Lab N 7 - Metodos de Integracion Numerica Resolucion

UNIVERSIDAD CATOLICA DE SANTA MARIAFACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍAS FISICAS Y FORMALES

PROGRAMA PROFESIONALINGENIERIA MECÁNICA, MECÁNICA-ELECTRÍCA Y MECATRÓNICA

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Jefes de Prácticas:Ing. Juan Carlos CuadrosIng. Henry Zegarra Gago

Ing. Sergio Mestas RamosLaboratorio de Mecánica Computacional II

Tema: Métodos Numéricos – Integración NuméricaCódigo: 4E04022Semestre: IVGrupo: FECHA:

Apellidos y Nombres (1):Urday Parisaca Edson SamuelApellidos y Nombres (2):_____________________________________________

Lab. Nº: 07

I. OBJETIVOS:

- Conocer los algoritmos utilizados para la obtención numérica de integrales y aplicarlos en la solución de problemas de ingeniería.

- Implementar programas que permitan el cálculo de integrales, empleando diferentes algoritmos para su solución, considerando en la implementación los diagramas de flujo y el código correspondiente.

II. FUNDAMENTO TEORICO:

En ingeniería se presenta con frecuencia la necesidad de calcular la integral de una función. La función que va a integrarse estará, en general, en una de las tres formas siguientes:

1. Una función simple y continua tal como un polinomio, una función exponencial o una función trigonométrica.

2. Una función complicada y continua que es difícil o imposible de integrar directamente. 3. Una función tabulada en donde los valores de x y f (x) se dan en un conjunto de puntos discretos, como es el caso a

menudo, de datos experimentales.

En el primer caso, la integral simplemente es una función que se puede evaluar fácilmente usando métodos analíticos aprendidos en el cálculo. En los dos últimos casos, sin embargo, se deben emplear métodos aproximados.Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas más comunes dentro de la integración numérica. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más fácil de integrar. La integral se puede aproximar usando una serie de polinomios aplicados por partes a la función o a los datos sobre intervalos de longitud constante. Se dispone de las formas abierta y cerrada de las fórmulas de Newton-Cotes. Las formas cerradas son aquellas en donde los puntos al principio y al final de los límites de integración se conocen. Las fórmulas abiertas tienen los límites de integración extendidos más allá del rango de los datos. Las fórmulas abiertas de Newton-Cotes, en general, no se usan en la integración definida. Sin embargo, se usan extensamente en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.

A. REGLA DE INTEGRACIÓN DEL RECTÁNGULO

Si en cada sub-intervalo consideramos un rectángulo, que tiene como base la longitud h y como altura f (xk−1), podemos

aproximar el área total haciendo la suma de las áreas de todos los sub-intervalos, quedando

∫a

bf ( x )dx≃h∑

k=1

n

f ( xk−1 ) f(x)

xk-1 xk

f(xk-1)

ha b



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B. REGLA DEL PUNTO MEDIO

Este caso difiere del anterior ya que tomamos como altura del rectángulo la imagen del punto medio del intervalo [ xk−1 , xk ] en

lugar del extremo.

∫a

bf ( x )dx≃h∑

k=1

n

f (xk−1+xk

2)

C. REGLA DEL TRAPECIO

La regla del trapecio o regla trapezoidal es una de las fórmulas cerradas de Newton-Cotes. Considérese la función f (x), cuya

gráfica entre los extremos x=a y x=b se muestra en la Figura 1. Una aproximación suficiente al área bajo la curva se obtiene dividiéndola en n fajas de ancho ∆ X y aproximando el área de cada faja mediante un trapecio, como se indica en la Figura 1.

Llamando a las ordenadas y i para i=1,2,3 , ……, n+1, las áreas de los trapecios son:

(1)

f(x)

f((xk-1+ xk)/2)

ba (xk-1+ xk)/2



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Figura 1 Método del Trapecio

El área total comprendida entre x=a y x=b está dada por:

(2)

Sustituyendo las ecuaciones (1) en esta expresión se obtiene:

(3)

La cual recibe el nombre de Fórmula Trapezoidal, y se puede expresar como:

(4)

En esencia, la técnica consiste en dividir el intervalo total en intervalos pequeños y aproximar la curva y=f (x ) en los diversos intervalos pequeños mediante alguna curva más simple cuya integral puede calcularse utilizando solamente las ordenadas de los puntos extremos de los intervalos.

D. INTEGRACIÓN NUMÉRICA - REGLA DE SIMPSON



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Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más finos, otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos.

REGLA DE SIMPSON 1/3

La Regla de Simpson de 1/3 proporciona una aproximación más precisa, ya que consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva mediante parábolas de segundo grado, y sumar las áreas bajo las parábolas para obtener el área aproximada bajo la curva. Por ejemplo, el área contenida en dos fajas, bajo la curva f(x) en la Figura 2, se aproxima mediante el área sombreada bajo una parábola que pasa por los tres puntos:

( Xi ,Yi )(X i+1 ,Y i+1)(X i+2 ,Y i+2)

Figura 2

Por conveniencia al derivar una expresión para esta área, supongamos que las dos fajas que comprenden el área bajo la parábola se encuentran en lados opuestos del origen, como se muestra en la Figura 3. Este arreglo no afecta la generalidad de la derivación.

Figura 3



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La forma general de la ecuación de la parábola de segundo grado que conecta los tres puntos es:

Y=a X2+bX+c (1)

La integración de la ecuación (1) desde −∆ X hasta ∆ X proporciona el área contenida en las dos fajas mostradas bajo la parábola. Por lo tanto:

∫−∆ X

∆ X

(a X 2+bX+c ) dx=[ a X3

3+ b X2

2+cX ] ∆ X

¿−∆ X(2)

La sustitución de los límites en la ecuación (2) produce:

A2 fajas=23

a(∆ X )3+2c (∆ X )(3)

Las constantes a y c se pueden determinar sabiendo que los puntos (−∆ X ,Y i ); (0 , Y i+1) y (∆ X ,Y i+2) deben satisfacer la ecuación (1). La sustitución de estos tres pares de coordenadas en la ecuación (1) produce:

Y i=a (−∆ X )2+b (−∆ X )+cY i+1=c

Y i+2=a(∆ X)2+b ( ∆ X )+c }(4 )

La solución simultánea de estas ecuaciones para determinar las constantes a, b, c, nos lleva a:

a=Y i−2Y i+1+Y i+2

2 (∆ X )2

b=Y i+2−Y i

2∆ Xc=Y i+1

}(5)

La sustitución de la primera y tercera partes de la ecuación (5) en la ecuación (3) produce:

A2 fajas=∆ X

3(Y i+4 Y i+1+Y i+2 )(6)

que nos da el área en función de tres ordenadas Y i ,Y i+1 ,Y i+2 y el ancho ∆ X de una faja.Esto constituye la regla de Simpson para determinar el área aproximada bajo una curva contenida en dos fajas de igual ancho.Si el área bajo una curva entre dos valores de X se divide en n fajas uniformes (n par), la aplicación de la ecuación (6) muestra que:



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A1=∆ X

3(Y 1+4 Y 2+Y 3 )

A2=∆ X

3(Y 3+4 Y 4+Y 5 )

.

.

.

An /2=∆ X

3(Y n−1+4Y n+Y n+1 )

}(7)

Sumando estas áreas, podemos escribir:

∫X1=0

X n+1

f ( x ) dx=∑i=1

n2

Ai=¿ ∆ X3

(Y 1+4 Y 2+2Y 3+4 Y 4+2 Y 5+…+2Y n−1+4 Y n+Y n+1) (8)¿

o bien:

∫X1=0

X n+1

f ( x ) dx=∑i=1

n2

Ai=¿∆ X

3 (Y 1+4∑i=1

n2

Y 2 i+2∑i=1

n−22

Y 2i+1+Y n+1)(9)¿

en donde n es par. La ecuación (9) se llama Regla de Simpson de un Tercio para determinar el área aproximada bajo una curva. Se puede utilizar cuando el área se divide en un número par de fajas de ancho ∆ X .

III. MATERIAL Y EQUIPO

1. Una PC con Sistema Operativo (S.O.) Windows XP.2. MATLAB 7.0 o superior

IV. PROCEDIMIENTO PRÁCTICO:

A. Crear un programa que permita calcular la integral de cualquier función matemática, en el tramo [a,b] (introducido por teclado). El programa deberá mostrar la grafica de la función matemática (opcional). El programa también deberá permitir decidir que algoritmo se utilizará. (Sugerencia: Use una estructura de decisión múltiple switch-case, proceda por etapas):

1: Regla del rectángulo2: Regla del Punto Medio. 3: Regla del trapecio.4: Regla de Simpson 1/3



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Diagrama de Flujo Algoritmo-Pedir la función-Pedir el limite inferior y superior-Pedir el numero de divisiones-asignar un numero del 1 al 4 para cada caso de integración-caso numero 1 metodo del rectángulo-hallar el numero de áreas divididas-Hallar el área de cada área dividida por la formula del rectangulo-sumar todas las áreas-mostrar resultado-caso numero 2 metodo del punto medio-Hallar el numero de áreas dividias-hallar el área de cada área dividida pero ahora la altura será el punto medio del ancho de cada área-sumar todas las áreas-Mostrar resultado-caso numero 3 metodo del trapecio-hallar el numero de áreas divididas-Hallar el área de cada área dividida pero ahora se hallara el área con la formula del trapecio.-Sumar todas las áreas-Mostrar resultadoCaso numero 4 metodo de la regla de Simpson 1/3-hallar el numero de áreas divididas-Hallar los coeficientes de la ecuación de segundo grado-hallar el área bajo la curva-Sumar todas las áreas-Mostrar el resultadoProgramaclear all;clc;disp('Integracion numerica');fprintf('Ingrese 1 para el metodo del rectangulo');fprintf('\n');fprintf('Ingrese 2 para el metodo del punto medio');fprintf('\n');fprintf('Ingrese 3 para el metodo del trapecio');fprintf('\n');fprintf('Ingrese 4 para el metodo de simpson 1/3');fprintf('\n');nro=input('Ingrese el metodo: ');fprintf('\n');switch nro case 1 disp('Metodo del rectangulo');a=input('Limite inferior a= ');b=input('Limite superior b= ');syms x;n=input('Numero de divisiones n= ');f=input('Ingrese la funcion: ');h=(b-a)/n;r=0;for i=a:h:(b-h)



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x=i; y=eval(f); r=r+y;endS=h*r;fprintf('La integral es %.4f \n',S); case 2disp('Metodo del punto medio'); a=input('Limite inferior a= ');b=input('Limite superior b= ');syms x;n=input('Numero de divisiones n= ');f=input('ingrese la función: ');h=(b-a)/n;r=0;for i=a:h:(b-h) x=(i+(i+h))/2; y=eval(f); r=r+y;endS=h*r;fprintf('La integral es %.4f \n',S); case 3 disp('Metodo del trapecio');a=input('Limite inferior a= ');b=input('Limite superior b= ');syms x;t=input('Numero de divisiones n= ');f=input('Ingrese la funcion: ');h=(b-a)/t;F=0;for i=a:h:(b-h)x=i;H=eval(f);x=i+h;E=eval(f);W=(H+E)/2;F=F+W;endR=h*(F);fprintf('La integral es %.4f \n',R); case 4 disp('Metodo de simpson 1/3'); f=input('Ingrese la funcion;','s');f=inline(f);a=input('Limite inferior a= ');b=input('Limite superior b= ');n=input('Numero de divisiones n= ');fprintf('\n');h=(b-a)/n;sumai=0;sumap=0;for i=1:2:n-1 sumai=sumai+feval(f,h*i+a);endfor i=2:2:n-2



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sumap=sumap+feval(f,h*i+a);endint=(h/3)*(feval(f,a)+4*sumai+2*sumap+feval(f,b));disp(['El resultado de la integral es ' num2str(int)])end

V. CUESTIONARIO FINAL

A. En base al programa construido anteriormente solucionar los siguientes problemas:

1) Se tiene un horno de recocido el cual consume energía de unos calefactores a razón de 20 KWatts. Y pierde energía por sus paredes según el tiempo de acuerdo a la siguiente tabla:

Tiempo (segundos

1 2 3 4 5 6 7 8

Energía(Kjoules) exp(2) exp(2) exp(3) exp(3.2) exp(2.8) exp(2) exp(2.5) exp(2.7)

Calcular cual es la energía total utilizada en el calentamiento interno del horno.

Tiempo (segundos 1 2 3 4 5 6 7 8

Energía(Kjoules)

exp(2) exp(2) exp(3) exp(3.2) exp(2.8) exp(2) exp(2.5) exp(2.7)

Perdida 7.3891 7.3891 20.0855 24.5325 16.4446 7.3891 12.1825 14.8797



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Energia suministrada 160 Kwatts

Energia perdida = 110.2921 Kwatts

La energía utilizada es 49.7079 KWatts

disp('Metodo de simpson 1/3');f=input('Ingrese la funcion;','s');f=inline(f);a=input('Limite inferior a= ');b=input('Limite superior b= ');n=input('Numero de divisiones n= ');fprintf('\n');h=(b-a)/n;sumai=0;sumap=0;for i=1:2:n-1 sumai=sumai+feval(f,h*i+a);endfor i=2:2:n-2 sumap=sumap+feval(f,h*i+a);endint=(h/3)*(feval(f,a)+4*sumai+2*sumap+feval(f,b));disp(['El resultado de la integral es ' num2str(int)])end

2) Se tiene un cuerpo que se desplaza en la dirección x debido a una fuerza cuya magnitud se calcula según la siguiente expresión:

f ( x )=12 e− x sen(x )

Indique cual es la energía que entrega f al móvil en el tramo de x <4.5 – 8.5>

SOLUCION

Con el método del rectángulo y con el número de divisiones 10 el resultado es -0.1073

Con el método del punto medio y con el número de divisiones 10 el resultado es -0.0787

Con el método del trapecio y con el número de divisiones 10 el resultado es -0.0809

Con el método de Simpson 1/3 y el número de divisiones 10 el resultado es -0.079403

disp('Metodo de simpson 1/3');f=input('Ingrese la funcion;','s');f=inline(f);a=input('Limite inferior a= ');b=input('Limite superior b= ');n=input('Numero de divisiones n= ');fprintf('\n');h=(b-a)/n;



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Lab. Nº: 07

sumai=0;sumap=0;for i=1:2:n-1 sumai=sumai+feval(f,h*i+a);endfor i=2:2:n-2 sumap=sumap+feval(f,h*i+a);endint=(h/3)*(feval(f,a)+4*sumai+2*sumap+feval(f,b));disp(['El resultado de la integral es ' num2str(int)])end

VI. OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES

Haga sus observaciones y emita al menos cinco conclusiones en torno al trabajo realizado:- Se conoció los algoritmos utilizados para la obtención numérica de integrales.- Se hizo diferentes programas con resultados aproximados al resultado verdadero sobre una integral.- Existen diferentes métodos de cálculo de integrales aproximados al verdadero resultado de la integral, los resultados son

muy parecidos pero siempre existe un margen de error en algunos casos es minimo,.

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