1/3, 0.1))

(…)

g.show(xmin=-2, xmax=2, ymin=-1.5, ymax=1.5)


https://bit.ly/2q2Mbb3

https://bit.ly/2q2Mbb3


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Laboratorio di matematicaAlgebraLineare

• Fonte: “aula virtuale n. 50.4 Diagonalizzazione di Matrici”


Data la matrice

Se ne discuta la diagonalizzabilità e se ne determino autovalori e autovettori

A=matrix(2,2,[3,4,4,3])show(A)



x^2 - 6*x – 7

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Costruisco la matrice

Calcolo il determinante della nuova matrice

cioè il polinomio caratteristico è

Le radici del polinomio caratteristico sono:

A=matrix(2,2,[3,4,4,3])

A.characteristic_polynomial()


x^2 - 6*x – 7

e

A.eigenvalues() x^2 - 6*x – 7[7, -1]


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e

x^2 - 6*x – 7## In SageMath posso calcolare ## immediatamente gli autovettori## (eigenvectors in inglese)

show(A.eigenvectors_right())


che indica che in corrispondenza dell’autovalore 7 abbiamo l’autovettore (1,1) di molteplicità 1 e che in corrispondenza dell’autovalore -1 abbiamo l’autovettore (1,-1) di molteplicità 1

1

Quindi abbiamo una base di auto vettori e la matrice è diagonalizzabile e con questa base la matrice diventa 2


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Laboratorio di matematicaMetodi

Matematici

• Fonte: aula virtuale di “Metodi matematici” di gennaio 2017


Data la funzione

Valutare massimi e minimi assoluti e relativi all’interno di un dominio scelto ecioè il dominio A formato da

mentre la è definita su tutto

Testo esercitazione

𝑓 𝑥, 𝑦


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• Massimi e minimi di 2 variabili – approccio metodologico

• Calcolo del gradiente• Calcolo dei punti stazionari• Calcolo della matrice Hessiana • Studio del segno delle matrici Hf

Laboratorio di matematicaMetodi

Matematici


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1. Calcolo del gradiente

Calcoliamo il gradiente della funzione cioè le 2 derivate parziali prime rispetto a x

e y che poi poniamo uguale a 0 per calcolare le soluzioni del sistema.

SageMath permette di calcolare direttamente il gradiente di una funzione di 2 variabilicon il comando gradient

var('y')f(x,y)=x^2+y^2-(x+y)show(f.gradient());


Metodi Matematici


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2. Calcolo dei punti stazionari

Calcoliamo i punti che annullano il gradiente per ottenere i punti stazionari imponendo lacondizione:

var ('x','y')eq1= 2*x - 1eq2= 2*y -1show(solve([eq1,eq2],x,y))


che equivale a risolvere il sistema di 2 equazioni in 2 incognite

Il risultato è che il punto in cui il gradiente si annulla è

Metodi Matematici


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Laboratorio di matematica3. Calcolo della matrice Hessiana

Calcoliamo la matrice Hessiana di f Hf definita come la matrice delle derivate parziali secondedi f

var('y')f(x,y)=x^2+y^2-(x+y)show(f.hessian())


Il risultato è che il punto in cui il gradiente si annulla è

Metodi Matematici

dove indica la derivata parziale rispetto a ydella derivata parziale rispetto a x


4

29

Laboratorio di matematica4. Studio del segno delle matrici Hf

Calcoliamo il determinante della matrice Hessiana e il segno della stessa matrice

var('y')#f(x,y)=3*sin(x)-2*cos(y)-x*yf(x,y)=x^2+y^2-(x+y)#show(f.gradient()); show(det(f.hessian()))#f.diff(x,y)


Calcolo il determinante hessiano nel punto (1/2, 1/2)

Metodi Matematici

f(x,y)=x^2+y^2-(x+y)H = f.hessian()H(x,y)det(H)




Il determinate è positivo e il 1° elemento a sinistra della matrice è anch’esso positivo

quindi (1/2,1/2) è un punto di minimo relativo.

Nel dominio dato la funzione è sempre differenziabile. Il contorno si può

rappresentare con i seguenti segmenti

Metodi Matematici

Su ogni segmento studiamo il comportamento dei massimi e dei minimi. Ad esempio per il segmento S1 si procede come segue. Se “fisso” la x e studio la y, la funzione da studiare è


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Laboratorio di matematicaOttengo minimo in y=1/2 e massimo in y=-1

plot(x^2-x)


Metodi Matematici

I valori che assume questa funzione sono:minimo m1=-1/4massimo M1=2

Procedo analogamente per gli altri segmenti


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var('x','y')f(x,y)=x^2+y^2-(x+y)plot3d(f(x,y),(x,-1,1),(y,-1,1))


Metodi Matematici

Il minimo assoluto sul contorno è assunto su (1,1/2),(1/2,1) e vale: -1/2

Disegno il grafico della funzione:

https://bit.ly/2Q62oaf

https://bit.ly/2Q62oaf


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Conclusioni

• Perché un laboratorio di matematica?

• Perché SageMath?


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Conclusioni

• Perché un laboratorio di matematica?

• facilita il “learning by doing”

• “manipolare” limiti, integrali e derivate rafforza l’efficacia dell’insegnamento

• evita lo studio puramente mnemonico

• limita il rischio che lo studente si trasformi in un semplice “risolutore meccanico di problemi”.


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Conclusioni


• gratuito, integrazione di terze parti, diffusione, completezza, gratuità, supporto accademico

• mette inoltre un ambiente di ricerca virtuale -basato anche su prodotti terzi open source e commerciali - che permette di gestire in maniera integrata l’intero ciclo di vita di un progetto di ricerca di matematica


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Conclusioni


• CoCal è la versione cloud di SageMath con funzionalità aggiuntive

• la versione “base” di CoCalc è gratuita ma è possibile avere una serie di servizi aggiuntivi –principalmente in termini di affidabilità e velocità del servizio – pagando un canone

https://cocalc.com/

https://cocalc.com/


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Conclusioni


• CoCalc può essere usato dai docenti per erogare corsi online e verificare come gli studenti rispondono alle esercitazioni e prove previste

• il principale vantaggio rispetto a SageMathCell è la possibilità di condividere in tempo reale il codice e la documentazione con altri utilizzatori nonché la gestione tecnica centralizzata dell’intero ambiente tecnologico in maniera trasparente


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Corsi online basati su SageMath/CoCalc

• Math 241 - Calculus 1 Lab

• Math 242 - Calculus 2 Lab

• Introduction to Data Science, 2019 - A Computational, Mathematical and Statistical Approach

• Math 157 - Intro to Mathematical Software

• GCB 535 - Introduction to Bioinformatics

http://www2.hawaii.edu/~tresham/math241lab.html

http://www2.hawaii.edu/~tresham/math242lab.html

https://lamastex.github.io/scalable-data-science/in/2019/

http://www.math.ucsd.edu/~pwear/Math_157

https://github.com/greenelab/GCB535

Documents

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