L’ALGEBRA E LE SUE APPLICAZIONITRA CLASSICO E MODERNO

COLLANA INTERDISCIPLINARE

Direttore

Alfio RUniversità degli Studi di Catania

Comitato scientifico

Marco FUniversità degli Studi Roma Tre

Mercede MUniversità degli Studi di Salerno

Rosanna UUniversità degli Studi di Messina

L’ALGEBRA E LE SUE APPLICAZIONITRA CLASSICO E MODERNO

COLLANA INTERDISCIPLINARE

L’Algebra non è altro che Geometria scritta, la Geometria non è altro cheAlgebra figurata.

Marie–Sophie G

Una collana di Algebra, in una sezione relativa alla macro–area Matematica e Informatica, ha come obiettivo primario la divulgazioneculturale e didattica dei temi dell’Algebra classica e moderna. Come ènoto lo strumento algebrico è andato via via affermandosi nel temposoprattutto per le sue molteplici applicazioni. Così, mentre classica-mente l’Algebra era nota per i suoi contributi nella Teoria dei numerie nello studio delle equazioni, con l’avvento dell’opera di Cartesiol’Algebra è diventato lo strumento principale per interpretare gli og-getti geometrici, mentre con il lavoro di Eulero e Fermat ha trovatoinaspettate applicazioni in campi più moderni della ricerca quali laCrittografia e la Teoria dei codici.Questa collana vuole dare impulso e sostegno a tutte quelle pub-blicazioni che intendano diffondere in modo scientifico e puntualetematiche che coinvolgano in modo diretto o indiretto aspetti teoricio applicativi dell’Algebra, ricordando, come usava dire Alfred NorthWhitehead, che l’Algebra è lo strumento intellettuale che è stato creato perrendere chiari gli aspetti quantitativi del mondo.

Sergio De Nuccio

Niels Henrik Abel

La vita e le memorie sulle equazioni algebriche

Prefazione diSilvio Maracchia

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I edizione: febbraio

A Luca Andrea

3

Indice

11 Prefazione

13 Introduzione

37 Capitolo I I primi anni di vita di Abel: 1802 – 1815

1.1. L’infanzia di Abel, 37 – 1.2. Cenni storici sulla Norvegia, 40 – 1.3. La famiglia di Abel, 41

49 Capitolo II Abel si trasferisce a Kristiania: 1815 - 1823

2.1. Gli anni nella scuola cattedrale di Kristiania, 4 2.2. L’ingresso all’Università. Le prime pubblicazioni. Viaggio a Copenaghen, 54

59 Capitolo III La teoria delle equazioni prima di Abel

3.1. Generalità sulle equazioni algebriche, 5 incognita, 61 – 3.3. La risolubilità algebrica dell’equazioni fino al quarto grado, 66 3.4. I contributi di F. Viète, R. Descartes, W. von Tschirnhaus, 77– 3.5. Il contribu to di L. Euler, 79 – 3.6. Il contributo di E. Bézout,85 – 3.7. I contributi di E. Waring e di A. T. Vandermonde, 87 – 3.8. Il contributo di J.-L. Lagrange, – 3.9. Il contributo di P. Ruffini,

9 –

9 – 3.2. Equazioni algebriche in una

91 101.

9

N. H. Abel, la vita e le Memorie sull’equazioni algebriche 4

111 Capitolo IV La prima Memoria di Abel del 1824

4.1. La prima Memoria sull’equazione di 5° grado, 111 – 4.2. Traduzione in italiano della Memoria di Abel del 1824, 112 – 4.3. L’originale in francese della Memoria di Abel del 1824,

129 Capitolo V Il viaggio in Europa: 1825-1826

5.1. Arrivo a Berlino - La visita a Crelle – La nomina di Holmboe, 125.2. Il primo numero del Giornale di Crelle, 133 – 5.3. Nuova versione della Memoria del 1824, 135 – 5.4. Soggiorno a Parigi, 192 – 5.5. Ritorno a Berlino, 204

205 Capitolo VI Il ritorno in Norvegia: 1827-1829

6.1. Il ritorno a Kristiania, 205 – 6.2. La morte di Abel, 208– 6.3. Memoria sulle equazioni abeliane, 212 – 6.4. Sulla risoluzione algebrica delle equazioni, 258

A.1. La risoluzione dell’equazione x n- 1 = 0 nelle Disquisitiones Arithmeticae di C. F. Gauss, 295 – A.2. P.-L. Wantzel: De l’impossibilité de résoudre toutes les équations algébriques avec des radicaux, 321 – A.3. F. Cajori: Pierre Lau-rent Wantzel,

339 Bibliograa

295 Appendice

119.

9 –

330.

10 Indice

Prefazione

Quando nel 1950 uscì anche in Italia il libro I Grandi Matemati-ci di Eric Temple Bell, scritto in uno stile scorrevole ma non banale, molti lettori non addetti ai lavori conobbero per la prima volta l’esistenza e l’importanza di tanti matematici di cui non avevano mai sentito parlare.

Due di essi, Evariste Galois e Henrik Abel, vissuti nella stessa epoca (1811-32 il primo e 1802-29 il secondo), colpirono per la sorte che, in un certo senso, li accomuna. Entrambi matematici di assoluto livello, morirono giovanissimi, Galois di duello ed Abel di tubercolo-si; entrambi con una vita difficile sia per le situazioni familiari e sia per le incomprensioni, almeno iniziali per Abel, da parte della mate-matica cosiddetta ufficiale; entrambi impegnati alla risoluzione gene-rale delle equazioni; entrambi studiosi specialmente dei matematici Giuseppe Lagrange e di Adrien-Marie Legendre che li indirizzarono verso il proseguimento e il completamento dei loro studi.

Possiamo dire che un'altra circostanza, non casuale, accomuna Galois ad Abel: entrambi sono stati oggetto degli approfonditi studi di Sergio De Nuccio che ha trattato per primo Galois con una monumen-tale opera di ben quattro volumi (Lezioni di matematica dagli scritti di Evariste Galois, coautrice Margherita Barile) per circa 2000 pagine, più un ulteriore volume (I compiti scolastici di Evariste Galois).

Oggi Sergio De Nuccio presenta agli studiosi, ma anche a qua-lunque lettore interessato, matematico o no, un approfondito studio sui lavori algebrici di Henrik Abel. Possiamo dire che, per lo stretto le-game dei due matematici, la scelta è stata quasi obbligata e la tecnica espositiva la medesima: si riportano nella loro interezza gli scritti ori-ginali, si traducono dando la possibilità al lettore di comprendere quei passaggi che potrebbero risultare alquanto ostici.

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N. H. Abel, la vita e le Memorie sull’equazioni algebriche 6

De Nuccio, dopo una iniziale, sintetica ma esaustiva panoramica sugli studi algebrici e sugli algebristi da quando si cominciarono a studiare le equazioni di terzo grado sino ad Abel stesso, dà inizio al suo lavoro occupandosi nei primi due capitoli della vita del matemati-co inserita in un ambiente turbato dai conflitti tra Norvegia, Danimar-ca, Svezia e da lotte politiche. La famiglia di Abel, pur in gravi ristret-tezze economiche fece di tutto per valorizzare le notevoli attitudini del giovane Heinrik che poté, pur tra molte difficoltà, studiare i grandi matematici che lo avevano preceduto e far conoscere i suoi lavori.

Nel libro di De Nuccio, dopo una lunga esposizione sulle equa-zioni algebriche dei primi quattro gradi (cap. terzo), possiamo trovare tutti i lavori che Abel scrisse sulle equazioni algebriche, dal primo sin-tetico lavoro giovanile pubblicato a sue spese nel 1824, sino ai lavori definitivi. Tutti questi lavori sono riportati da De Nuccio nella loro lingua originale, il francese, e tradotti (capp. 4, 5, 6). Si può aver così una intera panoramica di prima mano dei grandi contributi di Abel che culminarono nella dimostrazione di impossibilità di poter risolvere l’equazione generale di quinto grado mediante radicali. Dopo questo notevole risultato Abel si occupò di indagare e di individuare quelle particolari equazioni di qualsiasi grado risolubili comunque mediante radicali (ad esempio le equazioni binomie) stabilendo una condizione di commutatività che oggi, in senso più generale, viene appunto indi-cata come “abeliana”.

Il libro di De Nuccio, arricchito inoltre da numerosissime figure relative ai frontespizi delle opere trattate e alle immagini di tutti i ma-tematici coinvolti, si chiude con alcune appendici: la prima relativa al-le equazioni binomie così come furono trattate da Karl Friedrich Gauss (1777-1855) per risolvere il problema della ciclotomia e la se-conda per presentare la dimostrazione di Pierre Laurent Wantzel (1814-1848) sul problema della impossibilità già dimostrata da Abel.

Un libro, scritto con passione e competenza, che fornisce pertan-to, uno strumento completo per chi voglia studiare la teoria algebrica di un grande matematico posto al livello dei più grandi e morto all’età di soli ventisette anni.

Silvio Maracchia

12 Prefazione

Introduzione 7

Introduzione

Abel aveva dei lineamenti regolari, che si possono dire anche vera-mente gentili. Il suo sguardo e i suoi occhi erano di una bellezza poco comune; ma una carnagione pallida, senza freschezza e vivacità, offu-scava un p la gradevolezza della sua figura. Si veniva colpiti dalla conformazione particolare della testa con il suo ovale prominente; il cranio fortemente sviluppato sembrava testimoniare una intelligenza straordinaria. Sulla sua fronte alta e larga, nascosta in parte dai suoi capelli cascanti, regnava un’espressione meditativa. Un sentimento di benevolenza era impresso sul suo volto. L’aspetto generale di Abel non aveva niente di eccezionale: di media statura, di costituzione fisi-ca delicata, semplice e trascurato nel vestire. Solo penetrando nella sua intimità, si poteva apprezzare il suo giusto valore. Ma, nonostante questo o quel dettaglio inopportuno, soprattutto nella sua prima gio-vinezza, la sua persona non era, tutto sommato, molto simpatica.

Quando non si chiudeva tutto il giorno nella sua stanza per lavorare in solitudine, ed era in compagnia dei suoi amici, soprattutto di quelli che non facevano parte della cerchia abituale, egli si mostrava gaio ed allegro, anche se di temperamento egli fosse piuttosto malinconi-co. Spesso la sua allegria non era l’espressione fedele del suo stato d’animo. Po-chi potevano essere in familiarità con lui. Era ben voluto dai suoi compagni di studi e anche dalle persone più anziane che s’interessavano a lui. Con i primi egli aveva certamente com-messo delle sventatezze; ma la sua amabilità era asserita da tutti con una rara unanimità.

Egli si faceva amici dovunque , e nient’altro che amici.1

1 C. –A. Bjerknes, Niels-Henrik Abel, Paris, Gauthier-Villars, 1885, pp.28-29.

L'unico ritratto in vita di N.H. Abel. Un disegno fatto a Pa-rigi da Johan Gorbitz nel 1826.

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N. H. Abel, la vita e le Memorie sull’equazioni algebriche 8

Questa è la descrizione di Niels Henrik Abel, illustre matematico nor-vegese vissuto nel XIX secolo e morto giovane quando non aveva an-cora compiuto ventisette anni. Anche se la sua vita è stata breve e sfortunata, segnata da grandi difficoltà economiche e da uno stato di salute cagionevole, Abel ha saputo concretizzare le sue idee innovati-ve che nell’Ottocento hanno dato origine a ulteriori sviluppi dell’algebra e dell’analisi. I suoi lavori sull’impossibilità di risolvere tramite radicali l’equazione generale di quinto grado e la scoperta del-le cosiddette equazioni abeliane sono stati dei punti fondamentali nel-la storia dell’equazioni algebriche.Gli algebristi italiani del ’500: Sci-pione Dal Ferro2, Niccolò Fontana (detto Tartaglia)3, Girolamo Car-dano4, Lodovico Ferrari5, avevano ottenuto le formule risolutive tra-

2 Matematico italiano, nato a Bologna nel 1465 e ivi morto nel 1526. È uno degli algebristi che, nel Rinascimento, dettero vita in Italia a una fioritura di metodi e pro-cedure per risolvere equazioni polinomiali di grado superiore al secondo. Prima an-cora di Tartaglia, scoprì il metodo per la risoluzione algebrica delle equazioni di ter-zo grado, che espose in un quaderno, a tutt'oggi introvabile. 3Matematico italiano, nato a Brescia nel 1499 e morto a Venezia nel 1557. Dive-nuto balbuziente nel 1512, per le ferite riportate alla mandibola e al palato durante la presa di Brescia da parte dei francesi (in cui perse la vita il padre), gli fu dato il so-prannome di Tartaglia, che accettò e utilizzò sempre per firmare le sue opere. Auto-didatta, fu uno dei maggiori algebristi italiani del “500. È nota la sua formula risolu-tiva delle equazioni algebriche di terzo grado (precedentemente trovata e non pub-blicata da Scipione Dal Ferro), che comunicò segretamente a Cardano. Questi la pubblicò, nel 1545, nella opera Ars Magna, iniziando così una lunga disputa con Tartaglia stesso (protrattasi per più di due anni). Nel 1543 Tartaglia pubblicò la pri-ma traduzione in italiano degli Elementi di Euclide (con interessanti commenti) e, successivamente, tradusse in latino e in italiano un’opera di Archimede. Scrisse un trattato completo di matematica pura e applicata, che contiene regole di aritmetica, algebra, geometria, fisica, e in cui si trova un accenno al cosiddetto triangolo di Tar-taglia. 4 Matematico italiano, nato a Pavia nel 1501 e morto a Roma nel 1576. La sua fama è legata principalmente al trattato Ars Magna, pubblicato nel 1545, in cui sono contenute le formule risolutive, per mezzo di radicali, delle equazioni algebriche di terzo e quarto grado. 5 Matematico italiano, nato a Bologna nel 1522 e ivi morto nel 1565). Giunto a 14 anni nella casa di Cardano a Milano per esserne il servitore, ma sapendo già leggere e scrivere ne divenne il segretario. Scoprì tra la formula risolutiva delle equazioni di quarto grado del tipo x4 + ax2 + b = ex, con a, b, e positivi e dimostrò le soluzioni date da Cardano stesso delle equazioni cubiche ridotte dei tipi x3 + ax = bx2 e x3 + ax2 = b. A soli 20 anni subentrò alla cattedra di insegnamento di Cardano e, nel frat-tempo, la sua capacità di risolvere problemi algebrici lo aveva reso famoso e anche

14 Introduzione

Introduzione 9

mite radicali delle equazioni generali di terzo e quarto grado e tutta la materia venne poi sistemata e completata da un altro matematico ita-liano Rafael Bombelli6.

Il periodo che va dalla pubblicazione dell’opera di Bombelli (1572) al-la pubblicazione della Memoria “Rèflexions sur la rèsolution algèbri-que des équations” (1770-71) di Joseph - Louis Lagrange7 può essere considerato di transizione. In esso vengono determinati dei risultati parziali legati alla risoluzione delle equazioni di grado superiore al quarto.

relativamente ricco. Nel 1565 fu chiamato a insegnare matematica all’università di Bologna, ma in quello stesso anno morì. 6 Matematico italiano, nato a Borgo Panigale (Bologna), nel 1526 e morto a Ro-ma nel 1572 Quasi nulla si conosce sulla sua vita, tranne che scrisse un trattato al-gebrico, intitolato Algebra, che ebbe una grande diffusione. L’opera è divisa in tre Libri in cui l’autore, insieme a risultati già acquisiti dai suoi predecessori, espose i-dee nuove e fondamentali per lo sviluppo dell’algebra. Per esempio, nelle ultime pa-gine del Libro I si trovano, per la prima volta, i numeri complessi con le rispettive regole di calcolo. 7 Matematico nato a Torino nel 1736 e morto a Parigi nel 1813. Svolse inizial-mente la sua attività nella città natale, insegnando Analisi, a soli 19 anni, alla Regia Accademia di artiglieria e genio e dedicandosi a varie ricerche matematiche. Nel 1757 fondò con alcuni colleghi una società scientifica, che in seguito divenne l’Accademia delle Scienze di Torino. Su proposta di J. Le Ronde d’Alembert e di Eulero, nel 1766, fu chiamato da Federico II di Prussia a insegnare all’Accademia delle Scienze di Berlino, proprio per sostituire Eulero; lì rimase fino al 1787. In se-guito accettò l’invito del re Luigi XVI si trasferì a Parigi, dove divenne membro dell’Académie des Sciences. Insegnò Analisi all’École Normale e all’École Polyte-chnique. Le sue lezioni furono raccolte in più volumi, uno dei quali, Théorie des fonctions analytiques, divenne un classico: in esso Lagrange introduce la locuzione

Scipione Dal Ferro Niccolò Fontana (Tartaglia)

Girolamo Cardano

15Introduzione

N. H. Abel, la vita e le Memorie sull’equazioni algebriche 10

Tra i matematici più eminenti di questo periodo che si occuparono del problema delle equazioni vanno ricordati: François Viète8, René De-scartes9, Walter von Tschirnhaus10, Leonard Euler11, Etienne Bézout12.

di funzione derivata, il relativo simbolismo y = f ’(x), tuttora in uso. Alla sua morte fu sepolto nel Pantheon di Parigi. Le sue ricerche sulla risoluzione delle equazioni algebriche aprirono la strada ai successivi risultati di P. Ruffini, N. Abel ed E. Ga-lois ed egli stesso congetturò che le equazioni polinomiali di grado superiore al quarto non fossero risolubili per radicali. 8 Matematico francese, nato a Fontenay-le-Comte nel 1540 e morto a Parigi nel 1603. Figlio di un agiato procuratore, studiò diritto presso l'Università di Poitiers; nel 1560 si iscrisse al Foro di Fontenay ed esercitò l'avvocatura. Nel 1571 era avvo-cato al Parlamento di Parigi e nel 1573 venne nominato consigliere al Parlamento della Bretagna. Nel 1576 fu al servizio del re Enrico III e nel 1580 consigliere spe-ciale di Enrico di Navarra, il futuro re Enrico IV. Notevoli sono i suoi contributi all'aritmetica, all'algebra, alla trigonometria e alla geometria. È noto soprattutto per l'introduzione di notazioni algebriche sintetiche. 9 Il nome italianizzato è Cartesio. Matematico francese, nato a La Haye nel 1596 e morto a Stoccolma (Svezia) nel 1650. All’età di otto anni, nel 1604, iniziò a fre-quentare il collegio di La Flèche, tenuto dai Gesuiti. Negli anni 1612-16 soggiornò a Poitiers per seguire i corsi di giurisprudenza e conseguire la licenza in diritto ca-nonico e civile. Dopo un soggiorno a Parigi, nel 1618 si trasferì a Breda (Olanda) per arruolarsi, come volontario, dapprima nell'esercito di Maurizio di Nassau (prin-cipe di Orange) e poi in quello del duca di Baviera (1619), partecipando alla fase boema e ungherese della guerra dei Trent'Anni. Dal 1623 intraprese una serie di viaggi per la Germania, la Svezia, l'Olanda, la Svizzera e anche per l'Italia, do-ve soggiornò a Venezia, a Firenze e a Roma. Nel 1625 fece ritorno in Francia ed ebbe modo di stringere amicizia con Padre M. Mersenne, un frate dell’ordine dei Minimi e una delle figure di maggior spicco della cultura eu-ropea seicentesca. Nel 1629 si trasferì in Olanda e si dedicò esclusivamente a comporre e a pubblicare le sue opere. Nel 1649 accettò l’invito della regina Cri-stina di Svezia e si recò a Stoccolma dove si ammalò di polmonite e morì. In LaGeometrie, l’unico libro di argomento matematico da lui scritto, espose le sue idee sull’algebra e sulla geometria analitica, il nuovo ramo della matematica che aveva fondato contemporaneamente a P. de Fermat. Oltre alla cosiddetta regola di Carte-sio che lega i segni della radici reali di un’equazione alle permanenze e le variazio-ni dei segni dei coefficienti, le novità che Cartesio apportò in algebra consistono in un uso sistematico delle sostituzioni, nell’uso di uguagliare a zero i termini dell’equazione tutti posti in un unico membro e nella creazione di un simbolismoefficiente, quale per esempio gli indici a esponente per indicare le potenze. 10 Matematico tedesco, nato a Kieslingswalde nel 1651 e morto a Dresda nel 1708. Nel 1668 iniziò a frequentare le lezioni di matematica, filosofia e medicina presso l’Università di Leida. Viaggiò a lungo (nel 1674 visitò l’Inghilterra e succes-sivamente si recò a Parigi) e fu in corrispondenza con tutti i maggiori matematici del suo tempo. Nel 1682 fu nominato membro dell’Académie Royale di Parigi. Si dedi-

16 Introduzione

Introduzione 11

I continui insuccessi nella ricerca di formule risolutive per radicali delle equazioni algebriche di grado uguale o superiore al quinto, fece-ro di questo uno dei problemi cruciali dell’algebra nella seconda metà del Settecento. Non fu dunque per caso che verso il 1770 tre matema-tici, Edward Waring13, Alexandre-Théophil Vandermonde14,

cò alla teoria dei massimi e dei minimi e alla teoria delle equazioni, dove introdusse le trasformazioni che portano il suo nome. 11 Matematico svizzero, nato a Basilea nel 1707 e morto a San Pietroburgo nel 1783. Inizialmente destinato, per volere del padre, a divenire un pastore protestante, si indirizzò poi alla matematica, su consiglio di Johann Bernoulli, che, essendo stato suo precettore, ne aveva scoperto il grande talento. Dopo che l’Università di Basilea gli aveva negato la cattedra di fisica, accettò un incarico presso l’Accademia delle Scienze di San Pietroburgo, dove, dopo pochi anni, divenne professore. Su invito di Federico il Grande, si recò a Berlino, e qui, dal 1744 al 1766, curò la fondazione e l’ampliamento dell’Accademia delle Scienze. È autore di centinaia di saggi sugli ar-gomenti più vari: geometria, calcolo differenziale ed integrale, aritmetica, serie nu-meriche, equazioni algebriche, meccanica, ottica, astronomia, cartografia e musica. Continuò a lavorare fino in tarda età, nonostante la totale cecità che lo colse nel 1771. 12Matematico francese, nato a Nemours nel 1730 e morto a Les Basses-Loges (nel-la parrocchia di Avon) nel 1783). Le sue ricerche sulle curve piane e le loro interse-zioni gli valsero a ventotto anni l’entrata all’Académie des Sciences di Parigi. Di-venne insegnante di matematica ed esaminatore delle Guardie di Marina e successi-vamente del Corpo di Artiglieria. Il suo nome è principalmente legato ai suoi lavori sulle equazioni algebriche e i suoi risultati in questo campo vennero raccolti nel trat-tato Théorie générale des équations algébraiques (1779). I esso si trova il teorema di Bézout (che afferma che due curve algebriche di grado (rispettivamente) m ed n si intersecano in generale in m·n punti) per il quale è rimasto principalmente famoso. Formulò anche l'identità di Bézout per polinomi. 13 Matematico inglese, nato a Old Heath nel 1736 e morto a Pontesbury nel 1798. A soli 23 anni gli fu conferita la prestigiosa cattedra Lucasiana di matematica a Cambridge, e a 27 anni venne eletto membro della Royal Society. I suoi principali risultati riguardano la risoluzione delle equazioni algebriche, in cui anticipò parzial-mente l’approccio di Galois, e la teoria dei numeri, in cui formulò una famosa con-gettura che porta il suo nome, la quale fu dimostrata da Hilbert nel 1909, ed è ancor oggi oggetto di studio: ogni numero intero positivo si può scrivere come somma di un numero fissato di potenze n-esime, numero che dipende solo da n. 14 Matematico francese, nato a Parigi nel 1735 e ivi morto nel 1796. Collaborò con E. Bézout e A. Lavoisier. Si dedicò alla matematica a partire dal 1770 e, l’anno suc-cessivo, fu ammesso all’Académie des Sciences di Parigi. Il suo scritto Mémoire sur la résolution des équations (1771), riguarda le funzioni simmetriche e la risoluzione dei polinomi ciclotomici. Un altro suo lavoro dal titolo Mémoire sur l'élimination(1772) tratta i fondamenti della teoria dei determinanti.Il suo nome è associato a un particolare determinante (determinante di Vandermonde).

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N. H. Abel, la vita e le Memorie sull’equazioni algebriche 12

François VièteRené Descartes

(Cartesio)

Walter von Tschir-nhaus

Leonard Euler

Etienne Bézout

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Joseph-Louis Lagrange, all’insaputa l’uno dell’altro, pubblicarono quasi contemporaneamente i loro risultati sulla difficile questione. Dei tre quello che ha influenzato le ricerche successive sulla teoria delle equazioni algebriche è stato Lagrange. L’importanza del suo contributo risiede soprattutto nelle sue intuizio-ni, secondo le quali nello studio delle equazioni algebriche è necessa-rio esaminare certe espressioni razionali delle radici e studiare le loro proprietà collegate alle permutazioni delle stesse radici. Queste idee di Lagrange e i successivi lavori sulle permutazioni di Augustin-Louis Cauchy15 diedero la spinta alla dimostrazione prodotta da Paolo Ruf-fini16 dell’impossibilità di risolvere per radicali le equazioni di quinto grado e di grado superiore.

15Matematico francese, nato a Parigi nel 1789 e morto a Sceaux nel 1857. Fonda-tore della moderna Analisi matematica, a lui si devono le prime moderne definizioni di limite, di continuità (come limite), di infinitesimo e di infinito, di integrale. Svi-luppò i criteri di convergenza per le serie che portano il suo nome. Membro dell’Accademia delle Scienze di Parigi e professore di Analisi all’École Polythecni-que, Cauchy dopo la Rivoluzione del Luglio1830 fu costretto a lasciare tutti gli inca-richi e ad abbandonare la Francia perché, da convinto realista, si era rifiutato di pre-stare giuramento al nuovo sovrano Luigi Filippo d’Orleans, non riconoscendone la legittimità. Soggiornò in Italia e, su invito del re di Sardegna Carlo Alberto di Sa-voia, insegnò Fisica matematica all’Università di Torino. Nel 1833 si recò a Praga per fare da precettore al nipote di Carlo X di Borbone. Fece quindi ritorno in Francia nel 1838, chiamato per riprendere il posto all’Accademia, ma per dieci anni rinunciò all’insegnamento, sempre perché si rifiutava di prestare giuramento al re Luigi Fi-lippo. 16 Matematico italiano, nato a Valentano nel 1765 e morto a Modena nel 1822. Compì gli studi universitari presso l’Università di Modena e in questa Università, il

Edward Waring Joseph-Louis Lagrange Augustin-Louis Cauchy

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N. H. Abel, la vita e le Memorie sull’equazioni algebriche 14

Questa dimostrazione che si presenta in qualche punto lacunosa, non venne presa in considerazione né da Lagrange né da altri membri dell’Académie des Sciences di Parigi. Solo Cauchy riconobbe l’importanza dei lavori del matematico italiano, ma lo fece privata-mente in una lettera allo stesso Ruffini e non pubblicamente. A rendere comprensibile il ragionamento di Ruffini e a colmare un’importante lacuna presente nel suo lavoro ci pensò Abel che, indi-pendentemente da Ruffini, diede di questa impossibilità una dimostra-zione chiara, corretta e completa. Il Teorema di Ruffini-Abel da una parte mise fine alla ricerca di una formula risolutiva radico-razionale per l’equazione generale di grado superiore al quarto, dall’altra parte pose però un nuovo problema, quello di trovare tutti i tipi di equazio-ni che si risolvono tramite i radicali. Si trattava di una questione molto complicata che s’impose all’attenzione dei matematici perché esistono particolari equazioni di grado superiori al quarto che sono risolubili per radicali. Son tali le cosiddette equazioni binomie ( , in particolare l’equazioni ciclotomiche ( considerate da Carl Friedrich Gauss17 in relazione alla costruibilità con riga e compasso dei poligoni regolari) e le più generali equazioni abeliane (così chia-mate su proposta di Kronecker18 e Jordan19), in cui ciascuna radice si può ottenere con un’operazione razionale applicata a una sola di esse e queste operazioni sono permutabili tra loro. Ma sono state le idee di Évariste Galois20 a fornire una teoria nuova e originale, che contiene le condizioni necessarie e sufficienti affinché un’equazione sia risolu-bile per radicali.

15 ottobre 1788, ottenne la cattedra di Istituzioni Analitiche. Venne escluso dall'in-segnamento per aver rifiutato di prestare giuramento alla Repubblica cisalpina. Sop-pressa l'Università di Modena, passò a insegnare al Ginnasio. Dopo la caduta di Na-poleone, Francesco IV istituì di nuovo l’Università di Modena e Ruffini non solo riprese ad insegnarvi, ma ne divenne anche Rettore. Una delle sue opere è la Teoria generale delle equazioni. 17 Matematico tedesco, nato a Braunschweig nel 1777 e morto a Gottinga nel 1855. È uno dei più grandi matematici di tutti i tempi. Professore e direttore dell’osservatorio astronomico di Gottinga, indirizzò le sue ricerche verso tutti i rami della matematica, della fisica e dell’astronomia. Nel 1799 interpretò geometricamen-te il teorema fondamentale dell’algebra, fornendone anche varie dimostrazioni rigo-rose. Nel trattato Disquisitiones arithmeticae (1801) espose in modo completo e or-ganico la Teoria dei numeri. S’interessò allo studio delle superfici introducendo le coordinate curvilinee e stabilendo dei teoremi sulla curvatura totale di una superfi cie. Fu il primo a costruire una geometria non-euclidea, ma non pubblicò niente di

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queste sue ricerche. Diede una rappresentazione geometrica dei numeri complessi, conferendo ad essi la prima sistemazione organica. 18 Matematico tedesco, nato a Lignitz nel 1823 e morto a Berlino nel 1891. Compì gli studi presso l’Università di Berlino, dove nel 1845 conseguì il dottorato con una tesi sulla teoria dei numeri algebrici. Nel 1861 divenne membro dell’Accademia di Berlino. Dal 1883 insegnò all’Università di Berlino. Contemporaneamente a Hermi-te, trovò la soluzione delle equazioni di quinto grado mediante le funzioni ellittiche. Diede contributi significativi in algebra relativamente ai concetti di campo di razio-nalità e di campo d’integrità, con i quali venne precisato ed esteso il concetto di ir-riducibilità di una equazione algebrica 19 Matematico francese nato a Lione, Francia nel 1838 e morto a Parigi nel 1922. Frequentò l’École Polytechnique, dove in seguito ebbe l’incarico di professore. Dal 1881 fu membro dell’Istitut de France e dal 1897 fino al giorno della sua morte di-resse il Journal des Mathématiques pures et appliqueés di Liouville. Riuscì a coglie-re la profondità del pensiero di E. Galois e alla teoria di Galois dedicò pregevoli memorie e il monumentale Traité des Substitutions et des Equations algébriques(1870). Definì in modo parametrico una curva piana e diede la definizione generale di area di una figura. 20 Matematico francese, nato a Bourg-la-Reine nel 1811 e morto a Parigi nel 1832. La sua vita fu tormentata da drammi personali, come il suicidio del padre, il duplice insuccesso all'esame di ammissione all'École Polytechnique, l’esperienza della pri-gione per motivi politici e anche un amore infelice. La sua fu una vita molto breve, ma intensa finita tragicamente con una morte violenta in seguito alle gravi ferite ri-portate in un duello, i cui motivi non sono stati mai chiariti. L’opera principale di Galois è un lavoro intitolato Mémoire sur les conditions de résolubilité des équa-tions par radicaux, scritto più volte e mai pubblicato quando l’autore era in vita, contenente un criterio generale per la risolubilità per radicali di un’arbitraria equa-zione algebrica. Gli invii del maggio 1829 a A. Cauchy e del febbraio 1830 a J. Fou-rier non ebbero seguito, una terza versione del 1831 venne respinta a seguito del giudizio negativo espresso da S. Lacroix e S. Poisson. La Memoria venne pubblicata per la prima volta nel 1846 da J. Liouville nel suo Journal de Mathématiques, in-sieme ai principali lavori di Galois, i cui manoscritti gli erano stati affidati da A. Chevalier, amico fraterno del giovane matematico.

Paolo RuffiniCarl Friedrich

Gauss Évariste Galois

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