L’abaco, l’euro e i numeri decimali

Bianca Betti

1- Introduzione

Nella tradizione scolastica italiana ed anche nell’esperienza dell’autrice, l’introduzione dei numeri decimali è proposta generalmente nel corso del terzo anno della scuola elementare. Per introdurre i numeri decimali, si è soliti lavorare all’interno di un contesto intramatematico, estendendo “semplicemente” il concetto di notazione posizionale e mostrando, come in certe situazioni, vedi ad esempio la misura o la ricerca del quoziente nella divisione, i numeri naturali non bastino.La conoscenza del concetto di numero naturale, la sua struttura e scrittura sono i prerequisiti necessari per l’estensione dall’insieme dei naturali all’insieme dei razionali. Tutto comunque rimane all’interno di un contesto strettamente matematico. Nella nostra situazione fin dalla classe prima si è cercato di lavorare anche in contesti extramatematici, soprattutto legati ad esperienze di vita quotidiana, per introdurre i diversi concetti matematici. La scelta di un filone economico legato al campo di esperienza delle monete (Boero, 1996), come ambiente in cui svolgere attività realistiche, consente di superare il ricorso a “realtà” strutturate appositamente, poiché presenta molteplici valenze didattiche e educative, che vanno oltre quella strettamente scolastica e favoriscono una delle funzioni della matematica, individuata anche nei Curriculi 2001, quale strumento per interpretare la realtà. In questo campo di esperienza il bambino prende coscienza delle convenzioni che regolano il valore e l’uso di monete e si confronta con le agevolazioni e gli ostacoli dell’esperienza quotidiana. L’entrata in vigore dell’Euro è stata interpretata come un’occasione privilegiata e motivante per la presentazione dei numeri decimali e ha permesso agli allievi di “denominare” con una certa facilità i sottomultipli dell’unità prima ancora di analizzarne e conoscerne la struttura aritmetica. Fin dall’inizio del percorso scolastico, la scelta dell’abaco, quale strumento di rappresentazione dei numeri naturali, si è mostrata funzionale alla costruzione del concetto di numero e di notazione posizionale decimale. La pianificazione dell’esperimento didattico è stata costruita sull’ipotesi che gli allievi, sollecitati dalla scelta dello specifico campo di esperienza, fossero in grado di formulare interpretazioni dello strumento adatte ad esplorarne nuove potenzialità: la rappresentazione dei numeri decimali.

2- Contesto La classe, una terza a tempo pieno, di livello medio, è composta di 21 bambini di cui 20 frequentanti. L’area matematica è seguita fin dalla prima elementare dalla stessa insegnante, Bianca Betti. All’inizio della classe terza sono stati inseriti 3 alunni stranieri (una bambina pakistana, un bambino tailandese ed un bambino colombiano). Tra i bambini del gruppo classe 7 sono seguiti dagli operatori dell’AUSL: 5 per difficoltà legate alla letto /scrittura: dislessia (Stella, 1987;1994), 2 per gravi problemi comportamentali / relazionali. A partire dalla classe seconda è stato utilizzato l’abaco. Si è operato nel corso dei due anni nel campo di esperienze delle monete, in situazioni di compravendita simulate o reali per favorire l’approccio al numero naturale e alle operazioni. 3. Il Percorso 3.1 Classe seconda In classe seconda elementare i bambini hanno operato con l’abaco per :

• individuare ed esplorare le funzioni e le regole d’uso dello strumento; • costruire l’abaco grafico per la registrazione dei numeri che rispetti le

regole d’uso; • esercitarsi, sia individualmente che collettivamente, nella registrazione e

lettura di numeri sull’abaco fisico e su quello grafico; • studiarne il ruolo nella costruzione di valore posizionale (Betti e Canalini,

2001); (vedi allegato 1) • eseguire operazioni

3.2 Classe terza In classe terza fino a gennaio i bambini hanno operato solamente con i numeri naturali anche se nella classe è presente un gran fermento per l’introduzione della nuova moneta (Euro) e i bambini già parlano di unità e di centesimi di euro. Nei mesi precedenti gennaio l’abaco non è stato utilizzato. Da gennaio sono state presentate le seguenti attività:

a. Presentazione della moneta da 1€ come unità del sistema monetario ed esercizi di composizione di prezzi unitari.

b. Problema individuale: Come si scrivono quindici euro, prova a capirlo usando l’abaco. Spiega il tuo ragionamento. Dall’analisi dei protocolli si evidenziano diversi modi di rappresentazione. (Vedi allegato 2)

c. Discussione collettiva. Confronto di strategie di rappresentazione. (Vedi allegato 3)

d. Esercizi collettivi ed individuali di rappresentazione di diversi costi / prezzi (solo con numeri interi) sull’abaco con monete e/o banconote di vario taglio

e. Problema individuale per l’introduzione dei numeri decimali.

4. Il problema (3.2.e) 4.1 La consegna. Per la visita al canile, come tu ben sai, abbiamo pensato di lasciare un’offerta ai volontari che si prendono cura di questi animali . Ognuno di noi ha portato dei suoi risparmi ed insieme abbiamo raccolto 39,45 euro. Come rappresenteresti questa cifra sull’abaco? Puoi aiutarti con parole, esempi e naturalmente con il disegno. 4.2 Le intenzioni dell’insegnante

• Vedere come un campo di esperienza extrascolastica interagisca con una conoscenza scolastica .

• Vedere se l’abaco è stato internalizzato come strumento di mediazione semiotica (Rabardel, 1995) per la notazione posizionale in base dieci.

• Vedere se gli allievi utilizzano significativamente i sottomultipli dell’euro, inserendoli in un contesto di “nuovi” numeri

• Vedere in quale modo gli allievi esplicitano e rappresentano l’estensione dell’abaco ai sottomultipli dell’euro

4.3 Dati Generali I protocolli degli allievi sono stati analizzati secondo le intenzioni dell’insegnante (vedi § 4.2) L’abaco è internalizzato come strumento di mediazione semiotica per la notazione posizionale in base dieci dei numeri naturali da tutti gli allievi. 18 allievi su 20 utilizzano, per la rappresentazione del numero dato, due strumenti distinti, che individuano come abaco delle unità e/o dell’euro ed abaco dei centesimi. Esplicitano chiaramente la necessità ed il bisogno di espandere l’abaco per poter “sistemare”, “mettere in ordine” la parte decimale della cifra da collocare sullo strumento 2 allievi su 20 disegnano un unico abaco, comprensivo delle aste di decimi e centesimi, effettuando graficamente e/o esplicitando linguisticamente l’opportuna equivalenza necessaria ad argomentare il loro ragionamento. Da una lettura attenta dei protocolli si nota come alcuni alunni non usano correttamente l’abaco come strumento di rappresentazione dei numeri perché in essi è forte il discorso del cambio legato alle monete. Disegnano e sistemano sull’abaco

monete con valore diverso dalla base decimale. Per essi è il valore delle monete stesse che consente di effettuare il cambio, lo strumento abaco appare quasi solo come optional indotto dall’insegnante. Nei mesi successivi la classe, avendo adottato un cane, ha più volte raccolto fondi per il suo sostentamento presso il canile, e sempre, quasi per gioco, c’è stato qualche bambino che ha disegnato sulla lavagna l’abaco rappresentando correttamente la cifra raccolta, come a mostrare all’insegnante la traccia di un ricordo significativo per l’acquisizione di un sapere. 4.4 Analisi di protocolli 4.4.1 Virginia

Questi abaci il 1 è abaco delle monete il 2 è abaco dei centesimi. L’abaco 1 è più grande del 2 perché il 1 è più grande dello 0 e invece il 2 e più piccolo dello 0.

L’abaco come strumento per rappresentare numeri naturali è internalizzato: scrittura corretta di due numeri: 39 e 45. L’abaco viene esteso, raddoppiato, poiché per Virginia due sono i numeri da rappresentare. E’ evidente la conoscenza che l’allieva ha del valore delle monete, dove i centesimi sono “più piccoli” delle unità di euro. Questa conoscenza la induce a cercare un segno che separi i due numeri in modo netto ed inequivocabile e lo trova nello zero. Sarebbe interessante capire come mai l’allieva trova in questo numero lo spartiacque invisibile, che fa da frontiera tra i due abaci, tra i valori diversi dei due numeri. Si potrebbe ipotizzare una sistemazione errata sulla retta numerica dei due insiemi, dove secondo la bambina i decimali troverebbero posto prima dello zero assieme agli interi negativi, ma non vi sono elementi che ci aiutino a confermare ciò. Anche nel successivo disegno lo zero “umanizzato” impedisce l’entrata dei centesimi nell’abaco delle unità: tutto il pensiero di Virginia si basa sul significato “valore” del numero e non sembra trasferire le conoscenze del contesto extramatematico (valore “d’acquisto” dell’euro), al contesto intramatematico. La rappresentazione dei due abaci fa riferimento a quella che è stata la sua pratica scolastica, quindi compaiono quattro asticelle (unità, decine, centinaia e migliaia), palline di due diversi colori per unità e decine nelle quali lei sistema “correttamente” al loro posto i due numeri, senza fare alcun riferimento alla notazione posizionale in base dieci.

4.4.2. Enrico

Ho rappresentato 39,45 € ma i centesimi sono più bassi di 1u quindi io gli ho fatti dopo le unità di € e ho formato 45 centesimi. Ho messo una virgola tra i cent di € perché sono più piccoli di 1 unità. Enrico trasferisce le conoscenze che ha dell’euro al campo numerico e si costruisce uno strumento funzionale: l’abaco delle monete. Le marche che usa non sono più semplicemente unità e decine, ma diventano unità di euro, decine di euro. L’inserimento della virgola, segno precedentemente di certo già visto permette di leggere nel suo protocollo questa commistione tra i due campi di esperienza e l’abaco ne diviene una sintesi. Il linguaggio utilizzato, non propriamente corretto, “essere più bassi” lo induce a mettere i centesimi prima delle unità in quanto per l’allievo “più bassi” significa forse venire prima, partendo da destra, in un immaginario ordinamento di altezze – valore dei numeri. Il bambino, con questo gioco di parole, è in grado di formulare un’interpretazione sullo strumento, di espandere lo stesso e di scoprirne nuove potenzialità per la rappresentazione dei numeri decimali.

4.4.3 Silvia

I cent sono più piccoli di 1 €. Sono più piccoli di 100 volte, io ne ho solo 45. Aggiungo due aste più piccole di unità a destra.

Ho fatto un abaco più grande. Silvia dimostra di padroneggiare bene le conoscenze che ha sul numero e sulle monete. Subito sente la necessità di disegnare due abaci per rappresentare distintamente due numeri: 39 e 45; quindi elabora il suo pensiero e trasferisce le

conoscenze che ha dell’euro al campo numerico. Interagisce con i numeri sui due abaci e contemporaneamente facendo riferimento alle sue conoscenze effettua un’equivalenza “…più piccoli di 100 volte”. Il concetto di valore posizionale che lei padroneggia la porta a non farsi condizionare dal primo disegno, dove si potrebbe pensare lei veda due numeri distinti, ed ad eseguire una esplorazione mentale “…aggiungere due aste più piccole”. Diviene così necessario trovare nuove posizioni dove mettere i numeri “più piccoli”, operazione che l’alunna esegue correttamente, forte anche della premessa da lei fatta sul valore dei centesimi.Il disegno di un abaco “più grande” diventa un potente supporto per esternare l’operazione mentale che l’ha portata, ragionando sul valore dei numeri, a individuare decimi e centesimi, o meglio, come si vede nella didascalia del disegno del suo abaco, decine di centesimi ed unità di centesimi. Lo strumento abaco ha permesso alla bambina di compiere un “dialogo” con numeri nuovi che di certo ha già incontrato, ma che in quest’occasione sono divenuti fonte di riflessione e nuova scoperto per quanto riguarda la notazione posizionale in base dieci. 4.4.4. Ettore

Io, per formare 39,45 € sull’abaco, ho usato 2 abaci: l’abaco dell’euro e l’abaco dei centesimi. Sull’abaco dell’euro ho rappresentato 3 monete da 10 € sull’asta delle decine, invece su quella delle unità ho rappresentato 9 monete da 1€.

Sull’abaco dei centesimi ho rappresentato 4 monete da 10 centesimi sull’asta delle decine e sull’asta delle unità ho rappresentato 1 moneta da 5 centesimi e così ho rappresentato 39,45 € sull’abaco. Nell’abaco dei centesimi l’asta delle h e delle k non mi servono perché non posso avere1 000 k né 100 h,perché è come dire1€ o 10€ , quindi la situazione cambia

L’alunno sembra possedere un’ottima conoscenza del cambio, del valore delle monete, che evidenzia disegnando due abaci distinti, uno per gli euro ed uno per i centesimi di euro, utilizzandoli entrambi come strumenti di notazione posizionale in base dieci. Ettore per sostenere i suoi ragionamenti si appoggia fortemente allo strumento abaco grafico, per poi prenderne le distanze cercando e guadagnando la libertà di operare e fare esperimenti mentali. L’abaco diventa in questo modo uno strumento di rappresentazione del cambio-valore delle monete, perdendo così la sua specificità legata alla notazione posizionale in base dieci, come si può notare dal disegno dove utilizza una moneta da 5 centesimi al posto di cinque monete da 1 centesimo. Il campo di esperienza delle monete prevale su quello strettamente numerico; il significato “valore”del numero/moneta sovrasta quello di numero, senza però fargli perdere la conoscenza della regola del cambio in base dieci, infatti in una successiva manipolazione dello strumento grafico cancella le centinaia e le migliaia di centesimi poiché inutili in quanto corrispondono alle unità e alle decine di euro già rappresentate nell’abaco degli euro. Così facendo evidenzia norme che già conosce e padroneggia e le applica in modo produttivo e funzionale al compito. Nella sua soluzione permangono distinti i due abaci , ma quello che rappresenta i centesimi ha perso le due assicelle, che si sarebbero sovrapposte a quello già disegnato. La sua rappresentazione porta di fatto alla costruzione di un unico strumento, l’abaco delle monete, che ha ben incorporato la notazione posizionale in base dieci.

5. Discussione finale Dalla lettura ed analisi dei protocolli emerge che tutti gli allievi, ad eccezione di due bambine, hanno colto la provocazione dell’insegnante ad operare con un numero decimale mai incontrato prima nel contesto strettamente scolastico. La richiesta di utilizzare lo strumento abaco pone gli allievi davanti alla richiesta implicita di sistemare decimi e centesimi. Il lavoro con il nuovo sistema monetario consente di affrontare il significato matematico dei numeri minori dell’unità. Ciò rende evidente al bambino il fatto che l’unità può ancora essere suddivisa in elementi di valore inferiore e che, anche in questo caso, la denominazione linguistica appare un segno sul quale il bambino può innestare il processo di comprensione. Infatti la denominazione “centesimi” rimanda alla necessità di estendere il sistema dei numeri interi (e la rappresentazione sull’abaco) anche al di là dell’unità. La padronanza del significato valore consente al bambino di elaborare l’integrazione del nuovo significato nel sistema conosciuto, secondo regole di funzionamento già note. Infatti “naturalmente” la posizione dei centesimi deve essere collocata, secondo un criterio di valore, due posizioni a destra dell’unità: questo perché occorrono cento centesimi per formare un euro e la denominazione risulta necessaria per comprendere e rendere coerente il sistema dei numeri fin qui appreso. (Scali ,1996) Attraverso l’utilizzo dell’abaco è possibile riflettere sulle relazioni tra il numero impresso sulle monete ed il significato di tale numero rendendo il bambino più consapevole di ciò che già sa. Si può affermare che l’abaco assume più funzioni:

1. E’ l’ambiente di rappresentazione esterna che supporta i processi interni del bambino

2. Consente un’interazione stretta e marcata tra contesto intramatematico ed extramatematico

3. Rende chiaro il rapporto fra la denominazione linguistica e la scrittura del numero (4 centesimi occupano uno spazio diverso da 4 decimi)

4. L’ordine del valore sullo strumento interviene nella costruzione dell’ordine della posizione.

Il problema fortemente contestualizzato nel momento della ricerca di soluzioni perde la sua connotazione sociale e fortemente emotiva per divenire un problema matematico di rappresentazione di numeri decimali rappresentati da monete di diverso valore. Infatti nei diversi protocolli non vi è riferimento alla situazione iniziale, raccolta di fondi per il canile, ma permane forte il contesto monete quale rappresentazione esterna che supporta, elabora e “crea” nei bambini processi interni di pensiero.

L’abaco diviene una sintesi (protocollo Enrico) tra il campo di esperienza dell’euro e campo di esperienza numerico che permette di espandere e scoprire le nuove potenzialità dello strumento stesso per la rappresentazione dei numeri decimali. Il ragionare sul valore dei numeri, il costruire un abaco “più grande” (protocollo Silvia) è l’esternazione di un’operazione mentale che diviene struttura portante e solida base delle nuove conoscenze matematiche. Nei due i protocolli citati, seppur diversi tra loro, questo avvio ad esperimenti mentali trova la sua fonte primaria nel ruolo che lo strumento ha incorporato nel percorso scolastico per la rappresentazione dei numeri. La padronanza del significato del valore delle monete e del cambio (protocollo Ettore) porta a compiere esperimenti mentali liberi;, la cancellazione e l’eliminazione di zeri e assicelle conducono a vedere un abaco mentale celato dietro la scrittura del numero decimale. Al termine del percorso si può dire che l’introduzione dell’euro ha certamente favorito l’estensione del campo numerico dei naturali ai decimali e che l’abaco, trasformatosi in abaco delle monete, ha mantenuto il suo significato di strumento di rappresentazione dei numeri nella notazione posizionale in base dieci. Vi è stato quindi un intrecciarsi significativo dello strumento con il campo d’esperienza, quasi a ritornare all’uso antico dell’abaco, quale strumento per calcolare e rappresentare i numeri. Rimangono certamente problemi aperti quali ad esempio il passaggio dal valore delle monete al valore del numero, l’introduzione di altri sottomultipli quali ad esempio i millesimi, un’altra valutazione dei decimi, che come moneta non esistono. Certamente il percorso non si conclude con questa attività, il lavoro continuerà con l’analisi della struttura dei numeri decimali, con esercitazioni varie e con l’introduzione delle operazioni tra gli stessi cercando di tenere sempre vivo il rapporto dialettico tra i campi di esperienza.

Allegato 1: lavoro individuale (a.s.2000-2001)

Sulla mensola della nostra classe è appoggiato l’abaco. Oggi è entrata Tecla, una bimba di prima, ed ha chiesto: ”Che cos’è? A cosa serve?” Cosa risponderesti per

farle capire casa è a cosa serve? Puoi usare parole e disegni.

Analisi di protocolli: Silvia e la decina “incinta”. L’abaco è un oggetto che ti aiuta a contare. Così fai prima a fare il risultato

Le decine servono a formare un numero con anche le unità. In una decina sono nascoste 10 unità. E’ incinta. L’abaco ha dei fili con dentro le palline decine e le unità. Le decine sono rosse le unità sono blu.

“L’abaco è un oggetto” è un enunciato di carattere generale che Silvia ha potuto interiorizzare durante le frequenti discussioni collettive orchestrate dall'insegnante. L’abaco grafico di Silvia presenta due aste, quelle solo quelle necessarie a rappresentare i numeri che conosce. Silvia prende in considerazione esclusivamente quegli elementi dello strumento “aderenti” a ciò che sa (del resto, ciò che sa è strettamente connesso all’uso dello strumento stesso). Cita tre funzioni relative all’abaco: il contare, il fare il risultato e il rappresentare che, pur non essendo citato, è esemplificato con numeri “illustrati” attraverso abaci grafici. La sequenza contare, calcolare, rappresentare non sembra essere casuale: appartiene all’evoluzione culturale non soltanto di Silvia (Ferri, 2001). La metafora della decina incinta, questa sorta di unità “più potente”, capace di generarne altre nove è molto suggestiva. Testimonia quanto le metafore sono efficaci nel comunicare nuove idee e scoperte grazie anche alla loro capacità di correlarsi in modo creativo. La parola “nascosta” che, fin dalla classe prima evoca il valore della decina, sembra suggerire la rappresentazione grafica che, a sua volta, probabilmente, rimanda all’essere incinta.

Analisi di protocolli: Filippo, l'evocatore del gesto. L’abaco serve a contare più veloce è composto da una tavoletta e da 4 aste una delle unità un’altra delle decine e una delle centinaia e una delle migliaia. E ti faccio vedere il numero 23. Illustro. E si usa tirando le palline avanti. Non bisogna tirarne fuori più di 9 se no scatta la regola del cambio cioè devi tirare indietro tutte le unità e viene fuori una pallina rossa delle decine e nella pallina rossa ci sono nascoste 10 unità

Il protocollo di Filippo mostra chiaramente la capacità di descrivere lo strumento senza lasciarsi condizionare dagli aspetti estetici, la sua osservazione è guidata da ciò che conosce: l’abaco serve per contare. Nella gran parte dei protocolli i bambini ricorrono a verbi che costituiscono sinonimi di rappresentare (illustro, ti faccio vedere, disegno…). Prima ancora che ve ne sia consapevolezza, l’abaco grafico è per i bambini strumento di comunicazione della notazione posizionale. Quello di Filippo, inoltre, “fotografa” lo strumento, nel suo caso, l’abaco grafico mantiene tutti gli elementi costitutivi dell’abaco fisico ed entrambi sono dotati di una precisa regola di funzionamento: la regola del cambio alla quale ricorrere se si hanno più di 9 unità. La generalità di questa regola agisce solo all’interno del campo numerico che Filippo domina. Filippo immagina di agire con l’abaco, lo strumento è come se fosse fisicamente presente, infatti, disegna la mano che compie queste azioni: tira fuori e tira indietro. La regola del cambio agisce tanto nella mente quanto nel gesto che lui rappresenta con la mano e le frecce. La decina che “nasconde” 10 unità è metafora operante e “costruttrice” di significati anche per Filippo: essa appartiene alla storia culturale della classe

Allegato 2: lavoro individuale:

Come si scrivono quindici euro, prova a capirlo utilizzando l’abaco . Spiega il tuo ragionamento

Dall’analisi dei protocolli emerge che la totalità degli allievi ha internalizzato l’uso dello strumento abaco come rappresentazione del numero in base dieci, ed è in grado di collocare esattamente la cifra richiesta su di esso, senza fraintendimenti derivati dalla parola euro. Due dei tre bambini stranieri inseriti quest’anno rappresentano correttamente sull’abaco la cifra 15, solo uno dei due non è in grado di argomentare la sua rappresentazione ma ciò avviene per un problema linguistico e non matematico. Due bambine, dopo aver eseguito una rappresentazione corretta, sì “perdono” facendo confusione tra euro, centesimi, monete e scrittura decimale delle cifre. 12 allievi su 20 dopo aver rappresentato correttamente sull’abaco la cifra e giustificato il loro operato, si avventurano in esemplificazioni diverse per formare 15€ tralasciando ogni rappresentazione sull’abaco. Due bambini, parlano di abaco delle monete . A titolo di esempio riportiamo alcuni i protocolli Daniele Dopo aver rappresentato graficamente sull’abaco il numero 15 inizia la sua spiegazione con queste parole:

“…in questo caso lo chiamiamo abaco delle monete…”

Ettore Il bambino, già dalla rappresentazione grafica, utilizza il simbolo € ed afferma:

“Io ho rappresentato sull’abaco delle monete…”

Filippo

L’alunno immagina di agire con l’abaco come se fosse fisicamente presente. Suddivide la sua rappresentazione grafica in due parti che chiama “passaggi”, evidenzia il raggruppamento, la regola del cambio e le convenzioni costruite e condivise all’interno della classe. Sia graficamente sia linguisticamente ripercorre le attività svolte in classe seconda ed esternalizza quanto internalizzato (Betti Canalini 2001) Nicholas

Se un euro vale 1 unità. Quindici euro valgono 1 decina e 5 unità perché nell’abaco in una stanga ci stanno solo 10 euro. Allora 10 euro li ho trasformati in decine e 5 le ho lasciate nella stanga delle unità.

Il bambino pone pochissima cura nella rappresentazione grafica che relega ad un piccolo spazio del suo foglio. A livello linguistico ricostruisce il processo di raggruppamento e di cambio in modo preciso ed esauriente., contemporaneamente l’uso del “se” gli permette di costruire un enunciato di tipo relazionale, che lo avvicina molto ai ragionamenti del pensiero ipotetico - deduttivo. Allegato 3: Alcune riflessioni degli allievi Stralcio di discussione Budrione, 16 gennaio 2002 … DARIO: io ho messo nell’abaco 5u e 1da come facevo le altre volte SERENA: anch’io ho fatto il disegno di 1da e 5u poi ho spiegato come si scrivono…ecco così 15€ che però non puoi trovare interi INS: Serena cosa vuoi dire con non puoi trovare interi? SERENA: non esiste una sola moneta o foglio…banconota tutta intera con scritto sopra 15€, ma puoi farlo in tanti modi diversi 10+5 o 5+5+5………… GABRIELE: un euro è uguale a una unità e dieci euro è come voler dire una decina e io ho fatto così sull’abaco…ma se poi vado a pagare posso fare in tanti modi per arrivare a 15€ e… MARGHERITA: ho disegnato la mano di un bambino che ha 15€ per pagare una matita … LUCA:quindici euro è la metà di 35.000 £ e 35.000 £ è il doppio di quindici euro e io compero tante matite… e anche dei quaderni… GABRIELE: mi piace l’euro perché con un soldo comperi tanto è poco grosso … FEDERICO: io unisco insieme 10 e 5 e formo 15 € oppure si fa anche 1da e 5u e per me è lo stesso valore anche se con gli euro fai la spesa e con le palline fai i calcoli

DANIELE: l’abaco serve per contare e quando arrivi a nove e ne vuoi mettere un’altra, le metti tutte dietro e tiri avanti una decina. Se metto sull’abaco 15 €, metto 1da di euro e 5u di euro e in questo caso lo chiamiamo abaco per le monete ETTORE: anch’io ho rappresentato tutto sull’abaco delle monete ANNA: 1 euro è come dire 1u e lo metto sull’abaco…abaco come…? VOCI: abaco delle monete! … 6. Bibliografia Bartolini Bussi M.G., (2002) Strumenti reali ed esperimenti mentali nella didattica, in D’Amore B. (ed), Didattica della Matematica e Rinnovamento curricolare, 17-26, Bologna: Pitagora ed. Bartolini Bussi M. G., Boni M., Ferri F. Interazione sociale e conoscenza a scuola: la discussione matematica (1995), Centro Documentazione Educativa, Comune di Modena. Betti B., Canalini R., (2001) Abaco e notazione posizionale: Storie di internalizzazione, in stampa su Atti IV Convegno Nazionale degli Internuclei della scuola dell’obbligo ( Monticelli Terme Parma), Bologna: Pitagora Boero P., (a cura di ); (1996 quinta ed.) Bambini maestri realtà,Centro Stampa del Dipartimento di Matematica Università di Genova. Boero P., Scali E. (1996) Atti Seminario Pisa: Alcune ricerche sull’approccio al numero e alle operazioni aritmetiche nella scuola elementare. Ferri F., (2001) L’abaco e lo zero, in stampa su Atti IV Convegno Nazionale degli Internuclei della scuola dell’obbligo (Monticelli Terme Parma), Bologna: Pitagora Ifrah G., (1993) Storia Universale dei Numeri, Mondatori Regione Emilia Romagna, (2001) Euro – mania a cura di Giunti Ed M.P.I Facciamo i conti con l’Euro a cura dell’UMI, 2001 M.P.I. Programmi didattici per la scuola primaria, 1985

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